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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFACULDADE DE MATEMÁTICA

PROJETO PIBEG

Unidade VI

Solução Numérica deEquações Diferenciais

Ordinárias

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Uma equação diferencial ordinária é definida como uma equação

que envolve uma função incógnita y e algumas de suas derivadas

avaliadas em uma variável independente x, da forma:

)]x(y,),...x(''y),x('y,x[f)x(y )1n()n(

INTRODUÇÃO

Nas ciências aplicadas a utilização de equações diferenciais tem

como objetivo descrever o comportamento dinâmico de sistemas

físicos. Por exemplo, o comportamento dinâmico de um circuito,

mostrado na figura a seguir, pode ser descrito por uma equação

diferencial.

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CIRCUITOS ELÉTRICOS RLC

Circuitos elétricos mais complexos são basicamente formados

por resistores de resistência R, indutores de indutância L,

capacitores de capacitância C, carregado com uma diferença

de potencial VC e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial

é indicada E(t).

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Se E(t) é a diferença de potencial da fonte de alimentação e i(t) é

a intensidade da corrente elétrica, então:

VL é a diferença de potencial nos terminais do indutor:

dt

diLtVL )(

VR é a diferença de potencial nos terminais do resistor:

)()( tRitVR

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VC é a diferença de potencial nos terminais do capacitor:

t

C duuiC

tV0

)(1

)(

A lei de Kirchoff para tensões afirma que a soma algébrica de

todas as tensões tomadas num sentido determinado (horário ou

anti-horário), em torno de um circuito fechado é nula. Assim,

quando for fechado o interruptor, obteremos:

)()()()( tEtVtVtV CRL

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Substituindo

dt

diLtVL )( )()( tRitVR

t

C duuiC

tV0

)(1

)(

)()()()( tEtVtVtV CRL em

obtemos:

)()(1

)(0

tEduuiC

tRidt

diL

t

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Se E(t) é constante e derivarmos em relação à variável t, teremos

0)(1)()(

2

2

tiCdt

tdiR

dt

tidL

e temos uma EDO de segunda ordem, linear e homogênea.

Se E(t) é uma função diferenciável da variável t, então

dt

dEti

Cdt

tdiR

dt

tidL )(

1)()(2

2

e temos uma EDO linear não-homogênea.

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TIPOS DE EQUAÇÕESDIFERENCIAIS

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

São equações diferenciais que possuem apenas uma

variável independente.

Exemplos:

yxdx

dy y é função de x e x é a única variável

independente.

22 yxdt

dy y e x são funções de t; t é a única

variável independente.

222

2

yxdw

yd

y e x são funções de w; w é a única variável independente. Esta edo é de segunda ordem.

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

Uma equação diferencial parcial é aquela cuja função

incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes.

Exemplo:

u é função de x e y; x e y são variáveis independentes. EDP linear, de 2ª ordem e homogênea. (Equação de Laplace)

02

2

2

2

y

u

x

u

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SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Determinadas equações diferenciais podem ser

solucionadas analiticamente, cuja solução é uma expressão

literal. No entanto, isto nem sempre é possível. Neste caso, a

solução é obtida através de solução numérica, como será visto

na seqüência.

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Exemplo:

21)ln( cxcydxy

dydx

y

dyy

dx

dy

.)( cxcx eeexy

:obtemos Tomando cek

xkexy )(

.ydx

dyResolva a equação diferencial

Solução:

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Observe que a solução da equação diferencial resulta numa

família de curvas que dependem da constante k, como pode ser

visto na figura abaixo. Uma solução particular pode ser obtida a

partir das condições iniciais do problema. A especificação de

uma condição inicial define uma solução entre a família de

curvas.

xkexy )(

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SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

ORDINÁRIAS – PROBLEMA DE VALOR INICIAL

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Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial :

axbaxyxy

yxfy

000

];,[,)(

),('

Se a solução da equação diferencial acima é do tipo y(x), conforme

ilustrado abaixo:

y

x

y(x1)

x0 = a x1 x2 x3 xn = b

y(x2)

y(x3)

y(xn)

y(x0) = y0

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então a solução numérica da equação diferencial é obtida

aproximando-se os valores ,)(,),...(),(),(),( 3210 nxyxyxyxyxy

conforme a tabela abaixo:

njxy j ,...,2,1),(

nxxxx ,...,,, 321 njy j ,....,2,1, Considera-se que a notação indica a solução

, e

indica a solução aproximada obtida por um método numérico.

exata da EDO nos pontos

onde xj = x0 + jh, comn

abh

e n é o número de subintervalos

de [a,b].

