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4.2 Modulação de Amplitude em Banda Lateral DuplaTipos de modulação em amplitude com banda lateral dupla (DSB ou Double SideBand): a) AM (Amplitude Modulation) = modulação em amplitude, padrão.b) DSB-SC (Double SideBand Supressed Carrier) = modulação DSB com supressão de portadora.
Sinais e espectro de AM
AM: a envoltória (envelope) da portadora (carrier) modulada tem a mesma forma da mensagem x(t).
Se Ac denota a amplitude da portadora não modulada, o sinal de AM produzido pelo sinal modulador x(t) será* :
sendo μ uma constante positiva denominada índice de modulação de amplitude (μ ≤ 1, ver adiante).
____________________________________________________*Alguns autores consideram uma fase constante na portadora, [cos(ωct+φ0)], a fim de enfatizar que a portadora e a mensagem provêm de
fontes independentes e não sincronizadas, contudo, isto só aumenta a complexidade da notação.
♣
x(t),
c(t),
xc(t),
4.2 Modulação de Amplitude em Banda Lateral DuplaTipos de modulação em amplitude com banda lateral dupla (DSB ou Double SideBand): a) AM (Amplitude Modulation) = modulação em amplitude, padrão.b) DSB-SC (Double SideBand Supressed Carrier) = modulação DSB com supressão de portadora.
Sinais e espectro de AM
AM: a envoltória (envelope) da portadora (carrier) modulada tem a mesma forma da mensagem x(t).
Se Ac denota a amplitude da portadora não modulada, o sinal de AM produzido pelo sinal modulador x(t) será* :
sendo μ uma constante positiva denominada índice de modulação de amplitude (μ ≤ 1, ver adiante).
____________________________________________________*Alguns autores consideram uma fase constante na portadora, [cos(ωct+φ0)], a fim de enfatizar que a portadora e a mensagem provêm de
fontes independentes e não sincronizadas, contudo, isto só aumenta a complexidade da notação.
♣
♣
________________________________________________________________________________
Nas próximas seções será mostrado que a mensagem pode ser recuperada através de detectores de envoltória. A modulação AM não é adequada para transmitir sinais DC.
Recordação: descrição de envoltória e fase
A envoltória do sinal AM é então:
tal que, xc(t) pode ser escrito como:ttAtx cc ωcos)()( = [descrição envoltória e fase, com φ(t)=0]
≥ 0
Obs:
Recordação: descrição de portadora-quadratura
Dado:
escreve-se:
sendo: e
Sinal AM:
__________________________________________________Portanto,
tem-se: e
para as componentes “em fase” e “em quadratura”, uma vez que φ(t)=0.
Como não existe componente em quadratura, significa que o espectro do sinal AM passa banda será simétrico em torno da frequência portadora, e, que o espectro do sinal equivalente passa baixa será real puro (consequentemente, hermitiano).
tttAttAtx cccc ωωω sin0cos)(cos)()( −==
(só existe a componente in phase)
(com φ(t)=0)
♣
real puro
Ambos, o espectro passa banda [xc(t)] e o espectro de sinal de mensagem [x(t)] são reais puros
_____________________________________________Observação:
Caso a mensagem x(t) não esteja normalizada (não obedeça a | x(t) |≤1), isto é, se
x(t)=Am v(t) [como, por exemplo, x(t) = Am cosωm(t), para modulação de tom]
para | v(t) |≤1 e Am qualquer (inclusive Am > 1), então, para uma portadora:
c(t)=Ac cosωc(t), para Ac qualquer (inclusive Ac > 1),
o sinal modulado em AM pode ser escrito como
sendo
o índice de modulação.
Esta representação está de acordo com a usada nas aulas de laboratório (kits da DEGEM Systems).
Será mostrado adiante que o índice de modulação μ (ou m) depende apenas do circuito modulador. #
ttmvAttvAAA
ttvAtAttxtAttxtctx
cccc
mc
cmccccccc
ωω
ωωωωω
cos)](1[cos)](1[
cos)(coscos)(coscos)()()(
+=+=
+=+=+=
c
m
AAm =
♣
_________________________________Na Fig. 4.2-1 apresentam-se a mensagem e o sinal de AM para dois valores de μ: i) μ <1 e ii) μ >1.
A condição fc>>W será discutida adiante.
i) A condição μ ≤ 1 assegura que Ac[1+μx(t)] não se torne negativo.
Com 100% de modulação (μ = 1), a envoltória varia entre Amin= 0 e Amax = 2Ac.
ii)
A sobre-modulação (μ > 1) causa reversão de fase e distorção da envoltória.
