ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULODepartamento de Engenharia Naval e Ocenica

Especializao em Engenharia NavalMdulo 4: Anlise Estrutural de Navios

Prof. Dr. Oscar Brito Augusto

Material de apoio ao curso oferecido na Universidade de Pernambuco UPE

2007

1 Verso

24/03/2007 Data

Texto completo Observaes Apostila:

ESPECIALIZAO EM ENGENHARIA NAVALMdulo 4: Anlise Estrutural de Navios Dept./Unidade PNV/EPUSP Data 2007 Autor Prof. Dr. Oscar Brito Augusto

Curso oferecido pela Escola Politcnica da Universidade de So Paulo na Escola Politcnica da Universidade de Pernambuco

Programao das aulas:Data29/03/2007 Quinta-feira

PerodoNoite

Horrios

Assunto

18:30h 19:20h Apres.: Professor, alunos e mdulo 4 19:20h 20:10h As aes das cargas e do ambiente 20:10h 21:00h 21:00h 21:50h 18:30h 19:20h30/03/2007 Sexta-feira

Arranjo estrutural Breve reviso de Mec. Slidos

Noite

19:20h 20:10h

20:10h 21:00h O navio como viga flutuante. Estrutura 21:00h 21:50h Primria 08:00h 08:50h 08:50h 09:40h 09:40h 10:10h 10:10h 11:00h Tenses normais primrias Tenses de cisalhamento primrias

31/03/2007 Sbado

Manh Tarde

13:00h 13:50h Estrutura Secundria 13:50h 14:40h 14:40h 15:30h Horrios 19:20h 20:10h 20:10h 21:00h 21:00h 21:50h Perfis leves Perfis pesados Grelhas Pequenas Deflexes Chapas Longas Solues Chapeamento Perfis leves Painis Distribuio de cargas Chapa Colaborante Assunto

Data14/12/2006 Quinta-feira

PerodoNoite Noite Manh Tarde

18:30h 19:20h Estrutura Secundria

18:30h 19:20h A Estrutura Terciria15/12/2006 Sexta-feira

19:20h 20:10h 20:10h 21:00h 21:00h 21:50h 08:50h 09:40h 09:40h 10:10h 10:10h 11:00h

08:00h 08:50h Flambagem16/12/2006 Sbado

13:00h 13:50h Composio de tenses: 13:50h 14:40h Primria+Secundria+Terciria 14:40h 15:30h Sociedades Classificadoras

ndice1. INTRODUO.............................................................................................................................1 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 2. Carregamentos estruturais em navios ..............................................................................1 Cargas estticas ...............................................................................................................2 Cargas dinmicas .............................................................................................................3 Cargas ocasionais ............................................................................................................6 Arranjo Estrutural ............................................................................................................8 Chapeamento reforado ...................................................................................................9 Tipos de cavernamento ...................................................................................................11

ESTRUTURA PRIMRIA ........................................................................................................22 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. O Navio como uma viga flutuante ..................................................................................22 Relaes bsicas entre esforos solicitantes e cargas....................................................26 Aplicao da teoria de vigas ..........................................................................................27 Tenses de flexo............................................................................................................29 Mdulo de Seo ............................................................................................................32 Tenses cisalhantes ........................................................................................................35

3.

ESTRUTURA SECUNDRIA ..................................................................................................43 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. Introduo ......................................................................................................................43 Distribuio de Cargas ..................................................................................................51 Os efeitos do cisalhamento na flexo de vigas. Chapa Colaborante..............................53 Grelhas ...........................................................................................................................64 Grelha Simples ...............................................................................................................65 Grelha Mltipla ..............................................................................................................67 Flambagem de painis reforados..................................................................................68

4.

ESTRUTURA TERCIRIA ......................................................................................................77 4.1. Introduo ......................................................................................................................77 4.2. Nomenclatura .................................................................................................................78 4.3. Hipteses simplificadoras e suas limitaes...................................................................79 4.4. Teoria das pequenas deflexes .......................................................................................82 4.5. Relaes entre momentos fletores e curvaturas..............................................................83 4.6. Relaes entre momentos torores e curvaturas ............................................................86 4.7. Equao de equilbrio, desprezando o efeito de cargas paralelas ao plano mdio........90 4.8. Soluo do problema de flexo de placas.......................................................................91 4.9. Placas simplesmente apoiadas .......................................................................................92 4.10. Solues em forma de Grficos ......................................................................................96 4.11. Placa longa...................................................................................................................100 4.12. Comportamento elasto-plstico....................................................................................103 4.13. Equao das placas para pequenas deflexes, incluindo-se o efeito de cargas paralelas ao plano mdio............................................................................................................................113 4.14. Flambagem de placas ...................................................................................................119 4.15. Flambagem de placas no regime elstico.....................................................................120 4.16. Efeito de uma curvatura ...............................................................................................129 4.17. Flambagem por cisalhamento ......................................................................................131 4.18. Momento fletor no plano da placa................................................................................133 4.19. Carregamentos combinados .........................................................................................134 4.20. Comportamento de placas aps a flambagem ..............................................................137

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA E REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS. .............................142

1. IntroduoPara as estruturas flutuante, to importante quanto a segurana estabilidade e sobrevivncia, devido a perda de flutuabilidade oriunda de um alagamento, a segurana falhas estruturais. Este assunto em todos os seus detalhes extenso e complexo o suficiente para completar diversos volumes e muitas horas de curso, mais do que teremos disponveis, pois envolve a previso das cargas impostas a estrutura em servio, a anlise das tenses causadas por aqueles carregamentos em milhares de componentes estruturais, a especificao dos materiais a serem utilizados com base em suas propriedades de resistncia, custo, soldabilidade, facilidade de manuteno e a escolha do arranjo estrutural. Apesar de todas estas consideraes, tratando-se de um curso introdutrio de anlise de estruturas de embarcaes, vai-se focar os fundamentos do comportamento destas em suas componentes primria, secundria e terciria. Espera-se, com isso, que o estudante tenha uma compreenso destes fenmenos e possa aprofund-los em etapas posteriores de sua vida profissional ou acadmica.

1.1.

Carregamentos estruturais em navios

Uma embarcao deve possuir resistncia estrutural suficiente para suportar as cargas sem sofrer falhas ou deformaes permanentes. O mesmo poderia ser dito para qualquer estrutura, mquina ou dispositivo projetado pela engenharia. Como qualquer outro objeto de engenharia, o projeto estrutural de embarcaes depende da avaliao precisa das cargas, ou das foras, impostas estrutura durante sua vida til. Para embarcaes, no mar, as cargas resultam de uma ampla variedade de fontes inerentes a natureza, com amplitudes que no so determinadas de maneira determinstica.

1

1.2.

Cargas estticas

So aquelas relacionadas com a flutuao, estabilidade e trim. Existem os pesos do prprio navio (estrutura, mquinas e equipamentos) e o devido carga embarcada (carga, leo combustvel, leos lubrificantes, gua potvel....) que geram as foras gravitacionais (mg), verticais e apontando para baixo, e cuja soma integraliza o deslocamento do navio. Equilibrando o total das foras de peso do navio flutuando esto as foras de flutuao (g), com sentido oposto s de peso, que so as componentes verticais da presso da gua que atuam na parte imersa do casco. O total das foras de flutuao tambm igual ao deslocamento da embarcao. Presses externas e internas nas paredes de tanques que carregam lquidos tambm geram foras estticas que solicitam a estrutura.

Figura 1.1 Cargas em uma seo tpica de embarcao. Tupper, E, 1996. Efeitos trmicos podem gerar tenses na estrutura do navio devido a contrao e expanso de membros estruturais que esto acoplados a outros membros estruturais e que no esto sujeitos a extremos de temperatura. Para fins de anlise e projeto estrutural, os carregamentos anteriormente descritos so considerados estticos, embora de fato, eles mudem de viagem para viagem, uma vez que a distribuio de cargas e de leo combustvel nem sempre seja a mesma.

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1.3.

Cargas dinmicas

Somando-se s cargas estticas h uma grande quantidade de cargas dinmicas que variam constantemente enquanto o navio est em operao. A mais obvia destas o carregamento varivel imposto estrutura causado pela combinao de ondas irregulares e dos movimentos do prprio navio resultante ao navegar nestas condies. As foras de onda geram variaes contnuas da flexo do navio nos planos vertical e horizontal e tambm a toro.

Figura 1.2 Carregamento devido a ondas. Alquebramento e Tosamento.

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Figura 1.3 Carregamentos devido a ondas As ondas e o movimento do navio ao longo destas tambm so responsveis pela carga da gua que embarca nos conveses, figura 1.3 ou que impacta no costado. Outras mais severas ocorrem quando a embarcao sofre slamming, situao em que a proa emerge totalmente da gua para, na seqncia, reentrar, gerando uma breve, mas intensa presso na estrutura do fundo da embarcao e que provoca um movimento vibratrio de alta freqncia que se propaga ao longo da estrutura.

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Figura 1.4 Registro de Slamming. Os movimentos do navio tambm provocam foras em tanques que contm lquidos e que esto parcialmente cheios devido ao impacto, sloshing, que a superfcie gera sobre suas paredes.

Figura 1.5 - Registro de presses dinmicas devido ao movimento de lquidos em tanques. ABS, 2000.

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A operao do sistema de propulso tambm gera foras peridicas e de alta freqncia nas estruturas de suporte das mquinas e propulsores que se transmitem para a estrutura da embarcao provocando as vibraes foradas.

Figura 1.6 Fontes de vibraes em navios. Veritec, 1985.

1.4.

Cargas ocasionais

Somando-se s cargas mencionadas comum acontecer de uma embarcao estar sujeita a cargas em operaes especiais. Navios que navegam no gelo esto sujeitos a cargas diferenciadas ao quebrar o gelo. Estas cargas induzem um acrscimo da flexo do navio enquanto navega ondas e causam foras localizadas de grande magnitude nos pontos de contato do casco com o gelo.

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Figura 1.7 Navio operando em regies geladas. Navios de guerra esto sujeitos a cargas de impacto severas geradas por pouso de aeronaves, disparo de msseis e exploses, sob ou acima dgua. Cargas severas tambm so impostas ao navio durante o lanamento e a docagem e mesmo durante a atracao. Finalmente, cargas acidentais e no intencionais so causadas por albaroamentos e encalhes e as situaes de alagamento provenientes de tais acidentes.

Figura 1.8 Lanamento lateral

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Figura 1.9 Encalhe. Benford, 2006. Um cenrio completo das situaes de cargas impostas estrutura de uma embarcao para um dado momento extremamente complexo, como a lista de fontes mencionada pode indicar. Por isso, comum entre os engenheiros navais arbitrarem um cenrio hipottico de cargas equivalentes que concebido de sorte que se a estrutura se mostra adequada a estes, ela ter um bom desempenho durante sua vida til.

1.5.

