C
TC
RENDAS CERTAS E
RENDAS SOBRE A VIDA HUMANA
ANNUITIES CERTAIN AND
LIFE ANNUITIES Versão Provisória
Provisional Version
ONOFRE ALVES SIMÕES
DEZEMBRO
2016
DECEMBER
2016
ÍNDICE
CONTENTS
Introdução: Rendas e Rendas sobre a Vida Humana
Introduction: Annuities and Life Annuities
PARTE I – RENDAS CERTAS
PART I – ANNUITIES CERTAIN
1. Rendas temporárias de termos constantes, em tempo discreto e em tempo contínuo
Level annuities in discrete and continuous time
2. Rendas perpétuas de termos constantes, em tempo discreto e em tempo contínuo
Level perpetuities in discrete and continuous time
3. Rendas temporárias de termos a variar em progressão geométrica
Annuities with geometrically increasing/decreasing payments
4. Rendas perpétuas de termos a variar em progressão geométrica
Perpetuities with geometrically increasing/decreasing payments
5. Rendas temporárias de termos a variar em progressão aritmética
Annuities with arithmetically increasing/decreasing payments
6. Rendas perpétuas de termos a variar em progressão aritmética
Perpetuities with arithmetically increasing payments
7. Rendas temporárias com termos a variar de outros modos em tempo discreto e em tempo
contínuo
Other annuities with varying payments in discrete and continuous time
8. Rendas perpétuas com termos a variar de outros modos em tempo discreto e em tempo
contínuo
Other perpetuities with varying payments in discrete and continuous time
9. Outros regimes de capitalização que não o Regime de Juro Composto
Accumulation methods other than Compound Interest
PARTE II – RENDAS SOBRE A VIDA HUMANA
PART II – LIFE ANNUITIES
1. Rendas vitalícias sobre uma vida
Whole life annuities
2. Rendas temporárias sobre uma vida
Term life annuities
3. Rendas sobre duas vidas: grupos extinguíveis à primeira morte
Joint life annuities (two lives)
4. Rendas sobre duas vidas: grupos extinguíveis à última morte
Last survivor annuities (two lives)
5. Rendas de sobrevivência
Reversionary annuities
6. Algumas aproximações e outros resultados
A few approximations and other results
7. Rendas sobre mais de duas vidas
Joint life and last survivor annuities (three or more lives)
Referências
References
Introdução: Rendas e Rendas sobre a Vida Humana
Introduction: Annuities and Life Annuities
Os conceitos que a seguir se apresentam
encontram-se em livros introdutórios sobre
Matemática Financeira e Matemática
Atuarial, como por exemplo Mateus, A
(1999), Broverman SA (2010) ou
McCutcheon & Scott W (1986) e Garcia JA
& Simões OA (2010), Bowers et al. (1997) ou
Dickson DC, Hardy MR & Waters HR
(2011).
Como se poderá ver, a maior parte das
definições aplicam-se tanto às rendas certas
como às rendas sobre a vida humana, com as
necessárias adaptações.
The following concepts may be found in
introductory books on Financial Mathematics
and Actuarial Mathematics, such as Mateus,
A (1999), Broverman SA (2010) or
McCutcheon & Scott W (1986), and Garcia
JA & Simões OA (2010), Bowers et al. (1997)
or Dickson DC, Hardy MR & Waters HR
(2011).
Most of the definitions valid to annuities
certain are also valid to life annuities, after
being slightly adapted.
Definições e classificação das rendas Definition of an annuity and types of annuities
Def. 1: Renda financeira é uma sucessão de
pagamentos que ocorrem em momentos
equidistantes. Cada pagamento é um termo da
renda e o período (comum) entre dois
pagamentos consecutivos é o período da
renda.
Def. 1: An annuity is a regular series of n
payments (a series of n payments occurring
at equal time intervals). The constant interval
of time separating two consecutive payments
is the annuity period.
Def. 2: Uma renda sobre a vida humana (ou
sobre um grupo de vidas humanas) é uma
sucessão de pagamentos que ocorrem em
momentos equidistantes, desde que o
indivíduo (o grupo) que os faz/recebe esteja
vivo nas datas em que ocorrem. O indivíduo
(o grupo) é designado ‘a vida’. Se, no início
do contrato, ‘a vida’ tiver x anos de idade,
usa-se a notação (x) para indicar esse facto;
como é prática corrente, x é a chamada ‘idade
atuarial’, ou seja, é o inteiro mais próximo da
idade da pessoa segura, no início do contrato.
No caso de se ter um grupo (duas ou mais
vidas), a notação é adaptada.
.
Def. 2: Life annuity is a series of payments
to/from an individual (or a group of
individuals) as long as the individual (the
group) is alive on the payment dates. The
payments are made at regular intervals. The
individual (the group) is referred to as ‘the
life’. If at the outset of the annuity a life is
aged x, the notation (x) is used. For the sake
of simplicity, and according to practice, x is
the integer which is closest to the age of the
life at the outset of the contract. In the case of
a group (more than one life) the notation is
adjusted.
Def. 3: Uma renda diz-se certa quando a
probabilidade de cada um dos pagamentos se
realizar é 1. Ou seja, o pagamento não
depende de forma explícita da realização de
um acontecimento aleatório. Quando depende,
como no caso das rendas sobre a vida
humana, a renda diz-se incerta.
Def. 3: An annuity certain is an annuity in
which the probability of each payment being
made is 1, i.e. payments do not explicitly
depend on a random occurrence (a person
survival, for instance). When they do, as it is
the case for life annuities, the annuity is
uncertain.
Def.4: Uma renda diz-se de termos constantes
quando todos os pagamentos são de igual
valor, Quando não é assim, a renda diz-se de
termos variáveis.
Def. 4: A level annuity is an annuity in which
the payments are all of an equal amount.
When this does not happen the annuity is a
varying annuity.
Def. 5: Uma renda diz-se de termos normais
ou postecipados quando cada pagamento se
faz no fim do período a que diz respeito. Diz--
se antecipada (ou de termos antecipados)
quando cada pagamento se faz no início do
período a que diz respeito.
Def. 5: An ordinary annuity or an annuity
paid in arrear is an annuity whose payments
are made at the end of each time period. If
they are made at the beginning of each time
period, they are paid in advance and we have
an annuity-due.
Def. 6: Uma renda sobre a vida humana diz-se
de termos normais ou postecipados quando
cada pagamento se faz no fim do período a
que diz respeito. Diz-se antecipada (ou de
termos antecipados) quando cada pagamento
se faz no início do período a que diz respeito.
Def. 6: Immediate life annuity is a life annuity
paid in arrear, i.e., with payments at the end
of the time periods. Life annuity-due is a life
annuity with payments in advance.
Def. 7: Uma renda diz-se imediata quando
não há diferimento, ou seja o primeiro
pagamento é feito no primeiro período.
Quando não há pagamentos durante os
primeiros , 1,k k períodos da renda (o
período de diferimento), a renda diz-se
diferida k períodos.
Def. 7: An immediate annuity is an annuity
whose first payment is made during the first
period of time. A deferred annuity is an
annuity when no payments are made during
the first , 1,k k time periods (the deferral
period).
Def. 8: Uma renda diz-se inteira quando cada
pagamento é feito de uma única vez, no
período a que se refere. Diz-se fracionada
quando cada pagamento é feito de forma
repartida ao longo desse período.
Def. 8: An annuity is said to be payable mthly
if the annuity payments are made 1m times
along the annuity period.
Def. 9: Uma renda diz-se temporária quando o
número dos seus termos é finito. Diz-se
perpétua no caso contrário.
Def. 9: A perpetuity is an annuity that is
‘payable forever’ ( n , such as the
dividends of an equity).
Def. 10: Uma renda sobre a vida humana diz-
-se temporária quando o número máximo dos
seus termos é estabelecido à partida. Renda de
vida inteira é uma renda que é paga enquanto
a vida sobreviver.
Def. 10: Term or temporary life annuity is a
life annuity that is paid to the individual (the
annuitant) for a specified maximum period of
time. Whole life annuity is a life annuity that
is paid to the annuitant throughout his or her
life.
Valor Atual e Valor Acumulado de uma renda Present Value and Accumulated Value of an
annuity
Def. 11: Valor Acumulado de uma renda é a
soma dos valores capitalizados de todos os
seus termos, tomando como momento de
referência para a avaliação o fim do último
período da renda.
Def. 11: The Accumulated Value (or Future
Value) of an annuity is the sum of the
accumulated values of the n payments. The
valuation date, or reference time point, is the
end of the last period.
Def. 12: Valor Atual de uma renda é a soma
dos valores atualizados de todos os seus
termos, tomando como momento de
referência o início do primeiro período da
renda.
Def. 12: The Present Value of an annuity
is the sum of the present values of the n
payments. The valuation date, or reference
time point, is the beginning of the first period
(normally, time 0).
Def. 13: Renda sobre um grupo extinguível à
primeira morte é uma renda que é paga até à
primeira morte no grupo.
Def. 13: A joint life annuity is an annuity
payable until the first death among a group of
lives.
Def. 14: Renda sobre um grupo extinguível à
última morte é uma renda que é paga
enquanto houver algum sobrevivente no
grupo.
Def. 14: A last survivor annuity is an annuity
payable until the last death among a group of
lives.
Observação: o Valor Atual de uma renda
sobre uma vida humana, ou um grupo de
vidas humanas, é uma variável aleatória (v.a.),
pois é função da v.a. que representa o tempo
de vida futura da pessoa em causa, ou do
grupo em causa. O valor esperado desta v.a.
(que é um valor atual esperado, ou valor
atuarial) calcula--se aplicando a definição de
valor esperado de uma v.a. Portanto, para se
obter o Valor Atual Esperado de uma renda
sobre a vida humana, é necessário calcular o
produto dos três fatores seguintes, em todos
os momentos em que um pagamento está
previsto: (i) o montante devido; (ii) a
probabilidade de o pagamento se realizar; (iii)
o fator de atualização adequado. Em seguida,
adicionam-se todos os produtos assim
obtidos. Se o pagamento se fizer em tempo
contínuo, o somatório é substituído por um
integral.
Ainda que menos interessante do ponto de
vista da maior parte das aplicações, pode
calcular-se o Valor Acumulado de uma renda
sobre a vida humana, aplicando também a
definição de valor esperado de uma v.a.
Quando se trata de um grupo, pode acontecer
que seja constituído por mais de duas vidas.
No entanto, na grande maioria das vezes,
estas anuidades são compradas por casais.
Remark: the Present Value of a life annuity is
a random variable (r.v.), as it depends on the
future lifetime of the individual, or the future
lifetime of the group of lives, under
consideration, which is also a random
variable. The expected value of this r.v. (an
expected present value - EPV) is calculated
using the definition of the expectation of a
random variable. Consequently, to find the
Expected Present Value of life annuities it is
necessary to sum over all the payment dates
(or integrate, if payments are made in
continuous time) the product of: (i) the
amount of the payment: (ii) the probability of
payment; (iii) the appropriate discount factor.
Using the same process, it is possible to find
the Accumulated Value of a life annuity,
although this is a less common calculation.
When the annuity is on a group of lives,
occasionally, the group could consist of three
or more lives, but in practice group life
annuities are most commonly purchased by
couples.
1. Rendas temporárias de termos constantes, em tempo discreto e em tempo contínuo
Level annuities in discrete and continuous time
1.1 Rendas temporárias inteiras imediatas
de termos normais: n termos anuais, de valor
1 cada, pagos nos momentos finais de cada
ano (em 1,2,...,t n ).
1.1 Annuities immediate with payments in
arrears: n annual payments, of amount 1
each, made at the end of each year (at
1,2,...,t n ).
o Valor Atual
Present Value
,
1 1
1
n
n iv
v
i ia
o Valor Acumulado
Accumulated Value
11
1 n
n
n i n i
ii
is a
Observações: (i) Em geral, se os n termos da
renda em questão, embora constantes, forem
de um qualquer valor 0T , basta multiplicar
os símbolos e as expressões obtidas para
termos unitários por T , para se obterem os
valores atuais e acumulados dessas rendas;
(ii) Se os termos forem de uma periodicidade
diferente da anual, que se assume por defeito,
nada se altera, basta substituir a taxa efetiva
anual i pela taxa efetiva correspondente à
periodicidade em causa.