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Na solução numérica não se determina a expressão literal da

função y(x), mas sim uma solução aproximada do PVI num

conjunto discreto de pontos.

Nos problemas das ciências aplicadas, normalmente estuda-

se o comportamento dinâmico de determinadas variáveis, portanto

necessita-se da evolução das variáveis em função da variável

independente. A partir dos dados numéricos é possível gerar um

esboço do gráfico da função incógnita.

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MÉTODOS BASEADOSNA SÉRIE DE TAYLOR

Série de TaylorResumo

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Suponhamos que, de alguma forma, tenhamos as

aproximações y1, y2, ..., yi para y(x), em x1, x2, ..., xi.

Se y for suficientemente “suave”, a série de Taylor de y(x) em torno

de x = xi é:

)!1(

)()(

!

)()(

!2

)()("))((')()(

1)1()(

2

k

xxy

k

xxxy

xxxyxxxyxyxy

ki

xk

ki

iki

iiii

. e entre xxix

Assim,

!

)()(

!2

)()("))((')()( 1)(

21

11 k

xxxy

xxxyxxxyxyxy

kii

ikii

iiiiii

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Se yi(j) representa a aproximação para a j-ésima derivada da função

y(x) em xi: y(j)(xi) e h = xi+1 – xi, teremos:

!!2"')( )(

2

11 k

hy

hyhyyyxy

kk

iiiiii

e o erro de truncamento é dado por:

)1()1(

)!1(

)()(

kx

k

i hk

yxe i

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Observamos que, se y(x) tem derivadas de ordem (k+1), contínua

num intervalo fechado I que contém os pontos sobre os quais

estamos fazendo a discretização, então existe:

|)(|max )1(1 xyM k

Ixk

Assim, teremos um majorante para o erro de truncamento pois

11

1

1

)1(

)!1(|)(|max|)(|

|)(|

kk

k

Ixi

xkx

k

Chk

hMxexe

IMy

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Um método numérico é dito de ordem p se existe uma constante C

tal que:1

1 |)(| p

i Chxe

Onde C depende das derivadas da função que define a equação

diferencial.

Para aplicar o método da série de Taylor de ordem k:

kk

iiiii h

k

yh

yhyyy

!!2

'''

)(2

1

temos de calcular yi’, yi”, yi’’’, ..., yi(k).

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Agora, y’(x) = f(x, y(x)). Então:

fffxyxyxfxyxfy yxyx )('))(,())(,("

Assim, por exemplo, o método de série de Taylor de 2ª ordem é:

...,1,0)],,(),(),([2

),(2

1 iyxfyxfyxfh

yxhfyy iiiiyiixiiii

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A expressão da terceira derivada já nos mostra a dificuldade dos

cálculos de um método de Taylor de terceira ordem. Observe

ainda que todos esses cálculos são efetuados para cada i,

i = 1, ..., n.

Observe que

),()(

)("))(,()(')]('))(,())(,([

)('))(,())(,()('''

fffffffffff

xyxyxfxyxyxyxfxyxf

xyxyxfxyxfxy

yxyyyyxxyxx

yyyyx

xyxx

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Os métodos que usam o desenvolvimento em série de Taylor

de y(x) teoricamente fornecem solução para qualquer equação

diferencial. No entanto, do ponto de vista computacional, os

métodos de série de Taylor de ordem mais elevada são

considerados inaceitáveis pois, a menos de uma classe restrita

de funções f(x,y) ( f(x,y) = x2 + y2, por exemplo), o cálculo das

derivadas totais envolvidas é extremamente complicado.

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MÉTODO DE PASSO UMMÉTODO DE EULER

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Consideremos, o método de série de Taylor de ordem k = 1, ou

seja,

),('1 iiiiii yxhfyhyyy

onde

2x1i h

2

)("y)x(e 1i

Este é o método de Euler, que é um método de série de Taylor de

ordem 1.