Arranjo Estrutural

Para servir ao seu propsito, um navio deve ser: um objeto flutuante e impermevel, capaz de transportar cargas e de resistir a aes do ambiente e de sua prpria operao sem sofrer falhas por fratura ou por deformaes permanentes. A estrutura pode ser imaginada como uma viga, isto , apresenta uma dimenso muito maior que as outras, suportada pelas foras de flutuao e sendo solicitada pelas foras provenientes da carga, do prprio peso e outros itens que transporta, enquanto sofre flexo e toro ao longo de sua rota. A viga navio, como passaremos a designar tal estrutura, deve ser projeta para resistir ao momento fletor longitudinal, o esforo solicitante

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primrio da embarcao. Logo esta estrutura deve consistir de material contnuo no sentido longitudinal, de proa a popa. Enquanto a maioria das estruturas constituda de vigas sujeitas flexo, a estrutura do navio nica neste universo, pois seu chapeamento deve ser estanque. A combinao dos requisitos de resistncia longitudinal e de estanqueidade em uma nica viga, enquanto se tenta conseguir o mnimo peso da estrutural, tem sido, h dcadas, a principal tarefa dos engenheiros de estruturas.

1.6.

Chapeamento reforado

A configurao da unidade estrutural tpica a que se chegou no desenvolvimento do projeto da estrutura de embarcaes o chapeamento reforado. Um exemplo de chapeamento reforado mostrado na figuraxx. Os reforadores podem ser perfis laminados (cantoneiras, perfil T, bulbo, etc.) soldados no chapeamento, ou perfis fabricados, soldados a partir de chapas e posteriormente soldado ao chapeamento. Por razes de eficincia (menor peso para resistir carga), os reforadores devem ser dispostos em direes ortogonais, conforme o mostrado na figura. Perfis leves, separados por menor espaamento, agem como suporte para o chapeamento e os perfis pesados, separados por maiores espaamentos, suportam o chapeamento e os perfis leves que neles se apiam.

Figura 1.10 - Painel estrutural

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Figura 1.11 - Tipos de reforos. Eyres, D. J., 2001 O Projetista estrutural deve escolher a orientao (longitudinal ou transversal, vertical ou horizontal) de cada tipo de reforo em cada regio da estrutura, como fundo, costados, conveses e anteparas. A escolha baseada, na maioria das vezes, com base nas seguintes consideraes: 1. Eficincia estrutural. Esta determinada comparando-se os pesos de alternativas de arranjo com a mesma resistncia estrutural. Em geral, o arranjo que resulta em mnimo peso para uma dada resistncia o melhor. H excees quando a soluo de menor peso for a de custo elevado quando comparadas s demais alternativas. 2. Custos de material e de fabricao. Alternativas de arranjo estrutural devem ser comparadas tanto no custo quanto no peso e uma relao de compromisso deve ser analisada, considerando-se quanto o custo adicional se justifica em funo da reduo do peso da estrutura e, portanto, no aumento da receita com o aumento da

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capacidade de carga da embarcao, mantendo-se o mesmo deslocamento. 3. Continuidade estrutural. Os membros estruturais como os

reforadores devem suportar as cargas na estrutura e as transmitirem aos membros adjacentes sem lhes gerar mudanas abruptas nos nveis de de tenses. sejam Para garantir os que tais concentraes tenses evitadas, membros

estruturais concebidos contnuos, perfeitamente alinhados, se so cortados e soldados, ao encontrarem os painis principais, como anteparas, costados e conveses. 4. Utilizao do espao. Em painis reforados em duas direes, geralmente tem-se perfis leves, em espaamento estreito entre eles, em uma delas e perfis pesados, em espaamento largo, na outra, uma vez que os pesados suportam os leves. A escolha da orientao dos reforadores pode, em muitas vezes, ser ditada pela necessidade de evitar que membros estruturais avancem no compartimento de carga e interfiram com a utilizao do espao.

1.7.

Tipos de cavernamento

Embora todo navio possua reforos nas direes longitudinais e transversais, o tipo de cavernamento em cada um caracterizado pelo nmero, tamanho e espaamento, dos reforadores transversais relativamente ao nmero, tamanho e espaamento, dos reforadores longitudinais. A evoluo do projeto estrutural de embarcaes resultou em dois sistemas de cavernamento: o cavernamento transversal e o cavernamento longitudinal. E como no poderia deixar de ser, aproveitandose os benefcios de cada um deles, h embarcaes que apresentam um sistema misto. Cavernamento transversal. Na figura 1.12, mostra-se a seo mestra de um navio com cavernamento transversal. Tal sistema apresenta muitos reforadores leves, dispostos na direo transversal, sendo suportado por 11

poucos reforadores pesados na direo longitudinal. Os reforadores leves esto dispostos, em espaamentos curtos, de 600mm a 1000mm, em forma de anis, ao longo de todo o comprimento do navio. No mapeamento do anel ao longo do contorno da baliza do navio mostrado na figura, nota-se que ele composto do vau do convs, que suporta o chapeamento do convs, caverna, que suporta o chapeamento do costado, e a hastilha, que suporta o chapeamento do fundo e do teto do duplo fundo. A cada transio ao longo do anel, h as borboletas conectando os membros estruturais. Estes anis de cavernas garantem a resistncia transversal da estrutura, mantendo o desenho da forma do casco, mas eles em nada contribuem para a resistncia longitudinal do navio. A resistncia longitudinal em navios com cavernamento transversal garantida pelo chapeamento do casco, teto do duplo fundo, dos conveses, fora das regies de aberturas e de escotilhas, e pelos reforadores longitudinais pesados, como quilhas e longarinas, no fundo, sicordas nos conveses e escoas nos costados. Cavernamento longitudinal. No sistema de cavernamento longitudinal, os reforadores leves esto dispostos na direo longitudinal da embarcao. Na figura 1.13 mostra-se a seo mestra de um navio tanque onde tal sistema freqentemente empregado. Tais reforadores, espaados entre 600mm e 900mm, alm de darem suporte ao chapeamento tambm contribuem para a resistncia longitudinal da viga navio, conferindo a tal arranjo mais eficincia do que o anterior. Anis de cavernas gigantes, dispostos a cada 3 a 5 metros, fornecem resistncia transversal e suporte para os longitudinais leves.

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Figura 1.12. Cavernamento transversal. Zubaly, R. B., 2000.

Figura 1.13 - Cavernamento longitudinal. Zubaly, R. B., 2000. Cavernamento misto. Como resultado das lies aprendidas na aplicao dos dois arranjos tpicos apresentados, alguns tipos de navios apresentam uma combinao de cavernamento longitudinal e de carregamento transversal. Na figura 1.14 mostra-se um exemplo.

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Figura 1.15 Cavernamento misto. Zubaly, R. B., 2000.

Figura 1.16 Cavernamento misto. Navio graneleiro de casco simples. Poro de carga. IACS, 1982.

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PROBLEMAS

Propriedades de reaOs momentos de rea so grandezas dependentes da geometria de uma figura plana e tem grande influncia nos clculos referentes a propriedades hidrostticas e de resistncia estrutural de embarcaes. Momento de primeira ordem: (momento esttico de rea)

y

G

x

m y = xdAA

(P1) (P2)

m x = ydAA

Momento de segunda ordem: (momento de inrcia de rea)I y = x 2 dAA

(P3) (P4)

I x = y 2 dAA

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Define-se tambm o produto de inrciaI xy = xydAA

(P5)

O produto de inrcia d a idia da assimetria da figura em relao ao par de eixos. (*)1 1) Havendo uma translao de eixos, como se mostra na figura, como B se modificam as relaes (P1) a (P5)

y

G

x b a

1

Nvel: (B)sico; (I)ntermedirio; (A)vanado

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2) Havendo uma rotao de eixos, como se mostra na figura, como se I modificam as relaes (P1) a (P5)

y

G

x

3) Na seo mostrada na figura, qual o ngulo do eixo de forma I que o momento de inrcia relativo ao Centro de rea seja mnimo seja mnimo?y 2 3 0.5 G x 5 0.3

0.5

4) Retomando a questo anterior, quanto vale produto de inrcia para I este ngulo? 17

5) Ainda em relao as duas questes anteriores, qual o ngulo que o I torna mximo? O que pode se concluir disto? 6) Qual a rea A que torna as duas figuras como momentos de inrcia I iguais? Em outras palavras, se uma chapa h fosse reduzida a duas reas A nos seus extremos, com mesmo valor do seu momento de inrcia, qual o valor de A? Ache A em porcentagem da rea total h*t.A

a h G a A t

7) Utilizando a mesma tcnica do exerccio anterior, deduza expresses I analticas para o clculo da posio do centro de rea e do momento de inrcia para a figura composta pelos trs retngulos.

c tc Ah + Ac linha neutra h tw hb hc

Ah + Ab tb b

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8) Deduzir as expresses das propriedades de rea para os perfis A laminados T e HP, ou Bulbo, mostrados em detalhes nas figuras. Deduzir as expresses para os momentos de inrcia em relao ao centro de rea.

b y R3 R1

b y30 graus

tb 8 graus R1 = = R2

R2

x

x

xd

x

d

tw

tw

y

y

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9) Alguns aplicativos computacionais para o clculo de estrutura s A trabalham com perfis do tipo T fabricado, isto composto por dois retngulos. Para superar este obstculo podemos simular os perfis laminados do tipo T, e HP, como T fabricado, adequando-se as dimenses do flange, largura e espessura, preservando-se a altura total do perfil e a espessura da alma, de sorte a manterem-se a rea e o momento de inrcia relativo ao centro de rea da seo. Como isto poderia ser feito?

YLN

X

tw

twHT

bPerfil H P

tb

Perfil T equi valente

Procura-se b e tb de sorte que a Inrcia e rea do perfil T fabricado sejam idnticas s do perfil Laminado. A altura total do perfil mantida constante. rea do flange:

A f = b tbrea da alma: Aw = ( H T t b ) t w rea total:

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A = Aw + A f Altura da Linha Neutra:Y LN = A f ( H T 0.5t b ) + 0.5( H T t b ) 2 t w A

Inrcia de rea relativa a linha neutra:t 2 (H tb ) 2 2 + [0.5( H T t b ) YLN ] I LN = A f b + ( H T 0.5t b YLN ) 2 + Aw T 12 12

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2. Estrutura PrimriaNa descrio dos arranjos estruturais, a estrutura do navio foi comparada com a de uma viga, suportada por baixo, pela flutuao, carregando seu prprio peso mais os pesos de mquinas e outros equipamentos, peso das cargas e dos itens de consumo. Na disciplina de arquitetura naval, nos clculos de flutuao so consideradas apenas as magnitudes do peso e da flutuao. Nos clculos de estabilidade, banda e trim, so necessrios, alm da magnitude, as posies dos centros de peso e de flutuao. Nos clculos da resistncia longitudinal da estrutura, ou resistncia da viga navio, sero necessrios o conhecimento destes itens e tambm de como peso e flutuao se distribuem ao longo do comprimento do navio. Diferentemente dos estudos de arquitetura naval, neste caso, o navio no mais tratado como um corpo rgido, e sim um corpo que se deforma na presena dos esforos devido a pesos e flutuao. A deformao causada pelas tenses impostas aos componentes estruturais do casco, da mesma forma que um corpo de prova se deforma no ensaio uniaxial de trao. Embora as previses mais realistas das foras, tenses e deformaes associadas flexo longitudinal do navio em servio requeiram um tratamento estatstico por conta da imprevisibilidade dos carregamentos impostos pela natureza do mar no serem conhecidos de maneira precisa, muito se pode inferir a partir do estudo da teoria simples de viga.

