Questao 1 Um cilindro de massa m e raio a, rola sem deslizar sobre o plano inclinado mostrado nafigura, que por sua vez desliza sobre uma mesa sem atrito. Quanto vale a aceleracao do plano inclinado?

Solucao

Baseando-se na figura acima, temos que :

~rGm/O = ~rM +~b+ ~rGm/A

E derivando essa equacao temos:d2~rGm/O

dt2=d2~rMdt2

+d2~rGm/A

dt2

Para resolver este problema, vamos primeiro ilustrar as equacoes centrais que envolvem o problema:

1.Equacao de translacao para o cilindro:

~N + ~fat +m~g = md2~rGm/O

dt2

2.Equacao de translacao apra o plano:

~N1 +M~g − ~fat − ~N = Md2~rMdt2

3.Equacao de rotacao para o cilindro:~rB/GmX ~fat = IGm~α

Antes de manipular essas equacoes, vamos escrever os vetores nas suas componentes cartesianas:

~N = N cosαuy −N sinαux

1

~fat = f sinαuy + f cosαux

~g = −guy~N1 = N1uy

d2~rGm/A

dt2= aA cosαux + aA sinαuy

d2~rGm/O

dt2=d2~rMdt2

+d2~rGm/A

dt2

d2~rGm/O

dt2= Aux + aA cosαux + aA sinαuy

Agora, iremos voltar as 3 equacoes anteriores e substituir os vetores decompostos obtidos acima, afimde resolver e encontrar as incognitas α,f e A(resposta do problema):

Translacao do plano:

~N1 +M~g − ~fat − ~N = Md2~rMdt2

Equacoes escalares:N1 −Mg − f sinα−N cosα = 0

−f cosα +N sinα = MA

Translacao do cilindro:

~N + ~fat +m~g = md2~rGm/O

dt2

Equacoes escalares:N cosα + f sinα−mg = maA sinα

−N sin alpha+ f cos alpha = mA+maA cosα

Rotacao do cilindro:

−αuzX~rB/Gm =d2~rGm/A

dt2

−αuzX(−a cosαuy + a sinαuy) = aA cosαux + aA sinαuy

α = −aAa

Ainda da rotacao do cilindro:~rB/GmX ~fat = IGm~α

(−a cosαuy + a sinαuy)X(f sinαuy + f cosαuy) = ma2

2αuz

af = ma2

2α

f = −maA2

Substituindo f nas relacoes anteriores, teremos as equacoes

maA cosα + 2N sinα = 2MA (equacao 1)

2N cosα− 2mg = 3maA sinα (equacao 2)

−2N sinα = 2mA+ 3maA cosα (equacao 3)

2

De (1) e (3) obteremos:maA cosα = −(m+M)A

De (2) e (3):2N − 2mg cosα = −2mA sinα

N = m(g cosα− A sinα)

Substituindo os valores em (1);

−(m+M)A+ 2m(g cosα− A sinα) sinα = 2MA

o que resulta em

~A =mg sin 2α

3M + 2m−m cos 2αuz

Uma rapida analise da expressao acima mostra que a aceleracao do plano e positiva,ou seja,para aesquerda, conforme o referencial adotado. O cilindro rola ao longo do plano inclinado, conforme mostra osinal de α.

Questao 10.28 (Alonso e Finn) Um bastao de comprimento L e massa m repousa sobre um planohorizontal sem atrito (Fig. 10-34). Durante o curto intervalo de tempo ∆t o bastao e atingido por umaforca F que produz um impulso I. A forca age num ponto P situado a uma distancia a do centro de massa.Procure (a) a velocidade do centro de massa, e b) a velocidade angular em torno do centro de massa. c)Determine o ponto Q, que permance inicialmente em repouso no refencial do laboratorio, mostrando que

b =K2

a, onde K e o raio de giracao em torno do centro de massa. O ponto Q e chamado centro de

percussao.(Por exemplo, um jogador de basebol deve segurar o taco pelo centro de percussao no sentido deevitar a desagradavel sensacao de reacao do taco quando ele atinge a bola.)Prove tambem que se a forcafor aplicada em Q, o centro de percussao estara em P.

Solucao

a) Pelo princıpio do Impulso e Momento Linear:

t2∫t1

−→F dt = m

−→V CM2 −m

−→V CM1

Fdt(−j) = I = m−→V CM2 − 0

−→V CM2 = − I

mj

3

b) Se analizarmos o torque total relativamente ao centro de massa, temos que

−→τ CM =d−→L CM

dt

E utilizando ICM como o momento de inercia do taco em relacao ao eixo vertical que passa pelo centro demassa do taco, e lembrando que o impulso vale I:

t2∫t1

−→τ CMdt = aF∆t(−k) = ICM−→ω 2 − 0

−→ω 2 = − Ia

ICM

k

Ou ainda, se utilizarmos o raio de giracao K, atraves da relacao ICM = mK2:

−→ω 2 = − Ia

mK2k

c) O ponto Q e formado peloa composicao dos movimentos de translacao e rotacao: Rotacao:−→ω Q = −→ω 2 =

− Ia

mK2k logo

−→V Q(rot) =

Iab

mK2j Translacao:

−→V Q(trans) =

−→V CM2 = − I

mj .Como

−→V Q = 0,

−→V Q(trans) +

−→V Q(rot) =

Iab

mK2j − I

mj = 0 .Portanto: b =

K2

aAnalogamente, se a forca for aplicada em Q, teremos (a

indicacao do apostrofe significa em relacao as aplicacoes em Q) :

−→V

′CM2 =

−→V CM2 = − I

mj

−→ω ′2 = − Ib

mK2

E procedendo-se analogamente como no caso anterior, encontramos as contribuicoes da velocidade lineardevido a rotacao e a translacao do centro de massa, que somadas devem resultar em 0, implicando final-

mente em a =k2

b, ou seja, o centro de precessao estara em P .

Questao 10.31 (Alonso e Finn) Um cordao e enrolado no pequeno cilindro da Fig. 10.37. Supondoque o puxemos com uma forca F , calcule a aceleracao do cilindro. Determine o sentido do movimento.Aqui, r = 3cm,R = 5cm,F = 0, 1kgf e m = 1kg (massa do cilindro).

Solucao

Considerando-se que o cilindro rola sem deslizar, o ponto de contato com o solo pode ser consideradoum centro instantaneo de rotacao. Alem disso, seja α a aceleracao angular em relacao a esse ponto.Assim, calculemos o torque total externo em relacao a esse ponto:

τ = Iα

E pelo Teorema dos Eixos Paralelos, podemos obter I:

F (R− r) = (mR2

2+mR2)

a

R

F (R− r) = ma3R

2

a =2

3F (1− r

R)m

Substituindo os valores:

a =2

3.0, 1.0, 981(1− 3

5).1 = 0, 3m/s2

4