3. Princípios de Conservação no Oceano 3.1. Métodos de estudos de Fluidos Descrição Lagrangiana - basicamente, segue-se individualmente cada partícula

3. Princípios de Conservação no

Oceano 3.1. Métodos de estudos de Fluidos• Descrição Lagrangiana - basicamente, segue-se

individualmente cada “partícula de fluido”. Consequentemente, as duas variáveis independentes são o tempo e o índice (ou rótulo) da partícula.

• Descrição Euleriana - Concentra-se no que acontece no ponto do espaço de coordenadas x, assim as variáveis independentes são x e t.

• Iremos utilizar o método de descrição Euleriana.• O que é derivada Lagrangiana ou substantiva ?

Ilson C. A. da Silveira e André C. K. Schmidt - 2001

aLagrangian Descrição Euleriana Descrição

3.2. Leis de Conservação• Equação de conservação rigorosamente significa que a

taxa de variação total de uma propriedade P é nula. Se existirem fontes e sorvedouros que alterem P, a taxa de variação será diferente de zero:

a) massa e/ou volume

b) momento linear

c) momento angular

d) energia

e) calor e sal


P de

ssorvedouro e fontes

P de total variaçãode taxa

PFPDt

D

amentelagrangianconservadaéPentão

PDt

DFSe P

""

0,0

:PdeExemplos

3.2.1 Conservação da Massa e Continuidade• Uma derivação “Lagrangiana”da Eq. da conservação da

massa seria.• Considere um elemento de fluido de massa m e volume

V.• Se a massa é conservada,

• Usando a definição de densidade: ,

• Como o oceano é aproximadamente incompressível,

• Ou seja há continuidade de volume !


Vm

01

wz

vy

ux

VDt

D

V

volumedefracionaliação

densidadedefracionaliação

VDt

D

VDt

D

varvar

11

0mDt

D

3.2.2 Conservação de Momento Linear• Momento linear é definido como o produto de velocidade

pela massa:

• A equação de conservação do momento é simplesmente a expressão da 2o lei de Newton, ou seja:

• Usando a definição de aceleração:

• Quando expressa por unidade de massa:

Onde:


vmLinearMomento

Fam

FmDt

DouF

Dt

Dm vv

m

F

Dt

Dv

atrito de forças -

naisgravitacio forças -

Coriolis de força -

pressão de gradiente do força -

V

G

C

P

VGCP F

3.3. Forças Atuantes nos Oceanos3.3.a. Força do Gradiente de Pressão• Força associada às tensões normais atuantes num

elemento de fluido• Pode ser gerada por:

inclinação da superfície do mar (barotrópica)

inclinação das isopicnais (baroclínica)

Ilson C. A. da Silveira e André C. K. Schmidt - 2001 dzg

gpz

0

1

mP

3.3.b. Forças de Atrito ou Viscosidade• A relação entre as tensões tangenciais e propriedades do

fluido é obtida pela generalização da lei de Atrito de Newton.

• Lei de atrito de Newton: atrito entre camadas de fluido, em movimento laminar, depende LINEARMENTE do cisalhamento de velocidade.

• O módulo da força tangencial para manter o escoamento em movimento uniforme:

• A força de viscosidade por unidade de área.

• A turbulência do oceano possibilita troca de momento entre parcelas macroscópicas de fluido.

• Esse efeito é parametrizado substituindo por coef. De atrito turbulento “A”.


z

uA

l

uAFzx

0

z

u

z

u

A

Fzxzx

1215

125

10101010

smAsmA

V

H 12610 sm

3.3.c. Forças Gravitacionais

• Resultante da atuação do campo gravitacional terrestre sobre a parcela de água do mar.

• Por unidade de massa,

• onde G é constante universal gravitacional, |r| é a distância entre os centros de massa da terra e da parcela de fluido, aponta para o corpo de menor massa.

• Em termos da coordenada vertical local z,

• Como é uma ótima aproximação.

3.3.d. Forças Geradoras de Maré• Resultante das forças gravitacionais no sistema Terra-

Lua-Sol sobre a parcela de fluido.• Não é do escopo do curso.


||2*

*

r

r

r

GMg

m

G

r

||

;

12*02

*0* r

r

a

GMg

az

gg

*0* , 1 gga

D

3.3.e. Forças Aparentes

• As leis de Newton da mecânica clássica são válidas para referenciais inerciais somente.

• Como estamos presos à terra, um referencial não inercia, é necessário considerar “forças fictícias”.

• Do ponto de vista formal,

onde R é o vetor distância ao eixo de rotação.

(i) Força Centrífuga (por unidade de massa)

• Depende somente da velocidade angular e da distância das partículas ao eixo de rotação.

• Módulo de , aponta para fora.

• Pode-se incluir a força centrífuga no termo da força de gravidade, definindo a força de gravidade efetiva:


iiiR

R

IiI

I

vRvDt

D

vDt

Da

m

F

2

R2

Rgg *

(ii) Força de Coriolis• Por unidade de massa,

• Lembrando:

• assim por componentes:

• Na maioria dos movimentos do oceano, a parte relacionada com pode ser desprezada.


vm

C 2

kwsinji

kwjviu

cos0

v

cos2~

Coriolis) de (parâmetro 2 :onde

~ :vertical

:meridional

~ :zonal

f

sinf

kuf

jfu

iwffv

f~

• As componentes da equação de conservação do momento linear são:

• Zonal:

• Meridional:

• Vertical:


2

221

z

uAuAfv

x

pu

Dt

DVH

2

221

z

vAvAfu

y

pv

Dt

DVH

2

221

z

wAwAg

z

pw

Dt

DVH

2

1223

1236

35

330

11

10

10 10

1010

110

1010

escala-Meso para Básicas Escalas

msg

smAmH

smAsT

mKgmL

mKgmsU

V

H

Conservação do Momento Angular• O momento angular é definido como:

(i) momento de inércia(ii) velocidade angular

• se o momento angular é conservado,•

• Nos fluidos, a grandeza análoga ao momento angular é chamada VORTICIDADE POTENCIAL .

iii

mrmrv 2

0Dt

D constante

fluido do espessura a é H onde , H

f

H

1

f

volume.de oconservaçãpor inércia, de momento ao alproporcion é

planetária de vorticidade chamado tambémé

relativa de vorticidade chamada é

uo

Vorticidade Relativa

• O conceito de vorticidade pode ser entendido como “tendência a girar”. Essa tendência fica clara ao considerarmos o cisalhamento das correntes.

• O exemplo mais simples é:

• Essa vorticidade “relativa”ao escoamento é definida como:

Vorticidade Planetária• O efeito de rotação da terra se faz sentir em termos da

componente vertical do vetor velocidade angular (sin).

• Assim, qualquer coluna d’água vai tender a girar com velocidade angular em sua latitude. Como a vorticidade é o dobro da velocidade angular, a vorticidade planetária é:

y

u

x

v

sinf 2

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