A matemtica no Egito Antigo

BECK, Vinicius Carvalho 1

1 Mestrando em Matemtica - UFRGS;

Campus do Vale CEP 9500 91509 900. Porto Alegre-RS. Email: vonoco@gmail.com

Resumo

No Egito Antigo, o homem foi capaz de grandes realizaes. Dentre elas, a construo das pirmides, a inveno de um calendrio solar, a criao de um sistema de numerao, s para citar algumas. Certamente nenhuma destas grandes realizaes seria possvel sem o avano da matemtica. Este trabalho tem por objetivo apresentar as principais caractersticas da matemtica do Egito Antigo e relatar as consequncias trazidas pelo avano da matemtica egpcia.

Palavras-chave: Egito Antigo, matemtica, pirmides.

Introduo

O historiador grego do sculo V a.C., Herdoto, se referia ao Egito como uma ddiva do Nilo. Isto porque o Egito, na poca, era um extenso osis localizado no nordeste da frica s margens do Rio Nilo, com cerca de 1000 Km de comprimento e entre 10 e 20 Km de largura cercado por desertos e mares.

At 1798, as nicas fontes histricas do Egito faranico eram os escritos de Herdoto e do escrivo de Ptolomeu II, Maneto. No entanto, estes documentos, por razes desconhecidas, continham muitas informaes pouco precisas ou incorretas.

Em 1798, o general Napoleo Bonaparte comandou uma expedio, cercado por especialistas, com o objetivo de desvendar os mistrios da civilizao egpcia. Por isso esta data conhecida como a redescoberta do Egito Antigo.

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Em 1822, o francs Jean-Franois Champollion decifrou o sistema de escrita egpcio, os hierglifos. Desde ento, muitos segredos do Egito Antigo foram descobertos por meio de fontes confiveis.

Atravs desses escritos, sabemos hoje que os egpcios eram governados de forma absoluta por seu lder poltico, militar e religioso, o fara, que adoravam diversos deuses, que eram hbeis escultores e que j naquela poca utilizavam a razo para resolver problemas prticos.

As principais realizaes dos egpcios no campo da matemtica foram a construo das pirmides, a inveno de um calendrio solar e a criao de um sistema de numerao prprio.

A maior parte daquilo que sabemos sobre a matemtica do Egito Antigo se deve a existncia de trs documentos importantes: o Papiro Rhind, o Papiro de Moscou e o Papiro de Berlim.

1 O Papiro Rhind

Tambm conhecido como Papiro Ahmes, em homenagem ao escriba que o copiou. Acredita-se que o texto original tenha sido escrito por volta de 1850 a.C.. Em 1858, o colecionador escocs Henry Rhind o comprou em uma cidade beira do Nilo. Desde ento o documento, que hoje se encontra no Museu Britnico, passou a ser conhecido como Papiro Rhind.

1 Papiro Rhind

O papiro tem 32 cm de largura por 513 cm de comprimento, foi escrito em hiertico (uma simplificao dos hierglifos, lia-se da direita para a esquerda), e

1 http://es.geocities.com/matesbueno/articulos/rhind.GIF

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contm uma srie de tabelas nas quais constam os quocientes de vrios tipos de diviso de nmeros naturais, e ainda 84 problemas envolvendo fatos da vida cotidiana acompanhados de suas solues.

2 O Papiro de Moscou

Escrito aproximadamente em 1890 a.C. por um escriba desconhecido, o Papiro de Moscou inicialmente era conhecido como Papiro de Golenishchev, em homenagem ao egiptlogo V. S. Golenishchev, que o comprou em 1893. Em 1917, foi comprado pelo Museu de Belas Artes de Moscou.

2 Papiro de Moscou

Contm 25 problemas, dos quais muitos se parecem com os do Papiro Rhind. No entanto, alguns problemas so bastante distintos, como um que se refere rea de uma superfcie curva e outro que se refere rea de uma pirmide truncada, alm de problemas que resultaro na equao 2x + x = 9.

3 O Papiro de Berlim

Acredita-se que tenha sido escrito aproximadamente em 1800 a.C.. Foi comprado em 1850 por Henry Rhind na cidade de Luxor. No entanto, devido ao mau estado em que se encontrava, s pde ser analisado 50 anos mais tarde por Shack-Shackenburg. Atualmente, o Papiro se encontra no Museu Staatliche em Berlim.

Dois dos problemas contidos neste Papiro do origem a sistemas de equaes nos quais uma das equaes de 1 grau e a outra de 2 grau. Portanto, pela

2 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/images/papiro_de_moscovo.jpg

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primeira vez na histria (pelo que se sabe at hoje), apresentada uma soluo para uma equao de 2 grau.

4 O sistema de numerao

Os egpcios utilizavam um sistema de numerao no-posicional, isto , a posio em que os smbolos que representavam as quantidades eram colocados no era relevante. A principal desvantagem do sistema de numerao egpcio (e de outros sistemas no-posicionais) era a representao de nmeros bastante grandes, pois esta se tornava uma tarefa muito trabalhosa devido repetio de smbolos.

Para os egpcios, a principal operao matemtica era soma, da qual derivavam todas as outras operaes com nmeros inteiros. Para multiplicar, por exemplo, 2*4, os egpcios somavam 2+2+2+2. Ainda no dispunham de tcnicas que lhes permitisse pensar na multiplicao e na diviso como operaes independentes da soma. Era comum o uso de tabelas para facilitar clculos que envolviam outros tipos de operao.

