6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de

6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES

Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos

Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização.

Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja amortização, que é o cado dos aluguéis.


Existem dois tipos de rendas ou anuidades:

1) Rendas certas ou determinísticas: são aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados, não dependendo de condições externas.

Os diversos parâmetros, como o valor dos termos, prazo de duração, taxa de juros, etc., são fixos e imutáveis.

Tais tipos de renda são estudados pela Matemática Financeira.

2) Rendas aleatórias ou probabilísticas: os valores e/ou as datas de pagamentos ou de recebimentos podem ser variáveis aleatórias. É o que ocorre, por exemplo, com os seguros de vida: os valores de pagamentos(mensalidades) são certos, sendo aleatórios o valor do seguro a receber e a data de recebimento. Estas são estudadas pela Mat.Atuarial.


6.1.Definições: seja a série seguinte de capitais, referidos às suas respectivas datas, que por sua vez são referidos a uma dada data focal: R1 n1

R2 n2

Rm nm

Estes capitais, que podem ser pagamentos ou recebimentos, referido a uma dada taxa de juros i , caracterizam uma anuidade ou renda certa.

Os valores que constituem a renda são os termos da mesma. O intervalo de tempo entre dois termos chama-se período e a soma dos períodos define a duração da anuidade.

O valor atual de uma anuidade é a soma dos valores atuais dos seus termos, soma esta feita para uma mesma data focal e à mesma taxa de juros. De modo análogo, o montante de uma anuidade é a soma dos montantes de seus termos, considerada uma dada taxa de juros e uma data focal.

Onde: R é o termo (prestação)


Exercício 1: João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de $ 2 626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao de compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro a vista.

R1 R2 R3 R4

0

1 2 3 4 Meses

A soma dos valores atuais é dada por :

R1 R2 R3 R4

PV = + + +

(1,02)1 (1,02)2 (1,02)3 (1,02)4

Porém, colocando R1 = R2 = R3= R4= R



Tem-se:

R R R R

PV = + + +

1,02 (1,02)2 (1,02)3 (1,02)4

PV = R 0,980392 + 0,961169 + 0,942322 + 0,923845

PV = R (3,807728)

Como R = 2 626,24 tem-se :

PV = 2 626,24 * 3,807728 => PV = ~ $ 10 000,00

1 1 1 1

PV = R + + +

1,02 (1,02)2 (1,02)3 (1,02)4

Resposta: o preço do carro a vista é de $ 10 000,00.


(1 + i ) n - 1

a n┐i =

i ( 1+i ) n

R = PV / a n┐i

A partir desta fórmula (“ a, n cantoneira i”):

Podemos, através da dedução, expressar o valor atual ou presente, como sendo:

PV = R * a n┐i

O valor da prestação ( ou termo constante da anuidade – R) é dado por:

a n┐i = Fator de valor atual para n períodos e à taxa I por período


(1 + i ) n - 1

a n┐i =

i ( 1+i ) n


(1,02 ) 4 - 1

a n┐i =

0,02 ( 1,02) 4

Onde: n= 4 m

i= 2% a.m.

a n┐i =~3,807729

Portanto, como R = 2 626,24 tem-se :PV = 2 626,24 * 3,807728 => PV = ~ $ 10 000,00


R = P / a n┐i

Exercício 2 :Um televisor LCD custa $ 5 000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% a.m.. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.

Onde: PV = 5 000

n= 10 m

i= 3% a.m.

R = 5 000/ 8,530203

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 10┐3 = ( 1,03)10 -1/ 0,03(1,03) 10

a 10┐3 = ( 1,343916) -1/ 0,040317

a 10┐3 = 8,530203

R = P / a n┐i

R = $ 583,15

Resposta: o valor de cada prestação a ser paga pelo comprador é de $ 586,15.


PV = E + R * a 3┐2,5

Exercício 3 :Um aparelho de som está sendo anunciado nas seguintes condições: $ 1 500,00 de entrada e 3 prestações iguais de $ 1 225,48. Sabendo-se que o juro

cobrado nas lojas de som é de 2,5% a.m., Calcular o preço a vista.

Onde: E ( Entrada) = 1 500

R = 1 225,48

n= 3 m

i= 2,5% a.m.

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n a 10┐3 = ( 1,025)3 -1/ 0,025(1,025) 3

a 10┐3 = ( 1,766891) -1/ 0,026922

a 10┐3 = 2,856024

Resposta: O valor do preço a vista do aparelho de som é de $ 5 000,00.