2.1.

O Navio como uma viga flutuante

A maioria das estruturas em servio em terra est sujeita a cargas que podem variar de tempos em tempos, mas raramente invertem a curvatura da estrutura deformada. O piso de um armazm no porto, por exemplo, ir fletir por ao de seu prprio peso e o peso varivel dos produtos que nele so

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empilhados. Embora esse carregamento possa variar no tempo, no se espera que ele gere a flexo do piso para cima. No caso do navio suportado pelas foras de flutuao e carregado pelo prprio peso, o peso da carga e o de outros itens que transporta, no entanto, deve-se esperar que, em alguns instantes, a viga navio apresente a tendncia de fletir para baixo, a semelhana do piso do armazm, mas em outras, ele forado a fletir para cima, quando as foras de flutuao se rearranjam. Essa reverso no sentido da flexo no de ocorrncia rara. Na verdade, ela acontece continuamente ao longo de uma rota de navegao. Estima-se que durante um perodo de vida de 20 anos, um navio tpico sofre 100 milhes destas reverses. Os dois sentidos de flexo da viga navio, ilustrados nas figuras 2.1 e 2.2, so denominados de alquebramento, quando a viga se arqueia para cima, e de tosamento, quando o arco se d no sentido oposto.Nvel mdio da superfcie do mar (guas tranqilas)

Figura 2.1 - Alquebramento a quilha se curva para cima

Figura 2.2 - Tosamento: a quilha se curva para baixo

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Estas curvaturas atingem seus valores extremos quando o navio se move de encontro ou no mesmo sentido das ondas, e estas possuem comprimento, de crista a crista, da mesma ordem do comprimento da embarcao, conforme se mostra na figura. Quando as cristas suportam os extremos da embarcao, o casco tende a tosar, devido diminuio da flutuao a meio navio. O alquebramento ocorre na seqncia, quando a crista se localiza a meio navio e os vales se encontram na proa e na popa. As reverses de sentido na flexo tambm invertem as tenses e deformaes dela resultantes no fundo e no convs da viga navio. Tosamento gera tenses de compresso no convs e tenses de trao no fundo. J o alquebramento gera tenses de trao no convs e de compresso no fundo. Nem sempre as embarcaes navegam na direo das ondas com comprimentos da ordem de grandeza do prprio. Portanto, os ciclos de tosamento e de alquebramento nem sempre sero extremos. No entanto, essas reverses de carga ocorrero continuamente em outras condies de mar, gerando nveis de tenses menores.

Figura 2.3 A diferena entre as distribuies de peso e flutuao gerando a flexo da viga navio. Eyres, D. J., 2001.

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Importa destacar que inevitavelmente a distribuio de pesos e a distribuio da flutuao ao longo do comprimento do navio raramente sero iguais uma outra. Assim, a viga navio estar sujeita a foras cortantes e momentos fletores e as tenses e deformaes oriundas destes esforos, como sero vistas na soluo do problema a seguir.

Figura 2.4 Tenses primrias na viga navio. Hughes, 1983. Problema. Uma barcaa retangular de 80m de comprimento, 10m de boca e 6m de pontal flutua em gua salgada apresentando um calado de 0.5m quando vazia. O peso da embarcao leve pode ser considerado como uniformemente distribudo ao longo do comprimento da barcaa. Ela possui 5 pores de carga, cada um 16m de comprimento. As condies de carregamento da barcaa esto mostradas na figura. Pode-se adotar a hiptese de que as cargas esto distribudas uniformemente ao longo do

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comprimento de seus pores. Vai-se calcular e desenhar os diagramas de pesos, de flutuao, de carregamento, de fora cortante e de momento fletor.

700 t 400 t

800 t

700 t 400 t

16 m

16 m

16 m 80 m

16 m

16 m

2.2.

Relaes bsicas entre esforos solicitantes e cargas

Como se mostra na figura 2.4, o equilbrio vertical esttico do navio, requer que o total das foras de flutuao equilibre o total das foras devido ao peso. Utilizando a notao da figura 2.4, tal requisito pode ser escrito como:

g a ( x)dx = g m( x)dx =o o

l

l

(2.1)

onde a(x) m(x) rea imersa da seo transversal intensidade da massa distribuda densidade da gua do mar acelerao da gravidade deslocamento da embarcao.

g

O fator g foi mantido em ambos os membros da equao 2.1 para enfatizar que se trata de foras os termos envolvidos.

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Figura 2.4 Resumo da flexo da viga navio. Hughes, 1983. De modo anlogo, o equilbrio de momentos requer que:

g a( x) xdx = g m( x) xdx =l go o

l

l

(2.2)

onde lg a distncia longitudinal do centro de gravidade do peso do navio.

2.3.

Aplicao da teoria de vigas

Na teoria simples de vigas, pode-se caracterizar a distribuio do carregamento vertical atuante como sendo f(x), sendo x a direo do eixo da

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viga. Para uma embarcao, tal distribuio deve ser a fora lquida resultante da superposio do empuxo b(x) e do peso w(x), conforme se mostra na figura 2.4c. Na conveno de sinais adotada, as foras verticais positivas apontam para cima. Portanto, a fora liquida resultante f(x) =b(x)w(x).

f ( x) = ga( x) gm( x)

(2.3)

O equilbrio de foras resulta em relaes interessantes entre os esforos solicitantes e o carregamento atuante nas vigas em flexo. Impondo-se o equilbrio a um elemento diferencial, conforme mostrado na figura 2.4d e com as convenes de sinais ali mostradas, obtm-se:

Q + fdx Q dQ = 0ou

f =

dQ dx

(2.4)

da qual, por integrao, obtm-se=0

Q( x) = f ( x)dx + C0

x

(2.5)

Para navios, a constante de integrao sempre nula porque a viga navio uma viga com condies de contorno, livre-livre, ou seja, no h a presena de foras cortantes ou de momentos fletores em suas extremidades, de proa e de popa.

Q(0) = Q( L) = 0Impondo-se o equilbrio de momentos em torno de um plo na extremidade direita do elemento e considerando-se momentos positivos aqueles que tendem a girar o elemento no sentido horrio, obtm-se:

28

M + Qdx + fdx

dx M dM = 0 2

observando que o termo dx2 de segunda ordem a equao se simplifica para:

Q=

dM dx

(2.4)

da qual se obtm:=0

M ( x) = Q( x)dx + C0

x

(2.5)

As convenes de sinais esto mostradas na figura 2.4e, para as foras cortantes, e 2.4f, para os momentos fletores. A fora cortante em qualquer ponto positiva se a integral, ou a soma acumulada do carregamento, at aquele ponto, for positiva. De modo similar, o momento fletor positivo se a integral, ou a soma acumulada, das foras cortantes at o ponto for positiva.

2.4.

Tenses de flexo

A anlise estrutural da viga navio utiliza a Teoria Simples de Viga, que se pauta nas seguintes hipteses: 1. Sees planas permanecem planas. 2. A viga prismtica sem aberturas e descontinuidades. 3. Outras formas de resposta estrutural aos carregamentos no afetam a flexo no plano vertical e podem ser tratadas separadamente. 4. O material homogneo e permanece no regime elstico.

29

d

y

Figura 2.5 Elemento diferencial em flexo

A primeira hiptese est ilustrada na figura 2.5. Sob a ao do momento fletor, a viga sofre uma curvatura, com raio local R e, se as sees planas permanecem planas, a deformao longitudinal x varia linearmente na direo vertical e est relacionada com o raio de curvatura, R, como:

x =

y ( R + y )d Rd = Rd R

(2.1)

A superfcie horizontal onde y e, portanto, a deformao zero, chamada de superfcie neutra ou de eixo neutro. O material, por hiptese, homogneo, elstico, com mdulo de elasticidade E, apresenta a tenso normal na direo longitudinal:

x = E x = E

y R

(2.2)

A ausncia de fora externa axial requer, por equilbrio:

30

Fx = x dA = 0A

(2.3)

Que se reduz a

ydA = 0A

(2.4)

e indica que a superfcie neutra coincide com o centride da seo transversal da viga. O equilbrio de momentos requer que o momento externo Mz seja equilibrado pelo momento resultante das foras internasM z = y x dAA

(2.5)

que, aps a utilizao da equao 2.2, se reduz a:

Mz =

EI R

(2.6)

onde I o momento de inrcia da seo transversal, definido por:I = y 2 dA = 0A

(2.7)

A equao 2.6 relaciona a curvatura com o momento fletor e se ela for utilizada para eliminar R da equao 2.2, o resultado a familiar expresso para o calculo das tenses em funo da distncia y relativa ao eixo neutro:

x =

Mzy I

(2.8)

31

2.5.

Mdulo de Seo

A equao 2.8 indica que x mximo quando y mximo, isto nos extremos, superior e inferior, da seo transversal. Quando y corresponde a um destes extremos a quantidade I/y chamada de mdulo de seo e usualmente denotado por Z. Como o eixo neutro no se localiza, geralmente, a meia altura da seo, existe, ento, dois valores extremos de y: yD para o convs resistente mais distante da linha neutra e yK para a quilha, resultando dois valores para o mdulo Z: ZD e ZK. Na maioria das embarcaes, estrutura do fundo mais robusta que a do convs, resultando uma localizao abaixo do meio pontal para o eixo neutro. Uma altura de 0.4D acima da quilha tpica, mas tal localizao varia entre os diferentes tipos de navios. Assim, as mximas tenses de flexo ocorrem tanto no convs quanto no fundo. O clculo dos mdulos reduz-se ao clculo das propriedades de rea e de inrcia da seo transversal em questo. Como a estrutura longitudinal da viga navio uma composio de diversos elementos, a marcha de clculo destas propriedades simples, porm dependendo da quantidade de elementos pode ser trabalhosa. Nestes casos, o uso de planilhas eletrnicas auxilia sobremaneira o trabalho.

32

6.50m20 mm

22 mm

10 mm 800x450x25 mm

20 mm

7 mm

S3

3.00m

3.00m17 mm

20 mm1.25m

45o

25 mm 30 mm

1.25m20 mm 25 mm

9.75m

Bojo 22 mm

Espaamento de cavernas 700 mm Distncia entre anteparas 14 m

Figura 2.9 Seo transversal de uma embarcao com cavernamento transversal

1.25m

4.00m

18 mm

3.25m

S2

3.25m

S1

33

Tabela 2.1 Clculo das propriedades de rea da seo mostrada na figura 2.9REA TRANSVERSAL CHAPEAMENTO PERFIS REA COMPR. REA N 2 m m 6.50 0.1300 3.25 0.0715 6.50 0.0650 3.25 0.0650 6.50 0.0455 2.75 0.0495 3.93 0.0865 8.50 0.1445 7.25 0.1450 1.25 0.0188 1.25 0.0313 1.25 0.0313 0.73 0.0146 DIST LINHABASE

ELEMENTO (unidades) convs 1 costado 1-2 convs 2 costado 2-3 convs 3 costado 3-f bojo teto do DF fundo quilha longarina 1 longarina 2 p. marginal ESP. m 0.020 0.022 0.010 0.020 0.007 0.018 0.022 0.017 0.020 0.015 0.025 0.025 0.020

PAINEL REA TOTAL m2 0.1300 0.0715 0.0650 0.0650 0.0455 0.0495 0.0865 0.1445 0.1450 0.0188 0.0313 0.0313 0.0146 0.8985

m 11.750 10.125 8.500 6.875 5.250 3.875 0.907 1.250 0.000 0.625 0.625 0.625 0.732

Altura da Linha Neutra Inrcia em relao a Linha de Base Mudana para Linha Neutra Meia Inrcia em relao a LN Mdulo de resistncia no fundo Mdulo de resistncia no convs Zfundo Zconvs yLN Iz = me/ a

MOMENTO ESTTICO DE REA m3 1.5275 0.7239 0.5525 0.4469 0.2389 0.1918 0.0785 0.1806 0.0000 0.0118 0.0196 0.0196 0.0107 4.0023

MOMENTO DE INRICA DE REA PRPRIO TRANSFERNCIA 4 m m4 0.000 17.948 0.063 7.330 0.000 4.696 0.057 3.072 0.000 1.254 0.031 0.743 0.051 0.071 0.000 0.226 0.000 0.000 0.002 0.007 0.004 0.012 0.004 0.012 0.003 0.008 0.215 35.379 = 4.454 m = 35.594 m4

= 4.0023/0.8985 = 0.215 + 35.379 = -17.825 m4 = 35.594 - 17.825 = (2*17.769)/4.454 = (2*17.769)/(11.750-4.454)

= Iprprio + Itransf = - ( a) yLN2 I/2 = Iz - ( a) yLN2 = I/yLN = I/(D-yLN)

= 17.769 m4 = 7.979 m3 = 4.871 m3

34

2.6.

Tenses cisalhantes

Devido a variao do momento fletor ao longo do comprimento do navio, as tenses A e B em duas faces, de um elemento diferencial ao longo do comprimento, no sero idnticas. Portanto, ao isolarmos uma poro deste elemento por meio de dois cortes, um na linha de centro e outro na distncia s, ao longo do permetro medido a partir da linha de centro, as foras resultantes da diferena de tenses devem ser equilibradas por uma distribuio de tenses cisalhantes no sentido longitudinal, ao longo das superfcies de corte. Por questes de simetria, as tenses de cisalhamento ao longo do corte na linha de centro no devem existir e o equilbrio, portanto, deve ser totalmente obtido pela presena de tenses cisalhantes na outra seo de corte.

Figura 2.10 Tenses de cisalhamento na flexo. Hughes, 1983.

tdx = B tds Atds0 0

s

s

(2.9)

35

Substituindo x =

Mzy em ambas as faces: I MB MA I

tdx =

s

0

ytds =

dM I

s

0

ytds

(2.10)

Substituindo dM=Qdx:

tdx =

Qdx s ytds I 0

(2.11)

A integral na equao 2.10 funo da geometria da seo e da posio s ao longo desta. Por convenincia, associa-se o smbolo m para essa grandeza:

m = ytds0

s

(2.12)

e, pode-se notar que m o momento esttico, em relao a linha neutra, da rea da rea acumulada, iniciando-se em um corte livre de tenses cisalhantes. (ou livre ou no plano de simetria). Substituindo m em 2.11 e isolando , obtm-se:

=

Qm It

(2.13)

O produto t possui significado especial tanto no cisalhamento quanto na toro de vigas de paredes finas. Ele denominado como fluxo de cisalhamento, como analogia ao escoamento de um fluido ideal contido em uma rede de tubulaes. Guarda as mesmas caractersticas, ou seja, em um entroncamento, se preserva a conservao da massa, a soma dos fluxos que chegam deve ser igual a soma dos fluxos de saem. O produto t, denominado de fluxo de cisalhamento, representado pelo smbolo q

36

q=

Qm I

(2.14)

Como, tanto Q quanto I, so constantes ao longo da seo, o fluxo de cisalhamento diretamente proporcional a distribuio de m. De fato a relao Q/I pode ser interpretada como um fator de escala e uma vez calculada a distribuio de m, a distribuio do fluxo de cisalhamento idntica, a menos das unidades. Outra vantagem do clculo de q a no existncia de mudanas abruptas com as variaes de espessuras, o que j ocorre com a distribuio de .

37

PROBLEMAS 1. Uma embarcao com 10.000t de deslocamento e 100m de comprimento apresenta mximo momento fletor de alquebramento da ordem de L/100 (t.m). O pontal na Seo Mestra de 12m e o eixo neutro se localiza a 4m acima da quilha. O momento de inrcia da Seo Mestra 48m4. Calcule os valores mximos de tenso de trao e de compresso e o local onde ocorrem. 2. Considere uma embarcao prismtica com 130 m de comprimento, cujos pesos do casco, de mquinas e de carga sejam: 3200t, 800t e 6400t, respectivamente. O peso do casco uniformemente distribudo ao longo do comprimento. O das mquinas se estende uniformemente ao longo de 1/5 do comprimento a meio navio, e o da carga se estende uniformemente sobre 2/5 do comprimento a partir da popa e 2/5 a partir da proa. Desenhe as curvas de peso, de flutuao, de carregamento, de fora cortante e de momento fletor, e determine seus valores nas descontinuidades e nos mximos. 3. Um navio hipottico possui a curva de pesos que varia linearmente de zero, na proa e na popa, a um mximo na seo mestra (meio navio), e a curva de flutuao que varia linearmente de zero, na seo mestra, a um mximo nas extremidades, proa e popa. Desenhe as curvas de peso, de flutuao, de carregamento, de fora cortante e de momento fletor e determine os valores extremos em funo do deslocamento e do comprimento L. 4. Os valores mdios de peso por unidade de comprimento e de flutuao por unidade de comprimento de uma embarcao de 180m, representadas em seis segmentos iguais ao longo do comprimento da embarcao, so:

38

Segmento 1 2 3 4 5 6

w (t/m) 78 150 88 75 63 93

b (t/m) 33 126 145 141 78 18

Desenhe as curvas de peso, de flutuao, de carregamento, de fora cortante e de momento fletor e determine os valores em cada segmento e os valores mximos. 5. Uma barcaa tipo caixa, com 43m de comprimento, 10m de boca e 6m de pontal, pesa 544t quando vazia. O peso leve da barcaa pode ser considerado uniformemente distribudo ao longo de seu comprimento. Ela compartimentada em 4 pores de carga, todos de igual comprimento. Em uma de suas operaes, ela foi carregada com gros, de maneira uniforme, conforme a tabela seguinte:

Poro 1 2 3 4

Carga (t) 192 224 272 176

Construir a curva de pesos, de flutuao, de carregamento, de fora cortante e de momento fletor para a barcaa carregada e calcule os valores em cada antepara e os valores mximos. 6. Calcule o mnimo mdulo requerido para a barcaa do problema anterior de sorte que a mxima tenso para aquela condio de carregamento no exceda 100 MPa.

39

7. Uma barcaa possui a vista em planta conforme mostrado na figura. Todos os planos de flutuao so idnticos. As cargas esto carregadas uniformemente nos pores, conforme indicado. Desprezando o peso prprio da barcaa, desenhe as curvas de peso, de flutuao, de carregamento, de fora cortante e de momento fletor para a barcaa flutuando em guas tranqilas. Indique os valores em cada antepara e identifique os valores mximos da fora cortante e do momento fletor.

vazio

400 t

950 t

950 t

400 t

vazio

14 m

14 m

14 m 80 m

14 m

14 m

14 m

8. Uma embarcao de 200m possui obras vivas prismtica ao longo do comprimento. O peso do casco, de 2400t, pode ser adotado como uniforme ao longo do comprimento. Ela possui 6 pores de carga, idnticos, que esto carregados (em toneladas), comeando pela proa, conforme a tabela a seguir:

Poro 1 2 3 4 5 6

Carga 400 700 800 800 500

Combustvel 100 200 300 300 100

Mquinas

800

10 m

40

Os pesos esto uniformemente distribudos em seus respectivos pores. Desenhar as curvas de peso, de flutuao, de carregamento, de fora cortante e de momento fletor, indicando os valores em cada ponto de mudana ou de inflexo e os valores de mximo. 9. Uma barcaa, do tipo caixa, com 100m de comprimento, 15m de boca e 15m de pontal, possui o peso de 1920t distribudos uniformemente ao longo do comprimento. Ela carregada com 1200t ao longo de 30m, em cada uma de suas extremidades, proa e popa (carga total de 2400t). Determine o mximo momento fletor para essa condio de carga e calcule as mximas tenses primrias, no convs e no fundo, admitindo que a seo mestra possua inrcia de 4,61 m4.e altura da linha neutra de 2.25m acima da quilha. 10. Calcule os mdulos de resistncia no convs e no fundo para seo mostrada na figura. Todas as chapas possuem 6.34mm de espessura. Quais sero as tenses no chapeamento do convs se a embarcao est sujeita a um momento fletor de 1980tm?1.5 m

0.35 m

0.35 m 0.35 m

0.70 m

4.5 m

1.5 m

1.5 m

1.5 m

Todas as espessuras 6.35 mm

41

11. Calcule os mdulos de resistncia no convs e no fundo da seo mostrada na figura. Se o ao possui tenso de escoamento de 240MPa, qual o fator de segurana ao escoamento para esta estrutura quando submetida a um momento fletor de 3960tm?3.0 m

300mm x 3/4" Placa de 3/4" Placa de 1/4" Placa de 1/2" 3.5 m

4.5 m

12. Um navio de 184m de comprimento e pontal de 14m est submetido a um mximo momento fletor de 50.000tm. O eixo neutro, na seo mestra, se localiza a 6m acima da quilha. Para a mxima tenso primria de 80MPa, determine o momento de inrcia requerido para essa seo. A tenso mxima ocorre no convs ou no fundo? Qual o valor da tenso para a outra extremidade?

42

3. Estrutura secundria3.1. Introduo

A estrutura secundria de uma embarcao consiste de um chapeamento reforado por: 1. perfis leves, que limitando as dimenses das unidades de

chapeamento o enrijecem, tais como cavernas, vaus de conveses, longitudinais, etc. 2. perfis pesados, que sempre servem de apoio aos perfis leves, recebendo destes a carga que lhes foi transmitida pelas unidades de chapeamento. So perfis pesados os anis gigantes, as sicordas, as hastilhas, as quilhas, as longarinas e as escoas. Esse conjunto de chapeamento, perfis leves e perfis pesados, considerado entre duas anteparas estruturais, que se costuma designar por estrutura secundria. V-se que, como a estrutura secundria contm unidades de chapeamento, nela tambm est contida a prpria estrutura terciria, a qual nada mais do que o conjunto de unidades de chapeamento, sem que nele se considerem os perfis. Entretanto as tenses secundrias esto associadas com as deformaes secundrias e as tenses tercirias com as deformaes tercirias. Convm lembrar as seguintes definies: 3. unidade de chapeamento: a poro de chapa limitada por dois perfis adjacentes na direo longitudinal e outros dois na direo transversal. 4. painel: uma poro da estrutura secundria, formada de

chapeamento, perfis leves e perfis pesados, no caso mais geral, que

43

se toma para estudo. Contm, portanto, pelo menos duas unidades de chapeamento. 5. grelha: um conjunto de vigas que se interceptam. Caso elas sejam ortogonais diz-se que a grelha ortogonal. 6. grelha chapeada: quando se tem um conjunto de perfis que se interceptam, soldados a chapeamento em um lado (caso do convs) ou em dois lados (caso do duplo fundo), diz-se que tem-se uma grelha chapeada. Nesse caso supe-se que o chapeamento, em lugar de ser contnuo, como realmente , constitui-se de tiras de chapa que se soldam aos perfis, servindo-lhes de flanges. Desta forma, em lugar de um chapeamento reforado, supe-se que se tem uma verdadeira grelha, na qual cada viga formada por um perfil com a tira de chapa que se lhe supe soldada. Essa tira chamada chapa colaborante e essa grelha fictcia designa-se por grelha chapeada. Observando-se as figuras 3.1 a 3.3, nota-se que todos os enrijecedores leves ou pesados esto sujeitos flexo devida s cargas laterais no chapeamento e, como possuem ligaes entre si, formam um conjunto para resistir a estas cargas, tornando assim a anlise deste tipo de estrutura bastante difcil em face ao grande nmero de elementos que a envolve.

44

Figura 3.1 - Estrutura do fundo de um navio tanque de casco singelo

45

Figura 3.2 - Detalhe de um painel do fundo1-Quilha. 2-Chapeamento. 3-Hastilha. 4-Longitudinal leve. 5-Antepara transversal. 6-Antepara longitudinal

46

Figura 3.3 - Deflexes secundrias leves e pesadas

47

Pode ser utilizado o seguinte esquema para anlise preliminar das tenses secundrias e sua superposio com as tercirias: 1. clculo das tenses tercirias 3 nas unidades de chapeamento (abcd na Figura 3.4a), devido a presso lateral, considerando esta unidade limitada por perfis leves e/ou pesados, desprezando qualquer deflexo dos perfis. Esta unidade deve ser verificada quanto estabilidade sob a ao da tenso primria. 2. clculo das tenses secundrias '' , nos 2 perfis leves, supondo que

estes se apoiam sem recalque nos perfis pesados. Associa-se aos perfis leves uma certa largura de chapa, para funcionar como um de seus flanges. Essa poro de chapa, como se viu, denomina-se chapa

colaborante e ser discutida adiante. Emprega-se a teoria simples deviga e adotam-se hipteses adequadas sobre as rotaes nas extremidades de cada tramo da viga constituda do perfil mais sua chapa colaborante. Assim o problema se reduz ao da anlise de uma viga com um s tramo. Atribui-se a essa viga uma certa frao da carga lateral que age sobre o chapeamento, da se transmitindo ao perfil. A estima dessa frao de carga ser discutida posteriormente.

c tc

chapa colaborante alma flangef

th

h tf

Figura 3.4 - Perfil + Chapa Colaborante

48

1

2

3 (LN) chapa colaborante

4 6

5

Figura 3.5 - Clculo dos perfis Leves

' 3. clculo das tenses 2 , atuantes na grelha formada pelo chapeamento

com os perfis mais pesados. Existem diversos mtodos para o clculo de

'2 com diferentes graus de complexidade e preciso. No mais simples,mtodo da teoria simples de viga com um s tramo, procura-se estimar

'2 ignorando-se o comportamento de grelha e imaginando-se que elapode ser suficientemente bem representada analisando-se cada um daqueles perfis separadamente, como se desligado estivesse dos demais, e com chapas colaborantes, cargas e condies de extremidade arbitradas. Embora esse mtodo simplifique muito o clculo, por demais subjetivo e impreciso, sendo invivel estimar bem aquelas condies que nele devem ser arbitradas, a no ser para certos casos convencionais. Apesar disto o mais adequado para fases iniciais de anlise.

49

A ttulo de exemplo suponha-se que se deseja aplicar tal mtodo para' calcular o valor mximo de 2 na longarinas2 QL, Figura 3.6, com o navio em

guas tranqilas e sem carga no poro e duplo fundo. De acordo com o mtodo, imagina-se que QL esteja desligada das hastilhas B, C e D. Arbitramse, ento, condies de extremidades para QL, nos pontos em que ela intercepta as anteparas. Estas, pela rigidez que apresentam a deslocamentos no seu prprio plano, podem ser consideradas, com razovel preciso, como apoios irrecalcveis para QL. difcil, porm, estimar a rigidez rotao de QL nas suas intersees com as anteparas, pois ela depender muito da geometriaA BL1 L2 L3 QL L4 L5 L6 Q L6' L5' L4' QL' L3' L2' L1'

antepara

costado C D

antepara

longarinac a d b

quilha

longarina

costado A

hastilha

Figura 3.6a - Esquema do fundo de um navio, entre anteparas

teto do duplo fundo

L5

fundo

bojo

Figura 3-6b - Corte A-A

2As

longarinas tambm so chamadas de quilhas laterais.

50

e do carregamento nos pores adjacentes. Como se visa a simplificar os clculos neste mtodo, deve-se arbitrar uma das condies extremas: restrio total rotao (engastamento) ou restrio nula rotao (apoio simples). A seguir estima-se a largura da chapa colaborante, tema que ser estudado adiante. Resta, por arbitrar, a carga sobre QL. Na realidade QL recebe cargas de duas formas: 1. cargas distribudas, provindas do chapeamento que sobre ela se apia, ao longo de todo o seu vo; 2. cargas concentradas, provenientes das aes de cisalhamento com as hastilhas, nos pontos em que com elas se intercepta. Embora o primeiro tipo de carga se possa estimar com razovel preciso, o segundo dificilmente se estimar bem, pois depende basicamente da rigidez flexo de cada elemento da grelha, bem como da distribuio das cargas sobre o poro, caso as haja. Sensveis alteraes nesses parmetros faro com que uma carga na interseo possa mudar no apenas de valor, mas tambm de sentido. O propsito do mtodo , porm, o de propiciar estimativas de '2 com clculos deveras simples, para arranjos e carregamentos convencionais. Por isso, costuma-se arbitrar um carregamento distribudo que, espera-se, produzir um valor mximo de '2 prximo daquele que o carregamento real de

QL acarreta. No caso que ora tratamos poder-se-ia adotar, como carregamento,a presso sobre o fundo, ao longo de todo o vo de QL, entre L2 e L5. Isto significaria admitir que supomos ser a rigidez flexo de QL bem maior que as das hastilhas, de sorte que essas ltimas tendam a ter flechas maiores que as de QL e, por conseqncia, em QL apoiarem-se.

3.2.

Distribuio de Cargas

Ao isolarmos um elemento reforador de um painel requer que se faam hipteses sobre a distribuio de cargas entre as vrias vigas em que se considera o chapeamento reforado. Cada uma dessas vigas constituda de um perfil e de uma parte de chapeamento a ele associada, a chapa

51

colaborante. A distribuio de cargas pode ser efetuada de diversas maneiras, umas mais simples e outras mais elaboradas: 1. Cada reforo recebe toda a carga aplicada sobre a largura s e a transmite aos reforos mais rgidos que lhe servem de apoio. A situao est esquematizada na regio AEBDFC da Figura 3.7, onde se representa um painel estrutural de um costado de um navio. A a caverna

C1, no trecho entre a escoa e o fundo, estaria recebendo a cargahidrosttica da regio hachurada e transmitindo-a escoa e ao fundo nos pontos E e F, respectivamente. Essa distribuio superestimada para a caverna a no ser que a distncia s seja muito pequena quando comparada a distncia b. 2. Cada reforo recebe a carga do losango determinado pelas diagonais de cada unidade de chapeamento. A regio GHIJKL, da Figura 3.7, ilustra essa distribuio. A caverna C2, entre o convs e a escoa, receberia a carga distribuda sobre o losango

KMHN, e a escoa entre L e K

receberia a carga distribuda sobre o losango LMKO. 3. Os reforos recebem a carga distribuda na regio cujo centro ficam e que limitada por linhas em ngulos de 45 graus. A distribuio est ilustrada na regio PQRS da Figura 3.7. A caverna C3, no trecho entre o fundo e a escoa, receberia a carga distribuda sobre a rea 1,2,3,4,5,6 e a escoa entre 2 e Q receberia a carga que se distribui sobre 2,7,Q e 3. Esta distribuio a que mais se aproxima da realidade. Apesar de esta distribuio gerar um carregamento trapezoidal sobre o elemento desconsidera-se a diminuio nos extremos, adotando-se carregamento constante, uniformemente distribudo.

52

H

K caverna C2 convs G H I caverna C3

s

antepara M N 7 A L escoa O 6 S 4 R 5 45 o K J 1 3 antepara E B P 2 Q

b

fundo caverna C2

C

F

D

E

F

2

5

Figura 3.7 - Esquemas de distribuio de cargas sobre os perfis

3.3. Os efeitos do cisalhamento na flexo de vigas. Chapa ColaboranteUma das hipteses bsicas na teoria simples de vigas que seces planas permanecem planas aps a flexo e, por conseguinte, as tenses de flexo so diretamente proporcionais distncia do eixo neutro. Portanto em qualquer viga formada por alma e flanges, as tenses devem ser constantes ao longo dos flanges. No entanto, a maioria dos problemas a flexo no causada por um binrio de foras nas extremidades da viga e sim causada por cargas transversais que so absorvidas pela alma da viga e no pelos flanges. Sob o efeito das cargas, a alma da viga curvada induzindo deformaes mximas nos flanges. Como eles suportam a mxima deformao e, conseqentemente,

53

as mximas tenses, os flanges so os elementos da seco transversal da viga que mais contribuem para a rigidez flexo. Mas importante notar que estas mximas deformaes se originam na alma e somente atingem o flange por causa do cisalhamento. Este fenmeno ilustrado na Figura 3.8 onde se mostra uma seo de uma viga tipo caixa, engastada em uma das extremidades e com uma carga concentrada na outra.F

no plano de simetria a tenso cisalhante nula. mnima distoro

a alma arrasta o flange por cisalhamento mxima distoro

eixo neutro F/2 F/2

Figura 3.8 - Efeito shear lag em vigas tipo caixa

A fora resistida pelas almas, que se curvam de forma a alongar e a encurtar os extremos superior e inferior da viga. Por simplicidade, a curvatura no est ali representada. O contorno alongado da alma traciona consigo o chapeamento do flange atravs de foras de cisalhamento, o que resulta em tenses de cisalhamento. Estas tenses de cisalhamento distorcem o flange e esta distoro tal que o lado mais afastado da alma do elemento retangular no deve se "esticar" tanto quanto o lado mais prximo; isto , a deformao no sentido longitudinal menor no lado interno e, portanto, tambm o a tenso normal longitudinal. Este mesmo fenmeno ocorrer em cada elemento, do

54

canto, junto alma, at a linha de centro, embora ele, paulatinamente, diminua at desaparecer na linha de centro, porque a tenso de cisalhamento neste ponto cai para zero. O resultado disto que o flange sofre uma distoro no plano longitudinal e, portanto, as seces planas no permanecem planas quando as tenses cisalhantes esto presentes. Esta distoro comumente chamada de empenamento ou warping. O aspecto significativo da distoro pelo cisalhamento que as regies mais afastadas do flange apresentam menores tenses de flexo e so, portanto, menos efetivas do que as regies mais prximas. Isto , devido aos efeitos do cisalhamento, as tenses de flexo longe da alma "atrasam" (lags behind) em relao s tenses prximas a alma. O fenmeno foi ento batizado de efeito de shear lag. Este efeito ocorre em qualquer viga com flanges largos sob cargas laterais.

distribuio de tenses normais no flange do perfil

max

C L

Figura 3.9 - Efeito shear lag em vigas com flanges A distribuio exata das tenses em vigas com flanges largos pode ser encontrada usando a teoria da elasticidade ou o mtodo dos elementos finitos, mas o uso destas ferramentas, em fases iniciais de projeto, para computar este tipo de fenmeno de pouco senso prtico. Um estudo pela teoria da elasticidade mostra que a magnitude do efeito shear lag (isto , o quanto a distribuio de tenses difere daquela originada pela teoria simples de viga) depende : 1. da relao largura do flange pelo comprimento da viga. 2. do tipo de carregamento lateral. 3. das propores relativas entre alma e flange.