O sistema de numerao dos egpcios era representado por meio de hierglifos. Inicialmente, consistia da unidade e as 6 primeiras potncias de 10, como pode ser observado na tabela abaixo:

3 O sistema de numerao egpcio

3 http://br.geocities.com/superbetorpf/evolnu1.jpg

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5 As fraes unitrias

Devido s cheias do Nilo, os habitantes das margens precisavam medir seu terreno periodicamente para efetuar o clculo da poro do terreno perdido para o vizinho. Essas medies eram efetuadas com cordas por encarregados do governado (os estiradores de corda). Embora as medies fossem bastante precisas, dificilmente a rea do terreno depois da cheia cabia um nmero inteiro de vezes na rea do terreno antes das cheias. Para contornar este tipo de problema, os egpcios criaram os nmeros fracionrios, que eram representados por fraes.

Os egpcios utilizavam com frequncia a frao 2/3, a qual era representada atravs de um smbolo hiertico (como se fosse um padro). Tambm eram hbeis na decomposio de fraes em fraes unitrias, isto , fraes onde o numerador 1. Acredita-se, pelos registros de clculos contidos no Papiro Rhind, que dispunham de tcnicas inteligentes de decomposio em fraes unitrias. Por exemplo, a frao 3/5 era representada como a soma (1/3)+(1/5)+(1/15).

No Papiro Rhind, encontra-se uma tabela de decomposio em frao unitria dos nmeros 2/5, 2/6, 2/7, ..., 2/101. Estudiosos do Papiro Rhind constataram que as fraes da forma 2/3k eram representadas pela soma (1/2k)+(1/6k), e as fraes da forma 2/5k eram representadas (1/3k)+(1/5k), embora curiosamente, a frao 2/95 seja a nica deste tipo decomposta de maneira distinta. Ela aparece decomposta na soma (1/60)+(1/380)+(1/570).

6 O calendrio Solar

Os egpcios foram os primeiros a utilizar um calendrio, tomando por referncia o sol. Acredita-se que tenha surgido por volta de 3000 a.C. e sua criao tenha sido motivada pela falta de parmetros precisos na previso das pocas de plantio.

Cada ano comeava com a enchente anual do Nilo, possuindo 365 dias divididos em 12 meses de 30 dias (por influncia das fases da lua), e mais 5 dias de festas para comemorar o aniversrio dos deuses Osris, Hrus, sis, Neftis e Set.

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4 O calendrio solar do Egito Antigo

Os astrnomos da Grcia utilizaram o calendrio egpcio como referncia para seus estudos astronmicos, e por influncia destes o ocidente tambm passou a utiliz-lo.

7 As pirmides

As pirmides eram templos que os faras mandavam construir para lhes servir de tmulo. Foram construdas mais de 170 no Egito e na Nbia. A beleza, grandiosidade e engenhosidade com que foram construdas demonstram o alto grau de sofisticao artstica e cientfica dos egpcios. A admirao por estas belas construes perdura at nossos dias.

As maiores pirmides do Egito, as pirmides de Queps, Qufren e Miquerinos, so conhecidas como as pirmides de Giz, pois ficam nas proximidades da cidade de Giz. A maior das 3 a pirmide de Queps, possuindo 147 metros de altura e tendo por base um quadrado de 234 metros de lado. Era orientada pelos 4 pontos cardeais celestes, tendo como entrada a face norte. Segundo Herdoto, 100 mil operrios levaram 30 anos para colocar no lugar os 2 milhes e meio de blocos de pedra usados na sua construo.

4 http://media.photobucket.com/image/calend%2525C3%2525A1rio%20solar%20egipcio/Gracolina

/Imagens/Egipto-Calendrioegipcio.jpg

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Em 1997, o arquiteto francs Jean-Pierre Houdin apresentou estudos que indicam que as pirmides de Giz podem ter sido construdas de dentro para fora a partir de uma rampa interna, formando um tnel em espiral.

5 As pirmides de Giz

As pirmides revelam que os egpcios possuam tcnicas de engenharia bastante avanadas para a poca. No entanto, a construo desses monumentos permanece um mistrio at os dias de hoje, pois no existem registros histricos que apresentem detalhadamente as tcnicas utilizadas pelos engenheiros do Egito Antigo.

5 http://www.shunya.net/Pictures/Egypt/Memphis/PyramidsGiza1.jpg

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Referncias

[1] VERCOUTTER, Jean. Em busca do Egito esquecido. Traduo de Ana Maria Roiter. Editora Objetiva, Rio de Janeiro, 2002. [2] MELLA, Federico A. Arborio. O Egito dos faras. Traduo de Atlio Cancian. Hemus Livraria Editora, So Paulo, 1981. [3] CHASSOT, Attico. A cincia atravs dos tempos. Editora Moderna, So Paulo, 1994. [4] GILLINGS, Richard J.. Mathematics in the time of the pharaohs. Dover Publications, New York, 1982. [5] dos REIS, Clenilson; MIRANDA, Henrique S.; JACOBSEN, Simone. A histria da matemtica no Egito. Plo Universitrio UFES, 2005. Disponvel em mtuliop.googlepages.com/Egito.pdf.

[6] BARASUOL, Fabiana Fagundes. A matemtica da pr-histria ao antigo Egito. UNIrevista vol.1, n 2: (abril 2006). Disponvel em http://www.unirevista.unisinos.br/_pdf/UNIrev_Barasuol.pdf. [7] BOYER, Carl B.. Histria da matemtica. Edgard Blcher Ltda., So Paulo, 1999.

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