PrimoPDF, Job 3 - meusite.mackenzie.com.brmeusite.mackenzie.com.br/alfonso/AULA204.pdf · Estruturas de Concreto II Aula 4 –Dimensionamento à flexão Copyright 2005© Direitos

Estruturas de Concreto IIAula 4 – Dimensionamento à flexão

Copyright 2005© Direitos reservadosCreated by Pappalardo Jr., Alfonso

Escola de Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Coordenadoria de Engenharia Civil

444444444444

1/2289

DIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DAARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM VIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADO

DIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DAARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM VIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADO




4.1 GENERALIDADES4.1 GENERALIDADES4.1 GENERALIDADES4.1 GENERALIDADES

a) resistir esforços de cisalhamento;b) garantir a geometria da seção transversal;c) manter a armadura na posição desejada;d) transmitir esforços da armadura por aderência;e) proteger o aço contra corrosão

resistir as tensões normais de compressãodevidas à flexão

resistir as tensões normais de traçãodevidas à flexão

contribuir com o concreto para resistir as tensõesnormais de compressão devidas à flexão

CONCRETO NA ZONA TRACIONADA

CONCRETO NA ZONA COMPRIMIDA

AÇO NA ZONA COMPRIMIDA

AÇO NA ZONA TRACIONADA2,07%o 10%o

fyd

εs

σs

σs=E . εs s

σs=fyd

ε−−

2c2

11

ε−−

2c2

11

2%o 3,5%o

0,85.fcd

−εc

−σc σc=0,85.fcd

σc=0,85.fcd

CONCRETO

AÇO

4.1.1 DIAGRAMAS 4.1.1 DIAGRAMAS 4.1.1 DIAGRAMAS 4.1.1 DIAGRAMAS σσσσ−−−−εεεε

2/2290

NBR6118:2003/8.2.10




4.1.2 DOMÍNIOS DE DEFORMÁÇÃO4.1.2 DOMÍNIOS DE DEFORMÁÇÃO4.1.2 DOMÍNIOS DE DEFORMÁÇÃO4.1.2 DOMÍNIOS DE DEFORMÁÇÃO

ooo

ooo

ooo

ooo

b

d

As

As

h

o

o

oo

3,52

2,0710‘

alongamento

linhaneutra

encurtamento

2

3

4

51

x

3/2291

NBR6118:2003/7.2.2g




4.1.3 DOMÍNIO 24.1.3 DOMÍNIO 24.1.3 DOMÍNIO 24.1.3 DOMÍNIO 2

ooo

ooo

b

LNd

As

h

o10

2

x23

o3,50

d0,259xd

3,5)(10

x

3,523

23⋅=→

+=

ooo

ooo ε( )o

2,00 3,5

⋅f0,85

σ

cd

cd

ε( )o

2,00 3,5

⋅ f0,85

σ

cd

cd

Domínio 2 Domínio 2

Diagrama retangularsimplificado

oooε( )o

2,070 10

f

σ

yd

sd

Domínio 2

4/2292




4.1.4 DOMÍNIO 34.1.4 DOMÍNIO 34.1.4 DOMÍNIO 34.1.4 DOMÍNIO 3oo

o

ooo

ooo

b

LN d

As

h

o

oo

3,5

2,0710

3 x 34d0,628x

d

2,07)(3,5

x

3,534

34⋅=→

+=

ooo

ooo ε( )o

2,00 3,5

⋅f0,85

σ

cd

cd

ε( )o

2,00 3,5

⋅ f0,85

σ

cd

cd

Domínio 3 Domínio 3

Diagrama retangularsimplificado

oooε( )o

2,070 10

f

σ

yd

sd

Domínio 3

5/2293




4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULARSIMPLIFICADOSIMPLIFICADOSIMPLIFICADOSIMPLIFICADO

h

b

Md

NÃO-LINEAR:Distribuição das tensõescompressão do concreto

DOMÍNIO:Distribuição dasdeformaçõesdo concreto

SIMPLIFICAÇÃO:Linearização das tensõescompressão do concreto

x

0,8x

0,85.fcd

0,85.fcd

6/2294

NBR6118:2003/7.2.2e




b

d

As

x y=0,8 x.

h

σsd

Md

0,85 f. cd

Distribuição de tensõesao longo da altura da ST

SIMPLIFICAÇÃO:Linearização das tensõescompressão do concreto

Área concretocomprimida

Nova profundidade LN para compensar a simplificação

7/2295

4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULARSIMPLIFICADO SIMPLIFICADO SIMPLIFICADO SIMPLIFICADO (cont...)




