RENDAs CERTAs annuities certain - ISEG Lisbonpascal.iseg.utl.pt/~onofre/mywebPessoal/ProvisVersion.pdf · Def. 5: An ordinary annuity or an annuity paid in arrear is an annuity whose

C

TC

RENDAS CERTAS E

RENDAS SOBRE A VIDA HUMANA

ANNUITIES CERTAIN AND

LIFE ANNUITIES Versão Provisória

Provisional Version

ONOFRE ALVES SIMÕES

DEZEMBRO

2016

DECEMBER

2016

ÍNDICE

CONTENTS

Introdução: Rendas e Rendas sobre a Vida Humana

Introduction: Annuities and Life Annuities

PARTE I – RENDAS CERTAS

PART I – ANNUITIES CERTAIN

1. Rendas temporárias de termos constantes, em tempo discreto e em tempo contínuo

Level annuities in discrete and continuous time

2. Rendas perpétuas de termos constantes, em tempo discreto e em tempo contínuo

Level perpetuities in discrete and continuous time

3. Rendas temporárias de termos a variar em progressão geométrica

Annuities with geometrically increasing/decreasing payments

4. Rendas perpétuas de termos a variar em progressão geométrica

Perpetuities with geometrically increasing/decreasing payments

5. Rendas temporárias de termos a variar em progressão aritmética

Annuities with arithmetically increasing/decreasing payments

6. Rendas perpétuas de termos a variar em progressão aritmética

Perpetuities with arithmetically increasing payments

7. Rendas temporárias com termos a variar de outros modos em tempo discreto e em tempo

contínuo

Other annuities with varying payments in discrete and continuous time

8. Rendas perpétuas com termos a variar de outros modos em tempo discreto e em tempo

contínuo

Other perpetuities with varying payments in discrete and continuous time

9. Outros regimes de capitalização que não o Regime de Juro Composto

Accumulation methods other than Compound Interest

PARTE II – RENDAS SOBRE A VIDA HUMANA

PART II – LIFE ANNUITIES

1. Rendas vitalícias sobre uma vida

Whole life annuities

2. Rendas temporárias sobre uma vida

Term life annuities

3. Rendas sobre duas vidas: grupos extinguíveis à primeira morte

Joint life annuities (two lives)

4. Rendas sobre duas vidas: grupos extinguíveis à última morte

Last survivor annuities (two lives)

5. Rendas de sobrevivência

Reversionary annuities

6. Algumas aproximações e outros resultados

A few approximations and other results

7. Rendas sobre mais de duas vidas

Joint life and last survivor annuities (three or more lives)

Referências

References

Introdução: Rendas e Rendas sobre a Vida Humana

Introduction: Annuities and Life Annuities

Os conceitos que a seguir se apresentam

encontram-se em livros introdutórios sobre

Matemática Financeira e Matemática

Atuarial, como por exemplo Mateus, A

(1999), Broverman SA (2010) ou

McCutcheon & Scott W (1986) e Garcia JA

& Simões OA (2010), Bowers et al. (1997) ou

Dickson DC, Hardy MR & Waters HR

(2011).

Como se poderá ver, a maior parte das

definições aplicam-se tanto às rendas certas

como às rendas sobre a vida humana, com as

necessárias adaptações.

The following concepts may be found in

introductory books on Financial Mathematics

and Actuarial Mathematics, such as Mateus,

A (1999), Broverman SA (2010) or

McCutcheon & Scott W (1986), and Garcia

JA & Simões OA (2010), Bowers et al. (1997)

or Dickson DC, Hardy MR & Waters HR

(2011).

Most of the definitions valid to annuities

certain are also valid to life annuities, after

being slightly adapted.

Definições e classificação das rendas Definition of an annuity and types of annuities

Def. 1: Renda financeira é uma sucessão de

pagamentos que ocorrem em momentos

equidistantes. Cada pagamento é um termo da

renda e o período (comum) entre dois

pagamentos consecutivos é o período da

renda.

Def. 1: An annuity is a regular series of n

payments (a series of n payments occurring

at equal time intervals). The constant interval

of time separating two consecutive payments

is the annuity period.

Def. 2: Uma renda sobre a vida humana (ou

sobre um grupo de vidas humanas) é uma

sucessão de pagamentos que ocorrem em

momentos equidistantes, desde que o

indivíduo (o grupo) que os faz/recebe esteja

vivo nas datas em que ocorrem. O indivíduo

(o grupo) é designado ‘a vida’. Se, no início

do contrato, ‘a vida’ tiver x anos de idade,

usa-se a notação (x) para indicar esse facto;

como é prática corrente, x é a chamada ‘idade

atuarial’, ou seja, é o inteiro mais próximo da

idade da pessoa segura, no início do contrato.

No caso de se ter um grupo (duas ou mais

vidas), a notação é adaptada.

.

Def. 2: Life annuity is a series of payments

to/from an individual (or a group of

individuals) as long as the individual (the

group) is alive on the payment dates. The

payments are made at regular intervals. The

individual (the group) is referred to as ‘the

life’. If at the outset of the annuity a life is

aged x, the notation (x) is used. For the sake

of simplicity, and according to practice, x is

the integer which is closest to the age of the

life at the outset of the contract. In the case of

a group (more than one life) the notation is

adjusted.

Def. 3: Uma renda diz-se certa quando a

probabilidade de cada um dos pagamentos se

realizar é 1. Ou seja, o pagamento não

depende de forma explícita da realização de

um acontecimento aleatório. Quando depende,

como no caso das rendas sobre a vida

humana, a renda diz-se incerta.

Def. 3: An annuity certain is an annuity in

which the probability of each payment being

made is 1, i.e. payments do not explicitly

depend on a random occurrence (a person

survival, for instance). When they do, as it is

the case for life annuities, the annuity is

uncertain.

Def.4: Uma renda diz-se de termos constantes

quando todos os pagamentos são de igual

valor, Quando não é assim, a renda diz-se de

termos variáveis.

Def. 4: A level annuity is an annuity in which

the payments are all of an equal amount.

When this does not happen the annuity is a

varying annuity.

Def. 5: Uma renda diz-se de termos normais

ou postecipados quando cada pagamento se

faz no fim do período a que diz respeito. Diz--

se antecipada (ou de termos antecipados)

quando cada pagamento se faz no início do

período a que diz respeito.

Def. 5: An ordinary annuity or an annuity

paid in arrear is an annuity whose payments

are made at the end of each time period. If

they are made at the beginning of each time

period, they are paid in advance and we have

an annuity-due.

Def. 6: Uma renda sobre a vida humana diz-se

de termos normais ou postecipados quando

cada pagamento se faz no fim do período a

que diz respeito. Diz-se antecipada (ou de

termos antecipados) quando cada pagamento

se faz no início do período a que diz respeito.

Def. 6: Immediate life annuity is a life annuity

paid in arrear, i.e., with payments at the end

of the time periods. Life annuity-due is a life

annuity with payments in advance.

Def. 7: Uma renda diz-se imediata quando

não há diferimento, ou seja o primeiro

pagamento é feito no primeiro período.

Quando não há pagamentos durante os

primeiros , 1,k k períodos da renda (o

período de diferimento), a renda diz-se

diferida k períodos.

Def. 7: An immediate annuity is an annuity

whose first payment is made during the first

period of time. A deferred annuity is an

annuity when no payments are made during

the first , 1,k k time periods (the deferral

period).

Def. 8: Uma renda diz-se inteira quando cada

pagamento é feito de uma única vez, no

período a que se refere. Diz-se fracionada

quando cada pagamento é feito de forma

repartida ao longo desse período.

Def. 8: An annuity is said to be payable mthly

if the annuity payments are made 1m times

along the annuity period.

Def. 9: Uma renda diz-se temporária quando o

número dos seus termos é finito. Diz-se

perpétua no caso contrário.

Def. 9: A perpetuity is an annuity that is

‘payable forever’ ( n , such as the

dividends of an equity).

Def. 10: Uma renda sobre a vida humana diz-

-se temporária quando o número máximo dos

seus termos é estabelecido à partida. Renda de

vida inteira é uma renda que é paga enquanto

a vida sobreviver.

Def. 10: Term or temporary life annuity is a

life annuity that is paid to the individual (the

annuitant) for a specified maximum period of

time. Whole life annuity is a life annuity that

is paid to the annuitant throughout his or her

life.

Valor Atual e Valor Acumulado de uma renda Present Value and Accumulated Value of an

annuity

Def. 11: Valor Acumulado de uma renda é a

soma dos valores capitalizados de todos os

seus termos, tomando como momento de

referência para a avaliação o fim do último

período da renda.

Def. 11: The Accumulated Value (or Future

Value) of an annuity is the sum of the

accumulated values of the n payments. The

valuation date, or reference time point, is the

end of the last period.

Def. 12: Valor Atual de uma renda é a soma

dos valores atualizados de todos os seus

termos, tomando como momento de

referência o início do primeiro período da

renda.

Def. 12: The Present Value of an annuity

is the sum of the present values of the n

payments. The valuation date, or reference

time point, is the beginning of the first period

(normally, time 0).

Def. 13: Renda sobre um grupo extinguível à

primeira morte é uma renda que é paga até à

primeira morte no grupo.

Def. 13: A joint life annuity is an annuity

payable until the first death among a group of

lives.

Def. 14: Renda sobre um grupo extinguível à

última morte é uma renda que é paga

enquanto houver algum sobrevivente no

grupo.

Def. 14: A last survivor annuity is an annuity

payable until the last death among a group of

lives.

Observação: o Valor Atual de uma renda

sobre uma vida humana, ou um grupo de

vidas humanas, é uma variável aleatória (v.a.),

pois é função da v.a. que representa o tempo

de vida futura da pessoa em causa, ou do

grupo em causa. O valor esperado desta v.a.

(que é um valor atual esperado, ou valor

atuarial) calcula--se aplicando a definição de

valor esperado de uma v.a. Portanto, para se

obter o Valor Atual Esperado de uma renda

sobre a vida humana, é necessário calcular o

produto dos três fatores seguintes, em todos

os momentos em que um pagamento está

previsto: (i) o montante devido; (ii) a

probabilidade de o pagamento se realizar; (iii)

o fator de atualização adequado. Em seguida,

adicionam-se todos os produtos assim

obtidos. Se o pagamento se fizer em tempo

contínuo, o somatório é substituído por um

integral.

Ainda que menos interessante do ponto de

vista da maior parte das aplicações, pode

calcular-se o Valor Acumulado de uma renda

sobre a vida humana, aplicando também a

definição de valor esperado de uma v.a.

Quando se trata de um grupo, pode acontecer

que seja constituído por mais de duas vidas.

No entanto, na grande maioria das vezes,

estas anuidades são compradas por casais.

