4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”DensidadeFSejameduasvariáveisaleatóriasindependentes.EntãoavariávelaleatóriaapresentaumaDensidade“F“comv1grausdeliberdadenonumeradorev2grausdeliberdadeno

denominadordadapor:Onde.Parâmetros:v1,v2sãointeirosposiKvos.

( )211 v~Y χ ( )

222 v~Y χ

22

11

v/Yv/Y

F =

( )( ) ( )

( )2111

21

2

112

2

2

1

21

21

21 122

2vvv

v

vxv

xvv

/v/v

vv

v,v;xf+−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΓΓ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +Γ

=

∞<< x0

4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”

MédiaeVariância:Exercíciosparacasa:i)Mostrequeamodadeédadapor

( ) 22 2

2

2 >−

= vparavv

XE

( ) ( )( ) ( )

44222

22

221

21222 >

−−

−+== vpara

vvvvvv

XVar σ

( )21 v,v;xf ( ) ( )22 2112 +−= vv/vvF*

4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”ii)Com,mostrequeémonotönicamentedecrescente.Observaçõesa)  Comoumavariávelaleatóriacomdistribuiçãotcomvgraudeliberdade

éobKdacom

,então.b)AstabelascomresultadosparaadistribuiçãoF,emgeral,informamo

valorde“c”talque

21 =v ( )21 v,v;xf

( ) 210 v~Ye,N~Zonde,v/Y

Zχ ( )n,F~Tv 12

( ) ( ) α==≥ ∫∞

cFv,v dxv,v;xfcFP 2121

4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”

paradiferentesvaloresdosparâmetrosevaloresdeα(porexemplo,0.01,0.025,0.05).

Aplicação:

( ) 323050 11510 ,c,cFP ,; =⇒=≥

( ) 635010 22510 ,c,cFP ,; =⇒=≥

5.EsKmaçãoPontual

(M.caps.6,7e8;B.eC.cap.7)

5.EsKmaçãoPontual

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores5.2MétodosdeEsKmação-MínimosQuadrados-Máxima-Verossimilhança-MétodosdosMomentos

5.1DefiniçõeseCaracterísKcasdeEsKmadores

ComcaracterísKcapopulacionalapresentandodensidade,ondeΘrefere-seaumparâmetroouconjuntodeparâmetros,entãoaspropriedadesestabsKcasdestacaracterísKcadeinteressedependedeinformaçõessobre.Aobtençãodestasinformações,porsuavez,podeserlevadaaefeitobasicamentededuasformas.

Deformanão-paramétrica:ConhecimentodesemconsiderardiretamenteesKmaKvasparaΘ.Ex.:esKmaçãodeumafunçãoKernel.Deformaparamétrica:AparKrdaesKmaçãodosparâmetrosdeΘde.

( )Θ;xf

( )Θ;xf

( )Θ;xf

( )Θ;xf

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

IdéiageraldaesKmaçãoparamétrica:ObterumaesKmaKvadeΘoudeumafunçãot(Θ)doparâmetroaparKr

doconhecimentodeumarealizaçãoouresultadodeumaamostraaleatória,.

EsKmadorPontualSejaumaamostragemaleatóriadeumapopulaçãoquegera

umaamostradetamanhon.AestabsKcaouvetordeestabsKcas,cujosvaloressãousadosparaesKmarparâmetrosoufunçõesde

parâmetros(Θ)oufunçãodeparâmetros(q(Θ))échamadoumesKmadorpontual.

Notação::esKmadorΘouq(Θ):esKmando:esKmaKva

( )nX,...XX 1=

( ),X,...X,X n1

nx,...x1( )XtT =

( )XtT =

( )xt

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Ex.5.1:Amostragemaleatóriadetamanho10deumapopulaçãocommédiaµe

variânciagerouaseguinteamostra:(1,3,0.5,2,3,1.5,2,2,1,3).Então,nestecaso,podeserumesKmadorparaµ(=Θ)::es1madorµ(=Θ):es1mando:es1ma1vaQuestão:comoescolherentreestabsKcasumesKmadorparaΘΘout(Θ)?

2σ

10X

∑=

−=n

iin XnX

1

1

( )31225132503110 1 +++++++++− ..

