4.Predavanja FIZ I

7/25/2019 4.Predavanja FIZ I

http://slidepdf.com/reader/full/4predavanja-fiz-i 1/15

RAD I ENERGIJA

Rad je definiran kao savladavanje sile na određenom putu.

Sila koja djeluje na tijelo mijenja mu brzinu ili kompenzira djelovanje drugih sila kojedjeluju suprotno gibanju ili oboje.

Najjednostavniji je primjer pravocrtno gibanje tijela pod utjecajem stalne sile kojadjeluje u smjeru pravca gibanja (brzine) tijela. Rad je tada jednak umnošku sile iprijeđenog puta:

Fs W = …(4.1)

Ako stalna sila F ne djeluje na tijelo u smjeru puta, nego pod kutom ϑ prema putu(slika 4.1), tada samo komponenta sile u smjeru puta F s , vrši rad. Uz pretpostavku da

je F s = kons., izvršeni rad je:

ϑ== cosFs s F W s …(4.1a)

Slika 4.1 Prikaz definicije rada

Rad je skalarna veličina koja može biti pozitivna ili negativan.

- rad je pozitivan kada je 0<ϑ<π /2- rad je nula, za ϑ=π /2-

rad je negativan za π /2<ϑ<π Tako je pri jednolikom kružnom gibanju sila stalno okomita na put i ne obavi senikakav rad.Rad sile trenja je negativan jer je smjer sile trenja suprotan smjeru gibanja.Pri padanju tijela sila teže je u smjeru gibanja, pa je rad sile teže pozitivan.

Razmotrimo slučaj kada se čestica giba uzduž krivocrtne trajektorije od A do B podutjecajem promjenljive sile F (slika 4.2).

Projekcija sile na tangentu na putanju F s nije na čitavom putu konstantna, već je

funkcija puta s i može se prikazati kao na slici 4.3.



Slika 4.2 Rad promjenljive sile

Slika 4.3 Izračunavanje rada pomoću F s - s dijagrama

Da bismo izračunali rad ukupan put s podijelimo na male dijelove ∆s i . Ako je podjelana elementarne dijelove ∆s i dovoljno fina, tada će sila F s duž pojedinog ∆s i bitigotovo stalna, te je rad sile na tom djeliću jednak površini uskoga pravokutnika naslici 4.3.

i si i s F W ∆≈∆ …(4.2)

Ukupni je rad jednak graničnoj vrijednosti zbroja svih radova ∆W i kada širina svihintervala ∆s i teži prema nuli.



∑ ∫=

→∆=∆=

∞→

n

i

B

A

s i si s

ds F s F W n

i 10

lim …(4.3)

Da bismo riješili ovaj integral potrebno je poznavati silu kao f-ju prostornih

koordinata(npr. x,y i z) i jednadžbu putanječ

estice.Rad se može odrediti i grafički u dijagramu kojem je ordinata projekcija sile u smjeruputa (F s ) a apscisa put s. Sa slike 4.3 jasno se vidi da je rad jednak površini ispodkrivulje F s (s ), tj. površini lika omeđenog krivuljom F s , apscisom i ordinatama u A i B.

Kada se čestica pod djelovanjem sile F pomakne za ds , rad je: dW = F ds cos ϑ=F s ds

Budući da je iznos elementarnog pomaka r d r

jednak elementarnom putu ds,

možemo elementarni pomak r d r

pisati i kao s d r

( r d r

= s d r

).

Elementarni rad je dakle jednak umnošku elementarnog pomaka (puta) i elementarnesile na pravac pomaka.Sila i pomak su vektorske veličine, a rad je skalarna veličina. Takav produkt dvavektora čiji je rezultat skalarna veličina, zove se skalarni produkt .

Ako se prisjetimo da je skalarni produkt vektora a r

i b r

jednak je umnošku iznosa obajuvektora i kosinusa kuta među njima, odnosno umnošku iznosa jednog vektora iprojekcije drugog vektora na pravac prvog.