4.1.6 RESULTANTES DE TENSÃO4.1.6 RESULTANTES DE TENSÃO4.1.6 RESULTANTES DE TENSÃO4.1.6 RESULTANTES DE TENSÃO

y=0,8 x.

d 0,8 x− .

0,4 x.0,4 x.

Rsd

Rcd

Rcd

Rsd

MdMd

0,85 f. cd=(0,85 f. cd) (0,8 b x). . .

=f Ayd s.

fyd

Distribuição de tensõesao longo da altura da ST

Resultantes dastensões na ST

força = tensão x área

A

B

8/2296




4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

∑ = 0Fhor

ydscdsdcd fAfxb0,68RR ⋅=⋅⋅⋅→=

∑ = 0MA

)x4,0d(fxb0,68M)x4,0d(RM cddcdd ⋅−⋅⋅⋅⋅=→⋅−⋅=

∑ = 0MB

)x4,0d(fAM)x4,0d(RM ydsdsdd ⋅−⋅⋅=→⋅−⋅=

(1)

(2)

(3)

9/2297




⋅⋅⋅−−⋅⋅=

cd2

d

fdb425,0

M11d25,1x

)x4,0d(f

MA

yd

ds ⋅−⋅=

Resolvendo-se a equação (2), chega-se a:

e da equação(3), vem:

4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO (cont...)

10/2298




x)0,4(dfAM ydsd ⋅−⋅⋅=

Conhecendo-se a área de aço empregada, pode-se utilizar a equação (1), chegando-se a:

que permite verificar se a peça encontra-se no Domínios 4 ( x > 0,628d ). Em caso afirmativo, deve-se ou diminuir a área de aço ou aumentar a resistência do concreto ou a largura da peça, para que a peça não trabalhe no Estado Limite Último em regime de superarmação (ruptura sem aviso). Em seguida, utilizando-se a equação(3), vem:

4.1.8 MOMENTO RESISTENTE4.1.8 MOMENTO RESISTENTE4.1.8 MOMENTO RESISTENTE4.1.8 MOMENTO RESISTENTE

cd

yds

fb68,0

fAx

⋅⋅

⋅=

11/2299




4.2 DIMENSIONAMENTO ANALÍTICO4.2 DIMENSIONAMENTO ANALÍTICO4.2 DIMENSIONAMENTO ANALÍTICO4.2 DIMENSIONAMENTO ANALÍTICO

4.2.1 SEÇÃO RETANGULAR4.2.1 SEÇÃO RETANGULAR4.2.1 SEÇÃO RETANGULAR4.2.1 SEÇÃO RETANGULAR

USAR MESA COLABORANTE

UTILIZAR ARMADURA DUPLA

AUMENTAR ALTURA DA VIGA

ARMADURASIMPLES

não

não

DOMÍNIO 4

DOMÍNIO 3

DOMÍNIO 2

Ruptura frágil

Ruptura dúctil

Ruptura dúctil

sim

sim

)4,0( xdf

MA

yd

ds ⋅−⋅=

6

259

28,

,

0

0

≤

≤

d

d

x

x

⋅⋅⋅−−⋅⋅=

fdb0,425

M11d1,25x

cd2

d

⋅ )(kN/cmf),(cmdb(cm),cm),(kN

M 2cdd

b

d h

As

x Md

12/22100




bf

bw

hf

d

As

x Md

bw

d

As,w

x Md,w

bw

d

As,w1

x (imposto)Md,c

bw

d

d’

