3.2 Distorção de Sinal na TransmissãoUm sistema de transmissão é o canal elétrico entre uma fonte de informação e o destino.

Todos os sistemas de transmissão apresentam dissipação de potência interna, que reduz a amplitude do sinal de saída, e, armazenamento de energia (filtragem), que altera o formato dessa saída.

Transmissão Sem DistorçãoTransmissão sem distorção = o sinal de saída tem a mesma forma que o de entrada.

Dado um sinal de entrada x(t), diz-se que a saída não está distorcida se diferir da entrada apenas por uma constante multiplicativa e/ou um delay finito no tempo:

onde K e td são constantes (K pode até ser negativo).

O espectro do sinal de saída é (usando o teorema do retardo):

tal que, a resposta em frequência do sistema de transmissão não distorcente é dada por:

O sistema deve apresentar (a) espectro de amplitude constante e (b) espectro de fase linear com inclinação negativa:

Note-se que a fase arg H(f) deve passar pela origem ou interceptar em múltiplo inteiro de ± 1800.

O termo ± m1800 foi adicionado à fase para levar em conta valores positivos e negativos de K.

No caso de não haver delay (td = 0), a fase permanece constante em 0 ou ± 1800.

_________________________________________________

Lembrar o caso da região plana da resposta em frequência de um amplificador, chamada de banda passante do sistema.

Importante: as condições acima são exigidas apenas ao longo das frequências onde o sinal de entrada apresenta conteúdo espectral significativo.

Exemplo: densidade espectral de energia da média (average) de um sinal de voz .

Como a densidade espectral é pequena para f < 200 Hz e f > 3200 Hz, infere-se que um sistema não distorcente de transmissão de voz precisa satisfazer a condição (3.2-2a-b) para a banda200 ≤| f | ≤3200 Hz.

(apenas a porção positiva do espectro está mostrada)

∞

∞−

= dffXE 2)(

__________________________________________

=)( fGx

De forma similar, como o ouvido humano somente processa sons entre 20 Hz e 20 kHz, um sistema de áudio não distorcente deve satisfazer (3.2-2 a-b) apenas nesta faixa.

Contudo, na prática, as exigências (3.2-2a-b) só podem ser satisfeitas de maneira aproximada, e assim, sistemas de transmissão sempre produzem alguma quantidade de distorção de sinal.

Tipos de distorção:

a) Distorção de amplitude:

b) Distorção por delay (ou de fase):

c) Distorção não linear: ocorre quando o sistema inclui elementos não lineares.

No caso c), a não-linearidade impossibilita a determinação de uma função resposta em frequência convencional (puramente linear).

Distorção linear

Distorção linear

__________________________________________

Exemplo 3.2-1: Distorção de amplitude e de fase

Considere-se que um sistema apresente a seguinte resposta em frequência (módulo e fase):

Este sistema satisfaz a condição de transmissão sem distorção (3.2-2a-b) para 20 kHz ≤ |f | ≤ 30 kHz.

Ocorre distorção de amplitudes para |f | < 20 kHz e |f | > 50 kHz.

Ocorre distorção de delay para |f | > 30 kHz.

Distorção linearCorresponde à distorção de amplitude ou de delay/fase associadas a um sistema linear.

a) Distorção de amplitude: normalmente causada por excesso de atenuação ou amplificação nos extremos de frequências (alta ou baixa) no espectro do sinal.(Menos comum, mas possível, é a resposta desproporcional à uma banda de frequências dentro do espectro.)

Embora a descrição no domínio da frequência seja fácil, os efeitos no domínio do tempo são menos óbvios, exceto no caso de sinais muito simples.

Exemplo: Seja

(forma de onda próxima à quadrada.)

Caso a) Atenuando-se pela metade a frequência baixa (em ω0).

(enfatiza-se os “gumes” ou “bicos” do sinal.)

Caso b) Atenuando-se pela metade a frequência alta (em 5ω0).

(o sinal fica mais “abaulado” ou “suave”.)

b) Distorção por delay (ou distorção de fase): se o deslocamento de fase não variar linearmente com f, as várias componentes de frequência sofrem diferentes quantidades de delays.

