Geometria Plana – Lista 03 – 3º ano

Professor: Valdir Pontos notáveis de um triângulo e Polígonos convexos.

C

A

B P

S

O

B P S

Q R

C

A

01. Os pontos notáveis de um triângulo são o incentro, o cir-cuncentro, o baricentro e o ortocentro. Cada um deles é obtido segundo sua definição e apresenta particularidades importantes na resolução de exercícios de Geometria. Sobre o assunto pontos notáveis de um triângulo, julgue os itens abaixo: 01) Se a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo corta o

lado oposto no ponto médio, então o referido triângulo é isósceles.

02) O baricentro de um triângulo é sempre ponto do seu interi-or e divide cada mediana em dois segmentos de reta na razão de 2 para 1.

03) O circuncentro de um triângulo retângulo é o ponto médio de sua hipotenusa e a mediana relativa ao vértice do ângu-lo reto tem comprimento igual à metade do comprimento da hipotenusa.

04) (UnB) Se, num triângulo, a altura relativa a um lado coin-cide com a bissetriz do ângulo oposto a esse lado, então o triângulo é necessariamente isósceles.

05) (UnB) Se um triângulo tem duas alturas iguais, então ele é necessariamente equilátero.

06) A mediatriz do segmento determinado por dois pontos distintos de uma circunferência passa pelo centro da mesma.

07) Num triângulo qualquer, o baricentro e o incentro são pon-tos internos e, o circuncentro e o ortocentro são pontos que podem ser internos ou externos.

08) Num triângulo isósceles, os quatro pontos notáveis são colineares e sempre estão no seu interior.

09) Se um ponto P no plano de um triângulo é equidistante dos três lados desse triângulo, ele é necessariamente a inter-secção das mediatrizes dos lados do triângulo.

02. QUESTÃO 04 (UFG) No triângulo ABC da figura abaixo, os segmentos AD e BC

são perpendiculares, os ângulos BÂE e EÂC são iguais, as medidas dos segmentos BM e MC são iguais e r é uma reta perpendicular ao segmento BC, passando por M.

Com base nessas informações, julgue os itens: 01) Os triângulos ABM e AMC têm áreas iguais. 02) O centro da circunferência que circunscreve o triângulo

ABC pertence à reta r. 03) a.senβ = b.senα, onde a e b indicam as medidas dos seg-

mentos EM e AM, respectivamente. 04) O raio da circunferência que circunscreve o triângulo ABD

mede um terço da medida do lado AB.

03. (UEM) Considere ABC um triângulo inscrito em uma semi-circunferência de diâmetro BC cuja medida do ângulo C é 20º. Determine a medida, em graus, do ângulo formado pela altura e pela mediana relativas à hipotenusa.

04. (FUVEST) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2 . Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN.

05. Na figura a seguir, a circunferência de centro O tangencia os lados do triângulo ABC nos pontos P, Q e R e os lados AB, BC e CA medem, respectivamente, 10 cm, 12 cm e 8 cm. Des-sa forma determine o comprimento do segmento de reta PS sendo CS uma ceviana que passa pelo centro O da circunfe-rência.

06. Na figura a seguir, o triângulo ABC é isósceles de base BC e ângulo do vértice A mede 36o. Determine a medida do lado AC do triângulo sabendo que a base BC mede 1 cm.

07. Sendo AS e AP as bissetrizes dos ângulos interno e externo em A, determine o valor de CP , dados BS = 6 m e SC = 4 m. 08. O triângulo ABC da figura é retângulo em B. Sabendo que BM é mediana e BN é bissetriz, determine o comprimento do segmento de reta MN.

09. (UFMT) Deseja-se instalar uma fábrica num lugar que seja eqüidistante dos municípios A, B e C. Admita que A, B e C são pontos não colineares de uma região plana e que o triângulo ABC é escaleno. Nessas condições, o ponto onde a fábrica deverá ser instalada é o a) centro da circunferência que passa por A, B e C. b) baricentro do triângulo ABC. c) ponto médio do segmento BC. d) ponto médio do segmento AB. e) ponto médio do segmento AC.

