5.1 Equações de Maxwell

A existência de propagação de ondas pode ser predita como uma conseqüência direta das equações de Maxwell [J. Clerk Maxwell, “A Dynamical Theory of the Eletromagnetic Field”, Scientific Papers, 1865, reprinted by Dover, New York, 1952].

Essas equações especificam as relações entre as variações do vetor campo elétrico E e o vetor campo magnético H com relação a tempo e a espaço, no interior de um meio. O campo elétrico E, ou seja, sua intensidade é medida em “volts por metro”; égerado por um campo magnético variante no tempo, ou por uma carga livre.

O campo magnético H é medido em “Ampère por metro” e é gerado por um campo elétrico variante no tempo, ou por uma corrente.

5. Mecanismos de PropagaçãoRef: Otung, I,: “Communications Engineering Principles, Palgrave, 2001. Lathi, B. P.: Modern Digital and Analog Communication System, 3rd ed. Oxford, 1998. Haykin, S.: Communication Systems, 4th ed., Wiley, 2001; Saunders, S. R.: Antennas and propagation for wireless communication systems, Wiley, 1999. Miller, G. M., and Beasley, J. S.: Modern Electronic Communication, 7th ed., Prentice Hall, 2002; Kraus, J. D., Antennas, McGraw Hill, 2nd ed, 1988; Rios, L. G. E Perri, E. B., “Engenharia de Antenas”, E. Blücher, 2o ed., 2002;Kraus/Fleisch, “Eletromagnetics with Applications”, McGraw-Hill, 5th ed., 1999; Temes, L. and Schultz, M. E., “Electronic Communication”, 2nd ed., Schaum’s Outlines, 1998.

As equações de Maxwell podem ser resumidas em palavras:

•Um campo elétrico é produzido por um campo magnético variante no tempo

•Um campo magnético é produzido por um campo elétrico variante no tempo, ou por uma corrente

•Linhas do campo elétrico podem tanto começar e terminar em cargas elétricas, ou são contínuas.

•Linhas do campo magnético são contínuas.

As duas primeiras equações, equações rotacionais de Maxwell, contêm constantes de proporcionalidade: a permeabilidade µ do meio em “henry por metro” e a permissividade ε do meio em “farads por metro”.

As constantes µ e ε são normalmente expressas em relação aos valores no espaço livre:

rµµµ 0= rεεε 0=onde µ0 e ε0 são os valores do espaço livre dados por:

e

170 104 −−×= Hmπµ 1

912

0 361010854,8 −

−− =×= Fm

πεe

e µr, εr são valores relativos (µr= εr =1 no espaço livre, e boa aproximação para ar seco )

Propriedades das ondas planas (i.e.,

ondas eletromagnéticas)

As figuras ao lado representam ondas planas (e.g., 1,5 comprimentos de onda, na figura superior), propagando-se paralelamente ao eixo Z, no instante t=0.

Os campos elétricos e magnéticos são perpendiculares entre si e em relação à direção de propagação da onda; o vetor na direção de propagação é o Vetor de Propagação, ou Vetor de Poynting.

http://www.nrao.edu/whatisra/mechanisms.shtml

Os dois campos estão em fase em qualquer ponto (i.e., tempo ou espaço). Suas magnitudes são constantes no plano xy, e uma superfície de fase constante (i.e., uma frente de onda – “wavefront”) forma um plano paralelo ao plano xy. O campo elétrico oscilante produz um campo magnético, que por sua vez, também oscilando, cria um campo elétrico, de acordo com as equações de Maxwell. Essa interação entre os dois campos armazena e conduz energia (e.g., e permite o envio de informaçãoentre fonte e destino).

A densidade de potência S (em W/m2) e o campo elétrico E (em V/m)estão relacionados com impedância da mesma forma que potência e voltagem se relacionam em circuitos elétricos:

×=⇒=

metroVoltsZSE

ZES

2

Z é denominado Impedância de Onda, ou Impedância Característica. A Impedância Característica de qualquer meio condutor de ondas eletromagnéticas édada por:

εµ

=Z

onde µ é a permeabilidade do meio, e ε é a permissividade do meio. Para o espaço livre:

mH /1026,1 60

−×=µ e Substituindo:mF /1085,8 120

−×=ε

Ω==××

== −

−

3771201085,81026,1

12

6

πεµZ

O comprimento de onda, λ , é dado por:

e a velocidade da luz (i.e., no espaço livre) é:

fc

=λ

18

00

1031 −×== mscεµ

Reflexão – assim como nos raios de luz, ondas de rádio são refletidas por qualquer meio condutivo como superfícies metálicas ou superfície da terra.

