5 - TAXAS EQUIVALENTES

Matemtica Financeira

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TAXAS EQUIVALENTES Duas ou mais taxas de juros so equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital durante um mesmo perodo de tempo de aplicao produzirem o mesmo montante, mesmo pertencendo a diferentes perodos de capitalizao. Vamos correlacionar a taxa iD perodo d dias. Vejamos o diagrama: C 1. caso 0 D D = perodo de tempo maior d = perodo de tempo menor iD = taxa do perodo maior id = taxa do perodo menor iD MA referida a um perodo D dias e a taxa id referida a um

C 2. caso 0 1

id d 2 3

MB D

1. Caso: um capital C aplicado durante um determinado perodo de tempo D a uma taxa de juros iD produz um montante MA. O montante MA calculado da seguinte forma: MA = (1 + iD)1

2. Caso: O mesmo capital C foi aplicado durante o mesmo perodo de tempo D a uma taxa de juros id aplicado a cada sub-perodo de tempo d (perodo de tempo D foi dividido em vrios perodos d) produz um montante MB. O montante MB calculado da seguinte forma: a soma de todos os perodos d igual a D, isto , devemos achar a quantidade de d perodos contidos no perodo D, que ser dado por D/d, ou seja, o nmero de capitalizaes ser de D/d perodos. id)D/d

O montante MB, ento, ser igual a

MB = (1 +

Para que as taxas sejam equivalentes necessrio que o MA = MB, logo

( 1 + iD ) = ( 1 + id ) D/dA taxa de juro iD igual a: iD = ( 1 + id) D/d - 1Dada uma taxa de um perodo de tempo menor, calcula-se a taxa equivalente de perodo de tempo maior.

e a taxa de juro Id igual a: id = ( 1 + iD) d/D - 1Nota: Dada uma taxa de um perodo de tempo maior, calcula-se a taxa equivalente de perodo de tempo menor.

a) b) c)

Observe que a taxa dada sempre estar dentro do parntese; O perodo de tempo da taxa que se procura estar sempre no numerador da frao do expoente; O perodo de tempo da taxa que se tem (que est dentro do parntese) estar sempre no denominador da frao do expoente.

Ento podemos formular a seguinte equao para clculo de taxas equivalentes

iq = (1 + iT ) T 1

Q

A taxa que eu quero (iq) igual a taxa que eu tenho (it) elevado ao perodo da taxa que eu quero (Q) dividido pelo perodo da taxa que eu tenho (T). Roberto


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EXEMPLO 1. Dada taxa de juros de 2% a.m. calcular a taxa de juros equivalente anual. D = ano; d = ms; a taxa dada = 2% a.m. ; a taxa que se procura = X% a.a.iD = (1 + 0,02 ) 30 1360

id = 1,0212 1 iD = 1,268242 1 iD = 0,268242 iD = 26,8242%a.a.

2. Dada taxa de juros de 24% a.a. calcular a taxa de juros equivalente mensal. D = ano; d = ms; a taxa dada = 24% a.a. ; a taxa que se procura = X% a.m.iD = (1 + 0,24 )360 130

id = 1,240,083333 1 iD = 1,018088 1 iD = 0,018088 iD = 1,8088%a.m.

3. Uma letra de cmbio transacionada no mercado financeiro oferecendo uma taxa de juro de 41,64% ao ano. Sabendo-se que o seu prazo de vencimento de 63 dias, determinar a taxa de juro equivalente a este prazo de aplicao. Soluo: iD = 41,64% ao ano id = ? id = (1 + 0,4164) 63/360 1 D = 360 dias d = 63 dias

id = 0,0628 ou 6,28% para os 63 dias 4. Se um Certificado de Depsito Bancrio oferece um rendimento lquido de 7,25% para um prazo de aplicao de 92 dias, qual a taxa anual de rendimento lquido? Soluo: iD = ? id = 7,25%

D = 360 dias d = 92 dias

iD = (1 + 0,0725) 360/92 1 iD = 0,31506 ou 31,506% ao ano

Roberto


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TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL

Vamos a um exemplo de aplicao de um capital de R$ 1.000,00 durante um ano tendo as seguintes taxas de juro compostos como alternativas: a) 12% ao ano; b) 12% ao ano com capitalizao anual; c) 12% ao ano com capitalizao mensal. Das taxas acima, quais as que fornecem idnticos resultados? As taxas (a) e (b) referem-se ao mesmo perodo de capitalizao. A letra (b) uma redundncia quanto ao prazo de capitalizao. A letra (c) representa uma taxa diferente das duas modalidades anteriores, o perodo da taxa (anual) difere do perodo de capitalizao (mensal) fornecido. Ficou claro que existem duas modalidades de taxas em termos de perodo de capitalizao: (a) uma que o perodo de capitalizao coincide com o perodo da taxa e a outra (b) que o perodo da taxa difere do perodo de capitalizao. Ento, Aquela cujo perodo de capitalizao corresponde ao prprio perodo de tempo da taxa, denomina-se TAXA EFETIVA. E aquela em que o perodo de capitalizao difere do perodo de tempo da taxa denomina-se TAXA NOMINAL

Propriedade da taxa nominal - a taxa de juro nominal pode ser fracionada proporcionalmente (igual a juros simples). Divide-se a taxa de juro pela quantidade de perodos de capitalizaes existentes no perodo da taxa.

Exemplo: 18% a.t. com capitalizao mensal, isto , os perodos de capitalizaes so mensais e o perodo da taxa trimestral, ento existem 3 perodos de capitalizaes mensais no perodo de tempo da taxa trimestral. Portanto, divide-se a taxa de juro por 3, o resultado igual a 6% ao ms.

Exemplo: 18% a.t. com capitalizao mensal, isto , os perodos de capitalizaes so mensais e o perodo da taxa trimestral, ento existem 3 perodos de capitalizaes mensais no perodo de tempo da taxa trimestral. Portanto, divide-se a taxa de juro (18%) por 3, o resultado igual a 6% ao ms.

Outro exemplo: 24% a.a. com capitalizao trimestral perodo de um ano (perodo da taxa de juros), ento:

existem quatro capitalizaes trimestrais no

24 % = 6 % a .t. 4

Roberto


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EQUIVALNCIA ENTRE TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL

Para que as taxas sejam equivalentes necessrio que MA = MB. Se MA = C( 1 + i) 1 e

j MB = C1 + m m

m

m j C(1 + i) = C1 + , desse modo o valor de i ser i = 1 + j 1 Ento m m

e o valor de j (taxa nominal) ser igual a:

1/ m j = m x (1 + i )

1

Exemplo

1. Dada taxa de juros de 6% a.m. calcular a taxa nominal anual com capitalizao trimestral.Taxa procurada Taxa dada: 6% a.m.q j = m x (1 + i ) t 1

X% a.a. com capitalizao trimestralTaxas equivalentes90 j = 4 (1 + 0,06 )30 1

X% = Y% a.t. 4

j = 4 1,063 1

(

)

j = 4 x 0,191016

j = 0,764084

76,4084% a.a. com capitalizao trimestral

2. Dada a taxa de 24% a.a., calcular a taxa nominal semestral com capitalizao mensal.Taxa procurada X% a.s. com capitalizao mensalTaxas equivalentes30 j = 6 (1 + 0,24 )360 1

X% = Y% a.m. 6

Taxa dada: 24% a.a.q j = m x (1 + i ) t

1

j = 6 1,24

(

0,083333

1

)

j = 6 x 0,018088

j = 0,108525

10,8525% a.s. com capitalizao mensal

3. Dada a taxa de 36% ao ano com capitalizao mensal, determinar taxas equivalentes de juros compostos relativos aos perodos: a) anual b) mensal c) trimestral a) ia = (1 + b) im = d) quadrimestral

j m ) 1 mim =

ia = (1 +0,36 12

0,36 12 ) 1 12

ia = 0,42576 ou 42,576% ao ano

j m

im = 0,3 ou 3% ao ms ou 9,27%

c) it = (1 + 0,03) 3 1

it = 0,092727

4. Que taxa anual com capitalizao mensal uma Instituio Financeira dever exigir em seus contratos a fim de que venha auferir um ganho efetivo de 48% ao ano? j = m1/ m (1 + i ) 1 1 / 12 j = 12 (1 + 0 , 48 ) 1 = 39,85% a.a.

