INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIA E TECNOLOGIA DO CEAR

(ESTATSTICA PROF.: JANILSON (

ESTATSTICA

SUMRIO( Unidade 1: Introduo Estatstica (Pg. 3 a Pg. 10)( Testes (Pg. 11 a Pg. 14)( Unidade 2: Medidas de Tendncia Central (Pg. 15 a Pg. 17)( Testes (Pg. 18 a Pg. 22)( Unidade 3: Medidas de Disperso (Pg. 23 a Pg. 24)( Testes (Pg. 25 a Pg. 26)( Unidade 4: Distribuio de Freqncias (Pg. 27 a Pg. 29)( Testes (pg. 30 a Pg. 32)( Unidade 5: Mdia, Moda e Mediana para uma Distribuio de Freqncias (Pg. 33 a Pg. 34)( Testes (Pg. 35 a Pg. 36)( Unidade 6: Medidas Separatrizes (Pg. 37 a Pg. 38)( Testes (Pg. 38)( Unidade 7: Medidas de Disperso para Dados Agrupados (Pg. 39)( Testes (Pg. 40)UNIDADE 1: INTRODUO ESTATSTICA

1. Histrico

Desde a antiguidade vrios povos j registravam o nmero de habitantes, de nascimentos, de bitos, etc.

Na Idade Mdia colhiam-se informaes, geralmente com finalidades tributrias.

A partir do sculo XVI surgem as primeiras anlises sistemticas de fatos sociais, como batizados, casamentos, etc., originando as primeiras tbuas e tabelas.

No sculo XVIII o estudo de tais fatos vai ganhando, aos poucos, feio cientfica.

Godofredo Achenwall batiza a nova cincia ou mtodo com o nome de ESTATSTICA.

As tabelas se tornam mais completas, surgem as representaes grficas e a Estatstica vai deixando de ser simples catalogao de dados numricos coletivos, para se tornar o estudo de como chegar a concluses sobre o todo (populao) partindo da observao de partes desse todo (amostra).

2. Conceito

Como toda cincia, podemos dizer que sua essncia observao e o seu objetivo bsico a inferncia (concluses).

A Estatstica a parte da Matemtica Aplicada que se ocupa em obter concluses a partir de dados observados. (Ruy Aguiar da Silva Leme)

A Estatstica o estudo numrico dos fatos sociais. (Levasseur)

Em um sentido mais amplo estatstica a arte e a cincia de se coletar, analisar, apresentar e interpretar dados.

A Estatstica a cincia que faz uso de nmeros para descrever fatos. Ela trabalha com mtodos cientficos para coleta, organizao, resumo e apresentao de dados visando a obteno de concluses e maximizao de acertos em tomadas de deciso.

3. Dados, Elementos e Variveis

Os dados so fatos e nmeros coletados, analisados e sintetizados para representao e interpretao. Juntos so denominados conjunto de dados para o estudo. Os dados podem ser:

- Qualitativos: quando os valores so expressos por uma qualidade ou atributo. Ex.: sexo, estado civil, marcas de carro etc.- Quantitativos: quando os valores so expressos por nmeros. Ex.: idades, notas de avaliao, comprimentos etc.

A coleta de dados pode ser:

a) Direta: quando feita sobre elementos informativos de registros obrigatrios como: nascimentos, casamentos, notas fiscais, etc.

A coleta Direta pode ser classificada quanto ao fator tempo em:

- Contnua: quando feita continuamente, como a de nascimentos, bitos, etc.

- Peridica: quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos, o balano de uma empresa, etc.

- Ocasional: quando feita esporadicamente, sem poca pr-estabelecida, a fim de atender uma conjuntura ou emergncia, como no caso de epidemias.

b) Indireta: quando feita atravs de dados j colhidos por uma coleta direta, como uma pesquisa sobre a durao de vida do ser humano, que pode ser feita com os dados obtidos pelos cartrios.

Elementos so as entidades sobre os quais os dados so coletados.

Varivel a caracterstica de interesse para os elementos. Dividem-se em:

Discretas quando os resultados assumirem valores inteiros. Ex.: nmero de filhos de um casal, nmero de alunos do sexo feminino de uma escola etc.

Contnuas quando os resultados assumirem valores quaisquer num intervalo de observao. Ex.: idade, peso, estatura etc.

4. Diviso

A Estatstica se divide em dois grandes ramos:

a) Estatstica Descritiva ou Dedutiva a parte da Estatstica que procura somente descrever e analisar um certo grupo, sem tirar concluses ou inferncia sobre um grupo maior.

b) Inferncia Estatstica ou Indutiva se uma amostra representativa de uma populao, concluses importantes sobre a populao podem ser inferidas de sua anlise. A parte da Estatstica que trata das condies de validade dessas inferncias, chama-se Estatstica Indutiva ou Inferncia Estatstica.