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Como conhecemos x0 e y0 = f(x0), então sabemos calcular y’(x0) =

f(x0,y0). Assim, a reta r0(x) que passa por (x0,y0), com coeficiente

angular y’(x0), é:

)(')()()( 0000 xyxxxyxr

Escolhido

)(')()()( 001011 xhyxyxryxy

ou seja).,( 0001 yxhfyy

kk xxh 1

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉDODO DE EULER:

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O raciocínio é repetido com (x1,y1) e y2 = y1 + hf(x1,y1) e assim,

sucessivamente, o método de Euler nos fornece:

).,(1 kkkk yxhfyy ,...2,1,0k

GRAFICAMENTE:

y0=1

y1 P1

x1 = x0 + hx0 = 0

y

x

y = ex

r0 (x)y(x1)

Erro

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EXEMPLO:

Seja o PVI: y’ = y, y(0) = 1. Trabalhando com quatro casas

decimais, usaremos o método de Euler para aproximar y(0.04) com

erro menor do que ou igual a ; = 5×10-4.

O primeiro passo é encontrar h de modo que:

2

2

)(")( h

yxe ix

i

Neste caso, conhecemos a solução analítica do PVI: y(x) = ex,

temos então que:

204.0

]04.0,0[2 |)("|0408.1|)("|max MyexyM

ixx

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donde

0408.1

10

0408.1

1052 então;105

2

0408.1

]04.0,0[2

0408.1|)(|

34242

2

hh

Ixhxe

Portanto,.0310.0h

Considerando pontos igualmente espaçados, tem-se h = 0.04/n,

onde n é o número de subintervalos de I. Assim,

.229.1031.0

04.00310.0

04.0 nnn

n

Portanto, tomando n = 2, h = 0.02.

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Assim,

04.0

02.0

.1)0()( e0

2

1

000

x

x

yyxyx

Agora:

02.1

)02.01(1)1(

),()(

0

0000011

hy

hyyyxhfyyxy

e

0404.1

02.1)02.1(02.1

)1(),()(2

111122

hyyxhfyyxy

Dado que e0.04, com quatro casas decimais, vale 1.0408, temos que

o erro cometido foi 1.0408 – 1.0404 = 4×10-4 < 5×10-4.

x0 x1 x2

h

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MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

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A idéia básica destes métodos é aproveitar as qualidades

dos métodos de série de Taylor (ordem elevada) e ao mesmo

tempo eliminar sua maior dificuldade que é o cálculo de

derivadas de f(x,y) que, conforme vimos, torna os métodos de

série de Taylor computacionalmente inaceitáveis.

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

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Podemos dizer que os métodos de Runge-Kutta de ordem p se

caracterizam pelas propriedades:

São de passo um (auto-iniciantes);

não exigem o cálculo de derivadas parciais de f(x,y);

necessitam apenas do cálculo de f(x,y) em determinados pontos

(os quais dependem da ordem dos métodos);

expandindo-se f(x,y) por Taylor em torno de (xi , yi) e agrupando-

se os termos em relação às potências de h, a expressão do método

de Runge-Kutta coincide com a do método de Taylor de mesma

ordem.

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MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA DE 1ª ORDEM: MÉTODO DE EULER

Já vimos que o método de Euler é um método de série de

Taylor de 1ª ordem:

...,2,1,0),,(1 iyxhfyy iiii

Observe que o método de Euler possui as propriedades

anteriores que o caracterizam como um método de Runge-

Kutta de ordem p = 1.

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MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA DE 2ª ORDEM:

Inicialmente será apresentado um método particular que é o

método de Heun, ou método de Euler Aperfeiçoado, pois ele tem

uma interpretação geométrica bastante simples.

Conforme o próprio nome indica, este método consiste em fazer

mudanças no método de Euler para assim conseguir um método de

ordem mais elevada.

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MÉTODOS DE EULER APERFEIÇOADO:

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

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Considere o ponto (xi, yi), yi y(xi). Vamos supor a situação

ideal em que a curva desenhada com linha cheia seja a solução

y(x) da nossa equação ( isto só acontece mesmo em (x0, y0)).