( )XtT =

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Comotambéméumavariávelaleatória,aavaliaçãodesuaspropriedadeséfeitaconsiderandosuadistribuiçãoamostralparaocasodeamostrasfinitasoubaseando-seemdistribuiçõesassintóKcas(propriedadesparaamostrasfinitasintratáveisouinexistênciademomentos)

a)AmostrasFinitasErroQuadradoMédio(EQM):OErroQuadradoMédiodeumesKmadorTdeΘédefinidocomo:,ondeindicaqueovaloresperadoéobKdousandoovalorparKcularΘparao(s)parâmetro(s).

( )XtT =

( )2Θ−= Θ TEEQM

ΘE

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

ÉpossívelperceberqueoEQMinformatantoarespeitodadispersãonadistribuiçãoamostraldeT,comoarespeitododesviodovaloresperadodeTemrelaçãoaΘ.Antesdemostraresteresultado,estaúlKmaidéiadeveserpostamaisformalmente.

ViésdoEsKmador:OviésdeumesKmadorTdeΘédefinidocomo:Assim,dadefiniçãodeEQM(etomandoTcomoescalar):

( ).TEViés Θ−= Θ

( ) ( ) ( )[ ] =Θ−+−=Θ−= ΘΘΘΘ22 TETETETEEQM

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]=Θ−+Θ−−+−= ΘΘΘΘΘ22 2 TETETETTETE

( )( ) ( )( )[ ]=Θ−+−= ΘΘΘ22 TETETE

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

=,ouseja,amedidaEQMpenalizaoesKmadorcommaiorvariânciaeou

commaiorviés.Ex.5.2(M.c.7):esKmadoresde.ConsidereosesKmadoresdedeumapopulaçãocomdistribuição

Normal:eObtenhaosEQM.Sabemosque,assim:

( )( ) ( )( )[ ]22 Θ−+−= ΘΘΘ TETETEEQM ( ) ( )TViésTVar 2ΘΘ +

2σ2σ

( )2

1

12 ∑=

− −=n

iin XXnS ( ) ( ) 2

2

1

12

11 n

n

ii S

nnXXnˆ−

=−−= ∑=

−σ

( ) 22 1σ

nnSE n−

=

( ) ( ) 2222 111

σσσ =−

−=

−=

nn

nnSE

nnˆE n

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Alémdisto,,oquepermiteobter:.Comtaisresultados,eLogo:

( ) ( ) 42

2 12σ

nnSVar n−

=

( )( )

( ) 4422

222

1212

11σσσ

−=

−

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=nn

nnnS

nnVarVar n

( ) ( ) ( ):SViésSVarSEQM nnn2222

ΘΘ +=

( ) ( )( )2

2222222 1⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=−= σσσ

nnSESViés nn

( ) ( ) 42

2 12σ

nnSVar n−

=

( ) ( )=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−+

−=

2224

22 112

σσσnn

nnSEQM n

( ) ( ) ( ) 422

424424

2

1212112σ

σσσσ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−−+

−=

nn

nnnnn

nn

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

,jáque.Finalmente,épossívelnotarque:Note-sequetemmenorEQM,emboratenhamaiorviés:hátrade-off

aquientreviésevariância.Noexemploacima,foipossíveluKlizaroEQMcomocritériodeescolha

entredoisesKmadoresindependentementedosvaloresdoparâmetrooudotamanhodaamostra,oquenemsempreéocaso.

( ) ( ) ( )=+= 2222 σσσ ˆViésˆVarˆEQM

( ) ( )1

21

2 4222

42

−=−+

−=

nnˆEQM σ

σσσ

σ ( ) 22 σσ =ˆE

( ) ( )2442

2

1212

σσσ ˆEQMnn

nSEQM n =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

<⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

2nS

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Ex.5.3(M.c.7):Considereumaamostra,derivadadeumapopulaçãoaocom

densidadedeBernoulli.Assim,osvaloresdaamostraserãotaisque.ConsideretambémdoisesKmadoresparaoparâmetrodesconhecidop:ObtenhaoEQMparaestesesKmadoresaparKrdesuasvariânciaseviés.i)Tjáquepois