5. Populao e Amostra

Populao um conjunto de todos os elementos envolvidos no fenmeno a ser estudado.

Amostra um conjunto dos elementos da populao escolhidos para a realizao do estudo.

Ex.: Queremos obter informaes sobre a audincia de certo programa de televiso em Fortaleza. A populao o conjunto de todos os domiclios de Fortaleza que possuem televiso; a amostra o conjunto dos domiclios que sero visitados.

A palavra censo (ou recenseamento) utilizada para descrever a coleta de dados de uma populao completa.

A palavra pesquisa (ou levantamento) descreve a coleta de dados a partir de uma amostra retirada de uma populao.

Quanto ao tamanho da amostra importante mencionar que:

- quanto maior o tamanho da amostra, mais precisas so as informaes sobre a populao.

- necessrio escolher, no mnimo, 10% do nmero total dos elementos da populao.

Chamamos de amostragem o conjunto de tcnicas utilizadas para a seleo de uma amostra. Essa tcnica pode ser subdividida em dois grupos:

a) Amostragem No Aleatria

- Intencional: quando o pesquisador seleciona intencionalmente os componentes da amostra.

- Voluntria: quando o componente da populao se oferece voluntariamente para participar da amostra independente do julgamento do pesquisador.

b) Amostragem Aleatria- Simples: sorteia-se para o estudo pelo menos 10% dos elementos da populao.

- Estratificada Proporcional: recomendada quando existe uma diviso natural da populao em grupos com nmero de elementos diversos.

6. Tabelas e Grficos6.1. Introduo

Um dos objetivos da estatstica permitir uma viso geral dos valores assumidos pelas variveis dentro de certos parmetros. Para tanto, recorre-se ao uso de tabelas e grficos.

Tabela: um conjunto de observaes organizadas e distribudas num quadro.

Grficos Estatsticos: so representaes dos dados estatsticos, com o objetivo de permitir uma viso completa e rpida do fato estudado.

Usamos tabelas e grficos para organizar e apresentar dados estatsticos. Dados estatsticos so informaes envolvendo nmeros a respeito de um determinado fato.

A prtica estatstica tem demonstrado que organizar e apresentar dados estatsticos em forma de tabelas constitui-se em uma forma bastante vantajosa devido principalmente s suas caractersticas de clareza e objetividade.

6.2. Sries Estatsticas

chamada srie estatstica toda tabela que apresenta um conjunto de dados estatsticos distribudos em funo da poca, do local e da espcie.

Em uma srie estatstica identificamos trs elementos fundamentais:

Fato o fenmeno que foi investigado e cujos valores numricos esto sendo apresentados na tabela.

Local: indica o mbito geogrfico ou a regio onde o fato aconteceu.

poca: refere-se ao perodo, data ou tempo quando o assunto foi investigado.

Podemos dizer ento que quando representamos uma srie estatstica, devemos apresentar respostas s perguntas: o que?, onde? e quando? Essas perguntas so respondidas, respectivamente, pelos elementos: a descrio do fenmeno, o local e a poca. As sries podem ser classificadas em:

a) Temporal ou Cronolgica ou Histrica aquela em que o fato estudado numa faixa de tempo. Ex.:

Matrculas no Colgio X

AnoN de Alunos

2003 615

2004 728

2005 804

2006 1000

Fonte: Secretaria do Colgio

b) Geogrfica ou de Localizao aquela em que o fenmeno estudado em locais diferentes. Ex.:

Populao nas Regies do Brasil

Regio%

Norte4

Nordeste30

Centro-Oeste5

Sudeste43

Sul18

Fonte: Ed. IBEP

c) Categrica ou Especfica aquela em que o fato estudado em categorias. Ex.:

Ofertas de Trabalho em So Paulo Jan.

reas EspecializadasN de Vagas

Administrao Geral520

Marketing/Vendas652

Financeira/Contbil1.284

Informtica580

Produo/Materiais2.956

Recursos Humanos996

Fonte: Data Folha

OBS.: A tabela deve apresentar: cabealho, corpo e rodap. O cabealho deve fazer referncia ao fato estudado; no corpo sero registrados os dados, e o rodap destinado identificao da fonte.

OBS.: Ttulo a indicao que define a natureza do fato. Localiza-se na parte superior da tabela.

OBS.: Fonte o local da tabela onde se indica a Entidade responsvel pelo levantamento dos dados.