Não é possível usar detector de envoltória.
|x(t)|≤1
♣
O caso μ = 0 corresponde à portadora não modulada.
Discute-se primeiramente a condição μ ≤ 1 .
_____________________________________________Analisando no domínio da frequência, a TF de (4.2-1) conduz a
na qual apenas a metade do espectro, em frequência positiva de Xc(f), está apresentada.A metade em frequência negativa será uma imagem hermitiana de (4.2-4), pois xc(t) é um sinal passa banda real.
O espectro AM consiste de impulsos na frequência portadora e de bandas laterais simétricas centradas em ±fc.
A largura de banda de transmissão de AM é:
USBLSB
fc
♣
já que o espectro de AM é hermitiano
W é a largura de banda do sinal de ↔mensagem x(t)
_____________________________________________________________
A envoltória reproduz a forma de x(t) somente se:
*A condição fc>>W assegura que a portadora oscila rapidamente comparada com a variação temporal de x(t).
↔
−fc−W −fc −fc+W fc−W fc fc+W
Xc(f)espectro do sinal
modulado
♣
Discute-se agora a condição fc>>W.
_____________________________________________________________
A envoltória reproduz a forma de x(t) somente se:
*A condição fc>>W assegura que a portadora oscila rapidamente comparada com a variação temporal de x(t).
↔
−fc−W −fc −fc+W fc−W fc fc+W
Xc(f)espectro do sinal
modulado
♣
Discute-se agora a condição fc>>W.
_____________________________________________________________
A envoltória reproduz a forma de x(t) somente se:
*A condição fc>>W assegura que a portadora oscila rapidamente comparada com a variação temporal de x(t).
↔
*Caso contrário, se fc≈W (ou menor), a envoltória poderia não reproduzir o sinal de mensagem com perfeição:
↔
Devido a sobreposição espectral a envoltória fica distorcida!
Am
plitu
de Actual envelopeErroneous envelope
−fc−W −fc −fc+W fc−W fc fc+W
−fc−W −fc −fc+W fc−W fc fc+W
Xc(f)
Xc(f)ocorre sobreposição
espectral
espectro do sinal modulado
0
♣
Discute-se agora a condição fc>>W.
_____________________________________________________________
A envoltória reproduz a forma de x(t) somente se:
*A condição fc>>W assegura que a portadora oscila rapidamente comparada com a variação temporal de x(t).
↔
*Caso contrário, se fc≈W (ou menor), a envoltória poderia não reproduzir o sinal de mensagem com perfeição:
↔
Devido a sobreposição espectral a envoltória fica distorcida!
Am
plitu
de Actual envelopeErroneous envelope
−fc−W −fc −fc+W fc−W fc fc+W
−fc−W −fc −fc+W fc−W fc fc+W
Xc(f)
Xc(f)ocorre sobreposição
espectral
espectro do sinal modulado
0
♣
Discute-se agora a condição fc>>W.
Potência média transmitida:
A potência média transmitida pelo sinal de AM é calculada por:
(*) A média da segunda parcela é igual a zero para a condição fc>>W (envoltória varia lentamente).
(**) O valor médio (a componente DC) do sinal aleatório de mensagem é nulo: .
(Isto é corroborado pela discussão que será realizada na Seção 4.5, onde se informa que um sistema AM não é prático para transmitir sinais com levado conteúdo de baixa frequência, ou seja, próximo a DC.)
{ }`2 2 2 2 2[1 ( )]cos [1 2 ( ) ( )]cosc c c cA x t t A x t x t tμ ω μ μ ω= + = + +
22cos1)]()(21[ 222 ttxtxA c
cωμμ +×++=
0)( =tx
(*)(**)
*área igual ≈ 0
Áudio signal
t
♣Obs:
{ }`2 2 2 2 2[1 ( )]cos [1 2 ( ) ( )]cosc c c cA x t t A x t x t tμ ω μ μ ω= + = + +
22cos1)]()(21[ 222 ttxtxA c
cωμμ +×++=
0)( =tx
(*)(**)
*área igual ≈ 0
t
♣
xStx =)(2
Potência média transmitida:
A potência média transmitida pelo sinal de AM é calculada por:
(*) A média da segunda parcela é igual a zero para a condição fc>>W (envoltória varia lentamente).
(**) O valor médio (a componente DC) do sinal aleatório de mensagem é nulo: .(Isto é corroborado pela discussão que será realizada na Seção 4.5, onde se informa que um sistema AM não é prático para transmitir sinais com levado conteúdo de baixa frequência, ou seja, próximo a DC.)
