Washington Franco MathiasJosé Maria Gomes

MatemáticaFinanceira

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5ª Edição

Capítulo 5

RENDAS CERTASOU

ANUIDADES

MathiasGomes

Rendas Certas ou Anuidades

Definições: Dada uma série de capitais, referidos às suas respectivas datas:

Estes capitais, referidos a uma dada taxa de ju-ros “i” caracterizam uma anuidade ou renda certa.VALORES = Termos da anuidade;PERÍODO = Intervalo de tempo entre dois termos;DURAÇÃO DA ANUIDADE = Soma dos períodos.

R1 n1

R2 n2

... ...Rm nm

MathiasGomes

Valor Atual e Montante deuma Anuidade

Valor Atual: é a soma dos valores atuais dos seus termos, na mesma data focal e à mesma taxa de juros “i”.

Montante: é a soma dos montantes dos seus ter-mos, considerada uma dada taxa de juros “i” e uma data focal.

MathiasGomes

Classificação das Anuidades

QUANTO AO PRAZO:

• Temporárias: quando a duração for limitada.• Perpétuas: quando a duração for ilimitada.

QUANTO AO VALOR DOS TERMOS:

• Constante: quando todos os termos são iguais.• Variável: quando os termos não são iguais entresi.

MathiasGomes

Classificação das Anuidades

QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO:

• Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período.-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são

exigíveis no fim dos períodos.-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no

início dos períodos.

MathiasGomes

Classificação das Anuidades

QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO:

• Diferidas: quando os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro perío-do.-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são

exigíveis no fim dos períodos.-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no

início dos períodos.

MathiasGomes

Classificação dasAnuidades

QUANTO À PERIODICIDADE:

• Periódicas: se todos os períodos são iguais.

• Não-periódicas: se os períodos não são i-guais entre si.

MathiasGomes

Modelo Básico de Anuidade

São as anuidades que são:

• Temporárias;• Constantes;• Imediatas e Postecipadas;• Periódicas;• A taxa de juros “i” está referida ao mesmo pe-ríodo dos termos.

MathiasGomes

Valor Atual do ModeloBásico

Diz-se que o principal vai ser pago em “n” par-celas (prestações) iguais a “R”.

¬= aRP .

P = principaln = número de termosR = termosi = taxa de juros

P

R R R

0 1 2 n

n i

MathiasGomes

Valor Atual do ModeloBásico

Esta fórmula encontra-se tabelada para diversosvalores de “n” e de “i” (veja tabelas no fim do li-vro).

n i¬a = lê-se “a, n, cantoneira, i” ou “a, n, i”.

O cálculo de é feito do seguinte modo:n i¬a

n

n

iiia

)1(1)1(

+−+

=¬n i

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploI) João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações men-sais de $ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas apartir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou es-tar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergun-ta-se o preço do carro à vista.Resolução:

n

n

iiia

)1(1)1(

+−+

=¬n i

onde: n = 4 mesesi = 2% a.m.

807729,3)02,1.(02,01)02,1(

4

4

≅−

=¬an i

Portanto, como R = 2.626,24:P = 2.626,24 x 3,807729 = 10.000,00

MathiasGomes

ExemploII) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.

Resolução:¬

=aPR

n i

onde: P = 5.000,00n = 10 m.i = 3% a.m.Procurando numa tabela ou calculando diretamente,

tem-se:

15,586$530203,8

00,000.5530203,8

==

≅¬

R

a10 3

MathiasGomes

ExemploPortanto, o comprador deverá pagar uma prestação men-

sal de $ 586,15, por 10 meses.

III) Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nasseguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 prestações men-sais iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lo-jas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço a vista.

Resolução: Chamando a entrada de E e as prestações de R, te-mos:

0 1 2 3

EP

{ R R R

MathiasGomes

ExemploPortanto, o principal (P), que é o valor atual das prestações nadata zero somado à entrada (E), pode ser expresso do seguintemodo:

3 2,5¬+= RaEPonde: E = 1.500,00

R = 1.225,48

Logo: P = 1.500,00 + 1.225,48 x 2,856024P = 1.500,00 + 3.500,00P = $ 5.000,00

Portanto, o preço à vista nas condições dadas é de $ 5.000,00.