A instituio dever exigir uma taxa de 39,85% ao ano com capitalizao mensalRoberto


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TAXA DE JURO REAL E TAXA DE JURO APARENTE

Denominamos taxa de juro REAL a taxa paga ou ganha (acima da inflao) numa operao. A taxa de juro APARENTE aquela que vigora nas transaes correntes. Quando no h inflao no perodo considerado, a Taxa Aparente igual taxa Real; porm, quando h inflao, a Taxa de juros Aparente formada pela INFLAO e pela Taxa de juro REAL. Para: C = capital aplicado iR = Taxa Real iA = Taxa Aparente I = Inflao Podem acontecer os seguintes casos: 1. Com a Inflao igual a zero e uma taxa de juros real iR, o capital inicial se transformar no montante: M = C (1+ iR) 2. Com uma taxa de Inflao I, e sem taxa de juros Real, o capital inicial, ao final de um determinado perodo, o montante ser equivalente a:M = C (1 + I);

3. Com uma taxa de juro Real iR e uma taxa de Inflao I, simultaneamente, o capital inicial equivaler a:M = C ( 1 + iR )( 1 + I )

(a)

4. Com uma taxa Aparente iA, o capital inicial se transformar, ao final de um determinado perodo de aplicao igual a: M = C ( 1 + iA ) (b)

Como as Expresses (a) e (b) so equivalentes, j que ambas traduzem o mesmo montante, o seja o valor efetivamente recebido, temos:

C ( 1 + iA ) = C ( 1 + iR )( 1 + I )DondeEsta expresso nos permite calcular qualquer uma das taxas envolvida no problema.

( 1 + iA ) = ( 1 + iR )( 1 + I )

Exemplo

1. Uma aplicao de R$ 100,00 teve um rendimento de R$ 35,00. Se a inflao do perodo foi de 30%, calcular a rentabilidade aparente e real da aplicao.

C = 100,00;

J = 35,00

e I = 30 %

iA =

Re n dim ento Aplicao

35 = 0,35 100

ou 35%

Roberto


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(1 +iA) = (1 + iR)(1 +I ) .: ( 1 + iR ) =

(1 + i A ) (1 + I )

iR =

(1 + 0,35) 1,35 1 .: iR = 1 (1 + 0,30) 1,30

iR = 3,85%

2. Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa Real de 0,8% ao ms e uma inflao de 20% no perodo. iR = 0,8% ao ms e i = 20% iA = ( 1 + iR )( 1 +I ) 1 .: iA = ( 1 + 0,008 )( 1 + 0,2) iA = 20,96%

3. Um emprstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a inflao nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual? iA = 32% I = 21% ( 1 +0,32 ) = ( 1 + iR )( 1 + 0,21 ) .: iR =

1,32 1 1,21

iR = 9,09% ao ano

4. Um CDB rendeu 1,4% ao ms e a inflao no perodo pela IGPM foi de 0,8%. Qual a taxa Real auferida nesta aplicao? iA = 1,4% I = 0,8% iR =

( 1 + 0,014 ) = ( 1 + iR ) x ( 1 + 0,008 )

1,014 1 1,008

iR = 0,595% ao ms

Roberto


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EXERCCIOS PROPOSTOS - TAXAS EQUIVALENTES

1. Dada taxa 20% a.a., determinar as taxas equivalentes; R.: i 9,54% a.s. a) Semestral; R.: i 6,27% a.q. b) Quadrimestral; R.: i 4,66% a.t. c) Trimestral; R.: i 1,53% a.m. d) Mensal; 2. Qual a taxa efetiva anual equivalente a: a) 24% ao semestre com capitalizao mensal; b) 48% ao ano capitalizado trimestralmente; c) 12% a.a. com capitalizao mensal; d) 10% ao semestre com capitalizao trimestral. R. R. R. R. 60,10% a.a. 289,58% a.a. 12,68% a.a. 79,59% a.a.

3. Dada as taxas calcular a equivalente a) 4,5% a.m. - nominal anual com capitalizao trimestral b) 6,7% a.t. - nominal semestral com capitalizao mensal c) 60% a.a. - nominal anual com capitalizao mensal d) 3,2% a.s. - nominal quadrimestral com capitalizao quinzenal