(***) Além disso, observa-se que a potência média da mensagem é: .
Portanto,
Obs:
Obs:
1)( ≤txμ 1)()( 22222 ≤== xStxtx μμμ
=≤= ccxcsb PASAP211
41
41 222μ csb PP
21≤
TccTccTsbTcsbcsb SPPSPPSPSPPPP ≥−≥−≥−−≥−≤ 2222
TsbsbTsbcsb SPPSPPP212)2(
21
21 ≤−≤≤
pois μ ≤ 1 e ⏐x(t)⏐≤ 1 pois μ ≤ 1 e Sx ≤ 1
cP
♣
xStx =)(2
Potência média transmitida (continuação):
Portanto, ,
a qual pode ser rescrita como:
onde ,
sendo: Pc = potência da portadora não modulada, pois ST = Pc quando μ = 0 ;Psb = potência de cada banda lateral (side band).
Quando μ≠0 (para μ≤1), ST consiste da potência da portadora mais duas bandas laterais simétricas.
__________________________________
A restrição de modulação: exige que , e daí
Com isso
Também:
cPEm resumo:
e
Consequentemente, pelo menos 50% da potência total transmitida reside no termo da portadora, a qual não se relaciona com a mensagem x(t) e, portanto, não contém nenhuma informação.
Equivalentemente, cada banda lateral contém menos de 25% da potência total transmitida!
♣
Sinais e espectro DSB-SC (ou DSB)
O desperdício de potência em AM pode ser eliminado ajustando-se μ=1 e suprimindo a componente de frequência da portadora não modulada.
Este tipo de modulação é chamada de DSB-SC, “banda lateral dupla com portadora suprimida” (double-sideband-supressed carrier modulation), ou DSSC, ou ainda, simplesmente DSB:
A envoltória assume a forma de |x(t)|, em vez de simplesmente x(t).
A forma de onda modulada sofreuma reversão de fase sempre quex(t) cruza o zero.
A informação do sinal não reside mais na envoltória.
Conforme se observa, a envoltória e a fase de xc(t) são dadas por:
Obs: AM
♣
descrição de envoltória-fase
A transformada de Fourier de (4.3-9) gera:
informando que o espectro DSB é semelhante ao espectro de AM, porém, sem os impulsos da portadora não modulada.
A supressão da portadora insere toda a potência média transmitida nas bandas laterais, conduzindo a:
a qual se aplica mesmo quando x(t) inclui uma componente DC.(Como DSB não usa detecção de envoltória na demodulação*, ela é adequada para transmissão de DC.)
Espectro de mensagem Espectro DSB
_______________________________________________
_______________________________________________*Obs: como a envoltória DSB não é proporcional ao sinal de mensagem, será mostrado adiante que a recuperação do
sinal não pode ser realizada por simples detecção de envoltória. O processo empregado é mais complicado, envolvendo um procedimento chamado de detecção síncrona.
LSB = Lower sidebandUSB = Upper sideband
e
♣
Transmissores práticos impõem um limite no pico de potência da envoltória, !!
Considere-se o estudo da razão sob condições de máxima modulação (μ = 1):
Modulação AM Modulação DSB
a) DSB: usando-se Amax=Ac em (4.2-11), ie, em: ,
obtém-se, para uma única banda lateral:
b) AM: para μ=1 e Amax= 2Ac em (4.2-7), ie, em: =
obtém-se, para uma única banda lateral:
Resumo:
informando-se que, se for fixado e os demais fatores forem iguais para AM e DSB, um transmissor DSB produz quatro vezes a potência útil (Psb, a qual contém a informação) de um transmissor de AM.
2maxA
2max/ APsb
2maxA
para condição de máximo pico de potência no transmissor
a fim de se evitar ruptura dielétrica devido ao pico elevado
2 2max/ / / 4sb sb c xP A P A S= =
2 2max/ / (2 ) /16sb sb c xP A P A S= =
2 21 1 (2 )4 4 c xA Sμ
♣
considerar μ=1
multiplicar e dividir por 4=22
2maxA
21
222cos1cos
2222 ==
+== mm
mmmxAtAtAS ωω
____________________________________________
4// 2max xsb SAP =
kW1,5kW321
21 =≤= Tsb SP
kW1kW881
81
21
41
41 2
max2max
2max =≤=== AAASP xsb
(limite estabelecido pelo pico de potência)
(limite do pico/potência)
(limite de potência do transmissor)
Exemplo 4.2-1: Considere-se um rádio transmissor com valores nominais ST ≤ 3 kW e ≤ 8 kW.
