Olá estudantes!

Esta semana vamos estudar na Aula Paraná, para ajudar em seus estudos, você está recebendo o

resumo dos conteúdos. Relembrando que teremos cinco aulas e vamos tratar sobre:

AULA 29 – POSIÇOES RELATIVAS ENTRE RETA E A CIRCUNFERÊNCIA

Os objetivos dessa aula é resolver inequações do 2º grau com duas incógnitas e identificar as

posições relativas entre a reta e a circunferência.

Relembrando

• Inequação representa a desigualdade entre duas expressões matemáticas, cujo objetivo é

determinar os valores das variáveis que satisfazem essa desigualdade.

• Uma inequação envolvendo uma circunferência admite infinitas soluções que podem ser

representadas num sistema de eixos.

• Lembrar que:

AULA: 29 Posições relativas entre a reta e a circunferência

AULA: 30 Retomada – Matemática Financeira

AULA: 31 Retomada - Polinômios

AULA: 32 Retomada - Reta e suas equações

AULA: 33 Retomada - Circunferência

MATEMÁTICA

3ª Série SEMANA 08

EXEMPLOS

1 - Resolver graficamente a inequação de 2º grau com 2 incógnitas: x2 + y2 – 4x – 4y + 5 < 0

sabendo que para a circunferência de Centro (x,y), ou seja f(x,y) < 0 refere-se aos pontos

internos da circunferência; decompondo a inequação para a estrutura algébrica da equação

reduzida da reta temos que: f (x, y) = (x – 2) 2 + (y – 2) 2 – 3 < 0

Resposta

f (x, y) = (x – 2) 2 + (y – 2) 2 – 3 < 0

Relembrando::Existem 3 posições possíveis entre uma circunferência e uma reta no plano:

a) A reta r é secante a circunferência; ambas possuem dois pontos em comum. drC < R

b) A reta r é tangente a circunferência; ambas possuem somente um ponto em comum. drC = R

c) A reta r é externa a circunferência e ambas não possuem nenhum ponto em comum. drC > R

EXEMPLO

1 - Determine a que distância está o ponto A(– 2, 3) da reta t: 4x + 3y – 2 = 0.

Dica : Utilize a fórmula Resposta: 1

5

2 - Verifique se a reta s: 2x + y + 2 = 0 é tangente à circunferência de equação:

(x – 1)2 + (y – 1)2 = 5

Resolução: Devemos verificar se a distância do centro da circunferência até a reta s é igual à

medida do raio.

Da equação da circunferência, temos que: x0 = 1 e y0 = 1 → O(1, 1) e r2 = 5 → r = √5. E da

equação da reta, obtemos: a = 2, b = 1 e c = 2

Vamos aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta.

Resposta: Como dOs = R podemos afirmar que a reta s é tangente à circunferência.

AULA 30 –RETOMADA - MATEMÁTICA FINANCEIRA

O objetivo desta aula será resolver problemas relacionados à Matemática financeira

(porcentagem, juros simples e compostos).

Relembrando

• Porcentagem é uma proporção de uma quantidade em relação a uma outra (avaliada sobre a

centena % percentual)

EXEMPLO

1 - O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de 20% na

venda dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la?

Resolução

20% = 20

100 = 0,2 20% de 210,0 0,2 x 210,00 = 42,00 210,00 + 42,00 = 252,00

Resposta: Devemos vendê-la por R$ 252,00 para que se tenha um lucro de 20 %.

2 - Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-

se determinar o valor dos juros acumulados neste período.

J = C . i . n

Dados

C = R$ 80.000,00

i = 2,5% AO MÊS (0,025) lembre que 2,5: 100 = 0,025

n = 3 MESES

J = ?

Resolução

J = 80.000,00 . 0,025 . 3

J = R$ 6.000,00

3 - Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês

durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos juros

incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.

Dados

C = ?

i = 6% AO MÊS (0,06)

n = 9 MESES

J = R$ 270.000,00

Resolução

4 - Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determine o valor

acumulado ao final deste período.

M = C . ( 1 + i . n)

Dados

M = ?

i = 1,5% AO MÊS (0,015)

n = 8 meses

C = R$ 18.000,00

Resolução

M = 18.000,00 (1 + 0,015 × 8) M = 18.000,00 × 1,12 = R$ 20.160,00

5 - Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá depositar hoje

numa caderneta de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?