Remarks: (i) In general, if the n payments,
although constant, are of amount 0T , to
calculate the present and accumulated values
of the annuity it will be enough to multiply the
present and accumulated values calculated
for payments of 1 by T; (ii) If the payments
are not made yearly, but at a different
periodicity, the only required change in the
formulas is to replace the annual effective
interest rate i with the effective interest rate
for the period in question.
1.2 Rendas temporárias inteiras imediatas
de termos antecipados: n termos anuais, de
valor 1 cada, pagos nos momentos iniciais de
cada ano (em 0,1,..., 1t n ).
1.2 Annuities immediate with payments
due: n annual payments, of amount 1 each,
made at the beginning of each year (at
0,1,..., 1t n ).
o Valor Atual
Present Value
1 11
n i n in iia a a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1
1 1
n n
n i n i n ii is a a
1.3 Rendas temporárias inteiras diferidas k
anos, de termos normais: n termos anuais, de
valor 1 cada, pagos nos momentos finais de
cada ano, a começar no ano 1k (em
1, 2,...,t k k k n ).
1.3 Deferred annuities with payments in
arrears: n annual payments, of amount 1
each, made at the end of each year, after a
deferment period of k years is over (at
1, 2,...,t k k k n ).
o Valor Atual
Present Value
k
n i n ikva a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1 1
n k n
n i n i n i n ik ki is a a s
1.4 Rendas temporárias inteiras diferidas k
anos, de termos antecipados: n termos anuais,
de valor 1 cada, pagos nos momentos iniciais
de cada ano, a começar no ano 1k (em
, 1,..., 1t k k k n ).
1.4 Deferred annuities with payments
due: n annual payments, of amount 1 each,
made at the beginning of each year, after a
deferment period of k years is over (at
, 1,..., 1t k k k n ).
o Valor Atual
Present Value 1
k k
n i n i n ikv va a a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1
1 1
n k n
n i n i n i n ik ki is a a s
1.5 Rendas temporárias imediatas de
termos normais e fracionadas: n termos
anuais, de valor 1 cada, pagos por meio de m
frações de valor 1
m cada, nos momentos
finais de cada uma das m partes iguais em que
o ano foi dividido, isto é, nos momentos
1 2 1, , ..., ,t n n
m m m .
1.5 Annuities immediate with payments made
m-thly in arrears: n annual payments, of
amount 1 each, are made m-thly in arrears
along the year, i.e., m n payments of
amount 1
m each are made, at
1 2 1, , ..., ,t n n
m m m .
o Valor Atual
Present Value
1
, 1 1
m mm
n i n imi m i
ia a
i
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1 1 =n nm m
n i n i n i n im mi i
i is a a s
i i
Observação: é sempre possível converter
uma renda fracionada numa renda inteira
com igual diagrama cronológico. Para
isso, bastará proceder à mudança do
período da renda e atender às alterações
que daí decorrem, em termos da taxa de
juro a usar, do valor de cada termo e do
número de termos. Por exemplo,
Remark: an annuity with m-thly made
payments can be converted into an annuity
with only one payment in the period of the
interest rate. To achieve this it is enough to
consider that the period of the annuity is
1/ m th of the year and to change everything
else accordingly. For instance,
1 1 m
i
m
m
n imnm
a a .
1.6 Rendas temporárias imediatas de
termos antecipados e fracionadas: n
termos anuais, de valor 1 cada, pagos por
meio de m frações de valor 1
m cada, nos
momentos iniciais de cada uma das m
partes iguais em que o ano foi dividido,
isto é, nos momentos
1 2 10, , , ..., ,t n n
m m m .
1.6 Annuities immediate with payments due
made m-thly: n annual payments due, of
amount 1 each, are made m-thly along the
year, i.e., m n payments of amount 1
m each
are made, at 1 2
0, , , ..., ,t nm m
1
nm
.
o Valor Atual
Present Value
1 11 1
m m
n i n i n i
m m
mi i
ia a a
i
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1 111 =1 1
nm m
n i n i n i n i
m mm
m mii i
i is s a s
i i
1.7 Rendas temporárias de termos normais
diferidas k anos e fracionadas: n termos
anuais, de valor 1 cada, pagos por meio de m
frações de valor 1
m cada, nos momentos
finais de cada uma das m partes iguais em que
o ano foi dividido, a começar no ano 1k
(em 1
,t km
2 1
,...,k k nm m
k n ).
1.7 Deferred annuities with payments made
m-thly in arrears: n annual payments in
arrears of amount 1 each, are made m-thly in
arrears along the year, i.e., m n payments
of amount 1
m each are made, after a
deferment period of k years is over (at
1 2 1, , ..., ,t k k k n
m m m
k n ).
o Valor Atual
Present Value
m
n i n ik
mkv
ia a
i
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1 1 1 =
m m m
n i n i n i n i n i
mn k n n
mk ki i i
is a a a s
i
1.8 Rendas temporárias de termos antecipados
diferidas k anos e fracionadas: n termos
anuais, de valor 1 cada, pagos por meio de m
frações de valor 1
m cada, nos momentos
iniciais de cada uma das m partes iguais em
que o ano foi dividido, a começar no ano
1k (1
, , ...,t k km
2 1
,k n k nm m
).
1.8 Deferred annuities with payments due
made m-thly in arrears: n annual payments
due of amount 1 each, are made m-thly along
the year, i.e., m n payments due of amount
1
m each are made, after a deferment period of
k years is over (at
1 2, , ..., ,t k k k n k
m m
1
nm
).
o Valor Atual
Present Value
1
11
m m mn i n i n i
m
mk k
ki vi
a a ai
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1 11 1 1
m m m m
n i n i n i n i n i
n k n m n m
mk ki i i
is a a a s
i
1.9 Rendas temporárias pagas continuamente
durante n anos, a uma taxa de pagamento
constante e igual a 1 por ano, durante todo o
intervalo de tempo 0,n .
1.9 Annuities continuously payable for n
years: the rate of payment is 1 per year
during the period of time 0,n .
o Valor Atual
Present Value
0
= lim lim , =ln 1
n
t
m m
m m
n i n in i n i
iv dt ia a a a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
0
1 1 1 =
nn n t n
n i n i n i n i
i ii i dt is a a s
1.10 Rendas temporárias diferidas k anos
pagas continuamente durante n anos, a uma
taxa de pagamento constante e igual a 1 por
ano, durante todo o intervalo de tempo
,k k n .
1.10 Deferred annuities continuously payable
for n years: the rate of payment is 1 per year
after a deferment period of k years is over
(during the period of time ,k k n ).
o Valor Atual
Present Value
k k
n i n i n ik
iv va a a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1 1 1
n k n n
n i n i n i n i n ik
ii i is a a a s
.
2. Rendas perpétuas de termos constantes, em tempo discreto e em tempo contínuo
Level perpetuities in discrete and continuous time
Se as rendas são perpetuidades, os respetivos
valores atuais e acumulados obtêm-se
tomando o limite das expressões acima, com
n . Daí resulta que todos os valores
acumulados . Os valores atuais vêm
indicados a seguir. As observações da
Subsecção 1.1 continuam válidas.
If the annuities are perpetuities, their present
and accumulated values can be obtained from
the previous equations, taking the limits of the
expressions, when n . It follows then that
all the accumulated values . The present
values are given below. Remarks in
Subsection 1.1 are still valid.
2.1 Rendas perpétuas inteiras imediatas de
termos normais: n termos anuais, de
valor 1 cada, pagos nos momentos finais de
cada ano (em 1,2,...t ).
2.1 Perpetuities immediate with payments in
arrears: n annual payments, of amount
1 each, made at the end of each year (at
1,2,...t ).
o Valor Atual
Present Value
1i i
a
2.2 Rendas perpétuas inteiras imediatas de
termos antecipados: n termos anuais, de
valor 1 cada, pagos nos momentos iniciais de
cada ano (em 0,1,...t ).
2.2 Perpetuities immediate with payments
due: n annual payments, of amount 1
each, made at the beginning of each year (at
0,1,...t ).
o Valor Atual
Present Value
1i
i
ia
2.3 Rendas perpétuas inteiras diferidas k anos,
de termos normais: n termos anuais, de
valor 1 cada, pagos nos momentos finais de
cada ano, a começar no ano 1k (em
1, 2,...t k k ).
2.3 Deferred perpetuities with payments in
arrears: n annual payments, of amount
1 each, made at the end of each year, after a
deferment period of k years is over (at
1, 2,...t k k ).
o Valor Atual
Present Value
k
ik i
va
2.4 Rendas perpétuas inteiras diferidas k anos,
de termos antecipados: n termos anuais,
de valor 1 cada, pagos nos momentos iniciais
de cada ano, a começar no ano 1k (
, 1,...t k k ).
2.4 Deferred perpetuities with payments due:
n annual payments, of amount 1 each,
made at the beginning of each year, after a
deferment period of k years is over (at
, 1,...t k k ).
o Valor Atual
Present Value 1
k
ik i
va
2.5 Rendas perpétuas fracionadas imediatas
de termos normais: n termos anuais, de
valor 1 cada, pagos por meio de m frações de
valor 1
m cada, nos momentos finais de cada
uma das m partes iguais em que o ano foi
dividido, isto é, nos momentos
1 2 1, , ..., ,t n n
m m m .
2.5 Perpetuities immediate with payments
made m-thly in arrears: n annual
payments, of amount 1 each, are made m-thly
in arrears along the year, i.e., m n
payments of amount 1
m each are made at
1 2 1, , ..., ,t n n
m m m .
o Valor Atual
Present Value
1m
i ma
i
2.6 Rendas perpétuas fracionadas imediatas
de termos antecipados: n termos anuais,
de valor 1 cada, pagos por meio de m frações
de valor 1
mcada, nos momentos iniciais de
cada uma das m partes iguais em que o ano
foi dividido, isto é, nos momentos
1 2 10, , , ..., ,t n n
m m m .
2.6 Perpetuities immediate with payments due
made m-thly: n annual payments due, of
amount 1 each, are made m-thly along the
year, i.e., m n payments of amount 1
m each
are made at 1 2 1
0, , , ..., ,t n nm m m
.
o Valor Atual
Present Value
11
m
i
m
m
ia
i
2.7 Rendas perpétuas fracionadas de termos
normais diferidas k anos: n termos
anuais, de valor 1 cada, pagos em m frações
de valor 1
mcada, nos momentos finais de cada
uma das m partes iguais em que o ano foi
dividido, a começar no ano 1k (em
1 2 1, , ..., ,t k k k n
m m m
k n ).
2.7 Deferred annuities with payments made
m-thly in arrears: n annual payments in
arrears of amount 1 each, are made m-thly in
arrears along the year, i.e., m n payments
of amount 1
m each are made, after a
deferment period of k years is over (at
1 2, , ...,t k k k
m m
1,n k n
m
).
o Valor Atual
Present Value
m
i
k
mk
va
i
2.8 Rendas perpétuas fracionadas de termos
antecipados diferidas k anos: n termos anuais,
de valor 1 cada, pagos em m frações de valor
1
mcada, nos momentos iniciais de cada uma
das m partes iguais em que o ano foi dividido,
a começar no ano 1k (em
1 2, , ..., ,t k k k n k
m m
1
nm
).
2.8 Deferred annuities with payments due
made m-thly in arrears: n annual payments
due of amount 1 each, are made m-thly along
the year, i.e., m n payments due of amount
1
m each are made, after a deferment period of
k years is over (at 1 2
, , ..., ,t k k k nm m
1k n
m
).
o Valor Atual
Present Value
11
1m m
i i
k mm
mk ki
va a
i
2.9 Rendas pagas continuamente durante n
anos, a uma taxa de pagamento constante e
igual a 1 por ano, durante todo o intervalo de
tempo 0,n .