Remark: the Present Value of a life annuity is

a random variable (r.v.), as it depends on the

future lifetime of the individual, or the future

lifetime of the group of lives, under

consideration, which is also a random

variable. The expected value of this r.v. (an

expected present value - EPV) is calculated

using the definition of the expectation of a

random variable. Consequently, to find the

Expected Present Value of life annuities it is

necessary to sum over all the payment dates

(or integrate, if payments are made in

continuous time) the product of: (i) the

amount of the payment: (ii) the probability of

payment; (iii) the appropriate discount factor.

Using the same process, it is possible to find

the Accumulated Value of a life annuity,

although this is a less common calculation.

When the annuity is on a group of lives,

occasionally, the group could consist of three

or more lives, but in practice group life

annuities are most commonly purchased by

couples.

PARTE I – RENDAS CERTAS

PART I – ANNUITIES CERTAIN

1. Rendas temporárias de termos constantes, em tempo discreto e em tempo contínuo

Level annuities in discrete and continuous time

1.1 Rendas temporárias inteiras imediatas

de termos normais: n termos anuais, de valor

1 cada, pagos nos momentos finais de cada

ano (em 1,2,...,t n ).

1.1 Annuities immediate with payments in

arrears: n annual payments, of amount 1

each, made at the end of each year (at

1,2,...,t n ).

o Valor Atual

Present Value

,

1 1

1

n

n iv

v

i ia

o Valor Acumulado

Accumulated Value

11

1 n

n

n i n i

ii

is a

Observações: (i) Em geral, se os n termos da

renda em questão, embora constantes, forem

de um qualquer valor 0T , basta multiplicar

os símbolos e as expressões obtidas para

termos unitários por T , para se obterem os

valores atuais e acumulados dessas rendas;

(ii) Se os termos forem de uma periodicidade

diferente da anual, que se assume por defeito,

nada se altera, basta substituir a taxa efetiva

anual i pela taxa efetiva correspondente à

periodicidade em causa.

Remarks: (i) In general, if the n payments,

although constant, are of amount 0T , to

calculate the present and accumulated values

of the annuity it will be enough to multiply the

present and accumulated values calculated

for payments of 1 by T; (ii) If the payments

are not made yearly, but at a different

periodicity, the only required change in the

formulas is to replace the annual effective

interest rate i with the effective interest rate

for the period in question.

1.2 Rendas temporárias inteiras imediatas

de termos antecipados: n termos anuais, de

valor 1 cada, pagos nos momentos iniciais de

cada ano (em 0,1,..., 1t n ).

1.2 Annuities immediate with payments

due: n annual payments, of amount 1 each,

made at the beginning of each year (at

0,1,..., 1t n ).

o Valor Atual

Present Value

1 11

n i n in iia a a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1

1 1

n n

n i n i n ii is a a

1.3 Rendas temporárias inteiras diferidas k

anos, de termos normais: n termos anuais, de

valor 1 cada, pagos nos momentos finais de

cada ano, a começar no ano 1k (em

1, 2,...,t k k k n ).

1.3 Deferred annuities with payments in


each, made at the end of each year, after a

deferment period of k years is over (at

1, 2,...,t k k k n ).

o Valor Atual

Present Value

k

n i n ikva a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1 1

n k n

n i n i n i n ik ki is a a s


anos, de termos antecipados: n termos anuais,

de valor 1 cada, pagos nos momentos iniciais

de cada ano, a começar no ano 1k (em

, 1,..., 1t k k k n ).

1.4 Deferred annuities with payments

due: n annual payments, of amount 1 each,

made at the beginning of each year, after a


, 1,..., 1t k k k n ).

o Valor Atual

Present Value 1

k k

n i n i n ikv va a a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1

1 1

n k n

n i n i n i n ik ki is a a s

1.5 Rendas temporárias imediatas de

termos normais e fracionadas: n termos

anuais, de valor 1 cada, pagos por meio de m

frações de valor 1

m cada, nos momentos

finais de cada uma das m partes iguais em que

o ano foi dividido, isto é, nos momentos

1 2 1, , ..., ,t n n

m m m .

1.5 Annuities immediate with payments made

m-thly in arrears: n annual payments, of

amount 1 each, are made m-thly in arrears

along the year, i.e., m n payments of

amount 1

m each are made, at

1 2 1, , ..., ,t n n

m m m .

o Valor Atual

Present Value

1

, 1 1

m mm

n i n imi m i

ia a

i

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1 1 =n nm m

n i n i n i n im mi i

i is a a s

i i

Observação: é sempre possível converter

uma renda fracionada numa renda inteira

com igual diagrama cronológico. Para

isso, bastará proceder à mudança do

período da renda e atender às alterações

que daí decorrem, em termos da taxa de

juro a usar, do valor de cada termo e do

número de termos. Por exemplo,

Remark: an annuity with m-thly made

payments can be converted into an annuity

with only one payment in the period of the

interest rate. To achieve this it is enough to

consider that the period of the annuity is

1/ m th of the year and to change everything

else accordingly. For instance,

1 1 m

i

m

m

n imnm

a a .

1.6 Rendas temporárias imediatas de

termos antecipados e fracionadas: n

termos anuais, de valor 1 cada, pagos por

meio de m frações de valor 1

m cada, nos

momentos iniciais de cada uma das m

partes iguais em que o ano foi dividido,

isto é, nos momentos

1 2 10, , , ..., ,t n n

m m m .

1.6 Annuities immediate with payments due

made m-thly: n annual payments due, of

amount 1 each, are made m-thly along the

year, i.e., m n payments of amount 1

m each

are made, at 1 2

0, , , ..., ,t nm m

1

nm

.

o Valor Atual

Present Value

1 11 1

m m

n i n i n i

m m

mi i

ia a a

i

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1 111 =1 1

nm m

n i n i n i n i

m mm

m mii i

i is s a s

i i

1.7 Rendas temporárias de termos normais

diferidas k anos e fracionadas: n termos




finais de cada uma das m partes iguais em que

o ano foi dividido, a começar no ano 1k

(em 1

,t km

2 1

,...,k k nm m

k n ).

1.7 Deferred annuities with payments made

m-thly in arrears: n annual payments in

arrears of amount 1 each, are made m-thly in

arrears along the year, i.e., m n payments

of amount 1

m each are made, after a


1 2 1, , ..., ,t k k k n

m m m

k n ).

o Valor Atual

Present Value

m

n i n ik

mkv

ia a

i

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1 1 1 =

m m m

n i n i n i n i n i

mn k n n

mk ki i i

is a a a s

i

1.8 Rendas temporárias de termos antecipados

diferidas k anos e fracionadas: n termos




iniciais de cada uma das m partes iguais em

que o ano foi dividido, a começar no ano

1k (1

, , ...,t k km

2 1

,k n k nm m

).

1.8 Deferred annuities with payments due

made m-thly in arrears: n annual payments

due of amount 1 each, are made m-thly along

the year, i.e., m n payments due of amount

1

m each are made, after a deferment period of

k years is over (at

1 2, , ..., ,t k k k n k

m m

1

nm

).

o Valor Atual

Present Value

1

11

m m mn i n i n i

m

mk k

ki vi

a a ai

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1 11 1 1

m m m m

n i n i n i n i n i

n k n m n m

mk ki i i

is a a a s

i

1.9 Rendas temporárias pagas continuamente

durante n anos, a uma taxa de pagamento

constante e igual a 1 por ano, durante todo o

intervalo de tempo 0,n .

1.9 Annuities continuously payable for n

years: the rate of payment is 1 per year

during the period of time 0,n .

o Valor Atual

Present Value

0

= lim lim , =ln 1

n

t

m m

m m

n i n in i n i

iv dt ia a a a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

0

1 1 1 =

nn n t n

n i n i n i n i

i ii i dt is a a s

1.10 Rendas temporárias diferidas k anos

pagas continuamente durante n anos, a uma

taxa de pagamento constante e igual a 1 por

ano, durante todo o intervalo de tempo

,k k n .

1.10 Deferred annuities continuously payable

for n years: the rate of payment is 1 per year

after a deferment period of k years is over

(during the period of time ,k k n ).

o Valor Atual

Present Value

k k

n i n i n ik

iv va a a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1 1 1

n k n n

n i n i n i n i n ik

ii i is a a a s

.

2. Rendas perpétuas de termos constantes, em tempo discreto e em tempo contínuo

Level perpetuities in discrete and continuous time

Se as rendas são perpetuidades, os respetivos

valores atuais e acumulados obtêm-se

tomando o limite das expressões acima, com

n . Daí resulta que todos os valores

acumulados . Os valores atuais vêm

indicados a seguir. As observações da

Subsecção 1.1 continuam válidas.

If the annuities are perpetuities, their present

and accumulated values can be obtained from

the previous equations, taking the limits of the

expressions, when n . It follows then that

all the accumulated values . The present

values are given below. Remarks in

Subsection 1.1 are still valid.

2.1 Rendas perpétuas inteiras imediatas de

termos normais: n termos anuais, de


cada ano (em 1,2,...t ).

2.1 Perpetuities immediate with payments in

arrears: n annual payments, of amount

1 each, made at the end of each year (at

1,2,...t ).

o Valor Atual

Present Value

1i i

a


termos antecipados: n termos anuais, de

valor 1 cada, pagos nos momentos iniciais de

cada ano (em 0,1,...t ).

2.2 Perpetuities immediate with payments

due: n annual payments, of amount 1

each, made at the beginning of each year (at

0,1,...t ).

o Valor Atual

Present Value

1i

i

ia

2.3 Rendas perpétuas inteiras diferidas k anos,

de termos normais: n termos anuais, de


cada ano, a começar no ano 1k (em

1, 2,...t k k ).

2.3 Deferred perpetuities with payments in


1 each, made at the end of each year, after a


1, 2,...t k k ).

o Valor Atual

Present Value

k

ik i

va


de termos antecipados: n termos anuais,

de valor 1 cada, pagos nos momentos iniciais

de cada ano, a começar no ano 1k (

, 1,...t k k ).

2.4 Deferred perpetuities with payments due:

n annual payments, of amount 1 each,

made at the beginning of each year, after a


, 1,...t k k ).

o Valor Atual

Present Value 1

k

ik i

va

2.5 Rendas perpétuas fracionadas imediatas

de termos normais: n termos anuais, de

valor 1 cada, pagos por meio de m frações de

valor 1

m cada, nos momentos finais de cada

uma das m partes iguais em que o ano foi

dividido, isto é, nos momentos

1 2 1, , ..., ,t n n

m m m .

2.5 Perpetuities immediate with payments

made m-thly in arrears: n annual

payments, of amount 1 each, are made m-thly

in arrears along the year, i.e., m n

payments of amount 1

m each are made at

1 2 1, , ..., ,t n n

m m m .

o Valor Atual

Present Value

1m

i ma

i

2.6 Rendas perpétuas fracionadas imediatas

de termos antecipados: n termos anuais,

de valor 1 cada, pagos por meio de m frações

de valor 1

mcada, nos momentos iniciais de

cada uma das m partes iguais em que o ano

foi dividido, isto é, nos momentos

1 2 10, , , ..., ,t n n

m m m .

