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1
5º. Capítulo: Transformações lineares em frações 5.1 O que são LFT’s. Propriedades Este termo, transformações lineares em frações (“linear fractional transformations” = LFT) é bem conhecido da teoria de funções de uma variável complexa, por exemplo:
( ) : C CF s → tal que ( ) a bsF sc ds+
=+
, com a, b, c e d C∈ .
Se 0c ≠ , temos 1( ) (1 )F s s sα β γ −= + − , para , e α β γ C∈ apropriados. (Calculando, obtemos 2/ , ( ) / , /a c bc ad c d cα β γ= = − = − ). A ideia acima pode ser generalizada para funções vetoriais e matriciais: Definição: (1) Seja a matriz complexa
1 2 1 211 12 ( ) ( )
21 22
C p p q qM MM
M M+ × +⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
e sejam 2 2Cq pl
×∆ ∈ e 1 1Cq pu
×∆ ∈ .
(Os índices e l u acima significam “lower” e “upper”, respectivamente). Definem-se então as LFT do seguinte modo:
2 2 1 1( , ) : C C ,q p p ql M × ×• →Y , com
111 12 22 21( , ) : ( )l l l lM M M I M M−∆ = + ∆ − ∆Y , (2)
supondo, é claro, que 122( )lI M −− ∆ exista.
Se M e l∆ forem matrizes de transferência, uma interpretação importante para a expressão acima é dada pelo seguinte diagrama de blocos
Com efeito, do diagrama de blocos acima, temos
11 12 21 22, , lz M r M u y M r M y u y= + = − = ∆ . Substituindo a 2ª. na 3ª., temos
21 22 l lu M r M u= ∆ − ∆ 1 122 21 22 21( ) ( )l l l lu I M M r I M M r− −∴ = + ∆ ∆ = ∆ + ∆
E substituindo esta na 1ª. acima, temos 1
11 12 22 21( )l lz M r M I M M r−= + ∆ + ∆ .
11 12
21 22
M MM
M M⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
z
l∆ y u
r
Figura 24a
2
Portanto a matriz de transferência entre z e r é 1
11 12 22 21( ) ( , )l l l lM M I M M M−+ ∆ − ∆ = ∆Y , conforme definido em (2). Analogamente, define-se
1 1 2 2( , ) : C Cq p p qu M × ×• →Y , com
122 21 11 12( , ) : ( )u u u uM M M I M M−∆ = + ∆ − ∆Y , (3)
supondo que 111( )uI M −− ∆ exista.
Abaixo o diagrama de blocos correspondente na interpretação, que será amplamente dominante, como é natural, neste curso.
Utilizando procedimento semelhante ao de cima, é fácil provar que a matriz de transferência entre 2z e 2w é dada por
2 2z wT = ( , )u uM ∆Y .
Mais ainda, podemos verificar que ( , ) ( , )u u l lN M∆ = ∆Y Y , com
22 21
12 11
M MN
M M⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
. (3*)
Com efeito, de (3), temos 122 21 11 12( , ) ( )u u u uN N N I N N−∆ = + ∆ − ∆Y = ( , )l lM ∆Y ,
dado em (2), em vista de (3*). Nos diagramas de blocos acima, “M” é, tipicamente, a planta (junto, usualmente, com atuadores e sensores), enquanto que os ∆ ’s podem representar seja uma perturbação seja um controlador. A matriz “M” nas LFTs é chamada frequentemente, em outros contextos, “matriz coeficiente”. Definição: (4) Uma LFT ( , )l lM ∆Y é dita bem definida (ou bem posta) se 22 lI M− ∆ tiver inversa. Dualmente, ( , )u uM ∆Y será bem definida se 11 uI M− ∆ tiver inversa.
u∆
M
2y 2u
2z 2w
Figura 24b
3
Claro que ( ,0)l MY e ( ,0)u MY são bem definidas, qualquer que seja M. Uma função que não for bem definida na origem não pode ser uma LFT, como por exemplo
( ) 1/f δ δ= . Alguns autores definem LFT’s através das seguintes matrizes:
1( )( )A BQ C DQ −+ + e 1( ) ( )C QD A QB−+ + , onde se supõe que a matriz C tenha inversa, tal como mencionado antes para o caso escalar:
( ) a bsF sc ds+
=+
Lema: (5) Suponha que C tenha inversa. Então,
1( )( )A BQ C DQ −+ + = ( , )l M QY , 1( ) ( )C QD A QB−+ + = ( , )l N QY ,
onde 1 1
1 1
AC B AC DM
C C D
− −
− −
⎡ ⎤−= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
e 1 1
1 1
C A CN
B DC A DC
− −
− −
⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
.
Prova: Vamos provar a 1ª. igualdade acima, a prova da outra sendo dual. Recordamos de (2) que
111 12 22 21( , ) : ( )l M Q M M Q I M Q M−= + −Y
Identificamos na expressão de M acima: 1 1 1 1
11 12 21 22, , e M AC M B AC D M C M C D− − − −= = − = = − .
Portanto, 1 1 1 1 1( , ) ( ) ( )l M Q AC B AC D Q I C DQ C− − − − −= + − +Y
= ( ) 11 1 1 1( ) ( )AC B AC D Q C C DQ C−− − − −+ − + = 1 1 1( ) ( )AC B AC D Q C DQ− − −+ − +
= ( )1 1 1( ) ( ) ( )AC C DQ B AC D Q C DQ− − −+ + − + = 1( )( )A BQ C DQ −+ + ,
onde na última passagem foram cancelados, por subtração, os termos 1AC DQ− . • A recíproca do Lema anterior também vale se M satisfizer às condições mencionadas no lema que segue: Lema: (6)
Seja a LFT ( , )l M QY com 11 12
21 22
M MM
M M⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
. Então,
(a) se 12M tiver inversa,
1( , ) ( ) ( )l M Q C QD A QB−= + +Y , com
1 1 1 112 11 21 22 12 11 12 22 12, , e A M M B M M M M C M D M M− − − −= = − = = − .
4
Alem disso, 21 22 112
11
0 00
,l
IM MA C
MB D
M I I
−
⎛ ⎞−⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⋅⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠
Y
21 22 1
11 12
0 00
,l
IM M
E
M I M E
−
⎛ ⎞−⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎢ ⎥⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+⎣ ⎦⎝ ⎠
Y , para qualquer E não singular.
(b) se 21M tiver inversa,
1( , ) ( )( )l M Q A BQ C DQ −= + +Y , com
1 1 1 111 21 12 11 21 22 21 21 22, , e A M M B M M M M C M D M M− − − −= = − = = − .
Alem disso,
12 11
121
22
00 0
,l
M MIA C
MB D
I M I
−
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎡ ⎤ ⎜ ⎟= −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⋅⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Y
12 11
1
22 21
00 0
,l
M MI
E
I M M E
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
Y , para qualquer matriz não singular E.
Prova: Será esboçada a prova da 1ª. parte, o esboço da prova da 2ª. segue os mesmos passos.
(a) Vamos provar a igualdade das duas expressões de A CB D⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
acima.
Da 2ª. expressão acima, temos
A CB D⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= ( ) ( )( )( ) [ ]11 1
12 1121 22
0 00
IE I M E E M I
M M−
− −−⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ( ) ( )( ) [ ]11 1
12 1121 22
0 0( )
0I
E E M E E M IM M
−− −−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ( ) [ ]112 11
21 22
0 00
IM M I
M M−−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, que é claramente igual à primeira expressão
de A CB D⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
.
5
Agora haveria que provar que, efetivamente,
A CB D⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= 21 22 112
11
0 00
,l
IM M
M
M I I
−
⎛ ⎞−⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ −⎜ ⎟⎢ ⎥⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠
Y . •
O lema seguinte resume algumas das propriedades das LFT’s: Lema: (7) Sejam as matrizes particionadas de forma apropriada:
11 12 11 12
21 22 21 22
, M M Q Q
M QM M Q Q⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, 1 2
1 11 12
2 21 22
A B BG C D D
C D D
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. Então,
(i) ( , ) ( , )u lM N∆ = ∆Y Y com 22 21
12 11
0 00 0
M MI IN M
M MI I⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
(ii) Suponha que ( , )u M ∆Y seja quadrada e bem definida e 22M não singular. Então a inversa de ( , )u M ∆Y existe e é também uma LFT com respeito a ∆ :
1( ( , )) ( , )u uM N−∆ = ∆Y Y , com 1 1
11 12 22 21 12 221 1
22 21 22
M M M M M MN
M M M
− −
− −
⎡ ⎤− −= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
(iii) 1 2( , ) ( , ) ( , )u u uM Q N∆ + ∆ = ∆Y Y Y , com
11 12
11 12
21 21 22 22
00
M MQ Q
M Q M Q
N
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⎢ ⎥+⎣ ⎦
= e 1
2
00∆⎡ ⎤
∆ = ⎢ ⎥∆⎣ ⎦.
(iv) 1 2( , ) ( , ) ( , )u u uM Q N∆ ∆ = ∆Y Y Y , com
11 12 21 12 22
11 12
21 22 21 22 22
0M M Q M Q
M Q
M M Q M Q
N
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
= e 1
2
00∆⎡ ⎤
∆ = ⎢ ⎥∆⎣ ⎦.
(v) Considere o seguinte sistema, as dimensões de 1∆ sendo compatíveis com as de A :
6
Então, a matriz de transferência de w a z é dada por
1 2 2 1( ( , ), ( , )) ( ( , ( , )), ) ( , )l u u u u uG Q G Q N∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ÄY Y Y Y Y Y Y , com
2 22 1 2 2 2 21 1 2 22 1 21
12 1 2 11 12 1 22 21 12 1 21
1 12 2 22 2 12 2 21 11 12 22 1 21
A B Q L C B L Q B B Q L DQ L C Q Q L D Q Q L D
C D L Q C D L Q D D Q L D
N
+ +⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
= , onde
11 11 22 22 2 22 22
2
0: ( ) , : ( ) e
0L I D Q L I Q D− − ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
∆= − = − ∆ =
∆.
Prova (parcial / esboçada):
(i) Em primeiro lugar, note-se que 0 0
0 0I I
N MI I⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 12 11 22 21
21 22 22 21 12 11
0 0 00 0 0
M M M M M MI I IM M M M M MI I I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, efetivamente.
A seguir, recorda-se de (3) que 122 21 11 12( , ) : ( )u M M M I M M−∆ = + ∆ − ∆Y e que de (2),
temos 111 12 22 21( , ) : ( )l N N N I N N−∆ = + ∆ − ∆Y ; e em vista da definição de N acima,
temos a igualdade das duas LFT’s. (ii) Temos que provar que
( ) ( )11 1 1 1 122 21 11 12 22 22 21 11 12 22 21 12 22
1( ) ( )M M I M M M M M I M M M M M M
−− − − − −−+ ∆ − ∆ = − ∆ − + , o
que não parece trivial. (iii) 1
1 22 21 1 11 1 12( , ) ( )u M M M I M M−∆ = + ∆ − ∆Y ,
12 22 21 2 11 2 12( , ) ( )u Q Q Q I Q Q−∆ = + ∆ − ∆Y e
1( , )u G ∆Y
2( , )u Q ∆Y
z w
Figura 8
7
[ ]1
1 11 1 1222 22 21 21
2 11 2 12
0 0 0( , )
0 0 0u
M MN M Q M Q I
Q Q
−⎛ ⎞∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
∆ = + + −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠Y
[ ]1
1 11 1 1222 22 21 21
2 11 2 12
0 00 0
I M MM Q M Q
I Q Q
−∆ − ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ − ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ]1
121 11 122 22 21 21 1
122 11 2
( ) 00 ( )
MI MM Q M Q
QI Q
−
−
⎡ ⎤∆ − ∆ ⎡ ⎤= + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ − ∆ ⎣ ⎦⎣ ⎦
1 122 22 21 1 11 1 12 21 2 11 2 12( ) ( )M Q M I M M Q I Q Q− −= + + ∆ − ∆ + ∆ − ∆ , conferindo.
(iv) 1 2( , ) ( , )u uM Q∆ ∆Y Y
( )( )1 122 21 1 11 1 12 22 21 2 11 2 12( ) ( )M M I M M Q Q I Q Q− −= + ∆ − ∆ + ∆ − ∆
1 122 22 21 1 11 1 12 22 22 21 2 11 2 12( ) ( )M Q M I M M Q M Q I Q Q− −= + ∆ − ∆ + ∆ − ∆
1 121 1 11 1 12 21 2 11 2 12( ) ( )M I M M Q I Q Q− −+ ∆ − ∆ ∆ − ∆ , (8*)
enquanto que ( , )u N ∆Y =
[ ]1
1 11 12 21 1 12 2222 22 21 22 21
2 11 2 12
0 00 0 0
M M Q M QM Q M M Q I
M Q
−⎛ ⎞∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
[ ]1
1 11 1 12 21 2 12 2222 22 21 22 21
2 11 2 12
00 0
I M M Q M QM Q M M Q
M Q
−∆ − ∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ] 122 22 21 22 21
2
00
M Q M M Q∆
+∆
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
=
1 12 2211
12
11
11 1 12 21 2
11 2
0 ( )0 0
M QQ
I M I I M M QM I
−−⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
− ∆ − ∆ ∆×∆
122 22 21 22 21
2
00
M Q M M Q⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
∆= +
∆
111
12 2211 111 12 21 21
1211 2
( ) 0( )0 ( )0
M QI MI I M M QQMI
−−
−
⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
− ∆− − ∆ ∆×
∆
122 22 21 22 21
2
00
M Q M M Q⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
∆= +
∆
111
11 1 12 2211 12 21 21
11 2 12
( )( )( )0
I M M QI I M M QM QI
−−
−
⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
− ∆− − ∆ ∆×
∆
8
122 22 21 22 21
2
00
M Q M M Q⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
∆= +
∆1 1
11 21 2 11 2 121
11 1 12 22 1 121
11 2 12
( ) ( )( )( )
I M Q M QI M M Q MM Q
− −−
−
− ∆ ∆ ∆⎡ ⎤− ∆ −⎢ ⎥∆⎣ ⎦
×
[ ]22 22 21 1 22 21 2M Q M M Q= + ∆ ∆1 1 1
11 1 11 21 2 11 2 121
11 2 12
12 22 1 12( ) ( ) ( )( )
I M I M Q M QM Q
M Q M− − −
−
− ∆ − ∆ ∆ ∆
∆
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
( )1 1 122 22 21 1 11 1 12 22 11 12 21 2 11 2 121( ) ( ) ( )M Q M I M M Q I M M Q M Q− − −
+= ∆ − ∆ − ∆ ∆ ∆− 1
22 21 2 11 2 12( )M Q M Q−+ ∆ ∆ 1 1 1
22 22 21 1 11 1 12 22 21 2 11 2 12 22 21 2 11 2 12( ) ( ( ) ) ( )M Q M I M M Q Q M Q M Q M Q− − −+ +∆ − ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆= (8**)
Agora “só” falta conferir que esta expressão é igual a (8*), caso não haja erro... (v) prova omitida. Lema: (9)
Sejam 11 12
21 22
P PP
P P⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
e K matrizes de transferência racionais e seja ( ),lG P K=Y .
Então, (a) G é própria se P e K forem próprias com 22det( )( ) 0I P K− ∞ ≠ . (b) ( )1 2, ( , )l lP K P K=Y Y implica 1 2K K= se 12 21e P P tiverem posto normal cheio de linha e coluna, respectivamente.
(c) Se P e G forem próprias, det( )( ) 0P ∞ ≠ , 0
det ( ) 00 0G
P⎛ ⎞⎡ ⎤
− ∞ ≠⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
e se
12 21 e P P forem quadradas e tiverem inversa para quase todo s, então K é própria e 1( , )uK P G−=Y .
Prova: (a) Lembra-se que 1
11 12 22 21( , ) : ( )l P K P P K I P K P−= + −Y . É claro que se as condições forem satisfeitas, ( ),lG P K=Y será própria.
(b) ( ) ( )1 2, ,l lP K P K−Y Y = 1 111 12 1 22 1 21 11 12 2 22 2 21( ) ( )P P K I P K P P P K I P K P− −+ − − − −
= 1 112 1 22 1 21 12 2 22 2 21( ) ( )P K I P K P P K I P K P− −− − −
( )1 112 1 22 1 2 22 2 21( ) ( )P K I P K K I P K P− −= − − − .