10. (UNEB BA/2011) Nos modelos de estruturas moleculares de alguns compostos químicos, os átomos se colocam como vértices de poliedros ou de polígonos. No modelo molecular do composto químico SO3 (trióxido de enxofre), por exemplo, os três átomos de oxigênio (O) formam um triângulo equilátero e o átomo de enxofre (S) se localiza no centro desse triângulo. Nesse exemplo, a distância entre os átomos de oxigênio é de 248 picômetros (pm), sendo que 1pm = 10–12 m. A distância

C

A

α

E D B M

β

r

1 cm B C

A

36o

B

A

N M

C

6 cm

8 cm

2

entre o núcleo de enxofre (S) e qualquer um dos núcleos de oxigênio é chamada comprimento da ligação. Considerando-se essas informações, pode-se afirmar que o comprimento da ligação do SO3 é igual a

a) 248 3

pm3

b) 164 3

pm3

c) 124 3

pm3

d)82 3

pm3

11. Determine a medida da mediana AM do triângulo ABC. (Dado: BC = 12).

12. Determine a medida da bissetriz AS do triângulo ABC. (Da-do: BC = 5).

13. Sobre polígonos, pede-se: a) Verificar se existe um polígono convexo com 55 diagonais.

Justifique todos os argumentos. b) Determinar a medida do ângulo interno do polígono regular

cujo número de diagonais é 35.

14. (ITA) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: a) 63 b) 65 c) 66 d) 70 e) 71

15. (FUVEST) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os demais ângulos internos med em 128° cada um. O número de lados do polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

16. (PUC/SP) As retas que contêm dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo igual a 20o. Esse polí-gono é um: a) octógono regular b) eneágono regular c) pentadecágono regular d) icoságono regular e) octodecágono regular

17. (UFG) ABCDEF... é um polígono convexo regular. Determi-ne o número de lados do polígono, sabendo que o ângulo CÊF mede 144°.

18. Na figura a seguir ABCDE... é um polígono regular. Prolon-gando-se os lados AB e DE obtém-se um ângulo de 108º de vértice P. Determine o número de diagonais do polígono regular ABCDE... .

19. (ITA) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2160°. Então o número de diagonai s deste polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve é: a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

20. O polígono regular ABCDE... da figura a seguir mostra que duas diagonais BD e BE formam um ângulo de 20º. Determine o número de diagonais do polígono.

21. (UNIFESP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condições, o ângulo mede a) 108o. b) 72o. c) 54o. d) 36o. e) 18o. 22. (FGV) Analise as instruções a seguir: I. Andar 4 metros em linha reta. II. Virar x graus à esquerda. III. Andar 4 metros em linha reta. IV. Repetir y vezes os comandos II e III.

Se as instruções são utilizadas para a construção de um pentágono regular, pode-se afirmar que o menor valor positivo de x ·y é igual a: a) 144 b) 162 c) 216 d) 288 e) 324

23. (Valdir) Um polígono regular de n lados possui 35 diago-nais. Sabemos que o número total de diagonais de um polígono convexo é dado por n.(n – 3)/2. Assim, o ângulo formado por duas diagonais consecutivas que partem de um mesmo vértice desse polígono é igual a: a) 12° b) 14º c) 16º d) 18º e) 20º

24. (ITA) Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n-1 ângulos internos do polígono é 2004º, deter-mine o número n de lados do polígono.

25. (PUC) Um octógono regular é inscrito em uma circunferên-cia. Selecionando-se aleatoriamente três vértices desse octó-gono, a probabilidade de que eles determinem um triângulo retângulo é: a) 9/16 b) 4/7 c) 3/7 d) 3/14 e) 1/7

26. (Valdir) Um polígono convexo de 15 lados tem as medidas de seus ângulos em progressão aritmética de razão igual a 2°. Determine o maior ângulo desse polígono.

27. Um polígono convexo tem dois ângulos de 150º e os outros medem 155º. Determine o número de lados desse polígono.

28. (ITA) Considere três polígonos regulares tais que os núme-ros que expressam a quantidade de lados de cada um constitu-am uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3 780º. O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a: a) 63 b) 69 c) 90 d) 97 e) 106

29. (Valdir) Num polígono regular, as mediatrizes de dois lados consecutivos formam um ângulo de 20°. Determine o n úmero de lados desse polígono.

A

C

10

B M

6

A

C

6

B S

4

A B

C

D

E

108º

P

A B

C

D

E

20º

01) certos: 01, 02, 03, 04, 06, 07 02) certos: 01, 02, 03 03) 50°

04) 11/30 05) 1 cm 06) ( 5+1 )/25+1 )/25+1 )/25+1 )/2 07) 20 m

08) 5/7cm 09) A 10. A 11) 4 2 12) 3 2 13) a) não; b) 144° 14) C 15) B 16) E 17) 15 18) 35 19) C 20) 27 21) D 22) C 23) D 24) 14 25) C 26) 170° 27) 14 28) D 29) 18