( )nX,...X,X 1

( ) ( ) ( ) ( )xIppp;xfexoux ,xx

ii 101101 −−===

( ) ∑∑=

−

=

− +===n

ii

n

iin Xn*TeXnXT

1

1

1

1 1

( ) ( ) ( ) 01

1

1

1

1 =−=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−= −

=

−

=

− ∑∑ pnp.npEXnpXnpXETViésn

ii

n

iin

( ) pXE i =

( )( ) ( ) ( )

npp

npnp

n

XVarXnVarTVar

n

iin

ii

−=

−==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=∑

∑ =

=

− 1122

1

1

1

( ) ( )ppXVar i −= 1

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Assim,ii)T*

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ppppTViésTVarTEQM2510

251 22 −

=−−

=+=

( ) ( ) ( ) =−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+= −

=

−

=

− ∑∑ pp.nnnnpEXn

nnpX

nnpXnE*TViés

n

ii

n

ii

1

1

1

1

1

1111

!

261ppp.

nn −

=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

( ) ( )( )

( ) ( )( )21

21 1

111

11 +

−=

+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

= ∑∑== n

pnpXVarn

n/XnnVarX

nnVar*TVar

n

ii

n

ii

!

( )( )

( )0427

1261252 ,

pppp −=

−=

( ) ( ) ( ) ( )2

22

2604271 p,ppTViésTVar*TEQM +

−=+=⇒

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Finalmente,teremoseAcomparaçãoentreosdoistermosilustraumadificuldadedocritériodo

EQM:emgeral,comodependedosparâmetros,ocritérionãopermiteobterum“melhor”esKmador.

FazendoNota-sequeRcrescemonotônicamentecomp,éiguala0,9246parap=0e

divergeparainfinitoquandoptendea1

( ) ( )251 ppTEQM −

= ( ) ( )2

2

2604271 p,pp*TEQM +

−=

( )( )

( )

( ) ( ) ( )p/p,,p/p,pp

p,pp

TEQM*TEQMR −+=−+=

−

+−

== 137009246012625

042725

251

2604271

2

2

2

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

ComoocritériodoEQMnãopermitesempreselecionarummelhoresKmador,faz-seusoderestriçõesadicionaisassociadasàsnoçõesdeesKmadornão-viesadoelinearidadedoesKmador.

EsKmadorNão-ViesadoUmesKmadorTéditoumesKmadornão-viesadodeΘ(oudeq(Θ))se.Caso,TéditoesKmadorviesado

deΘ.Ex.5.3:MédiaamostralevariânciaamostralSejaumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocommédiaµe

variância.Mostre:a)éesKmadornão-viesadodeµb)éesKmadorviesadode

( ) ( ) ( )( )Θ=Θ= ΘΘ qTEouTE ( ) Θ≠Θ TE

( )nX,...X,X 1

∞<2σ∑=

−=n

iin XnX

1

1

( )2

1

12 ∑=

− −=n

iin XXnS ∞<2σ

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

c)éesKmadornão-viesadodePeloTeorema4.6,foimostradoque,logo

( )2

1

2

1∑=−

−=

n

iin XX

nnS ∞<2σ

( ) ( ) 22 1σµ

nnSEeXE nn−

==

( ) viesadonãoéXXE nn −⇒=− 0µ

( ) viesadoéSnn

nnnnSE nn

22222

2222 01⇒≠

−=

−−=−

−=−

σσσσσσσ

( ) ( ) 0111

222222 =−−

−=−

−=− σσσσ

nn

nnSE

nnSE nn

( ) ( )

2

1

2

1

2

22

111σdeviesadonãoestimadorén

XX

n

XX

nnS

nnS

n

ii

n

ii

nn

−

−

−=

−

−=

−=⇒

∑∑==

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Deveserevidentequeaqualidadedenão-viesadonadainformaarespeitodoquãodispersoemtornodoparâmetroestãoospossíveisvaloresdoesKmador.

EsKmadorNão-ViesadodeVariânciaMínima(MVUE)UmesKmadorTéditoesKmadornão-viesadodevariânciamínimado

parâmetroΘseTénão-viesadoeparatodovalordeΘequalqueresKmadornão-viesadoT*.

Ex.5.4(baseadoemB.eC.c.7):Sejaumaamostraaleatória,deumapopulaçãocomdistribuição

dePoisson(λ),econsiderecomoesKmadoresdoparâmetroλ.QualdestesesKmadoresdeveseropreferido?