Por (xi, yi) traçamos a reta L1 cujo coeficiente angular é

y’i = f(xi, yi), ou seja,

).y,)f(xx(xy')yx(xy(x)z:L iiiiiii11

Dado o PVI:

axbaxyxy

yxfy

000

];,[,)(

),('

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y

x

iy

1L

)(xy

ix

(Solução analítica)

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Assim, dado o passo h, z1(xi+1) = z1(xi + h) é igual ao valor yi+1

obtido do método de Euler, que chamamos aqui de .1iy

Seja).y,(x)hy'yh,(xP 1i1iiii

Por P agora, traçamos a reta L2, com coeficiente angular

dado por:

).y,f(x)hy'yh,f(x 1i1iiii

)hy'yh,h)]f(x(x[xhy'y(x)z:L iiiiii22

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y

x

iy

1L

)(xy

ix

iii hyyy '1

P2L

h 1ix

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0011 0010

A reta pontilhada L0 passa por P e tem inclinação dada pela

média aritmética das inclinações das retas L1 e L2, ou seja, sua

inclinação é:

2

)hy'yh,f(x)y,f(x iiiii

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y

x

1L

)(xy

P2L

h

0L

iy

ix

iii hyyy '1

1ix

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A reta L passa por (xi, yi) e é paralela à reta L0, donde:

2

)hy'yh,f(x)y,f(x)x(xyz(x):L iiiii

ii

A reta pontilhada L0 passa por P e tem por inclinação a

média das inclinações das retas L1 e L2, ou seja, sua inclinação é:

2

)hy'yh,f(x)y,f(x iiiii

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y

x

ny

1L

)(xy

nx

nnn hyyy '1

P2L

h 1nx

0L

L1ny

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O valor fornecido para yi+1 pelo método de Euler Aperfeiçoado é:

.,...,,i)],yxhfh,yf(x),y[f(xh

yy iiiiiiii 210),(21

Observamos que este método é de passo um e só trabalha

com cálculos de f(x,y), não envolvendo suas derivadas. Assim,

para verificarmos que ele realmente é um método de Runge-

Kutta de 2ª ordem, falta verificar se sua fórmula concorda com a

do método de série de Taylor até os termos de 2ª ordem em h:

)y,x(f)y,x(f2

h)y,x(f

2

h)y,x(hfyy iixii

2

iix

2

iii1i

Esta verificação será feita para o caso geral, apresentado a

seguir.

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FORMA GERAL DOS MÉTODOS DE

RUNGE-KUTTA DE 2ª ORDEM

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O método de Euler Aperfeiçoado é um método de Runge-Kutta

de 2ª ordem e podemos pensar que ele pertence a uma classe

mais geral de métodos do tipo:

)),(,(),( 21211 iiiiiiii yxhfbyhbxfhayxfhayy

Para o método de Euler Aperfeiçoado,

1

1

221

2

121

1

ba

ba

Temos quatro parâmetros livres: a1, a2, b1e b2. A concordância

com o método da série de Taylor até os termos de ordem h2 é

será mostrado a seguir.

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0011 0010

O desenvolvimento de Taylor da função f(xi + b1h, yi + b2hf(xi , yi ))

em torno do ponto (xi , yi ) é dado por:

),(),(),(),()),(,( 2121 iiyiiiixiiiiii yxfyxhfbyxhfbyxfyxhfbyhbxf

+ termos de h2.

)],(),(),(),([),( 21211 iiyiiiixiiiiii yxfyxhfbyxhfbyxfhayxhfayy

+ termos de h3.

Desta forma o método de Runge-Kutta pode ser reescrito como:

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0011 0010

)],(),(),(),([),( 21211 iiyiiiixiiiiii yxfyxhfbyxhfbyxfhayxhfayy

+ termos de h3.

A expressão:

pode ser escrita como

),(),(),(),(),( 222

212211 iiyiiiixiiiiii yxfyxfhbayxfhbayxhfayxhfayy

)],(),(),([))(,( 22122

211 iiyiiiixiiii yxfyxfbayxfbahaayxhfyy

+ termos de h3.

+ termos de h3.

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0011 0010

Como o método de série de Taylor de 2ª ordem é escrita como:

E o método de Runge-Kutta de 2ª ordem é dado por:

)],(),(),([))(,( 22122

211 iiyiiiixiiii yxfyxfbayxfbahaayxfhyy

Então, a concordância dos dois métodos até h2 é obtida se:

+ termos de h3.