ϑ=⋅ cosab b a r

r

…(4.4)

Služeći se skalarnim produktom vektora, izraz za rad sile F r

na elementarnompomaku r d

r

jest r d F dW r r

= , dok je izraz za rad kada se čestica giba po putanji odtočke A do točke B:

∫ ∫==B

A

B

A

s d F r d F W r

r r

r

…(4.5)

Rad je linijski integral sile uzduž staze od početne do krajnje točke.Jedinica rad se dobiva iz definicijske jednadžbe: ona je jednaka umnošku jedinicesile i jedinice puta.Jedinica rada u Međunarodnom sustavu zove se (joule, znak J) džul:

J = Nm = km2 /s2

U atomskoj fizici i nekim drugim posebnim područ jima fizike dopuštena je upotreba još jedne jedinice rada: elektronvolt (znak: eV)

eV=1,6 10-19 J

Rad eklektične struje često se izražava u vatsatima (Wh) odnosno kilovatsatima

(kWh):Wh= 3600 J



Rad dizanja

Da bismo tijelo mase m podigli na visinu h (slika 4.4) potrebno je savladati silu težuG = mg . Dizanje ćemo izvoditi bez ubrzavanja tijela, tako da možemo smatrati da jesila jednaka po iznosu ali suprotnog smjera sili teže m g .

Slika 4.4 Izračunavanje rada pri dizanju tijela

Rad za dizanje tijela je tada:

mgh Fs W == …(4.6)

Budući da je vanjska sila F uvijek u smjeru puta njezin rad je pozitivan.Rad sile teže pri dizanju je negativan (- mgh ), jer se tijelo podiže protiv sile teže tj.sila teža i pomak stalno imaju suprotan predznak.Naprotiv kada tijelo pada s visine h , rad sile teže je pozitivan i iznosi m g h .

Rad pri rastezanju opruge

Rastezanje elastične opruge izvodit ćemo polako, "gotovo ravnotežno", tako da silukojom djelujemo na oprugu možemo smatrati po iznosu jednaku , a po smjerusuprotnom elastičnoj sili opruge(slika 4.5)



a) b)

Slika 4.5. Izračunavanje rad pri rastezanju opruge

U granicama elastičnosti kruta tijela opiru se linearno istezanju i stlačivanju silom koja je upravno razmjerna deformaciji i suprotnog smjera. Ta je činjenica poznata podimenom Hookeov zakon, a jedan njegov oblik je i zakon opruge:

ks F −= …(4.7)

Gdje je:F – sila opruge (elastična sila)k – konstanta opruges – pomak (produženje ili skraćenje) iz ravnotežnog položaja s = ∆l = l - l 0

Želimo li oprugu izvlačiti jednoliko, potrebno je primijeniti jednaku i suprotnu silu,F = k s .Prema relaciji (4.3), rad koji treba izvršiti za rastezanje (stezanje) opruge iz položajaravnoteže za elongaciju s jednak je:

∫ ∫ ===

s s

ks ksds Fds W 0 0

2

2

1

…(4.8)

Grafički je sila F ovisna o pomaku s prikazana pravcem na slici 4.5b. Iscrtkanapovršina odgovara radu sile kojom djelujemo na oprugu pri rastezanju opruge izpoložaja ravnoteže do neke elongacije s .

Rad elastične sile opruge je pri tom: 2

21

ks − , jer je sila opruge uvijek suprotna

pomaku.



Rad pri savladavanju sile trenja

Da bi se tijelo gibalo jednoliko savladavajući pri tom silu trenja, potrebno je da nanjega djeluje vanjska sila F po iznosu jednaka, a po smjeru suprotna sili trenja(sl. 4.6).