• O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão; há uma mudança de fase nos raios incidente e refletido, conforme pode se observado pela diferença na direção de polarização.

• Reflexão completa ocorre apenas para condutores perfeitos teóricos e quando o campo elétrico for perpendicular ao elemento refletor. A relação entre a intensidade da onda refletida e da onda incidente é chamada de coeficiente de reflexão, ρ, e varia de zero, para isolantes até 1, para condutores perfeitos.

Refração – refração de ondas de rádio eletromagnéticas ocorre de maneira parecida com a refração da luz. Refração ocorre quando ondas passam de um meio com determinada densidade para outro meio com uma densidade diferente.

• O ângulo de incidência, θ1 , e o ângulo de refração, , estão relacionados de acordo com a lei de Snell: , sendo n1 e n2 os índices de refração dos meios.

2211 sensen θθ nn =

Reflection, refraction

ir θθ =

)sin()sin(2

1it θ

ηη

θ =

)sin()sin(22

11it θθ εµ

εµ=

Reflection

Refraction

if both media are lossless

i

r

EE

=ρReflection coefficient: Depends on media, polarisationof incident wave and angle of incidence.

Reflection and refraction affect polarisation

Difração – é o fenômeno onde ondas que se propagam em linha reta sofrem curvatura em torno de obstáculos. Esse efeito é resultado do Princípio de Huygens: todos os pontos de uma frente de onda funcionam como fontes pontuais de pequenas ondas secundárias esféricas. Decorrido um período de tempo, t, a nova posição da frente de onda será a superfície de tangência dessas pequenas ondas secundárias.

Em resumo, quando uma onda eletromagnética (i.e., OEM) se propaga na superfície terrestre, ou seja, em condições diversas daquelas do espaço livre, percebe-se a ocorrência de reflexão, refração e difração, de forma semelhante ao que ocorre nas ondas de luz, descontadas as diferenças de comprimento de onda.

Combinação de mecanismos de propagação numa situação real: as diferentes representações de sombras indicam materiais com potencialmente diferentes parâmetros constitutivos.

Apesar de todas as complicações inerentes, os métodos de ótica geométrica representam uma forma simples para o cálculo aproximado do valor do campo elétrico no receptor (i.e., field point).

Propagação de ondas de rádio: de superfície (i.e., ground-waves), espaciais (space-wave) e celestes/ionosféricas (i.e., sky-waves)

Propagação das ondas de superfície: as ondas de superfície viajam ao longo da superfície da terra e só se propagam se forem verticalmente polarizadas (i.e., campo elétrico vertical).

• Quando a propagação se faz sobre um terreno de alta condutividade (e.g., superfície do mar), a atenuação da onda terrestre é pequena, permitindo uma comunicação eficiente e confiável, principalmente se a potência transmitida for elevada.

• As perdas desse tipo de ondas crescem rapidamente com a freqüência; ondas de superfície não são muito efetivas para freqüências acima de 2 MHz. Por outro lado, diferentemente das ondas celestes, as ondas de superfície não são afetadas por mudanças diárias ou sazonais.

• Ondas de superfície se constituem na única forma possível de comunicação com submarinos, através das freqüências ELF (i.e., Extremely Low Frequencies) , que corresponde à faixa de 3 a 300 Hz. Alguns textos estendem a faixa ELF até 3 kHz, para em seguida definir a faixa VLF (i.e., Very Low Frequency), abrangendo as freqüências de 3 kHz a 30 KHz. Na freqüência de 100 Hz a atenuação é cerca de 0,3 dB/m (e.g., 1 GHz apresenta uma atenuação de 1000 dB/m)

Propagação das ondas espaciais: os dois tipos de ondas espaciais são mostrados na figura a seguir: onda direta e onda refletida. O modo de comunicação através de ondas diretas é o que mais amplamente se utiliza: a superfície da terra não afeta sua propagação.

A onda direta apresenta, no entanto, uma limitação severa: o seu alcance se restringe à “linha-de-visada” (i.e., “line-of-sight”).