2.9 Annuities continuously payable for n
years: the rate of payment is 1 per year
during the period of time 0,n .
o Valor Atual
Present Value
0
1lim = lim lim lim lim
n
t
n n m n m
m m
n i n iiv dta a a
2.10 Rendas diferidas k anos pagas
continuamente durante n anos, a uma taxa de
pagamento constante e igual a 1 por ano,
durante todo o intervalo de tempo ,k k n .
2.10 Deferred annuities continuously payable
for n years: the rate of payment is 1 per year
after a deferment period of k years is over
(during the period of time ,k k n ).
o Valor Atual
Present Value
k
ik
va
3. Rendas temporárias de termos a variar em progressão geométrica
Annuities with geometrically increasing/decreasing payments
3.1 Rendas temporárias inteiras imediatas de
termos normais a variar em progressão
geométrica: n termos anuais, sendo o primeiro
de valor 1 e variando os seguintes em
progressão geométrica de razão 1 r (ou seja,
1 é pago em 1t , 1 r é pago em 2t ,
2
1 r é pago em 3t ,…, 1
1n
r
é pago
em t n ).
3.1 Annuities immediate with geometrically
increasing payments in arrears: n annual
payments, the first of amount 1 and the
following forming a geometric progression
with common ratio 1 r (that is, 1 is payable
at 1t , 1 r is payable at 2t , 2
1 r is
payable at 3t ,…, 1
1n
r
is payable at
t n ).
o Valor Atual
Present Value
2 1 *
1, * ,
1 1 1 1
,
nn n i
i ri i r
r r r r
nv i r
av v v
o Valor Acumulado
Accumulated Value
*
1
1, * ,
1 1
1 ,
n
n i
n
i i ri i r
r r
n i i r
a
(As observações da Subsecção 1.1
continuam válidas.)
(Remarks in Subsection 1.1 are still valid.).
3.2 Rendas temporárias inteiras imediatas de
termos antecipados a variar em progressão
geométrica: n termos anuais, sendo o primeiro
de valor 1 e variando os seguintes em
progressão geométrica de razão 1 r (ou seja,
1 é pago em 0t , 1 r é pago em 1t ,
2
1 r é pago em 2t ,…, 1
1n
r
é pago
em 1t n ).
3.2 Annuities immediate with geometrically
increasing payments due: n annual payments,
the first of amount 1 and the following
forming a geometric progression with
common ratio 1 r (that is, 1 is payable at
0t , 1 r is payable at 1t , 2
1 r is
payable at 2t ,…, 1
1n
r
is payable at
1t n ).
o Valor Atual
Present Value
*
1, * ,
1 1
,
n i
i i ri i r
r r
n i r
a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1
*
1, * ,
1 1
1 ,
n
n i
n
i i ri i r
r r
n i i r
a
3.3 Rendas temporárias inteiras diferidas k
anos, de termos normais a variar em
progressão geométrica: n termos anuais,
sendo o primeiro de valor 1 e variando os
seguintes em progressão geométrica de razão
1 r (ou seja, 1 é pago em 1t k , 1 r é
pago em 2t k , 2
1 r é pago em
3t k ,…, 1
1n
r
é pago em t k n ).
3.3 Deferred annuities with geometrically
increasing payments in arrears: n annual
payments, the first of amount 1 and the
following forming a geometric progression
with common ratio 1 r (that is, 1 is payable
at 1t k , 1 r is payable at 2t k ,
2
1 r is payable at 3t k ,…, 1
1n
r
is
payable at t k n .
o Valor Atual
Present Value
1
*, * ,
1 1
,
k
k
n i
v i ri i r
r r
nv i r
a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
*
1
1, * ,
1 1
1 ,
n
n i
n
i i ri i r
r r
n i i r
a
3.4 Rendas temporárias inteiras diferidas k
anos, de termos antecipados a variar em
progressão geométrica: n termos anuais,
sendo o primeiro de valor 1 e variando os
seguintes em progressão geométrica de razão
1 r (ou seja, 1 é pago em t k , 1 r é pago
em 1t k , 2
1 r é pago em 2t k ,…,
1
1n
r
é pago em 1t k n ).
3.4 Deferred annuities with geometrically
increasing payments in arrears: n annual
payments, the first of amount 1 and the
following forming a geometric progression
with common ratio 1 r (that is, 1 is payable
at t k , 1 r is payable at 1t k , 2
1 r
is payable at 2t k ,…, 1
1n
r
is payable
at 1t k n ).
o Valor Atual
Present Value 1
1
*, * ,
1 1
,
k
k
n i
i ri i r
r r
n i r
va
v
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1
*
1
1, * ,
1 1
1 ,
n
n i
n
i i ri i r
r r
n i i r
a
Observações: (i) Deve notar-se que as
expressões acima continuam válidas mesmo
quando * 0.i r i Neste caso, e ao
contrário do que é habitual, os valores atuais
das rendas são superiores a n , e tanto mais
superiores quanto mais exceder r i ; (ii) as
rendas fracionadas têm tratamento semelhante
ao que se viu atrás, mas é mais simples
convertê-las em rendas inteiras, caindo-se nos
casos precedentes, pelo que não voltarão a ser
tratadas em separado.
Remarks: (i) The expressions above are still
valid when * 0i r i , in which case
present values are greater than n , the excess
increasing with the difference i-r; (ii) if
payments are made m-thly the same
reasoning seen before now applies, but for the
sake of simplicity it is preferable to convert
the annuities into equivalent annuities where
only one payment is made in each period of
the interest rate.
.
4. Rendas perpétuas de termos a variar em progressão geométrica
Perpetuities with geometrically increasing:/decreasing payments
Se as rendas são perpetuidades, os respetivos
valores atuais obtêm-se tomando o limite das
expressões apresentadas na Secção 3, com
n . As observações da Subsecção 1.1
continuam válidas.
If the annuities are perpetuities, their present
values can be obtained from the previous
equations in Section 4, taking the limits of the
expressions, when n . Remarks in
Subsection 1.1 are still valid.
4.1 Rendas perpétuas inteiras imediatas de
termos normais a variar em progressão
geométrica: n termos anuais, sendo o
primeiro de valor 1 e variando os seguintes
em progressão geométrica de razão 1 r (ou
seja, 1 é pago em 1t , 1 r é pago em 2t ,
2
1 r é pago em 3t ,…).
4.1 Perpetuities immediate with geometri-
cally increasing payments in arrears: n
annual payments, the first of amount 1 and
the following forming a geometric
progression with common ratio 1 r (that is,
1 is payable at 1t , 1 r is payable at 2t ,
2
1 r is payable at 3t ,… ).
o Valor Atual
Present Value
1 1, , : 1 1
1
série não convergente/ , outros / ,
ri r
i r i
non convergent series other i r
4.2 Rendas perpétuas inteiras imediatas de
termos antecipados a variar em progressão
geométrica: n termos anuais, sendo o primeiro
de valor 1 e variando os seguintes em
progressão geométrica de razão 1 r (ou seja,
1 é pago em 0t , 1 r é pago em 1t ,
2
1 r é pago em 2t ,…).
4.2 Perpetuities immediate with geometri-
cally increasing payments due: n annual
payments, the first of amount 1 and the
following forming a geometric progression
with common ratio 1 r (that is, 1 is payable
at 0t , 1 r is payable at 1t , 2
1 r is
payable at 2t ,…).
o Valor Atual
Present Value
1 1, , : 1 1
1
série não convergente/ , outros/ ,
i ri r
i r i
non convergent series other i r
4.3 Rendas perpétuas inteiras diferidas k anos,
de termos normais a variar em progressão
geométrica: n termos anuais, sendo o primeiro
de valor 1 e variando os seguintes em
progressão geométrica de razão 1 r (ou seja,
1 é pago em 1t k , 1 r é pago em
2t k , 2
1 r é pago em 3t k ,…).
4.3 Deferred perpetuities with geometrically
increasing payments in arrears: n annual
payments, the first of amount 1 and the
following forming a geometric progression
with common ratio 1 r (that is, 1 is payable
at 1t k , 1 r is payable at 2t k ,
2
1 r is payable at 3t k ,…).
o Valor Atual
Present Value
1, , : 1 1
1
série não convergente/ , outros/ ,
kv ri r
i r i
non convergent series other i r
4.4 Rendas perpétuas inteiras diferidas k anos,
de termos antecipados a variar em progressão
geométrica: n termos anuais, sendo o primeiro
de valor 1 e variando os seguintes em
progressão geométrica de razão 1 r (ou seja,
1 é pago em t k , 1 r é pago em 1t k ,
2
1 r é pago em 2t k ,…).
4.4 Deferred perpetuities with geometrically
increasing payments due: n annual payments,
the first of amount 1 and the following
forming a geometric progression with
common ratio 1 r (that is, 1 is payable at
t k , 1 r is payable at 1t k , 2
1 r is
payable at 2t k ,…).
o Valor Atual
Present Value
1 1, , : 1 1
1
série não convergente/ , outros/ ,
kv ri r
i r i
non convergent series other i r
5. Rendas temporárias de termos a variar em progressão aritmética
Annuities with arithmetically increasing/decreasing payments
5.1 Rendas temporárias inteiras imediatas de
termos normais a variar em progressão
aritmética
5.1 Annuities immediate with arithmetically
increasing/decreasing payments in arrears
5.1.1 n termos anuais, sendo o primeiro
de valor 1 e variando os seguintes
em progressão aritmética de razão 1
(ou seja, o montante 1 é pago em
1t , o montante 2 é pago em 2t
, o montante 3 é pago em 3t ,…,
o montante n é pago em t n ).
5.1.1 n annual payments, the first of
amount 1 and the following forming
an arithmetic progression with
common difference 1 (that is, a
payment of 1 is made at 1t , a
payment of 2 is made at 2t , a
payment of 3 is made at 3t ,…, a
payment of n is made at t n ).
o Valor Atual
Present Value
2 3
2 3 n in i
nn n
Ia v ni
a vv v v
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1 n i
n i n i
n ni
iIs Ia
s
(As observações da Subsecção 1.1 continuam
válidas.)
(Remarks in Subsection 1.1 are still valid.)
5.1.2 n termos anuais, sendo o primeiro
de valor C e variando os seguintes
em progressão aritmética de razão h
(ou seja, o montante C é pago em
1t , o montante C h é pago em
2t , o montante 2C h é pago
em 3t ,…, o montante
1C n h é pago em t n ).
5.1.2 n annual payments, the first of amount C
and the following forming an arithmetic
progression with common difference h
(that is, a payment of C is made at 1t ,
a payment of C h is made at 2t , a
payment of 2C h is made at 3t ,…,
a payment of 1C n h is made at
)t n .
o Valor Atual
Present Value
2
1
n i n inC h C n h C h h IaCv v v a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
n i n iC h h Iss
5.1.3 n termos anuais, sendo o primeiro
de valor n e variando os seguintes
em progressão aritmética de razão
1 (ou seja, o montante n é pago
em 1t , o montante 1n é pago
em 2t , o montante 2n é pago
em 3t ,…, o montante 1 é pago
em t n ).
5.1.3 n annual payments, the first of amount 1
and the following forming an arithmetic
progression with common difference 1
(that is, a payment of n is made at 1t ,
a payment of 1n is made at 2t , a
payment of 2n is made at 3t ,…, a
payment of 1 is made at t n ).
o Valor Atual
Present Value
2 3
1 2 1 n in in i n i
n nDa nv n n n Ia
i
av v v a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
11 n i
n i n i
nn n i s
ii
Ds Da
5.2 Rendas temporárias inteiras imediatas de
termos antecipados a variar em progressão
aritmética (caso geral)
5.2 Annuities immediate with arithmetically
increasing/decreasing payments due (general
case)
n termos anuais, sendo o primeiro de valor C
e variando os seguintes em progressão
aritmética de razão h (ou seja, o montante C é
pago em 0t , o montante C h é pago em
1t , o montante 2C h é pago em 2t ,…,
o montante 1C n h é pago em 1t n ).
n annual payments, the first of amount C and
the following forming an arithmetic
progression with common difference h (that
is, a payment of C is made at 0t , a payment
of C h is made at 1t , a payment of
2C h is made at 2t ,…, a payment of
1C n h is made at 1t n ).
o Valor Atual
Present Value
1
n i n iC h i h Iaa
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1
n i n iC h i h Iss
5.3 Rendas temporárias inteiras diferidas k
anos, de termos normais a variar em
progressão aritmética: n termos anuais, sendo
o primeiro de valor C e variando os seguintes
em progressão aritmética de razão h (ou seja,
o montante C é pago em 1t k , o montante
C h é pago em 2t k , o montante
2C h é pago em 3t k ,…, o montante
1C n h é pago em t k n ).