Para um deslocamento de fase arbitrário/genérico, o delay é função da frequência, tal que td=td (f ).

Neste caso, pode-se escrever que: arg H(f) = −2πftd (f),

e daí:

o qual é independente da frequência (delay constante) somente se arg H(f)´for linear com f.___________________________________________________________________________

Existe uma confusão entre: delay de tempo constante (constant time delay, seconds) ,

e: deslocamento de fase constante (constant phase shift, radians).

O primeiro tipo é desejável para transmissão sem distorção, mas não o segundo tipo!

fase, rad delay, s

,

__________________________________________

Exemplo:Caso de delay de tempo constante (desejável, resulta em transmissão sem distorção):

0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1( ) cos ( ) cos3 ( ) cos5 ( )3 5

1 1cos( ) cos(3 3 ) cos(5 5 )3 5

d d d d

d d d

x t t t t t t t t

t t t t t t

ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

− = − − − + −

= − − − + −

(triplica a frequência, triplica o deslocamento de fase)

*O delay de tempo constante corresponde a td constante (delay constante) ou independente de f, e, conforme visto acima, resulta em transmissão sem distorção.

Uma componente na frequência (nf0 ) pode ser escrita como:

cos[nω0 (t−td )] = cos[n2πf0(t−td )] = cos[2π(nf0) (t−td )], td ≠ td (f ), td= constante

ou seja, cada componente de frequência (cada nf0) sofrerá o mesmo delay, e assim, o sinal de saída será apenas uma réplica atrasada da entrada.____________________________________

delay não varia com f delay

Desejável!

(forma de onda próxima a quadrada.)

(continua...)

___________________________________________Exemplo:Caso de deslocamento de fase constante (pode causar distorção): por exemplo, para θ = 900

)905cos(51)903cos(

31)90cos()( 0

00

00

0 −+−−−= ωωω tttx

(triplica a frequência mas não triplica o deslocamento de fase)

*O deslocamento de fase constante, em geral, causa distorção: se θ = arg H(f) é um deslocamento de fase constante (diferente de 00 ou ±1800), então, uma componente na frequência (nf0 ) pode ser escrita como:

cos(nω0t−θ ) = cos(n2πf0t−θ ) = cos[2π(nf0)t−θ ] = cos[2π (nf0t−θ /2π)]

ou seja, cada componente de frequência será atrasada por θ /2π ciclos em sua própria frequência (nf0).Porém, cada delay será diferente:

cos[2π (nf0t−θ /2π)] = cos{2π (nf0) [t−θ /(2π nf0)]}=cos{2π nf0 [t−td (f )]}

e as componentes de frequência serão embaralhadas no tempo (transmissão com distorção).

_______________________________________

cos[nω0 (t−td )] = cos[n2πf0(t−td )] = cos[2π(nf0) (t−td )], td ≠ td (f ), td= delay de tempo constante (segundos).

delay varia com f = nf0 , td = td (f )

(continua...)

Não desejável!

)905cos(51)903cos(

31)90cos()( 0

00

00

0 −+−−−= ωωω tttx

Deslocamento de fase constante (constant phase shift): causa distorção.

Os picos na Figura (3.2-5) são maiores (50%) que na Figura 3.2.3.Isto não aconteceu devido a distorção de amplitude, pois as amplitudes das três componentes não sofreram variação.Isto ocorreu porque os máximos e mínimos dessas componentes acontecem no mesmo instante.

(Conforme será visto adiante, tal tipo de distorção é motivo de preocupação em comunicações digitais.)(Curiosamente, ambos os sinais acima geram aproximadamente o mesmo som quando alimentam um alto-falante.)

A forma de onda resultante se assemelha a um triângulo.

(forma de onda próxima a quadrada.)

________________________________________________

Efeito do delay de fase sobre sinais modulados

No caso de transmissão de sinal modulado, a condição pode ser um pouco relaxada.

A resposta em frequência de um canal cujo espectro de amplitude é plano e o espectro de fase é linear pode ser expressa por:

onde A, tg e φ0 são constantes.________________________________________________________________________________________________________________________________________

O argumento de H(f) é dado por:

e assim, aplicando-se (3.2-3), ou seja:

se extrai o delay dependente de f :

Portanto, em princípio, td não é constante, a menos que φ0 seja nulo.____________________________________________________________________Prova: considere-se que o sinal modulado aplicado à entrada do canal passa-banda seja:

sendo x1(t) e x2(t) são sinais em banda base, e ωc é a frequência da portadora (normalmente alta).

Na sequência, procura-se determinar a saída y(t) a fim de se estudar o efeito do canal de transmissão,especificado por H(f) em (3.2-4), sobre o sinal modulado de entrada (3.2-5).

A transformada de Fourier do sinal de entrada

pode ser determinada com o auxílio do teorema de modulação (2.3-7):_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a) Para φ = 00:

b) Para φ = −900:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Então, retornando a x(t):

Este sinal de entrada é aplicado à entrada do canal, produzindo na sua saída:

Y(f) = H(f) X(f)sendo H(f) dado por (3.2-4).

)(21)(

21cos)( ccc ffVffVttv ++−↔ω

)(2

1)(2

1sen)(

)(2

)(2

)90cos()(sen)(00 9090

0

ccc

c

j

c

j

cc

ffVj

ffVj

ttv

ffVeffVettvttv

+−−↔

++−↔−=−

ω

ωω

)(2

1)(2

1)(21)(

21)( 2211 cccc ffX

jffX

jffXffXfX ++−−++−=

)(2

1)(2

1)(21)(

21)( 2211 cccc ffX

jffX

jffXffXfX ++−−++−=

})(sen)({})cos()({

)]()([2

)]()([2

)()()(

202

201

222

211

00

gg

gg

ftjc

ftjc

ftjcc

jftj

cc

j

ettxAettxA

effXffXj

AeeffXffXAefXfHfY

ππ

πφ

πφ

φωφω −−

−−

+ℑ−+ℑ=

+−−−++−==

___________________________________________________________________________A seguir, recorre-se ao teorema do delay (2.3-2):

ou então:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

dftjd etvttv π2)}({)( −ℑ↔−

Aplicando-se em f = fc resulta: arg H(fc ) = − ωctg + φ0.

Por outro lado, aplicando-se em f = fc resulta: ωctd(f) = −ωctg + φ0.

Ou seja,

e portanto:

Interpretação:

A portadora está atrasada por td td é denominado phase delay ou carrier delay do canal.

x1(t) e x2(t) estão atrasados por tg tg é denominado envelope delay ou group delay do canal.

Em geral td ≠ tg , e, além disso, td=td (f ).

Condições para que um canal passa-banda linear seja não-distorcente:

a) Como no caso geral de transmissão sem distorção discutido anteriormente, a resposta de amplitude deve ser constante:

b) A fim de se recuperar os sinais originais x1(t) e x2(t) , o delay de grupo tg deve ser constante.

c) Como φ0 é constante em , chamando , tg pode serdeduzido a partir de

Note-se que esta condição é menos restritiva que (3.2-1), pois permite a existência de φ0 ≠ 0.

d) Obviamente, no caso φ0 = 0, de deduz-se que td = tg , o caso trivial.

EqualizaçãoA distorção linear (tanto a de amplitude quanto a de delay) pode ser sanada através do uso de redes equalizadoras.Na Figura 3.2-6, HC(f) corresponde ao canal de transmissão distorcente e Heq(f) é o equalizador.

Desde que a resposta em frequência global é , a saída final será não distorcida se., e portanto, é deseja-se que

São raros os casos onde o equalizador pode ser projetado para satisfazer (3.2-8) com exatidão. Porém, excelentes aproximações são possíveis, tal que a distorção linear possa ser reduzida a níveis toleráveis.

No passado era comum o uso de loading coilscomo equalizadores em linha telegráficas de par trançado.Tratam-se de indutores concentrados colocadosem shunt através da linha a cada quilômetro.