As,w2

A’s

M∆ d

bw

hf

bf−bw

d

As,f

x M d,f

,,,( (cdfd fdbMx

SEÇÃO T

ARMADURADUPLA

SEÇÃO RETANGULAR

ARMADURASIMPLES

não

não

sim

sim

fhx ⋅≤ 25,1

)4,0( xdf

MA

yd

ds ⋅−⋅=

628,0≤dx

)(85,0, wffcdfcd bbhfR −⋅⋅⋅=

)2(,, ffcdfd hdRM −⋅=

)2(,

,fyd

fdfs hdf

MA

−⋅=

fddwd MMM ,, −=

),,,( , cdwwd fdbMx

)4,0(,

, xdf

MA

yd

wdws ⋅−⋅=

)4,0(68,0, xdxbfM wcdcd ⋅−⋅⋅⋅⋅=

)4,0(,

1, xdf

MA

yd

cdsw ⋅−⋅

=

cdwdd MMM ,, −=∆

)(2, ddf

MAA

yd

dssw ′−⋅

∆=′=

4.2.2 SEÇÃO T4.2.2 SEÇÃO T4.2.2 SEÇÃO T4.2.2 SEÇÃO T

13/22101




4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC----KSKSKSKS

Multiplicando-se ambos os lados da expressão (2) por:

)x4,0d(fxb0,68dMd cd2

d2 ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅

sendo kx = x/d (profundidade LN adimensional), chega-se a:

)k4,01(kfbd,680M xxcd2

d ⋅−⋅⋅⋅⋅=

Definindo-se:

)k4,01(kf68,0M

dbk

xxck

c

d

2

C ⋅−⋅⋅⋅

γ=

⋅=

A equação (3) pode ser reescrita como:

d

Mk

d

M

)k4,01(

1A d

Sd

xsds ⋅=⋅

⋅−⋅σ=

14/22102




4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC----KS KS KS KS (cont...)

O dimensionamento é feito do seguinte modo: a partir do esforço de flexão de dimensionamento M.d e das dimensões da seção transversal b e d determina-se

Cd

2k

M

db→

⋅

que a partir do concreto especificado obtém-se a profundidade adimen-sional. Definindo-se o tipo de aço utilizado chega-se ao valor de kS. Multiplicando-se este fator por

sd

S Ad

Mk →⋅

determina-se a armadura desejada.

15/22103

Os parâmetros, abaixo definidos, podem ser tabelados em função de kx.