2.6 Perpetuities immediate with payments due

made m-thly: n annual payments due, of

amount 1 each, are made m-thly along the

year, i.e., m n payments of amount 1

m each

are made at 1 2 1

0, , , ..., ,t n nm m m

.

o Valor Atual

Present Value

11

m

i

m

m

ia

i

2.7 Rendas perpétuas fracionadas de termos

normais diferidas k anos: n termos

anuais, de valor 1 cada, pagos em m frações

de valor 1

mcada, nos momentos finais de cada

uma das m partes iguais em que o ano foi

dividido, a começar no ano 1k (em

1 2 1, , ..., ,t k k k n

m m m

k n ).

2.7 Deferred annuities with payments made

m-thly in arrears: n annual payments in

arrears of amount 1 each, are made m-thly in

arrears along the year, i.e., m n payments

of amount 1

m each are made, after a


1 2, , ...,t k k k

m m

1,n k n

m

).

o Valor Atual

Present Value

m

i

k

mk

va

i

2.8 Rendas perpétuas fracionadas de termos

antecipados diferidas k anos: n termos anuais,

de valor 1 cada, pagos em m frações de valor

1

mcada, nos momentos iniciais de cada uma

das m partes iguais em que o ano foi dividido,

a começar no ano 1k (em

1 2, , ..., ,t k k k n k

m m

1

nm

).

2.8 Deferred annuities with payments due

made m-thly in arrears: n annual payments

due of amount 1 each, are made m-thly along

the year, i.e., m n payments due of amount

1

m each are made, after a deferment period of

k years is over (at 1 2

, , ..., ,t k k k nm m

1k n

m

).

o Valor Atual

Present Value

11

1m m

i i

k mm

mk ki

va a

i

2.9 Rendas pagas continuamente durante n

anos, a uma taxa de pagamento constante e

igual a 1 por ano, durante todo o intervalo de

tempo 0,n .

2.9 Annuities continuously payable for n

years: the rate of payment is 1 per year

during the period of time 0,n .

o Valor Atual

Present Value

0

1lim = lim lim lim lim

n

t

n n m n m

m m

n i n iiv dta a a

2.10 Rendas diferidas k anos pagas

continuamente durante n anos, a uma taxa de

pagamento constante e igual a 1 por ano,

durante todo o intervalo de tempo ,k k n .

2.10 Deferred annuities continuously payable

for n years: the rate of payment is 1 per year

after a deferment period of k years is over

(during the period of time ,k k n ).

o Valor Atual

Present Value

k

ik

va

3. Rendas temporárias de termos a variar em progressão geométrica

Annuities with geometrically increasing/decreasing payments

3.1 Rendas temporárias inteiras imediatas de

termos normais a variar em progressão

geométrica: n termos anuais, sendo o primeiro

de valor 1 e variando os seguintes em

progressão geométrica de razão 1 r (ou seja,

1 é pago em 1t , 1 r é pago em 2t ,

2

1 r é pago em 3t ,…, 1

1n

r

é pago

em t n ).

3.1 Annuities immediate with geometrically

increasing payments in arrears: n annual

payments, the first of amount 1 and the

following forming a geometric progression

with common ratio 1 r (that is, 1 is payable

at 1t , 1 r is payable at 2t , 2

1 r is

payable at 3t ,…, 1

1n

r

is payable at

t n ).

o Valor Atual

Present Value

2 1 *

1, * ,

1 1 1 1

,

nn n i

i ri i r

r r r r

nv i r

av v v

o Valor Acumulado

Accumulated Value

*

1

1, * ,

1 1

1 ,

n

n i

n

i i ri i r

r r

n i i r

a

(As observações da Subsecção 1.1

continuam válidas.)

(Remarks in Subsection 1.1 are still valid.).


termos antecipados a variar em progressão





2


1n

r

é pago

em 1t n ).

3.2 Annuities immediate with geometrically

increasing payments due: n annual payments,

the first of amount 1 and the following

forming a geometric progression with

common ratio 1 r (that is, 1 is payable at

0t , 1 r is payable at 1t , 2

1 r is


1n

r

is payable at

1t n ).

o Valor Atual

Present Value

*

1, * ,

1 1

,

n i

i i ri i r

r r

n i r

a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1

*

1, * ,

1 1

1 ,

n

n i

n

i i ri i r

r r

n i i r

a


anos, de termos normais a variar em

progressão geométrica: n termos anuais,

sendo o primeiro de valor 1 e variando os

seguintes em progressão geométrica de razão

1 r (ou seja, 1 é pago em 1t k , 1 r é

pago em 2t k , 2

1 r é pago em

3t k ,…, 1

1n

r

é pago em t k n ).

3.3 Deferred annuities with geometrically





at 1t k , 1 r is payable at 2t k ,

2

1 r is payable at 3t k ,…, 1

1n

r

is

payable at t k n .

o Valor Atual

Present Value

1

*, * ,

1 1

,

k

k

n i

v i ri i r

r r

nv i r

a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

*

1

1, * ,

1 1

1 ,

n

n i

n

i i ri i r

r r

n i i r

a


anos, de termos antecipados a variar em

progressão geométrica: n termos anuais,



1 r (ou seja, 1 é pago em t k , 1 r é pago

em 1t k , 2

1 r é pago em 2t k ,…,

1

1n

r

é pago em 1t k n ).

3.4 Deferred annuities with geometrically





at t k , 1 r is payable at 1t k , 2

1 r

is payable at 2t k ,…, 1

1n

r

is payable

at 1t k n ).

o Valor Atual

Present Value 1

1

*, * ,

1 1

,

k

k

n i

i ri i r

r r

n i r

va

v

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1

*

1

1, * ,

1 1

1 ,

n

n i

n

i i ri i r

r r

n i i r

a

Observações: (i) Deve notar-se que as

expressões acima continuam válidas mesmo

quando * 0.i r i Neste caso, e ao

contrário do que é habitual, os valores atuais

das rendas são superiores a n , e tanto mais

superiores quanto mais exceder r i ; (ii) as

rendas fracionadas têm tratamento semelhante

ao que se viu atrás, mas é mais simples

convertê-las em rendas inteiras, caindo-se nos

casos precedentes, pelo que não voltarão a ser

tratadas em separado.

Remarks: (i) The expressions above are still

valid when * 0i r i , in which case

present values are greater than n , the excess

increasing with the difference i-r; (ii) if

payments are made m-thly the same

reasoning seen before now applies, but for the

sake of simplicity it is preferable to convert

the annuities into equivalent annuities where

only one payment is made in each period of

the interest rate.

.

4. Rendas perpétuas de termos a variar em progressão geométrica

Perpetuities with geometrically increasing:/decreasing payments


valores atuais obtêm-se tomando o limite das

expressões apresentadas na Secção 3, com

n . As observações da Subsecção 1.1

continuam válidas.


values can be obtained from the previous

equations in Section 4, taking the limits of the

expressions, when n . Remarks in




geométrica: n termos anuais, sendo o

primeiro de valor 1 e variando os seguintes

em progressão geométrica de razão 1 r (ou

seja, 1 é pago em 1t , 1 r é pago em 2t ,

2

1 r é pago em 3t ,…).

4.1 Perpetuities immediate with geometri-

cally increasing payments in arrears: n

annual payments, the first of amount 1 and

the following forming a geometric

progression with common ratio 1 r (that is,

1 is payable at 1t , 1 r is payable at 2t ,

2

1 r is payable at 3t ,… ).

o Valor Atual

Present Value

1 1, , : 1 1

1

série não convergente/ , outros / ,

ri r

i r i

non convergent series other i r







2

1 r é pago em 2t ,…).

4.2 Perpetuities immediate with geometri-

cally increasing payments due: n annual





1 r is

payable at 2t ,…).

o Valor Atual

Present Value

1 1, , : 1 1

1

série não convergente/ , outros/ ,

i ri r

i r i



de termos normais a variar em progressão




1 é pago em 1t k , 1 r é pago em

2t k , 2

1 r é pago em 3t k ,…).

4.3 Deferred perpetuities with geometrically





at 1t k , 1 r is payable at 2t k ,

2

1 r is payable at 3t k ,…).

o Valor Atual

Present Value

1, , : 1 1

1


kv ri r

i r i



de termos antecipados a variar em progressão




1 é pago em t k , 1 r é pago em 1t k ,

2

1 r é pago em 2t k ,…).

4.4 Deferred perpetuities with geometrically



forming a geometric progression with

common ratio 1 r (that is, 1 is payable at

t k , 1 r is payable at 1t k , 2

1 r is

payable at 2t k ,…).

o Valor Atual

Present Value

1 1, , : 1 1

1


kv ri r

i r i


5. Rendas temporárias de termos a variar em progressão aritmética

Annuities with arithmetically increasing/decreasing payments



aritmética

5.1 Annuities immediate with arithmetically

increasing/decreasing payments in arrears

5.1.1 n termos anuais, sendo o primeiro

de valor 1 e variando os seguintes

em progressão aritmética de razão 1

(ou seja, o montante 1 é pago em

1t , o montante 2 é pago em 2t

, o montante 3 é pago em 3t ,…,

o montante n é pago em t n ).

5.1.1 n annual payments, the first of

amount 1 and the following forming

an arithmetic progression with

common difference 1 (that is, a

payment of 1 is made at 1t , a

payment of 2 is made at 2t , a

payment of 3 is made at 3t ,…, a

payment of n is made at t n ).

o Valor Atual

Present Value

2 3

2 3 n in i

nn n

Ia v ni

a vv v v

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1 n i

n i n i

n ni

iIs Ia

s

(As observações da Subsecção 1.1 continuam

válidas.)

(Remarks in Subsection 1.1 are still valid.)


de valor C e variando os seguintes

em progressão aritmética de razão h

(ou seja, o montante C é pago em

1t , o montante C h é pago em

2t , o montante 2C h é pago

em 3t ,…, o montante

1C n h é pago em t n ).

5.1.2 n annual payments, the first of amount C

and the following forming an arithmetic

progression with common difference h

(that is, a payment of C is made at 1t ,

a payment of C h is made at 2t , a

payment of 2C h is made at 3t ,…,

a payment of 1C n h is made at

)t n .

o Valor Atual

Present Value

2

1

n i n inC h C n h C h h IaCv v v a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

n i n iC h h Iss


de valor n e variando os seguintes

em progressão aritmética de razão

1 (ou seja, o montante n é pago

em 1t , o montante 1n é pago

em 2t , o montante 2n é pago

em 3t ,…, o montante 1 é pago

em t n ).