______________________________

Equalizador tapped-delay-line ou ‘filtro transversal’Equalizador usando linha de retardo com tempo de delay 2Δ (segundos), tendo derivações (taps) em cada extremidade e no centro.

Ganhos ajustáveis: c−1, c0 e c1.

Se a entrada for x(t), a saída será:

cuja TF é (teorema do retardo):

e portanto,

_______________________________________Generalizando para o caso de linha de retardo com tempo de delay 2MΔ e com (2M+1) taps:

que tem a forma de uma série exponencial de Fourier com periodicidade em frequência 1/Δ (?).

Δ−Δ−− ++= 2

101 )()()()( ωω jj efXcefXcfXcfY

(série de Fourier no domínio da frequência)

delay 2Δ, 3 taps, M =1,

3 taps, delay 2Δx(t)

y(t)

série no domínio f

Série temporal: , ..... 2π n f0 t , f0 = frequência, 1/f0 = periodicidade temporal

Série espectral (trocar t por f): , ..... 2π m Δ f, Δ = ................. , 1/ Δ = periodicidade espectral __________________________________________________________________________________

Procedimento de ajuste do equalizador: dado um canal HC(f) a ser equalizado ao longo de |f | < W, sugere-se:a) Aproximar o lado direito de Heq(f) em (3.2-8) por uma série de Fourier no domínio da frequência

(3.2-10), com periodicidade espectral 1/Δ, tal que, 1/(2Δ) ≥ W → daí determina-se Δ.

b) Estimar o número de termos significativos → determina-se M.c) Casar os ganhos dos taps com os coeficientes da série. (Ver o exemplo estudado a seguir.)

______________________________________________________________________________________________

|Heq(f ) ||HC(f ) |

0 +W−WΔ

−21

Δ+

21 f

(série de Fourier de um sinal em frequência)

Periodicidade em frequência 1/Δ (?).

Delay Δ segundos, frequência 1/Δ hertz.

(série de Fourier no domínio f)

Problema da reflexão por multi percurso:

Pode ocorrer perda do vigor do sinal na saída do canal, como no caso de interferência destrutiva mostrada a seguir:

Solução: usar um equalizador do tipo taped-deay-line!!

(continua...)

Exemplo 3.2-2: Distorção multipercurso (multipath)

Supõe-se que a saída de um canal seja: , t2 > t1 , cuja segunda parcela corresponde a um eco da primeira.

A transformada de Fourier de y(t) é (teorema do retardo):

e portanto,

sendo k=K2/K1 < 1 e t0=t2−t1 . (Se t0 = 0, então, não ocorre distorção. Se t0 ≠ 0, ocorre distorção.)

A fim de compensar a distorção, propõe-se sintetizar um equalizador tapped-delay-line a partir de

na qual, comparada com (3.2-11), pode-se adotar K = K1 e td = t1, gerando-se o seguinte equalizador:

na qual foi aplicada série binomial: , a fim de gerar uma expressão do tipo

sem a necessidade de calcular nenhuma série de Fourier usando a definição. (continua...)

)()()()()()()( 21212121 fXfHfXeKeKfXeKfXeKfY C

tjtjtjtj =+=+= −−−− ωωωω

)(1)(

fHKefH

eq

tjC

dω−=→

1,...11

1 2 <−+−=+

aaaa

])/(1[ )(121

121 ttjtj eKKeK −−− += ωω

)( fH C

Assumindo que o eco é pequeno (K2<<K1) → k=K2/K1 << 1, desconsideram-se os termos de ordem superior para se obter:

Comparando esta relação com (3.2-9b), qual seja: Heq(f) ,

conclui-se que um filtro transversal com três taps consegue executar a tarefa se: c−1 = 1, c0 = −k , c1 = k 2 e Δ = t0 (para k=K2/K1 e t0=t2− t1).

c−1 =1 c0 = −k c1 = k 2

Δ− ωje Δ− ωje

−k k2

+ +

defasador(Δ = t0 )

defasador

amplificadorinversor

amplificador

Equalizador:

. .Y(f)=HC(f) X(f)

)()()(

fHKefXfH

C

tj

C

dω−

)( fXKe dtjω−=

_____________________________________________________________

(sinal distorcidopelo canal:multipercurso)

sinal eco

continua ...