O horizonte de rádio real é cerca de 4/3 maior que linha de visada geométrica devido aos efeitos de difração e é dado por:

( )rt hhRd += 2

onde R = 8,5×106 m é o raio efetivo da terra, maior que o seu raio real de ~6,5 ×106 m.

A onda refletida pode causar problemas de recepção. Se a fase dos dois sinais (e.g., direto e refletido) não forem as mesmas, algum grau de desvanecimento (i.e., “fading”) de sinal deverá ocorrer. Isso pode também ocorrer sempre que existirem dois ou mais caminhos de sinal (i.e., signal paths). O fantasma em imagens de televisão é um exemplo desse fenômeno.

Super- e sub-refraçãoIrregularidades na atmosfera terrestre afetam a transmissão de rádio.

A condição conhecida como super-refração ocorre quando o índice de refração do ar decresce com o aumento da altitude muito mais rapidamente que o normal; nessas condições as ondas de rádio podem se comportar conforme mostrado na figura (a).

Um acréscimo de temperatura com a altitude (e.g., conhecido como inversão térmica) dá origem à super-refração. Se esse aumento da temperatura for também seguido por um acréscimo da umidade o efeito torna-se ainda mais acentuado.

A região na qual ocorre a super-refração é denominada “duto”, e pode ser formada tanto na superfície da terra como em estratos mais elevados, conforme mostrado em (a).

É possível também a ocorrência de fenômeno inverso, dando origem à sub-refração, o que afasta o sinal de rádio do ponto de recebimento; ver figura (b)

Inomogeneidades na atmosfera (i.e., refractive index irregularities) podem dar origem a espalhamento (i.e., scattering) de sinais de rádio, e através de antenas de grande ganho e diretividade, e transmissores de alta potência, é possível o estabelecimento de enlaces de comunicação muito além do horizonte normalmente atingido pelo rádio.

O método, conhecido como propagação por espalhamento troposférico (i.e., tropospheric scatter propagation) pode ser utilizado em distâncias de até 600 km, na faixa de freqüências de 40 a 4.000 MHz

Ondas CelestesPropagação de ondas celestes (i.e., sky waves) é a energia que se propaga através da

ionosfera, ou é refletida na ionosfera. A ionosfera é a região mais externa da atmosfera terrestre onde ocorre a ionização de partículas. Nessa região, altitudes de camadas (i.e., layer heights), freqüências críticas e distâncias de saltos (i.e., skip distances) são fatores que contribuem para a existência de múltiplos percursos (i.e., multi-path).

A ionosfera é composta de camadas de cargas livres; as alturas e espessuras variam dentro de limites bastante extensos. As altitudes das camadas variam em função da latitude, período de dia, estação do ano e atividade solar. Conforme uma onda eletromagnética penetra numa camada ionizada, existe uma freqüência crítica que determinará se a onda irá:

• Atravessar a camada (i.e., transmissão)• Sofrer uma curvatura (i.e., refração), ou • Dissipar.

Se a freqüência da onda estiver acima da freqüência crítica, a mesma atravessará a camada. Se a freqüência for inferior ou igual à critica, ela sofrerá uma curvatura, ou será refletida de volta para a terra. Se a freqüência for muito menor que a freqüência crítica, sua energia seráabsorvida na camada. A ionosfera se estende aproximadamente de 80 a 2000 km. O trajeto de transmissão varia dependendo da refração, que é influenciada pela intensidade de ionização. A refração ocorre quando o raio de uma região se curva, ou é defletido, ao passar para a região seguinte. A reflexão ocorre quando a onda ou raio de uma região bate na região vizinha e volta. Essa performance é ditada pela lei de Snell:

1

2

1

2

2

1

ε

εθθ

==nn

sensen

Diagrama esquemático da estrutura vertical da atmosfera

Propagação das ondas celestes (i.e., sky-waves):Do ponto de vista de radiação eletromagnética, três camadas da atmosfera devem

ser consideradas: a troposfera, a estratosfera e a ionosfera. Além da ionosfera se considera espaço livre.

• A ionosfera recebe essa denominação devido a presença de partículas ionizadas.

• A densidade nas camadas superiores é muito baixa e torna-se progressivamente maior à medida em que se aproxima da terra.

• A região superior da ionosfera é a que está mais sujeita à severa radiação do sol.

• Radiação ultravioleta do sol provoca ionização do ar produzindo elétrons livres, íons positivos e íons negativos.