PV = 1 500 + 1 225,48 * 2,856024

PV = $ 5 000, 00


Exercício 4 :Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de $ 1 000,00, nas hipóteses abaixo:

Taxa de juros Prazoa) 5% a.b. 12 bimestresb) 8% a.t. 10 trimestresc) 10% a.s. 20 semestresd) 30% a.a. 30 anos

a) Onde:R = 1 000,00

n= 12 bimestres

i= 0,05

Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 5% a.b. durante 12 bimestres é de $ 8 863,25.

PV = 1 000,00 * 8,863252

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 12┐5 = ( 1, 05)12 -1/ 0,05 (1,05) 12

a 12┐5 = 8,863252

PV = R * a n┐i

PV = $ 8 863,25




b) Onde:R = 1 000,00

n= 10 trimestres

i= 0,08

Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 8% a.t. durante 10 trimestres é de $ 6 710,08.

PV = 1 000,00 * 6,710081

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 10┐8 = ( 1,08)10 -1/ 0,08 (1,08) 10

a 10┐8 = 6,710081

PV = R * a n┐i

PV = $ 6 710,08




c) Onde: R = 1 000,00

n= 20 semestres

i= 0,1

Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 10% a.s. durante 20 semestres é de $ 8 513,56

PV = 1 000,00 * 8,513564

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 20┐10 = ( 1,10)20 -1/ 0,1*(1,10) 20

a 20┐10 = 8,513564

PV = R * a n┐i

PV = $ 8 513,56




d) Onde:R = 1 000,00

n= 30 anos

i= 0,3

Resposta: O valor atual de uma anuidade periódica de $ 1000,00 com uma taxa de juros de 30% a.a. durante 30 anos é de $ 3 332,06.

PV = 1 000,00 * 3,332061

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 30┐30 = ( 1,30)30 -1/ 0,3*(1,30) 30

a 30┐30 = 3,332061

PV = R * a n┐i

PV = $ 3 332,06


Exercício 5 :Qual o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $ 300,00, se as taxas e prazos abaixo forem considerados:

a) 3% a.m. – 24 mesesb) 3% a.m – 36 mesesc) 4% a.m – 24 mesesd) 5% a.m. – 12 meses

a) Onde:R = 300,00

n= 24 meses

i= 0,03

Resposta: O preço a vista de uma mercadoria de uma prestação de $ 300,00 com uma taxa de 3% a.m., durante 24 meses é de $ 5 080,66.

PV = 300,00 * 16,935542

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 24┐3 = ( 1,03)24 -1/ 0,03*(1,03) 24

PV = R * a n┐i

PV = $ 5 080,66

a 24┐3 = 16,935542




b) Onde:R = 300,00

n= 36 meses

i= 0,03


PV = 300,00 * 21,832252

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 36┐3 = ( 1,03)36 -1/ 0,03*(1,03) 36

PV = R * a n┐i

PV = $ 6 549,68

a 36┐3 = 21,832252




c) Onde: R = 300,00

n= 24 meses

i= 0,04


PV = 300,00 * 15,246963

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 24┐4 = ( 1,04)24 -1/ 0,04*(1,04) 24

PV = R * a n┐i

PV = $ 4 574,09

a 24┐4 = 15,246963




d) Onde:R = 300,00

n= 12 meses

i= 0,05


PV = 300,00 * 8,863252

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 12┐5 = ( 1,05)12 -1/ 0,05*(1,05) 12

PV = R * a n┐i

PV = $ 2 658,98

a 12┐5 = 8,863252


Exercício 6 : A esposa de Fábio, quer um novo tapete para sua casa. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de $ 97,49 ou em 24 prestações mensais de $ 61,50. Nos dois casos, Fábio, não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros dos crédito pessoal é de 2,5% a.am., pergunta-se: qual é o melhor sistema para o Fábio presentear sua esposa?

a) Onde:R = 97,49

n= 12 meses

i= 0,025

Resposta: O preço a vista do tapete, com prestações de $ 97,49 a uma taxa de 2,5% a.m, durante 12 meses é de $

1 000,03.

PV = 97,49 * 10,257765

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 12┐2,5 = (1,025)12 -1/ 0,025*(1,025) 12

PV = R * a n┐i

PV = $ 1 000,03

Sugestão: calcular o preço a vista nos dois casos e depois comparar os resultados.

a 12┐2,5 = 10,257765


Exercício 6 : A esposa de Fábio, quer um novo tapete para sua casa. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de $ 97,49 ou em 24 prestações mensais de $ 61,50. Nos dois casos, Fábio, não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros dos crédito pessoal é de 2,5% a.am., pergunta-se: qual é o melhor sistema para o Fábio presentear sua esposa?

b) Onde:R = 61,50

n= 24 meses

i= 0,025

Resposta final: Portanto, a melhor opção é pagar $ 97,49 por 12 meses, a uma taxa de 2,5% a.m.