M = C . (1 + i)n

Dados

Juros Compostos

i = 1,7% ao mês (0,017)

n = 12 meses (1ano)

Resolução

6 - Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8

meses à taxa de juros compostos de 3,5% a.m.? M = C . (1 + i)n

Dados

M = ?

i = 3,5% ao mês (0,035)

n = 8 meses

C = R$12.000,00

Resolução

M = 12.000,00 . ( 1 + 0,035)8

M = 12.000,00 . ( 1 + 0,035)8

M = 12.000,00 . 1,316809 R$ 15.801,71

AULA 31 – RETOMADA – POLINÔMIOS

Os objetivos desta aula será identificar um polinômio e seu grau, reconhecer, adicionar,

subtrair, multiplicar e dividir polinômios; decompor e resolver problemas que envolvam

polinômios.

Relembrar

• Os polinômios são expressões algébricas formadas por números (coeficientes) e letras

(partes literais). As letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da

expressão: axn ... + ax4 + ax3 + ax2 + ax1 + ax0

• O grau de um polinômio é representado pelo maior expoente da sua variável, quando a

variável for única.

• Obtemos o valor numérico de um polinômio quando substituímos o valor da variável por um

valor constante, ou seja, x = k (constante).

EXEMPLOS

1 - Determine o grau do polinômio Q(x) e os valores numéricos para x = 1.

Q(x) = 7x5 + 2x3 + 4x – 7

Resolução

Q(1) = 7.(1)5 + 2.(1)3 + 4.(1) – 7

Q(1) = 7.1 + 2.1 + 4.1 – 7

Q(1) = 7 + 2 + 4 – 7

Q(1) = 6

gr(Q) = 5

2 - Determine os valores de a, b, c e d de modo que P(x) Q(x), sendo:

P(x) = ax³ + 2x² + cx + d Q(x)= x³ + bx² + 4x.

Resolução

3 - Determine o polinômio O(x) = P(x) + Q(x), sendo P(x) = 4x5 + 8x3 + 5x + 2 e

Q(x) = 3x5 – 6x3 – x – 9:

Resolução

O(x) = (4+3)x5 + (8+(– 6))x3 + (5+(– 1))x + (2+(– 9))

O(x) = 7x5 + 2x3 + 4x – 7

4 - Dados P(x) = (3x – 1) e Q(x) = (5x2 + 2),determine o produto (P.Q)(x):

5 – Resolva a divisão entre os polinômios pelo método da chave:

(6x4 – 10 x3 + 9x2 + 9x – 5) : ( 2x² – 4x + 5)

AULA 32 – RETOMADA – RETA E SUAS EQUAÇÕES

O objetivo desta aula é compreender e aplicar o estudo analítico do ponto e da reta: distância

entre dois pontos, alinhamento entre três pontos, equação geral e reduzida de uma e reta.

Relembrando

• Distância entre dois pontos

EXEMPLO

1 - Em um plano, qual a distância entre o ponto A (3, 1) e o ponto B (1, 2)?

Resolução

2 - Verifique se os pontos A(5, 5), B(1, 3) e C(0, 5) estão alinhados.

Dica: Para solução devemos fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B

e C e verificar se o resultado é igual a zero.

Resolução

3 - Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(–1, 8) e B(–5, –1).

4 - De acordo com os pontos A (2, 4) e B (1, –3) encontre a equação reduzida da reta:

Resolução

1º Passo: Encontrar o coeficiente angular m utilizando as coordenadas oferecidas e a equação

reduzida: (yB – yA) = m(xB – xA)

(– 3 – 4) = m (1 – 2) m = 7

2º Passo: Substitua o coeficiente angular e as coordenadas de A na equação:

(y – 4) = 7 (x – 2) y – 4 = 7x – 14

– 7x + y = – 10 7x – y = 10

AULA 33 – RETOMADA - CIRCUNFERÊNCIA

Os objetivos desta aula ão compreender e aplicar os conceitos da circunferência na geometria

analítica, equação reduzida e posições relativas entre a circunferência.

Relembrando:

• Distância entre dois pontos:

EXEMPLO

1 - Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C (– 4, 4) e raio r = 4.

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Resolução

2 - Encontre a equação geral da circunferência centrada em (1, 1) e raio 4.

Resolução

1º passo: definir a equação reduzida: (x – 1)2 + (y – 1)2 = 42]

2º passo: Desenvolver os quadrados da equação reduzida e obter a equação geral.

(x – 1)2 + (y – 1)2 = 42 (equação reduzida)

x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 = 16

x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 – 16 = 0

x2 + y2 – 2x – 2y – 14 = 0 (equação geral)

RELEMBRANDO

EXEMPLOS

1 - Analise a posição relativa entre o ponto A (–2, 2) e a circunferência M: (x + 1)2 + (y + 1)2 = 9.

