3. Propriedades ondulatórias das 3. Propriedades ondulatórias das partículaspartículas

SumárioSumário

● Ondas de de BroglieOndas de de Broglie● Pacotes de ondaPacotes de onda● Difração de partículasDifração de partículas● Microscópio eletrônicoMicroscópio eletrônico● Princípio da incertezaPrincípio da incerteza

FótonsFótons

● Ondas eletromagné-Ondas eletromagné-ticas têm propriedades ticas têm propriedades corpuscularescorpusculares

● Energia do fótonEnergia do fóton

E = h E = h ν = hc/λν = hc/λ● h = 6,63x10h = 6,63x10-34-34 J.s: J.s:

constante de Planckconstante de Planck● Momentum do fótonMomentum do fóton

p = E/c = h/λp = E/c = h/λ

Hipótese de Louis de BroglieHipótese de Louis de Broglie● (1924): as partículas (1924): as partículas

materiais têm também materiais têm também propriedades ondulatórias.propriedades ondulatórias.

● O comprimento de onda O comprimento de onda associado a uma partícula associado a uma partícula de momentum p é de momentum p é

λ = h/pλ = h/p● momentum relativísticomomentum relativístico

p = p = γγ m m00 v v

mm00 : massa de repouso : massa de repouso

ProblemasProblemas

● Qual o comprimento de onda de De Broglie de um Qual o comprimento de onda de De Broglie de um elétron que tem energia cinética de 120 eV? E se o elétron que tem energia cinética de 120 eV? E se o elétron tiver 2 GeV?elétron tiver 2 GeV?

● Qual o comprimento de onda de uma bola de Qual o comprimento de onda de uma bola de “betes” com 150 g, arremessada com a velocidade “betes” com 150 g, arremessada com a velocidade de 35 m/s?de 35 m/s?

Ondas de luz e fótons● caracterizadas tanto

pelo campo elétrico E (onda) como pelo fóton (partícula)

● a densidade de

energia armazenada no campo elétrico é proporcional a E2

● a probabilidade de detectar um fóton é proporcional a E2 em cada ponto

Ondas de matériaOndas de matéria

● Caracterizadas pela Caracterizadas pela função de onda função de onda ΨΨ

● O valor de Ψ associa-da O valor de Ψ associa-da a uma partícula num a uma partícula num ponto (x,y,z) e no tempo ponto (x,y,z) e no tempo t está relacionado à t está relacionado à probabilidade de se probabilidade de se encontrar a partícula encontrar a partícula naquela posição e naquela posição e naquele instante.naquele instante.

λ = h/p é o comprimento de onda da onda de matéria correspondente à partícula de momentum p = γm

0v

Probabilidade e a função de ondaProbabilidade e a função de onda

● Ψ não tem significado Ψ não tem significado físico direto (Ψ é físico direto (Ψ é complexo em geral!)complexo em geral!)

● A probabilidade de A probabilidade de encontrar a partícula no encontrar a partícula no ponto (x,y,z) e instante t ponto (x,y,z) e instante t é proporcional a é proporcional a

|Ψ||Ψ|22=Ψ*Ψ=Ψ*Ψ

onde Ψ* é o complexo onde Ψ* é o complexo conjugado de Ψconjugado de Ψ

Ondas progressivasOndas progressivas● y(x,t) = A cos(kx-y(x,t) = A cos(kx-ωt)ωt)● y: grandeza físicay: grandeza física● A: amplitude A: amplitude ● x: direção de propagaçãox: direção de propagação● λλ: comprimento de onda: comprimento de onda● k = 2π/λ: número de ondak = 2π/λ: número de onda● νν =1/ =1/ττ:frequência (s:frequência (s-1-1=Hz)=Hz)● ω = 2πν: frequência ω = 2πν: frequência

angular (rad/s)angular (rad/s)