)k4,01(kf68,0k

xxck

cC ⋅−⋅⋅⋅

γ=

)k4,01(

1k

xsdS ⋅−⋅σ=e




0,020,040,060,080,100,120,140,160,180,20

0,220,240,259

0,280,300,320,340,360,38

0,400,420,44

0,460,480,500,520,540,560,580,600,620,6280,64

0,660,680,70

51,926,217,613,310,79,07,8

6,96,25,6

5,14,74,4

4,13,93,7

3,53,33,2

3,12,92,82,72,72,62,52,42,42,32,3

2,22,22,2

2,12,12,0

41,520,914,110,68,67,26,2

5,54,94,5

4,13,83,5

3,33,13,0

2,82,72,6

2,52,42,32,22,12,12,01,9

1,91,81,8

1,81,81,7

1,71,71,6

34,617,411,78,97,16,05,2

4,64,13,7

3,43,23,02,82,62,5

2,32,22,1

2,02,01,91,81,81,71,71,61,61,51,5

1,51,51,4

1,41,41,4

29,614,910,07,66,15,14,5

3,93,53,2

2,92,72,52,42,22,1

2,01,91,8

1,81,71,61,61,51,51,41,41,41,31,3

1,31,31,2

1,21,21,2

25,913,18,86,65,44,53,9

3,43,12,82,62,42,2

2,11,91,8

1,81,71,61,51,51,41,41,31,31,21,2

1,21,21,1

1,11,11,11,11,01,0

23,111,67,85,94,84,03,5

3,12,72,5

2,32,12,01,81,71,6

1,61,51,4

1,41,31,31,21,21,11,11,11,11,01,0

1,01,01,0

0,90,90,9

20,810,57,05,34,33,63,1

2,72,52,2

2,11,91,8

1,71,61,5

1,41,31,3

1,21,21,11,11,11,01,01,0

0,90,90,9

0,90,90,9

0,80,80,8

0,02320,02340,02360,02380,02400,02420,0244

0,02460,02480,0250

0,02520,02540,02570,02590,02610,0264

0,02660,02690,0271

0,02740,02760,02790,02820,02850,02880,02900,02930,02960,02990,0303

0,03060,03070,0325

0,03590,03970,0441

C-20 C-25 C-30 C-35 C -40 C-45 C-50

k x=kc=

kc

kS

kS +. .

.

0,023

0,023

AS=

A S=

AS=

kS(Unidades: kN, cm)x

bd2

bd

d

d d−d´

d−d´

dMd

Arm. SimplesArm. Dupla

Md

Mdc

Mdc = MdM dc =

∆Md d dc= − M M

∆Md

∆Md

SUBA

RMADA

CA50

DOMÍNIO

DIAGRAMA DEDEFORMAÇÕES

REGIME

3

2

4

3,5 /

3,5 /

3,5 /

10 / 2,07 /

2,07 /

10 /

+

0,020,040,060,080,100,120,140,160,180,20

0,220,240,259

0,280,300,320,340,360,38

0,400,420,44

0,460,480,500,520,540,560,580,600,620,6280,64

0,660,680,70

51,926,217,613,310,79,07,8

6,96,25,6

5,14,74,4

4,13,93,7

3,53,33,2

3,12,92,82,72,72,62,52,42,42,32,3

2,22,22,2

2,12,12,0

41,520,914,110,68,67,26,2

5,54,94,5

4,13,83,5

3,33,13,0

2,82,72,6

2,52,42,32,22,12,12,01,9

1,91,81,8

1,81,81,7

1,71,71,6

34,617,411,78,97,16,05,2

4,64,13,7

3,43,23,02,82,62,5

2,32,22,1

2,02,01,91,81,81,71,71,61,61,51,5

1,51,51,4

1,41,41,4

29,614,910,07,66,15,14,5

3,93,53,2

2,92,72,52,42,22,1

2,01,91,8

1,81,71,61,61,51,51,41,41,41,31,3

1,31,31,2

1,21,21,2

25,913,18,86,65,44,53,9

3,43,12,82,62,42,2

2,11,91,8

1,81,71,61,51,51,41,41,31,31,21,2

1,21,21,1

1,11,11,11,11,01,0

23,111,67,85,94,84,03,5

3,12,72,5

2,32,12,01,81,71,6

1,61,51,4

1,41,31,31,21,21,11,11,11,11,01,0

1,01,01,0

0,90,90,9

20,810,57,05,34,33,63,1

2,72,52,2

2,11,91,8

1,71,61,5

1,41,31,3

1,21,21,11,11,11,01,01,0

0,90,90,9

0,90,90,9

0,80,80,8

0,02320,02340,02360,02380,02400,02420,0244

0,02460,02480,0250

0,02520,02540,02570,02590,02610,0264

0,02660,02690,0271

0,02740,02760,02790,02820,02850,02880,02900,02930,02960,02990,0303

0,03060,03070,0325

0,03590,03970,0441 SU

PERARMADA

d

d

b

3

2

´

16/22104




4.5 BITOLAS COMERCIAIS4.5 BITOLAS COMERCIAIS4.5 BITOLAS COMERCIAIS4.5 BITOLAS COMERCIAISPESO LINEAR (kgf/m)A (cm )2s1φφ (mm)