5.3 Deferred annuities with arithmetically
increasing payments in arrears: n annual
payments, the first of amount 1 and the
following forming an arithmetic progression
with common difference h (that is, C is
payable at 1t k , C h is payable at
2t k , 2C h is payable at 3t k ,…,
1C n h is payable at t k n ).
o Valor Atual
Present Value
n i n ikv C h h Iaa
o Valor Acumulado
Accumulated Value
n i n iC h h Iss
5.4 Rendas temporárias inteiras diferidas k
anos, de termos antecipados a variar em
progressão aritmética: n termos anuais, sendo
o primeiro de valor C e variando os seguintes
em progressão aritmética de razão h (ou seja,
o montante C é pago em t k , o montante
C h é pago em 1t k , o montante 2C h
é pago em 2t k ,…, o montante
1C n h é pago em 1t k n ).
5.4 Deferred annuities with arithmetically
increasing payments due: n annual payments,
the first of amount 1 and the following
forming an arithmetic progression with
common difference h (that is, C is payable at
t k , C h is payable at 1t k , 2C h is
payable at 2t k ,…, 1C n h is
payable at 1t k n ).
o Valor Atual
Present Value
1k
n i n iC h i h Iav a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1
n i n iC h i h Iss
6. Rendas perpétuas de termos a variar em progressão aritmética
Perpetuities with arithmetically increasing/decreasing payments
Se as rendas são perpetuidades, os respetivos
valores atuais obtêm-se tomando o limite das
expressões apresentadas na Secção 6, com
n . As observações da Subsecção 1.1
continuam válidas.
.
If the annuities are perpetuities, their present
values can be obtained from the previous
equations in Section 6, taking the limits of the
expressions, when n . Remarks in
Subsection 1.1 are still valid.
6.1 Rendas perpétuas inteiras imediatas de
termos normais a variar em progressão
aritmética: n termos anuais, sendo o
primeiro de valor C e variando os seguintes
em progressão aritmética de razão h Ci
(ou seja, o montante C é pago em 1t , o
montante C h é pago em 2t , o montante
2C h é pago em 3t ,…).
6.1 Perpetuities immediate with arithmetic-
cally increasing payments in arrears: n
annual payments, the first of amount C and
the following forming an arithmetic
progression with common difference h Ci
(that is, C is payable at 1t , C h is
payable at 2t , 2C h is payable at 3t
,… ).
o Valor Atual
Present Value
2
Ci h
i
( 1C h 2 3
2
12 3 lim limn n
n ii n i
nn n i
Ia v n Iai i
a vv v v
)
6.2 Rendas perpétuas inteiras imediatas de
termos antecipados a variar em progressão
aritmética: n termos anuais, sendo o
primeiro de valor C e variando os seguintes
em progressão aritmética de razão h Ci
(ou seja, o montante C é pago em 0t , o
montante C h é pago em 1t , o montante
2C h é pago em 2t ,…).
6.2 Perpetuities immediate with arithmetic-
cally increasing payments in arrears: n
annual payments, the first of amount C and
the following forming an arithmetic
progression with common difference h Ci
(that is, C is payable at 0t , C h is
payable at 1t , 2C h is payable at 2t ,…
).
o Valor Atual
Present Value
2
1Ci h i
i
( 2
11
i
iC h Ia
i
)
6.3 Rendas perpétuas inteiras diferidas k anos,
de termos normais a variar em progressão
aritmética: n termos anuais, sendo o
primeiro de valor C e variando os seguintes
em progressão aritmética de razão h Ci
(ou seja, o montante C é pago em 1t k , o
montante C h é pago em 2t k , o
montante 2C h é pago em 3t k ,…).
6.3 Perpetuities immediate with arithmetically
increasing payments in arrears: n annual
payments, the first of amount C and the
following forming an arithmetic progression
with common difference h Ci (that is, C is
payable at 1t k , C h is payable at 2t
, 2C h is payable at 3t k ,… ).
o Valor Atual
Present Value
2
kv Ci h
i
( 1C h 1
2|
k
k i
vIa
i
)
6.4 Rendas perpétuas inteiras diferidas k anos,
de termos antecipados a variar em progressão
aritmética: n termos anuais, sendo o
primeiro de valor C e variando os seguintes
em progressão aritmética de razão h Ci
(ou seja, o montante C é pago em t k , o
montante C h é pago em 1t k , o
montante 2C h é pago em 2t k ,…).
6.4 Deferred perpetuities with arithmetically
increasing payments due: n annual payments,
the first of amount C and the following
forming an arithmetic progression with
common difference h Ci (that is, C is
payable at t k , C h is payable at 1t k
, 2C h is payable at 2t k ,… ).
o Valor Atual
Present Value
1
2
kv Ci h
i
( 1C h 2
2|
k
k i
vIa
i
)
7. Rendas com termos a variar de outros modos em tempo discreto e em tempo contínuo
Other annuities with varying payments in discrete and continuous time
7.1 Caso geral em tempo discreto: o montante
1L é pago em 1t , o montante 2L é pago em
2t , …, o montante nL é pago em t n .
7.1 General case in discrete time: 1L is
payable at 1t , 2L is payable at 2t , nL is
payable at t n .
o Valor Atual
Present Value
1
nt
tt
v L
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1
1n
n tt
t
i L
7.2 Caso geral em tempo contínuo: no
intervalo de tempo 0,n , há um fluxo
contínuo de pagamento à taxa , 0,h t t n
.
7.2 General case in continuous time: a
continuous flow of payments is made along
the period of time 0,n . The rate of payment
is , 0,h t t n .
o Valor Atual
Present Value
0
ntv h t dt
o Valor Acumulado
Accumulated Value
0
1n
n ti h t dt
7.3 Casos particulares em tempo contínuo 7.3 Particular cases in continuous time
Estes casos particulares são de algum modo
correspondentes aos vistos na Secção 5.
The following particular cases relate to the
cases studied in Section 5.
7.3.1 h t t
o Valor Atual
Present Value
0
nt n i
n i
nnIa v tdt
va
o Valor Acumulado
Accumulated Value
n i
n i
nIs
s
7.3.2 h t n t
o Valor Atual
Present Value
0
nt n i
n ivDa n t dt
n a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1 n i
n i
nn i
Dss
.
7.3.3 1, 0,1 , 2, 1,2 ,..., , 1,h t t h t t h t t t h t n t n n
o Valor Atual
Present Value
0
nt n i
n i
nnvv tIa dt
a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
n i
n i
s nIs
7.3.4 , 0,1 , 1, 1,2 ,..., , 1,h t n t h t n t h t n t h t n t n n
o Valor Atual
Present Value
0
nt n i
n iv n tDa dt
n a
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1n
n i
n i
iDs
n s
8. Rendas perpétuas com termos a variar de outros modos em tempo discreto e em tempo contínuo
Other perpetuities with varying payments in discrete and continuous time
Se as rendas são perpetuidades, os respetivos
valores atuais obtêm-se tomando o limite das
expressões apresentadas na Secção 8, com
n . Daí resulta que todos os valores
acumulados . Os valores atuais vêm
indicados a seguir. Os comentários da
Subsecção 1.1 continuam válidos.
If the annuities are perpetuities, their present
values can be obtained from the previous
equations in Section 8, taking the limits of the
expressions, when n . Remarks in
Subsection 1.1 are still valid.
.
8.1 Caso geral em tempo discreto: o montante
1L é pago em 1t , o montante 2L é pago em
2t , …
8.1 General case in discrete time: amount 1L
is payable at 1t , amount 2L is payable at
2t ,…
o Valor Atual
Present Value
1
limn
nt
tt
v L
8.2 Caso geral em tempo contínuo: no
intervalo de tempo 0, , há um fluxo
contínuo de pagamento à taxa
, 0,h t t .
8.2 General case in continuous time: a
continuous flow of payments is made along
the period of time 0, . The rate of
payment is , 0,h t t .
o Valor Atual
Present Value
0
limn
ntv h t dt
8.3 Casos particulares em tempo contínuo. 8.3 Particular cases in continuous time.
8.3.1 h t t
o Valor Atual
Present Value
2
0
lim1
n
nt
iIa v tdt
8.3.2 1, 0,1 , 2, 1,2 ,..., 1, 1,h t t h t t h t t t h t t n n
o Valor Atual
Present Value
0
lim
1n
nt
iv t
iIa dt
i
9. Outros regimes de capitalização que não o Regime de Juro Composto
Accumulation regimes other than Compound Interest
Todas as deduções anteriores foram feitas no
pressuposto do RJC (ou seja, à força de juro
ln 1t i , constante ao longo do tempo).
No entanto, não há nada que impeça a
utilização de outros regimes de capitalização,
ou seja, de forças de juro variáveis em função
do tempo. Por exemplo, no Regime de Juro
Simples, , 0.1
t
it
ti
Quando assim é,
impõem-se as necessárias adaptações.
Seguem-se alguns exemplos.
All the preceding results were derived
assuming compound interest (a constant force
of interest ln 1t i during the whole
period of payments by the annuity/perpetuity),
which is the standard procedure. Yet, other
accumulation methods can be used and the
necessary adjustments must be considered.
For instance, in Simple Interest,
, 0.1
t
it
ti
A few examples follow.
Exemplo 1:
Rendas temporárias inteiras imediatas de
termos normais: n termos anuais, de valor 1
cada, pagos nos momentos finais de cada ano
(em 1,2,...,t n ).
Example 1:
Annuities immediate with payments in
arrears: n annual payments, of amount 1
each, made at the end of each year (at
1,2,...,t n ).
o Valor Atual
Present Value 1 2
0 0 0 0
1
...
n t
t t t tdt dt dt dtn
t
e e e e
o Valor Acumulado
Accumulated Value
0 0 11 2
1 1
... 1
n t n nn n
t t t tt t
n t
dt dt dt dtdt dtn n
t t
e e e e e e
Exemplo 2:
Rendas perpétuas inteiras imediatas de termos
normais: n termos anuais, de valor 1
cada, pagos nos momentos finais de cada ano
(em 1,2,...t ).
Example 2:
Perpetuities immediate with payments in
arrears: n annual payments, of amount
1 each, made at the end of each year (at
1,2,...t ).
o Valor Atual
Present Value
0
1
lim
t
tdtn
n
t
e
Exemplo 3:
Rendas temporárias inteiras imediatas de
termos normais a variar em progressão
geométrica: n termos anuais, sendo o primeiro
de valor 1 e variando os seguintes em
progressão geométrica de razão 1 r (ou seja,
1 é pago em 1t , 1 r é pago em 2t ,
2
1 r é pago em 3t ,…, 1
1n
r
é pago
em t n ).
Example 3:
Annuities immediate with geometrically
increasing payments in arrears: n annual
payments, the first of amount 1 and the
following forming a geometric progression
with common ratio 1 r (that is, 1 is payable
at 1t , 1 r is payable at 2t , 2
1 r is
payable at 3t ,…, 1
1n
r
is payable at
t n ).
o Valor Atual
Present Value
1 2
0 0 0 0
1
1 11 ... 1 1
n t
t t t tdt dt dt dtn
t
n te r e r e r e
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1
11
n
t
t
dtn
t
tr e
Exemplo 4:
Rendas perpétuas inteiras imediatas de termos
normais a variar em progressão geométrica:
n termos anuais, sendo o primeiro de
valor 1 e variando os seguintes em progressão
geométrica de razão 1 r (ou seja, 1 é pago
em 1t , 1 r é pago em 2t , 2
1 r é
pago em 3t ,…).