( ) ( )*TVarTVar ΘΘ ≤

( )nX,...X,X 1

2

1 nn SnneX ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Comoésabido,paraadensidadedePoisson,Comaamostraaleatória,seguetambémque

eOquesignificaquesãoesKmadoresnão-viesadosdeλ.Jávimosque.Alémdisto,com

2

1 nn SnneX ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

( ) ( ) λσλµ ==== 2XVareXE

( ) λµ ==XE! ( ) λσ =

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

222 1111 nn

nnSE

nnS

nnE nn

( ) ( ) n/XVarn/XVar λσ =⇒= 2

( ) preferidoestimadoréXSnnVarn/XVar nnn ⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

<= 22

1σ

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

EsKmadorLinearNão-ViesadodeVariânciaMínimaouMelhorEsKmadorLinearNão-Viesado(BLUE)

UmesKmadorTdeumaparâmetroΘéditomelhoresKmadorlinearnão-viesadodesteparâmetrose:

i)Téfunçãolinear:ii):Ténão-viesadoiii)Ttemvariânciamínima(oumenormatrizdecovariâncianocasodeT

servetor)entreosesKmadoresnão-viesadosquesãofunçõeslinearesdeX

Onde:A=vetor(Tescalar)oumatriz(Tvetor)b=escalar(Tescalar)ouvetor(Tvetor)

bAXT +=

( ) Θ∀Θ=Θ ,TE

[ ]'X,..........XX n,1=

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

ComoumesKmadorBLUEtemmínimavariânciaentreosesKmadoreslinearesnão-viesados,eleéditoeficientedentrodestegrupodeesKmadores.

Ex.5.6(M.c.7)Sejaumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocomdensidadeapresentandomédiaevariância.Qualo

esKmadorBLUEdamédia(µ)dadistribuiçãopopulacional?-Linearidade:-Não-viesado:

( )nX,...X1( )Θ;zf ( )Θ= 1qµ ( )Θ= 2

2 qσ

( ) bXaXt i

n

ii +=∑

=1

( )( ) ( ) babXEabXaEXtEn

iii

n

iii

n

ii +=+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⇒= ∑∑∑=== 111

µµ

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Então,para,deve-seter:Ouseja,.-Variânciamínima:

Poisaamostraéaleatória(Xisãoiid).Paraobterosvaloresdeaideve-se,agora,minimizar

( )( ) µ=XtE 011

==∑=

bean

ii

( ) babXEabXaEn

iii

n

iii

n

ii +=+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ + ∑∑∑=== 111

µ

( ) i

n

ii XaXt ∑

=

==1

( )( ) ( )nni

n

ii Xa.........XaVarXaVarXtVar ++=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑=

111

( ) ( ) ∑=

=++=n

iinn aXVara.....XVara

1

2221

21 σ

∑=

n

iia

1

22σ

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Ouseja,Taiscondiçõesindicamqueosaidevemseriguaiseque:Ouseja,.Destaforma,oBLUEdeµédadopor:

⇒=∑∑==

111

22

1

n

ii

n

ii

a,....aaasujeitoamin

n

σ

1

1021

1

2

11

22

=

==−⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=∑∑∑=

==

n

ii

in

ii

n

ii a

n,....,ia\aaL

λσλσ

n/anaan

ii 111

1=⇒=⇒=∑

=

n/a....aa n 121 ====

( ) ni

n

iXX

nXtT === ∑

=1

1

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

PropriedadesAssintóKcasQuandoaspropriedadesparaamostrafinitassãodiqceisdeseremobKdas

oumesmoimpossíveisdevidoainexistênciademomentos,aescolhaentreesKmadoresdeveserbaseadanadistribuiçãoassintóKcadosesKmadores.

EsKmadorConsistente:UmesKmadorTnéditoumesKmadorconsistentedoparâmetroΘsee

somenteseparatodoΘ.Ouseja,consistênciadoesKmadorexigeconvergênciaemprobabilidade

paraovalordoparâmetro:

Θ=Θ nTlimp

( ) 1=<Θ−∞→ εnn TPlim

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Ex.5.6:Consistênciade.Sejaumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocomdensidade

com.MostrequeoesKmadordeµéconsistente.