O sinal modulador é um tom com Am=1, tal que: .
a) Se o modulador é DSB, a máxima potência possível por banda lateral, Psb, é igual ao menor dos valores determinados por:
e (4.2-12): (12)
Ou seja, o menor entre:
e
Portanto, o limite superior é Psb=1 kW.
b) Se o modulador for AM com μ=1 (continua...)
♣
Exemplo 4.2-1: (continuação) ST ≤ 3 kW e ≤ 8 kW.
b) Se o modulador for AM com μ=1, então, (4.2-12) exige que(12)
ou seja:
A fim de avaliar a limitação de potência do transmissor, recorre-se a (4.2-7), ou seja:
e observa-se que:
tal que
Assim, de ST ≤ 3 kW:
O limite do pico de potência novamente domina, e a potência máxima de banda lateral é Psb=0,25 kW.
c) Conclusão: DSB → limite superior Psb= 1 kW.AM → limite superior Psb= 0,25 kW.
Como a distância de cobertura de transmissão é proporcional a Psb, com o mesmo transmissor, o comprimento de enlace AM seria apenas 25% do comprimento de enlace DSB. #
16// 2max xsb SAP =
kW0,25kW8321
21
161
161 2
max2max =≤== AASP xsb (limite do pico/potência)
12xS =
21 11 42 2 4
csb c c sb
PP P P P= = =
sbsbsb PPP 624 =+=
kW0,5kW361
61 =≤= Tsb SP (limitação pelo transmissor)
12xS =
2maxA___________________________________________
♣
)(txc
Modulação de Tom e Análise Fasorial
Ajustando-se x(t)=Amcosωmt em (4.2-9), ie, em: , (9)
obtém-se a forma de onda DSB modulada em tom:
A forma de onda AM modulada em tom é obtida de (4.3-1), isto é, de
(1)
gerando:
Espectro de linhas (unilateral, apenas para f > 0):
♣
Portanto, DSB e AM modulados por tom podem ser interpretados como a soma de fasores ordinários.Por exemplo, para AM:
com envoltória:
Então, para tom x(t)=Amcosωmt : )(2
cos)( tjtjcmcmcmc
mm eeAAAtAAAtA ωωμωμ −++=+=
2mAμ
2mAμ
(para f = fc, implícito)
__________________________________________________
se proporciona informações sobre os comportamentos da envoltóriae da fase no tempo
Cada linha corresponde a um fasor girante.
♣
*
*t
Sinal AM, xp(t)
Envoltória, A(t)
Ac
Envoltória de AM: soma de fasores ordinários
•Eixo real
Eixo imaginário
0
♣
Obs:
A análise fasorial (tom) é útil para estudar os efeitos de distorção na transmissão, interferência, etc.
Exemplo 4.2-2: AM e análise fasorial
Seja o caso da modulação de tom em AM, com μAm = 2/3.
Cada banda lateral terá magnitude: →
Diagrama fasorial:
A soma fasorial corresponde à descrição de envoltória e fase:
a qual é proporcional à mensagem x(t)=Amcosωmt . A(t) ∝ x(t), a menos de um bias DC
_____________________________________________A seguir, supõe-se que o canal de transmissão remova completamente a banda lateral inferior do sinal AM.
(continua...)
332
22ccmc AAAA ==μ
(para f = fc)
0)(),cos321()( =+= ttAtA mc φω
)(2
cos)( tjtjcmcmcmc
mm eeAAAtAAAtA ωωμωμ −++=+=____________________________________________
23
cm c
AA Aμ =
♣
Exemplo 4.2-2: AM e análise fasorial (continuação...)
Se o canal de transmissão remover completamente a banda lateral inferior:
Neste caso, a descrição de envoltória e fase conduz a:
Observa-se claramente o efeito de distorção da envoltória, a qual não é mais proporcional ao sinal de mensagem x(t)=Amcosωmt . [A(t) não é proporcional a x(t)] #
(para f = fc)
(para f = fc)
tttgtm
m
ωωφ
cos3sin)( 1
+= −
332
22ccmc AAAA ==μ
(Este tipo de sinal sofreu modulação SSB)
esta linha será removida
( ) ( )2
m mj t j tm cc
A AA t A e eω ωμ −= + +
♣)(
2cos)( tjtjcm
cmcmcmm eeAAAtAAAtA ωωμωμ −++=+=