...,1,0)],,(),(),([2

1),( 2

1 iyxfyxfyxfhyxfhyy iiiiyiixiiii

+ termos de h3.

21

22

21

12

21 1

ba

ba

aa

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0011 0010

O sistema anterior possui três equações e quatro variáveis.

Escolhendo um dos parâmetros arbitrariamente, por exemplo

a2=w ≠ 0, temos:

wbb

wa

21

21

1 1

e a forma mais geral dos métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem é

dada por

...,2,1,0))],,(,([),()1[( 221 iyxfyxfwhyxfwhyy iiwh

iwh

iiiii

21

22

21

12

21 1

ba

ba

aa

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0011 0010

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTADE

ORDENS SUPERIORES

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0011 0010

De forma análoga, pode-se construir métodos de 3ª ordem, 4ª

ordem, etc. A seguir serão fornecidas apenas fórmulas para

métodos de Runge-Kutta de 3ª e 4ª ordem:

)4

3,

4

3(

)2

,2

(

),(

9

4

3

1

9

2

23

12

1

3211

kyhxhfk

ky

hxhfk

yxhfk

kkkyy

ii

ii

ii

ii

3ª ordem

onde

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0011 0010

4ª ordem

onde

)4

3,

4

3(

)2

,2

(

),(

9

4

3

1

9

2

23

12

1

3211

kyhxhfk

ky

hxhfk

yxhfk

kkkyy

ii

ii

ii

ii

4251

0011 0010

OBSERVAÇÃO:

Os métodos de Runge-Kutta, apesar de serem auto-

iniciáveis (pois são de passo um) e não trabalharem com

derivadas de f(x,y), apresentam a desvantagem de não

haver para eles uma estimativa simples para o erro, o que

inclusive poderia ajudar na escolha do passo h.

Existem ainda adaptações dos métodos de Runge-Kutta que

são simples operacionalmente e que são usadas também

para estimativas de erro e controle do tamanho do passo h.

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0011 0010

MÉTODOS DO PONTOMÉDIO

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0011 0010

Considere agora o desenvolvimento de y(xi + h) e y(xi − h) em

série de Taylor em torno do ponto xi, isto é:

.)('''!3

)("!2

)(')()(

.)('''!3

)("!2

)(')()(

32

32

iiiii

iiiii

xyh

xyh

xhyxyhxy

xyh

xyh

xhyxyhxy

Fazendo )()( hxyhxy ii obtemos:

.)('''!3

)('2)()(3

iiii xyh

xhyhxyhxy

)( 3hO

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0011 0010

Considerando apenas o primeiro termo do lado direito da

expansão acima, substituindo y(xi+h) por yi+1, y(xi − h) por yi−1 e

y’(xi) por fi, obtemos:

iii hfyy 211

ou

iii hfyy 211

onde y0 e y1 são valores iniciais.

Desta forma o método do ponto médio é de passo dois e

possui ordem 2.

4251

0011 0010

Série de Taylor:

Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum

intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de

Taylor gerada por f em x = a é

...)(!

)(...)(

!2

)´´())(´()()(

!

)( )(2

0

)(

nn

k

k

k

axn

afax

afaxafafax

k

af

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0011 0010

Exemplo:

Desenvolver f(x) = ln(x) , em torno de x = 1.

)!1()1()1()!1()1()(

6)1(6)(

2)1('''2)('''

1)1('')(''

1)1(')('

0)1(ln)(

11

4

3

2

1

nfxnxf

fxxf

fxxf

fxxf

fxxf

fxxf

nnnnn

IVIV

Assim,

...!

)1()!1()1(...

!4

)1(6

!3

)1(2

!2

)1()1(0ln

1432

n

xnxxxxx

nn

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0011 0010

...)1()1(

...4

)1(

3

)1(

2

)1()1(ln

1432

n

xxxxxx

nn

Portanto,

4251

0011 0010

MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLOBASEADOS EM INTEGRAÇÃO

NUMÉRICA

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0011 0010

A característica destes métodos é a utilização de

informações sobre a solução em mais de um ponto. Podem ser

divididos em:

Métodos explícitos: trabalha-se com as aproximações yi, yi-1,

yi-2, ..., yi-m para obter yi+1.