Resolução

1º Passo: Obtemos o centro e o raio da circunferência, a partir da equação: C (–1, –1) e raio 3.

2º Passo: Calcular a distância do ponto até o centro.

3º Passo: Comparar essa distância com o raio e fazer a análise: r = 3 e dAC 3,16.

r < d, então A é externo.

RELEMBRANDO

• Posições relativas: a reta e a circunferência

EXEMPLOS

1 - Verifique a posição relativa entre a reta m: 3x + y – 13 = 0 e a circunferência de equação

(x – 3)2 + (y – 3)2 = 25.

Resolução

Para solução devemos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta m e comparar com

a medida do raio.

1º Passo: Obter da equação da circunferência:

xc = 3 e yc = 3 C (3, 3)

r2 = 25 r = 5

2º Passo: Agora, utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta para calcular a distância entre C e m.

3º Passo: Obter, da equação geral da reta: a = 3, b = 1 e c = – 13

4º Passo: Comparar distância e o raio: dCm = 0,316 r = 5 dCm < r m é interna.

Exercícios Aula

AULA 29 – POSIÇOES RELATIVAS ENTRE RETA E A CIRCUNFERÊNCIA

1 – Calcule e indique a distância entre o ponto P(0, 10) e a reta s: x – y + 1 = 0.:

a) 9√2/2

b) 9√3/2

c) 8√2/3

d) 9√5/2

2 – Qual o posicionamento da reta r, dada pela equação 2x + y – 1 = 0 em relação à circunferência de equação x² + y² + 6x – 8y = 0?

a) a reta é secante à circunferência.

b) a reta é tangente à circunferência.

c) a reta é externa à circunferência.

AULA 30 –RETOMADA - MATEMÁTICA FINANCEIRA

1. Luís aplicou R$ 2500,00 à taxa de 2% ao mês, durante 5 meses. Quanto receberá de juros se

o regime da aplicação for de juros simples?

a) Luís receberá R$ 25,00 de juros.

b) Luís receberá R$ 250,00 de juros.

c) Luís receberá R$ 2500,00 de juros.

d) Luís receberá R$ 3125,00 de juros.

2. Andrea deseja aplicar R$ 18000,00 a juros compostos de 0,5% ao mês. Que montante ela

terá após 1 ano de aplicação?

a) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19080,00.

b) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19110,00.

c) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19118,00.

d) Após um ano de aplicação Andrea terá R$29160,00.

Escola/Colégio:

Disciplina: Matemática Ano/Série: 3ª Série

Estudante:

AULA 31 – RETOMADA – POLINÔMIOS

1. Luís aplicou R$ 2500,00 à taxa de 2% ao mês, durante 5 meses. Quanto receberá de juros se

o regime da aplicação for de juros simples?

a) Luís receberá R$ 25,00 de juros.

b) Luís receberá R$ 250,00 de juros.

c) Luís receberá R$ 2500,00 de juros.

d) Luís receberá R$ 3125,00 de juros.

2. Andrea deseja aplicar R$ 18000,00 a juros compostos de 0,5% ao mês. Que montante ela

terá após 1 ano de aplicação?

a) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19080,00.

b) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19110,00.

c) Após um ano de aplicação Andrea terá R$19118,00.

d) Após um ano de aplicação Andrea terá R$29160,00.

AULA 32 – RETOMADA – RETA E SUAS EQUAÇÕES

1. Em um plano, qual a distância entre o ponto A (1, 3) e o ponto B (9, 9)?

a) √28

b) 10

c) 12

d) 2√7

2. Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos A (1, 2) e B (3, 1).

a) 3x + 4y – 5 = 0

b) x + 2y – 6 = 0

c) x + 2y – 5 = 0

d) 3x + 2y – 7 = 0

AULA 33 – RETOMADA - CIRCUNFERÊNCIA

1. Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C (– 3, 6) e diâmetro = 8.

a) (x + 3)2 + (y – 6)2 = 16

b) (x - 3)2 + (y – 6)2 = 16

c) (x + 3)2 + (y – 6)2 = 64

d) (x + 3)2 + (y + 6)2 = 16

2. Em relação às posições relativas entre a reta e a Circunferência, pode-se afirmar que a reta

pode ser:

a) Secante a circunferência quando possuem dois pontos em comum.

b) Tangente a circunferência quando não possuem nenhum ponto em comum.

c) Externa a circunferência quando possuem um ponto em comum.

d) Interna à circunferência quando possuem três pontos em comum.