• O grau de ionização da ionosfera diminui proporcionalmente com a diminuição da altitude em relação à terra..

A ionização na ionosfera é causada pela radiação ultravioleta do sol. A densidade de ionização varia de forma a possibilitar a formação de camadas.

A camada mais inferior, denominada de camada D varia de 50 a 100 km acima da superfície terrestre.

A camada seguinte, denominada E, se estende de 100 a 115 km dependendo da estação do ano, da latitude, do período do dia e da atividade solar.

A terceira camada é denominada camada F. Essa camada varia de160 a 500 km ,ou mais.Durante o dia, a camada F se divide em outras duas: camada F1 e camada F2. A camada F2 desce e se junta à camada F1 durante a noite propiciando a formação de um guia de onda, formado pela superfície da terra e a camada F2 propriamente dita. A energia no guia de onda tende a colidir com as paredes desse guia

Camadas da ionosfera:• A presença, ou ausência das camadas na ionosfera e suas altitudes acima da terravariam com a posição do sol (e.g., hora do dia, mês do ano e atividade solar)

• A camada D (50 a 100 km de altitude) desaparece com o por do sol. Essa camada refrata sinais de baixa freqüência.

• Na camada E (100 a 115 km de altitude) a taxa de recombinação iônica é bastante rápida, sendo que essa camada tem a propriedade de refratar sinais em freqüências mais altas (e.g., até 20 MHz) do que aquelas refratadas pela camada D.

• A camada F (entre as altitudes 160 e 500 km ou mais), durante o dia, subdivide-se em duas outra camadas: F1 e F2. Os níveis de ionização dessas camadas são bastante altos e variam enormemente no transcorrer do dia. Uma vez que a atmosfera é muito rarefeita nessas altitudes, a recombinação dos íons ocorre muito lentamente após o por do sol.

• As camadas F são responsáveis pelas transmissões de alta freqüência e de longa distância, devido à refração, em freqüências até 30 MHz.

Uma onda de rádio que entre na camada E com um ângulo de incidência φiserá refratada de forma crescente, afastando-se cada vez mais da normal.

Na Fig. (a) uma onda entrando na camada E com um ângulo de incidência φ1retorna à terra, mas um outro sinal, na mesma freqüência, que incide na mesma camada Ecom um ângulo de incidência, φ2, menor, não retorna. Essa segunda onda viaja até a camada F1 e daí retorna à terra.

A Fig (b) mostra duas ondas com freqüências f1 e f2 incidindo sobre a camada E com um mesmo ângulo de incidência φ1, sendo f2 > f1. A onda de freqüência mais baixa retorna à terra pela camada F1 enquanto que a de freqüência mais alta ultrapassa inclusive a camada F2 .

Demonstração dos efeitos em ondas espaciais dos (a) ângulo de incidência e (b)freqüência

Rotas de propagação de ondas

• ao longo da superfície do solo (i.e., ground wave)

• ao longo de uma linha reta, exigindo linha de visada (i.e., line-of-sight wave)

• sobe em direção à ionosfera e volta à terra (i.e., sky wave)

Freqüências típicas das diferentes rotas de propagação

A freqüência do sinal determina qual dos modos predomina.

Diferentes modos de propagação de ondas de rádio na atmosfera

•Onda terrestre (superficial), ground wave (abaixo de 2 MHz). Mecanismo: segue o contorno da terra por difração, e.g., rádio AM, com altas potências e comprimento de antena da ordem de 10% de λ (i.e., 10% do comprimento de onda)

•Onda celeste, sky wave (atmosfera se comporta como guia de onda, tipicamente para freqüências de 2 a 30 MHz)

•Onda terrestre (espacial), line-of-sight (acima de 30 MHz); LOS é também o modo de propagação das comunicações móveis celulares e comunicações por satélite

•ionospheric scatter (30 a 60 MHz) – de 40 a 400 km acima da superfície da terra

•Onda troposférica, tropospheric scatter (40 MHz a 4 GHz) – camada mais baixa: 16 km no equador a 8 km nos pólos (e.g., comunicação multicanal – 12 a 240 canais de voz – em distâncias de até 650km)

Refractive index irregularities

O espectro eletromagnético

Fotons com energia inferior a 3,89 eV (λ>318,8×10-9m) são considerados não ionizantes

Espectro eletromagnético para telecomunicações

Designação das freqüências ( Radiofreqüências )