55

4. do tipo de seo transversal da viga. 5. da posio ao longo da viga. O efeito shear lag em geral varia de ponto a ponto ao longo do comprimento da viga e mximo onde existem altos gradientes de foras de cisalhamento. A melhor maneira de considerar o efeito shear lag em painis reforados fazendo uso do conceito de como: largura efetiva do chapeamento, b1, definida

a largura de chapa que, quando utilizada no clculo do momento de inrcia da seo transversal do perfil, resultar no valor correto de tenso normal de flexo na juno alma-flange, quando se faz uso da teoria simples de viga para o clculo dessa tenso.A largura efetiva deve ser tal que a fora longitudinal no flange seja igual tanto no modelo simples quanto no modelo complexo. Igualando as foras

b1 max = x dz0

b

oub1 =

0

b

x

dz

max

O modelo que apresentaremos a seguir, sugerido por W. Muckle, 1967, se baseia na teoria de Shear Lag desenvolvida por Taylor, 1964. Considere a viga fabricada mostrada na Figura 3.3. A tenso de cisalhamento longitudinal em um plano vertical utilizando a relao da resistncia dos materiais pode ser escrita como:

56

B z

B

y

eixo neutro

Figura 3.10 - Tenses cisalhantes em vigas com flanges largos

=

Qm It

=

Q(b z ) y I

(3.1)

com a correspondente deformao angular, ou de cisalhamento

=

G

=

Q(b z ) y GI

(3.2)

Conforme se v na Figura 3.11, as deformaes angulares provocam um movimento longitudinal das fibras

de

dz dx

Figura 3.11 - Deformao de cisalhamento no flange da viga

de = dz

(3.3)

Somando todos os elementos, da origem uma posio genrica z, obtm-se:

57

e = de = 0

z

z

0

2 Q(bz z 2 ) y Q(b z ) y dz = GI GI

(3.4)

A variao no sentido longitudinal deste movimento leva a uma deformao linear e uma conseqente tenso normal longitudinal, que de relaxamento:

q (bz z 2 ) y e Q (bz z 2 ) y = E =E =E x x GI GI

2

2

(3.5)

onde se fez uso da hiptese da viga ser prismtica, homognea e o fato da variao da fora cortante ao longo do eixo da viga ser igual ao carregamento distribudo, q. Se o momento fletor, em uma particular seco for designado por M, ento a tenso de flexo no centro do flange calculada como:

f =

M y I

(3.6)

e a tenso modificada, pelo efeito de cisalhamento, para2 Eq(bz z 2 ) y M x = y I GI

(3.7)

Como conseqncia desta composio, a equao de equilbrio entre momentos externo e interno no mais fica satisfeita, ou seja, a integral dos momentos devido as foras internas deve ter como resultado o momento fletor

M. O segundo termo da equao acima resulta no que chamamos de perda de resistncia fletora que obtida como:Eq(bz z 2 ) y 2 tdz 2 E qb 3 y 2 t = GI I 3G2

M = 2

b

0

(3.8)

58

O equilbrio pode ser ento restabelecido se imaginarmos que - aqui se encontra a hiptese fundamental dessa teoria - as tenses de flexo na viga so geradas por um momento fletor:

M + M

(3.9)

o que corresponde ao momento real adicionado da parcela devido ao relaxamento das tenses de flexo devido ao cisalhamento. A distribuio de tenses resultante no flange da viga ser:

x =

M+

2 E qb 3 y 2 t 2 E q(bz z 2 ) y 3G I y I G I

(3.10)

2b

2b 1

2b 1

maxC L C LFigura 3.12 - Largura efetiva de flanges Na juno alma-flange, quando z=0 o valor da tenso 2 E qb 3 y 2 t 3G I y I

max

max =

M+

(3.11)

59

Tomando este valor como constante ao longo de uma largura b1, largura da chapa colaborante, ento a fora longitudinal suportada pelo flange :

Fflange = 2b1t max

2 E qb3 y 2 t M+ 3G I = 2b1t I

y

(3.12)

No entanto, esta fora deve ser igual quela obtida pela integrao da equao 3.10, ou seja: 2 E qb 3 y 2 t M+ b 3G I = 2 x tdz = 2bt 0 I 2 E qb 3 yt y 3G I y

Fflange

2 E qb 3 y 2 t M+ I 3G = 2b1 t I

(3.13)

o que resulta na relao entre a largura efetiva e a largura do flange como sendo1E 2 qb 3G 2 E qb 3 y 2 t M+ 3G I

b1 =1 b

(3.14)

Fica evidente que a largura da chapa colaborante funo da distribuio da carga e das condies de contorno da viga. No caso de uma viga simplesmente apoiada e com carga uniformemente distribuda, o momento fletor dado por:M= qlx qx 2 2 2

(3.15)

e a chapa colaborante

60

1E 2 b b1 3G = 1 b lx x 2 2 E b3 y 2t + 2 2 3G I

(3.16)

Para uma viga bi-engastada sob a mesma condio de carga

M=

qlx qx 2 ql2 2 2 12

(3.17)

e a chapa colaborante

1E 2 b b1 3G = 1 b lx x 2 l2 2 E b3 y 2t + 2 2 12 3 G I

(3.18)

Observando em mais detalhe as equaes 3.16 e 3.18, nota-se que as quantidades: 7. momento de inrcia I, e 8. y , distncia do flange ao centride da seco da viga; so funes da largura b1, que esta sendo calculada no primeiro membro de ambas as equaes, de onde se conclui que o processo deve ser iterativo. Por outro lado, em regies onde o momento fletor possui valores muito maiores que o segundo termo no denominador das equaes 3.16 e 3.18, este pode ser desprezado, resultando para:

61

vigas engastadas:

b1 b2 = 1 8(1 + ) 2 l b b1 b2 = 1 16(1 + ) 2 l b

no engastamento

(3.19)

no centro da viga

(3.20)

vigas apoiadas:

b1 16 b2 = 1 (1 + ) 2 3 l b

no centro

(3.21)

onde o carregamento uniformemente distribudo. de interesse uma comparao entre estes resultados e os obtidos pelo trabalho de Schade, apud Hugues, 1983. Schade fornece os resultados para chapas colaborantes em funo do parmetro cL/B, onde cL a distncia entre pontos, ao longo do comprimento da viga, onde so nulos os momentos e B o espaamento entre reforadores do painel, ou a largura total do flange da viga. Portanto chamando cL= l1 , B=2b e adotando (1+)=5/4 a equao 3.21 para vigas apoiadas, na regio de mximo momento fletor se transforma para 3b1 5 B2 =1 3 l1 2 b

Para finalizar deve-se ressaltar que para seces transversais cujo eixo neutro esto muito prximos do chapeamento, como o caso de painis reforados usualmente aplicados na construo naval, as propriedades da

3

Segundo Muckle, 1987, utilizando teoria da elasticidade Schade, chega a seguinte relao para1

b B2 chapeamentos reforados, 1 = 111 + 2 2 . b l1

, vlido para valores de

l1 2 e mostra que para B

certas circunstncias possvel ter-se uma relao de chapa colaborante espaamento de perfis maior do que a unidade.

62

seco no so significativamente afetadas pela largura de chapa colaborante utilizada, de modo que a largura efetiva no possui a importncia que pode parecer a uma primeira vista, veja exerccio 1. As principais concluses destas investigaes so: 1. a largura efetiva varia de ponto para ponto ao longo do comprimento da viga. Em contrapartida, no h efeito shear lag na flexo pura (fora cortante nula). 2. shear lag ocorre tanto em trao quanto em compresso de forma idntica, desde que no ocorra a flambagem do flange. Na figura 3.13, extrada de Hughes, 1983, apresentam-se as curvas para o clculo de largura de chapa colaborante em funo do arranjo dos perfis e do tipo de carregamento.

Figura 3.13 Largura de chapa colaborante. Hughes, 1983.

63

distribuio de tenses de flexo no chapeamento

unidades de chapeamento

B 1 /2 c1 c 2 /2

B1

/2 B 2 /2 B2Sentido do comprimento

perfil + chapa colaborantedistribuio de momentos fletores ao longo do comprimento do perfil para carga uniforme

vo L

q L2 /12

q L2 /24

Largura da chapa colaborante c = (c + c )/21 2

l1

distncia entre momentos fletores nulos l = 0.578 L 1

Figura 3.14 Largura de chapa colaborante em painis reforados

3.4.

Grelhas

Muitas estruturas se constituem de uma rede de vigas que se estendem em duas direes, geralmente ortogonais. Nas estruturas navais e ocenicas o uso deste arranjo comum, podendo-se citar os conveses de navios, reforados na direo transversais pelos vaus e, na longitudinal, pelos longitudinais leves e sicordas. Conforme se mencionou anteriormente, uma das formas de se analisar este tipo de estrutura considerar que o carregamento absorvido por um grupo de reforos, enquanto que o outro, agindo como suporte para o primeiro, no se deforma. De acordo com esse principio e retomando o exemplo do convs, admite-se que os vaus se apiam no costado e em uma sicorda, ambos os apoios considerados irrecalcveis. Um modelo melhor reconheceria que o segundo conjunto de reforos atua como apoio

64

elstico para primeiro. O estudo das grelhas contempla este tipo de problema, e define-se a grelha com uma estrutura onde existem vigas ou reforos em duas

direes.Nas estruturas navais e ocenicas o problema de grelhas complicado pelo fato de os reforos estarem ligados a um chapeamento, ou em outras palavras, a grelha chapeada. A dificuldade aqui se refere a qual valor de

chapa colaborante que dever ser associado seco reta dos perfis paraformar as vigas ou reforos nas duas direes.

3.5.