Example 4:
Perpetuities immediate with geometri- cally
increasing payments in arrears: n annual
payments, the first of amount 1 and the
following forming a geometric progression
with common ratio 1 r (that is, 1 is payable
at 1t , 1 r is payable at 2t , 2
1 r is
payable at 3t ,… ).
o Valor Atual
Present Value
0
1
1lim 1
t
tdtn
n
t
tr e
Exemplo 5:
Rendas temporárias inteiras imediatas de
termos normais a variar em progressão
aritmética: n termos anuais, sendo o primeiro
de valor 1 e variando os seguintes em
progressão aritmética de razão 1 (ou seja, o
montante 1 é pago em 1t , o montante 2 é
pago em 2t , o montante 3 é pago em 3t
,…, o montante n é pago em t n ).
Example 5:
Annuities immediate with arithmetically
increasing payments in arrears: n annual
payments, the first of amount 1 and the
following forming an arithmetic progression
with common difference 1 (that is, a payment
of 1 is made at 1t , a payment of 2 is made
at 2t , a payment of 3 is made at 3t ,…, a
payment of n is made at t n ).
o Valor Atual
Present Value 1 2
0 0 0 0
1
2 ...
n t
t t t tdt dt dt dtn
t
e e ne te
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1
n
t
t
dtn
t
te
Exemplo 6:
Rendas perpétuas inteiras imediatas de termos
normais a variar em progressão aritmética:
n termos anuais, sendo o primeiro de
valor 1 e variando os seguintes em progressão
aritmética de razão 1 (ou seja, o montante 1 é
pago em 1t , o montante 2 é pago em 2t ,
o montante 3 é pago em 3t ,…).
Example 6:
Perpetuities immediate with arithmetic- cally
increasing payments in arrears: n annual
payments, the first of amount 1 and the
following forming an arithmetic progression
with common difference 1 (that is, 1 is
payable at 1t , 2 is payable at 2t , 3 is
payable at 3t ,… ).
o Valor Atual
Present Value
0
1
lim
t
tdtn
n
t
te
Exemplo 7:
Caso geral de uma renda temporária em
tempo discreto: o montante 1L é pago em
1t , o montante 2L é pago em 2t , …, o
montante nL é pago em t n .
Example 7:
General case in discrete time: 1L is payable
at 1t , 2L is payable at 2t , nL is payable
at t n .
o Valor Atual
Present Value 1 2
0 0 0 0
1 2
1
...
n t
t t t tdt dt dt dtn
n t
t
L e L e L e L e
o Valor Acumulado
Accumulated Value
1
n
t
t
dtn
t
t
L e
Exemplo 8:
Caso geral de uma perpetuidade em tempo
discreto: o montante 1L é pago em 1t , o
montante 2L é pago em 2t , …
Example 8:
General case in discrete time: 1L is payable at
1t , 2L is payable at 2t ,…
o Valor Atual
Present Value
0
1
lim
t
tdtn
n t
t
L e
Exemplo 9:
Caso geral de uma renda temporária em
tempo contínuo: no intervalo de tempo 0,n ,
há um fluxo contínuo de pagamento à taxa
, 0,h t t n .
Example 9:
General case in continuous time: a
continuous flow of payments is made along
the period of time 0,n . The rate of payment
is , 0,h t t n .
o Valor Atual
Present Value
0
0n
t
sds
h t e dt
o Valor Acumulado
Accumulated Value
0
n
n
st
ds
h t e dt
.
Exemplo 10:
Caso geral de uma perpetuidade em tempo
contínuo: no intervalo de tempo 0, , há
um fluxo contínuo de pagamento à taxa
, 0,h t t .
Example 10:
General case in continuous time: a
continuous flow of payments is made along
the period of time 0, . The rate of payment
is , 0,h t t .
o Valor Atual
Present Value
0
0limn
n
t
sds
h t e dt
Observação: é imediato que tudo se passa de
modo análogo ao que acontece no Regime de
Juro Composto, onde tudo fica mais simples
pelo facto de a força de juro ser uma função
constante. Em todos os casos vistos, não se
faz mais do que a atualização (ou a
capitalização) de cada termo recorrendo à
força de juro.
Remark: it is quite obvious that the procedure
is always the same, in discrete and in
continuous time, with level and varying
payments, with a constant and non-constant
force of interest. The present value (the
accumulated value) of each of the payments in
the annuity must be computed using the force
of interest considered to be appropriate.
Naturally, when the force of interest is a
constant function, it is easier to come to
closed formulas.
1. Rendas vitalícias sobre uma vida
Whole life annuities
1.1 Rendas de vida inteira imediatas de
termos antecipados sobre uma vida com a
idade x: um máximo de x termos anuais,
de valor 1 cada, pagos no início de cada ano
(em 0,1,..., 1 ,t x igual à idade
limite). O primeiro pagamento é certo, os
seguintes só serão feitos enquanto x
sobreviver. O valor atual representa-se por
1xKa
, onde x xK T é a v.a. que representa
o número de anos completos que x irá
sobreviver. xT é a v.a. que representa o tempo
que x irá sobreviver.
1.1 Whole life annuities-due - a whole life
annuity-due on a life aged x provides the
following payments: 1 at age 𝑥 0t which
is certain to be paid; a further payment of 1 at
the end of each year as long as x is still
alive (at 1,..., 1 ,t x representing the
limiting age). The maximum number of
payments is .x The present value is
denoted1xK
a
, where x xK T is the r.v.
representing the curtate future lifetime of x .
xT is the r.v. representing the future life time
of .x
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
10
Ex
xk
x k xKk
a a v p
k xp é a probabilidade do k+1-ésimo
pagamento ser feito (é a probabilidade de x
sobreviver até à idade x k ).
k xp is the probability of the k+1-th payment
being made (it is the probability of x
surviving to age x k ).
1.2 Rendas de vida inteira imediatas de
termos normais sobre uma vida com a idade
x: um máximo de x termos anuais, de
valor 1 cada, pagos no fim de cada ano (em
1,2,...,t x ), enquanto x sobreviver. O
valor atual é representado por xK
a .
1.2 Whole life immediate annuities - a whole
life immediate annuity on a life aged x
provides the following payments: a payment
of 1 at the end of each year as long as x is
alive (at 1,2,...,t x ). The maximum
number of payments is .x The present
value is denotedxK
a .
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
Ex
xk
x k xKk
a a v p
1.3 Rendas de vida inteira antecipadas e
fracionadas sobre uma vida com a idade x: um
máximo de x termos anuais, de valor 1
cada, pagos enquanto x sobreviver, por
meio de m frações de valor 1
m cada, nos
momentos iniciais de cada uma das m partes
iguais em que o ano foi dividido (em
1 1, , ...,0tm m
x ). O valor atual é
representado por
1
, .m
x
m m x
xK
m
mTa K
m
1.3 Whole life annuities payable m times a
year in advance - a whole life annuity payable
m times a year in advance on a life aged x
provides the following payments: annual
payments of amount 1 each are made m-thly
in advance along the year, i.e., m n
payments of amount 1
m each are made as
long as (𝑥) survives and for a maximum of
x years (at 1 1
, , ...,0tm m
x ). The
present value is denoted
1,
mx
m
Km
a
where
.
m x
x
mTK
m
o Valor Atuarial
Expected Present Value
11 1
0, ,...,
1E
mx
m m k
x k xK
m k xm m
a a v pm
1.4 Rendas de vida inteira de termos normais
e fracionadas sobre uma vida com a idade x:
um máximo de x termos anuais, de valor
1 cada, pagos por meio de m frações de valor
1
m cada, nos momentos finais de cada uma
das m partes iguais em que o ano foi dividido
(em 1 2
, ...,,m m
t x ), e desde que x esteja
viva. O valor atual é representado por
.
mx
m
Ka
1.4 Whole life annuities payable m times a
year in arrears - a whole life annuity payable
m times a year in arrears on a life aged x
provides the following payments: annual
payments in arrears of amount 1 each are
made m-thly in arrears along the year, i.e.,
m n payments of amount 1
m each are made
as long as (𝑥) survives and for a maximum of
x years (at 1 2
, ...,,m m
t x ). The
present value is denoted
.m
x
m
Ka
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1 2, ,...,
1E
mx
m m k
x k xK
k t xm m
a a v pm
1.5 Rendas contínuas de vida inteira imediatas
sobre uma vida com a idade x: os pagamentos
são feitos continuamente a uma taxa anual
unitária enquanto x sobreviver e durante no
máximo x anos. O valor atual é
representado por .xT
a
1.5 Whole life continuous annuities - a whole
life continuous annuity on a life aged x
provides the following payments: it is an
annuity payable continuously at a rate of 1
per year as long as (𝑥) survives and for a
maximum of x years.The present value is
denoted .xT
a
o Valor Atuarial
Expected Present Value
0
E t
x
x
x t xTa a e p dt
1.6 Rendas de vida inteira imediatas de
termos antecipados a variar em progressão
geométrica sobre uma vida com a idade x:
enquanto x sobreviver e durante no
máximo x anos serão pagos termos
anuais, sendo o primeiro de valor 1 e variando
os seguintes em progressão geométrica de
razão 1 r (ou seja, 1 é pago em 0t , 1 r
é pago em 1t , 2
1 r é pago em 2t ,…,
1
1x
r
é pago em 1t x ). Neste
caso, como noutros mais à frente, não existe
notação específica para representar a v.a.
‘Valor Atual’ ou o seu Valor Esperado.
1.6 Whole life annuities-due with
geometrically increasing payments - a whole
life annuity-due on a life aged x with
geometrically increasing payments (the first
of amount 1 and the following increasing at a
common ratio 1 r ) provides the following
payments, as long as x survives: 1 at 0t ,
1 r at 1t , 2
1 r at 2t ,…, 1
1x
r
at 1 .t x The maximum number of
payments is .x Here, and in some of the
cases that follow, there is not a specific
notation to denote the r.v. ‘Present Value’
and its Expectation.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
0
1 , calculado à taxa de juro/ *1
xk k
k x x
k
i jEPV j v p a calculated at a rate i
j
1.7 Rendas de vida inteira imediatas de
termos normais a variar em progressão
geométrica sobre uma vida com a idade x:
enquanto x sobreviver e durante no
máximo x anos serão pagos termos
anuais, sendo o primeiro de valor 1 e variando
os seguintes em progressão geométrica de
razão 1 r (ou seja, 1 é pago em 1t , 1 r é
pago em 2t , 2
1 r é pago em 3t ,…,
1
1x
r
é pago em t x ).
1.7 Whole life immediate annuities with
geometrically increasing payments - a whole
life annuity on a life aged x with
geometrically increasing payments in arrear
(the first of amount 1 and the following
increasing at a common ratio 1 r ) provides
the following payments, as long as x survives:
1 at 1t , 1 r at 2t , 2
1 r at 3t ,…,
1
1x
r
at .t x The maximum
number of payments is .x
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
1 , calculado à taxa de juro/ *1
xk k
k x x
k
i jEPV j v p a calculated at a rate i
j
1.8 Rendas de vida inteira imediatas de
termos antecipados a variar em progressão
aritmética sobre uma vida com a idade x:
enquanto x sobreviver e durante no
máximo x anos serão pagos termos
anuais, sendo o primeiro de valor 1 e variando
os seguintes em progressão aritmética de
razão 1 (ou seja, 1 é pago em 0t , 2 é pago
em 1t , 3 é pago em 2t ,…, x é pago
em 1t x ). Neste caso, não existe
notação específica para representar a v.a.
‘Valor Atual’.
1.8 Whole life annuities-due with
arithmetically increasing payments - a whole
life annuity-due on a life aged x with
arithmetically increasing payments (the first
of amount 1 and the following increasing at a
common ratio 1 r ) provides the following
payments, as long as x survives: 1 at 0t , 2
at 1t , 3 at 2t ,…, x at 1 .t x
The maximum number of payments is .x
There is not a specific notation to denote the
r.v. ‘Present Value’.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
0
1x
k
k x
kx
Ia k v p
1.9 Rendas de vida inteira imediatas de
termos normais a variar em progressão
aritmética sobre uma vida com a idade x:
enquanto x sobreviver e durante no
máximo x anos serão pagos termos
anuais, sendo o primeiro de valor 1 e variando
os seguintes em progressão aritmética de
razão 1 (ou seja, 1 é pago em 1t , 2 é pago
em 2t , 3 é pago em 3t ,…, x é pago
em t x ). Neste caso, não existe notação
específica para representar a v.a. ‘Valor
Atual’.