=)()()( fHfXfH eqC

... delay 2Δ, 3 taps, M =1

Distorção Não Linear e Companding

Um sistema contendo elementos não lineares não pode ser descrito por uma resposta em frequência H(f) clássica. (Como no caso [RC (j2πf)+1] Y(f) = X(f), e assim, H(f)=1/ [RC (j2πf)+1].)

Por exemplo, se y(t) = x2(t), então, Y(f) = X*X(f) ... Com isso, não é possível se extrair uma expressão explícita para H(f) = Y(f)/X(f).

Em vez disso, é melhor trabalhar com os valores instantâneos de entrada e saída, relacionados através da curva y = T [x(t)], denominada “curva característica de transferência de entrada-saída”.

Sob condições de pequenos sinais de entrada, é possível linearizar, por partes, a característica de transferência (ver a Figura 3.2-10).

No caso contrário, o modelo mais geral emprega uma aproximação polinomial da curva y = T [x(t)]:

na qual as potências superiores de x(t) dão origem à distorção não linear.

O espectro do sinal de saída pode obtido por

o qual evidencia definitivamente não ser possível obter uma função explícita H(f) = Y(f) / X(f).

Linear por partes

Curva verdadeira

__________________________________________

Obs: Deve ser lembrado que, se x(t) é limitado à banda W, a saída de uma rede linear não conterá frequências acima de | f | < W.

_______________________________________________________Porém, se o sistema é não linear, a saída inclui termos como:

a) X*X(f), o qual é limitado à banda 2W,b) X*X*X(f), o qual é limitado à banda 3W,c) etc.

Amplificadorlinear

X(f) Y(f)=H(f)X(f)

−W +W

Amplificadornão linearX(f) Y(f)

−2W −W +W +2W

−W +W

−W +W

ff

ff

quadrático

x(t) y(t)=x2(t)

y(t) = T[x(t)]

−2W +2W−W +Wff

y(t) = x2(t)x(t)

X(f) Y(f)=X*X(f)Exemplo:

A não linearidade gera componentes de frequência na saída que não estavam presentes na entrada.

Como X*X(f) também pode conter componentes para | f | < W, esta porção de espectro se superpõe àquela de X(f).

Usando filtros, a componente acrescida em | f | > W pode ser removida, mas não existe nenhuma forma de separar o espectro de sinal da componente acrescida em | f | < W. #

______________________________________________Uma medida quantitativa da distorção não linear é proporcionada utilizando-se uma forma de onda senoidal, x(t) = cos ω0t, como entrada.

(continua...)

X(f) Y(f)=X*X(f)

amplificador não linear

−W +W

Usar uma forma de onda senoidal, x(t) = cos ω0t, como entrada. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sabendo-se que , e usando (3.2-12a), ou seja:

se obtém:

ou então

A distorção não linear gera harmônicos da senóide de entrada no local da saída.

A distorção de 2ª. harmônica é a razão entre a amplitude em (2ω0) e a amplitude da fundamental:

As distorções de harmônicos superiores são tratadas da mesma forma (embora seus efeitos, em geral, sejam menores).

2/)]cos()[cos(coscos bababa −++=×

...)2

cos3cos(cos2

)2cos1(2

cos

....2

2coscoscos2

2cos1cos

....coscoscos)(

400

03

02

01

4000

30

201

03

302

201

atttatata

atttatata

tatataty

++

++++=

++

++

+=

+++=

ωωωωω

ωωωωω

ωωω

harmônicos

Distorção por intermodulaçãoSe a entrada for uma soma de duas formas de onda senoidais: x(t) = cos ω1t + cos ω2t, a saída incluirá todas as harmônicas de f1 e f2 , mais os termos de produtos cruzados: f2 − f1 , f2 + f1 , f2 − 2f1 , etc., que dão origem a distorção por intermodulação.