Grelha Simples

Uma introduo ao problema de grelhas pode ser feito considerando apenas duas vigas que se interceptam em ngulos retos, sendo solidrias no ponto de interseo. Na Figura 3.15 mostra-se uma estrutura, na qual uma viga, simplesmente apoiada, com comprimento l 1 e momento de inrcia I1, ligada, em seu ponto central, a uma segunda viga, tambm simplesmente apoiada, comprimento l 2 e momento de inrcia I2. As cargas atuantes em cada uma delas seriam q1 e q2 respectivamente e para o propsito deste problema sero consideradas uniformes ao longo do comprimento das vigas. O efeito da ligao entre as duas vigas ser a gerao de uma fora concentrada F no ponto de interseo e essa agir para cima em uma das vigas e para baixo na outra, de modo que a reao de apoio na primeira viga ser:

Q1 =

q1 l 1 F 2 2

(3.22)

e na segunda viga

Q2 =

q2 l 2 F + 2 2

(3.23)

Segue que os momentos fletores para estas duas vigas sero:

65

q1 x 2 M 1 = Q1 x 2

(3.24)

q2 y 2 M 2 = Q2 y 2

(3.25)

q viga 2 l2 I2

1

q

2

y x viga 1

centro das vigas

l1

I1

Figura 3.15 - Grelha simples apoiada Uma vez conhecida a fora F os distribuies de momentos M1(x) e M2(y) podem ser calculadas para cada uma das vigas. O procedimento simples. Como as vigas esto ligadas em seus pontos centrais, as deflexes delas neste ponto devem ser a mesma. Considerando apenas a influncia do momento fletor no clculo dos deslocamentos, tem-se:

1 =e

Fl 1 5 q1 l 1 384 EI 1 48 EI 1

4

3

(3.26)

2 =

Fl 2 5 q2 l 2 + 384 EI 2 48 EI 2

4

3

(3.27)

Igualando as duas expresses obtm-se:

66

F=

4 q2 l 2 4 5 q1 l 1 I2 8 I1

l1 l + 2 I1 I2

3

3

(3.28)

educativo examinar-se os valores limites na equao 3.28. Se a viga 2 for muito rgida (comprimento pequeno e/ou inrcia grande), o segundo termo em ambos, numerador e denominador, tendem a zero, resultando para a fora

F = 5/8 q1 l 1 , que seria o resultado para uma viga contnua sobre trs apoios. AFigura 3.16 ilustra a solicitao de momentos para a viga 1. Se, por outro lado, a viga 2 for muito flexvel e admitir-se que nela atue uma carga desprezvel, a fora F ser nula e a viga 1 se comportaria como uma viga sobre dois apoios.

ql 8

2

9 ql 128

2

equivalente a uma viga engastada-apoiada

3 l /4Figura 3.16 - Momentos Fletores para a viga 1 supondo que a viga 2 seja muito rgida

3.6.

Grelha Mltipla

Quando existem mais de um reforador em cada direo, a soluo do problema da grelha mais complicada, pois ao invs de ter-se somente uma incgnita hiperesttica (fora concentrada no ponto de interseo das vigas) surgir uma srie delas. Em outras palavras, haver tantas reaes hiperestticas quantas forem as interseces entre reforos. O problema se

67

transforma de uma equao a uma incgnita para n equaes a n incgnitas se for utilizado o mesmo mtodo do item anterior. Obviamente, em termos prticos, isso limita a umas poucas vigas o problema que pode ser resolvido sem o auxilio de um computador. Existem alguns mtodos aproximados para a soluo do problema de grelhas. Um deles, muito difundido na dcada de 70, antes da popularizao dos Mtodos Matriciais, era o Mtodo da Chapa Ortotrpica, onde a grelha substituda por uma placa com caractersticas ortotrpicas fictcias de rigidez. Os resultados dessa teoria, teis nas fases iniciais de qualquer projeto, so apresentados em forma de grficos, que podem ser encontrados em Freitas, E. S., 1977. Porm o problema de grelha pode ser facilmente resolvido atravs de Mtodos Matriciais de Clculo de Estruturas, objeto de estudo no abordado neste curso.

3.7.

Flambagem de painis reforados

Embora a flambagem de painis reforados seja objeto de estudo do captulo de estrutura secundria, ele mais bem compreendido aps o estudo da estrutura terciria. Assim, sugere-se que o leitor prossiga seus estudos focalizando a estrutura terciria e, posteriormente, retorne a este item para compreender o clculo da instabilidade de painis reforados. Ao se estudar a flambagem de uma unidade de chapeamento, estrutura terciria, se supe que seus contornos permanecem estveis. Na realidade isso pode no acontecer. Os reforos longitudinais e transversais podem flambar antes mesmo de uma unidade de chapeamento chegar sua tenso crtica. Os painis reforados podem flambar de duas formas diferentes. Na

flambagem global, os reforos flambam junto com o chapeamento; na flambagem local ou o reforo flamba prematuramente, por insuficiente rigidezou estabilidade, ou as unidades de chapeamento flambam entre reforos,

68

sobrecarregando desta maneira os reforos de tal forma que estes flambam de modo semelhante s colunas. Para a maioria dos painis, de aplicao em engenharia naval e ocenica, as dimenses so tais que a flambagem - seja de qual tipo for - inelstica, e assim sendo o termo falha mais adequado de ser usado ao invs de flambagem. No entanto, a flambagem elstica nos d uma boa indicao de como sero os modos de falha e servem, tambm, como um balizamento inicial para estudos mais complexos envolvendo a flambagem inelstica. Como j fora feito anteriormente na flambagem de placas, o clculo das tenses criticas de flambagem so, em geral, feitas adotando-se contornos simplesmente apoiados, no obstante a presena de foras laterais, pois na maioria dos casos estes carregamentos podem estar ausentes ou podem no ser grandes o suficiente para prover uma total restrio a rotao. Alm disso, as cargas laterais tm pouca influncia na flambagem elstica. Portanto, a menos que se diga o contrrio, ser adotado que os lados do painel esto simplesmente apoiados. Uma maneira prtica de calcular a tenso crtica de flambagem de um painel reforado consiste em considerar cada reforador, associado a uma largura de chapeamento, como uma viga sendo comprimida. A tenso crtica de flambagem ento obtida pelas frmulas de Euler, ou qualquer outra envolvendo a flambagem de colunas, e esta tenso, assim obtida, deve ser inferior tenso crtica de flambagem da unidade de chapeamento. O que acontece ento quando a unidade de chapeamento flamba antes de se atingir o valor da tenso acima mencionada? Obviamente o valor de b, vide figura 3.18, tomado como largura de flange para a seco do perfil, dever ser menor, uma vez que a unidade de chapeamento sofrera flambagem e uma conseqente redistribuio de tenses. Uma vez que no bom projeto estrutural de um painel esbelto tal condio deva ser verificada, ou seja, a flambagem do chapeamento deve preceder a

69

flambagem dos reforos, ocorre que a chapa colaborante para o reforador no ser totalmente efetiva sobre toda largura b. Ao invs, necessrio tomar uma largura efetiva reduzida, digamos, be. Note que esta largura no a mesma deduzida como chapa colaborante flexo de modo a corrigir o efeito shear

lag. Naquele caso a perda de efetividade era devido a deformaes no plano dochapeamento em funo do cisalhamento. No presente caso ela devido a deformaes para fora do plano, causadas pela flambagem.tenso uniforme no painel antes da flambagem da unidade de chapeamento

aunidade de chapeamento

be bredistribuio de tenses aps a flambagem da unidade de chapeamento

be

a

e

tenso mxima no perfil aps a flambagem da unidade de chapeamento

a

tenso mdia no painel aps a flambagem da unidade de chapeamento

Figura 3.18 - Flambagem de uma unidade de chapeamento A largura efetiva devido a flambagem uma questo difcil de ser resolvida, principalmente porque, na maioria dos casos, ela discutida e aplicada em um difcil contexto onde os painis no flambam de forma puramente elstica. Para a flambagem elstica uma teoria satisfatria foi apresentada por von Karman, 1932. A proposta de von Karman , alm de elegante, simples e prtica, e fornece uma ferramenta til na previso da flambagem elstica de painis reforados.

70

Ele idealizou o estado de tenses na placa aps a flambagem adotando que, devido a flambagem a regio central da placa no sofre tenses de compresso, enquanto que as regies dos extremos permanecem totalmente efetivas e apresentando tenses uniformes e, como se mostra na figura, 3.18. Em outras palavras, a regio flambada da placa descontada completamente da placa original de largura b e substituda por uma placa de menor largura, no flambada e com largura efetiva be. Do equilbrio esttico fica claro que e e a esto relacionadas por:

Ae

e

dA = a dAA

(3.29)

Para simular a progresso da flambagem tambm adotado que a (ainda no flambada) largura efetiva est sempre na eminncia de sofrer a flambagem, isto , a largura efetiva aquela largura na qual a placa equivalente sofreria flambagem quando submetida a tenso e. Isto implica em

e = k

2 D be2 t

(3.30)

e, para a placa original

( a ) cr = k

2Db2t

(3.31)

Pressupondo-se que o valor de k seja o mesmo para ambos os casos, tem-se que:

be = b

( a ) cre

(3.32)

71

Esta ltima hiptese no estritamente correta porque, embora as condies de contorno possam ser consideradas como similares em ambos os casos, as razes de aspecto so diferentes. No entanto, foi mostrado, quando do estudo da flambagem de placas, que para razes de aspecto maiores do que a unidade, k pode ser tomado como sendo 4. A substituio desse valor, juntamente com o coeficiente de Poisson = 0.3, na expresso para (a)cr, transforma a equao (3.31) para

be t E = 1.9 b b e

(3.33)

De posse de uma expresso para o clculo de be podemos prosseguir e obter uma expresso para a carga de colapso de um painel reforado, isto , para o colapso do painel em modo elstico. A largura efetiva be associada ao perfil de rea A e inrcia I, atuando como uma chapa colaborante no clculo da inrcia Ie da rea transversal Ae do novo perfil. A tenso normal axial, e , que atua no reforo mais chapa colaborante, tem seu valor crtico dado por:

e =

2 EI e Ae L2

(3.34)

Note que nesta equao se refere a e ao invs de a .A tenso axial no reforador maior do que a tenso externa aplicada a por causa da largura reduzida da chapa. A quantidade de interesse o valor de a correspondente a

e . pois este o valor da carga de flambagem do painel reforado. Doequilbrio esttico, ambos se relacionam:

a (bt + A) = e (be t + A)e, por conseqncia

(3.35)

a =

be t + A e bt + A

(3.36)

72

Por causa da presena de e na equao (3.33) o clculo deve ser iterativo. Um procedimento adequado seria: 1. Adota-se um valor inicial para be (suponha-se be =0.8 b). 2. Calcula-se o momento de inrcia do perfil associado sua chapa colaborante. 3. Calcula-se e atravs da equao (3.34). 4. De posse deste valor, recalcula-se be atravs da equao (3.33). 5. Repete-se os passos de 2 a 4 ate que be tenha convergido. 6. Calcula-se a atravs da equao (3.36). 7. Pode-se observar, atravs do exerccio 6, que com este procedimento, obtm-se a carga crtica de flambagem do painel em poucas iteraes.