VLF Very Low Frequencies 3 kHz até 30 kHz

LF Low Frequencies 30 kHz até 300 kHz

MF Medium Frequencies 300 kHz até 3 MHz

HF High Frequencies 3 MHz até 30 MHz

VHF Very High Frequencies 30 MHz até 300 MHz

UHF Ultrahigh Frequencies 300 MHz até 3 GHz

SHF Superhigh Frequencies 3 GHz até 30 GHz

EHF Extra-high Frequencies 30 GHz até 300 GHz

Ruído Térmico (i.e, thermal noise) ou AWGN (i.e., Additive White Gaussian Noise)

O ruído térmico ocorre devido à interação entre elétrons livres e íons em vibração em um condutor. Isso faz com que a a taxa de chegada de elétrons em qualquer extremidade de um resistor varie aleatoriamente, produzindo portanto uma variação na diferença de potencial do resistor.

Essa forma de ruído foi estudada por J. B. Johnson em 1928, daí o outro nome pelo qual é também conhecido: “Johnson noise”.

Seu conteúdo de freqüência é igualmente distribuído através do espectro utilizável, o que nos leva à terceira designação dessa forma de ruído: ruído branco (e.g., da óptica, onde a luz branca contém todas as freqüências, ou cores).

Johnson mostrou que a potencia desse ruído é dada por:

onde

k = Constante de Boltzmann (1,38×10-23 J/K)

T = temperatura do resistor em kelvin (i.e., K); para converter oC para K, basta adicionar 273o (e.g., 27 oC => 27 oC + 273 oC = 300 K)

∆f = largura de banda de freqüência do sistema sob consideração

fTkPn ∆××=

Uma vez que a potência de ruído é diretamente proporcional à largura de banda envolvida, é recomendável limitar um receptor à menor largura de banda possível.

Como P = E2 / R , é possível reescrever Pn = kT∆f de forma a determinar a voltagem ou tensão de ruído, en , gerada por um resistor.

Assumindo máxima transferência de potência de ruído, a tensão de ruído estarádividida entre uma carga e a fonte de ruído propriamente dita, conforme mostrado na figura a seguir:

fTkR

e

Pn

n ∆××=

=

2

2

portanto:

RfTken ×∆××=4

2

RfTken ×∆×××= 4

ou

Condições necessárias para radiaçãoConforme mostra a figura (a), como conseqüência direta das equações de

Maxwell, cargas em movimento uniforme (ou cargas estacionárias) não produzem radiação.

Nas figuras (b) até (d), no entanto, radiação ocorre porque a velocidade das cargas está variando com o tempo.

cargas em movimento uniforme;

cargas revertem a direção ao atingir a extremidade;

cargas com velocidade constante, mas mudando de direção;

cargas oscilando em movimento periódico

Resistência de Radiação da Antena

Para que um valor de potência chegue a uma antena, esta precisa estar conectada a uma linha de transmissão. E a impedância característica da linha de transmissão deve ser igual à resistência apresentada pela antena para prevenir ondas estacionárias na linha.

Ao se tentar medir a resistência de uma antena através de um ohmímetro, este indicará um circuito aberto uma vez que uma fonte DC estará sendo usada na medição da resistência.

A resistência apresentada por uma antena consiste principalmente no que édenominado Resistência de Radiação.

A resistência de radiação de uma antena é definida como uma resistência fictíciaque dissiparia uma potência equivalente àquela radiada pela antena conectada à mesma linha de transmissão, conforme mostrado na figura acima.

Exemplo:

Uma antena que está radiando 100 W quando uma corrente de 2 A está presente apresenta uma resistência de radiação de

Ω=== 252

10022I

PR

Exercícios

1) Qual o valor da potência radiada por uma antena que tem uma resistência de radiação de 50 ohms e é alimentada por uma corrente de 20 ampères ?

Resposta: 20 kW.

2) Uma antena cuja resistência de radiação é 75 ohms radia 10 kW. Qual o valor da corrente que flui nesta antena ?

Resposta: 11,547 A

Nota: Quando a resistência de radiação está casada à resistência do transmissor ou do receptor, o sistema está otimizado.

Se uma onda eletromagnética se propagar igualmente, a partir de um ponto, em todas as direções no espaço livre, o resultado será uma frente de onda esférica. Esse tipo de fonte é denominado fonte pontual isotrópica.

