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8. Faça a associação da função com a sua possível representação gráfica (diagramas 2D e 3D cartesianos) e justifique tal

associação.

a) �� �� � � � �, real b) ���� � �� � �, duas variáveis

c) �� �� � � � �, curva no � d) ���� � � � ��, curva no ��

e) �� �� � �� � �, superfície f) ���� � � � �, campo no � / transf. espac.

g)��� �� � �� � ��, campo no �� / transf. plana

9. Valendo-se dos 7 modelos vistos no formulário, faça a associação da função com a sua possível representação gráfica

(diagramas 2D e 3D cartesianos) e justifique tal associação.

a) 2 2( , )f x y x y= + b) 3( ) 2 3 4f x x x= ⋅ + ⋅ − c) ( )( ) , 2 cos , 4 senf t t t t= ⋅ ⋅

d) ( )2 2( , ) , ,f u v u v u v= + e) ( )2 2 2( , ) ,f x y x xz y z= − − f) ( )2 2 2( , , ) , ,f x y z x y x xz y z= + − −

g) ( )( ) 2 cos , 4 senf t t t= ⋅ ⋅ h) 422 =+ yx i) 4222 =++ zyx

10. Determine o domínio e a imagem das funções de duas variáveis cujas expressões estão abaixo.

a) yxz −−=1 b�) 22 yxz += c�) )cos( yxz += d)

yxez ⋅=

e) yxez −= f) )1log( 22 −+= yxz g)

221 yxz −−= h) z

yxu

⋅=

1 2

3 4

5 6 7

8

9

14

11 12

13

C1

C2

C3

C4

10

15

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11. �Usando o Winplot desenhe as superfícies 14925

222

=++zyx

e 024

22

=−−zy

x .

12. Usando o Winplot desenhe as superfícies 1222 =−+ xzy e 0222 =−+− xzy .

13. Usando o Winplot desenhe as superfícies 022 =−+ xzy e 422 =+ xy .

x

y

zx^2/25+y^2/9+z^2/4=1

Elipsóide

(-5.00,3.00,-2.00)

(5.00,-3.00,2.00)

x

y

z

x-y^2/4-z^2=0

Parabolóide Elíptico

(0.00,10.00,-5.00)

(25.00,-10.00,5.00)

x

y

z

y^2+z^2-x^2=1

Hiperbolóide de uma Folha

(-5.00,5.50,-5.50)

(5.00,-5.50,5.50)

x

y

z

-y^2+z^2-x^2=0Cone

(-5.00,5.50,-5.50)

(5.00,-5.50,5.50)

x

y

z

y^2+z-x^2=0Parabolóide Hiperbólico

(-5.00,5.50,-5.50)

(5.00,-5.50,5.50)

x

y

z

y^2+x^2=4Cilindro

(-5.00,5.50,-5.50)

(5.00,-5.50,5.50)

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14. Usando o Winplot desenhe o gráfico das funções de duas variáveis cujas expressões estão abaixo. Utilize diagramas

em 3D e também curvas de nível em 2D.

a) 10

22 yxz

+= b)

10

22 yxz

−= c) yxz +=

d)

( )1ln510

2

+⋅−= yx

z e)

+

−= 1

5

|22|ln

yxz f)

5

yxz

⋅=

g) yxz −= h) ( )

(y)x

z sen10

33

+−= i) (y)x

z sen10

2

+−=

j)

10210

2

+⋅=

y

xz k) (y)(x)z cossen += l)

++⋅= 122ln3 yxz

m) ( )1ln510

2

+⋅+= yxz n) ( )10

332

yxz−

= o) ( )1ln5 ++⋅= yxz

p) yxz ⋅= q�) 223 23 yyxyxxz +⋅⋅+⋅⋅−=

15. �Determine o valor imagem da superfície 223 23 yyxyxxz +⋅⋅+⋅⋅−= nos pontos (1, 1) e (1, 2).