3 2,5 856024,2≅¬a

MathiasGomes

ExemploV) Um tapete persa é vendido por $ 15.000,00 à vista. Pode seradquirido também em prestações mensais de $ 885,71, a juros de 3% a.m. Sabendo que as prestações vencem a partir do mêsseguinte ao da compra, pede-se para calcular o número de pres-tações.

Resolução:n i

491933,0)03,1(508067,0)03,1(1

03,0)03,1(1935566,16

935566,1671,885

000.15.71,885000.15

.

=

=−

−=

==¬

¬=¬=

−

−

−

n

n

n

a

aaRP

n 3

n 3

Temos que:

MathiasGomes

Exemplo

Extraindo o logaritmo dos dois membros, tem-se:

log(1,03) log(0,491933)log(0,491933)

log(1,03)0,308094

24 meses0,012837

n

n

n

− =

= −

−= − ≅

MathiasGomes

Montante do ModeloBásico

Diz-se que “s” é o resultado de um processo decapitalização (aplicação) de “n” parcelas iguais a“R”.

¬= sRS .

S = montanten = número de termosR = termosi = taxa de juros

S

R R R

0 1 2 n

n i

n-1

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploI) Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-seque ela está ganhando 2% a.m., quanto possuirá em 2 anos ?

Resolução:

onde: R =1.000,00

Portanto: S = 1.000,00 x 30,421862S = $ 30.421,86

24 2 421862,30=¬S

¬= SRS . n i

Logo, após 2 anos, a pessoa possuirá $ 30.421,86.

MathiasGomes

Montante do ModeloBásico

Esta fórmula encontra-se tabelada para diversosvalores de “n” e de “i” (ver tabelas no fim do li-vro).

n i¬s = lê-se “s, n, cantoneira, i” ou “s, n, i”.

O cálculo de é feito do seguinte modo:n i¬s

iis

n 1)1( −+=¬

n i

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploII) Uma pessoa deseja comprar um carro por $ 40.000,00 à vis-ta, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma cer-ta quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio ren-dendo 2,2% a.m. de juros compostos, determinar quanto deveser poupado mensalmente.

Resolução: Neste caso, o montante é dado:S = 40.000,00

Como a taxa de 2,2% não se encontra tabelada, faze-mos o cálculo diretamente:

12 2,2 022,01298407,1

022,01)022,1( 12 −=

−=¬S

563955,13022,0

298407,0==

MathiasGomes

Exemplo

Temos:

12 2,2

00,949.2$

99,948.2563955,13

000.40

=∴

=

¬=

R

R

SSR

Então, se a pessoa poupar $ 2.949,00 por mês e fizer a aplicação a 2,2% a.m. por 12 meses poderá comprar o carropretendido.

MathiasGomes

Relação entre o Valor Atual e o Montante do Modelo Básico

n i

A relação é:

E a relação entre os fatores é a seguinte:

¬+=¬ ais n.)1(n i

niPS )1( +=

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploUma pessoa possui $ 30.000,00, que pode aplicar do seguintemodo:a) no banco A, que paga um juro de 3% a.m. ao fim de cadamês, devolvendo o capital no fim do 12º mês;B) no banco B, que devolve $ 42.000,00 no fim do 12º mês.Pede-se determinar a melhor aplicação.

Resolução: A melhor aplicação será aquela que conduzir aomaior montante na data focal 12:

Banco A: A aplicação de $ 30.000,00 a um juro de 3%a.m. produz uma renda mensal de $ 900,00. Portanto, o mon-tante na data focal 12 é:

MathiasGomes

Exemplo

83,772.42$83,772.12000.30

192030,1400,900000.30.00,900000.30

=+=+=

¬+=

A

A

A

A

SS

xSSS

83,772.42$425761,1000.30

)03,1.(000.30)1(

12

===

+=

A

A

A

n

SxS

SiPS

Note-se que pela fórmula este resultado pode ser obtido dire-tamente:

12 3

MathiasGomes

Exemplo

Já sabemos que o Banco B devolve:

SB = $ 42.000,00

Logo, concluímos que é melhor aplicar no Banco A, ganhandoum adicional de $ 772,83.

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