R. R. R. R.

56,47% 13,11% 47,93% 2,10%

4. Dada as taxas calcular a equivalente: a) 24% ao ano com capitalizao mensal - nominal anual com capitalizao quadrimestral; b) 40% a.s. com capitalizao trimestral - nominal trimestral com capitalizao mensal c) 200% a.a com capitalizao semestral - nominal semestral com capitalizao mensal; d)1.398% ao ano com capitalizao bimestral - nominal anual com capitalizao semestral. Resp. a) 24,73% b) 9,68% c) 73,48% d) 7.185,21% 5. Dada taxa de juro efetiva de 48% a.a. determinar a taxa equivalente ao ms, ao trimestre e ao semestre. Resp. 3,32% a.m.; 10,30% a.t.; 21,66%a.s. 6. Um capital foi colocado a 20% a.a., capitalizados semestralmente, e outro a 18% a.a., capitalizados quadrimestralmente. No fim de 2 anos os juros do primeiro capital excederam de R$ 6.741,00 os juros do segundo. Sabendo que o primeiro R$ 10.000,00 maior que o segundo, o valor dos capitais, em R$, igual a: Resp.: R$ 56.071,94 e R$ 46.071,94 7. Determinar: a) A taxa efetiva para 2 meses, equivalente taxa nominal de 120% a.a. capitalizada mensalmente; b) A taxa efetiva para 18 meses, equivalente taxa nominal de 120% a.a. capitalizada semestralmente; c) A taxa nominal ao ano capitalizada mensalmente, equivalente taxa efetiva de 10% em 60 dias; d) A taxa nominal ao ano capitalizada trimestralmente, equivalente taxa efetiva de 15% em 6 meses; e) A taxa efetiva para 41 dias, equivalente taxa nominal de 24% a.a. capitalizada diariamente; f) A taxa efetiva para 41 dias, equivalente taxa nominal de 24% a.s. capitalizada diariamente. Resp. a) 21%; b) 309,60%; c) 58,57% d) 28,95% e) 2,77%; f) 5,6150% 8. Uma pessoa colocou do seu capital a 20% a.a., capitalizados semestralmente, e o restante a 12% a.s., capitalizados trimestralmente. Sabendo-se que a primeira parcela proporcionou R$ 60.769,10 de juros, o montante no final de 4 anos ser, em R$: Resp.: R$ 158.905,24. 9. O capital que durante 4 anos, colocado a 12% a.a., capitalizados bimestralmente, produz um juro de R$ 12.252,00 a mais do que seria produzido com capitalizaes semestrais de, em R$: Resp: R$ 839.800,74 10. Em 154 dias uma aplicao rendeu 41,123%. Calcular as taxas mensal e anual equivalentes. Resp. 6,94% a.m. e 123,72% a.a.Roberto


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11. Quanto uma pessoa resgatar no final de 93 dias se aplicar R$2.000,00 taxa de 150% a.a.? E qual a taxa mensal equivalente. Resp. 2.535,14 e 7,93% a.m. 12. A aplicao de R$380,00 proporcionou um rendimento de R$240,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas diria, mensal, trimestral e anual de juro. Resp. 0,235637% a.d.; 7,316038% a.m.; 83,593003% a.t. e 133,332667% a.a. 13. Um banco cobra 20% a.a. de taxa de juro numa operao de capital de giro. Quanto cobrar para uma operao em 182 dias. Resp. 9,655525% p/182 dias 14. Um agiota empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal e anual desse emprstimo. Resp.: 8% a.m., ou 151,817% a.a. 15. Qual a taxa efetiva equivalente trimestral de uma taxa de 34% ao ano com capitalizao mensal? Resp. 8,74% a.t. 16. Qual a taxa anual com capitalizao trimestral equivalente a taxa de 60% ao ano com capitalizao semestral? Resp. 56,07% a.a. c/cap. Trimestral 17. Trs quartos de um capital foram aplicados taxa nominal de 20% a.a. capitalizada semestralmente e, o restante, a 12% a.s. capitalizada trimestralmente. Se o prazo da aplicao de 4 anos e, sabendo-se que o rendimento da primeira parcela $ 4.726,04 maior que o rendimento da segunda, calcular o capital. Resp. $ 10.000,00 18. Calcular o prazo em que um capital dobra se aplicado a juros nominais de 120,17% a.a. capitalizados diariamente. Resp. 208 dias 19. Um capital foi aplicado por 18 meses taxa nominal de 24% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o valor do capital, sabendo-se que, se a capitalizao da taxa nominal for semestral em vez de mensal, o rendimento diminui $ 1.000,00. Resp. $ 42.884,87 20. Dois teros de uma capital foram aplicados por 2 anos taxa de 18% a.s. capitalizada bimestralmente e, o restante do capital, foi aplicado por um determinado prazo taxa de 18% a.t. capitalizada mensalmente. Se o valor do capital de $ 12.000,00 e, sabendo-se que o rendimento da primeira parcela $ 4.048,79 maior que o rendimento da segunda, calcular o prazo em anos da segunda parcela.` Resp. Um ano

Roberto


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PROBLEMAS DE CAPITALIZAO COMPOSTA COM TAXA EFETIVA E NOMINAL

1.