Primeiro,note-squeénão-viesado:Paraaconsistência,énecessárioque:PelaDesigualdadedeChebyshev,sabe-seque:ou,fazendo:

nX

( )nX,...X1 ( )Θ;zf( ) ( ) ∞<== 2σµ ZVareZE nX

nX

( ) ( ) µµµ === −

=

− ∑ n.nXEnXEn

iin

1

1

1

( ) .,XPlim nn 01 >=<−∞→ εεµ

( ) 21 k/kXPnXn ≤≥− σµ εσ =

nXk ( )

2

2

1ε

σεµ nX

nXP −≥<−

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Com,E,assim,éumesKmadorconsistentedeµ.Observações:i)SãocondiçõessuficientesparaaconsistênciadeumesKmadorofato

delenãoserviesadoetersuavariânciaconvergindoparazero.Taiscondiçõessuficientesparaaconsistênciaestãoassociadasaofatode

queConvergênciaemQuadradoMédioImplicaemConvergênciaemProbabilidade(e,assim,consistência)

( )2

2

1ε

σεµ nX

nXP −≥<−

n/nX

22 σσ =

( ) oun/

limXPlim nnn 112

2

=−≥<− ∞→∞→ε

σεµ

( ) 1=<−∞→ εµnn XPlim

nX

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

ConvergênciaemQuadradoMédio:UmasequênciadevariáveisaleatóriasconvergenoQuadradoMédio

paraumavariávelaleatóriaYse.Notação:Comofoivisto,oEQMpodeserexpressocomo:Oquepermitenotarqueasseguramque

{ }nY

[ ] 02 =−∞→ YYElim nn

.YY mn ⎯→⎯

[ ] ( ) ( )[ ]22 YYEYVarYYEEQM nnn −+=−=

( ) ( )[ ] 00 2 =−= ∞→∞→ YYElimeYVarlim nnnn

[ ] 02 =−= ∞→∞→ YYElimEQMlim nnn

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Destaforma,seéumesKmadornão-viesadodeY,ouseoviésconvergeparazero,eavariânciadeconvergeparazeroquandon→∞,entãotalesKmadorconvergenoErroQuadradoMédio.

Paraseperceberqueimplica(convergênciaem

probabilidade)e,assim,demonstraravalidadedaobservaçãoanterior,éúKl,maisumavez,aDesigualdadedeMarkov.

NestesenKdo,lembre-se(pelaDesigualdadedeMarkov)que:,ondeg(x)éumafunçãoqueassumevaloresnão-negaKvos.Fazendo

nn YT =nT

Θ⎯→⎯mnT Θ=nTlimp

( )( ) ( )( ) 0>≤≥ a,a/xgEaxgP

( ) ( ) :aeYYxg n 022 >=−= ε

( )( ) ( ) 2222 εε /YYEYYP nn −≤≥−

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Notandoque,épossívelfazer:ParaaConvergêncianoQuadradoMédio,oque,deacordocomoresultadoacima,implica:

( )( ) ( ) 2222 εε /YYEYYP nn −≤≥−

( )( ) ( )εε ≥−=≥− YYPYYP nn22

( ) ( ) ou/YYEYYP nn22 εε −≤≥−

( ) ( ) 221 εε /YYEYYP nn −−≥<−

( ) 02 =−∞→ YYElim nn

( ) ,sejaou,,YYPlim nn 01 >∀=<−∞→ εε YYlimp n =

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

ii)EsKmadorpodeserconsistentemesmoquando:ou.Ouseja,consistênciaestáassociadaàconvergênciadadensidadeemtono

dovalordoparâmetroenãonecessariamenteàconvergênciadovaloresperado.

Ex.5.7:ConsidereadensidadedeumesKmadordadapor,ouseja,ovalordoesKmadortemdensidadediferentedezeropara.

( )( )0≠nTEviesadoÉnT

( ) Θ≠∞→ nn TElim

( ) { }( ) { }( )nnnn tIn

tIn

;tf 111 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Θ Θ

ntout nn =Θ=

5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores

Assim,e.Contudo,note-seque:.Então,,ouseja,éumesKmadorconsistentedeΘ.

( ) { }( ) { }( )nnnn tIn

tIn

;tf 111 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Θ Θ

( ) Θ≠+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Θ=

n.n

nTE n

111

( ) Θ≠⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Θ= ∞→∞→

n.n

nlimTElim nnn

111

( ) ( ) 1110 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Θ===Θ− ∞→∞→∞→n

limtPlimtPlim nnnnn

( ) 1=<Θ−∞→ εnn tPlimnT