Velocidade de faseVelocidade de fase● kx-ωt: fase da ondakx-ωt: fase da onda● a fase varia de 0 a 2a fase varia de 0 a 2ππ

num ciclo completonum ciclo completo● num referencial que se num referencial que se

propaga junto com a propaga junto com a onda a fase é constanteonda a fase é constante

d(kx-ωt)/dt = 0d(kx-ωt)/dt = 0

k(dx/dt) – k(dx/dt) – ωω = 0 = 0● w: velocidade de fasew: velocidade de fase

w = w = ωω/k = /k = νν λλ

BatimentoBatimento● interferência de duas ondas com frequências interferência de duas ondas com frequências

próximas e números de onda próximospróximas e números de onda próximos

yy1 1 = A cos(kx-= A cos(kx-ωt)ωt)

yy22 = A cos[(k+dk)x-(ω+d = A cos[(k+dk)x-(ω+dωω))t]t]

y = yy = y11+y+y

22= 2A cos(kx-ωt) cos[(dk/2)x-(dω/2)t]= 2A cos(kx-ωt) cos[(dk/2)x-(dω/2)t]

● a onda resultante é modulada em amplitudea onda resultante é modulada em amplitude

Velocidade de grupoVelocidade de grupo● o batimento forma o batimento forma

grupos de onda grupos de onda caracterizada porcaracterizada por cos[(dk/2)x-(dω/2)t]cos[(dk/2)x-(dω/2)t]

● velocidade do grupovelocidade do grupo

u =u = (dω/2)/(dk/2)(dω/2)/(dk/2)

u = du = dωω/dk/dk● w = u se a velocidade w = u se a velocidade

da onda for a mesma da onda for a mesma para todos os para todos os comprimentos de ondacomprimentos de onda

w é diferente de u para ondas dispersivas (a velocidade da ondaé diferente para cada comprimentode onda)

Ondas de gravidade (águas profundas)Ondas de gravidade (águas profundas)

● relação entre a relação entre a frequência e número de frequência e número de ondaonda

ω=√gkω=√gk● g: acel. da gravidadeg: acel. da gravidade● vel. de fase: w = √g/kvel. de fase: w = √g/k● vel. de grupo: u = w/2vel. de grupo: u = w/2● como w≠u a onda é como w≠u a onda é

dispersivadispersiva

Ondas de gravidade (águas rasas)Ondas de gravidade (águas rasas)

● relação entre a relação entre a frequência e número de frequência e número de ondaonda

ω=k√ghω=k√gh● h: profundidadeh: profundidade● vel. de fase: w = √ghvel. de fase: w = √gh● vel. de grupo: u = wvel. de grupo: u = w● como w=u a onda é como w=u a onda é

não-dispersivanão-dispersiva

Velocidade de fase das ondas de matériaVelocidade de fase das ondas de matéria

w = w = νλνλ (ondas em geral) (ondas em geral)

● λλ=h/=h/γγmm00v (de Broglie)v (de Broglie)

● νν=E/h==E/h=γγmm00cc22/h (Planck)/h (Planck)

w=cw=c22/v /v ● Como v < c, então w > v Como v < c, então w > v

(paradoxo???)(paradoxo???)● A velocidade de fase da A velocidade de fase da

onda de matéria não é a onda de matéria não é a velocidade da partículavelocidade da partícula

Pacote de ondasPacote de ondas

● soma de um número soma de um número infinito de ondas de infinito de ondas de matériamatéria

● forma um grupo de forma um grupo de ondasondas

● as ondas constituintes as ondas constituintes têm amplitudes que têm amplitudes que variam com a variam com a probabilidade de probabilidade de detectar a partículadetectar a partícula

Velocidade de grupo das ondas de Velocidade de grupo das ondas de matériamatéria

u=u=ddω/dkω/dk=(=(dω/dv)/(dk/dv)dω/dv)/(dk/dv)

● ωω=2=2ππmm00cc22 γ(v)/hγ(v)/h

● kk=2=2ππmm00 v v γ(v)/hγ(v)/h

u=vu=v● Como v < c, então u <cComo v < c, então u <c● A velocidade de grupo é a A velocidade de grupo é a

velocidade da partículavelocidade da partícula

Difração de elétronsDifração de elétrons

● Difração: fenômeno Difração: fenômeno ondulatórioondulatório

● Feixe de elétrons equivale Feixe de elétrons equivale a uma onda de matériaa uma onda de matéria

● Comprimento de onda de Comprimento de onda de De Broglie De Broglie λ = h/p λ = h/p

● Comprovação Comprovação experimental da natureza experimental da natureza ondulatória das partículasondulatória das partículas

Experiência de Davisson-Germer

● feixe de elétrons de energia cinética 54 eV dirigido perpendicularmente à superfície de cristal de Níquel