Se esta expressão for nula e se forem satisfeitas as condições de posto, então é preciso que
1 11 22 1 2 22 2( ) ( )K I P K K I P K− −− = − 1 1
1 22 1 2 22 2( ) ( )I K P K K I P K− −∴ − = −
1 22 2 1 22 2 1 1 22 2 2 1 22 2( ) ( )K I P K I K P K K K P K K K P K∴ − = − ∴ − = − ; donde finalmente,
9
1 2K K= . (c) Prova omitida (ver ZDG, p. 253). • Observação: (10) Uma interpretação simples de (c) do lema é dada, considerando os sinais no SMF da figura 11, supondo que o sistema seja bem posto:
z w
Py u⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, u = Ky ( , )z P K w Gw⇒ = =ÄY ; e portanto, supondo que P tenha
inversa,
1w zP
u y−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, z = Gw .
Ou seja, podemos construir o seguinte diagrama de blocos
e deste diagrama de blocos, temos 1( , )u P G y−= âY , ou seja, 1( , )K P G−= âY . 5.2 Exemplos de LFT’s As LFT’s são um instrumento conveniente para a formulação de muitos objetos matemáticos. Nesta seção e nas seguintes, mostraremos que várias estruturas matemáticas conhecidas adquirem nova compreensão através do uso das LFT’s.
P
K
z
y u
w
Figura 11
G
1P−1P−
w
u
z
y
Figura 11*
10
Realizações no espaço de estado Seja o sistema no espaço de estado: x Ax Bu= + , y Cx Du= + , cuja matriz de transferência é 1( ) ( )G s D C sI A Bu−= + − , a qual pode ser expressa como
uma LFT: 1( ) ,u
A BG s I
C D s⎛ ⎞⎡ ⎤
= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
Y , que corresponde, como sabemos, ao seguinte
diagrama de blocos:
Com efeito, 1
11 1 1, ( )u
A BI D C I A B D C sI A B
C D s s s
−−⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠
Y ( )G s= .
(O livro tem outros exemplos, e alguns estão errados). 5.3 Um Princípio Básico O princípio básico a que nos referimos nesta seção é comumente tratado como “tirar os ∆ ’s para fora”. Já veremos de que se trata. Considere-se a figura 15, um diagrama de blocos qualquer:
/I s
A BC D⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Figura 12
11
Figura 15 Este diagrama de blocos pode ser re-escrito como na figura 16. Repare-se que os i∆ ’s são perturbações da planta, “dentro” dela, conforme a figura 15, a qual inclui também, sem distinguir da planta, o controlador. Na figura 16 os i∆ ’s são tirados para fora da planta, bem como o controlador. Como veremos, esta operação tornará o tratamento analítico do problema bem mais fácil.
Figura 16
12
Vamos ilustrar esta ideia com um exemplo: Suponha que a relação entre a entrada e a saída de um sistema em malha fechada seja
dada por: 2
2 1 22
1 2 11a b cz w
d eδ δ δδ δ δ
+ +=
+ + =: Gw, (10*)
onde a, b, c, d e e são constantes ou funções de transferência. Queremos escrever G como uma LFT em termos de 1 2e δ δ . Isto é feito em três passos: 1. Construir o diagrama de blocos para a relação entre a entrada w e a resposta z com cada δ separado, conforme mostrado na figura 17. 2. Marcar as entradas e saídas dos δ ’s como y’s e u’s, respectivamente. 3. Escrever z e os y’s em termos de w e u’s, respectivamente com os δ ’s e K fora. (No caso presente, (10*), não existe K). Este passo é equivalente a calcular a transformação na área cinzenta da figura 16. Vamos ao exemplo enunciado em (10*): 1. Vamos mostrar que o diagrama de blocos dado abaixo corresponde, de fato, a (10*).
21 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1( ) ( )z ay by c y ay b c yδ δ δ δ δ δ= + + = + + ,
2 21 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1 2 1
1(1 )1
y w e y d y d e y w y wd e
δ δ δ δ δ δδ δ δ
= − − ∴ + + = ∴ =+ +
.
Substituindo esta na expressão acima, obtemos efetivamente (10*). Observo que foi fácil provar isto, mas construir o diagrama de blocos a partir de (10*) não parece tarefa trivial.
13
Vamos mostrar agora que ( , )uz M w= ∆Y com
0 0 11 0 0 0 01 0 0 0 00 0
0 1
e d
Mbe bd b
ae ad a
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⎢ ⎥
− −⎣ ⎦
e
1 2
2 2
00I
Iδ
δ⎡ ⎤
∆ = ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Construído o diagrama de blocos, passamos ao segundo passo enunciado acima, que é o de “marcar as entradas e saídas dos δ ’s como y’s e u’s, respectivamente”. Após esta marcação, já na figura 17, temos:
z
a
2δ
4u
4y
c
-d
3u
2δ 3y 1u
1δ w
1y
1δ 2y
2u e−
b
Figura 17
14
1 2 3 2 1 3 1 4 3 2 3 2 3; ; ; ( ) ( )y w eu du y u y u y cu b w eu du beu c bd u bw= − − = = = + − − = − + − +, ou em forma vetorial,
1 1
2 2
3 3
4 4
0 0 11 0 0 0 01 0 0 0 00 0
y ue dy u
wy uy ube c bd b
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
211 12
3
4
:
uu
M M wuu
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Por outro lado, do diagrama de blocos, temos também
1 1
2 1 2 2
3 2 2 3
4 4
00
u yu I yu I yu y
δδ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
2
3
4
:
yyyy
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1
2 211 12
3 3
4 4
y yy y
M M wy yy y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∴ = ∆ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
24 11 12
3
4
( )
yy
I M M wyy
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∴ − ∆ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2 14 11 12
3
4
( )
yy
I M M wyy
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∴ = − ∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2 14 11 12
3
4
( )
uu
I M M wuu
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∴ = ∆ − ∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. (11)
E do diagrama de blocos temos ainda
[ ]1 1
2 24 2 3 21 22
3 3
4 4
( ) 0 1 :
u uu u
z u a w eu du ae ad aw M M wu uu u
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + − − = − − + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
E em vista de (11), vem ( )1
21 4 11 12 22( )z M I M M M w−= ∆ − ∆ + ,
ou seja, ( , )uz M w= ∆Y ,
com 11 12
21 22
M MM
M M⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
. •
5.5 Produto estrelado de Redheffer A mais importante propriedade das LFT’s é que qualquer interconexão de LFT’s é uma LFT. Esta propriedade é usada extensivamente no uso de LFT’s. Como veremos, a maioria das estruturas de conexão, como em cascata e realimentação, podem ser vistas como casos especiais do assim chamado produto estrelado.
15
Sejam as matrizes e submatrizes com dimensões compatíveis para o produto PK : 11 12
21 22
P PP
P P⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, 11 12
21 22
K KK
K K⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Suponha que 21 11P K seja quadrada e que 21 11I P K− tenha inversa. O produto estrelado de P e K com respeito a esta partição é definido como:
111 12 21 11 12
121 21 11 21 22
( , ) ( )( , ) :
( ) ( , )l
u
P K P I P K KS P K
K I P K P K P
−
−
⎡ ⎤−= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
Y
Y, (12)
onde lembramos mais uma vez que 1
11 11 12 11 22 11 21( , ) ( )l P K P P K I P K P−= + −Y , (13) 1
22 22 21 22 11 22 12( , ) ( )u K K K K K I K K K−= + −Y (14) Observe-se que esta definição é essencialmente dependente da partição das matrizes P e K. Efetivamente, o produto estrelado pode ser bem definido para uma partição e não para outra. O uso do produto estrelado leva à representação em diagrama conforme a figura 18.
Do diagrama de blocos acima, vemos que se trata de um sistema em que estamos interessados em controlar não somente a saída da planta, mas também do controlador. Este tipo de sistema ocorre em algumas situações em queremos monitorar a resposta do compensador, de modo a evitar saturação, por exemplo. Do diagram de blocos acima, temos
11 12 ˆu K y K w= + , 21 22y P w P u= + 11 21 22 12 ˆ( )u K P w P u K w∴ = + +
11 22 11 21 12 ˆ( )I K P u K P w K w∴ − = + 111 22 11 21 12 ˆ( ) ( )u I K P K P w K w−∴ = − + .
Mas, 1
11 12 11 12 11 22 11 21 12 ˆ( ) ( )z P w P u P w P I K P K P w K w−= + = + − +
( )1 111 12 11 22 11 21 12 11 22 12 ˆ( ) ( )z P P I K P K P w P I K P K w− −∴ = + − + − . (15)
P z
K
w
w z
Figura 18
u y
16
Ora, a matriz de transferência entre z e w é igual a 11( , )l P KY , de acordo com (12), coincidindo com (15), tendo em vista que
1 111 12 11 22 11 21 11 12 11 22 11 21( ) ( )P P I K P K P P P K I P K P− −+ − = + − . E vemos também que a
matriz de transferência entre z e w de acordo com (12) também coincide com a dada em (15). Por outro lado, pode-se verificar que a matriz de transferência entre a resposta do controlador e as entradas da planta e do controlador é dada pela segunda “linha” de (12). Suponha agora que conheçamos as realizações da matrizes de transferência P e K:
1 2
1 11 12
2 21 22
A B BP C D D
C D D
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
Então a matriz de transferência desejada ( , ) :ˆ ˆw z
S P Kw z⎡ ⎤ ⎡ ⎤
→⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
tem a representação:
onde
1 12 11 2 2 1
1 11 2 1 22 1
K K
K K K K
A B R D C B R CA
B R C A B R D C
− −
− −
⎡ ⎤+= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
,
1 1
1 2 11 21 2 121 1
1 21 2 1 22 12
K K
K K K K
B B R D D B R DB
B R D B B R D D
− −
− −
⎡ ⎤+= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
,
1 11 12 11 2 12 1
1 121 2 2 21 22 1
K K
K K K K
C D D R C D R CC
D R C C D R D C
− −
− −
⎡ ⎤+= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
e
1 111 12 11 21 12 12
1 121 21 22 21 22 12
K K
K K K K
D D D R D D R DD
D R D D D R D D
− −
− −
⎡ ⎤+= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
,
com 22 11KR I D D= − e 11 22KR I D D= − .
1 2
1 11 12
2 21 22
K K K
K K K
K K K
A B BK C D D
C D D
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 2
1 11 12
2 21 22
( , )
A B BA B
S P KC D D
C DC D D
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
17
Efetivamente, é fácil (?) mostrar que
2 11 1
2 22 1
, K K
K K
A B D CA S
C D B A⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
, 1 2 11 12
21 22 1 2
, K K
K K
B B D DB S
D D B B⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
,
1 12 11 1
2 22 21 2
, K K
K K
C D D CC S
C D D C⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
e 11 12 11 12
21 22 21 22
, K K
K K
D D D DD S
D D D D⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
.
Nestas quatro expressões, está sendo usado o produto estrelado para matrizes definidas sobre os números reais e não sobre funções racionais. 6º. Capítulo: Valor Singular Estruturado Pode-se observar que os critérios de estabilidade robusta e de desempenho robusto desenvolvidos no 4º. Capítulo variam com as hipóteses a respeito das descrições da incerteza e exigências de desempenho. Será mostrado neste capítulo que eles podem ser tratados de modo unificado usando o conceito de LFT introduzido no capítulo anterior e o de valor singular estruturado, a ser introduzido neste capítulo. Isto não significa, claro, que aqueles problemas especiais e suas soluções não sejam importantes; pelo contrario, eles são muito esclarecedores para a nossa compreensão de problemas complexos pois estes são formados a partir de problemas simples. Mas por outro lado uma abordagem unificada pode aliviar as dificuldades matemáticas oriundas do tratamento de diferentes problemas. 6.1 A estrutura geral para a robustez de sistemas Como foi mostrado no último capítulo, qualquer sistema com interligações pode ser “re-arrumado” de modo a se enquadrar na estrutura geral da figura 19.
18
No diagrama acima, ∆ é tipicamente uma matriz de “perturbações” no sentido amplo, como observado poucas linhas abaixo; é obtida a partir do método de “puxar para fora” as perturbações, método que foi estudado no capítulo anterior. K é tipicamente o controlador e P é a planta, nela incluídos os sensores e atuadores. Embora a estrutura original do sistema seja bastante complicada, é sempre possível chegar à estrutura da figura. Efetivamente, há softwares que permitem obter a estrutura da figura acima a partir de sistemas originais, como o SIMULINK e -TOOLSµ . Ou seja, estes softwares fazem a operação de “tirar para fora” as perturbações, algo que não é trivial, como vimos. Observe-se que as incertezas, caracterizadas pela matriz ∆ podem provir não somente de perturbações dos parâmetros do modelo, mas também de entradas externas (distúrbios determinísticos ou ruídos aleatórios). O desempenho do sistema é medido a partir da resposta ou do erro, seja que se deseja rejeitar um distúrbio, seja que se deseja rastrear um sinal, seja que queremos as duas coisas. Conforme a figura 19, a planta é definida pela sua matriz de transferência
11 12 13
21 22 23
31 32 33
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P s P s P sP s P s P s P s
P s P s P s
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
e o sistema em malha fechada é dado por
( ( , ), ) ( ( , ), )u l l uz P K w P K w= ∆ = ∆Y Y Y Y . Se agora absorvermos o controlador dentro de uma estrutura maior, definamos
11 12
21 22
( ) ( )( ) ( ( ), ( ))
( ) ( )l
M s M sM s P s K s
M s M s⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎣ ⎦
Y , obtendo-se
122 21 11 12( , ) [ ( ) ( )]uz M w M M I M M s w−= ∆ = + ∆ − ∆Y .
∆
P
K
z w
Figura 19
19
Suponha que K seja um controlador que estabiliza o SMF nominal (ou, no jargão, “estabiliza a planta” nominal). Então, ( )M s ∞∈ HR . Supomos, sem perda de generalidade, que ∆ é bloco-diagonal, conforme a expressão logo abaixo e, usando pesos apropriados, supomos também que 1
∞∆ < .
Dizemos que não há perda de generalidade supor que ∆ seja bloco-diagonal, porque, na pior das hipóteses, podemos considerar que ∆ tenha um único bloco. Então estamos supondo que ( )s∆ tem a forma
1 1 1( ) {diag[ ,..., , ,..., ] : , }s s F i js I Iδ δ δ ∞ ∞∆ = ∆ ∆ ∈ ∆ ∈H HR R , (1)
com 1 e 1i jδ∞ ∞< ∆ < .
Na expressão acima os 'sδ são supostos escalares, enquanto que os 's∆ são supostos matrizes. 6.2 Valor singular estruturado Do ponto de vista conceitual, o valor singular estruturado nada mais é que uma “generalização imediata” (quem o inventou é o segundo autor de ZDG) do valor singular para matrizes constantes. Para ser mais específico, considere-se novamente o diagrama de blocos padrão da figura 22 abaixo, onde M e ∆ são supostos estáveis.
∆
M z w
Figura 20
∆
1e 1w
M
2w 2e
Figura 22
20
Uma pergunta básica a respeito do SMF da figura 22 é quão grande pode ser ∆ (no sentido de
∞∆ ) sem desestabilizar o sistema.
Os polos do SMF são dados pela equação det( ( ) ( )) 0I M s s− ∆ = . Portanto o SMF é instável se a eq. acima for satisfeita para algum Cs +∈ , o semiplano complexo fechado da direita estendido, isto é, incluindo o infinito. Supomos, como dito acima, que o sistema nominal, isto é, M, seja estável. Seja 0α > suficientemente pequeno tal que o SMF da figura 22 seja estável para todos os
α∞
∆ < . A seguir fazemos α aumentar até maxα de modo que o sistema da figura 22
se torne instável. Então dizemos que maxα é a margem de estabilidade robusta. Ora, pelo teorema do pequeno ganho, temos
Cmax
1 : sup ( ( )) sup ( ( ))s
M M s M jω
σ σ ωα +
∞∈
= = = . (2)
Em vista disso, podemos escrever 1( ( ))
min{ ( ) : det( ( ) ) 0, é não-estruturado}M s
I M sσ
σ=
∆ − ∆ = ∆. (3)
Ou por outras palavras, a recíproca do maior valor singular de M é uma medida do menor ∆ desestruturado que causa instabilidade no sistema com realimentação. Para quantificar o menor ∆ estruturado que desestabiliza o SMF, é introduzido o valor singular estruturado:
1( ( ))min{ ( ) : det( ( ) ) 0, é estruturado}
M sI M s
µσ∆ =
∆ − ∆ = ∆. (4)
Observe-se que a definição indica o valor singular de ( )M s com relação a ∆ . De (2) e (4), temos:
Cmax
1 sup ( ( )) sup ( ( ))s
M s M jω
µ µ ωα +
∆ ∆∈
= = . (5)
A última igualdade é demonstrada de modo rigoroso em ZDG, pp.277s, em que se prova que:
CCsup ( ( )) sup ( ( )) sup ( ( ))
ssM s M s M j
ωµ µ µ ω
++∆ ∆ ∆
∈∈= = .
Definições de µ O valor singular estruturado ( )µ ⋅ foi definido em (4) acima. O que se entende por estrutura em ∆ já vimos em (1), sem mencionar então a palavra “estruturado”. Vamos agora explicar e formalizar melhor esta definição. Consideremos matrizes Cn nM ×∈ . Na definição de ( )Mµ há uma estrutura subjacente ∆ , que é um conjunto de matrizes bloco-diagonais. Para cada problema esta estrutura é diferente, dependendo das incertezas e dos objetivos de pesquisa do sistema. Definir a estrutura de ∆ depende de três coisas: o tipo de cada bloco do diagrama de blocos, o número total de blocos e suas respectivas dimensões.
21
Há dois tipos de blocos, como vimos em (1): escalares repetidos e blocos cheios; o número de cada um será representado por S e F, respectivamente. E as dimensões de cada bloco serão dadas por 1 1,..., e ,...,S Fr r m m , respecitvamente, ou seja, o i-ésimo bloco de escalares repetidos tem dimensão i ir r× , enquanto que o j-ésimo bloco cheio tem dimensão j jm m× .
Com estes números em mente, definimos Cn n×∈∆ como
{ }1 s1 1= diag[ ,..., ,..., ] : C, C, j jm mS F i jr rI Iδ δ δ δ ×∆ ∈ ∈∆∆ . (5*)
Às vezes precisaremos de subconjuntos de ∆ que sejam limitados por norma, pelo que é introduzida a notação: B ={ : ( ) 1}σ∆∈ ∆ ≤∆ ∆ , (6a)
0B ={ : ( ) 1}σ∆∈ ∆ <∆ ∆ . (6b) Observe-se que os blocos cheios i∆ não precisam ser quadrados, mas suporemos aqui que o sejam para tornar a notação mais compacta. Definição: (7a) Para Cn nM ×∈ , ( )Mµ∆ é definido como
1( ) :min{ ( ) : , det( ) 0}
MI M
µσ∆ =
∆ ∆∈ − ∆ =∆, (7b)
a não ser que não exista ∆∈∆ que torne I M− ∆ singular, e neste caso, define-se ( ) :Mµ∆ = 0.
Observação: (8) - Quando não existe ∆∈∆ que torne I M− ∆ singular, define-se ( ) :Mµ∆ = 0, coerentemente com o fato que então a margem de estabilidade é infinita. - Sem perda de generalidade, os blocos cheios em ∆ podem ser escolhidos como díades (de posto igual a 1). Para ver isto, suponha, para simplificar, que S = 0, isto é, todos os blocos são cheios. Suponha que I M− ∆ é singular para algum ∆∈∆ . Então existe um
Cnx∈ tal que M x x∆ = . Particionemos x:
1
2 , C , 1,...,ii
F
m
xx
x x i F
x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ∈ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Definamos: 2, se 0
0, se 0
i i ii
ii
i
x x xx
x
∗⎧⎪⎨⎪⎩
∆ ≠∆ =
=
para 1,...,i F= , (8*)
{ }1 2diag , ,..., F∆ = ∆ ∆ ∆ .
22
Ora, 22i i i i i
iii
ix x x x
xx
∗ ∗∆= ≤ ∆∆
2
i ii
i
x x
x
∗
≤ ∆ , (8**)
porque 2ix é o produto escalar de ix por ele mesmo. Para calcularmos o numerador da
última expressão, consideremos, para maior clareza de idéias, e “quase” sem perda de generalidade, o caso em que ix tem apenas duas componentes, que denominaremos, para simplificar a notação, por 21 e xx . Então, supondo que x seja real (de novo para não
sobrecarregar a notação), temos [ ]11 2
2
Tii
xx x x
xx ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
21 1 2
21 2 2
x x xx x x⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
. Ora a norma-2
induzida de uma matriz é a raiz quadrada do seu maior autovalor; temos 2 21 1 2 1 1 2
2 2 21 2 2 1 2 2
det detx x x x x x
Ix x x x x x
λλ
λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( )x x x x x x x xλ λ λ λ λ= − − + − = − − . E é claro que o maior auto valor é
2 21 2x x+ , donde que 2 2
1 2i ix x x x∗ = + . Então a última fração de (8*) é igual a 1 e
portanto temos i i∆ ≤ ∆ .
Logo, ( ) ( )σ σ∆ ≤ ∆ . Agora note-se de (8*) que, supondo ainda, para simplificar, que ix tenha apenas duas componentes,
[ ]1 1 1 2 21 2 1 22 22
2 2 21 2
1 1 ( )i i i i i ii
x x xx x x x x x
x x xx xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
∆ = ∆ = ∆ + = ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦.
Donde, x x∆ = ∆ e, portanto ( ) ( ) 0I M x I M x− ∆ = − ∆ = , isto é, I M− ∆ também é singular. Portanto, nós substituímos a perturbação geral ∆ que satisfaz à condição de singularidade por uma perturbação ∆ que não é maior (no sentido de ( )σ ⋅ ) e que tem posto igual a um em cada bloco, mas ainda satisfaz a condição de singularidade. Segue-se uma expressão alternativa da definição de ( )Mµ∆ : Lema: (9)
( )Mµ∆ = Bmax ( )Mρ∆∈ ∆∆ , onde ( )ρ ⋅ é o raio spectral da matriz, isto é , o valor absoluto do auto-valor de maior valor absoluto. Prova: Segue de (3), lembrando que o maior valor singular é a raiz quadrada do maior autovalor. • Em virtude deste lema, a continuidade da função : C Rn nµ × → fica evidente.
23
Em geral, entretanto, a função : C Rn nµ × → não é uma norma, pois se pode mostrar que ela não satisfaz à desigualdade do triângulo. Entretanto, para qualquer Cα ∈ temos ( ) ( )M Mµ α α µ= , portanto, em algum sentido, ( )µ ⋅ está relacionado a quão “grande” uma matriz é. Podemos relacionar ( )Mµ∆ a quantidades familiares na álgebra linear quando ∆ é um dos conjuntos: Fato: (10) Se { : C}Iδ δ= ∈∆ , (ou seja, S = 1, F = 0, 1r n= ), então, ( ) ( )M Mµ ρ=∆ . Prova: Os únicos 's∆ em ∆ que satisfazem a det( ) 0I M− ∆ = correspondem aos autovalores não nulos de M. E o menor deles é associado com o maior autovalor, donde a conclusão. • Fato: (11) Se Cn n×=∆ , ou seja, S = 0, F = 1, 1m n= , então ( ) ( )M Mµ σ=∆ .
Prova: Se 1( )( )M
σσ
∆ < , então I M− ∆ é não singular, por aplicação do teorema do
pequeno ganho. Aplicando a definição (7b) e (3), temos ( ) ( )M Mµ σ≤∆ . (12) A possivel desigualdade anterior se deve ao fato que no lado esquerdo temos perturbação estruturada. Ora, quando temos um bloco único cheio, a perturbação é de fato desestruturada, daí a igualdade. • É claro que para um ∆ geral como em (5*), devemos ter: { : C} Cn n
nIδ δ ×∈ ⊂ ⊂∆ . (13) Consequentemente, da definição de µ e dos dois casos especiais acima, temos
( ) ( ) ( )M M Mρ µ σ≤ ≤∆ . (14) Mas estes limitantes não são suficientes para nossos propósitos, porque a diferença entre
( )Mρ e ( )Mσ pode ser arbitrariamente grande. Assim, por exemplo, suponha que
1
2
00δ
δ⎡ ⎤
∆ = ⎢ ⎥⎣ ⎦
e
1º. caso: 00 0
Mβ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, com 0β > , de resto qualquer. Então, ( ) 0Mρ = e ( )Mσ β= ,
porque os valores singulares são as raizes quadradas dos autovalores de TMM . E ( ) 0Mµ = , visto que det( ) 1I M− ∆ = para todos os 's∆ admissíveis.
2º. Caso: 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2
M−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦. Neste caso, temos ( ) 0Mρ = e ( ) 1Mσ = . E visto que
24
1 2det( ) 12
I M δ δ−− ∆ = + , é fácil ver que 1 2min max :1 0 1
2i iδ δδ −⎧ ⎫+ = =⎨ ⎬
⎩ ⎭,
portanto µ (M) = 1. Poranto, nem ρ nem σ proveem limitantes úteis mesmo em casos simples. Eles são úteis se ( ) ( )M Mρ σ≈ . Entretanto estes limitantes podem ser refinados considerando transformações em M que não afetam ( )Mµ∆ , mas afetam ρ e σ . Com este objetivo, definamos os seguintes
dois subconjuntos de Cn n× : { : } nU UU I∗= ∈ =∆U , (15)
{ }1 11 1 1diag[ ,..., , ,..., , ] : C , 0, R, 0iiFFS F i i i j j
r rm m mD D d I d I I D D D d d
−
∗−
×= ∈ = > ∈ >D
(16) Note-se que para todo , e ,U D∆∈ ∈ ∈∆ U D temos
, , , ( ) ( ) ( ), U U U U U D Dσ σ σ∗∈ ∆∈ ∆ ∈ ∆ = ∆ = ∆ ∆ = ∆∆ ∆U . (17) Em vista disso, temos Teorema: (18) Para todo e ,U D∈ ∈U D
1( ) ( ) ( ) ( )MU UM M DMDµ µ µ µ −= = =∆ ∆ ∆ ∆ Prova: Para todo e ,D∈ ∆∈∆D
1 1det( ) det( ) det( )I M I MD D I DMD− −− ∆ = − ∆ = − ∆ , a primeira igualdade porque D comuta com ∆ e a segunda porque, em geral, det(I – AB) = det(I – BA). Portanto, 1( ) ( )M DMDµ µ −=∆ ∆ . Alem disso, para todo U ∈ U , det( ) 0I M− ∆ = se só se det( ) 0I MUU ∗− ∆ = . Mas visto que U ∗∆∈∆ (ver (17), e ( ) ( )Uσ σ∗∆ = ∆ (idem), obtemos ( ) ( )MU Mµ µ=∆ ∆ . E o argumento para UM segue a mesma linha. • Em vista disto, os limitantes em (14) podem ser mais “apertados”:
1Bmax ( ) max ( ) ( ) inf ( )DU UM M M DMDρ ρ µ σ −
∈∆∈∈ ≤ ∆ = ≤∆∆U D , (19) onde a igualdade acima vem do lema (9). Então, de (19), temos
1max ( ) ( ) inf ( )DU UM M DMDρ µ σ −∈∈ ≤ ≤∆ DU (19*)
A seguir temos o resultado, cuja prova é remetida para um artigo (ver ZDG, p. 281): Teorema: (19#) max ( ) ( )U MU Mρ µ∈ = ∆U
25
Boa definição e desempenho para LFT’s constantes
Seja uma matriz complexa: 11 12
21 22
M MM
M M⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
(20)
e sejam duas estruturas 1 2 e ∆ ∆ que são compatíveis em dimensões com 11M e 22M . Defina-se uma terceira estrutura:
11 1 2 2
2
0: ,
0⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
∆= ∆ ∈ ∆ ∈
∆∆ ∆ ∆ . (21)
Vamos computar µ com respeito a estas três estruturas. Usaremos a seguinte notação:
1µ se refere a 1∆ , 2µ se refere a 2∆ e µ∆ se refere a ∆ . Com esta notação,
1 11 2 22( ), ( ) e ( )M M Mµ µ µ∆ todas fazem sentido, mas 1( )Mµ , por exemplo, não faz. Estamos interessados em resolver os seguintes problemas: - Determinar se a LFT 2( , )l M ∆Y é bem definida para todo 2 2∆ ∈∆ com
2( ) ( )σ β β∆ ≤ < e - se este for o caso, determinar quão “grande” 2( , )l M ∆Y pode ser. Então, seja 2 2∆ ∈∆ . Lembremo-nos que 2( , )l M ∆Y é bem definida se 22 2I M− ∆ tiver inversa. O próximo teorema nada mais é que uma reformulação da definição de µ : Teorema: (22) A LFT 2( , )l M ∆Y é bem definida (a) para todo 2 2B∆ ∈ ∆ se só se 2 22( ) 1Mµ < ,
(b) para todo 02 2B∆ ∈ ∆ se só se 2 22( ) 1Mµ ≤ . •
Quando a “perturbação” 2∆ é diferente de zero, a matriz 2( , )l M ∆Y se torna diferente de 11M . Os valores que 1 2( ( , ))l Mµ ∆Y pode ter são intimamente relacionados a
( )Mµ∆ , conforme o teorema segunte: Teorema da malha principal: (23)
( ) 1Mµ <∆ se só se 2 2
2 22
1 2B
( ) 1 emax ( ( , )) 1l
MM
µµ∆ ∈
<⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬∆ <⎪ ⎪⎩ ⎭∆ Y
,
( ) 1Mµ ≤∆ se só se 0
2 2
2 22
1 2B
( ) 1 emax ( ( , )) 1l
MM
µµ∆ ∈
≤⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬∆ ≤⎪ ⎪⎩ ⎭∆ Y
.
Prova: (apenas da 1ª. parte, a da 2ª. sendo análoga) (Suficiência): Sejam 1 1 2 2 e ∆ ∈ ∆ ∈∆ ∆ , com 1 2( ) 1 e ( ) 1σ σ∆ ≤ ∆ ≤ e defina-se
1 2diag[ , ]∆ = ∆ ∆ . É claro que ∆∈∆ . Ora,
26
2
21
11 1 12
1 22 2det( ) det
I M MI M
M I M∆⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
− ∆ −− ∆ =
− ∆ − ∆. (24)
Por hipótese 22 2I M− ∆ tem inversa e, portanto,
( )122 2 11 1 12 2 22 2 21 1det( ) det( )det ( )I M I M I M M I M M−− ∆ = − ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆ , ou seja,
22 2 2 1det( ) det( )det( ( , ) )lI M I M I M− ∆ = − ∆ − ∆ ∆Y . (25) Mas 1 2( ( , ))l Mµ ∆Y < 1 por hipótese (enunciado do teorema), e 1 1B∆ ∈ ∆ (primeira linha da prova deste teorema), donde que 2 1( , )lI M− ∆ ∆Y é não singular. Então I M− ∆ é não singular e, por definição (?), ( ) 1Mµ <∆ . (Necessidade): Basicamente, reverte-se o argumento acima. De novo, 1 1 2 2 e ∆ ∈ ∆ ∈∆ ∆ e 1 2diag[ , ]∆ = ∆ ∆ . Então B∆∈ ∆ e, por hipótese, det( ) 0I M− ∆ ≠ . Pode-se verificar da definição de µ que temos sempre 1 11 2 22( ) max{ ( ), ( )}M M Mµ µ µ≥ . Mais ainda, como por hipótese 2 22( ) 1Mµ < , temos 22 2I M− ∆ é não singular. Então, (25) é valida, dando 22 2 2 1det( )det( ( , ) ) det( ) 0lI M I M I M− ∆ − ∆ ∆ = − ∆ ≠Y . Então é claro que 2 1( , )lI M− ∆ ∆Y é não singular para todos 1 1 2 2B e B ∆ ∈ ∆ ∈∆ ∆ , provando o teorema. • 6.3 Estabilidade robusta estruturada e desempenho Estabilidade robusta O uso mais conhecido de µ como ferramenta de análise de robustez é no domínio da frequência. Seja ( )G s uma matriz de transferência racional, com coeficientes reais e estável. Para maior concretude, suponha que a matriz tenha 1q entradas e 1p saídas. Seja ∆ como em
(5*) e suponha que as dimensões sejam tais que 1 1Cq p×⊂∆ . Seja ( )∆M o conjunto de todas as matrizes racionais, estáveis e bloco-diagonais com estrutura de blocos como em ∆ , e tais que
{ }0 0 +( ) : ( ) : ( ) para todo Cs s∞= ∆ ⋅ ∈ ∆ ∈ ∈∆ ∆M HR . Então, temos Teorema: (26) Seja 0β > . Então o SMF abaixo é bem posto e internamente estável para todo
( ) ( )∆ ⋅ ∈ ∆M com 1/ β∞
∆ < se só se Rsup ( ( ))G jω µ ω β∈ ≤∆ .
27
Prova: (Suficiência): Temos
+ RCsup ( ( )) sup ( ( ))s G s G jωµ µ ω β∈∈ = ≤∆ ∆ , esta desigualdade
por hipótese do teorema. Portanto, det( ( ) ( )) 0I G s s− ∆ ≠ para todo C { }s +∈ ∞∪ sempre que 1/ β
∞∆ < , isto é, o sistema é robustamente estável.
(Necessidade): Suponha que Rsup ( ( ))G jω µ ω β∈ >∆ . Então existe um 0ω , 00 ω< < ∞ , tal que 0( ( ))G jµ ω β>∆ . De acordo com a observação (8), existe um complexo c∆ ∈∆ tal que cada bloco cheio tenha posto 1 , ( ) 1/cσ β∆ < e tal que ( ) cI G jω− ∆ é singular. A seguir, usando o mesmo tipo de prova do teorema do pequeno ganho, pode-se encontrar uma matriz racional ( )s∆ tal que 0( ) ( ) 1/ , ( )c cs jσ β ω
∞∆ = ∆ < ∆ = ∆ e
( )s∆ desestabiliza o sistema. • Desempenho robusto Suponha que pG seja uma matriz de transferência racional, real, estavel e própria com
1 2q q+ entradas e 1 2p p+ saídas.
11 12
21 22
( )p
G GG s
G G⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
. Seja 1 1Cq p×⊂∆ uma estrutura em blocos como em (5*). Defina-
se uma estrutura em bloco aumentada: 2 20
: : , C0
q pp f
f
×⎧ ⎫∆⎡ ⎤⎪ ⎪= ∆∈ ∆ ∈⎨ ⎬⎢ ⎥∆⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∆ ∆ .
Queremos estudar o problema do desempenho robusto conforme a figura 28.
1ω 1e ∆
2ω
2e ( )G s
Figura 27
28
A matriz de transferência de w a z é, como sabemos, ( , )u pG ∆Y . Teorema (29) Seja 0β > Para todo ( ) ( ) com <1/s β
∞∆ ∈ ∆∆M o SMF da figura 28 é bem posto,
internamente estável e ( , )u pG β∞
∆ ≤Y se só se Rsup ( ( ))p pG jω µ ω β∈ ≤∆ . •
Observe-se que estabilidade interna implica R 11sup ( ( ))G jω µ ω β∈ ≤∆ . Portanto a prova deste teorema é ao longo das linhas do teorema (26). Este é um teorema muito útil, ele é, como se pode ver, uma extensão do teorema do pequeno ganho. Ele nos diz que o problema do desempenho robusto é equivalente ao problema da estabilidade robusta com a incerteza ∆ . 6.4 Visão de conjunto da síntese usando µ Nesta seção mostraremos como a teoria de análise discutida nas seções anteriores leva naturalmente aos problemas de síntese. Dos resultados obtidos vimos como cada caso leva a calcular
com =2, ou então Mα
α µ∞ . (31) Obtemos, com a malha fechada sempre uma LFT, como na figura 32 que segue.
( )s∆
( )pG s w z
Figura 28
G z w
K
Figura 32
29
111 12 22 21( , ) ( )l G K G G K I G K G−= + −Y ,
onde 11 12
21 22
G GG
G G⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
é escolhida respectivamente como:
- no caso de apenas desempenho nominal ( 0∆ = ): 22 23
32 33
P PG
P P⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
- no caso de estabilidade robusta somente: 11 13
31 33
P PG
P P⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
- no caso de desempenho robusto:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
||
|
P P PP P P
P P P
G P
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
= = .
E cada situação leva ao problema de síntese min ( , ) , com =2, , ou K l G K
αα µ∞Y , (33)
sujeito à estabilidade interna do sistema nominal. O problema de síntese com =2α foi resolvido nos anos 60’s, o problema com = α ∞ foi resolvido ao final dos anos 80’s, o segundo autor de ZDG tendo tido atuação de liderança, o terceiro autor também tendo contribuído. O problema com µ ainda é (?) objeto de pesquisa. Estes três problemas são o foco do resto deste texto. 7º. Capítulo: Parametrização dos controladores estabilizadores A configuração básica dos problemas deste capítulo é uma LFT como a figura 34, onde G é uma planta generalizada com dois conjuntos de entradas: os sinais exógenos w que incluem distúrbios e comandos e os sinais de controle u , usulamente através de atuadores, incorporados a G. A planta tem também dois conjuntos de saídas: as respostas medidas, usulamente através de sensores, incorporados a G, e as respostas reguladas z.
30
Neste capítulo nos ocuparemos somente do problema de síntese de estabilização do SMF, ou seja, como diz mais ou menos o título do capítulo, achar o conjunto de todos os controladores que estabilizam o SMF. 7.1 Existência de Controladores estabilizadores Suponnha que G tenha uma realização estabilizável e detectável dada por:
Definição: (1*) Um controlador próprio K(s) é dito admissível se estabilizar internamente G (isto é, se ele estabilizar internamente a malha). Lema: (2) Existe um controlador K que estabiliza internamente a malha se só se 2( , )A B é estabilizável e 2( , )C A é detectável. Isto posto, sejam F e L tais que
2 2 e A B F A LC+ + sejam estáveis; então um controlador estabilizador é dado por
(O controlador do tipo acima é chamado de controlador com base em observador). Prova: (Suficiência): Sendo G estabilizável e detectável, existem F e L tais que
2 2 e A B F A LC+ + são estáveis. Temos as eqs. da planta
2x Ax B u= + , 2 22y C x D u= + . (2*)
G z w
K
Figura 34
u y
2 2 22( )0
A B F LC LD F LK s
F+ + + −⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
1 211 12
1 11 1221 22
2 21 22
( ) ( )( )
( ) ( )
A B BG s G s
G s C D DG s G s
C D D
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
(1)
31
Usemos o controlador sugerido pelo enunciado do Lema: 1
2 2 22( ) ( ) ( ) ( )u s F sI A B F LC LD F L y s−= − − − − − , isto é,
2 2 22ˆ ˆ( )x A B F LC LD F x Ly= + + + − , (2**) ˆu Fx= . (2#)
De (2**) em vista de (2#) e da segunda eq. de (2*), temos
2 2 22 2 22ˆ ˆ ˆ( )x A B F LC LD F x LC x LD Fx= + + + − − = 2 2 2ˆ( )A B F LC x LC x+ + − . Da primeira de (2*) com (2#) e desta última, temos as eqs. de estado do SMF:
2
2 2 2 ˆˆ
x A B F xLC A B F LC xx
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + + ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
. (2##)
Premultiplicando a matriz do sistema acima por 0I
I I⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
e pós multiplicando pela sua
inversa (uma transformação de similaridade) obtemos 2 2
20A B F B F
A LC+⎡ ⎤
⎢ ⎥+⎣ ⎦. (2$)
A matriz que premultiplica a matriz do sistema, também tem que multiplicar o lado esquerdo de (2##), obtendo-se
ˆ
x
x x⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎣ ⎦, a segunda componente desta sendo a derivada do “erro” entre os dois estados.
Isto é algo familiar, pois não? Trata-se da diferença que apareceu na eq. do observador entre o estado estimado e o estado da planta. Eis porque o controlador deste Lema é chamado de “controlador baseado em observador”. Ora, de (2$) vemos que seus autovalores são os de 2A B F+ e os de 2A LC+ . Isto prova a suficiência da condição do Lema. (Necessidade): Se 2( , )A B não for estabilizável ou se 2( , )C A não for detectável, a matriz de sistema dada em (2$) não será estável. • A esabilizabilidade e detectabilidade de 2 2( , , )A B C serão pressupostas no resto deste capítulo. Lema: (3) Suponha que a realização “herdada”
222
2 22
A BG
C D⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
(3*)
32
seja estabilizável e detectável. Então o SMF da figura 34 é internamente estável se só se o da figura 35 o for:
Ou por outras palavras, K estabiliza internamente G se só se estabilizar internamente
22G . Prova: Reportamo-nos à matriz de transferência da planta dada em (1), em que a primeira “linha” se refere à resposta controlada da planta, enquanto que a segunda “linha” é a que nos interessa, pois se refere à resposta realimentada da planta, que é a entrada do controlador K. Mas na segunda linha a coluna que nos interessa do ponto de vista da estabilidade é a segunda, uma vez que a primeira relaciona a resposta realimentada com o sinal exógeno, o qual não afeta a estabilidade da planta. • Observação: (4) Sabemos que uma realização de uma matriz não é única. Claro que outras realizações de
22G acima podem não ser estabilizáveis e/ ou detectáveis. Assim por exemplo, se
é claro que esta é uma realização mínima, isto é, controlável e observável. E a fortiori é estabilizável e detectável. Mas a realização seguinte
nem é estabilizável nem detectável.
22G
K
y u
Figura 35
22
1 111 01
Gs
−⎡ ⎤= = ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦
22
1 0 110 1 0
11 0 0
Gs
−⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦
33
7.2 Dualidade e problemas especiais Nesta seção discutiremos quatro problemas, dos quais são obtidas as soluções para o sistema com realimentação da resposta. Como vimos, dizemos que os conceitos de controlabilidade (estabilizabilidade, respectivamente) e observabilidade (detectabilidade, respectivamente) são duais por causa da dualidade entre ( , , ) e ( , , )T T TC A B B A C , ou seja a primeira tripla é controlável (estabilizável) se a segunda for observável (detectável) e vice-versa. Este conceito de dualidade pode ser generalizado, como segue. Considere o diagrama de blocos padrão:
Agora considere o sistema:
Da figura 36 temos a matriz de transferência entre z e w dada por
111 12 22 21( , ) ( )l G K G G K I G K G−= + −Y .
Consequentemente, temos
( ) 1
11 21 22 12( ( , )) ( ) ( ) ( ) ( )T T T T T T Tl G K G G I K G K G
−= + −Y
= ( ) 1
11 21 22 12( ) ( ) ( ) ( )T T T T T TG G K I G K G−
+ − .
Por outro lado, 11 21
12 22
( ) ( )( )
( ) ( )
T TT
T T
G s G sG s
G s G s⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
E portanto a matriz de transferência entre e z w da figura 37 é
G z w
K
Figura 36
u y
z TG
w
TK
y u
Figura 37
34
111 21 22 12( , ) ( ) ( )T T T T T T T T
l G K G G K I G K G s−= + −Y . Portanto, ( ( , )) ( , )T T T
l lG K G KY P Y
E então é claro que K estabiliza internamente G se só se TK estabilizar internamente TG . Consideremos agora os quatro problemas mencionados antes. FI (“full information”) com a planta:
O nome “full information” fica claro quando se vê que a resposta realimentada da planta
é x
yu⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
FC (“full control”) com a planta:
A justificativa do nome fica clara em vista do fato que a resposta do controlador, u, entra diretamente na planta, sem passar pelas matrizes “ 2B ” e “ 2D ”. DF (“disturbance forward”) com a planta correspondente:
Agora é o sinal exógeno que entra diretamente. OE (“output estimation”) com a planta correspondente:
[ ][ ][ ]
1
1 11
2 21
000 0
FC
A B IG C D I
C D=
1 2
1 11 12
2 0DF
A B BG C D D
C I
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 2
1 11 12
0 00 0
FI
A B BC D DI
I
G
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
=
35
Agora a saida do controlador entra diretamente na parte da planta que dá o sinal controlado, z. A seguir, temos Lema: (5) Sejam FIG e DFG dados acima. Então,
(i) 2
0 0( ) ( )
0DF FI
IG s G s
C I⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
,
(ii) S( , )FI DF DFG G P= , onde S( , )⋅ ⋅ é o produto estrelado, indicado no diagrama de blocos da figura 38 e DFP é dado também abaixo.
Prova: O Lema usa o “produto estrelado” de Redheffer. As ligações entre entradas e resposta é “arrevesada”, e isto tem implicações em termos de complicação das expressões, a saber:
1 2
1 11
2 21 0OE
A B BG C D I
C D
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
DFG
DFP
Figura 38
1 2 1 2
2
( ) 0 00 0
0
DF
A B C B BP s I
IC I
−=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
36
Sejam 11 12
21 22
P PP
P P⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
e 11 12
21 22
K KK
K K⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Então o produto estrelado de Redheffer é definido como 1
11 12 11 22 121
21 22 11 22
( , ) ( )( , ) :
( ) ( , )l
u
P K P I K P KS P K
K I P K K P
−
−
⎡ ⎤−= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
Y
Y.
A prova do Lema, bem como as dos resultados que se segume são omitidas, posto que muito complicadas. • Teorema: (6) Sejam , e FI DF DFG G P dados acima. Então, (i) [ ]2FI DFK K C I= estabiliza internamente FIG se DFK estabilizar internamente
DFG . Alem disso, [ ]( ) ( )2, ,l FI DF l DF DFG K C I G K=Y Y .
(ii) Suponha que 1 2A B C− seja estável. Então ( ),DF l DF FIK P K=Y (mostrada na figura 39) estabiliza internamente DFG se FIK estabilizar inernamente FIG . Alem disso,
( )( ) ( ), , ,l DF l DF FI l FI FIG P K G K=Y Y Y .
DFP DFy u
FIK
y u
Figura 39
37
Vejamos agora a equivalência entre os problemas FC e OE, que aparecem na figura 40.
Temos resultados semelhantes aos anteriores: Lema: (7) Sejam e FC OEG G dados acima. Então,
(i) 2
0( ) ( ) 0
0OE FC
IG s G s B
I
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
(ii) S( , )FC OE OEG G P= , onde,
Teorema: (8) Sejam , e OE OE FCG P G dados acima.
(i) 2:FC OE
BK K
I⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
estabiliza internamente FCG se OEK estabilizar internamente OEG .
Alem disso, ( )2, ,l FC OE l OE OE
BG K G K
I⎛ ⎞⎡ ⎤
=⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
Y Y .
(ii) Suponha que 2 1A B C− seja estável. Então, ( ),OE l OE FCK P K=Y (figura 41) estabiliza internamente se OE FCG K estabilizar internamente FCG . Alem disso,
( )( ) ( ), , ,l OE l OE FC l FC FCG P K G K=Y Y Y .
FCG z w
FCK
FCy u
OEG
z w
OEK
u OEy
Figura 40
[ ][ ][ ]
2 1 2
1
2
0( ) 0 0
0 0OE
A B C I BP s C I
C I
− −=
38
7.3 Parametrização de todos os controladores estabilizadores Considere novamente o diagrama de blocos padrão da figura 34, repetida abaixo
onde, como vimos ao início do capítulo, G é definido como
Supomos, como antes, que 2( , )A B é estabilizável e 2( , )C A é detectável. Nosso objetivo nesta seção é resolver o seguinte problema: dada a planta G, parametrizar todos os controladores K que estabilizam internamente G. A parametrização de todos os controladores estabilizadores é chamada usualmente de “parametrização de Youla”. Como visto antes, os controladores estabilizadores dependem somente de 22G . Suponhamos primeiramente que a planta G seja estável. Teorema (9)
G z w
K
Figura 34 bis
u y
OEP u y
FCK
y u
Figura 41
1 211 12
1 11 1221 22
2 21 22
( ) ( )( )
( ) ( )
A B BG s G s
G s C D DG s G s
C D D
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
39
Suponha que G ∞∈ HR . Então, o conjunto de todos os controladores estabilizadores pode ser dado por 1
22( )K Q I G Q −= + , onde Q ∞∈ HR , 22 ( )I D Q+ ∞ não singular. Prova: Do diagrama de blocos, temos
121 22 21 22 22 21, ( )y G w G u u Ky KG w KG u u I KG KG w−= + = = + ∴ = − .
A estabilidade fica definida pelos zeros de 22I KG− , ou seja, 122( )I KG −− tem que ser
estável. Substituindo K dado acima, temos
( ) ( )1 11 1 122 22 22 22 22( ) ( ) ( )I KG I Q I G Q G I QG I QG
− −− − −− = − + = − +
= ( ) 1122 22 22 22( )( )I QG QG I QG I QG
−−+ − + = + ∞∈ HR , estabelecendo a suficiência
da condição Por outro lado, suponha que K seja um controlador estabilizador. Vimos no capítulo (?) que
Estabilidade interna 1
22
I KG I
−
∞−⎡ ⎤
⇔ ∈⎢ ⎥−⎣ ⎦HR . Mas o elemento (1,2) desta matriz é,
como vimos, 122( )K I G K −− . Definamos Q := 1
22( )K I G K −− 22Q QG K K∴ − = 1
22 22( ) ( )I QG K Q K I QG Q−∴ + = ∴ = + = 122( )Q I G Q −+
E observe-se que a invertibilidade na última eq. é garantida pelo fato de o SMF ser bem posto, visto que 1
22 22( ) ( ( ))I D Q I D K −+ ∞ = − ∞ . • Quando G não é estável, a parametrização é mais complicada. Mais adiante, neste capítulo, daremos a prova do respectivo teorema usando o método das fatorações coprimas, que foi o método usado por Youla, que deu o nome a esta parametrizacao. Por ora, temos o resultado usando as matrizes das eqs. de estado: Teorema: (10) Sejam F e L tais que 2A LC+ e 2A B F+ são estáveis. Então, todos os controladores que estabilizam G no SMF podem ser parametrizados como a matriz de transferência entre y e u na figura abaixo:
40
onde J é dado por
com qualquer Q ∞∈ HR tal que 22 ( )I D Q+ ∞ seja não singular. A prova deste teorema segue os mesmos passos do anterior, mas não dá muita compreensão do problema. No que se segue, é apresentada uma nova (à época da edição do livro) abordagem, reduzindo o problema de realimentação da resposta a problemas mais simples como o FI e OE, ou FC e DF Controladores estabilizadores para os problemas FI e FC Vamos examinar primeiramente a estrutura FI, conforme a figura 43 abaixo
onde, como vimos,
J u y
Q
Figura 42
2 2 22 2 22
2 22 22
0( )
A B F LC LD F L B LDJ F I
C D F I D
+ + + − +⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎣ ⎦
FIG
FIK
z w
FIy u
Figura 43
41
Queremos obter a classe de todos os compensadores FIK que estabilizam FIG no SMF. E obtemos um resultado bastante simples: Lema: (11) Seja F uma matriz constante tal que 2A B F+ seja estável. Então a classe de todos os compensadores para o problema FI pode ser parametrizada por
[ ]( ) ( )FIK s F Q s= , com qualquer ( )Q s ∞∈ HR .
Prova: imediata: com efeito, conforme a expressao de FIG acima,
12( )
0FI
Iy sI A B u−⎡ ⎤
= −⎢ ⎥⎣ ⎦
. •
Agora consideramos o problema dual do anterior, o FC, dado na figura 44 abaixo:
Lema (12) Seja L uma matriz constante tal que 2A LC+ é estável. Então a classe de todos os
controladores estabilizadores pode ser parametrizada por ( )( )FC
LK s
Q s⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, ( )Q s ∞∈ HR
e de resto qualquer. Controladores estabilizadores para problemas DF e OE No caso do problema DF temos o diagrama de blocos da fig. 45 abaixo.
1 2
1 11 12
0 00 0
FI
A B BC D DI
I
G
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
=
FCG
FCK
z w
FCy u
Figura 44
42
Recorda-se que a matriz de transferência acima é:
Obtem-se o seguinte resultado, com a restrição que 1 2A B C− seja estável. Esta hipótese é feita para simplificar, ela não é necessária para a solução do problema. Lema (13) Supondo que 1 2A B C− seja estável, todos os controladores estabilizadores para o problema DF podem ser caracterizados por ( ),DF l DFK J Q=Y , com Q ∞∈ HR e
Prova: ZDG, p. 315. E passamos ao dual do problema anterior, o OE. O diagrama de blocos correspondente está na figura 46 abaixo:
OEG
OEK
z w
OEy u
Figura 46
1 2
1 11 12
2 0DF
A B BG C D D
C I
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
DFG
DFK
z w
DFy u
Figura 45
2 1 2 1 2
2
00
DF
A B F B C B BJ F I
C I
+ −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
43
Agora suporemos que 2 1A B C− seja estável. Tal como no problema anterior, esta hipótese é feita para simplificar, ela não é necessária para a solução do problema. Lema: (14) Suponha que 2 1A B C− seja estável. Então todos os controladores estabilizadores para o problema OE podem ser caracterizados como ( )0,l OEJ QY , com 0Q ∞∈ HR e OEJ dado por:
2 1 2 2
1
2
00
OE
A B C LC L BJ C I
C I
− + −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Prova: ZDG, p. 316 Realimentação da resposta e separação: A partir do que foi visto agora, pode-se demonstrar o Teorema (10), cuja prova é dada, como dito, por ZDG, pp. 317s. Observação: (15) O Teorema (10) mostra que qualquer controlador estabilizador K(s) pode ser caracterizado como uma LFT de um parâmetro matricial Q ∞∈ HR , isto é,
( )( ) ,lK s J Q=Y . Mais ainda, usando os argumentos (omitidos neste texto, mas encontrados em ZDG no local indicado) do Lema (13), uma realização de ( )Q s em termos de K(s) pode ser obtida como
( )ˆ,lQ J K=Y ,
onde
e K(s) tem realização estabilizável e detectável. 7.4 Estrutura da parametrização do controlador Recordando o que fizemos: começamos com uma realização estabilizável e detectável de
22G :
2
2 22
ˆ 0A L B
J F IC I D
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
44
Escolhemos F e L tais que 2 2 e A B F A LC+ + são estáveis. Definimos J pela fórmula do Teorema (10), que repetimos aqui:
Então os K’s próprios que estabilizam internamente o SMF são preciasamente aqueles da Figura 47 abaixo
Figura 47 com ( ),lK J Q=Y , Q ∞∈ HR e 22 ( )I D Q+ ∞ , não singular. É fato interessante que na figura acima, o que está dentro do tracejado é um controlador estabilizador baseado em observador, caracterizado pelo fato de que não somente y, mas também u, são entradas para o controlador. O resultado acima também sugere outra interpretação interessante: toda estabilização interna consiste em adicionar dinâmicas estáveis à planta e então estabilizar a planta aumentada por meio de um observador. O resultado preciso desta afirmação é dado pelo Teorema (16) abaixo, onde, para simplificar os cálculos, e sem perda de generalidade, supomos que 22 e G K são estritamente próprias.
222
2 22
A BG
C D⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2 22 2 22
2 22 22
0( )
A B F LC LD F L B LDJ F I
C D F I D
+ + + − +
=
− + −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
45
Teorema: (16) Suponha que 22 e G K sejam estritamente próprias e que o sistema da figura 34, repetida abaixo, seja internamente estável. Então o sistema pode ser embutido (“imbedded”) em um sistema
aA estável e K
onde e e eA B F+ e e e eA L C+ são estáveis. Prova: Repetimos a figura 34:
K pode ser representado pela figura 47 para algum Q ∞∈ HR . Para que K seja estritamente própria, Q tem que ser também estritamente própria. Considere uma realização mínima de Q:
Como Q ∞∈ HR , então aA é estável. Sejam x e ax vetores de estado correspondentes a J e Q, respectivamente. As eqs. do sistema da figura 47 são:
2 2 2 1( )x A B F LC x Ly B y= + + − + ,
1u Fx y= + ,
1 2u C x y= − + .
G z w
K
Figura 34 ter
u y
0e e
e
A BC⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, com 0
0ea
AA
A⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, 2
0e
BB
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, [ ]2 0eC C= ,
0e e e e e e
e
A B F L C LK
F+ + −⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
0a a
a
A BQ
C⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
46
Por outro lado, 1a a a ax A x B u= +
1 a ay C x= . Definamos:
[ ]: , : , :e e a ea a
x Lx F F C L
x B⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
As eqs. acima nos levam a ( )e e e e e e e ex A B F L C x L y= + + − ,
e eu F x= . • 7.5 Matriz de transferência do SMF Lembra-se que o SMF entre w e z é uma LFT, ( ),l G KY , e que K estabiliza G se só se estabilizar 22G . Ora, da figura 47 obtemos a figura 48, definindo tudo o que não é Q como T de acordo com
( ) ( ) ( ), , ( , ) ,l l l lz G K w G J Q w T Q w= = =Y Y Y Y .
. Uma realização de T é dada pelo Teorema: (17) Sejam F e L tais que e A BF A LC+ + sejam estáveis. Então, o conjunto de todas as matrizes de transferência de w para z que podem ser obtidas com um contralador estabilizador próprio é igual a
( ) 11 12 21 22, { : , ( ) tem inversa}l T Q T T QT Q I D Q∞= + ∈ + ∞Y HR , onde T é dada por
T z w
Q
Figura 48
2 2 1 2
11 12 2 1 21
21 21 1 12 12 11 12
2 21
0 0
0 0
A B F B F B BT T A LC B LD
TT T C D F D F D D
C D
+ −⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
47
Prova: A prova é, segundo ZDG, p. 323, “imediata” usando o produto estrelado no espaço de estado, “com alguma álgebra tediosa”. 7.6 Parametrização de Youla através de fatorações coprimas. Damos agora o que foi anunciado algumas páginas antes: Teorema: (18) Sejam 1 1
22G NM M N− −= = , fatorações c.d. e c.e., respectivamente, sobre ∞HR . Sejam
0 0 0 0, , e U V U V ∞∈ HR e tais que satisfaçam a identidade de Bezout:
00 0
0
00
M U IV UN V IN M
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
. (A existência de 0 0 0 0, , e U V U V ∞∈ HR satisfazendo a
esta igualdade é garantida pelo fato de 1 1NM M N− −= serem fatorações coprimas). Então o conjunto de todos os compensadores estabilizadores é parametrizado por uma das duas fórmulas seguintes:
1 10 0 0( )( ) , det( )( ) 0, r r r rK U MQ V NQ I V NQ Q− −
∞= + + + ∞ ≠ ∈ HR , (18a) 1 1
0 0 0( ) ( ), det( )( ) 0, l l l lK V Q N U Q M I Q NV Q− −∞= + + + ∞ ≠ ∈ HR . (18b)
Como e r lQ Q têm a mesma dimensão, nada impede de igualá-los, uma vez que são arbitrários, a menos das condições 1
0det( )( ) 0rI V NQ−+ ∞ ≠ e 10det( )( ) 0lI Q NV −+ ∞ ≠ , as
quais são equivalentes, isto é, uma ocorre se só se a outra ocorrer. Então, definindo : = y r lQ Q Q= , temos 1
0 0( )( )y yK U MQ V NQ −= + +
= 10 0( ) ( )y yV Q N U Q M−+ +
= ( ),l y yJ QY , (18c)
onde 1 1
0 0 01 1
0 0y
U V VJ
V V N
− −
− −
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
. (18d)
Prova: Vamos provar (18a), a prova da outra sendo dual. Primeiramente, vamos provar que se K for da forma (18a), estabiliza o SMF e é própria. Sejam definidos 0 0: , :r rU U MQ V V NQ= + = + , que são o numerador e denominador, respectivamente, de (18a). Ora,
0 0 0 0( ) ( ) ( )r r rMV NU M V NQ N U MQ MV NU MN NM Q I− = + − + = − + − = , o que prova que K estabiliza o SMF e é própria, pois 1
0det( )( ) 0rI V NQ−+ ∞ ≠ . Agora vamos provar que se K for própria e estabilizar o SMF, então tem a forma de (18a). Seja 1K UV −= , uma fatoração c.d. em ∞HR . Então, :Z MV NU= − tem inversa em ∞HR porque K estabiliza o SMF. Definamos rQ pela equação: 1
0 rU MQ UZ −+ = , ou seja, 1 10( )rQ M UZ U− −= − . (19)
Então, usando a identidade de Bezout, temos
48
1 10 0 0( )rV NQ V NM UZ U− −+ = + − 1 1
0 0( )V M N UZ U− −= + − 1 10 0( )M MV NU NUZ− −= − +
1 1( )M I NUZ− −= + 1 1( )M Z NU Z− −= + 1 1 1M MVZ VZ− − −= = . (20) Portanto 1 1
0 0( )( )r rK UV U MQ V NQ− −= = + + . Para ver que rQ ∞∈ HR , note que, como observado, Z tem inversa em ∞HR e portanto, de (19), rMQ ∞∈ HR e de (20) vemos que rNQ ∞∈ HR . Ora,
0 0 0 0( )r r r rQ V M U N Q V MQ U NQ ∞= − = − ∈ HR . • E temos o Corolário imediato: Corolário: (21) Seja um controlador admissível (isto é que estabiliza o SMF e é próprio) K com as fatorações coprimas 1 1K UV V U− −= = . Então o parâmetro livre yQ ∞∈ HR na
parametrização de Youla é dado por 1 10( )yQ M UZ U− −= − , onde Z MV NU= − .
O teorema seguinte dá a relação entre a parametrização acima, de Youla, e a que foi obtida nas seções anteriores, utilizando LFT´s. Teorema: (22) Sejam as fatorações coprimas de 22G tais que
onde F e L são escolhidos tais que 2 2 e A B F A LC+ + são estáveis. Então, pode-se verificar que
Prova: segue de álgebra “tediosa”, segundo ZDG, p. 326. Observação: (23)
yJ acima é o mesmo J do Teorema (10) e 10 0 0:K U V −= é um controlador estabilizador
baseado em observador com
2 20
02 22 22
0A B F B L
M UF I
N VC D F D I
+ −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥+⎣ ⎦
2 2 220 0
2 22
( )0
A LC B LD LV U
F IN M
C D I
+ − +⎡ ⎤⎡ ⎤− ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
2 2 22 2 22
2 22
0( ) 0
y
A B F LC LD F L B LDJ F I
C D F I
+ + + − +⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦
49
8º. Capítulo: Equações algébricas de Riccati As eqs. algébricas de Riccati (abreviada ARE, “algebric Riccati equations”) têm várias aplicações em problemas de síntese de Controle. De modo particular, elas têm um papel central na solução dos problemas de controle ótimo em 2 e ∞H H . Sejam , , e A Q R matrizes reais, n×n, sendo Q e R simétricas. Então, a ARE em X é definida por
* 0A X XA XRX Q+ + + = . (1) Associemos a esta equação a matriz
*:A R
HQ A⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦. (2)
(Uma matriz desta forma é chamada de hamiltoniana). Esta matriz será usada para obtermos as soluções de (2). Observe-se que ( )Hσ , o spectrum de H, é simétrico em relação ao eixo imaginário. Para ver isto, considere a seguinte matriz 2 2n n×
0:
0I
JI
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, a qual satisfaz à propriedade 2J I= − 1J J−∴ = − .
Temos então 1 *J HJ JHJ H− = − = − . Consequentemente, * e H H− são similares, o que implica que λ é um autovalor de H se só se λ− o for. Para nosso curso estamos interessados somente nas chamadas soluções estabilizadoras das ARE’s. (Ver logo abaixo a definição). Para a solução geral, o leitor interessado poderá ver, entre outros textos, ZDG, pp.328-333. 8.1 Soluções estabilizadoras e o Operador de Riccati Nesta seção veremos quando uma solução da eq. de Riccati é dita estabilizadora, isto é, quando ( ) CA RXσ −+ ⊂ . (Observe-se a notação que é padrão: ( )σ ⋅ é o spectrum de uma matriz, isto é, o conjunto de seus autovalores; para valores singualares, usa-se ( )iσ ⋅ , indicando o i-ésimo valor singular, ou ( )σ ⋅ , que indica o maior valor singular e ( )σ ⋅ , que indica o menor valor singular).
2 2 220 :
0A B F LC LD F L
KF
+ + + −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
50
Suponha que H, definida em (2), não tenha autovalor no eixo imaginário. Então terá n autovalore em Re[s] > 0 e outros tantos autovalores em Re[s] < 0, simétricos com relação ao eixo imaginário. Definamos os espaços invariantes ( ) e ( )H H− +X X , o primeiro correspondendo a autovalores em Re[s] < 0 da matriz H e o segundo correspondendo a autovalores em Re[s] > 0.
A título de exemplo, seja 1 00 1
H ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
. Então, 01
( )H−⎧ ⎫⎨ ⎬−⎩ ⎭
=X e 10
( )H+⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
=X .
Observe-se que teremos os mesmos espaços se 10 1
aH
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
ou 1 0
1H
a⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦. É fácil,
com efeito, verificar que por “operações elementares”, os dois espaços geram qualquer destas matrizes.
( )H−X é por definição um espaço invariante com relação ao operador H (que no caso é uma matriz) se ( ( )) ( )H H H− −⊂X X ; ou seja, aplicando-se o operador ao espaço, fica-se
dentro do espaço. Assim, por exemplo, o espaço gerado pelo vetor 10
x ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭
é invariante
com relação a qualquer matriz A da forma 0a b
Ac
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, com a, b e c números reais
quaisquer. Com efeito, 0a
Ax ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭
. (Estamos distinguindo aqui a notação de vetor para
aquela de matrix coluna; frequentemente estas notações são confundidas). Seja uma base para ( )H−X , consideremos cada vetor da base como matriz coluna e coloquemos um ao lado do outro. Definamos as matrizes 1 2e X X , ambas pertencentes a Cn n× (mas a base pode ser sempre escolhida de modo que estas matrizes sejam reais) e
tais que 1
2
( ) ImX
HX−
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦X , onde “Im” significa o espaço gerado pelo argumento 1
2
XX⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
.