5.1.3 n annual payments, the first of amount 1

and the following forming an arithmetic

progression with common difference 1

(that is, a payment of n is made at 1t ,

a payment of 1n is made at 2t , a

payment of 2n is made at 3t ,…, a

payment of 1 is made at t n ).

o Valor Atual

Present Value

2 3

1 2 1 n in in i n i

n nDa nv n n n Ia

i

av v v a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

11 n i

n i n i

nn n i s

ii

Ds Da



aritmética (caso geral)

5.2 Annuities immediate with arithmetically

increasing/decreasing payments due (general

case)

n termos anuais, sendo o primeiro de valor C

e variando os seguintes em progressão

aritmética de razão h (ou seja, o montante C é

pago em 0t , o montante C h é pago em

1t , o montante 2C h é pago em 2t ,…,

o montante 1C n h é pago em 1t n ).

n annual payments, the first of amount C and

the following forming an arithmetic

progression with common difference h (that

is, a payment of C is made at 0t , a payment

of C h is made at 1t , a payment of

2C h is made at 2t ,…, a payment of

1C n h is made at 1t n ).

o Valor Atual

Present Value

1

n i n iC h i h Iaa

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1

n i n iC h i h Iss


anos, de termos normais a variar em

progressão aritmética: n termos anuais, sendo

o primeiro de valor C e variando os seguintes

em progressão aritmética de razão h (ou seja,

o montante C é pago em 1t k , o montante

C h é pago em 2t k , o montante

2C h é pago em 3t k ,…, o montante

1C n h é pago em t k n ).

5.3 Deferred annuities with arithmetically



following forming an arithmetic progression

with common difference h (that is, C is

payable at 1t k , C h is payable at

2t k , 2C h is payable at 3t k ,…,

1C n h is payable at t k n ).

o Valor Atual

Present Value

n i n ikv C h h Iaa

o Valor Acumulado

Accumulated Value

n i n iC h h Iss


anos, de termos antecipados a variar em

progressão aritmética: n termos anuais, sendo

o primeiro de valor C e variando os seguintes

em progressão aritmética de razão h (ou seja,

o montante C é pago em t k , o montante

C h é pago em 1t k , o montante 2C h

é pago em 2t k ,…, o montante

1C n h é pago em 1t k n ).

5.4 Deferred annuities with arithmetically



forming an arithmetic progression with

common difference h (that is, C is payable at

t k , C h is payable at 1t k , 2C h is

payable at 2t k ,…, 1C n h is

payable at 1t k n ).

o Valor Atual

Present Value

1k

n i n iC h i h Iav a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1

n i n iC h i h Iss

6. Rendas perpétuas de termos a variar em progressão aritmética

Perpetuities with arithmetically increasing/decreasing payments




n . As observações da Subsecção 1.1

continuam válidas.

.








aritmética: n termos anuais, sendo o

primeiro de valor C e variando os seguintes

em progressão aritmética de razão h Ci

(ou seja, o montante C é pago em 1t , o

montante C h é pago em 2t , o montante

2C h é pago em 3t ,…).

6.1 Perpetuities immediate with arithmetic-


annual payments, the first of amount C and


progression with common difference h Ci

(that is, C is payable at 1t , C h is

payable at 2t , 2C h is payable at 3t

,… ).

o Valor Atual

Present Value

2

Ci h

i

( 1C h 2 3

2

12 3 lim limn n

n ii n i

nn n i

Ia v n Iai i

a vv v v

)






(ou seja, o montante C é pago em 0t , o

montante C h é pago em 1t , o montante

2C h é pago em 2t ,…).

6.2 Perpetuities immediate with arithmetic-


annual payments, the first of amount C and


progression with common difference h Ci

(that is, C is payable at 0t , C h is

payable at 1t , 2C h is payable at 2t ,…

).

o Valor Atual

Present Value

2

1Ci h i

i

( 2

11

i

iC h Ia

i

)


de termos normais a variar em progressão




(ou seja, o montante C é pago em 1t k , o

montante C h é pago em 2t k , o

montante 2C h é pago em 3t k ,…).

6.3 Perpetuities immediate with arithmetically


payments, the first of amount C and the


with common difference h Ci (that is, C is

payable at 1t k , C h is payable at 2t

, 2C h is payable at 3t k ,… ).

o Valor Atual

Present Value

2

kv Ci h

i

( 1C h 1

2|

k

k i

vIa

i

)


de termos antecipados a variar em progressão




(ou seja, o montante C é pago em t k , o

montante C h é pago em 1t k , o

montante 2C h é pago em 2t k ,…).

6.4 Deferred perpetuities with arithmetically


the first of amount C and the following

forming an arithmetic progression with

common difference h Ci (that is, C is

payable at t k , C h is payable at 1t k

, 2C h is payable at 2t k ,… ).

o Valor Atual

Present Value

1

2

kv Ci h

i

( 1C h 2

2|

k

k i

vIa

i

)

7. Rendas com termos a variar de outros modos em tempo discreto e em tempo contínuo

Other annuities with varying payments in discrete and continuous time

7.1 Caso geral em tempo discreto: o montante

1L é pago em 1t , o montante 2L é pago em

2t , …, o montante nL é pago em t n .

7.1 General case in discrete time: 1L is

payable at 1t , 2L is payable at 2t , nL is

payable at t n .

o Valor Atual

Present Value

1

nt

tt

v L

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1

1n

n tt

t

i L

7.2 Caso geral em tempo contínuo: no

intervalo de tempo 0,n , há um fluxo

contínuo de pagamento à taxa , 0,h t t n

.

7.2 General case in continuous time: a

continuous flow of payments is made along

the period of time 0,n . The rate of payment

is , 0,h t t n .

o Valor Atual

Present Value

0

ntv h t dt

o Valor Acumulado

Accumulated Value

0

1n

n ti h t dt

7.3 Casos particulares em tempo contínuo 7.3 Particular cases in continuous time

Estes casos particulares são de algum modo

correspondentes aos vistos na Secção 5.

The following particular cases relate to the

cases studied in Section 5.

7.3.1 h t t

o Valor Atual

Present Value

0

nt n i

n i

nnIa v tdt

va

o Valor Acumulado

Accumulated Value

n i

n i

nIs

s

7.3.2 h t n t

o Valor Atual

Present Value

0

nt n i

n ivDa n t dt

n a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1 n i

n i

nn i

Dss

.

7.3.3 1, 0,1 , 2, 1,2 ,..., , 1,h t t h t t h t t t h t n t n n

o Valor Atual

Present Value

0

nt n i

n i

nnvv tIa dt

a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

n i

n i

s nIs

7.3.4 , 0,1 , 1, 1,2 ,..., , 1,h t n t h t n t h t n t h t n t n n

o Valor Atual

Present Value

0

nt n i

n iv n tDa dt

n a

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1n

n i

n i

iDs

n s

8. Rendas perpétuas com termos a variar de outros modos em tempo discreto e em tempo contínuo

Other perpetuities with varying payments in discrete and continuous time




n . Daí resulta que todos os valores

acumulados . Os valores atuais vêm

indicados a seguir. Os comentários da

Subsecção 1.1 continuam válidos.






.

8.1 Caso geral em tempo discreto: o montante

1L é pago em 1t , o montante 2L é pago em

2t , …

8.1 General case in discrete time: amount 1L

is payable at 1t , amount 2L is payable at

2t ,…

o Valor Atual

Present Value

1

limn

nt

tt

v L

8.2 Caso geral em tempo contínuo: no

intervalo de tempo 0, , há um fluxo

contínuo de pagamento à taxa

, 0,h t t .

8.2 General case in continuous time: a


the period of time 0, . The rate of

payment is , 0,h t t .

o Valor Atual

Present Value

0

limn

ntv h t dt

8.3 Casos particulares em tempo contínuo. 8.3 Particular cases in continuous time.

8.3.1 h t t

o Valor Atual

Present Value

2

0

lim1

n

nt

iIa v tdt

8.3.2 1, 0,1 , 2, 1,2 ,..., 1, 1,h t t h t t h t t t h t t n n

o Valor Atual

Present Value

0

lim

1n

nt

iv t

iIa dt

i

9. Outros regimes de capitalização que não o Regime de Juro Composto

Accumulation regimes other than Compound Interest

Todas as deduções anteriores foram feitas no

pressuposto do RJC (ou seja, à força de juro

ln 1t i , constante ao longo do tempo).

No entanto, não há nada que impeça a

utilização de outros regimes de capitalização,

ou seja, de forças de juro variáveis em função

do tempo. Por exemplo, no Regime de Juro

Simples, , 0.1

t

it

ti

Quando assim é,

impõem-se as necessárias adaptações.

Seguem-se alguns exemplos.

All the preceding results were derived

assuming compound interest (a constant force

of interest ln 1t i during the whole

period of payments by the annuity/perpetuity),

which is the standard procedure. Yet, other

accumulation methods can be used and the

necessary adjustments must be considered.

For instance, in Simple Interest,

, 0.1

t

it

ti

A few examples follow.

Exemplo 1:

Rendas temporárias inteiras imediatas de

termos normais: n termos anuais, de valor 1

cada, pagos nos momentos finais de cada ano

(em 1,2,...,t n ).

Example 1:

Annuities immediate with payments in


each, made at the end of each year (at

1,2,...,t n ).

o Valor Atual

Present Value 1 2

0 0 0 0

1

...

n t

t t t tdt dt dt dtn

t

e e e e

o Valor Acumulado

Accumulated Value

0 0 11 2

1 1

... 1

n t n nn n

t t t tt t

n t

dt dt dt dtdt dtn n

t t

e e e e e e

Exemplo 2:

Rendas perpétuas inteiras imediatas de termos

normais: n termos anuais, de valor 1

cada, pagos nos momentos finais de cada ano

(em 1,2,...t ).

Example 2:

Perpetuities immediate with payments in


1 each, made at the end of each year (at

1,2,...t ).

o Valor Atual

Present Value

0

1

lim

t

tdtn

n

t

e

Exemplo 3:







2


1n

r

é pago

em t n ).

Example 3:

Annuities immediate with geometrically






1 r is


1n

r

is payable at

t n ).

o Valor Atual

Present Value

1 2

0 0 0 0

1

1 11 ... 1 1

n t

t t t tdt dt dt dtn

t

n te r e r e r e

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1

11

n

t

t

dtn

t

tr e

Exemplo 4:


normais a variar em progressão geométrica:

n termos anuais, sendo o primeiro de

valor 1 e variando os seguintes em progressão

geométrica de razão 1 r (ou seja, 1 é pago

em 1t , 1 r é pago em 2t , 2

1 r é

pago em 3t ,…).

Example 4:

Perpetuities immediate with geometrically






1 r is

payable at 3t ,… ).

o Valor Atual

Present Value

0

1

1lim 1

t

tdtn

n

t

tr e

Exemplo 5:



aritmética: n termos anuais, sendo o primeiro


progressão aritmética de razão 1 (ou seja, o

montante 1 é pago em 1t , o montante 2 é

pago em 2t , o montante 3 é pago em 3t

,…, o montante n é pago em t n ).