● observado um máximo pronunciado na distribuição de elétrons a um ângulo de 500 com o feixe incidente

Máximos de difração de elétronsMáximos de difração de elétrons

● feixe incidente faz um ângulo feixe incidente faz um ângulo de de θ=θ=656500 com os planos com os planos atômicos do cristalatômicos do cristal

● espaçamento entre os planos espaçamento entre os planos atômicos d = 0,091 nmatômicos d = 0,091 nm

● máximo de difração quando máximo de difração quando (condição de Bragg) (condição de Bragg)

nnλ = 2d sen θ = 0,165 nmλ = 2d sen θ = 0,165 nm

onde n=1, 2, 3, ....onde n=1, 2, 3, ....

Comprimento de De Broglie dos Comprimento de De Broglie dos elétronselétrons

● energia cinética K = 54 eV = energia cinética K = 54 eV = ● baixa quando comparada à energia de repouso baixa quando comparada à energia de repouso

(0,511 MeV): podemos usar fórmula não-(0,511 MeV): podemos usar fórmula não-relativística (v << c)relativística (v << c)

● K = mvK = mv22/2=p/2=p22/2m onde p=mv: momentum/2m onde p=mv: momentum

p = 4,0 x 10p = 4,0 x 10-24-24 kg.m/s kg.m/s● λ = h/p=1,66 x 10λ = h/p=1,66 x 10-10-10m = 0,166 nmm = 0,166 nm● ótima concordância com o primeiro máximo de ótima concordância com o primeiro máximo de

difração (n=1)difração (n=1)

Experiência de G. P. ThompsonExperiência de G. P. Thompson

● alvo consistia de uma película metálica: um grande alvo consistia de uma película metálica: um grande número de microcristais orientados ao acaso (planos número de microcristais orientados ao acaso (planos atômicos)atômicos)

● é possível ver um grande número de máximos de é possível ver um grande número de máximos de difraçãodifração

● comparação da difração de elétrons e raios-Xcomparação da difração de elétrons e raios-X

Microscópio eletrônicoMicroscópio eletrônico● utiliza feixes de elétrons utiliza feixes de elétrons

(ondas de matéria) ao (ondas de matéria) ao invés de luz (ondas invés de luz (ondas eletromagnéticas)eletromagnéticas)

● permite uma resolução permite uma resolução 100 mil vezes maior do 100 mil vezes maior do que o microscópio que o microscópio ótico, pois ótico, pois λ é muito λ é muito menor do que para a luzmenor do que para a luz

● aumento de 10 milhões aumento de 10 milhões de vezes contra 2000 do de vezes contra 2000 do microscópio óticomicroscópio ótico

Centro de Microscopia Eletrônica da UFPR - Curitiba

Tipos de microscópio eletrônicoTipos de microscópio eletrônico

TransmissãoVarredura

Pacote de ondaPacote de onda● somatória de um grande somatória de um grande

número de ondas número de ondas ● centro do pacote está centro do pacote está

associado à posição x associado à posição x da partículada partícula

● comprimento de onda comprimento de onda de De Broglie está de De Broglie está associado ao associado ao momentum p da momentum p da partículapartícula

Pacote de ondas estreito

● largura do pacote de onda = incerteza Δx na determinação da posição x da partícula

● pacotes estreitos tem baixa incerteza Δx na determinação de x

● mas pacotes estreitos são feitos de muitas ondas = incerteza Δk na determinação do número de onda k=2π/λ é alta

Pacote de ondas largo

● largura do pacote de onda = incerteza Δx na determinação da posição x da partícula

● pacotes largos têm grande incerteza Δx na determinação de x

● mas pacotes largos são feitos de poucas ondas = incerteza Δk na determinação do número de onda k=2π/λ é baixa

Produto das incertezas● o comprimento de De

Broglie λ = h/p está rela-cionado ao momentum p

● incerteza grande na po-sição Δx = incerteza pe-quena no momentum Δp

● incerteza pequena na posição Δx = incerteza grande no momentum Δp

● o produto das incertezas é finito: Δx Δp = cte. = ???