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

3.0

x

y

B=6

B=8

B=10

B=4

B=2

B=0

B=-2

B=-4

B=-8

B=-10

z=10

z=8

z=6

z=4

z=2

z=0

z=-2

z=-4

z=-8

z=-10

x

y

16. Usando o Winplot desenhe o gráfico das curvas e superfícies cujas expressões estão abaixo.

a) � �� � ����� ����� �� � ������ � ������ � ��� b)�� �� � �� ��� �� � ��� � ��� � ���

c)�� �� �� � ���������� ���������� ����� �

����������� � ����������� � ������

d)�� �� �� � ������ ����� �� �

������ � ������ � ���

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17. Represente graficamente as funções seguintes da forma que é solicitada.

a) 22),( yxyxf += no �

b�) 2 2z x y= + , pelas curvas de nível z=0, z=4, z=9 e z=16 no ��

c�)

2 2

2 2( , )

2 3

x yf x y = + no �

d)

2 2

2 2( , )

2 3

x yf x y = + , pelas curvas de nível z=0, z=4, z=9 e z=16 no ��

e)

2 2

2 2( , )

2 3

x yf x y = − no �

f)

2 2

2 2( , )

2 3

x yf x y = − , pelas curvas de nível z=0, z=4, z=9 e z=16 no ��

g) 1),( =yxf , esboçando algumas curvas de nível no ��

h) 22

1),(

yxyxf

+= , esboçando algumas curvas de nível no ��

i) yxyxf +=),( , esboçando algumas curvas de nível no ��

j) 21

1),(

yyxf

+= , esboçando algumas curvas de nível no ��

k) xyxf =),( , esboçando algumas curvas de nível no ��

l)22),( yxyxf += , esboçando algumas curvas de nível no ��

m)2),( xyxf = , esboçando algumas curvas de nível no ��

n)221

1),(

yxyxf

−−= , esboçando algumas curvas de nível no ��

o) 22),( yxyxf += , esboçando algumas curvas de nível no ��

18. Considerando-se a transformação plana de coordenadas polares para retangulares, preencha a tabela fornecida.

����� � � !����� �� θ� � "� #� $" � � % ���θ# � � % ���θ & ����� !� � ����� "� #� � �� θ�'(()((*� � +"� � #�θ �

'()(*,� - .���.� /0 � ���# 1 2- ,� - .���.� /0 � ���# 3 22� ���# � 2���" 4 2-5� ���# � 2���" 3 2

&&

-π

pore

repo

y

x Re R θθθθ

r

R

θ

r

π

Po

R

Esta tampa não

faz parte.

PONTO Polares Retangulares

r θθθθ x y A 0 0

B R 0

C R/2 π/4

D R π/2

E R/2 -π/2

F R -π

G R 0

H 0 R

I -R 0

J R/2 R/2

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19. �Considerando-se a transformação espacial de coordenadas cilíndricas para retangulares, preencha a tabela

fornecida.

����� 6� � !����� �� θ� 7� � "� #� 7� 8" � � % ���θ# � � % ���θ7 � 7 & ����� !� � 6����� "� #� 7� � �� θ� 7�'(()((*� � +"� � #�θ �

'()(*,� - .���.� /0 � ���# 1 2- ,� - .���.� /0 � ���# 3 22� ���# � 2���" 4 2-5� ���# � 2���" 3 2

&7 � 7

&

20. Considerando-se a transformação espacial de coordenadas esféricas para retangulares, preencha a tabela fornecida.

����� 9� � !����� ρ� θ� φ� � "� #� 7� 8" � ρ % ���φ % ���θ# � ρ % ���φ % ���θ7 � ρ % ���φ & ����� !� � 9����� "� #� 7� � ρ� θ� φ�

'((()(((*ρ � +"� � #� � 7�θ �

'()(*,� - .���.� /0 � ���# 1 2- ,� - .���.� /0 � ���# 3 22� ���# � 2���" 4 2-5� ���# � 2���" 3 2

&

φ � :,� - .���.� ;< � ���� � +"� � #� = 22� ���� � 2���7 4 25� ���� � 2���7 3 2 &&

cire

reci

θ r

π

-π Ci

R

z

H

y x

Re

z

H

R

r

θθθθ

z

R

Esta tampa não

faz parte.

esre

rees

θ ρ

π

-π Es

R

φ

π

x

Re

z

y R

φφφφ

θθθθ

ρρρρ

R

R

Esta tampa não

faz parte.

PONTO Cilíndricas Retangulares

r θθθθ z x y z A 0 0 0

B R 0 H

C R/2 π/4 H/2

D R π/2 0

E R/2 -π/2 H

F R -π H/2

G R 0 0

H 0 R H

I -R 0 H/2

J R/2 R/2 0

PONTO Esféricas Retangulares

ρρρρ θθθθ φφφφ x y z A 0 0 0

B R 0 π/2

C R/2 π/4 π/4

D R π/2 π/2

E R/2 -π π

F 0 0 0

G R 0 0

H 0 R 0

I 0 0 R

J R/2 R/2 R/2