Slika 4.6. Izračunavanje rada sile trenja

Budući da je F tr suprotna pomaku, to će sila F biti u smjeru pomaka i potreban je rad:

∫ µ===s

N tr s F s F Fds W 0

..(4.9)

Pri tom je rad sile trenja uvijek negativan, tj. s F W N tr µ−= , jer je sila trenja suprotnapomaku.

ENERGIJA

Energija je sposobnost tijela ili sistema tijela da obavljaju rad.Što tijelo ima veću energiju to je sposobnije da obavi veći rad. Kada tijelo obavlja radenergija mu se smanjuje, i obratno ako okolina obavlja rad na tijelu , energija tijela sepovećava.

Rad dakle prelazi u energiju i obratno. Jedinica rada i energije je identična.

Postoji više oblika energije:- mehanička- električna- termalna (unutrašnja)- kemijska- solarna- nuklearna itd.

Postoje mehanički i nemehanički oblici energije.

Mehanička energija makroskopskih tijela ili sistema tijela jest zbroj kinetičke ipotencijalne energije tih tijela.Kinetičku energiju uzrokuje gibanje tijela nekom brzinom, a potencijalnu energiju

uzrokuje položaj tijela unutar sistema.



Potencijalna i kinetička energija mogu se pretvarati jedna u drugu, mehaničkaenergija može prelaziti u nemehaničke oblike energije i obratno.Opće je poznato: Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi oblik, ali se ne moženi stvoriti ni uništiti.

Ta podjela na mehaničku i nemehaničku energiju je makroskopska i ne može sesasvim opravdati kada se nemehanički oblici energije promatraju na mikroskopskojskali.U suštini postoje, promatrano mikroskopski, samo dvije vrste energije: kinetička ipotencijalna, a svi se ostali oblici mogu na njih svesti.

Termalna energija – makroskopski pojam za kinetičku i potencijalnu energiju (tzv.unutrašnju)

Kinetička energija

Kinetička energija je sposobnost tijela da mogu izvršiti rad zbog toga što imajuodređenu brzinu.Da bismo izračunali kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v ,izračunajmo rad potreban da bi sila F ubrzala to tijelo na nekom putu iz mirovanja(v =0) do brzine v :

∫ ∫ ∫ ∫∫ ======v

mv vdv m vdt dt

dv m ds

dt

dv m mads Fds W

0

2

21

...(4.10)

Veličinu:

m

p mv E k 22

22== ...(4.11)

nazivamo kinetičkom energijom tijela mase m i brzine v .

Ako sila F ubrzava tijelo od početne do početne brzine v 1 do konačne brzine v 2 , radpotreban za to ubrzanje jest:

∫ ∫ −===2

1

2

122

21

22

s

s

v

v

mv mv vdv m Fds W ...(4.12)

Ova jednadžba kaže da smo obavljenim radom tijelu koje je na početku imalo

kinetičku energiju2

21

1

mv E k = povećali kinetičku energiju na konačnu vrijednost

2

22

2

mv E k = . Promjena kinetičke energije jednaka je , dakle izvršenom radu:

k k k E E E W ∆=−= 12 ...(4.13)

- ako tijelo izvrši rad (W < 0), kinetička energija mu se smanjuje (∆E k < 0 )

- kada se nad tijelom izvrši rad (W > 0), kinetička energija mu se poveća(∆E k > 0)



- kada je rad jednak nuli, kinetička energija je konstantna.

Relacija (4.13) koja povezuje rad i promjenu kinetičke energije zove se pou č ak oradu i kineti č koj energiji.

Ako imamo sistem čestica mase m 1, m 2 , m 3 ...m n i brzine v 1, v 2 , v 3 ... v n , tada jeukupna kinetička energija sistema:

∑=

=n

i

i i k v m E 1

2

21

...(4.14)

Pri translaciji krutog tijela sve njegove točke imaju jednaku brzinu, koja je ujedno jednaka brzini centra mase tog tijela. U tom slučaju kinetička energija je:

2

2

1CM k mv E = ...(4.15)

Gdje je:m – ukupna masa tijelav CM – brzina njegova centra mase

Potencijalna energija

Osim kinetičke energije, što je uzrokuje gibanje, tijelo može imati i potencijalnuenergiju koja dolazi zbog njegova položaja prema drugim tijelima ili zbogkonfiguracije tijela, odnosno sistema tijela.

Tijelo mase m podignuto na visinu h iznad Zemljine površine ima određenupotencijalnu energiju i sposobno je spuštajući se s te visine, izvršiti određeni rad.Slično i nategnuta opruga ima potencijalnu energiju i može vraćajući se u položajravnoteže, izvršiti rad.

U ovisnosti od sile koja djeluje na tijelo razlikujemo:

- gravitacijsku potencijalnu energiju- elastičnu- elektrostatsku- magnetsku

U mehanici ćemo razmatrati prve dvije:- gravitacijsku- elastičnu

Gravitacijska potencijalna energija

Da bismo izračunali ovu potencijalnu energiju u gravitacijskom polju na Zemljinojpovršini, predpostavimo da se čestica mase m pomiče u homogenom polju sile teže

od toč

ke A do toč

ke B (slika 4.7)



Slika 4.7. Izračunavanje gravitacijske potencijalne energije

Pomakne li se čestica za diferencijal ds, rad je sile teže:

r d F s d F dW g g

r r

r r

== ...(4.16)

gdje je: g m F g

r r

=

Rad je sile teže na putu od A do B:

( )∫ ∫ −===B

A

B

A

AB g r r g m r d g m r d F W r r r r r r

r

...(4.17)

Budući da je:

( ) AB AB g y y r r j i mg g m F −=−−==r r

r r r

r

, to je ( )AB mgy mgy W −−= ...(4.18)

Dobili smo da je rad sile teže jednak razlici dviju funkcija položaja. Funkcija mgy zovese gravitacijska potencijalna energija tijela na visini y :

mgy E p = ...(4.19)

Razlika potencijalne energije početne i konačne točke jednaka je dakle radu sileteže:

p p p E E E W ∆−=−= 21 ...(4.20)

Pri tom smo pretpostavili da je za y=0 potencijalna energija jednaka nuli. Referentna

razina (E p = 0) može se odabrati na razne nač

ine (za sistem Zemlja –tijelo na njezinojpovršini, kao razina mora, površina tla, pod itd.)





Rad konzervativne sile između dva položaja tijela jednak je razlici potencijalneenergije početnog i krajnjeg položaja.To je veza rada i promjene potencijalne energije (poučak o radu i potencijalnojenergiji).

Potencijalna energija opruge

Rad vanjske sile pri rastezanju opruge za elongaciju s je:2

21

ks W = …(4.25)

Rad sile opruge jednak je radu vanjske sile s negativnim predznakom:2

21

ks W op −= …(4.26)

Slično kao i za gravitacijsku silu, potencijalna energija elastične sile opruge definirase izrazom:

( ) ( ) 22

2121 2

121

ks ks s E s E W p p op −=−= …(4.27)

U položaju ravnoteže je potencijalna energija jednaka nuli za (s = 0), tada se zapotencijalnu energiju elastične opruge može pisati da je:

( ) 2

21

ks s E p = …(4.28)

Gdje je:s – elongacija tj. pomak iz položaja ravnoteže

Sada nađimo vezu između rada vanjske sile i promjene energije sistema:Predpostavimo da vanjskom silom F' pomičemo tijelo uz kosinu u polju sile teže (slika4.8):

Slika 4.8. Gibanje tijela uz kosinu bez trenja

Prema drugom Newtonovom zakonu slijedi:



ma mg F =α−′ sin …(4.29)Pri tom je rad vanjske sile:

( ) ( ) ( ) 1212

21

22

12 22

sinsin2

1

2

1

k k p p

s

s

v

v

E E r E r E mv mv

y y mg

vdt

dt

dv m ds mg ds

dt

dv m mg ds F W

−+−=−+−=

=+α=

+α=′=′ ∫ ∫ ∫ ∫

r r …(4.30)

odnosno

k p E E W ∆+∆=′ …(4.31)

Ovaj izraz vrijedi općenito.