Princípio da incertezaPrincípio da incerteza● Descoberto por Descoberto por

Heisenberg em 1927Heisenberg em 1927● decorre da natureza decorre da natureza

ondulatória da matériaondulatória da matéria

● onde é o “h onde é o “h cortado”: cortado”:

Microscópio de raios gama

● para visualizar um elétron precisamos usar ondas EM com baixo λ (raios gama)

● quando um fóton de raios gama incide sobre o elétron, este muda a sua trajetória

● o fóton refletido pelo elétron é detectado pelo observador

Incerteza na determinação do Incerteza na determinação do momentum do elétron momentum do elétron

● cada fóton possui cada fóton possui momentum h/momentum h/λ e quando λ e quando colide com o elétron há colide com o elétron há uma variação no uma variação no momentum p do elétronmomentum p do elétron

● esta variação é da ordem esta variação é da ordem do momentum do fóton: do momentum do fóton: Δp = h/λΔp = h/λ

● quanto maior λ, menor quanto maior λ, menor será Δpserá Δp

Incerteza na determinação da posição Incerteza na determinação da posição do elétrondo elétron

● a incerteza a incerteza Δx Δx na na posição do elétron é da posição do elétron é da ordem do comprimento ordem do comprimento de onda de onda λ λ da luz da luz empregada empregada

● produto das incertezas produto das incertezas

ΔpΔx = (h/λ)ΔpΔx = (h/λ)λλ = h = h● compatível com o compatível com o

princípio de Heisenbergprincípio de Heisenberg

Problema resolvidoProblema resolvido

● Suponha que o momentum de uma certa partícula Suponha que o momentum de uma certa partícula pode ser medido com uma precisão de uma parte em pode ser medido com uma precisão de uma parte em mil. Determine a incerteza mínima na posição da mil. Determine a incerteza mínima na posição da partícula se a partícula é: (a) uma bolinha de massa partícula se a partícula é: (a) uma bolinha de massa 5 g movendo-se com velocidade de 2 m/s; (b) um 5 g movendo-se com velocidade de 2 m/s; (b) um elétron movendo-se com velocidade 0,6 c.elétron movendo-se com velocidade 0,6 c.

Problemas propostosProblemas propostos

● Qual a incerteza na localização de um fóton de Qual a incerteza na localização de um fóton de comprimento de onda 300 nm se este comprimento comprimento de onda 300 nm se este comprimento de onda é conhecido com uma precisão de uma parte de onda é conhecido com uma precisão de uma parte em um milhão?em um milhão?

● Suponha que a incerteza no momentum de uma Suponha que a incerteza no momentum de uma partícula seja igual ao próprio momentum da partícula seja igual ao próprio momentum da partícula. Qual é a mínima incerteza na partícula. Qual é a mínima incerteza na determinação da posição da partícula em termos do determinação da posição da partícula em termos do seu comprimento de onda de De Broglie?seu comprimento de onda de De Broglie?

Presença de elétrons em núcleosPresença de elétrons em núcleos

● aplicação do princípio da incerteza de Heisenbergaplicação do princípio da incerteza de Heisenberg● núcleos típicos têm raios < 10núcleos típicos têm raios < 10-14 -14 mm● se um elétron está confinado num núcleo a incerteza se um elétron está confinado num núcleo a incerteza

na posição deve ser na posição deve ser Δx = 10Δx = 10-14 -14 mm● a incerteza no momentum do elétron éa incerteza no momentum do elétron é

Δp ≥ h/(2πΔx) = 1,1 x 10Δp ≥ h/(2πΔx) = 1,1 x 10-20-20 kg.m/s kg.m/s ● a energia cinética do elétron, neste caso, teria de sera energia cinética do elétron, neste caso, teria de ser

K K ≈≈ p c = 3,3 x 10 p c = 3,3 x 10-12-12 J > 20 MeV (impossível) J > 20 MeV (impossível)

Problema propostoProblema proposto

● Considere o raio do átomo de hidrogênio como Considere o raio do átomo de hidrogênio como sendo igual a 5 x 10sendo igual a 5 x 10-11-11 m. Obtenha a incerteza do m. Obtenha a incerteza do momento correspondente do elétron e mostre que a momento correspondente do elétron e mostre que a ordem de grandeza da sua energia cinética é 17 eV, ordem de grandeza da sua energia cinética é 17 eV, um valor perfeitamente plausível.um valor perfeitamente plausível.

FIMFIM