Métodos implícitos: trabalha-se com as aproximações yi+1, yi, yi-

1, yi-2, ..., yi-m para obter yi+1.

4251

0011 0010

A fórmula geral dos métodos lineares de passo múltiplo

é dada por:

1;0

11

11

kifhyyk

jjij

k

jjiji

Nesta expressão, observa-se que:

Se β0 = 0, são necessários k passos anteriores: yi, yi-1, yi-2, ..., yi-

(k-1). Este é um método explícito.

Se β0 ≠ 0, necessita-se de k passos anteriores e do valor de

fi+1 = f(xi+1, yi+1). Este é um método implícito.

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0011 0010

MÉTODO DE ADAMS - BASHFORTH

4251

0011 0010

Estes métodos baseiam-se na idéia de integrar a

equação diferencial ordinária de primeira ordem, isto é:

11

)(,)(')(,)('i

i

i

i

x

x

x

x

dxxyxfdxxyxyxfxy

1

)(,)()( 1

i

i

x

x

ii dxxyxfxyxy

1

)(,)()( 1

i

i

x

x

ii dxxyxfxyxy

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0011 0010

Seja a aproximação de f(x, y(x)) dada pelo polinômio de

grau m, pm(x) , que interpola f(x, y(x)) em:

.,,,, 21 miiii xxxx

Desta forma, a expressão dos métodos de ADAMS – BASHFORTH são do tipo:

1

)(1

i

i

x

x

mii dxxpyy

.,,,,, )1(211 miiiii xxxxx (Método explícito)

(Método implícito)

4251

0011 0010

],[,)(720

251)( 1

)5(51 iixxiloc xxyhxe

ii

Para m = 3, mostra-se que:

3937595524 3211 iparaffffh

yy iiiiii

com erro local:

Método explícito de ordem 4

4251

0011 0010

],[,)(720

19)( 1

)5(51 iixxiloc xxyhxe

ii

Para m = 3, mostra-se que:

com erro local:

Método implícito de ordem 4

2519924 2111 iparaffffh

yy iiiiii

Aconselha-se a utilização de um método de passo

simples de mesma ordem para a obtenção dos valores

necessários para a inicialização do método de passo múltiplo.

Nesse caso, é usual aplicar o Método de Runge-Kutta de quarta

ordem.

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0011 0010

MÉTODO PREDITOR – CORRETOR DE ADAMS-MOULTON

4251

0011 0010

oo yxy

yxfy

)(

),('

Dado o PVI:

1o passo: Calcular usando um método de passo simples de 4ª

ordem os valores iniciais: 321 , yeyy

2o passo: Calcular yi+1(0) utilizando o método explícito

(PREVISÃO):

3937595524 321

)(1 iffff

hyy iiiii

oi

4251

0011 0010

3o passo: Calcular:

),( )(11

)(1

oii

oi yxff

4o passo: Calcular yi+1(k) utilizando o método implícito

(CORREÇÃO):

21)1()(

1 519924 1

iiik

ik

i ffffh

yyi

Até que

,..3,2,1)(1

)1(1

)(1

k

y

yyk

i

ki

ki

4251

0011 0010

EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE ORDEM M

4251

0011 0010

Uma equação diferencial de ordem m, pode ser reduzida

a um sistema de m equações de primeira ordem. A maneira mais

usual para resolver estas m equações, desde que seja um PVI, é

trabalhar na forma matricial.

Para exemplificar, consideremos uma e.d.o. de 2ª ordem:

oooooooo yxyyxz

zy

zyxfz

yzeyzsejayxyyxy

yyxfy

)(,')(

'

),,('

"'',)(,')('

)',,("

escrevendo na forma matricial vem:

z

zyxf

y

z ),,('

o

oo y

yxYparaYxFY

')(,'

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0011 0010

A equação diferencial

pode ser resolvida utilizando qualquer um dos métodos estudados

anteriormente. Por exemplo, o método de Euler Aperfeiçoado:

o

oo y

yxYparaYxFY

')(,'

'1 ,),(

2 iiiiiii YhYhxFYxFh

YY