Example 5:

Annuities immediate with arithmetically




with common difference 1 (that is, a payment

of 1 is made at 1t , a payment of 2 is made

at 2t , a payment of 3 is made at 3t ,…, a

payment of n is made at t n ).

o Valor Atual

Present Value 1 2

0 0 0 0

1

2 ...

n t

t t t tdt dt dt dtn

t

e e ne te

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1

n

t

t

dtn

t

te

Exemplo 6:


normais a variar em progressão aritmética:

n termos anuais, sendo o primeiro de


aritmética de razão 1 (ou seja, o montante 1 é

pago em 1t , o montante 2 é pago em 2t ,

o montante 3 é pago em 3t ,…).

Example 6:

Perpetuities immediate with arithmetic- cally




with common difference 1 (that is, 1 is

payable at 1t , 2 is payable at 2t , 3 is

payable at 3t ,… ).

o Valor Atual

Present Value

0

1

lim

t

tdtn

n

t

te

Exemplo 7:

Caso geral de uma renda temporária em

tempo discreto: o montante 1L é pago em

1t , o montante 2L é pago em 2t , …, o

montante nL é pago em t n .

Example 7:

General case in discrete time: 1L is payable

at 1t , 2L is payable at 2t , nL is payable

at t n .

o Valor Atual

Present Value 1 2

0 0 0 0

1 2

1

...

n t

t t t tdt dt dt dtn

n t

t

L e L e L e L e

o Valor Acumulado

Accumulated Value

1

n

t

t

dtn

t

t

L e

Exemplo 8:

Caso geral de uma perpetuidade em tempo

discreto: o montante 1L é pago em 1t , o

montante 2L é pago em 2t , …

Example 8:

General case in discrete time: 1L is payable at

1t , 2L is payable at 2t ,…

o Valor Atual

Present Value

0

1

lim

t

tdtn

n t

t

L e

Exemplo 9:

Caso geral de uma renda temporária em

tempo contínuo: no intervalo de tempo 0,n ,

há um fluxo contínuo de pagamento à taxa

, 0,h t t n .

Example 9:

General case in continuous time: a


the period of time 0,n . The rate of payment

is , 0,h t t n .

o Valor Atual

Present Value

0

0n

t

sds

h t e dt

o Valor Acumulado

Accumulated Value

0

n

n

st

ds

h t e dt

.

Exemplo 10:

Caso geral de uma perpetuidade em tempo

contínuo: no intervalo de tempo 0, , há

um fluxo contínuo de pagamento à taxa

, 0,h t t .

Example 10:

General case in continuous time: a


the period of time 0, . The rate of payment

is , 0,h t t .

o Valor Atual

Present Value

0

0limn

n

t

sds

h t e dt

Observação: é imediato que tudo se passa de

modo análogo ao que acontece no Regime de

Juro Composto, onde tudo fica mais simples

pelo facto de a força de juro ser uma função

constante. Em todos os casos vistos, não se

faz mais do que a atualização (ou a

capitalização) de cada termo recorrendo à

força de juro.

Remark: it is quite obvious that the procedure

is always the same, in discrete and in

continuous time, with level and varying

payments, with a constant and non-constant

force of interest. The present value (the

accumulated value) of each of the payments in

the annuity must be computed using the force

of interest considered to be appropriate.

Naturally, when the force of interest is a

constant function, it is easier to come to

closed formulas.

PARTE II – RENDAS SOBRE A VIDA HUMANA

PART II – LIFE ANNUITIES

1. Rendas vitalícias sobre uma vida

Whole life annuities

1.1 Rendas de vida inteira imediatas de

termos antecipados sobre uma vida com a

idade x: um máximo de x termos anuais,

de valor 1 cada, pagos no início de cada ano

(em 0,1,..., 1 ,t x igual à idade

limite). O primeiro pagamento é certo, os

seguintes só serão feitos enquanto x

sobreviver. O valor atual representa-se por

1xKa

, onde x xK T é a v.a. que representa

o número de anos completos que x irá

sobreviver. xT é a v.a. que representa o tempo

que x irá sobreviver.

1.1 Whole life annuities-due - a whole life

annuity-due on a life aged x provides the

following payments: 1 at age 𝑥 0t which

is certain to be paid; a further payment of 1 at

the end of each year as long as x is still

alive (at 1,..., 1 ,t x representing the

limiting age). The maximum number of

payments is .x The present value is

denoted1xK

a

, where x xK T is the r.v.

representing the curtate future lifetime of x .

xT is the r.v. representing the future life time

of .x

o Valor Atuarial

Expected Present Value

1

10

Ex

xk

x k xKk

a a v p

k xp é a probabilidade do k+1-ésimo

pagamento ser feito (é a probabilidade de x

sobreviver até à idade x k ).

k xp is the probability of the k+1-th payment

being made (it is the probability of x

surviving to age x k ).


termos normais sobre uma vida com a idade

x: um máximo de x termos anuais, de

valor 1 cada, pagos no fim de cada ano (em

1,2,...,t x ), enquanto x sobreviver. O

valor atual é representado por xK

a .

1.2 Whole life immediate annuities - a whole

life immediate annuity on a life aged x

provides the following payments: a payment

of 1 at the end of each year as long as x is

alive (at 1,2,...,t x ). The maximum

number of payments is .x The present

value is denotedxK

a .

o Valor Atuarial


1

Ex

xk

x k xKk

a a v p

1.3 Rendas de vida inteira antecipadas e

fracionadas sobre uma vida com a idade x: um

máximo de x termos anuais, de valor 1

cada, pagos enquanto x sobreviver, por


m cada, nos

momentos iniciais de cada uma das m partes

iguais em que o ano foi dividido (em

1 1, , ...,0tm m

x ). O valor atual é

representado por

1

, .m

x

m m x

xK

m

mTa K

m

1.3 Whole life annuities payable m times a

year in advance - a whole life annuity payable

m times a year in advance on a life aged x

provides the following payments: annual

payments of amount 1 each are made m-thly

in advance along the year, i.e., m n


m each are made as

long as (𝑥) survives and for a maximum of

x years (at 1 1

, , ...,0tm m

x ). The

present value is denoted

1,

mx

m

Km

a

where

.

m x

x

mTK

m

o Valor Atuarial


11 1

0, ,...,

1E

mx

m m k

x k xK

m k xm m

a a v pm

1.4 Rendas de vida inteira de termos normais

e fracionadas sobre uma vida com a idade x:

um máximo de x termos anuais, de valor

1 cada, pagos por meio de m frações de valor

1

m cada, nos momentos finais de cada uma

das m partes iguais em que o ano foi dividido

(em 1 2

, ...,,m m

t x ), e desde que x esteja

viva. O valor atual é representado por

.

mx

m

Ka

1.4 Whole life annuities payable m times a

year in arrears - a whole life annuity payable

m times a year in arrears on a life aged x


payments in arrears of amount 1 each are

made m-thly in arrears along the year, i.e.,

m n payments of amount 1

m each are made

as long as (𝑥) survives and for a maximum of

x years (at 1 2

, ...,,m m

t x ). The


.m

x

m

Ka

o Valor Atuarial


1 2, ,...,

1E

mx

m m k

x k xK

k t xm m

a a v pm

1.5 Rendas contínuas de vida inteira imediatas

sobre uma vida com a idade x: os pagamentos

são feitos continuamente a uma taxa anual

unitária enquanto x sobreviver e durante no

máximo x anos. O valor atual é

representado por .xT

a

1.5 Whole life continuous annuities - a whole

life continuous annuity on a life aged x

provides the following payments: it is an

annuity payable continuously at a rate of 1

per year as long as (𝑥) survives and for a

maximum of x years.The present value is

denoted .xT

a

o Valor Atuarial


0

E t

x

x

x t xTa a e p dt



geométrica sobre uma vida com a idade x:

enquanto x sobreviver e durante no

máximo x anos serão pagos termos

anuais, sendo o primeiro de valor 1 e variando

os seguintes em progressão geométrica de

razão 1 r (ou seja, 1 é pago em 0t , 1 r

é pago em 1t , 2

1 r é pago em 2t ,…,

1

1x

r

é pago em 1t x ). Neste

caso, como noutros mais à frente, não existe

notação específica para representar a v.a.

‘Valor Atual’ ou o seu Valor Esperado.

1.6 Whole life annuities-due with

geometrically increasing payments - a whole

life annuity-due on a life aged x with

geometrically increasing payments (the first

of amount 1 and the following increasing at a

common ratio 1 r ) provides the following

payments, as long as x survives: 1 at 0t ,

1 r at 1t , 2

1 r at 2t ,…, 1

1x

r

at 1 .t x The maximum number of

payments is .x Here, and in some of the

cases that follow, there is not a specific

notation to denote the r.v. ‘Present Value’

and its Expectation.

o Valor Atuarial


1

0

1 , calculado à taxa de juro/ *1

xk k

k x x

k

i jEPV j v p a calculated at a rate i

j







os seguintes em progressão geométrica de

razão 1 r (ou seja, 1 é pago em 1t , 1 r é

pago em 2t , 2


1

1x

r

é pago em t x ).

1.7 Whole life immediate annuities with

geometrically increasing payments - a whole

life annuity on a life aged x with

geometrically increasing payments in arrear

(the first of amount 1 and the following

increasing at a common ratio 1 r ) provides

the following payments, as long as x survives:

1 at 1t , 1 r at 2t , 2

1 r at 3t ,…,

1

1x

r

at .t x The maximum

number of payments is .x

o Valor Atuarial


1


xk k

k x x

k


j



aritmética sobre uma vida com a idade x:




os seguintes em progressão aritmética de

razão 1 (ou seja, 1 é pago em 0t , 2 é pago

em 1t , 3 é pago em 2t ,…, x é pago

em 1t x ). Neste caso, não existe


‘Valor Atual’.

1.8 Whole life annuities-due with

arithmetically increasing payments - a whole


arithmetically increasing payments (the first



payments, as long as x survives: 1 at 0t , 2

at 1t , 3 at 2t ,…, x at 1 .t x

The maximum number of payments is .x

There is not a specific notation to denote the

r.v. ‘Present Value’.

o Valor Atuarial


1

0

1x

k

k x

kx

Ia k v p



aritmética sobre uma vida com a idade x:




os seguintes em progressão aritmética de

razão 1 (ou seja, 1 é pago em 1t , 2 é pago

em 2t , 3 é pago em 3t ,…, x é pago

em t x ). Neste caso, não existe notação

específica para representar a v.a. ‘Valor

Atual’.

1.9 Whole life annuities immediate with

arithmetically increasing payments - a whole





payments, as long as x survives: 1 at 1t , 2

at 2t , 3 at 3t ,…, 1

1x

r

at .t x

The maximum number of payments is .x

There is not a specific notation to denote the

r.v. ‘Present Value’.

o Valor Atuarial


1

xk

k x

kx

Ia kv p

1.10 Rendas de vida inteira com pagamentos

contínuos a crescer em progressão aritmética

– renda de vida inteira sobre uma vida com

idade x em que a taxa de pagamento no ano t

é constante e igual a t, 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝜔 − 𝑥. O

pagamento é feito desde que (𝑥) esteja viva.

Neste caso, também não existe notação


Atual’.

1.10 Whole life annuities with arithmetically

increasing continuous payments - a term life

annuity on a life aged x with arithmetically

increasing payments (so that the rate of

payment in the 𝑡th year is constant and equal

to 𝑡, for 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝜔 − 𝑥. Payments are

made as long as (𝑥) survives. There is also no

specific notation to denote the r.v. ‘Present

Value’.

o Valor Atuarial


(𝐼�̅�)𝑥 = ∑ 𝑣𝑡 𝑝𝑥𝑡 ∫ (𝑡 + 1)𝑒−𝛿𝑢 𝑝𝑥+𝑡𝑑𝑢𝑢

1

0

𝜔−𝑥−1

𝑡=0

1.11 Rendas de vida inteira com pagamentos

contínuos a crescer continuamente em

progressão aritmética – renda de vida inteira

sobre uma vida com idade x em que a taxa de

pagamento é igual a 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜔 − 𝑥. O

pagamento é feito desde que (𝑥) esteja viva.

Neste caso, também não existe notação


Atual’.

1.11 Whole life annuities with arithmetically

continuously increasing continuous payments

- a whole life annuity on a life aged x with

arithmetically continuously increasing

payments (so that the rate of payment is

changing continuously and is equal to

𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜔 − 𝑥. Payments are made as long

as (𝑥) survives. There is also no specific

notation to denote the r.v. ‘Present Value’.

o Valor Atuarial


(𝐼�̅̅�)𝑥 = ∫ 𝑡𝑒−𝛿𝑡 𝑝𝑥𝑡

𝜔−𝑥

0

𝑑𝑡

2. Rendas temporárias sobre uma vida

Term life annuities

2.1 Rendas imediatas temporárias de termos

antecipados sobre uma vida com a idade x:

um máximo de n termos anuais, de valor 1

cada, pagos no início de cada ano (em

0,1,..., 1t n ). O primeiro pagamento é

certo, os seguintes só serão feitos enquanto

x sobreviver. O valor atual representa-se

por

1

min 1,

0,1,..., 1

, 1,..., 1

x

x

xK

K n

xn

a K na

a K n n x

,

onde xK é a v.a. que representa o número de

anos completos que x irá sobreviver.

2.1 Term life annuities-due - a term life

annuity-due pays 1 at the start of each future

year for a maximum of n years, provided a

life now aged 𝑥 is then alive. Thus, payments

are made at times 0,1,..., 1t n , provided

that x has survived to age .x t The


1

min 1,

0,1,..., 1

, 1,..., 1

x

x

xK

K n

xn

a K na

a K n n x

,

where xK is the r.v. representing the curtate

future lifetime of x .

o Valor Atuarial


1

: min 1,0

Ex

nk

k xx n K nk

a a v p

2.2 Rendas imediatas temporárias de termos

normais sobre uma vida com a idade x: um

máximo de n termos anuais, de valor 1 cada,

pagos no fim de cada ano (em 1,2,...,t n ).

Os pagamentos, incluindo o primeiro, só

serão feitos enquanto x sobreviver. O valor

atual representa-se por

min ,

0,1,..., 1,

1, 2,...

x

x

xK

K n

xn

a K n na

a K n n

.

2.2 Term life immediate annuities - a term life

immediate annuity pays 1 at the end of each

future year for a maximum of n years,

provided a life now aged 𝑥 is then alive. Thus,

payments are made at times 1,2,...,t n ,

provided that x has survived to age .x t

The present value is denoted

min ,

0,1,..., 1,

1, 2,...

x

x

xK

K n

xn

a K n na

a K n n

.

o Valor Atuarial


: min ,1

Ex

nk

k xx n K nk

a a v p

2.3 Rendas temporárias antecipadas e

fracionadas sobre uma vida com a idade x:

um máximo de n termos anuais, de valor 1

cada, pagos por meio de m frações de valor

1

m cada, nos momentos iniciais de cada uma

das m partes iguais em que o ano foi dividido

(em 1 1

, , ...,0 x nm m

t ), e desde que (𝑥)

esteja viva. O valor atual é representado por

1min ,

.m

x

m

K nm

a

2.3 Term life annuities payable m times a year

in advance - a term life annuity payable m

times a year in advance on a life aged x



in advance along the year, i.e., m n


m each are made as

long as (𝑥) survives and for a maximum of n

years (at 1 1

, , ...,0 x nm m

t ). The present

value is denoted

1min ,

.m

x

m

K nm

a

o Valor Atuarial


: 1min , 1 1

0, ,...,

1E

mx

m m k

k xx nK n

m k nm m

a a v pm

2.4 Rendas temporárias de termos normais e

fracionadas sobre uma vida com a idade x: um


pagos por meio de m frações de valor 1

m

cada, nos momentos finais de cada uma das m

partes iguais em que o ano foi dividido (em

1 2,...,, x n

m mt ), e desde que (𝑥) esteja viva.

O valor atual é representado por

min ,.

mx

m

K na

2.4 Term life annuities payable m times a year

in arrears - a term life annuity payable m

times a year in arrears on a life aged x



in arrears along the year, i.e., m n


m each are made as

long as (𝑥) survives and for a maximum of n

years (at 1 2

,...,, x nm m

t The present value is

denoted

min ,.

mx

m

K na

o Valor Atuarial


: min ,

1 2, ,...,

1E

mx

m m k

k xx n K nk n

m m

a a v pm

2.5 Rendas contínuas temporárias imediatas

sobre uma vida com a idade x: os pagamentos


unitária enquanto x sobreviver e durante no

máximo n anos. O valor atual é representado

por min ,

.xT n

a

2.5 Term life continuous annuities - a term

life continuous annuity on a life aged x

provides the following payments: it is an

annuity payable continuously at a rate of 1

per year as long as (𝑥) survives and for a

maximum of n years.The present value is

denoted min ,

.xT n

a

o Valor Atuarial


: min ,

0

E t

x

n

t xx n T na a e p dt

2.6 Rendas temporárias imediatas de termos

antecipados a variar em progressão



máximo n anos serão pagos termos anuais,



1 r (ou seja, 1 é pago em 0t , 1 r é pago

em 1t , 2


1

1n

r

é pago em 1t n ). Neste caso,

não existe notação específica para representar

a v.a. ‘Valor Atual’ ou o seu Valor Esperado.

2.6 Term life annuities-due with geometrically

increasing payments - a term life annuity-due

on a life aged x with geometrically increasing

payments (the first of amount 1 and the

following increasing at a common ratio 1 r )

provides the following payments, as long as

(𝑥) survives: 1 at 0t , 1 r at 1t , 2

1 r

at 2t ,…, 1

1n

r

at 1.t n The

maximum number of payments is .n There is

not a specific notation to denote the r.v.

‘Present Value’ and its Expectation.

o Valor Atuarial


1

:0


nk k

k x x nk


j


normais a variar em progressão geométrica

sobre uma vida com a idade x: enquanto x

sobreviver e durante no máximo n anos serão

pagos termos anuais, sendo o primeiro de




1 r é

pago em 3t ,…, 1

1n

r

é pago em t n ).

2.7 Term life immediate annuities with

geometrically increasing payments - a term

life annuity on a life aged x with

geometrically increasing payments in arrear

(the first of amount 1 and the following

increasing at a common ratio 1 r ) provides

the following payments, as long as (𝑥)

survives: 1 at 1t , 1 r at 2t , 2

1 r at

3t ,…, 1

1n

r

at .t n The maximum

number of payments is n.

o Valor Atuarial


:

1


nk k

k x x nk


j


antecipados a variar em progressão aritmética





aritmética de razão 1 (ou seja, 1 é pago em

0t , 2 é pago em 1t , 3 é pago em 2t

,…, n é pago em 1t n ). Neste caso,

também não existe notação específica para

representar a v.a. ‘Valor Atual’.

2.8 Term life annuities-due with

arithmetically increasing payments - a term




common difference 1) provides the following

payments, as long as (𝑥) survives: 1 at 0t ,

2 at 1t , 3 at 2t ,…, n at 1.t n The


also no specific notation to denote the r.v.

‘Present Value’ .

o Valor Atuarial


1

0:

1n

k

k x

kx n

Ia k v p


normais a variar em progressão aritmética







,…, n é pago em 1t n ). Não existe


‘Valor Atual’.

2.9 Term life annuities immediate with

arithmetically increasing payments - a term




common difference 1) provides the following

payments, as long as (𝑥) survives: 1 at 1t ,

2 at 2t , 3 at 3t ,…, n at .t n The


no specific notation to denote the r.v. ‘Present

Value’ .

o Valor Atuarial


1

:1

nk

k x

kx n

Ia k v p

2.10 Rendas temporárias com pagamentos

contínuos a crescer em progressão aritmética

– renda temporária sobre uma vida com idade

x em que a taxa de pagamento no ano t é

constante e igual a t, 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝑛. O

pagamento é feito no máximo durante n

períodos e desde que (𝑥) esteja viva. Neste

caso, também não existe notação específica

para representar a v.a. ‘Valor Atual’.

2.10 Term life annuities with arithmetically

increasing continuous payments - a term life

annuity on a life aged x with arithmetically

increasing payments (so that the rate of

payment in the 𝑡th year is constant and equal

to 𝑡, for 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝑛. The maximum period

of payments is n and payments are made as

long as (𝑥) survives. There is also no specific


o Valor Atuarial


(𝐼�̅�)𝑥:𝑛|̅̅ ̅ = ∑ 𝑣𝑡 𝑝𝑥𝑡 ∫ (𝑡 + 1)𝑒−𝛿𝑢 𝑝𝑥+𝑡𝑑𝑢𝑢

1

0

𝑛−1

𝑡=0

2.11 Rendas temporárias com pagamentos

contínuos a crescer continuamente em

progressão aritmética – renda temporária

sobre uma vida com idade x em que a taxa de

pagamento é igual a 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑛. O

pagamento é feito no máximo durante n

períodos e desde que (𝑥) esteja viva. Neste

caso, também não existe notação específica

para representar a v.a. ‘Valor Atual’.