Calcular o montante e a taxa efetiva anual ganha por um investimento de R$ 2.000,00, aps 2 anos de aplicao, se rendeu juros nominais de 9% ao ano com as seguintes hipteses de capitalizao: a) anual; b) semestral; c) trimestral e d) diria. Resp. 9%; 9,20%;9,31%9,42% Um capital de R$ 2.500,00 aplicado taxa nominal de 90% ao ano capitalizado semestralmente. Qual o montante aps: a) um ano de aplicao; b) 3 anos de aplicao? Calcular a taxa efetiva anual. Resp. 5.256,25 - 23.235,30 - 110,25% Em quanto tempo duplicar um capital aplicado taxa nominal de 227,05% ao ano capitalizado mensalmente? Resp. 4 meses Uma aplicao de R$ 17.800,00, pelo prazo de 20 meses, ganhou uma taxa de juros nominal de 45% ao ano com capitalizao quadrimestral. Qual foi o rendimento da operao? Resp. R$ 18.002,16. Que taxa nominal anual uma instituio dever exigir em seus contratos de emprstimos para que receba um ganho efetivo de 2.250% ao ano, na condio de a taxa nominal ter uma capitalizao trimestral? Resp. 480,70% ao ano com capitalizao trimestral Uma pessoa deposita R$ 45.000,00 numa instituio financeira por 3 anos taxa nominal de 24% ao ano. Calcular o montante composto, sabendo que no primeiro ano os juros so capitalizados semestralmente e no segundo ano trimestralmente e no terceiro ano mensalmente. Resp. R$ 90.380,36 Um capital rende juros compostos de 30% ao semestre com capitalizao mensal durante os primeiros dois anos para, em seguida, ser reaplicado (capital inicial + juros) a uma taxa de 60% ao ano com capitalizao mensal durante os prximos 12 meses. Determinar uma taxa nominal anual com capitalizao trimestral que seja capaz de fornecer ao fim dos 3 (trs) anos de aplicao o mesmo rendimento fornecido pelas duas taxas anteriores. Resp. 62,04% a.a. com capitalizao trimestral Qual a melhor opo para uma aplicao de 180 dias: a. Caderneta de poupana para receber 7,42% ao semestre (entre juros e correo monetria); b. Fundo de Renda Fixa para receber 1,34% ao ms; c. Fundo Mtuo de aes para receber 0,56% a quinzena. Um banco deseja ganhar 45% ao ano como taxa efetiva, que taxa nominal anual com capitalizao trimestral dever oferecer a seus clientes? Uma aplicao de R$ 24.000,00 teve um rendimento nominal de R$ 5.040,00. Considerando que a taxa de juros composta nominal ganha foi de 120% ao ano capitalizado mensalmente, calcular o nmero de dias que o capital ficou aplicado. O valor de R$ 5.660,00 foi aplicado taxa nominal de 15% a.a., capitalizado mensalmente durante 3 anos e 4 meses e 27 dias. Calcule o montante. Resp. R$ 9.407,48 O valor de R$ 1.500,00 foi aplicado taxa nominal de 18% a.a., capitalizado mensalmente durante 63 dias. Calcule o montante. Resp. R$ 1.547,64 O valor de R$ 1.500,00 foi aplicado taxa nominal de 18% a.a., capitalizado diariamente durante 36 dias. Calcule o montante. Resp. R$ 1.527,23 O valor de R$ 370,00 foi aplicado taxa nominal de 7% a.a., capitalizado mensalmente durante 6 meses. Calcule o montante. Resp. R$ 383,14 O valor de R$ 430,00 foi aplicado a juros compostos durante 36 dias, rendendo de juros 28,00. Qual a taxa de juro nominal anual, capitalizado diariamente? Resp. 63,139284% a.a. capitalizado diariamenteRoberto

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Taxa real e taxa aparente

1.

Determinar a taxa de rendimento real a partir de uma taxa aparente de 7% a.a. e uma inflao de 3% no perodo. Resp. 3,8835% a.a. Um capital aplicado durante dois anos taxa nominal aparente de 18% a.a. com capitalizao mensal, rendeu $ 1.500,00. Se a inflao em cada ano foi de 12%, calcular o capital e a taxa real da aplicao. Resp. 3.492,41 e 6,75% a.a. Uma aplicao financeira rende juros nominais de 6% a.a. capitalizados mensalmente. Se a taxa de inflao foi de 5,5% a.a., calcular as taxas de juros aparente e real ganhas pela aplicao. Resp. aparente: 6,17% a.a. e real: 0,63%a.a.

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Roberto

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