1.9 Whole life annuities immediate with
arithmetically increasing payments - a whole
life annuity-due on a life aged x with
arithmetically increasing payments (the first
of amount 1 and the following increasing at a
common ratio 1 r ) provides the following
payments, as long as x survives: 1 at 1t , 2
at 2t , 3 at 3t ,…, 1
1x
r
at .t x
The maximum number of payments is .x
There is not a specific notation to denote the
r.v. ‘Present Value’.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
xk
k x
kx
Ia kv p
1.10 Rendas de vida inteira com pagamentos
contínuos a crescer em progressão aritmética
– renda de vida inteira sobre uma vida com
idade x em que a taxa de pagamento no ano t
é constante e igual a t, 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝜔 − 𝑥. O
pagamento é feito desde que (𝑥) esteja viva.
Neste caso, também não existe notação
específica para representar a v.a. ‘Valor
Atual’.
1.10 Whole life annuities with arithmetically
increasing continuous payments - a term life
annuity on a life aged x with arithmetically
increasing payments (so that the rate of
payment in the 𝑡th year is constant and equal
to 𝑡, for 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝜔 − 𝑥. Payments are
made as long as (𝑥) survives. There is also no
specific notation to denote the r.v. ‘Present
Value’.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
(𝐼�̅�)𝑥 = ∑ 𝑣𝑡 𝑝𝑥𝑡 ∫ (𝑡 + 1)𝑒−𝛿𝑢 𝑝𝑥+𝑡𝑑𝑢𝑢
1
0
𝜔−𝑥−1
𝑡=0
1.11 Rendas de vida inteira com pagamentos
contínuos a crescer continuamente em
progressão aritmética – renda de vida inteira
sobre uma vida com idade x em que a taxa de
pagamento é igual a 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜔 − 𝑥. O
pagamento é feito desde que (𝑥) esteja viva.
Neste caso, também não existe notação
específica para representar a v.a. ‘Valor
Atual’.
1.11 Whole life annuities with arithmetically
continuously increasing continuous payments
- a whole life annuity on a life aged x with
arithmetically continuously increasing
payments (so that the rate of payment is
changing continuously and is equal to
𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜔 − 𝑥. Payments are made as long
as (𝑥) survives. There is also no specific
notation to denote the r.v. ‘Present Value’.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
(𝐼�̅̅�)𝑥 = ∫ 𝑡𝑒−𝛿𝑡 𝑝𝑥𝑡
𝜔−𝑥
0
𝑑𝑡
2. Rendas temporárias sobre uma vida
Term life annuities
2.1 Rendas imediatas temporárias de termos
antecipados sobre uma vida com a idade x:
um máximo de n termos anuais, de valor 1
cada, pagos no início de cada ano (em
0,1,..., 1t n ). O primeiro pagamento é
certo, os seguintes só serão feitos enquanto
x sobreviver. O valor atual representa-se
por
1
min 1,
0,1,..., 1
, 1,..., 1
x
x
xK
K n
xn
a K na
a K n n x
,
onde xK é a v.a. que representa o número de
anos completos que x irá sobreviver.
2.1 Term life annuities-due - a term life
annuity-due pays 1 at the start of each future
year for a maximum of n years, provided a
life now aged 𝑥 is then alive. Thus, payments
are made at times 0,1,..., 1t n , provided
that x has survived to age .x t The
present value is denoted
1
min 1,
0,1,..., 1
, 1,..., 1
x
x
xK
K n
xn
a K na
a K n n x
,
where xK is the r.v. representing the curtate
future lifetime of x .
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
: min 1,0
Ex
nk
k xx n K nk
a a v p
2.2 Rendas imediatas temporárias de termos
normais sobre uma vida com a idade x: um
máximo de n termos anuais, de valor 1 cada,
pagos no fim de cada ano (em 1,2,...,t n ).
Os pagamentos, incluindo o primeiro, só
serão feitos enquanto x sobreviver. O valor
atual representa-se por
min ,
0,1,..., 1,
1, 2,...
x
x
xK
K n
xn
a K n na
a K n n
.
2.2 Term life immediate annuities - a term life
immediate annuity pays 1 at the end of each
future year for a maximum of n years,
provided a life now aged 𝑥 is then alive. Thus,
payments are made at times 1,2,...,t n ,
provided that x has survived to age .x t
The present value is denoted
min ,
0,1,..., 1,
1, 2,...
x
x
xK
K n
xn
a K n na
a K n n
.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
: min ,1
Ex
nk
k xx n K nk
a a v p
2.3 Rendas temporárias antecipadas e
fracionadas sobre uma vida com a idade x:
um máximo de n termos anuais, de valor 1
cada, pagos por meio de m frações de valor
1
m cada, nos momentos iniciais de cada uma
das m partes iguais em que o ano foi dividido
(em 1 1
, , ...,0 x nm m
t ), e desde que (𝑥)
esteja viva. O valor atual é representado por
1min ,
.m
x
m
K nm
a
2.3 Term life annuities payable m times a year
in advance - a term life annuity payable m
times a year in advance on a life aged x
provides the following payments: annual
payments of amount 1 each are made m-thly
in advance along the year, i.e., m n
payments of amount 1
m each are made as
long as (𝑥) survives and for a maximum of n
years (at 1 1
, , ...,0 x nm m
t ). The present
value is denoted
1min ,
.m
x
m
K nm
a
o Valor Atuarial
Expected Present Value
: 1min , 1 1
0, ,...,
1E
mx
m m k
k xx nK n
m k nm m
a a v pm
2.4 Rendas temporárias de termos normais e
fracionadas sobre uma vida com a idade x: um
máximo de n termos anuais, de valor 1 cada,
pagos por meio de m frações de valor 1
m
cada, nos momentos finais de cada uma das m
partes iguais em que o ano foi dividido (em
1 2,...,, x n
m mt ), e desde que (𝑥) esteja viva.
O valor atual é representado por
min ,.
mx
m
K na
2.4 Term life annuities payable m times a year
in arrears - a term life annuity payable m
times a year in arrears on a life aged x
provides the following payments: annual
payments of amount 1 each are made m-thly
in arrears along the year, i.e., m n
payments of amount 1
m each are made as
long as (𝑥) survives and for a maximum of n
years (at 1 2
,...,, x nm m
t The present value is
denoted
min ,.
mx
m
K na
o Valor Atuarial
Expected Present Value
: min ,
1 2, ,...,
1E
mx
m m k
k xx n K nk n
m m
a a v pm
2.5 Rendas contínuas temporárias imediatas
sobre uma vida com a idade x: os pagamentos
são feitos continuamente a uma taxa anual
unitária enquanto x sobreviver e durante no
máximo n anos. O valor atual é representado
por min ,
.xT n
a
2.5 Term life continuous annuities - a term
life continuous annuity on a life aged x
provides the following payments: it is an
annuity payable continuously at a rate of 1
per year as long as (𝑥) survives and for a
maximum of n years.The present value is
denoted min ,
.xT n
a
o Valor Atuarial
Expected Present Value
: min ,
0
E t
x
n
t xx n T na a e p dt
2.6 Rendas temporárias imediatas de termos
antecipados a variar em progressão
geométrica sobre uma vida com a idade x:
enquanto x sobreviver e durante no
máximo n anos serão pagos termos anuais,
sendo o primeiro de valor 1 e variando os
seguintes em progressão geométrica de razão
1 r (ou seja, 1 é pago em 0t , 1 r é pago
em 1t , 2
1 r é pago em 2t ,…,
1
1n
r
é pago em 1t n ). Neste caso,
não existe notação específica para representar
a v.a. ‘Valor Atual’ ou o seu Valor Esperado.
2.6 Term life annuities-due with geometrically
increasing payments - a term life annuity-due
on a life aged x with geometrically increasing
payments (the first of amount 1 and the
following increasing at a common ratio 1 r )
provides the following payments, as long as
(𝑥) survives: 1 at 0t , 1 r at 1t , 2
1 r
at 2t ,…, 1
1n
r
at 1.t n The
maximum number of payments is .n There is
not a specific notation to denote the r.v.
‘Present Value’ and its Expectation.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
:0
1 , calculado à taxa de juro/ *1
nk k
k x x nk
i jEPV j v p a calculated at a rate i
j
2.7 Rendas temporárias imediatas de termos
normais a variar em progressão geométrica
sobre uma vida com a idade x: enquanto x
sobreviver e durante no máximo n anos serão
pagos termos anuais, sendo o primeiro de
valor 1 e variando os seguintes em progressão
geométrica de razão 1 r (ou seja, 1 é pago
em 1t , 1 r é pago em 2t , 2
1 r é
pago em 3t ,…, 1
1n
r
é pago em t n ).
2.7 Term life immediate annuities with
geometrically increasing payments - a term
life annuity on a life aged x with
geometrically increasing payments in arrear
(the first of amount 1 and the following
increasing at a common ratio 1 r ) provides
the following payments, as long as (𝑥)
survives: 1 at 1t , 1 r at 2t , 2
1 r at
3t ,…, 1
1n
r
at .t n The maximum
number of payments is n.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
:
1
1 , calculado à taxa de juro/ *1
nk k
k x x nk
i jEPV j v p a calculated at a rate i
j
2.8 Rendas temporárias imediatas de termos
antecipados a variar em progressão aritmética
sobre uma vida com a idade x: enquanto x
sobreviver e durante no máximo n anos serão
pagos termos anuais, sendo o primeiro de
valor 1 e variando os seguintes em progressão
aritmética de razão 1 (ou seja, 1 é pago em
0t , 2 é pago em 1t , 3 é pago em 2t
,…, n é pago em 1t n ). Neste caso,
também não existe notação específica para
representar a v.a. ‘Valor Atual’.
2.8 Term life annuities-due with
arithmetically increasing payments - a term
life annuity-due on a life aged x with
arithmetically increasing payments (the first
of amount 1 and the following increasing at a
common difference 1) provides the following
payments, as long as (𝑥) survives: 1 at 0t ,
2 at 1t , 3 at 2t ,…, n at 1.t n The
maximum number of payments is .n There is
also no specific notation to denote the r.v.
‘Present Value’ .
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
0:
1n
k
k x
kx n
Ia k v p
2.9 Rendas temporárias imediatas de termos
normais a variar em progressão aritmética
sobre uma vida com a idade x: enquanto x
sobreviver e durante no máximo n anos serão
pagos termos anuais, sendo o primeiro de
valor 1 e variando os seguintes em progressão
aritmética de razão 1 (ou seja, 1 é pago em
0t , 2 é pago em 1t , 3 é pago em 2t
,…, n é pago em 1t n ). Não existe
notação específica para representar a v.a.
‘Valor Atual’.
2.9 Term life annuities immediate with
arithmetically increasing payments - a term
life annuity-due on a life aged x with
arithmetically increasing payments (the first
of amount 1 and the following increasing at a
common difference 1) provides the following
payments, as long as (𝑥) survives: 1 at 1t ,
2 at 2t , 3 at 3t ,…, n at .t n The
maximum number of payments is .n There is
no specific notation to denote the r.v. ‘Present
Value’ .
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
:1
nk
k x
kx n
Ia k v p
2.10 Rendas temporárias com pagamentos
contínuos a crescer em progressão aritmética
– renda temporária sobre uma vida com idade
x em que a taxa de pagamento no ano t é
constante e igual a t, 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝑛. O
pagamento é feito no máximo durante n
períodos e desde que (𝑥) esteja viva. Neste
caso, também não existe notação específica
para representar a v.a. ‘Valor Atual’.
