4251

0011 0010

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFACULDADE DE MATEMÁTICA

PROJETO PIBEG

Unidade IV

Interpolação Polinomial

4251

0011 0010

SUMÁRIOINTRODUÇÃO

PROBLEMA GERAL DA INTERPOLAÇÃO

POLINÔMIO INTERPOLADOR

TEOREMA (EXISTÊNCIA E UNICIDADE)

FORMA DE LAGRANGE

FORMA DE NEWTON

FORMULA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR

ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃOPOLINOMIAL

4251

0011 0010

SUMÁRIONEWTON GREGORY

INTERPOLAÇÃO INVERSA

4251

0011 0010

Introdução

4251

0011 0010

Introdução:

A interpolação consiste em determinar uma função que

assume valores conhecidos em certos pontos. A classe de

funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e

deve ser adequada às características que pretendemos que a

função possua.

4251

0011 0010

Um dos motivos desta aproximação é:

Estimar valores intermediários entre dados precisos.

EXEMPLO: É sabido que no Brasil é realizado censo geral a cada

10 anos. Portanto nos anos em que é realizado o censo, tem-se

dados precisos da população do país. Os valores do número de

habitantes em anos intermediários pode ser estimado através de

uma interpolação.

4251

0011 0010

Problema Geral da Interpolação

Considere a tabela abaixo com (n+1) pontos distintos:

x x0 x1 x2 ... xn

f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ... f(xn)

A interpolação de f(x) consiste em se obter uma função g(x), tal que:

)()(

)()(

)()(

11

00

nn xfxg

xfxg

xfxg

4251

0011 0010

f(x)

Graficamente:

f(x)

g(x)(x0 , f(x0))

(x1 , f(x1))

(x2 , f(x2))(x3 , f(x3)) (x4 , f(x4))

(x5 , f(x5))

f(x)

xx0 x1 x2 x3x4 x5

4251

0011 0010

Nesta unidade consideraremos que g(x) pertence à classe das

funções polinomiais.

OBSERVAÇÃO:

Existem outras formas de interpolação polinomial como,

por exemplo, a fórmula de Taylor para a qual as condições

de interpolação são outras.

Assim como g(x) foi escolhida entre as funções

polinomiais, poderíamos ter escolhido g(x) como função

racional, função trigonométrica, etc.

4251

0011 0010

Polinômio interpolador:

Consideremos o intervalo [a, b]R, os pontos

x0, x1, ..., xn [a, b] e uma função f cujos valores são

conhecidos naqueles pontos. Um polinômio P, de grau menor do

que ou igual a n, que satisfaz P(xi) = f(xi), i = 0 , 1, 2, ..., n, chama-

se polinômio interpolador de f nos pontos x0, x1, ..., xn .

4251

0011 0010

Dado um conjunto de n + 1 pontos distintos, isto é (xk, fk),

k = 0, 1, ..., n, com xk ≠ xj para k ≠ j. Existe um único polinômio p(x)

de grau menor ou igual a n, tal que p(xk) = f(xk) = fk para k = 0, 1,

2, ..., n.

Teorema (Existência e Unicidade)

DEMONSTRAÇÃO

4251

0011 0010

Forma de Lagrange

4251

0011 0010

Vamos considerar o conjunto de n+1 pontos (xk, fk), k = 0, 1, 2, ..., n,

distintos e vamos considerar o polinômio representado por

n

kkknnn xLfxLfxLfxLfxp

01100 )()()()()(

onde Lk(x) é um polinômio de grau · n que satisfaz a relação:

jkse

jksexL jk 1

0)(

Com isto temos que

pn(xj) = f0L0(xj) + f1L1(xj) + ... + fjLj(xj) + ... + fnLn(xj)

pn(xj) = fj

4251

0011 0010

Logo pn(x) satisfaz a condição de interpolação, sendo assim, o

polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, ..., xn. Os

polinômios Lk(x) são chamados de polinômios de Lagrange e

estes são obtidos da seguinte forma:

)()()()()(

)()()()()()(

1110

1110

nkkkkkkk

nkkk xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxL

4251

0011 0010

Exemplo: Vamos considerar a tabela de pontos do exemplo

anterior e determinar uma aproximação para f(0.3) usando a

forma de Lagrange.

xk 0.0 0.2 0.4

fk 4.00 3.84 3.76

Calculando os Lk(x) temos:

)6.2(08.0

1

)2.04.0)(04.0(

)2.0)(0(

))((

))(()(

)4.0(04.0

1

)4.02.0)(02.0(

)4.0)(0(

)()(

))(()(

)08.06.0(08.0

1

)4.00)(2.00(

)4.0)(2.0(

))((

))(()(

2

1202

102

2

2101

201

2

2010

210

xxxx

xxxx

xxxxxL

xxxx

xxxx

xxxxxL

xxxx

xxxx

xxxxxL

4251

0011 0010

)()()()()()()( 221100 xLxfxLxfxLxfxpn Fazendo:

Obtemos: p(x) = x2 - x + 4.

Observe que o polinômio é o mesmo que foi obtido via sistema

linear. Isto já era esperado, pois o polinômio interpolador é

único.

Desta forma, para x = 0,3 [0, 0.4] , teremos f(0.3) ≈ p(0.3) = 3.79.

4251

0011 0010

Forma de Newton

OPÇÃO 1

OPÇÃO 2

4251

0011 0010

Nesta unidade será visto outro método de determinar o

polinômio de interpolação. Tal polinômio será chamado de

Polinômio de Newton.

A expressão do polinômio de Newton é dada por:

)xx)...(xx)(xx(d...)xx)(xx(d)xx(dd)x(P nnn 110102010

onde os coeficientes da combinação linear dos polinômios (x –x0),

(x –x0) (x –x1), ..., (x –x0) (x –x1)... (x –xn-1) são chamados de diferenças

divididas.

4251

0011 0010

Como

pn(x0) = f(x0) f(x0) = d0

)xx)...(xx)(xx(d...)xx)(xx(d)xx(dd)x(P nnn 110102010

é o polinômio interpolador de f pelos pontos x0, x1, ..., xn então

pn(xi) = f(xi), 0 i n . Assim,

pn(x1) = f(x1) f(x1) = d0 + d1(x1 - x0) d1 = 01

01

xx

)x(f)x(f

pn(x2) = f(x2) f(x2) = d0 + d1(x2 - x0) + d2(x2- x0) (x2 – x1)

d2 =

)xx)(xx)(xx(

)xx)](x(f)x(f[

)xx)(xx(

)x(f)x(f

120201

0201

1202

02

f[x0, x1]

4251

0011 0010

]x,x,x[f]x,x[f]x,x[fxx

)xx(

)x(f)x(f

)xx(

)x(f)x(f

xx

)xx(

)xx(

)xx(

)]x(f)x(f[

)xx(

)x(f)x(f

xx

)xx)(xx(

)xx)](x(f)x(f[

)xx(

)x(f)x(f)x(f)x(f

xx

)xx)(xx)(xx(

)xx)](x(f)x(f[

)xx)(xx(

)x(f)x(fd

210102102

01

01

12

12

02

01

02

12

01

12

12

02

1201

0201

12

0112

02

120201

0201

1202

022

1

1

11

1

4251

0011 0010

0

1102110 xx

]x,...,x,x[f]x,...,x,x[f]x,...,x,x[f

i

iii

]x,x,...,x,x[fd,]x,x,x[fd

],x,x[fd),x(f]x[fd

nnn 1102102

101000

Diferenças divididas: CASO GERAL

Pode-se mostrar que o operador diferenças divididas tem as seguintes propriedades:

]x,...,x,x[f]x,x,...,x,x[f )n(j)(j)(jnn 10110

onde j é uma permutação do conjunto {0, 1, ..., n}

(1)

(2)

4251

0011 0010

Desta forma, o polinômio de Newton é expresso por:

]x,x,x,...,x,x[f)xx)...(xx)(xx(

....]x,x,x[f)xx)(xx(]x,x[f)xx(]x[f)x(P

nnn

n

0121110

012100100

As diferenças divididas são facilmente calculadas através de uma

tabela recursiva. Como exemplo, será apresentado uma tabela

envolvendo diferenças divididas até ordem 4.