2.11 Term life annuities with arithmetically

continuously increasing continuous payments

- a term life annuity on a life aged x with


payments (so that the rate of payment is

changing continuously and is equal to

𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑛. The maximum period of

payments is n and payments are made as

long as (𝑥) survives. There is also no specific


o Valor Atuarial


(𝐼�̅̅�)𝑥:𝑛|̅̅ ̅ = ∫ 𝑡𝑒−𝛿𝑡 𝑝𝑥𝑡

𝑛

0

𝑑𝑡

Observação: É por vezes necessário calcular o

Valor Acumulado de uma renda temporária

sobre a vida humana. Este cálculo obedece ao

mesmo princípio adotado no caso das rendas

certas, com as devidas adaptações: toma-se

como momento de referência o fim do último

período da renda, 𝑡 = 𝑛. Está implícita a

sobrevivência da pessoa até este momento,

para que todos os pagamentos possam ser

efetuados, altura em que tem a idade 𝑥 + 𝑛;

assim sendo, o pagamento efetuado em 𝑡 = 𝑘

deve ser acumulado com a taxa de juro

(multiplicado por (1 + 𝑖)𝑛−𝑘) e com a

mortalidade (multiplicado por 1

𝑝𝑥+𝑘𝑛−𝑘

), ou

seja, deve ser multiplicado por 1

𝐸𝑥+𝑘𝑛−𝑘

, onde

𝐸𝑥+𝑘𝑛−𝑘 = 𝑣𝑛−𝑘 𝑝𝑥+𝑘𝑛−𝑘 . O raciocínio em-

pregado é mais intuitivo se se partir da

(óbvia) igualdade �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑛 �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅

. 𝐸𝑥𝑛 =

𝑣𝑛 𝑝𝑥𝑛 é o chamado ‘fator de atualização

atuarial’. Vem

Remark: Sometimes it is necessary to

calculate the Accumulated Value of a term life

annuity. The process is the same used to

calculate the accumulated value of an annuity

certain. The reference point in time is now

𝑡 = 𝑛, so we assume that the life is alive at

that time (and aged 𝑥 + 𝑛); that is why

payment made at time 𝑡 = 𝑘 is both

accumulated with interest (multiplying by

(1 + 𝑖)𝑛−𝑘 and mortality (multiplying by 1


), that is to say payment made at time

𝑡 = 𝑘 is multiplied by 1

𝐸𝑥+𝑘𝑛−𝑘

, where

𝐸𝑥+𝑘𝑛−𝑘 = 𝑣𝑛−𝑘 𝑝𝑥+𝑘𝑛−𝑘 . Still, the most

intuitive approach is �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑛 �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅

.

𝐸𝑥𝑛 = 𝑣𝑛 𝑝𝑥𝑛 is the ‘actuarial discounting

factor’. Then

�̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑛 �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅

⇔ �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ =

(1 + 𝑖)𝑛

𝑝𝑥𝑛

�̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ =

(1 + 𝑖)𝑛

𝑝𝑥𝑛

∑ 𝑣𝑘 𝑝𝑥𝑘

𝑛−1

𝑘=0

=(1 + 𝑖)𝑛

𝑙𝑥+𝑛

𝑙𝑥

∑ 𝑣𝑘𝑙𝑥+𝑘

𝑙𝑥

𝑛−1

𝑘=0

= ∑(1 + 𝑖)𝑛−𝑘𝑙𝑥+𝑘

𝑙𝑥+𝑛

𝑛−1

𝑘=0

= ∑(1 + 𝑖)𝑛−𝑘


𝑛−1

𝑘=0

3. Rendas diferidas sobre uma vida

Deferred life annuities

Uma renda sobre a vida humana diferida u

anos é uma anuidade em que o primeiro

pagamento só será feito depois de decorrido

um certo número de períodos da renda, desde

que a pessoa segura esteja viva nessa altura.

Usando a notação habitual em caso de

diferimento, é bastante imediato o cálculo do

Valor Atuarial das rendas diferidas, a partir de

resultados apresentados anteriormente.

Seguem-se algumas ilustrações. O operador

que faz a ligação com os resultados já

conhecidos é ainda o fator de atualização

atuarial: 𝐸𝑥𝑢

.

A deferred life annuity is an annuity under

which the first payment occurs at some future

time u, given the survival of the life. Using the

same notation as before to identify the

circumstance of deferment, it is possible to

adapt some of the previous results to

calculate the Expected Present Value of

deferred annuities. A few illustrations follow.

Again, the operator connecting the EPV of

deferred annuities to the EPV of non-deferred

annuities is the actuarial discounting

factor: 𝐸𝑥𝑢 .

�̈�𝑥𝑢| = �̈�𝑥 − �̈�𝑥:𝑢|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑢 �̈�𝑥+𝑢

�̈�𝑥(𝑚)

𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̈�𝑥+𝑢(𝑚)

�̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̈�𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅

�̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅(𝑚)

𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̈�𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅

𝑎𝑥𝑢| = 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥:𝑢|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑢 𝑎𝑥+𝑢

𝑎𝑥(𝑚)

𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 𝑎𝑥+𝑢(𝑚)

𝑎𝑥:𝑛|̅̅ ̅𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 𝑎𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅

𝑎𝑥:𝑛|̅̅ ̅(𝑚)

𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 𝑎𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅.

�̅�𝑥𝑢| = �̅�𝑥 − �̅�𝑥:𝑢|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑢 �̅�𝑥+𝑢

�̅�𝑥(𝑚)

𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̅�𝑥+𝑢(𝑚)

�̅�𝑥:𝑛|̅̅ ̅𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̅�𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅

�̅�𝑥:𝑛|̅̅ ̅(𝑚)

𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̅�𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅

As definições e comentários anteriores no que

se refere às rendas sobre a vida humana têm

aqui inteira validade, depois de devidamente

adaptados. O aspeto essencial a ter em

atenção é que o que anteriormente se entendia

como ‘a vida’ é agora um grupo de duas vidas

e que o grupo, como tal, sobrevive enquanto

as duas vidas sobreviverem conjuntamente.

Considerem-se assim duas vidas, que no

momento em que o contrato de renda é

celebrado têm as idades atuariais x e y,

respetivamente. Sejam 𝑇𝑥 e 𝑇𝑦 as v.a. que

representam as durações futuras das duas

vidas em causa e seja 𝑇𝑥𝑦 a v.a. que

representa o tempo de vida futura do grupo.

𝑇𝑥𝑦 , que mede o período de tempo que (x) e

(y) sobreviverão conjuntamente, é agora a

variável relevante, pois exprime a duração

futura do grupo. Como a duração conjunta das

duas vidas (x) e (y) termina quando a primeira

delas morrer, é imediato que 𝑇𝑥𝑦 = min{𝑇𝑥

, 𝑇𝑦}. O símbolo (𝑥𝑦) indica que se trata de

um grupo extinguível à primeira morte.

Tal como anteriormente, para se calcular o

Valor Atual Esperado das rendas é necessário

somar o produto dos três fatores seguintes, em

todos os momentos em que um pagamento

está previsto (integrar, se os pagamentos são

em tempo contínuo): (i) o montante devido;

(ii) a probabilidade de o pagamento se

realizar; (iii) o fator de atualização adequado.

O que exige agora particular atenção é o

cálculo das probabilidades em (ii).

Definitions and remarks on life annuities

previously included in the text are necessary

also in this section as they will be used with

the appropriate alterations. The main

difference is that now ‘the life’ is a group

with two lives and the group is alive as long

as the two lives are alive.

Assume two lives, who at the outset of the

contract are assumed to be aged x and y,

respectively, x and y being the integers which

are closest to the ages of the two lives. Let 𝑇𝑥

and 𝑇𝑦 be the future lifetimes of the two lives.

The random variable 𝑇𝑥𝑦 measures the joint

lifetime of (x) and (y) and is now the variable

of interest. The joint lifetime of (x) and (y) is

the time while both lives remain alive, which

is the time until the first death, that is 𝑇𝑥𝑦 =

min{𝑇𝑥 , 𝑇𝑦}. The symbol (𝑥𝑦) specifies the

joint life status. The joint life status 𝑥𝑦 fails

on the first death of (x) and (y).

The same as before, to find the Expected

Present Value of annuities it is necessary to

sum over all the payment dates (or integrate,

if payments are made in continuous time) the

product of: (i) the amount of the payment: (ii)

the probability of payment; (iii) the

appropriate discount factor. The computation

of the probabilities in (ii) requires particular

attention.

Hipótese: 𝑇𝑥 e 𝑇𝑦 são variáveis aleatórias

independentes, pelo que

𝑝𝑥𝑦𝑡 = Pr[(𝑥) e (𝑦)sobreviverem 𝑡 anos]

= 𝑝𝑥𝑡 𝑝𝑦𝑡 .

Assumption: 𝑇𝑥 and 𝑇𝑦 are independent

random variables and then

𝑝𝑥𝑦𝑡

= Pr[(𝑥)and (𝑦)are both alive in 𝑡 years]

= 𝑝𝑥𝑡 𝑝𝑦𝑡 .

4. Rendas sobre duas vidas: grupos extinguíveis à primeira morte

Joint life annuities (two lives)

Usando a notação habitual, é bastante

imediato o cálculo do Valor Atuarial das

rendas sobre grupos extinguíveis à primeira

morte, a partir de resultados apresentados

anteriormente. Seguem-se algumas ilustrações

de rendas de vida inteira e de rendas

temporárias, bem como de rendas diferidas.

Os casos não apresentados deduzem-se sem

dificuldade por analogia.

Using the same notation as before, it is

possible to adapt some of the previous results

to calculate the Expected Present Value of

joint life annuities. A few illustrations follow

of whole life and term annuities, including

annuity contracts where the benefits are deferred.

The missing cases are also quite

straightforward, by analogy.

3.1 Rendas de vida inteira sobre um grupo

(𝑥𝑦), imediatas e de termos antecipados: o

número máximo de termos anuais, de valor 1

cada, é 1 2min , ,max x y sendo 1

e 2 as idades limite de (𝑥) e (𝑦),

respetivamente. Os termos são pagos no início

de cada ano (em 0,1,..., 1);t max o

primeiro pagamento é certo, os seguintes só

serão feitos enquanto o grupo (𝑥𝑦)

sobreviver. O valor atual representa-se por

1xyKa

, onde xyK é a v.a. que representa o

número de anos completos que o grupo irá

sobreviver, isto é, pode escrever-se

min , , ,xy x y x xK K K K T .y yK T

3.1 Whole life annuities-due on a group (𝑥𝑦)

provide the following payments, the maximum

number of payments being

1 2min , :max x y 1 at 𝑡 = 0, which

is certain to be paid; a further payment of 1 at

the end of each year as long as x and y

are alive (at 0,1,..., 1);t max 1 is the

limiting age for x and 2 is the limiting

age for .y The present value is 1xyK

a

,

min , , ,xy x y x xK K K K T ,y yK T

being the r.v. representing the curtate future

lifetime of the joint life group (𝑥𝑦).

o Valor Atuarial


1

10

E .xy

maxk

xy k xyKk

a a v p

k xy k x k yp p p é a probabilidade do k+1-

ésimo pagamento ser feito (é a probabilidade

de x sobreviver até à idade x k e y

sobreviver até à idade y k ).

k xy k x k yp p p is the probability of the

k+1-th payment being made (it is the

probability of x surviving to age x k ) and

y surviving to age y k ).