De fato, usando a propriedade da convolução (2.5-7):

X(f) f

X(f)*δ(f+f2) f

X(f)*δ(f+f1) f

X(f)*δ(f−f1) f

X(f)*δ(f−f2) f

X(f)*X(f) f

−f2 −f1 +f1 +f2

−f2−f2 −f1−f2 f1−f2 f2−f2

−f2−f1 −f1−f1 f1−f1 f2−f1

−f2+f1 −f1+f1 f1+f1 f2+f1

−f2+f2 −f1+f2 f1+f2 f2+f2

−2f2 ,−f1−f2 ,−2f1, f1−f2,0,−f1+f2, 2f1 , f1+f2, 2f2

Caso: y(t) = x2(t) Convoluir X(f) com ele mesmo, ie, X(f)* X(f)

Espectro de saída

Generalização: intermodulação para sinais arbitráriosSe x(t) = x1(t) + x2(t) , então, y(t) = x2(t) contém produtos cruzados, como x1(t) x2(t) e vários outros.

No caso particular de: x1(t) x2(t) ↔ X1*X2(f)

mesmo que X1(f) e X2(f) sejam separados em frequência, X1*X2(f) pode se superpor a estes,produzindo crosstalk.

Exemplo:

X1(f) X2(f)

X1*X2(f)

crosstalk

y(t) = x2(t)x(t) = x1(t) + x2(t) )()(2)()()( 21

22

21 txtxtxtxty ++=

f

f

)(*2)(*)(*)( 212211 fXXfXXfXXfY ++=

∞

∞−

−== λλλ dfXXfXXfXX )()()(*)(* 121221

)()()( 11 fXfXfX +=

f=fi

f=fi

X1(fi -λ)

→

0

0

Crosstalk: ocorre quando um sinal atravessa a banda de outro sinal, devido a distorção não linear num canal.

O termo de produto cruzado pode ser desejável, quando dispositivos não lineares (diodos de junção, transistores JFET, etc.) são usados para fins de modulação, multiplicação de frequência, etc.

Observação:É importante distinguir entre crosstalk por distorção não linear, e certos tipos de interferência linear (linha cruzada): pick up em conversas com telefones sem fios ocorre porque o espectro de frequência alocado para tais dispositivos teria de ficar muito populoso para acomodar todos os usuários em frequências portadoras diferentes.

Portanto, algum “compartilhamento” pode ocorrer de tempos em tempos.

Atualmente, o crosstalk por distorção não linear é muito raro em transmissões telefônicas devido aos avanços tecnológicos.

___________________________________________

Companding

Embora o problema da distorção não linear não possa ser completamente eliminado, ele pode ser minimizado, providenciando-se para que o sinal nunca exceda a faixa de operação linear da característica de transferência do canal.

Estratégia: usar dois processadores não lineares de sinal, consistindo de um compressor na entrada e um expansor (expander) na saída.

O processo que usa compressão (compressing) e expansão (expanding) é denominado de companding.

Aplicações: telefonia, microfone wireless profissional, gravação analógica, etc.

O compressor aplica mais amplificação para os níveis baixos do que para os níveis altos do sinal e, portanto, comprime a faixa (compliance) do sinal de entrada.

Com isso, sinais com amplitude muito pequenas são amplificadas, ficando acima do ruído de fundo.

Se o sinal comprimido cair dentro da faixa linear do canal, o sinal na saída desse canal é proporcional aTcomp[x(t)], o qual é distorcido pelo compressor mas não pelo canal.

A característica do expansor deve ser a mais próxima possível do complemento do compressor, tal que a saída expandida é proporcional a Texp{Tcomp[x(t)]} = x(t).

Características do compressor e do expansor:

Ref: The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal ProcessingBy: Steven W. Smith.

Companding for Audio ProcessingTwo nearly identical standards are used for companding curves: μ255 law (also called mu law), used in North America, and "A" law, used in Europe.

Expa

nder

Compressor

x

y

tt

tt

x

y

Vin

Vout

Nonlineartransmission

channel

Para todos os efeitos, é como se a compliance do canal aumentasse para além do joelho da curva característica.

maior compressão

menor compressão