Duas frentes de onda são mostradas na figura ao lado. As ondas viajam à velocidade da luz, de forma que, em um certo instante, a energia alcançará a área indicada pela frente de onda 1 (i.e., Wavefront 1). A densidade de potência S (e.g., em watts por metro quadrado) na frente de onda 1 éinversamente proporcional ao quadrado da sua distância, r (em metros) a partir da fonte, com relação à potência transmitida, Pt , ou seja:

24 rPS t

π=

Se a frente de onda 2 (i.e., Wavefront 2) se encontrar a uma distância igual ao dobro de distância da frente de onda 1, a partir da fonte, então a densidade de potência, em watts por unidade de área, será um quarto daquela da frente de onda 1.

Para grandes distâncias a partir da fonte, pequenas seções da frente de onda podem ser consideradas planas.

PropagaPropagaçãção de espao de espaçço o livrelivre

Diretividade ou ganhoDiretividade ou ganhoEm linhas gerais, pode-se dizer que o ganho de uma antena é a expressão de

quanto uma antena é melhor que outra.

Ou seja, na hora de se utilizar uma antena, num canal de comunicações, em última análise, será escolhida a antena qua mais se prestar ao serviço, por entregar mais potência ao meio, isto é, por entregar maior quantidade de energia radiada.

É comum adotar-se uma antena como padrão, e definir todas as demais em relação a esse padrão.

A antena isotrópica é ideal para essa comparação. Como essa fonte distribui energia uniformemente, diz-se que ela apresenta ganho unitário (i.e., 0 dB), pois não apresenta direção preferencial de radiação.

O ganho se realciona com a diretividade através de um fator k, menor ou igual a 1:

G = k × D

O ganho, tal como a diretividade, pode ser expresso em decibéis. A constante k compreende todas as perdas que estão em jogo numa antena, como descasamento, perdas ôhmicas, desbalanceamentos, etc. Na transmissão, as perdas envolvem potência não radiada que é transformada em calor

)10(__ ≤≤≡ keficiênciadefatork

Antena como Antena como ááreareaSe uma antena for utilizada para receber uma onda com densidade de potência S

watts por metro quadrado, ela produzirá uma potência em sua impedância de terminação (e.g., impedância de entrada de um receptor: 50 Ω, 75 Ω, etc.) de Pr watts. A constante de proporcionalidade entre Pr e S é Ae, ou seja, abertura efetiva (i.e., effective aperture) de uma antena em metros quadrados:

SAP er ×=Para algumas antenas, tais como cornetas ou parabólica, a abertura tem uma

interpretação física óbvia, mas o conceito continua perfeitamente válido para todas as antenas.

A abertura efetiva pode ser freqüentemente muito maior que a área física, especialmente no caso de antenas de fio.

Também pode-se afirmar que a área de uma antena cresce com o seu ganho, numa razão direta, e isto pode ser resumido na expressão:

2

1

2

1

e

e

AA

GG

=

onde os índices 1 e 2 referem-se às antena que estão sendo comparadas.

Se uma antena fosse isotrópica (radia igualmente em todas as direções), Pn(θ,φ), a densidade de potência médiasobre a esfera que representa a radiação dessa antena, seria igual a 1 para todos os valores de θ e φ; isso resultaria numa área de feixe ΩA = 4π e D = 1.

No entanto se a área do feixe ΩA for menor, a diretividade D será maior, conforme pode ser observado na definição a seguir (onde, HP ≡ half-power):

( )( )

oHP

oHPHPHPA

n dP

PDφθφθ

ππ

φθπ

φθ

π

×≈

×=

Ω=

Ω

=

∫∫

4100044

,41

,

4

max

Diagrama de radiação do dipolo curto (Short dipole pattern)

Short dipole power pattern

X Y, Z,( ).

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0.80.60.40.20

PN

θ

.

Short dipole power pattern

X Y, Z,( ).

38π

=Ω A

5,18

43

3844

=×

××==

Ω=

ππ

πππ

Ao

D2

280

=

λπ

lRr

Qualquer antena linear pode ser considerada como a somatória de um grande número de dipolos curtos conectados em série. Portanto o conhecimento das propriedades de um dipolo curto contribui para o estudo de antenas mais complexas.