2.10 Term life annuities with arithmetically
increasing continuous payments - a term life
annuity on a life aged x with arithmetically
increasing payments (so that the rate of
payment in the 𝑡th year is constant and equal
to 𝑡, for 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝑛. The maximum period
of payments is n and payments are made as
long as (𝑥) survives. There is also no specific
notation to denote the r.v. ‘Present Value’.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
(𝐼�̅�)𝑥:𝑛|̅̅ ̅ = ∑ 𝑣𝑡 𝑝𝑥𝑡 ∫ (𝑡 + 1)𝑒−𝛿𝑢 𝑝𝑥+𝑡𝑑𝑢𝑢
1
0
𝑛−1
𝑡=0
2.11 Rendas temporárias com pagamentos
contínuos a crescer continuamente em
progressão aritmética – renda temporária
sobre uma vida com idade x em que a taxa de
pagamento é igual a 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑛. O
pagamento é feito no máximo durante n
períodos e desde que (𝑥) esteja viva. Neste
caso, também não existe notação específica
para representar a v.a. ‘Valor Atual’.
2.11 Term life annuities with arithmetically
continuously increasing continuous payments
- a term life annuity on a life aged x with
arithmetically continuously increasing
payments (so that the rate of payment is
changing continuously and is equal to
𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑛. The maximum period of
payments is n and payments are made as
long as (𝑥) survives. There is also no specific
notation to denote the r.v. ‘Present Value’.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
(𝐼�̅̅�)𝑥:𝑛|̅̅ ̅ = ∫ 𝑡𝑒−𝛿𝑡 𝑝𝑥𝑡
𝑛
0
𝑑𝑡
Observação: É por vezes necessário calcular o
Valor Acumulado de uma renda temporária
sobre a vida humana. Este cálculo obedece ao
mesmo princípio adotado no caso das rendas
certas, com as devidas adaptações: toma-se
como momento de referência o fim do último
período da renda, 𝑡 = 𝑛. Está implícita a
sobrevivência da pessoa até este momento,
para que todos os pagamentos possam ser
efetuados, altura em que tem a idade 𝑥 + 𝑛;
assim sendo, o pagamento efetuado em 𝑡 = 𝑘
deve ser acumulado com a taxa de juro
(multiplicado por (1 + 𝑖)𝑛−𝑘) e com a
mortalidade (multiplicado por 1
𝑝𝑥+𝑘𝑛−𝑘
), ou
seja, deve ser multiplicado por 1
𝐸𝑥+𝑘𝑛−𝑘
, onde
𝐸𝑥+𝑘𝑛−𝑘 = 𝑣𝑛−𝑘 𝑝𝑥+𝑘𝑛−𝑘 . O raciocínio em-
pregado é mais intuitivo se se partir da
(óbvia) igualdade �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑛 �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅
. 𝐸𝑥𝑛 =
𝑣𝑛 𝑝𝑥𝑛 é o chamado ‘fator de atualização
atuarial’. Vem
Remark: Sometimes it is necessary to
calculate the Accumulated Value of a term life
annuity. The process is the same used to
calculate the accumulated value of an annuity
certain. The reference point in time is now
𝑡 = 𝑛, so we assume that the life is alive at
that time (and aged 𝑥 + 𝑛); that is why
payment made at time 𝑡 = 𝑘 is both
accumulated with interest (multiplying by
(1 + 𝑖)𝑛−𝑘 and mortality (multiplying by 1
𝑝𝑥+𝑘𝑛−𝑘
), that is to say payment made at time
𝑡 = 𝑘 is multiplied by 1
𝐸𝑥+𝑘𝑛−𝑘
, where
𝐸𝑥+𝑘𝑛−𝑘 = 𝑣𝑛−𝑘 𝑝𝑥+𝑘𝑛−𝑘 . Still, the most
intuitive approach is �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑛 �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅
.
𝐸𝑥𝑛 = 𝑣𝑛 𝑝𝑥𝑛 is the ‘actuarial discounting
factor’. Then
�̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑛 �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅
⇔ �̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ =
(1 + 𝑖)𝑛
𝑝𝑥𝑛
�̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ =
(1 + 𝑖)𝑛
𝑝𝑥𝑛
∑ 𝑣𝑘 𝑝𝑥𝑘
𝑛−1
𝑘=0
=(1 + 𝑖)𝑛
𝑙𝑥+𝑛
𝑙𝑥
∑ 𝑣𝑘𝑙𝑥+𝑘
𝑙𝑥
𝑛−1
𝑘=0
= ∑(1 + 𝑖)𝑛−𝑘𝑙𝑥+𝑘
𝑙𝑥+𝑛
𝑛−1
𝑘=0
= ∑(1 + 𝑖)𝑛−𝑘
𝑝𝑥+𝑘𝑛−𝑘
𝑛−1
𝑘=0
3. Rendas diferidas sobre uma vida
Deferred life annuities
Uma renda sobre a vida humana diferida u
anos é uma anuidade em que o primeiro
pagamento só será feito depois de decorrido
um certo número de períodos da renda, desde
que a pessoa segura esteja viva nessa altura.
Usando a notação habitual em caso de
diferimento, é bastante imediato o cálculo do
Valor Atuarial das rendas diferidas, a partir de
resultados apresentados anteriormente.
Seguem-se algumas ilustrações. O operador
que faz a ligação com os resultados já
conhecidos é ainda o fator de atualização
atuarial: 𝐸𝑥𝑢
.
A deferred life annuity is an annuity under
which the first payment occurs at some future
time u, given the survival of the life. Using the
same notation as before to identify the
circumstance of deferment, it is possible to
adapt some of the previous results to
calculate the Expected Present Value of
deferred annuities. A few illustrations follow.
Again, the operator connecting the EPV of
deferred annuities to the EPV of non-deferred
annuities is the actuarial discounting
factor: 𝐸𝑥𝑢 .
�̈�𝑥𝑢| = �̈�𝑥 − �̈�𝑥:𝑢|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑢 �̈�𝑥+𝑢
�̈�𝑥(𝑚)
𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̈�𝑥+𝑢(𝑚)
�̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̈�𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅
�̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅(𝑚)
𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̈�𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅
𝑎𝑥𝑢| = 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥:𝑢|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑢 𝑎𝑥+𝑢
𝑎𝑥(𝑚)
𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 𝑎𝑥+𝑢(𝑚)
𝑎𝑥:𝑛|̅̅ ̅𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 𝑎𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅
𝑎𝑥:𝑛|̅̅ ̅(𝑚)
𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 𝑎𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅.
�̅�𝑥𝑢| = �̅�𝑥 − �̅�𝑥:𝑢|̅̅ ̅ = 𝐸𝑥𝑢 �̅�𝑥+𝑢
�̅�𝑥(𝑚)
𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̅�𝑥+𝑢(𝑚)
�̅�𝑥:𝑛|̅̅ ̅𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̅�𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅
�̅�𝑥:𝑛|̅̅ ̅(𝑚)
𝑢| = 𝐸𝑥𝑢 �̅�𝑥+𝑢:𝑛|̅̅ ̅
As definições e comentários anteriores no que
se refere às rendas sobre a vida humana têm
aqui inteira validade, depois de devidamente
adaptados. O aspeto essencial a ter em
atenção é que o que anteriormente se entendia
como ‘a vida’ é agora um grupo de duas vidas
e que o grupo, como tal, sobrevive enquanto
as duas vidas sobreviverem conjuntamente.
Considerem-se assim duas vidas, que no
momento em que o contrato de renda é
celebrado têm as idades atuariais x e y,
respetivamente. Sejam 𝑇𝑥 e 𝑇𝑦 as v.a. que
representam as durações futuras das duas
vidas em causa e seja 𝑇𝑥𝑦 a v.a. que
representa o tempo de vida futura do grupo.
𝑇𝑥𝑦 , que mede o período de tempo que (x) e
(y) sobreviverão conjuntamente, é agora a
variável relevante, pois exprime a duração
futura do grupo. Como a duração conjunta das
duas vidas (x) e (y) termina quando a primeira
delas morrer, é imediato que 𝑇𝑥𝑦 = min{𝑇𝑥
, 𝑇𝑦}. O símbolo (𝑥𝑦) indica que se trata de
um grupo extinguível à primeira morte.
Tal como anteriormente, para se calcular o
Valor Atual Esperado das rendas é necessário
somar o produto dos três fatores seguintes, em
todos os momentos em que um pagamento
está previsto (integrar, se os pagamentos são
em tempo contínuo): (i) o montante devido;
(ii) a probabilidade de o pagamento se
realizar; (iii) o fator de atualização adequado.
O que exige agora particular atenção é o
cálculo das probabilidades em (ii).
Definitions and remarks on life annuities
previously included in the text are necessary
also in this section as they will be used with
the appropriate alterations. The main
difference is that now ‘the life’ is a group
with two lives and the group is alive as long
as the two lives are alive.
Assume two lives, who at the outset of the
contract are assumed to be aged x and y,
respectively, x and y being the integers which
are closest to the ages of the two lives. Let 𝑇𝑥
and 𝑇𝑦 be the future lifetimes of the two lives.
The random variable 𝑇𝑥𝑦 measures the joint
lifetime of (x) and (y) and is now the variable
of interest. The joint lifetime of (x) and (y) is
the time while both lives remain alive, which
is the time until the first death, that is 𝑇𝑥𝑦 =
min{𝑇𝑥 , 𝑇𝑦}. The symbol (𝑥𝑦) specifies the
joint life status. The joint life status 𝑥𝑦 fails
on the first death of (x) and (y).
The same as before, to find the Expected
Present Value of annuities it is necessary to
sum over all the payment dates (or integrate,
if payments are made in continuous time) the
product of: (i) the amount of the payment: (ii)
the probability of payment; (iii) the
appropriate discount factor. The computation
of the probabilities in (ii) requires particular
attention.
Hipótese: 𝑇𝑥 e 𝑇𝑦 são variáveis aleatórias
independentes, pelo que
𝑝𝑥𝑦𝑡 = Pr[(𝑥) e (𝑦)sobreviverem 𝑡 anos]
= 𝑝𝑥𝑡 𝑝𝑦𝑡 .
Assumption: 𝑇𝑥 and 𝑇𝑦 are independent
random variables and then
𝑝𝑥𝑦𝑡
= Pr[(𝑥)and (𝑦)are both alive in 𝑡 years]
= 𝑝𝑥𝑡 𝑝𝑦𝑡 .
4. Rendas sobre duas vidas: grupos extinguíveis à primeira morte
Joint life annuities (two lives)
Usando a notação habitual, é bastante
imediato o cálculo do Valor Atuarial das
rendas sobre grupos extinguíveis à primeira
morte, a partir de resultados apresentados
anteriormente. Seguem-se algumas ilustrações
de rendas de vida inteira e de rendas
temporárias, bem como de rendas diferidas.
Os casos não apresentados deduzem-se sem
dificuldade por analogia.
Using the same notation as before, it is
possible to adapt some of the previous results
to calculate the Expected Present Value of
joint life annuities. A few illustrations follow
of whole life and term annuities, including
annuity contracts where the benefits are deferred.
The missing cases are also quite
straightforward, by analogy.
3.1 Rendas de vida inteira sobre um grupo
(𝑥𝑦), imediatas e de termos antecipados: o
número máximo de termos anuais, de valor 1
cada, é 1 2min , ,max x y sendo 1
e 2 as idades limite de (𝑥) e (𝑦),
respetivamente. Os termos são pagos no início
de cada ano (em 0,1,..., 1);t max o
primeiro pagamento é certo, os seguintes só
serão feitos enquanto o grupo (𝑥𝑦)
sobreviver. O valor atual representa-se por
1xyKa
, onde xyK é a v.a. que representa o
número de anos completos que o grupo irá
sobreviver, isto é, pode escrever-se
min , , ,xy x y x xK K K K T .y yK T
3.1 Whole life annuities-due on a group (𝑥𝑦)
provide the following payments, the maximum
number of payments being
1 2min , :max x y 1 at 𝑡 = 0, which
is certain to be paid; a further payment of 1 at
the end of each year as long as x and y
are alive (at 0,1,..., 1);t max 1 is the
limiting age for x and 2 is the limiting
age for .y The present value is 1xyK
a
,
min , , ,xy x y x xK K K K T ,y yK T
being the r.v. representing the curtate future
lifetime of the joint life group (𝑥𝑦).