(𝑥𝑦), antecipadas e fracionadas: termos

anuais num máximo igual a max, de valor 1

cada, pagos enquanto (𝑥𝑦) sobreviver, por


m cada, nos

momentos iniciais de cada uma das m partes

iguais em que o ano foi dividido (em

1, , ...,

10 )t

mmax

m . O valor atual é

1

, .m

xy

xym m

xyK

m

mTa K

m

3.2 Whole life annuities on a group (𝑥𝑦)

payable m times a year in advance provide

the following payments: annual payments of

amount 1 each are made m-thly in advance

along the year, i.e., m n payments of

amount 1

m each are made as long as (𝑥𝑦)

survives and for a maximum of max years (at

1, , ...,

10 )t

mmax

m . The present value is

1

, .m

xy

xym m

xyK

m

mTa K

m

o Valor Atuarial


11 1

0, ,..., )

1E .

mxy

m m k

xy k xyK

m k t maxm m

a a v pm


(𝑥𝑦), imediatas e contínuas: os pagamentos


unitária enquanto (𝑥𝑦) sobreviver e durante

no máximo max anos. O valor atual é

representado por .xyT

a

3.3 Whole life continuous annuities on a

group (𝑥𝑦) are annuities payable

continuously at a rate of 1 per year as long as

(𝑥𝑦) survives and for a maximum of max

years.The present value is denoted .xyT

a

o Valor Atuarial


0

E t

xy

max

xy t xyTa a e p dt


(𝑥𝑦), imediatas e de termos antecipados a

variar em progressão geométrica: enquanto

(𝑥𝑦) sobreviver e durante no máximo max

anos serão pagos termos anuais, sendo o

primeiro de valor 1 e variando os seguintes

em progressão geométrica de razão 1 r (ou

seja, 1 é pago em 0t , 1 r é pago em 1t ,

2


1max

r

é

pago em 1t max ).


with geometrically increasing payments

provide the following payments, as long as

(𝑥𝑦) survives: 1 at 0t , 1 r at 1t ,

2

1 r at 2t ,…, 1

1max

r

at 1.t max

The maximum number of payments is max.

o Valor Atuarial


1

0

1 , calculada à taxa de juro/ *1

maxk k

k xy xy

k


j

3.5 Rendas de vida inteira imediatas sobre um

grupo (𝑥𝑦), de termos antecipados a variar

em progressão aritmética: enquanto (𝑥𝑦)

sobreviver e durante no máximo max anos

serão pagos termos anuais, sendo o primeiro


progressão aritmética de razão 1 (ou seja, 1 é

pago em 0t , 2 é pago em 1t , 3 é pago em

2t ,…, max é pago em 1t max ).


with arithmetically increasing payments

provide the following payments, as long as

(𝑥𝑦) survives: 1 at 0t , 2 at 1t , 3 at 2t

,…, max at 1t max The maximum number

of payments is max.

o Valor Atuarial


1

0

1max

k

k xy

kxy

Ia k v p


(𝑥𝑦), com pagamentos contínuos a crescer

anualmente em progressão aritmética: a taxa

de pagamento no ano t é constante e igual a t,

1,2,..., .t max O pagamento é feito enquanto

(𝑥𝑦) sobreviver.

3.6 Whole life annuities on a group (𝑥𝑦) with

arithmetically increasing continuous

payments provide payments as long as (𝑥𝑦)

survives so that the rate of payment in the 𝑡th

year is constant and equal to 𝑡,

1,2,..., .t max

o Valor Atuarial


(𝐼�̅�)𝑥𝑦 = ∑ 𝑣𝑡 𝑝𝑥𝑦𝑡 ∫ (𝑡 + 1)𝑒−𝛿𝑢 𝑝𝑥+𝑡:𝑦+𝑡𝑑𝑢𝑢

1

0

.

𝑚𝑎𝑥

𝑡=0



continuamente em progressão aritmética: a

taxa de pagamento é igual a 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑚𝑎𝑥. O pagamento é feito desde que (𝑥𝑦)

sobreviva.

3.7 Whole life annuities on a group (𝑥𝑦) with


continuous payments provide payments so

that the rate of payment is changing

continuously and is equal to 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑚𝑎𝑥. Payments are made as long as (𝑥𝑦) survives.

o Valor Atuarial


(𝐼�̅̅�)𝑥𝑦 = ∫ 𝑡𝑒−𝛿𝑡 𝑝𝑥𝑦𝑡

𝑚𝑎𝑥

0

𝑑𝑡.

3.8 Rendas temporárias sobre um grupo (𝑥𝑦),

imediatas e de termos antecipados: um


pagos no início de cada ano (em

0,1,..., 1t n ). O primeiro pagamento é

certo, os seguintes só serão feitos enquanto

(𝑥𝑦) sobreviver. O valor atual representa-se

por

min 1,

10,1,..., 1

., 1,...

xy

xy

K n

xyK

xyn

a

a K n

a K n n

3.8 Term life annuities-due on a group (𝑥𝑦)

provide the following payments: 1 at 𝑡 = 0, which is certain to be paid; a further payment

of 1 at the beginning of each year as long as

x and y are alive (at 0,1,..., 1).t n

The present value is

min 1,

10,1,..., 1

., 1,...

xy

xy

K n

xyK

xyn

a

a K n

a K n n

o Valor Atuarial


1

: min 1,0

E .xy

nk

k xyxy n K nk

a a v p

3.9 Rendas temporárias sobre um grupo (𝑥𝑦),

antecipadas e fracionadas: termos anuais num

máximo igual a n, de valor 1 cada, pagos

enquanto (𝑥𝑦) sobreviver, por meio de m



iniciais de cada uma das m partes iguais em

que o ano foi dividido (em 1

, , ...,1

0 )tm

nm

.

O valor atual é

1min ,

.m

xy

m

K nm

a

3.9 Term life annuities due on a group (𝑥𝑦)

payable m times a year provide the following

payments: annual payments of amount 1 each

are made m-thly in advance along the year,

i.e., m n payments of amount 1

m each are

made as long as (𝑥𝑦) survives and for a

maximum of max years (at 1

, , ...,1

0 )tm

nm

.

The present value is

1min ,

.m

xy

m

K nm

a

o Valor Atuarial


: 1min , 1 1

0, ,...,

1E

mxy

m m k

k xyxy nK n

m k nm m

a a v pm

3.10 Rendas temporárias sobre um grupo

(𝑥𝑦), imediatas e contínuas: os pagamentos


unitária enquanto (𝑥𝑦) sobreviver e durante

no máximo n anos. O valor atual é

representado por min ,

.xyT n

a

3.10 Term life continuous annuities on a

group (𝑥𝑦) are annuities payable

continuously at a rate of 1 per year as long as

(𝑥𝑦) survives and for a maximum of n

years.The present value is denoted min ,

.xyT n

a

o Valor Atuarial


: min ,

0

E t

xy

n

t xyxy n T na a e p dt


(𝑥𝑦), imediatas e de termos antecipados a

variar em progressão geométrica: enquanto xy






1 r é

pago em 2t ,…, 1

1n

r

é pago em

1t n ).


geometrically increasing payments provide

the following payments, as long as (𝑥𝑦)

survives: 1 at 0t , 1 r at 1t , 2

1 r at

2t ,…, 1

1n

r

at 1.t n The maximum

number of payments is n.

o Valor Atuarial


1

:0


nk k

k xy xy nk


j

3.12 Rendas temporárias imediatas sobre um

grupo (𝑥𝑦) de termos antecipados a variar em

progressão aritmética: enquanto xy sobreviver

e durante no máximo n anos serão pagos

termos anuais, sendo o primeiro de valor 1 e

variando os seguintes em progressão



,…, n é pago em 1t n ).


arithmetically increasing payments provide

the following payments, as long as (𝑥𝑦)

survives: 1 at 0t , 2 at 1t , 3 at 2t ,…, n

at 1t n The maximum number of

payments is n.

o Valor Atuarial


1

0:

1n

k

k xy

kxy n

Ia k v p



anualmente em progressão aritmética: a taxa

de pagamento no ano t é constante e igual a t,

1,2,..., .t n O pagamento é feito enquanto

(𝑥𝑦) sobreviver e durante no máximo n anos.

3.13 Term life annuities on a group (𝑥𝑦) with

arithmetically increasing continuous

payments provide payments as long as (𝑥𝑦)

survives so that the rate of payment in the 𝑡th

year is constant and equal to 𝑡, 1,2,..., .t n

The maximum number of years of payments is

n.

o Valor Atuarial


(𝐼�̅�)𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ = ∑ 𝑣𝑡 𝑝𝑥𝑦𝑡 ∫ (𝑡 + 1)𝑒−𝛿𝑢 𝑝𝑥+𝑡𝑑𝑢𝑢

1

0

𝑛−1

𝑡=0



continuamente em progressão aritmética: a

taxa de pagamento é igual a 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑛. O

pagamento é feito desde que (𝑥𝑦) sobreviva e

durante no máximo n anos.

3.14 Term life annuities on a group (𝑥𝑦) with


continuous payments provide payments so

that the rate of payment is changing

continuously and is equal to 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑛. Payments are made as long as (𝑥𝑦) survives

and for a maximum of n years.

o Valor Atuarial


(𝐼�̅̅�)𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ = ∫ 𝑡𝑒−𝛿𝑡 𝑝𝑥𝑦𝑡

𝑛

0

𝑑𝑡.

5. Rendas de sobrevivência

Reversionary annuities

6. Algumas aproximações e outros resultados

A few approximations and other results

7. Rendas sobre mais de duas vidas

Joint life and last survivor annuities (three or more lives)

Referências:

References

Bowers LN, Gerber HU, Hickman CJ, Jones DA & Nesbitt CJ (1997). Actuarial

Mathematics, Society of Actuaries.

Broverman, SA (2011), Mathematics of investment and credit, 5th ed., Actex

Publications, Winstead.

Dickson DC, Hardy MR & Waters HR (2011). Actuarial Mathematics for life

contingent risks, 2nd ed., Cambridge University Press.

Garcia JA & Simões OA (2010). Matemática Actuarial Vida e Pensões, Edições

Almedina.

Mateus, A (1999), Cálculo Financeiro, 5ª ed., Edições Sílabo, Lisboa.

McCutcheon & W Scott (1986), An Introduction to the Mathematics of Finance,

Heinemann, London.

4. Rendas sobre duas vidas: grupos extinguíveis à última morte

Last survivor life annuities (two lives)

Documents

RENDAs CERTAs annuities certain - ISEG Lisbonpascal.iseg.utl.pt/~onofre/mywebPessoal/ProvisVersion.pdf · Def. 5: An ordinary annuity or an annuity paid in arrear is an annuity whose