PV = 61,50 * 17,884986

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 24┐2,5 = (1,025)24 -1/ 0,025*(1,025) 24

PV = R * a n┐i

PV = $ 1 099,93


a 24┐2,5 =

Resposta: O preço a vista do tapete, com prestações de $ 61,50 a uma taxa de 2,5% a.m, durante 24 meses é de $

1 099,93.


Exercício 7 : Carlos Jefferson quer comprar um carro. Este está a venda por $ 10 000,00 de entrada mais 24 prestações mensais de $ 2 236,51. Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de $ 1 613, 16, sendo neste caso exigida uma entrada de

$ 12 000,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa de mercado for de 3% a.m.?

a) Onde:E= 10 000

R = 2 236,51

n= 24 meses

i= 0,03 PV = 10 000 + ( 2 236,51*16,935542)

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 24┐3 = (1,03)12 -1/ 0,03*(1,03) 12

PV = E + R * a n┐i

PV = $ 47 876,51


Resposta: O preço a vista é de

$ 47 876,51, na opção com entrada de

$ 10 000 à uma taxa de 3% a.m.e prestações de $ 2 236,51.

a 24┐3 = 16,935542


Exercício 7 : Carlos Jefferson quer comprar um carro. Este está a venda por $ 10 000,00 de entrada mais 24 prestações mensais de $ 2 236,51. Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de $ 1 613, 16, sendo neste caso exigida uma entrada de

$ 12 000,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa de mercado for de 3% a.m.?

b) Onde:E= 12 000

R = 1 613,16

n= 36 meses

i= 0,03

Resposta final: Portanto, a melhor opção é pagar 36 mensais de $ 1 613,16 mais uma entrada de $ 10 000,00.

PV = 12 000 + ( 1 613,16*21,832252)

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 36┐3 = (1,03)36 -1/ 0,03*(1,03) 36

PV = E + R * a n┐i

PV = $ 47 218,92




$ 12 000 à uma taxa de 3% a.m.e prestações de $ 1 613,16.

a 36┐3 = 21,832252


Exercício 8: A Imobiliária Marrocos Ltda., vende um pequeno apartamento usado, em São Paulo, por $ 150 000,00 a vista. Como alternativas a seus clientes, oferece dois planos de financiamento:

PLANO A: entrada de $ 50 000,00 mais 4 prestações trimestrais de $ 31 600; PLANO B: entrada de $ 30 000,00 mais 8 prestações trimestrais de $ 23 000. O Sr. Carlos Eduardo, capitalista que aplica seu dinheiro a 10% a.t., deseja

saber qual é a sua melhor opção de compra.

a) Onde:E= 50 000

R = 31 600

n= 4 trimestrais

i= 0,10

PV = 50 000+(31 600* 3,169865)

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 4┐10 = (1,1)4 -1/ 0,1*(1,1) 4

PV = E + R * a n┐i

PV = $ 150 167,75




$ 50 000 à uma taxa de 10% a.t. durante 4 trimestres e prestações trimestrais de $

31 600,00.a 4┐10 =3,169865


Exercício 8: A Imobiliária Marrocos Ltda., vende um pequeno apartamento usado, em São Paulo, por $ 150 000,00 a vista. Como alternativas a seus clientes, oferece dois planos de financiamento:

PLANO A: entrada de $ 50 000,00 mais 4 prestações trimestrais de $ 31 600; PLANO B: entrada de $ 30 000,00 mais 8 prestações trimestrais de $ 23 000. O Sr. Carlos Eduardo, capitalista que aplica seu dinheiro a 10% a.t., deseja

saber qual é a sua melhor opção de compra.

b) Onde:E= 30 000

R = 23 000

n= 8 trimestrais

i= 0,10

PV = 30 000+(23 000*5,334926 )

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 8┐10 = (1,1)8 -1/ 0,1*(1,1) 8

PV = E + R * a n┐i

PV = $ 152 703,30



$ 152 703,30 na opção com entrada de

$ 30 000 à uma taxa de 10% a.t. durante 8 trimestres e prestações trimestrais de $

23 000,00.a 8┐10 = 5,334926

Resposta final: Portanto, a melhor opção é pagar 4 trimestrais de $ 31 600 e com entrada de $ 50 000,00.