5 0,20 6,3 0,315 8 0,5010 0,8012,5 1,2516 2,0020

,0 0

,0 0

,5 0

,0 0

0,16 0,25 0,40 0,63 1,00 1,60

3,15 2,50

,0 0

,0 0

CLASSE

CA-60

CA-50

4.4 TAXA DE ARMADURA MÍNIMA4.4 TAXA DE ARMADURA MÍNIMA4.4 TAXA DE ARMADURA MÍNIMA4.4 TAXA DE ARMADURA MÍNIMA

17/22105

NBR6118:2003/17.3.5.2.1

0,150%

0,150%

fck=20

Retangular

T (mesa tracionada)

Forma daseção

0,150%

0,150%

fck=25

0,173%

0,153%

fck=30

0,201%

0,178%

fck=35

0,230%

0,204%

fck=40

0,259%

0,229%

fck=45

0,288%

0,255%

fck=50

Valores de =A /Aρmin s,min c

0,150%T (mesa

comprimida) 0,150% 0,150% 0,150% 0,158% 0,177% 0,197%




4.6 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.6 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.6 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.6 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS

18/22106

NBR6118:2003/14.6.7.1

2 21 21min L Lp p

12 2489

M = 233min Lp

1289

M =minM =

engastar apoios internos

vão extremo: vão extremo:vão interno:

p1 p3p2

1 2in L Lp p9 1

= 233min Lp

9M =minM =

L1 L 2 L 3




Determinar a armadura mínima da viga V1 (15,65) constituída de concreto classe C-35 ( fck= 35 MPa ), segundo o item 17.3.5.2.1 da NBR 6118:2003. Detalhar com barras de 8 mm.

Determinar a armadura mínima da viga V1 (15,65) constituída de concreto classe C-20 ( fck= 20 MPa ), segundo o item 17.3.5.2.1 da NBR 6118:2003. Detalhar com barras de 8 mm.

4.7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO4.7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO4.7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO4.7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

EXEMPLO 4.7.1 EXEMPLO 4.7.1 EXEMPLO 4.7.1 EXEMPLO 4.7.1

)mm84(cm2,0A

65151000,201

A0,201%A

2mins,

cmins,

φ=

⋅⋅=⋅=


)mm83(cm1,5A

65151000,150

A0,150%A

2mins,

cmins,

φ=

⋅⋅=⋅=

19/22107




Determinar as armaduras positivas da viga V1 (12/50), constituída de concreto classe C-20 ( fck= 20 MPa ) e barras de aço CA-50 ( fyk= 500 MPa). Considerar o momento mínimo e taxa de armadura mínima, de acordo, respectivamente, os itens 14.6.7.1 e 17.3.5.2.1 da NBR 6118:2003. Adotar distância d’= 4 cm.


30 kN/m 30 kN/m20 kN/m

4,50 4,50 5,5012

50

55,3

44,5

79,0

8,0

75,2

20/22108




4.7.3.1 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.7.3.1 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.7.3.1 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.7.3.1 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS

42,7

75,9

momento positivo mínimo a ser considerado

33,8 33,8

113,4

63,816,9

2mins,

cmins,

cm0,9A

5012100

0,15A0,15%A

=

⋅⋅=⋅=

21/22109

4.7.3.2 ARMADURA MÍNIMA4.7.3.2 ARMADURA MÍNIMA4.7.3.2 ARMADURA MÍNIMA4.7.3.2 ARMADURA MÍNIMA




S1 S2 S3

M =55,3 kN mk. M =79,0 kN mk

.M =16,9 kN mk.

b=12 cm b=12 cmb=12 cmd=46 cm d=46 cmd=46 cm

x/d=0,37 (DOM3) x/d=0,58 (DOM3)x/d=0,10 (DOM2)

A =4,5 cms2 A =7,2 cms

2A =1,2 cms2

1212 12

5050 50

4 6,3φ 4 12,5 φ 4 16φ

22/22110

4.7.3.3 ARMADURAS POSITIVAS DA VIGA V14.7.3.3 ARMADURAS POSITIVAS DA VIGA V14.7.3.3 ARMADURAS POSITIVAS DA VIGA V14.7.3.3 ARMADURAS POSITIVAS DA VIGA V1

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