As matrizes 1X e 2X têm o mesmo número de linhas, conforme a partição da matriz H.
Se 1X for não singular, ou equivalentemente se ( )H−X e 0
ImI⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
forem
complementares, definamos 12 1:X X X −= . Pode-se provar que X é unicamente
determinada por H. Denominemos “Ric” a função que leva de H a X e “dom(Ric)” o conjunto das matrizes hamiltonianas H com duas propriedades já mencionadas, a saber, H não tem autovalor no eixo imaginário e os dois espaços mencionados acima são complementares. Estas propriedades serão chamadas de “propriedade de estabilidade” e “propriedade de complementaridade”, respectivamente da matriz H. E a solução correspondente da eq. de Riccati será chamada de “solução estável”. Temos X = Ric(H) e 2 2: ( ) R Rn n n nRic dom Ric × ×⊂ → .
51
Os resultados “bem conhecidos” (segundo ZDG) seguintes dão algumas propriedades de X bem como condições para que H pertença a dom(Ric). Teorema: (3) Suponha que ( )H dom Ric∈ e X = Ric(H). Então, (i) X é real e simétrica; (ii) X satisfaz à ARE: 0TA X XA XRX Q+ + + = ; (1bis) (iii) A + RX é estável. Prova: ZDG, pp. 334s Teorema (4) Suponha que H não tenha autovalor imaginário e que R seja ou positiva semidefinida ou negativa semidefinida. Então, ( )H dom Ric∈ se só se (A, R) for estabilizável. Prova: ZDG, pp. 335s Uma situação que ocorre com frequência é a da matriz H dada no enunciado do teorema seguinte: Teorema (5)
Suponha que H tenha a forma T
T T
A BBH
C C A⎡ ⎤−
= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦. Então, ( )H dom Ric∈ se só se (A,
B) for estabilizável e (C, A) não tiver modo inobservável no eixo imaginário. Alem disso, X = Ric(H) 0≥ (ou seja, é positiva semidefinida) se H ∈ dom(Ric) e Ker( ) 0X = se só se (C, A) não tiver modos inobserváveis estáveis. (Note-se que Ker( ) Ker( )X C⊂ ). Prova do Teorema (5): ZDG, pp. 337s Exemplo: (6) Este exemplo mostra que a observabilidade de (C, A) não é condição necessária para a existência de uma solução estabilizadora positiva definida:
[ ]1 0 1, e 0 0
0 2 1A B C⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
. É fácil verificar que ( , )A B é estado-estabilizável e
(C, A) não é detectável. Enretanto, 18 24
024 36
X−⎡ ⎤
= >⎢ ⎥−⎣ ⎦ é a solução estabilizadora.
Com efeito, [ ]1 1 11 1
1 1 1TR BB
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, 1 00 2
A RX ⎡ ⎤+ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦+
1 1 18 241 1 24 36− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= 1 00 2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
+ 6 126 12
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
= 7 126 10
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
, cujos autovalores são dados
52
pelas raízes do polinômio característico: 20 7 12det 3 2
0 6 10λ
λ λλ
⎛ − ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
, que é
um polinômio Hruwitz, pois polin. do 2º. grau com todos os coeficientes com o mesmo sinal são Hurwitz. Corolário: (7) Suponha que ( , )A B seja estabilizável e (C, A) detectável. Então a eq. de Riccati
0T T TA X XA XBB X C C+ − + = tem uma única solução positiva definida. Além disso, esta solução é estabilizadora. Prova: ZDG, p. 339. 8.2 Funções positivas reais Definição: (9) Uma matriz quadrada ( )G s ∞∈ HR é dita real positiva (RP) se ( ) ( ) 0G j G jω ω∗+ ≥ para todo ω ∈R . A função é dita estritamente real positiva (ERP) se ( ) ( ) 0G j G jω ω∗+ > para todo ω ∈R . Antes de enunciar o próximo teorema, relembramos a notação padrão: ~ ( ) ( )TG s G s= − . Teorema (10a) Seja
com A estavel, uma realização que não é necessariamente mínima. Suponha que existam
0, e X Q R≥ tais que T TXA A X Q Q+ = − , (10b)
T TB X W Q C+ = , (10c) T TW WD D =+ . (10d)
Então, ( )G s é RP e ~ ~( ) ( ) ( ) ( )G s G s M s M s=+ , onde
Alem disso, se ( )M jω tiver posto de coluna cheio para todo ω real, então ( )G s é estritamente positiva real. Prova: ZDG, p. 362
( ) A BG s C D⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
( )M sA BQ W⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= .
53
8.3 Funções “inner” Definição: (11) Uma matriz de transferência N é chamada “inner” se ~ e N N N I∞∈ =HR . Uma função de transferência N é chamada “co-inner” se ~ e N NN I∞∈ =HR . As duas noções são claramente duais, isto é, N é “inner” se só se TN for “co-inner”. Definição: (12) Uma matriz de transferência N ∞∈RL é chamada passa-tudo (“all pass”) se for quadrada e ~N N I= . É claro que uma função “inner” quadrada é passa-tudo. Observe-se que se uma matriz for inner, ela terá pelo menos tantas linhas quanto colunas. Se N for inner, com m colunas, para qualquer mq∈C (um vetor complexo), temos Nq q= , porque ( ) ( )N j N j Iω ω∗ = . E pela mesma razão, se 2v∈L , temos
2 2Nv v= . Por causa desta propriedade de preservação da norma, as funções inner têm
muita aplicação nos problemas de síntese em controles. Lema (12*) Seja
e uma matriz * 0X X ≥= tal que * * 0A X XA C C+ + = . Então, (a) * * 0D C B X+ = implica ~ *N N D D= . (b) (A, B) controlável e ~ *N N D D= implicam * * 0D C B X+ = . Prova: Da definição de ~N , temos
Utilizando a fórmula do produto de matrizes de transferência (matrizes em cascata), temos
A BN
C D⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= ∞∈ HR
* *~
* *( ) ( )T A CN s N s
B D⎡ ⎤− −
= − = ⎢ ⎥⎣ ⎦
54
Apliquemos a esta matriz de transferência uma transformação de similaridade (que sabemos que não a altera):
* * * * *
0 0 0 0I A I AX I C C A X I XA C C A X A
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
* *
0I B BX I C D XB C D
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, * * * *0ID C B D C B X
X I⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
.
Donde,
Mas por hipótese (enunciado do Lema), o elemento (2,1) da matriz “A” acima é nulo, donde
Ora, se (a), isto é, se * * 0D C B X+ = , então
1~ * * *
*
00
0 0sI A B
N N B D D D DsI A
−−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦.
Se (b), usando o critério PBH do posto, então não há cancelamento nem em 1( )sI A B−− nem em * * 1( )B sI A −+ , donde a conclusão. • Observação: Este lema conduz imediatamente à caracterização de matrizes “inner” em termos de suas representações no espaço de estado: acresecente-se simplemente a condição *D D I= ao último Lema anterior para se obter ~N N I= . Observe-se ainda que na condição * * 0A X XA C C+ + = do enunciado do Lema, X é o gramiano de observabilidade. Em vista destas duas observações e do Lema anterior, temos imediatamente: Corolário: (13)
~ * * *
* * *
0A BN N C C A C D
D C B D D
⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
~ * * * *
* * * *
0A BN N C C A X XA A XB C D
B X D C B D D
⎡ ⎤⎢ ⎥= − − − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
~ * *
* * * *
00A B
N N A XB C DB X D C B D D
⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
55
Suponha que
Seja X o gramiano de observabilidade. Então N é inner se só se (a) 0T TC B XD + = , (b) TD D I= . 8.4 Fatorações “inner” O livro aborda este tema de modo abrangente, incluindo as fatorações “outer”. Aqui nos limitamos ao seguinte resultado: Teorema: (13*)
e que (C, A) seja detectável. Então existe uma fatoração coprima 1G M N−= tal que M é “inner” se só se G não tiver polo no eixo imaginário. Uma realização particular no espaço de estado destes fatores é
onde *L YC= − e * *
00A C C
Y RicA
⎡ ⎤−= ≥⎢ ⎥−⎣ ⎦
.
8.5 Fatorações coprimas normalizadas Definição: (14) Sejam ,N M ∞∈RL , 1G NM −= , uma fatoração c.d. Esta fatoração é dita normalizada se
~ ~ IM M N N =+ ,
ou seja, se MN
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
for inner.
De modo semelhante, 1G M N−= é uma fatoração c.e. normalizada se M N⎡ ⎤⎣ ⎦ for co-inner. O livro apresenta um teorema sobre isso, com enunciado enorme, de quase uma página (ZDG, pp. 370s)
A BN
C D⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= seja estável e mínima.
A BG
C D⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
seja própria
A LC L B LDM N
C I D+ +⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
56
9º. Capítulo: Controle ótimo 2H 9.1 Introdução ao problema do Regulador Neste capitulo trataremos de problema bastante comum na prática do controle ótimo com um critério de desempenho quadrático, que logo adiante será pecisado. Considere o sistema dinâmico:
2 0 0, ( )x Ax B u x t x= + = , (1) onde 0x é dado (arbitrário). Nosso objetivo é achar um controle ( )u t definido em [0, T], o qual pode ser uma função do estado ( )x t , tal que o estado do sistema seja levado para uma (pequena) vizinhança da origem do espaço de estado em um tempo T. Este é o chamado Problema do Regulador. Sabemos que este problema tem solução par qualquer 0T t> se o sistema for controlável. Mas isto é verdade somente se o controle puder ser arbitrariamente grande. Ora, este não é o caso em problemas reais, evidentemente, não somente por limitações de potência, mas também porque um sistema submetido a grandes esforços deixa de operar na faixa de linearidade, eventualmente “queimando”, ou “explodindo”. Consequentemente, os controles devem ser submetidos a restrições na maioria dos problemas reais. As restrições nos problemas de controle podem ser medidas de muitos modos como por exemplo através de
0
T
tu dt∫ ,
0
2T
tu dt∫ e
0[ , ]supt t T u∈ , que são as normas 1L , 2L e ∞L , respectivamente.
E podemos ponderar o controle através de “pesos”, que são matrizes no caso multivariável:
0
T
ut
W u dt∫ , 0
2u
T
t
W u dt∫ e 0[ , ]sup ut t T W u∈ .
E também é frequente desejar-se impor restrições no estado, de modo especial no transiente, de modo que não haja um “overshoot” grande:
0
x
T
txW dt∫ ,
2
0
x
T
txW dt∫ e
0[ , ]sup xt t T xW∈ .
Neste texto nos concentraremos no regulador de tempo infinito, isto é quando T →∞ . Na prática, T →∞ significa T “muito grande”, o que ocorrre com bastante frequência nos problemas reais. Efetivamente, se o regime transitório for relativamente curto, chega-se usualmente ao regime permanente (T →∞ ) em tempo médio e até rápido. Nosso problema é então o seguinte: Achar o controle ( )u t definido em [0, )∞ tal que o estado ( )x t seja levado à origem do espaço de estado em t →∞ e de tal modo que o seguinte índice de desempenho seja minimizado (ou maximizado, bastando inverter o sinal algébrico):
57
0
( )( )
minT
u T
x t Q Sdt
u t S R
∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ , (2)
onde supomos e 0T TQ Q R R= = > . Este problema é chamado usualmente problema do regulador linear quadrático (LQR = linear quadratic regulator).
De modo geral, supõe-se também que 0T
Q SS R⎡ ⎤
≥⎢ ⎥⎣ ⎦
. (3)
Como R é positiva definida, tem uma raiz quadrada, 1/ 2R , que também é positiva definida. Substituindo 1/ 2u R u← , podemos fazer R =I . Mais ainda, podemos supor S = 0, usando uma pré-realimentação do estado Tu S x v= − + . Mas não faremos esta hipótese no que se segue. Como (3) é positiva semi-definida, com R=I, podemos fatorar:
11 12
12
T
TTCQ S C DDS I⎡ ⎤⎡ ⎤
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= . (4)
Com isto, (2) pode ser re-escrita como
2
21 12 2[0, )minu C x D u∈ ∞ +L .
Efetivamente, o problema LQR é definido tradicionalmente como
2
2[0, ) 1 12 2
0
min
, (0)u C x D u
x Ax Bu x x∈ ∞
⎧ +⎪⎨
= + =⎪⎩
L . (5)
(Observe-se a diferença de notação nesta e na eq. precedente com relação a (1)). Efetivamente, sendo o sistema invariante no tempo, a escolha do instante inicial é irrelevante). A definição do LQR acima não menciona que o estado deva ser levado à origem. Ao invés, colocam-se condições em Q, S e R (ou equilvalentemente em 1 eC 12D ) de modo que o controle ótimo tenha esta propriedade. Vejamos um exemplo simples para entender isto: A = B = R = 1, Q = S = 0. Portanto, o problema é
2
20[0, )
0
min , , (0) u u dt x x u x x∞
∈ ∞ = + =∫L .
É claro que a solução deste problema é u = 0. Porem, com esta solução o sistema é instável, pois o estado diverge exponencialmente para o infinito, ( ) (0)tx t e x= . Portanto, este problema está mal formulado, o índice de desempenho não faz sentido em termos reais, pois ele não “vê” o estado instável ( )x t . E isto vale como um preceito na definição do índice de desempenho: é necessário que ele “veja”, todas as componentes do vetor de estado que podem representar alguma “ameça” à estabilidade. E isto é obtido se:
58
- O par 1( , )C A deve ser detectável. (6) Com esta condição satisfeita, o problema LQR é dito padrão. Mas o problema tem solução em alguns casos, como veremos, se (6) não for satisfeita. Neste caso o problema é chamado estendido. 9.2 O Problema LQR padrão Seja o sistema:
0, (0)x Ax Bu x x= + = (5bis)
1 12z C x D u= + (7) e suponha que o sistema satisfaz às seguintes condições: (i) 2( , )A B é estabilizável; (8a)
(ii) 12D tem posto de coluna cheio, com [ ]12D D⊥ unitário, onde 1200 0
DD
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
e D⊥
é o complemento ortogonal de D, isto é, tal que DD⊥
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
é unitário (ortogonal) ; (8b)
(iii) 1( , )C A é detectável; (8c)
(iv) 2
1 12
A j BC D
ω−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
tem posto de coluna cheio para todo ω . (8d)
A primeira condição acima é necessaria para que o problema tenha solução; a segunda é feita para simplificação da notação que se segue; a terceira, como já foi mencionado, é dispensada no problema estendido, ela deixa claro que a solução do problema vai levar a uma lei de controle que estabiliza o sistema; efetivamente a 1ª. e 3ª. condições garantem que a estabilidade da relação saída/entrada implica a estabilidade interna, ou seja, 2u∈L e 2z∈L implicam 2x∈L . Lema (9) No sistema dado por (5bis) e (7), se 2, [0, )u z∈ ∞L e se 1( , )C A é detectável, então
2[0, )x∈ ∞L . Alem disso, 0 se x t→ →∞ . Prova: Como 1( , )C A é detectável, existe L tal que 1A LC+ é estável. Seja x a estimação do estado x através do observador:
1 12 2 )ˆ ˆ( ) ( u Lzx A LC x LD B+ −= + + . Donde que 2ˆ [0, )x∈ ∞L , visto que z e u estão em 2[0, )∞L . Defina-se agora o erro de estimação ˆe x x= − . Donde,
1( )e A LC e= + , portanto 2[0, )e∈ ∞L . Donde que 2ˆ [0, )x x e= + ∈ ∞L . Mas 0 se e t→ →∞ , em vista da expressão de e . Donde finalmente 0 se x t→ →∞ em vista do fato que 2ˆ [0, )x∈ ∞L . •
59
Antes de enunciar o próximo teorema, definamos:
2 12 1( )TF B X D C= − + , onde X é a solução da eq. de Riccati
2 12 2 12 2 2 11 1 1( ) ( ) 0T T T T T TA B D C X X A B D C XB B X C D D C⊥ ⊥− + − − + = , Definam-se 2 121, F FA A B F C C D F= + = + e
Teorema: (10) Existe um controle ótimo único para o problema LQR definido acima, a saber, u = Fx . Alem disso,
2 0[0, ) 2 2min cu z G x∈ ∞ =L . Prova: ZDG, pp. 378ss. 9.3 O problema LQR estendido Neste problema, não há hipótese quanto à detectabilidade de 1( , )C A . Nosso problema é então, repetindo a formulação do problema anterior
0, (0)x Ax Bu x x= + = , (5ter)
1 12z C x D u= + , (7bis) com as seguintes hipóteses - 2( , )A B é estabilizável; (8a, bis ) - 12D tem posto de coluna cheio com [ ]12D D⊥ unitario; (8b, bis)
- 2
1 12
A j BC D
ω−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
tem posto de coluna cheio para todo ω . (8d, bis).
Nosso problema, tal como no caso anterior, é achar uma lei de controle 2[0, )u∈ ∞L tal que o sistema seja internamente estável , isto é, 2[0, )x∈ ∞L e o índice de desempenho
2z seja minimizado. E obtemos um teorema com o mesmo enunciado do anterior: Teorema: (11) Existe um controle ótimo único para o problema LQR definido acima, a saber, u = Fx . Alem disso,
2 0[0, ) 2 2min cu z G x∈ ∞ =L . Prova: ZDG, pp. 381.
( )0
Fc
F
A IG s
C⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
60
9.4 O problema 2H padrão (outra versão) Vamos considerar o problema padrão sob nova ótica. O problema desta seção é dado pelo seguinte diagrama de blocos
onde
Observe-se que 22D = 0, donde que 22 ( )G s é estritamente própria. São feitas as seguintes hipóteses: (i) 2( , )A B é estabilizável e 2( , )C A é detectável; (ii) 12D tem posto de coluna cheio com [ ]12D D⊥ unitário e 21D tem posto de linha
cheio com 21DD⊥
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
unitário;
(iii) 2
121
A j BC D
ω−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
tem posto de colunas cheio para todo ω ;
(iv) 1
212
A j BC D
ω−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
tem posto de linhas cheio para todo ω .
O Problema 2H : Achar um controlador real, racional e próprio K que estabilize internamente G e minimize a norma 2H da matriz de transferência entre w e z, zwT . Definamos as seguintes matrizes:
2 2 2 12 2 2 2 1 211: ( ), : ( )T T T TF B X D C L Y C B D= − + = − + ,
2 2 222 2 12 2 2 1 1 2 211 1 2: , : , : , :F L LFA A B F C C D F A A L C B B L D= + = + = + = + ,
2 2 2 2 2ˆ :A A B F L C= + +
e as seguintes matrizes de transferência
Gz w
K
Figura 34 ter
u y
1 2
12
21
1
2
( ) 00
A B BG s C D
C D
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
61
Teorema: (12) Existe um único controlador ótimo
Alem disso, 2 22 2
1 2 12 2 2 2
22 2
min .zw c f fcT G B F G C GG L= + = + • Este controlador tem a propriedade da separação, que será estudada mais adiante. Para melhor compararmos este resultado com aqueles em ∞H , que estudaremos adiante, vejamos agora os controladores subótimos no 2H . São chamados “subótimos”, porque, como já veremos no próximo teorema, procura-se um índice de desempenho cujo valor seja inferior a um número escolhido, “pequeno”. Recorda-se neste ponto que um controlador “admissível” é aquele que estabiliza o SMF e é próprio. Teorema (13) A família de todos os controladores admissíveis tais que
2zwT γ< é igual ao conjunto de todas as matrizes de transferência de y para u no seguinte diagrama de blocos
com
2 2 2
2
1
1( ) , ( )0 0
F L Lc f
F
A I A BG s G sC I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
= =
2 2
2
ˆ( )
0optA LsF
K⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
−= .
2M u y
Q
Figura 49
2 2 2
2 2
2
ˆ( ) 0
0
A L BM s F I
C I
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
−=
−
62
onde 2Q∈RH , ( )222 21 22 2 2
.c fQ G B F Gγ< − + •
Como se vê, os controladores sub-ótimos são parametrizados por uma LFT independente de γ com um “parâmetro” livre Q. Com Q = 0, nós obtemos optK do teorema anterior. É digno de nota que a parametrização deste teorema dá zwT afim em Q e nos dá uma parametrização a la Youla. (Na parametrização de Youla, ao invés de 2Q∈RH , temos
Q ∞∈RH ). 10º. Capítulo: Controle ∞H - o caso simples Neste capitulo estudaremos o ótimo e o sub-ótimo controle com norma em ∞H . Enfatizaremos o problema sub-ótimo e daremos a razão para isto. 10.1 A formulação do problema Considere-se de novo o diagram de blocos padrão:
No diagrama de blocos acima, tanto G como K têm as matrizes de transferência reais, racionais e próprias. As realizações das duas serão supostas estabilizáveis e detectáveis. É claro que a estabilidade é uma propriedade fundamental de qualquer sistema que faça sentido do ponto de vista prático, eis porque o controlador será suposto admissível. Problema do Controle Ótimo no ∞H : Achar todos os controladores admissíveis ( )K s tais que zwT
∞ é minimizado.
Há que se notar que a solução do problema acima, no caso de sistemas MIMO, não é, em geral, única. Alem disso, achar tal (tais) controlador(es) é tanto teoricamente como numericamente complicado. Eis porque é mais importante do ponto de vista prático a solução do
G z w
K
Figura 34 bis bis
u y
63
Problema do Controle sub – ótimo no ∞H : Dado 0γ > , achar todos os controladores admissíveis ( )K s , se existir algum, tais que
zwT γ∞< .
10.2 Controle com realimentação da resposta Suponha que K seja um controlador estabilizador para a planta G. Então a a establidade interna garante que ( ), lzw G KT ∞= ∈RHY , mas a recíproca não é verdadeira, ou seja, a última condição não implica estabilidade interna. O lema seguinte provê condições (brandas) para a equivalência entre estabilidade interna e ( ), lzw G KT ∞= ∈RHY . Para estabelecer o resultado, suporemos que a planta e o controlador sejam estabilizáveis e detectáveis com as seguintes realizações
Lema: (1) Suponha que as realizações de G e K sejam ambas estabilizáveis e detectáveis. Então o SMF com ( ),lzw G KT =Y é
(a) detectável se 2
1 12
A I BC Dλ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
− tiver posto de colunas cheio para todo Re[ ] 0λ ≥ ;
(b) estabilizável se 1
2 21
A I BC Dλ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
− tiver posto de linhas cheio para todo Re[ ] 0λ ≥ .
Além disto, se (a) e (b) forem satisfeitas, então K é um controlador que estabiliza internamente o SMF se só se zwT ∞∈RH . Prova: Obtem-se através de cálculo tedioso
1 2
11 12
2 21 22
1( )A B B
G s C D DC D D
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= , ˆ ˆ
( )ˆ ˆA B
K sC D
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
( )2 1 2 2 2 1 2 1 21
1 2 1 22 1 21
1 12 2 2 12 2 11 12 1 21
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ,l
A B DL C B L C B B DL DBL C A BL D C BL D
C D L DC D L C D D DL DG K
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
+ +
= +
+ +
Y
: c c
c c
A BC D⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
64
onde ( ) 1
1 22ˆ: I D DL −
= − , ( ) 1
2 22ˆ: I DDL −
= − .
Suponha que ( ),l G KY tenha um estado indetectável xy⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, com o respectivo modo λ
tal que Re[ ] 0λ ≥ . Então o teste PBH nos dá: c
c
A IC
xy
λ− ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦= 0,
o que, tendo em vista as expressões de cA e cC , nos dá
2
1 12 1 2 2ˆˆ
xA I BC D DL C L Cyxλ ⎡ ⎤−⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+
= 0 e 1 2 22ˆ ˆˆ ( ) 0BL C x D Cy Ay yλ+ + − = .
Ora, daí vemos que se 2
1 12
A I BC Dλ−⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
tiver posto de coluna cheio, então x = 0 e Cy = 0 e
a segunda igualdade acima implica Ay yλ= . Mas como por hipótese ˆ ˆ( , )C A é detectável, temos y = 0, levando a uma contradição, provando a parte (a). A parte (b) é demonstrada da mesma forma, ou por dualidade. • O seguinte teorema é importante para o desenvolvimento posterior. Teorema: (2) Considere o sistema da figura abaixo:
com 11 12
21 21
P PP
P P⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
. Suponha que ~P P I= , 121P−
∞∈RH e Q é uma matriz racional
própria. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: (a) O SMF é bem posto, internamente estável e 1zwT
∞< ;
(b) Q ∞∈RH e 1Q∞< .
Prova: ZDG, pp. 416s. Hipóteses simplificadoras
P z w
Q
Figura 50
v r
65
Neste capitulo estamos tratando o caso mais simples do controle em ∞H , a razão disso sendo que o caso geral é bem mais difícil do ponto de visa algébrico, pelo que, se for tratado logo, ficarão obscurecidos certos aspectos fundamentais para o aluno aplicado (e para o professor idem). A primeira simplificação é que consideramos que são nulos os elementos bloco-diagonais da matriz D, a saber,
E são feitas as seguintes hipóteses adicionais: (i) 1( , )A B é estabilizável e 1( , )C A é detectável; (ii) 2( , )A B é estabilizável e 2( , )C A é detectável;
(iii) 12 1 12 0TD C D I⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ = ;
(iv) 121
21
0TB DD I⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦= .
As duas primeiras hipóteses garantem que as duas matrizes hamiltonianas, 2 2 e H J do capitulo anterior pertencem a dom(Ric). Estas hipóteses permitem uma demonstração mais simples. Como vimos, a hipótese (ii) é necessária e suficiente para G ser internamente estabilizável. Corolário: (3) Suponha que a planta satisfaça às hipóteses (i), (iii) e (iv). Então um controlador K é admissível (isto é, estabiliza o SMF e é próprio) se só se zwT ∞∈RH . Prova: Como a planta é estabilizável e detectável de acordo com a hipótese (i), só temos que verificar as condições de posto das duas matrizes do Lema (1). Suponha que as duas condições sejam satisfeitas e seja D⊥ tal que [ ]12D D⊥ seja uma matriz unitária (na realidade, ortogonal, pois estamos lidando com matrizes reais). Então,
2 212
1 12 1 12
0Posto Posto
0T
T
IA I B A I B
DC D C DD
λ λ
⊥
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
− −=
=2
1
0Posto0T
A I BI
D C
λ
⊥
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
−.
1 2
1 12
2 21
( ) 00
A B BG s C D
C D
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
66
Consequentemente, 2
1 12
A I BC Dλ−⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
tem posto cheio para todo Re[ ] 0λ ≥ se só se
1T
A ID C
λ
⊥
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
−tiver posto cheio para todo Re[ ] 0λ ≥ .
Mas esta matriz tem posto cheio para todo Re[ ] 0λ ≥ se só se 1( , )TD C A⊥ for detectável..
Mas visto que 1 12 12 1 1( ) ( )T TD D C I D D C C⊥ ⊥ = − = , segue-se que
1( , )TD C A⊥ é detectável se só se 1( , )C A o for. E a condição de posto para a outra matriz vem por dualidade. • Controladores ∞H sub-ótimos
Definamos { }min : ( ) é admissivelopt zwT K sγ∞
= . Em um controlador sub-ótimo,
optγ γ> .
Os controladores ótimos no ∞H são mais difíceis de caracterizar do que os sub-ótimos, e esta é uma grande diferença com relação aos controladores no 2H . Recorde-se que esta dificuldade apareceu tembém no calculo da norma. A solução do problema desta subseção involverá o uso das seguintes matrizes hamiltonianas:
21 1 2 2
1 1
:T T
T T
A B B B BH
C C Aγ −
∞
⎡ ⎤−= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
e 2
1 1 2 2
1 1
:T T T
T
A C C C CJ
B B Aγ −
∞
⎡ ⎤−= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
.
Teorema (4) Existe um controlador admissível tal que zwT γ
∞< se só se as três seguintes condições
forem satisfeitas: (i) ( )H dom Ric∞ ∈ e : ( ) 0X Ric H∞ ∞= ≥ ; (ii) ( )J dom Ric∞ ∈ e : ( ) 0Y Ric J∞ ∞= ≥ ;
(iii) 2)( YX γρ ∞ ∞ < , lembrando que )(ρ ⋅ denota o raio spectral de uma matriz. Alem disso, se estas condições forem satisfeitas, um controlador que resolve o problema é
com
22
1 1 2:ˆ TA CA B B X B F Z Lγ −∞ ∞ ∞ ∞ ∞= + + + , 2: TF B X∞ ∞= − , 2: TL Y C∞ ∞= − e
12: ( )IZ Y Xγ −−∞ ∞ ∞= − . •
ˆ( )
0subA Z LK sF∞ ∞ ∞
∞
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
−=
67
O teorema seguinte parametriza todos os controladores que obtêm uma norma sub-ótima menor que γ . Teorema (5) Se as condições (i)-(iii) do teorema anterior forem satisfeitas, o conjunto de todos os controladores admissíveis tais que zwT γ
∞< é igual ao conjunto de todas as matrizes
de transferência de y para u em
onde
com Q ∞∈RH , Q γ
∞< . •
Tal como no problema 2H , os controladores sub-ótimos são parametrizados por uma
LFT com um parâmetro livre Q. Com Q = 0 (no “centro” do conjunto Q γ∞< ),
recuperamos o controlador central ( )subK s . 10.3 Controle com informação completa (FI) (Como vimos, FI significa “full information”) Nosso diagrama de blocos desta seção é o padrão:
M∞ u y
Q
Figura 51
2
2
ˆ
( ) 00
A Z Z BM s I
C I
LF∞ ∞ ∞
∞
∞
∞
⎡ ⎤−⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
68
com
Este problema não é, estritamente falando, um caso particular do problema do controle pela resposta, porque não satisfaz as hipóteses do mesmo. Em particular, no problema FI (bem como no FC na próxima seção), a estabilidade interna não é equivalente a
zwT ∞∈RH visto que 1
00
A II
I
Bλ−⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
nunca pode ter posto de linha cheio. Lembramos
que no problema FI, K admissível significa estabilidade interna e não somente zwT ∞∈RH .
As hipóteses relevantes para o problema do FI são: (i) 1( , )C A é detectável; (ii) 2( , )A B é estabilizável;
(iii) [ ] [ ]12 1 12 0TD C D I= . Teorema: (6) Existe um controlador admissível ( )K s para o problema FI tal que zwT γ
∞< se só se
( )H dom Ric∞ ∈ e ( ) 0Ric HX ∞∞ = ≥ . Alem disto, se estas condições forem
satisfeitas, uma classe de controladores admissíveis que satisfazem a zwT γ∞< pode
ser parametrizada como 2
1( ) ( ) ( )TK s Q s B Q sF Xγ −∞ ∞⎡ ⎤= −⎣ ⎦ , (7)
G z w
K
Figura 34, 5ª.
u y
1 12
1 2
( ) 00 0
0 0
AG s C D
II
B B⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
69
com Q ∞∈RH , Q γ∞< .
Prova: ZDG, pp. 426-428. • Comparando a solução do problema em ∞H com o problema em 2H , verifica-se que uma diferença fundamental entre os dois é que o primeiro depende do distúrbio através de
1B , o que não é o caso do segundo. O teorema seguinte dá todos os controladores de FI. Teorema (8) Suponha que as condições do teorema anterior sejam satisfeitas. Então o conjunto de todos os controladores satisfazendo a zwT γ
∞< pode ser parametrizado por
( ),FIl M QY , onde
onde [ ]1 2Q QQ ∞= ∈RH , 2Q γ
∞< .
Prova: ZDG, pp. 427s. • Observação: (9) É fácil verificar que com 1 0Q = , temos 2 2
21TK Q B QF Xγ −
∞ ∞⎡ ⎤−⎣ ⎦= , que é a
parametrização do teorema anterior.
FIM u y
Q
Figura 52
2 2
21
10( ) 0 0
00
0
FI
T
A B BM s I
IIB I
F BF
Xγ −
∞
∞
∞
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
+
=−
70
10.4 Controle total (FC = “full control”) Este problema é dual do anterior; isto pode ser visto tanto comparando as matrizes G(s), a seguir, como as hipóteses que se seguem.
As hipóteses tb. são duais: (i) 1( , )A B é estabilizável; (ii) 2( , )C A é detectável;
(iv) 121
21
0TBD
D I⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
.
Teorema (10) Existe um controlador admissível ( )K s para o problema FC tal que zwT γ
∞< se só se
( )J dom Ric∞ ∈ e ( ) 0Ric JY ∞∞ = ≥ . Se estas condições forem satisfeitas, uma classe
de controladores admissíveis satisfazendo a zwT γ∞< pode ser parametrizada por
21 ( )
( )( )
TL Y C Q sQ s
K s γ −∞ ∞⎡ ⎤−
⎢ ⎥⎣ ⎦
= , onde Q ∞∈RH , Q γ∞< .
10.5 Controle com “Disturbance feedforward” (DF) Teorema (11) Existe um controlador admissível ( )K s para o problema DF tal que zwT γ
∞< se só
se ( )H dom Ric∞ ∞∈ e ( ) 0X dom Ric∞ ∈ ≥ . Se estas condições forem satisfeitas, todos
os controladores admissíveis satisfazendo a zwT γ∞< pode ser parametrizada por um
conjunto de matrizes de transferencia de y para u, com
1
1
2 21
0( ) 0 0
0 0
A B IG s C I
C D
⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥
⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
=
71
Q ∞∈RH , Q γ
∞< .
Prova: ZDG, pp. 432s 10.7 Controle com estimação da resposta (“output estimation = OE)
O problema é dual do DF. As hipóteses são: (i) 1)( ,A B é estabilizável e 2 1A B C− é estável;
(ii) 2, )( AC é detectável;
(iv) 121
21
0TBD
D I⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
.
Teorema (12) Existe um controlador admissível ( )K s para o problema OE tal que zwT γ
∞< se só
se ( )J dom Ric∞ ∈ e ( ) 0Ric J∞ ≥ . Se estas condições forem satisfeitas, todos os
controladores admissíveis satisfazendo a zwT γ∞< pode ser parametrizada por um
conjunto de matrizes de transferencia de y para u, com
M∞ u y
Q
Figura 53
2 1 2 1 2
22 1
( ) 00T
A B F B C B BM s F I
C B X Iγ
∞
∞ ∞−
∞
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
+ −=
− −
1 2
1
2 21
( ) 00
A B BG s C I
C D
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
72
com Q ∞∈RH , Q γ
∞< . •
11º. Capítulo: Controle ∞H - o caso geral. Consideremos novamente, repetido agora pela 5ª. vez, o diagrama de blocos
onde G e K são supostas, como usulamente, reais, isto é, com coeficientes reais, racionais e próprias, sendo que K torna o SMF estável, portanto K é admissível. A planta é dada por
G z w
K
Figura 34, 6ª.
u y
M∞ u y
Q
Figura 53 bis
22 2 1 2 1
1
2
00
( )
TA C B C B Y CC IC I
L LM s
γ −∞∞ ∞
∞
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
+ − − −=
73
São feitas as seguintes hipóteses: (A1) 2 2) é estabilizável e ( , ) é detectável( ,A B C A ;
(A2) [ ]12 210
e 0 II
D D⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦
;
(A3) 2
1 12
A j I BC Dω⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
− tem posto de colunas cheio para todo ω ;
(A4) 1
2 21
A j I BC Dω⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
− tem posto de linhas cheio para todo ω .
As matrizes identidade que aparecem na hipótese (A2) parecem muito restritivas mas não são: basta usar unidades convenientes para w, u, z e y. Para enunciar o teorema, precisamos das seguintes definições:
[ ] 111 11 12 1
21
: , :D
D D D DD• •
⎡ ⎤= = ⎢ ⎥
⎣ ⎦,
1 12 2
1 1 1 1
0 0: , :
0 0 0 0T Tm pI I
R D D R D Dγ γ
• • • •
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦,
onde 1m é a dimensão de w e 1p é a dimensão de z,
11 1
1 1 1 1
0: T T
T T T
A BH R D C B
C C A C D−
••
∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦,
1
11 1
11 1
0:
T T
TT
TJD
A C R D B CBB B A •
−∞ •
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
= −−− −
,
: ( )X Ric H∞ ∞= , : ( )Y Ric J∞ ∞= ,
( )11 1
2
1: T TFF D C B X
FR∞
• ∞∞
−⎡ ⎤= = − +⎢ ⎥⎣ ⎦
,
[ ] ( )1 2 1 11: : T TL L L B D Y C R∞ ∞ • ∞−= = − + .
Fazemos as seguintes partições:
11
12
2
FF F
F
∞
∞
∞
=
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, [ ]11 12 2L L L L∞ ∞ ∞= , 1111 1112
1121 1122
0
0 0
D DD D D I
I
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
2
1 2
1 11 12
21
( )0
A BC D
C
A B BG s C D D
D
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
74
Observe-se que na partição acima algumas matrizes podem não existir, dependendo de
12D e 21D serem matrizes quadradas, ou não. Teorema: (1) Suponha que G satisfaça às condições (A1)-(A4) acima. (a) Existe um controlador admissível K(s) tal que ( ),l G K γ
∞<Y (isto é, zwT γ
∞< )
se só se (i) [ ]( )1111 11211111 1112max , T TD D D Dγ σ σ ⎡ ⎤> ⎣ ⎦ ;
(ii) ( )H dom Ric∞ ∈ , com ) 0(X Ric H∞ ∞= ≥ ; (iii) ( )J dom Ric∞ ∈ , com ) 0(Y Ric J∞∞ = ≥ ;
(iv) 2)(X Y γρ ∞∞ < . (b) Se as condições acima forem satisfeitas, então todos os controladores estabilizadores K(s) tais que ( ),l G K γ
∞<Y são dados por
( )( ) ,lK s M Q∞=Y , com , Q Q γ∞ ∞∈ <RH , de resto arbitrário e
com 2 1
11 1121 1111 1111 1111 1112 1122ˆ ( )T TD D D I D D D Dγ −= − − − ,
12 21ˆ ˆ e D D são quaisquer matrizes que satisfaçam a
2 112 12 1121 1111 1111
ˆ ˆ = ( )T TD D I D I D Dγ −− − e 2 121 21 1112 1111 1111 1112
ˆ ˆ ( )T T TD D I D I D D Dγ −= − − .
Temos ainda: 2 1( )Z I Y Xγ − −∞ ∞∞= − , 2 2 12 12
ˆ ˆ( )B Z B L D∞ ∞= + , 212 2 12ˆ ˆ ( )C D C F ∞= − + ,
11 2 2 12 11
ˆ ˆ ˆ ˆB Z L B D D−∞ ∞= − + , 1
1 2 11 21 2ˆ ˆˆ ˆC F D D C−
∞= + , 11 21 2
ˆ ˆˆ ˆA A BF B D C−= + + . • Vejamos alguns casos especiais: Caso 1: 12D = I - A parte (a) se torna 1121( )Dγ σ> ;
- Na parte (b): 111211D D= − , 11211121
212 12
ˆ ˆ T TD D I D Dγ −= − e 21 21ˆ ˆTD D I= .
Caso 2: 21D I= - Na parte (a), (i) se torna 1112( )Dγ σ> ,
- Na parte (b), obtemos 112211D D= − , 12 12ˆ ˆ TD D I= e 1112
221 21 1112
ˆ ˆT TD D I D Dγ −= − . Caso 3: 12D = I & 21D I=
1 2
1 11 12
2 21
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ 0
A B B
C D D
C D
M∞
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
75
- Na parte (a), (i) é cancelado; - Na parte (b), obtemos 112211D D= − , 12 12
ˆ TD D I= , 21 21ˆ ˆTD D I= .
12º. Capítulo: “Loop shaping” com ∞H O título do capítulo segue o do livro, mas não estudaremos com profundidade que seria desejável este topico, “loop shaping”, muito utilizado na prática. A técnica proposta usa somente os conceitos básicos de “loop shaping” e a partir disso é obtido um controlador. 12.1 Estabilização robusta com fatores coprimos Seja uma planta perturbada a partir do modelo nominal:
1( ) ( )M NP M N−∆ = + ∆ + ∆ ,
com , , ,M NM N ∞∆ ∆ ∈RH e N M ε∞
⎡ ⎤∆ ∆ <⎣ ⎦ .
Abaixo o diagrama de blocos do SMF com a planta perturbada
A planta nominal é uma fatoração c.e. 1P M N−= e K estabiliza a planta nominal. Vimos em capítulo anterior que o SMF é robustamente estável se só se (por aplicação do teorema do pequeno ganho)
1 1( ) 1/K
I PK MI
ε− −
∞
⎡ ⎤+ ≤⎢ ⎥
⎣ ⎦
Suponha que a planta tenha uma realização que seja estabilizável e detectável:
N∆
N
1z
K r
w
_
M∆
1M − y
2z
_
Figura 54
A BPC D⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
=
76
Seja uma matriz L tal que A + LC é estável. Então uma fatoração c.e. de P é dada por
Definamos K K= − . Então o SMF pode ser descrito por uma LFT na forma da figura 55, com a planta generalizada
Para aplicar as fórmulas do capítulo anterior, são necessárias algumas manipulações algébricas, dadas em ZDG, pp. 479s. Obtemos: Teorema: (1) Suponha que D = 0 e seja L definido antes. Então existe um controlador K tal que
1( )K
I PKI
γ−
∞
⎡ ⎤+ <⎢ ⎥
⎣ ⎦ se só se 1γ > e existe uma solução 0X∞ > da seguinte
equação de Riccati: 2
2 2 2 2 01 1 1 1
T T TTLC LC LL C CA A BBX X X X γ
γ γ γ γ∞ ∞ ∞ ∞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + − − − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.
A LC B LD LN M
C D I⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ +=
1
1
00 0
( )
A L BI
IPG s MC I D
M P C I D
−
−
⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
−
= =
1 2
1 11 12
2 21 22
:A B BC D DC D D
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
1M − N
w
1z
2z
K
y u
Figura 55
77
Além disso, um controlador “central” é dado por:
12.2 “Loop shaping” usando estabilização coprima normalizada Vamos tratar agora do problema enunciado no título deste capítulo: projeto (síntese) com loop shaping e ∞H . Considere o diagrama de blocos da figura 56:
Recorda-se que bom desempenho do SMF exige que os seguintes números sejam “pequenos” na faixa de frequências de interesse:
-1 -1 -1 -1), ), ) e ).(( ) (( ) (( ) ( ( )PI PK I PK I KP K I PKσ σ σ σ+ + + + (2) E, por outro lado, boa robustez exige que os seguintes sejam “pequenos” nas altas frequências:
-1 -1) e ).( ( ) ( ( )PK I PK KP I KPσ σ+ + (3) Estas condições, como vimos, são equivalentes a que, na faixa de frequências de interesse, tenhamos:
( ) 1, ( ) 1 e ( ) 1,PK KP Kσ σ σ nas frequências baixas, e ( ) 1, ( ) 1 e ( ) ,PK KP K Mσ σ σ nas freqüências altas, onde M não pode
ser muito grande. Procedimento para o projeto por loop shaping (1) Usando um pré-compensador 1W e / ou um pós-compensador 2W , os valores singulares desejados da malha aberta são obtidos. (Ver a primeira da figura 57). A planta com as funções 1W e 2W formam uma nova “planta” sP , isto é, 2 1sP W PW= . Supomos que 1W e 2W são tais que sP não contenha modos escondidos, ou seja, não há cancelamento no produto. (Ver depois da figura o significado de K∞ ).
0
T
TA BB X LC LK
B X∞
∞
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
− +=
−•
K r
id
P
d
y
n
u
_
Figura 56
78
(2) Estabilização robusta: a) Seja uma fatoração c.e. normalizada sP = 1
s sM N− , e portanto, ~ ~+s s ss IM M N N = Calcular maxε dado por:
1
1 1max estabilizador
inf ( )s sK
II P K M
Kε
−
− −
∞
⎛ ⎞⎡ ⎤= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠
= 2
1 1 s s HN M⎡ ⎤− <⎣ ⎦ .
Se max 1ε , voltar a (1) e ajustar 1W e 2W . b) Selecionar maxε ε≤ e calcular um controlador K∞ que satisfaça a
1 1( ) 1/s s
II P K M
Kε− −
∞∞ ∞
⎡ ⎤+ ≤⎢ ⎥
⎣ ⎦.
(3) O controlador final K é então construído combinando o controlador K∞ com os “pesos” 1W e 2W , conforme a 3ª. da figura 56:
1 2K W K W∞= . Observação: (4) O objetivo acima pode ser visto de outra forma, como um problema padrão em ∞H . Com efeito, temos as seguintes igualdades:
P 2W 1W
1W1W P 2W K∞
_
2W K∞ 1W P
_
Figura 57
79
1 1( )s s
II P K M
K− −
∞∞ ∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥
⎣ ⎦= [ ]1( )s s
II P K I P
K−
∞∞ ∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥
⎣ ⎦
= 2 1 12 11
1
( )W
I PK W PWW K
− −−
∞
⎡ ⎤⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦= [ ]1( )s
s
II K P I K
P−
∞ ∞
∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥
⎣ ⎦
=1
1 111 2
2
( )W
I KP W PWW P
−− −
∞
⎡ ⎤⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦.
A partir disso, temos a seguinte formulação do problema, indicado na figura 58: 1 2 11 1
2 112 1 2
( )z W w
I PK W PWz W K w
− −−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦.
12.3 Justificação teórica para loop shaping com ∞H Trata-se de justificar o uso do parâmetro ε como um indicador para o projeto. Pode-se provar que ε é um bom indicador tanto para a estabilidade robusta do SMF e para o sucesso do projeto ao se alcançar as especificações desejadas no loop shaping. Examinaremos primeiramente a possibilidade de deterioração do loop shaping em projetos de alto ganho (tipicamente, de frequências baixas). Esta deterioração pode ser medida comparando 1 2( )PW K Wσ ∞ com 2 1( ) ( )sP W PWσ σ= . Agora, note-se que
1 2 11 2 2 2 1 2
2
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
W PW KPK PW K W W W PW K WW
σ σσ σ σκ
− ∞∞ ∞= = ≥ , (5)
onde ( )κ ⋅ , como vimos, é o número condicionante. De modo semelhante, para deterioração da loop shaping na entrada da planta, temos
1 2 11 2 1 2 1 1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
W PW KKP W K W P W K W PWWW
σ σσ σ σκ
− ∞∞ ∞= = ≥ . (6)
11W −
2z
K
1W
2w
P
2W
1w
12W − 1z
_
Figura 58
80
Observe-se que tanto 1( )Wκ como 2( )Wκ são escolhidos pelo projetista. A seguir, notando-se que sP designa a planta “shaped” e que K∞ estabiliza robustamente a fatoração normalizada de sP com margem de estabilidade ε , temos
1 1 1( ) :s s
II P K M
Kε γ− − −
∞∞ ∞
⎡ ⎤+ ≤ =⎢ ⎥
⎣ ⎦, (7)
onde sM é o denominador da fatoração normalizada de sP e o parâmetro γ é introduzido para simplificar a notação no que se segue. O resultado seguinte mostra que ( )Kσ ∞ é limitado por funções de ε e de ( )sPσ . Teorema (8) Qualquer controlador satisfazendo a (7), onde se supõe que sP seja uma matriz quadrada,
também satisfaz a 2
2
( ( )) 1( ( ))
1 ( ( )) 1s
s
P jK j
P j
σ ω γσ ω
γ σ ω∞
− −≥
− +
para todo ω tal que 2( ( )) 1sP jσ ω γ> − .
Além disso, se 2( ( )) 1sP jσ ω γ − , então ( ( ))K jσ ω∞ é assintoticamente maior ou
igual a 21/ 1γ − quando ( )sPσ →∞ • Prova: ZDG, pp. 490-492. A implicação mais importante deste teorema é que o limite em ( )Kσ ∞ depende somente da loop shape escolhida e da margem de estabilidade da planta “shaped”. A seguir temos: Teorema (9) Qualquer controlador K∞ que satisfaça a (7) também satisfaz a
2
2
1 ( ( ))( ( ))
1 1 ( ( ))s
s
P jK j
P jγ σ ω
σ ωγ σ ω
∞
− +≤
− −
para todo ω tal que 2
1( ( ))1
sP jσ ωγ
<−
.
Além disso, se 2
1( ( ))1
sP jσ ωγ −
, então ( ( ))K jσ ω∞ é assintoticamente menor ou
igual a 2 1γ − quando ( ) 0sPσ → . Prova: ZDG, pp. 492s. •
81
Os resultados destes dois teoremas confirmam que γ (ou alternativamente ε ) indicam a compatibilidade entre a “loop shape” especificada e as especificações de estabilidade do SMF.
![[Nogueira] Arbitrário Cultural Dominante](https://img.document.onl/doc/110x75/577c82f61a28abe054b300fd/nogueira-arbitrario-cultural-dominante.jpg)