Exercício 9:Qual é a anuidade periódica equivalente a um valor anual de $ 10 000,00, se forem observadas as taxas e prazos abaixo:

Taxas de juros prazoa) 2,5% a.m. 24 mesesb) 4 % a.m. 12 mesesc) 30% a.a. 5 anos

a) Onde:PV = 10 000

n= 24 meses

i= 0,025

R = 10 000/ 17,884986

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 24┐2,5 = (1,025)24 -1/ 0,025*(1,025)24

R = PV / a n┐i

R = $ 559,13

Resposta: o valor do termo ou anuidade periódica é de $ 559,13, a uma taxa de 2,5% a.m., por 24 meses.a 24┐2,5 = 17,884986




b) Onde:PV = 10 000

n= 12 meses

i= 0,04

R = 10 000/ 9,385074

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 12┐4 = (1,04)12 -1/ 0,04*(1,04)12

R = PV / a n┐i

R = $ 1 065,52

Resposta: o valor do termo ou anuidade periódica é de $ 1 065,52, a uma taxa de 4% a.m. por 12 meses.a 12┐4 = 9,385074




c) Onde: PV = 10 000

n= 5 anos

i= 0,3

R = 10 000/ 2,435570

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 5┐30 = (1,3)5 -1/ 0,3*(1,3)5

R = PV / a n┐i

R = $ 4 105,82

Resposta: o valor do termo ou anuidade periódica é de $ 4 105,82, a uma taxa de 30% a.a. por 5 anos.a 5┐30 = 2,435570


Exercício 10:As lojas Sorocabrás vende a geladeira de marca Sorocó por $ 2 000,00 a vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3,5% a.m. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após 1 mês?

Onde: PV = 2 000

n= 18 meses

i= 0,035 R = 2 000/ 13,189682

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 18┐3,5 = (1,035)18 -1/ 0,035*(1,035)18

R = PV / a n┐i

R = $ 151,63

Resposta: o valor da prestação será de

$ 151,63 durante 18 meses a uma taxa de 3,5% a.m.a 18┐3,5 = 13,189682


Exercício 11:Graziele resolveu comprar um novo automóvel. Encontrou o que queria numa agência, com um preço a vista de $ 50 000,00. Qual o valor da prestação mensal, se o carro for financiado em 24 meses a uma taxa de juros contratada de 3% a.m? Lembrete: Graziele não deu entrada.

Onde: PV = 50 000

n= 24 meses

i= 0,03 R = 50 000/ 16,935542

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 24┐3 = (1,03)24 -1/ 0,03*(1,03)24

R = PV / a n┐i

R = $ 2 952,37

Resposta: o valor da prestação será de

$ 2 952,37, do novo carro de Graziele, durante 24 meses a uma taxa de 3% a.m.a 24┐3 = 16,935542


Exercício 12: A loja de confecções Roupa Certa Ltda., vende um terno por $3 000,00. No crediário é exigida uma entrada de 40% do valor da mercadoria e

são cobrados juros de 5% a.m. Qual será o valor das prestações, se um cliente optar por 6 prestações mensais?

PV - E = R * a n┐i

Onde: PV = 3 000

n= 6 meses

i= 0,05

E = 3 000*0,4= 1 200

R = (3 000 – 1 200) / 5,075692

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 6┐5 = (1,05)6 -1/ 0,05*(1,05)6

R =(PV –E) / a n┐i

R = $ 354,63

Resposta: deverão ser pagas 6 mensais iguais de $ 354,63 a uma taxa de 5% a.m. e com uma entrada de $ 1 200,00. a 6┐5 = 5,075692


Exercício 13: O preço a vista de um barco é de $ 500 000,00. João Arnaldo comprou o barco por uma entrada de 42% mais 12 prestações mensais iguais a uma taxa de juros de 3,5% a.m. Qual é o valor da prestação?

PV - E = R * a n┐i

Onde: PV = 500 000

n= 12 meses

i= 0,035

E = 500 000*0,42= 210 000

R = (500 000 – 210 000) / 9,663334

a n┐i = ( 1 + i)n -1/ i (1+i) n

a 12┐3,5 = (1,035)12 -1/ 0,035*(1,035)12

R =(PV –E) / a n┐i

R = $ 30 010,35

Resposta: o valor das percelas será de $ 30 010,35, por 12 meses a uma taxa de 3,5% a.m. e com uma entrada de $ 210 000. a 12┐3,5 = 9,663334

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6.RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de