4251

0011 0010

x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4

0x ][ 0xf],[ 01 xxf

1x ][ 1xf ],,[ 012 xxxf

],[ 12 xxf ],,,[ 0123 xxxxf

2x ][ 2xf ],,[ 123 xxxf ],,,[ 012,34 xxxxxf

],[ 23 xxf ],,[ 12,34 xxxxf

3x ][ 3xf ],,[ 234 xxxf

],[ 34 xxf

4x ][ 4xf

4251

0011 0010

ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

],[ 0 nxxx

Teorema

Seja f(x) derivadas contínuas até ordem n + 1. Sejam x0< x1< ...< xn,

n + 1 pontos distintos da função. Seja pn(x) o polinômio que interpola

f(x) nestes pontos. Então, , o erro de truncamento da

interpolação polinomial vale:

)()()( xpxfxE nn

],[)(,)!1(

))(()()()()( 0

)1(

10 n

n

nn xxxn

xfxxxxxxxE

INT. INV.

N. G.

4251

0011 0010

A equação

],[)(,)!1(

))(()()()()( 0

)1(

10 n

n

nn xxxn

xfxxxxxxxE

tem uso limitado na prática, pois raramente ξ é conhecido. Sua

principal aplicação é na estimativa do erro de truncamento para

as fórmulas de interpolação, integração e diferenciação

numérica. Assim, é usual trabalhar com uma cota superior de

erro de truncamento dada por:

],[,)(max)!1(

)()( 0

)1(

n

n

It

n

n xxIttfn

xxE

4251

0011 0010

Caso a expressão f(x) não seja conhecida, o erro pode ser

estimado através do maior valor absoluto das diferenças

divididas de ordem n + 1, isto é:

]1[max)()( nordemfxxE nn

pois,

]x,x[)x(,)!n(

))x((f)xx()xx()xx()x(E n

)n(

nn 0

1

10 1

e

],,,,[)()()()( 1010 xxxxfxxxxxxxE nnn

Logo,

]x,x,,x,x[f)!n(

))x((fn

)n(

10

1

1

4251

0011 0010

INTERPOLAÇÃOINVERSA

4251

0011 0010

Sejam conhecidos n + 1 pontos distintos ],[,,0,),( baxnifx iii

O problema da interpolação inversa consiste em :

],[ 0 nffy x .)( yxf dado obter tal que

)(xpn

nxxx ,,, 10 x

.)( yxpn

Uma solução para este problema é obter

pontos e em seguida encontrar tal que

que interpola f(x) nos

Neste caso, não é possível fazer nem mesmo uma estimativa do

erro cometido. As equações permitem medir o erro ao se aproximar

f(x) por )(xpn , e não o erro ao se aproximar .x

4251

0011 0010

,y

).()(1 ygyfx

Interpolação inversa:

Considerando que f(x) seja inversível em um intervalo contendo

pode-se fazer a interpolação de

Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a , b]

seja inversível é que seja monótona crescente (ou decrescente)

neste intervalo.

4251

0011 0010

yxf )(

)(ypn )()(1 ygyf

].,[ 0 nff

Se f(x) é inversível, o problema de se obter

resolvido, obtendo-se que interpola

o intervalo

Para isto, basta considerar x como uma função de y e aplicar

algum dos métodos estudados para interpolação:

, é facilmente

sobre

)()( ypygx n

4251

0011 0010

],[,)(max)!1(

)())(()( 0

)1(10

n

n

It

n

n ffIttgn

fyfyfyyE

Desta forma, o erro de truncamento cometido pode ser medido,

utilizando as expressões desenvolvidas anteriormente. Uma

estimativa para o erro é dada por: