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EconometriaVIOLAÇÃO DE HIPOTESES & EXTENSÕES DO MODELO DE REGRESSÃO

ECONOMETRIA -MESTRADO 1

Tópicos a Considerar Continuidade do Programa Ministrado pelo Prof. Alceu Jobim

1. Modelo de Regressão Múltipla Abordagem Matriciala) Pressupostos;

b) Inferência a versão Matricial;

c) Inferência ao Método de Crammer;

d) Testes Essenciais;

2. Violação das Hipóteses básicas do Modeloa) Multicolinearidade e Micronumerosidade

b) Heteroskedasticidade

c) Autocorrelação

3. Extensões do Modelo de Analise de Regressão Linear Simplesa) Regressão linear pela Origem;

b) Formas Funcionais dos Modelos de Regressão

c) Modelo Log-linear -Computando a elasticidade;

d) Modelo Log-lin

e) Modelo Lin-log

f) Modelos Recíprocos


Duas características especiais do modelo log-linear podem ser

observadas:

�O modelo supõe que o coeficiente de elasticidade β2 permaneça

sempre constante, daí o nome alternativo de modelo de elasticidade

constante. Ou seja, como mostra o Gráfico 11, a variação em ln Y por

mudança unitária em ln X permanece a mesma, não importa com

qual ln X medimos a elasticidade.

� Embora e sejam estimadores não-enviesados de α e β2,

β1 quando estimado como é ele próprio um

estimador enviesado.

Na maioria dos problemas práticos, porém, o termo de intercepto

tem importância secundária e não precisamos nos preocupar em

obter sua estimativa não-enviesada.

Formas FuncionaisModelo Log LinearModelo Log LinearModelo Log LinearModelo Log Linear

��

�� = �� (��)


No modelo de duas variáveis, o meio mais simples de julgar se o

modelo log-linear se ajusta aos dados é fazer um diagrama de

dispersão de ln Yi e ln Xi e ver se os pontos formam aproximadamente

uma reta, como no Gráfico 11.

Formas FuncionaisModelo Log LinearModelo Log LinearModelo Log LinearModelo Log Linear


Economistas, homens de negócios e governos estão

frequentemente interessados em saber a taxa de

crescimento de certas variáveis econômicas, tais como

população, PNB, oferta monetária, emprego,

produtividade, déficit comercial, etc.

Anteriormente, apresentamos dados sobre o PNB real

para os EUA no período 1970-2015. Suponha que

queiramos calcular a taxa de crescimento do PNB real

nesse período (veja folha 3 de Extensões do MRLS, Excel).

Sejam Yt =PNB real no instante t e Y0 = valor inicial (isto é,

em 1970) do PNB real. Lembrando da famosa fórmula

Formas FuncionaisModelo Log Modelo Log Modelo Log Modelo Log LinLinLinLin


da capitalização a juros compostos:

Yt = Y0 (1 + r)t

em que r é a taxa composta (isto é, ao longo do tempo) de

crescimento de Y, calculamos agora o logaritmo natural

daquela equação:

lnYt = lnY0 + t ln(1 + r) (Eq.3)

Sejam agora

β1 = lnY0β2 = ln(1 + r)

Assim, reescrevendo a acima e acrescentando o termo de

perturbação, obtemos:

lnYt = β1 + β2 t + µi (Eq.4)



Este modelo é parecido com qualquer outro modelo de

regressão linear, já que os β´s são lineares. A única

diferença é que a variável dependente (ou regressando) é

o logaritmo natural de Y e a variável independente (ou

regressor) é o tempo, que assumirá valores 1, 2, 3,…etc.

Modelos como a Eq.4 são chamados de semilog, porque

uma variável, o regressando, aparece na forma

logarítmica. Para fins descritivos, um modelo no qual o

regressando é logarítmico será chamado de modelo log-

lin.

No modelo da Eq. 4, o coeficiente β2 mede a variação



proporcional (ou relativa) constante em Y para uma dada

variação absoluta no valor do regressor, o tempo t, ou seja:

(Eq.5)

Se multiplicarmos a variação relativa em Y por 100, a Eq.5

fornecerá então a variação percentual, ou taxa de crescimento,

em Y para uma variação absoluta em X, o regressor.

Um modelo log-lin como a Eq.5 é particularmente útil em

situações em que a variável X é o tempo, já que nesse caso, o

modelo descreve a taxa de crescimento (se



β2> 0) relativo constante, ou taxa de declínio (β2< 0), na

variável Y. Daí o motivo de modelos como a Eq. 4 serem

chamados de modelos de crescimento (constante).

Utilizando o Excel ou o GRETL, obtemos as seguintes

estatísticas para o PNB real dos EUA no periodo 1970-

2015:

�� real = 0,039t + 8,0437 + �� (Eq.6)ep = (0,00071) (0,0192) r2 = 0,9855

t = (54,682) (418,334)p-value = (0,0000) (0,00000)

A interpretação desta regressão é a seguinte:



No período 1970-2015, o PNB real dos EUA aumentou a uma taxa de3,895% ao ano. Como 8,1308 = , se calcularmos o antilog de 8,1308,veremos que = 3397,6 (aproximadamente), ou seja, no início de 1970,o PNB real estimado era de cerca de 3.397 bilhões de dólares.