Rad vanjske sile ∫ ′=′B

A

s d F W r

r

i rad konzervativne sile ∫=B

A

k s d F W r r

promijenit će

kinetičku energiju:

12 k k E E W W −=′+ …(4.32)te je:

121212 E E E E E E W k k p p −=−+−=′ …(4.33)

Gdje je:E 1 = E p1 + E k1 i E 2 = E p2 + E k2 ukupna energija sistema u početnom i konačnompoložaju.Relacija (4.31) je veza između rada vanjskih sila i promjene kinetičke i potencijalne

energije tijela. Mogli bismo je nazvati poučak o radu i ukupnoj energiji.

Zakon o očuvanju energije

Opće je poznata iskustvena činjenica da se energija može pretvarati iz jednog oblikau drugi oblik, pri čemu je u izoliranom sistemu zbroj energija konstantan.To je zakon o o č uvanju ukupne energije .Tijelo mase m u početku je na visini h i miruje (slika 4.9)

E p = mgh , E k = 0, E = mgh

E p = mg(h-s); E k = mv 2 /2; E = mgh

E p = 0 ; E k = - mgh; E = mgh

Slika 4.9 Mehanička energija pri slobodnom padu



U svakoj točki putanje slobodnog pada zbroj kinetičke i potencijalne energije jekonstantan: ukupna mehanička energija je očuvana.

.konst E E p k =+ …(4.34)

Zakon o očuvanju mehaničke energije vrijedi onda kad su rad sile trenja (disipativnesile) i rad vanjskih (nekonzervativnih) sila jednaki nuli tj. kada su sve sile koje djelujuna sistem konzervativne. (conservare – lat. očuvati, održati).

Međutim ako osim konzervativnih sila F k djeluju i sile trenja F tr i neke drugenekonzervativne sile F' , tada je ukupni rad svih sila jednak promjeni kinetičkeenergije:

k tr k E W W W ∆=′++ …(4.35)Gdje je:

W k - rad što ga izvrše konzervativne sileW tr – rad sile trenjaW' – rad nekih drugih nekonzervativnih sila (npr. vanjske sile pri gibanju tijela uz

kosinu)Zamijenimo li rad konzervativne sile promjenom potencijalne energije (W k = -∆E p )dobivamo:

W W E E tr p k ′+=∆+∆ …(4.36)

To je jedan od načina pisanja zakona o održanju ukupne energije:Ukupna energija ne može se uništiti niti ni iz čega stvoriti, ona se može samopretvarati iz jednog oblika u drugi.

Snaga

Snaga se definira omjerom rada i vremena, pa bismo je mogli shvatiti kao brzinuobavljanja rada odnosno prijenosa energije.Ako je u promatranom vremenskom intervalu t 2 – t 1 izvršen rad W 2 – W 1, odnosnoprenesena energija E 2 – E 1, srednja snaga je:

12

12

12

12 ,t t

E E P odnosno

t t

W W P

−

−=

−

−= ...(4.37)

Trenutna je vrijednost snage:

dt

dW P P

t ==

→∆ 0lim ...(4.38)

Budući d je dt v F s d F dW == , snagu možemo pisati i u obliku:

α cosFv v F P == ...(4.39)

Gdje je:

α - kut između smjera sile i smjera brzine tijela



Snaga je jednaka skalarnom produktu sile i brzine.Jedinica za snagu je vat (znak:W); W=J / s

Sudari

Kao primjer primjene zakona o očuvanju količine gibanja i energije razmatrat ćemosudare dviju čestica. Do sudara dolazi kada se dvije čestice (dva sistema čestica),približavajući jedna drugoj međusobno djeluju i time promjene svoje gibanje.