2_ 8

3λ

π=curtodipoloA

ÁÁrea da Antena Isotrrea da Antena IsotróópicapicaA partir dos dados do dipolo curto, pode-se determinar a área equivalente da

antena isotrópica:

22

__ 4

15,1

183

λπ

λπ

==×=curtodipolo

isotrópicacurtodipoloisotrópica G

GAA

portanto,

o que é pode ser escrito como:

πλ

ππλ

π42

22

2

_ =×=

= RA isotrópicae

isotropica

curtodipolo

isotropica

curtodipolo

e

e

AA

GG

AA

GG __

2

1

2

1 =⇒=

πλ

2=R

O ganho máximo G de uma antena qualquer está relacionado à abertura efetiva através de [Balanis, C. A.: Antenna Theory – analysis and design, 2nd ed. John Wiley, Chichester, ISBN 0-471-59268-4, 1997]:

eAG 2

4λπ

=

Note-se que e área efetiva máxima de uma antena isotrópica é equivalente à área de um círculo cujo raio vale (λ/2π):

πλ4

2

_ =isotreA

Ou seja, adotando-se a fonte isotrópica como referência geral, qualquer antena cuja área máxima é conhecida pode ter seu ganho máximo calculado.

As antenas A e B da figura se encontram numa posição tal que suas direções de máximo ganho estão alinhadas, suas polarizações casadas e estão separadas por uma distância r de forma que cada uma opera no campo distante da outra.

Se a potência de entrada da antena A éPt, então a densidade de potência incidente na antena B pode ser expressa:

24 rGPS at

π×

=

onde Ga é o ganho máximo da antena A. Aplicando a equação na equação acima:

SAP ebr ×=

22 44 rAGPP

rGP

APS ebat

rat

eb

r

ππ=⇒==

onde Aeb é a abertura efetiva da antena B.

Ou:

24 rAG

PP eba

t

r

π=

A FA Fóórmula de Friisrmula de Friis

πλ

λπ

44 2

2 bebe GAAG =⇒=Lembrando que: vem:

2

4

=

rGG

PP

bat

r

πλ

que é a formula de transmissão de Friis.

Rearranjando a fórmula de Friis de forma a expressá-la como perda de propagação no espaço livre, tem-se:

πλ

ππ 444

2

22 baeba

t

r Gr

GrAG

PP

×== ou

24

===

crf

PGGP

PPL

r

bat

RI

TIF

π

Nesta expressão, onde PTI é a potência isotrópica efetiva radiada ou transmitida, PRI , a potência isotrópica efetiva recebida, LF define a perda de espaço livre.

A formula de transmissão de Friispode ser visualizada como um espalhamento esférico de potência sobre a superfície de uma esfera de raio r centrado na antena. Uma vez que a potência é espalhada sobre a área da superfície da esfera, que cresce à razão de r2, a potência disponível na antena receptora decresce proporcionalmente com r2.

( ) ( )MHzkmdBF frsm

MHzfkmrL ×+=

×

×××××= 10

210

2

8

63

10)( log208879,41log10]/[103

10][10][4log10 π

ouMHzkmdBF frL 1010)( log20log2044,32 ++=

Expressando a perda de espaço livre em decibéis, com freqüência em megahertz e distância em quilômetros:

Nesse caso, as antenas da estação base e da estação móvel estão situadas acima do solo refletor plano (i.e., plane earth), a alturas correspondentes a hb e hmrespectivamente, de forma que a propagação acontece de duas formas: por um caminho ou trajeto direto entre as antenas e por um outro através da reflexão do solo.

Esses dois trajetos se somam no receptor, mas apresentado uma diferença de fase relacionada à diferença de extensão dos dois trajetos.

Uma forma de analisar essa situação é através da utilização da teoria de imagem, a qual considera o raio refletido como vindo de uma imagem do transmissor no solo, ou seja, o solo se comportando como se fosse um espelho.

É fácil verificar que as extensões de trajeto direto e refletido r1 e r2 , são dadas respectivamente por:

( ) 221 rhhr mb +−= ( ) 22

2 rhhr mb ++=e

Modelo de dois raios, ou perdas de terra planaModelo de dois raios, ou perdas de terra plana (i.e, Plane Earth (i.e, Plane Earth Loss)Loss)

A diferença de extensão dos caminhos é então:

( )

+

−

−+

+

=− 1122

12 rhh

rhhrrr mbmb

Assumindo as alturas das antenas pequenas se comparadas com a extensão do trajeto total (hb , hm << r), então a seguinte aproximação (e.g., do teorema binomial) se aplica:

( ) ( ) xxnxx n

211111 2

1+≈+⇒+≈+

Fazendo e temos:2

1

+

=r

hhx mb

2

2

−

=r

hhx mb

( ) [ ] [ ]mbmmbbmmbbmbmb hh

rrhhhhhhhh

rr

rhh

rhhrrr 4

222

2211

211 2

22222

22

12 =−+−++=

−

−−

+

+=−

O resultado é portanto: ( )r

hhrr bm212 ≈−

Lembrando: ( ) 11...642531

4231

2111 3221 +<<−⇔+

××××

−××

++=+ xxxxx

×+=+= rhhj

diretorefletidodiretorecebido

bm

eRAAAA2

1β

Uma vez que ao extensão do trajeto é grande quando comparada com as alturas das antenas, as amplitudes das ondas que chegam são idênticas a menos de uma perda de reflexão R . A amplitude global resultante é:

β (i.e., “número de onda”) representa a taxa de variação de fase do campo com a distância.; isto é, a fase da onda varia “β × r” radianos sobre uma distância de “r”metros. A distância sobre a qual a fase da onda varia “2π” radianos é o comprimento de onda λ. Ou seja: β = (2π/λ) .

Considerando que a potência é a amplitude elevada ao quadrado, pode-se escrever: 222

1

×+=

= r

hhj

direto

recebido

direto

rbm

eRA

AP

P β

onde Pr é a potência recebida.

O trajeto direto está sujeito às perdas de espaço livre (ainda não consideradas nas expressões acima), de forma que pode ser expresso em termos da potência transmitida, Pt, como:

2

4

=

rPP tr π

λi.e., a fórmula de transmissão de Friis

222

14

×+

= r

hhj

t

rbm

eRrP

P β

πλ

Desta forma, a perda de percurso no modelo de dois raios pode ser escrita como:

Considerando a magnitude do coeficiente de reflexão, R, próximo de 1; e para antenas horizontalmente polarizadas R ≈ -1. Neste caso:

222

14

−

= r

hhj

t

rbm

erP

P β

πλ

θ

rhh bm2

βθ =

Calculando agora: [ ]θje−1

onde 1

1

θje

θje−[ ]θje−1

θcos1−

θsenθ

θcos1− ( ) θθθ 22cos11 sene j +−=−

Pode-se escrever:

θ

θθθθ 222 coscos211 sene j ++−=−

( )θθθ cos12cos221 −=−=− je

Retornando à expressão original:

−

=−

=−

=

rhh

re

re

rPP bmjr

hhj

t

rbm 2cos1

421

41

4

22

2222

βπλ

πλ

πλ θ

β

A expressão acima émostrada na figura como uma linha sólida. Para comparação, a perda de espaço livre está representada em linha pontilhada.

Para pequenas distancias, a influencia da interferência entre os dois trajetos é bastante visível: o sinal passa sucessivamente por picos e vales. À medida em que a distancia aumenta, entretanto, a perda cresce de forma monotônica (vide simplificação a seguir).

θθθθ 222 coscos211 sene j ++−=−

( )θθθ cos12cos221 −=−=− je

Lembrando que: e fazendo:[ ]xx 2cos121sen2 −= x2=θ

( ) ( ) senxxsenxe j 2222cos121 2 ==−=− θ

Para x muito pequeno: θθθ ≅≅−2

21 je

Ou seja: 4

22222

2 2244 r

hhr

hhrrP

P bmbm

T

r =

×

=×

=

λπ

πλ

θπλ

Expressando em decibéis:

bmPEL hhrL log20log20log40 1010 −−=Esta é forma usual do modelo de dois raios, ou perda de terra plana (i.e.,

plane earth loss). Note que r, hm e hb são dados em metros.

Simplificando (1-ejθ ):

d=logspace(1,5,10000);

hm=1.5

hb=30.0

lambda=3e8/1800e6

L=10*log10(2*(lambda./(4*pi.*d)).^2.*(1-cos((2*pi/lambda)*2*hm*hb./d)));

LF=10*log10((lambda./(4*pi.*d)).^2);

L4=32.2+10*log10((1./d).^4);

semilogx(d,L,d,LF,d,L4)

xlabel('distance(m)')

ylabel('Path Loss(dB)')

title('Plane Earth Loss')

text(125,-45,'(1/r)^4')

text(10000,-105,'(1/r)^2')

grid on

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