Taxa de crescimento instantânea versus composta. O coeficiente deinclinação 0,039 fornece a taxa de crescimento instantânea (em umponto do tempo), e não a taxa de crescimento composta (ao longo deum período). Mas esta última pode ser calculada facilmente: bastacalcular o antilog de 0,039, subtrair 1 e depois multiplicar por 100.Assim, no presente caso:

[antilog (0,039) – 1]*100 ≅ 3,02%. Ou seja, no período em análise, a taxacomposta de aumento do PNB real foi de cerca de 3,02% ao ano.



O modelo de tendência linear. Em vez de estimar o modelo da Eq. 4, oseconometristas estimam, às vezes, o seguinte modelo:

(Eq. 7)

Isto é, em vez de regredir o ln de Y sobre o tempo, eles calculam aregressão de Y sobre o tempo. Tal modelo é chamado de tendêncialinear e a variável tempo t é conhecida como variável de tendência. Portendência entende-se um movimento sustentado crescente oudecrescente no comportamento de uma variável. Se o coeficiente deinclinação da Eq. 6 for positivo, há uma tendência crescente em Y; se fornegativo, há uma tendência decrescente em Y.



Para os nossos dados do PNB real, os resultados baseados na Eq. 7 são os seguintes:

�� real = 325,77t + 1215, 4142 + �� (Eq. 8)

ep = (10,696) (288,701) r2 = 0,954

t = (30,456) ( 4, 2099)

p-value = ( 0,0000) (0,00012)

Em contraste com a Eq. 6, a interpretação desta regressão é:



Na folha 4 do ficheiro em Excel Extensões do Modelo de RLS, temos osdados do PNB real e da oferta monetária (conceito M2) dos EUA para operíodo 1990-2009. Suponha que você esteja interessado em verificarquanto o PNB aumentará (em valores absolutos) se a oferta de moedaaumentar em, digamos, 1%.

Ao contrário do modelo anterior que acabamos de ver, no qualestávamos interessados em achar o aumento percentual de Y para umavariação absoluta unitária de X, queremos agora encontrar a variaçãoabsoluta de Y para uma variação de 1% em X.


Formas FuncionaisModelo Modelo Modelo Modelo LinLinLinLin LogLogLogLog

Um modelo capaz de cumprir este papel pode ser escrito como:

Yi = β1 + β2 ln Xi + µi (Eq. 9)

Este tipo de modelo é chamado de lin-log. Como de hábito:

A segunda forma de expressar β2 resulta do fato de que uma variação noln de um número é uma variação relativa.

Assim: (Eq. 10)

Ou equivalentemente: (Eq. 11)



Deste modo, se numa aplicação obtivermos β2 = 500, a variaçãoabsoluta em Y é (0,01)*500, ou 5,0. Portanto, quando regressões como aEq. 9 forem estimadas por MQO, multiplique o valor do coeficienteestimado , por 0,01 ou, o que dá no mesmo, divida-o por 100.

Com base nos dados de PNB real e M2, obtemos os seguintes resultados:

ep = (2086,07) (245,030) r2 = 0,9671

t = (-17,8476) (23,0066)

p-value = (0,0000) (0,0000)



Interpretado conforme acabamos de descrever, o β2 deaproximadamente 5637 significa que, no período da amostra, umaumento em M2 de 1% foi, em média, seguido por um aumento no PNBde cerca de 56,37 bilhões de dólares.

Se você quiser calcular o coeficiente de elasticidade para modelos log-linou lin-log, pode fazê-lo a partir da definição de coeficiente deelasticidade dada anteriormente: (dY/dX)*(X/Y). Aliás, quando a formafuncional de um modelo é conhecida, podemos calcular elasticidadesaplicando essa definição.



Modelos como os a seguir, são conhecidos como modelos recíprocos:

(Eq. 12)

Embora este modelo seja não-linear na variável X, pois ela entrainversamente ou reciprocamente, o modelo é linear nos β´s, sendo,portanto, um modelo de regressão linear.

Este modelo apresenta as seguintes características: conforme X aumentaindefinidamente, o termo β2(1/Xi)

se aproxima de zero (β2 é uma constante), e Y se aproxima do valor-limite ou assintótico β1.

Importantes aplicações desse modelo são, por exemplo:


Formas FuncionaisModelo RecíprocosModelo RecíprocosModelo RecíprocosModelo Recíprocos

a) O relacionamento entre Custo Fixo Médio (CFM) de produção e o nível deprodução. Como mostram os dados da folha 5 do ficheiro Extensões doModelo de RLS, o CFM cai continuamente conforme a produção aumenta(porque o custo fixo se dilui em um grande número de unidades) e, por fim,se torna assintótico com o eixo de produção em β1.

b) A já mencionada Curva de Phillips. No ficheiro Extensões do Modelo de RLS,folha 6, apresentamos dados sobre as taxas de inflação salarial edesemprego para o Reino Unido entre 1992-2008, tentando ajustar ummodelo recíproco para eles. O resultado é o seguinte:

r2 = 0,3849 F1, 15 = 9,38

Este resultado indica que o piso dos salários é -1,43%, ou seja, conforme Xaumenta indefinidamente, o decréscimo percentual nos salários não serámais do que 1,43% ao ano.

Este resultado indica que o piso dos salários é -1,43%, ou seja, conforme Xaumenta indefinidamente, o decréscimo percentual nos salários não serámais do que 1,43% ao ano.




(Eq. 12)








(Eq. 12)







Observe que o valor de r2 é baixo, mas o coeficiente de inclinação ésignificativamente diferente de zero em termos estatísticos e tem o sinalcorreto. Esta observação é uma das razões pelas quais não devemosenfatizar excessivamente o valor de r2 .



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