Sudar dviju elastičnih čestica – obje se deformiraju – djelovanje impulsne sile –nastave gibanje promjenljivim brzinamaPri sudaru ne dolazi uvijek do fizičkog dodira – približavanje protona jezgri – odbojneColumbove sile mijenjaju mu putanju i proton se otkloni prije nego što dotakne jezgru.

Ako su 21 p i p r r

količine gibanja čestica prije sudara, a 21 p i p ′′ r r

nakon sudara, tada je:

2121 p p p p ′+′=+ r r r

...(4.40)Sudar može biti savršeno elastičan i savršeno neelastičan, odnosno djelomičnoelastičan.

- savršeno elastičan sudar – tijela se nakon sudara vraćaju u prvobitni oblik- savršeno neelastičan sudar – tijela su nakon sudara slijepljena i gibaju se kao

jedno tijelo

Savršeno elastičan sudar

Dvije kuglice( ili dvije čestice) mase m 1 i m 2 , brzine 21 v i v r r

sudaraju se elastično i

nakon sudara imaju brzine 21 v i v ′′ r r

. Sistem je izoliran i vrijedi:22112211 v m v m v m v m ′+′=+

r r r r

...(4.41)Ukupna kinetička energija prije i poslije sudar je ista:

2222

222

211

222

211 v m v m v m v m ′

+′

=+

r r r r

...(4.42)

Iz jednadžbe (4.41) dobivamo:

( )( ) 0221111 =′−−′+′− v v v v v v r r r r r r

...(4.43)

Budući da su pri centralnom sudaru brzine kolinearni vektori, uvjet je ispunjen ako je jedan od faktora jednak nuli.

( )2121 v v v v ′−′−=− r r r r

...(4.44)Iz jednadžbi (4.41) i (4.44) proizilazi:

( )

( )

21

112122

21

221211

2

2

m m

v m v m m v

m m

v m v m m v

+

+−=′

+

+−=′

r r

r

r r

r

...(4.45)



Savršeno neelastičan sudar

U ovom slučaju kuglice se nakon sudara deformiraju, slijepe i gibaju zajedno brzinomv v v ′=′=′

r r r

21 . Pri tom će brzina nakon sudara biti:

( )

21

2211

212211

m m

v m v m v

v m m v m v m

+

+=′

′+=+r r

r

r r r

...(4.46)

Razliku između konačne i početne kinetičke energije označimo sa Q i ona iznosi:

+−

′+′=−′= 2

22211

222

211 2

121

21

21

v m v m v m v m E E Q k k ...(4.47)

Gdje je:E k - kinetička energija prije sudara

E' k - kinetička energija poslije sudara- pri savršeno elastičnom sudaru E k = E' k , te je Q = 0- pri savršeno neelastičnom sudaru Q < 0 i iznosi:

( ) ( )2

2121

21

2v v

m m

m m Q

r r

−+

−= ...(4.48)

Primjer:Tijelo ukupne mase 100 g bačeno vertikalno u vis popne se 10 m. Kolika jepotencijalna, kinetička i ukupna energija tijela:

a) u trenutku bacanjab) na pola puta prema gore ic) u trenutku kada se ponovno vrati u točku odakle je bačeno

Zanemariti otpor zraka.

a) U trenutku bacanja potenc. energija tijela je nula, kinetička energija je mv o 2 /2, a

visina hica je h = v o 2 /2g

E k = mv o 2 /2 = 2mgh /2 = 9,8 J

b) Na pola puta kinetička energija je jednaka potencijalnojE k = mgh /2 = 4,9 J

c) U trenutku kada se tijelo ponovo vrati u točku odakle je bačeno kinet. i potenc.energija su jednake onima u trenutku bacanja, tj. E k = 9,8 J i E p =0Ukupna energija je u svakoj točci konstantna i iznosi:

E = E k + E p = 9,8 J

Documents

4.Predavanja FIZ I