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
10
E .xy
maxk
xy k xyKk
a a v p
k xy k x k yp p p é a probabilidade do k+1-
ésimo pagamento ser feito (é a probabilidade
de x sobreviver até à idade x k e y
sobreviver até à idade y k ).
k xy k x k yp p p is the probability of the
k+1-th payment being made (it is the
probability of x surviving to age x k ) and
y surviving to age y k ).
3.2 Rendas de vida inteira sobre um grupo
(𝑥𝑦), antecipadas e fracionadas: termos
anuais num máximo igual a max, de valor 1
cada, pagos enquanto (𝑥𝑦) sobreviver, por
meio de m frações de valor 1
m cada, nos
momentos iniciais de cada uma das m partes
iguais em que o ano foi dividido (em
1, , ...,
10 )t
mmax
m . O valor atual é
1
, .m
xy
xym m
xyK
m
mTa K
m
3.2 Whole life annuities on a group (𝑥𝑦)
payable m times a year in advance provide
the following payments: annual payments of
amount 1 each are made m-thly in advance
along the year, i.e., m n payments of
amount 1
m each are made as long as (𝑥𝑦)
survives and for a maximum of max years (at
1, , ...,
10 )t
mmax
m . The present value is
1
, .m
xy
xym m
xyK
m
mTa K
m
o Valor Atuarial
Expected Present Value
11 1
0, ,..., )
1E .
mxy
m m k
xy k xyK
m k t maxm m
a a v pm
3.3 Rendas de vida inteira sobre um grupo
(𝑥𝑦), imediatas e contínuas: os pagamentos
são feitos continuamente a uma taxa anual
unitária enquanto (𝑥𝑦) sobreviver e durante
no máximo max anos. O valor atual é
representado por .xyT
a
3.3 Whole life continuous annuities on a
group (𝑥𝑦) are annuities payable
continuously at a rate of 1 per year as long as
(𝑥𝑦) survives and for a maximum of max
years.The present value is denoted .xyT
a
o Valor Atuarial
Expected Present Value
0
E t
xy
max
xy t xyTa a e p dt
3.4 Rendas de vida inteira sobre um grupo
(𝑥𝑦), imediatas e de termos antecipados a
variar em progressão geométrica: enquanto
(𝑥𝑦) sobreviver e durante no máximo max
anos serão pagos termos anuais, sendo o
primeiro de valor 1 e variando os seguintes
em progressão geométrica de razão 1 r (ou
seja, 1 é pago em 0t , 1 r é pago em 1t ,
2
1 r é pago em 2t ,…, 1
1max
r
é
pago em 1t max ).
3.4 Whole life annuities-due on a group (𝑥𝑦)
with geometrically increasing payments
provide the following payments, as long as
(𝑥𝑦) survives: 1 at 0t , 1 r at 1t ,
2
1 r at 2t ,…, 1
1max
r
at 1.t max
The maximum number of payments is max.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
0
1 , calculada à taxa de juro/ *1
maxk k
k xy xy
k
i jEPV j v p a calculated at a rate i
j
3.5 Rendas de vida inteira imediatas sobre um
grupo (𝑥𝑦), de termos antecipados a variar
em progressão aritmética: enquanto (𝑥𝑦)
sobreviver e durante no máximo max anos
serão pagos termos anuais, sendo o primeiro
de valor 1 e variando os seguintes em
progressão aritmética de razão 1 (ou seja, 1 é
pago em 0t , 2 é pago em 1t , 3 é pago em
2t ,…, max é pago em 1t max ).
3.5 Whole life annuities-due on a group (𝑥𝑦)
with arithmetically increasing payments
provide the following payments, as long as
(𝑥𝑦) survives: 1 at 0t , 2 at 1t , 3 at 2t
,…, max at 1t max The maximum number
of payments is max.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
0
1max
k
k xy
kxy
Ia k v p
3.6 Rendas de vida inteira sobre um grupo
(𝑥𝑦), com pagamentos contínuos a crescer
anualmente em progressão aritmética: a taxa
de pagamento no ano t é constante e igual a t,
1,2,..., .t max O pagamento é feito enquanto
(𝑥𝑦) sobreviver.
3.6 Whole life annuities on a group (𝑥𝑦) with
arithmetically increasing continuous
payments provide payments as long as (𝑥𝑦)
survives so that the rate of payment in the 𝑡th
year is constant and equal to 𝑡,
1,2,..., .t max
o Valor Atuarial
Expected Present Value
(𝐼�̅�)𝑥𝑦 = ∑ 𝑣𝑡 𝑝𝑥𝑦𝑡 ∫ (𝑡 + 1)𝑒−𝛿𝑢 𝑝𝑥+𝑡:𝑦+𝑡𝑑𝑢𝑢
1
0
.
𝑚𝑎𝑥
𝑡=0
3.7 Rendas de vida inteira sobre um grupo
(𝑥𝑦), com pagamentos contínuos a crescer
continuamente em progressão aritmética: a
taxa de pagamento é igual a 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑚𝑎𝑥. O pagamento é feito desde que (𝑥𝑦)
sobreviva.
3.7 Whole life annuities on a group (𝑥𝑦) with
arithmetically continuously increasing
continuous payments provide payments so
that the rate of payment is changing
continuously and is equal to 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑚𝑎𝑥. Payments are made as long as (𝑥𝑦) survives.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
(𝐼�̅̅�)𝑥𝑦 = ∫ 𝑡𝑒−𝛿𝑡 𝑝𝑥𝑦𝑡
𝑚𝑎𝑥
0
𝑑𝑡.
3.8 Rendas temporárias sobre um grupo (𝑥𝑦),
imediatas e de termos antecipados: um
máximo de n termos anuais, de valor 1 cada,
pagos no início de cada ano (em
0,1,..., 1t n ). O primeiro pagamento é
certo, os seguintes só serão feitos enquanto
(𝑥𝑦) sobreviver. O valor atual representa-se
por
min 1,
10,1,..., 1
., 1,...
xy
xy
K n
xyK
xyn
a
a K n
a K n n
3.8 Term life annuities-due on a group (𝑥𝑦)
provide the following payments: 1 at 𝑡 = 0, which is certain to be paid; a further payment
of 1 at the beginning of each year as long as
x and y are alive (at 0,1,..., 1).t n
The present value is
min 1,
10,1,..., 1
., 1,...
xy
xy
K n
xyK
xyn
a
a K n
a K n n
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
: min 1,0
E .xy
nk
k xyxy n K nk
a a v p
3.9 Rendas temporárias sobre um grupo (𝑥𝑦),
antecipadas e fracionadas: termos anuais num
máximo igual a n, de valor 1 cada, pagos
enquanto (𝑥𝑦) sobreviver, por meio de m
frações de valor 1
m cada, nos momentos
iniciais de cada uma das m partes iguais em
que o ano foi dividido (em 1
, , ...,1
0 )tm
nm
.
O valor atual é
1min ,
.m
xy
m
K nm
a
3.9 Term life annuities due on a group (𝑥𝑦)
payable m times a year provide the following
payments: annual payments of amount 1 each
are made m-thly in advance along the year,
i.e., m n payments of amount 1
m each are
made as long as (𝑥𝑦) survives and for a
maximum of max years (at 1
, , ...,1
0 )tm
nm
.
The present value is
1min ,
.m
xy
m
K nm
a
o Valor Atuarial
Expected Present Value
: 1min , 1 1
0, ,...,
1E
mxy
m m k
k xyxy nK n
m k nm m
a a v pm
3.10 Rendas temporárias sobre um grupo
(𝑥𝑦), imediatas e contínuas: os pagamentos
são feitos continuamente a uma taxa anual
unitária enquanto (𝑥𝑦) sobreviver e durante
no máximo n anos. O valor atual é
representado por min ,
.xyT n
a
3.10 Term life continuous annuities on a
group (𝑥𝑦) are annuities payable
continuously at a rate of 1 per year as long as
(𝑥𝑦) survives and for a maximum of n
years.The present value is denoted min ,
.xyT n
a
o Valor Atuarial
Expected Present Value
: min ,
0
E t
xy
n
t xyxy n T na a e p dt
3.11 Rendas temporárias sobre um grupo
(𝑥𝑦), imediatas e de termos antecipados a
variar em progressão geométrica: enquanto xy
sobreviver e durante no máximo n anos serão
pagos termos anuais, sendo o primeiro de
valor 1 e variando os seguintes em progressão
geométrica de razão 1 r (ou seja, 1 é pago
em 0t , 1 r é pago em 1t , 2
1 r é
pago em 2t ,…, 1
1n
r
é pago em
1t n ).
3.11 Term life annuities-due with
geometrically increasing payments provide
the following payments, as long as (𝑥𝑦)
survives: 1 at 0t , 1 r at 1t , 2
1 r at
2t ,…, 1
1n
r
at 1.t n The maximum
number of payments is n.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
:0
1 , calculado à taxa de juro/ *1
nk k
k xy xy nk
i jEPV j v p a calculated at a rate i
j
3.12 Rendas temporárias imediatas sobre um
grupo (𝑥𝑦) de termos antecipados a variar em
progressão aritmética: enquanto xy sobreviver
e durante no máximo n anos serão pagos
termos anuais, sendo o primeiro de valor 1 e
variando os seguintes em progressão
aritmética de razão 1 (ou seja, 1 é pago em
0t , 2 é pago em 1t , 3 é pago em 2t
,…, n é pago em 1t n ).
3.12 Term life annuities-due with
arithmetically increasing payments provide
the following payments, as long as (𝑥𝑦)
survives: 1 at 0t , 2 at 1t , 3 at 2t ,…, n
at 1t n The maximum number of
payments is n.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
1
0:
1n
k
k xy
kxy n
Ia k v p
3.13 Rendas temporárias sobre um grupo
(𝑥𝑦), com pagamentos contínuos a crescer
anualmente em progressão aritmética: a taxa
de pagamento no ano t é constante e igual a t,
1,2,..., .t n O pagamento é feito enquanto
(𝑥𝑦) sobreviver e durante no máximo n anos.
3.13 Term life annuities on a group (𝑥𝑦) with
arithmetically increasing continuous
payments provide payments as long as (𝑥𝑦)
survives so that the rate of payment in the 𝑡th
year is constant and equal to 𝑡, 1,2,..., .t n
The maximum number of years of payments is
n.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
(𝐼�̅�)𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ = ∑ 𝑣𝑡 𝑝𝑥𝑦𝑡 ∫ (𝑡 + 1)𝑒−𝛿𝑢 𝑝𝑥+𝑡𝑑𝑢𝑢
1
0
𝑛−1
𝑡=0
3.14 Rendas temporárias sobre um grupo
(𝑥𝑦), com pagamentos contínuos a crescer
continuamente em progressão aritmética: a
taxa de pagamento é igual a 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑛. O
pagamento é feito desde que (𝑥𝑦) sobreviva e
durante no máximo n anos.
3.14 Term life annuities on a group (𝑥𝑦) with
arithmetically continuously increasing
continuous payments provide payments so
that the rate of payment is changing
continuously and is equal to 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑛. Payments are made as long as (𝑥𝑦) survives
and for a maximum of n years.
o Valor Atuarial
Expected Present Value
(𝐼�̅̅�)𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ = ∫ 𝑡𝑒−𝛿𝑡 𝑝𝑥𝑦𝑡
𝑛
0
𝑑𝑡.
5. Rendas de sobrevivência
Reversionary annuities
6. Algumas aproximações e outros resultados
A few approximations and other results
7. Rendas sobre mais de duas vidas
Joint life and last survivor annuities (three or more lives)
Referências:
References
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Mathematics, Society of Actuaries.
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Garcia JA & Simões OA (2010). Matemática Actuarial Vida e Pensões, Edições
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Mateus, A (1999), Cálculo Financeiro, 5ª ed., Edições Sílabo, Lisboa.
McCutcheon & W Scott (1986), An Introduction to the Mathematics of Finance,
Heinemann, London.
4. Rendas sobre duas vidas: grupos extinguíveis à última morte
Last survivor life annuities (two lives)