73

PROBLEMAS

1. Para o perfil mostrado na figura, calcular o momento de inrcia, os mdulos de resistncia, no flange e na chapa, utilizando larguras de chapa colaborante, conforme as relaes b1 /b=(1.0;0.8;0.6;0.4); Para b1/b=1 calcular a distribuio das tenses de cisalhamento no perfil. (Faa os clculos para o perfil analiticamente, pois estes resultados

sero teis para todo o seu futuro dentro do clculo das estruturas navais e ocenicas). b=500; tb=6.3; h=105; th=5; f=45; tf=9.5 (em mm)

bt th

b

h tf

f

2. Admitindo que a viga com o perfil acima possua 1030 mm de comprimento e b=500 mm est submetida a uma carga com distribuio triangular (q=500 N/m) e lados simplesmente apoiados, calcular a chapa colaborante na posio de momento mximo.

q=N/m

74

3. Para o painel mostrado na figura, calcular as tenses secundarias, admitindo espaamento de cavernas de 1030 mm e vo livre da sicorda de 4 espaamentos de cavernas. Qual a mxima tenso no perfil e em que posio do painel ela ocorre.

p=1.0 mca

espes. = 7

2000

P=280x6.3x200x12.5 L=105x5x45x9.5

4. Na figura mostra-se um painel do fundo de um petroleiro que est submetido a uma presso hidrosttica de 25 mca. O chapeamento possui 20 mm de espessura, o espaamento entre hastilhas de 3700 mm, e o de longitudinais, 880 mm. Os longitudinais leves possuem dimenses, 400x12x150x18 (almaxflange), as hastilhas 800x20x400x30 e a quilha 1000x20x300x30. Calcular as mximas tenses secundrias. Levantar o diagrama de momentos fletores na estrutura pesada.

medidas em mm

75

5. Calcular, para as duas direes, as tenses crticas de flambagem do painel reforado mostrado na figura.

T300x8x100x12

600 7 ~ 3000Ao Naval 2

3000

L90x60x6

76

4. Estrutura Terciria4.1. Introduo

Em navios e em algumas estruturas ocenicas encontramos como componente estrutural bsico o painel estrutural ou chapeamento reforado. O painel estrutural composto pelo chapeamento, que assegura a estanqueidade, ao qual so soldados reforadores - perfis - em uma nica direo ou em direes ortogonais. Chamamos de unidade de chapeamento de um painel a poro de placa limitada por quatro reforadores, ou outras descontinuidades geomtricas, adjacentes. Em navios, quando o lado maior da unidade de chapeamento paralela ao eixo proa-popa, diz-se que o sistema de cavernamento longitudinal. Quando o lado maior est em direo ortogonal ao eixo proa-popa, diz-se que o cavernamento transversal. Na figura 4.1 mostramos, de forma esquemtica, a regio do fundo de duas embarcaes, uma com cavernamento longitudinal e outra com o cavernamento transversal. fcil localizar ali, num painel do duplo fundo, uma unidade de chapeamento4.

Figura 4.1 - Tipos de duplo fundo4Para

os engenheiros navais a unidade de chapeamento tambm denominada de estrutura terciria.

77

Ao contrrio das vigas nas quais a flexo ocorre apenas ao longo do comprimento, a flexo de placas geralmente ocorre ao longo de duas direes. Para equacionarmos o problema da flexo de placas, partimos da teoria geral da elasticidade, introduzindo hipteses simplificadoras, baseadas na observao pura e simples, a fim de facilitar o manuseio matemtico do problema.

4.2.

Nomenclatura

No decorrer do presente captulo, ao tratarmos de placas planas, usaremos os sistema de referncia da figura 4.2, no qual o plano Oxy coincide com o plano mdio, no deformado, da placa.

a

O

b

x y t z

Figura 4.2 - Placa e sistema de referncia

Os deslocamentos nas direes dos eixos x,y e z sero u,v respectivamente.

e

w,

Os esforos solicitantes: foras normais, foras cortantes e momentos fletores, sero sempre dados por unidade de comprimento ou largura e no sero necessariamente constantes ao longo do comprimento ou largura (diferente das vigas onde os esforos solicitantes so constantes ao longo da seo).

78

4.3.

Hipteses simplificadoras e suas limitaes

Das simplificaes a que se recorrem, as quatro seguintes so parcial ou totalmente usadas nas teorias mais usuais de placas planas. 1. 2. O material permanece elstico. O plano de meia espessura no se deforma pela flexo. Note-se

que a flexo que, supostamente, no deforma o plano mdio. Este poder deformar-se, em realidade, pela prpria flexo e, ainda, pelas causas a seguir: a) foras externas aplicadas ao plano mdio da placa, em seu contorno, como exemplifica a figura 4.3a5. b) reao de apoios que se opem a mutua aproximao dos contornos (figura 3b).

n

n

(a) foras normais externas

R

R

(b) reaes de apoio

Figura 4.3 - Foras no plano mdio da placa

5Poderia

haver tambm foras de cisalhamento, apesar de no aparecerem na figura 4.3.

79

3.

Na expresso dos raios de curvatura, pode-se desprezar a

contribuio da derivada primeira, isto

1 2w 2 = 3 rn n w 2 2 1 + n

2w n 2

(4.1)

onde rn o raio da curva de interseo de um plano perpendicular a Oxy com o plano mdio defletido ("superfcie mdia"). 4. Nas deformaes de flexo podem ser desprezadas as

contribuies de z, xz e yz, isto :

x

1 ( x y ) E 1 ( y x ) E ( x + y ) E

y

z

xy =

xyG(4.2)

xz 0

yz 0

80

As duas ltimas das equaes (4.2) equivalem a dizer que sees perpendiculares ao plano mdio assim permanecem, aproximadamente, aps a flexo6. A primeira hiptese deixa de ser vlida, para estruturas de navios, nos casos seguintes: a) em algumas partes da estrutura projetadas para trabalhar, sob as

condies mais desfavorveis, em regime plstico; exemplo: as regies mais solicitadas de anteparas estanques; b) em pequenas regies da estrutura que, apesar de projetadas para o regime elstico, passam ao regime plstico por efeito de tenses residuais7 e de imperfeita estima das cargas e modelo de clculo. A segunda hiptese pode ser considerada vlida quando a mxima deflexo pequena, comparada com a espessura da placa. Quando a presso uniforme costuma-se utilizar a segunda hiptese at8 wmax/t = 0.5, pois para deflexes maiores a reao dos lados (figura 4.3) pode tornar considervel a deformao do plano mdio pela flexo. A terceira hiptese pode ser considerada vlida para pequenas deflexes, sendo, porm usada mesmo para grandes deflexes. A quarta hiptese produz resultados insatisfatrios para placas grossas e prximo a contornos. Por placa grossa entenda-se aquela em que as razes a/t e b/t no so suficientemente grandes. Delas no cogitaremos por no existirem em estruturas ocenicas.

6Portanto, 7Tenses 8Alguns

se admitirmos a hiptese 4, uma linha perpendicular ao plano mdio, como Oz, assim continuar aps a deformao. remanescentes dos processos de fabricao, principalmente a soldagem.

autores sugerem wmax/t = 0.75.

81

4.4.

Teoria das pequenas deflexes

A teoria das pequenas deflexes formulada para um modelo que incorpora as quatro hipteses simplificadoras mencionadas. Ela apresenta duas ramificaes, resultantes da incluso, ou no, do efeito das foras paralelas ao plano mdio da placa9. A no incluso de tal efeito razovel quando a razo

wmax/t pequena e as foras paralelas ao plano mdio, aplicadas no contornoda unidade, no so elevadas. Frequentemente tais condies se satisfazem em estruturas ocenicas. Como conseqncia obtm-se uma teoria linear. As foras a serem consideradas, em um elemento da placa, com dimenses t, dx e dy, so as que se representam na figura 4.3. Para no sobrecarregar a figura esto mostradas as foras que atuam nos lados visveis do elemento. Nas faces opostas s visveis existem as mesmas foras em sentidos opostos e sem os termos devido a variao dx e dy, conforme se v representado no canto superior direito da figura 4.4(a).

nx dy dxdy

dx

nx+

dnx dx

dx

n x+

dnx dx

dx

y dn y dy

x dy n y x+ dn y x dy dy z dn x y dx dx

ny +

n x y+

Figura 4.4(a) - Foras de membrana em um elemento de placa

9Essas

foras, denominadas de foras (que geram tenses) de membrana, esto representadas na figura 4.4, como sendo nx, ny, e nxy.

82

p dx dy m y+ dmy dy dy dmx y dx dx

mx y+

y dq dxx

x q x+ z mx + dx

dmy x my x+ dy dy

dq y dy q y+ dy

dmx dx dx

Figura 4.4(b) - Foras de flexo em um elemento de placa

4.5.

Relaes entre momentos fletores e curvaturas

Consideremos um elemento de dimenses t, dx e dy, isolado de uma placa, e representado na figura 4.5 apenas com os momentos fletores que sobre ele atuam, simplesmente para no sobrecarregar a figura.

dy

dx

t/2 y z dz d my c

a

mx x b

y

z

x

Figura 4.5 - Momentos fletores em um elemento de placa

83

Focalizemos a lmina abcd. Utilizemos: a) quarta hiptese, isto xz = yz 0 , b) segunda hiptese, isto , indeformabilidade do plano mdio. Podemos escrever10z ; rx

x =

y =

z ry

(5.1)

onde z uma coordenada perpendicular ao plano mdio deformado, medida a partir dele, e no mesmo sentido de Oz. Usando a quarta hiptese temos:E ( x + y ) 1 2

x =

(5.2)

y =

E ( y + x ) 1 2

Usando as equaes (5.1), temos

x =

Ez 1 2

1 + 1 r ry x (5.3)

y =

Ez 1 2

1 + 1 r rx y

e os momentos resultantes em cada uma das faces da figura 510A

deduo a mesma que se faz na teoria simples de vigas.

84

m x dy = t z x dydz2 2

t

(5.4)

m y dx = t z y dxdz2 2

t

Usando as equaes (5.3) e ainda a terceira hiptese,

2w 1 = 2 ; rx x

2w 1 = 2 ry y

podemos expressar x e y em funo de w nas equaes (5.4), obtendo: 2w 2w 2 + x y 2

mx =

Et 3 12 1 2

(

))

(5.5)my =

Et 3 12 1 2

(

2w 2w 2 + y x 2

Definindo mdulo de rigidez flexo11 de placas como

Et 3 D= 12(1 2 )resulta: 2w 2w 2 + m x = D x y 2

(5.6)

(5.7)

11

equivalente ao produto de rigidez EI nos problemas de fexo de vigas.

85

2w 2w 2 + m y = D y x 2

As equaes (5.7) so as desejadas relaes entre momentos fletores e curvaturas.

4.6.

Relaes entre momentos torores e curvaturaso mesmo elemento considerado no tem anterior,

Isolemos

representando-o na figura 6.1 apenas com os momentos torores que sobre ele atuam. Sobre a lmina abcd estaro presentes as tenses de cisalhamento xy e yx.

dy

dx

t/2 y z dz d c a

xy

x b

m yx

yx

m xy z

Figura 6.1 - Momentos torores em um elemento de placa Observando a figura 6.2 notamos que, se um ponto