6.3. Grfico Estatstico

Como j vimos outra forma de apresentao dos dados estatsticos. Tem como objetivo produzir, em quem o analisa, uma informao direta e objetiva do fenmeno em estudo. O grfico estatstico deve obedecer, para alcanar seus objetivos, as seguintes caractersticas:

simplicidade: deve ser destitudo de detalhes sem importncia.

clareza: para possibilitar uma fiel interpretao dos valores representativos do fato ou fenmeno em estudo.

veracidade: deve expressar a verdade sobre o fenmeno em estudo.

A estatstica grfica consiste na utilizao de estruturas geomtricas, cores, noes de proporo etc, para expor a informao contida nos dados. A filosofia a mesma das tabelas: o mximo de informao no mnimo de espao.

Atravs dos grficos podemos obter informaes, tirar concluses e tomar decises com maior possibilidade de acerto.

Nos grficos estatsticos so feitas correspondncias entre elementos de uma srie estatstica e uma figura geomtrica, de tal modo que haja proporcionalidade nessa representao.

Os diagramas so grficos dispostos num universo mximo de duas dimenses. Para a construo grfica de diagramas, em geral utilizamos o sistema cartesiano. Temos como exemplos: linhas ou curvas, colunas ou barras, colunas mltiplas e setores.

O Pictograma uma representao grfica ilustrada por figuras variadas.

Apresentamos abaixo os principais grficos estatsticos:

1) Grfico de Colunas

2) Grfico de Colunas Justapostas

3) Grfico de Setores

4) Grfico de Linhas

5) Grfico de Barras

6) Histograma

7) Pictograma

7. Arredondamento de Dados

1 Caso: quando o primeiro algarismo a ser desprezado for 0, 1, 2, 3 ou 4, a aproximao feita para menos.

Ex.: 8,31 = 8 (inteiro)

Ex.: 35,926 = 35,9 (dcimos)

2 Caso: quando o primeiro algarismo a ser desprezado for 6, 7, 8 e 9, a aproximao feita para mais.

Ex.: 35,7 = 36 (inteiro)

Ex.: 28,391 = 28,4 (dcimos)

3 Caso: se o algarismo a ser desprezado for 5, e aps ele existir algum algarismo diferente de zero, aproximar sempre para mais.

Ex.: 8,510 = 9 (inteiro)

Ex.: 39,154 = 39,2 (dcimos)

4 Caso: se o algarismo a ser desprezado for 5, e aps ele existir somente zero, temos:

a) aproxima-se para mais se o algarismo que preceder ao 5 for mpar.

Ex.: 19,5 = 20 (inteiro)

Ex.: 19,5500 = 19,6 (dcimos)

b) aproxima-se para menos se o algarismo que preceder ao 5 for par.

Ex.: 18,5 = 18 (inteiro)

Ex.: 18,45 = 18,4 (dcimos)8. Notao Sigma

Usa-se a letra maiscula (sigma) para denotar uma soma. Assim, se uma varivel x tiver os valores 1, 5, 6 e 9, ento

Ex.: Os valores de x so 2, 4, 5 e 9. Calcule:

a)

b)

c)

Se apenas uma parte dos valores que deve ser somada, usam-se ndices para indic-los. Assim,

EMBED Equation.3 significa a soma dos valores da varivel x comeando com o primeiro (i = 1) e terminando com o quinto (i = 5):

EMBED Equation.3 = . A notao

EMBED Equation.3 significa que devemos somar n (todas) observaes; costuma-se escrever abreviadamente como ou .

Ex.: Dados:

i1234567891011

82367894541

Calcule:

a)

EMBED Equation.3 b)

c)

EMBED Equation.3 d)

TESTES

1) Defina Estatstica.

2) Escreva sobre sua importncia.

3) D trs exemplos de situaes em que a estatstica til.

4) Defina os termos amostra e populao.

5) Cite exemplos de variveis discretas e contnuas.

6) (AFC) A tabela abaixo apresenta a distribuio de um grupo de 200 estudantes segundo o curso que fazem (Estatstica ou Matemtica) e o sexo (homem ou mulher).

HomemMulher

Estatstica 40 20

Matemtica 80 60

A nica afirmao errada :

a) 40% dos homens estudam Matemtica.

b) 75% das mulheres fazem o curso de Matemtica.

c) Dois em cada trs estudantes de Estatstica so homens.

d) Um em cada trs homens faz o curso de Estatstica.

e) 60% dos estudantes so homens.

(FISCAL DE TRIBUTOS-MG) Responda s questes 7 e 8 com base na seguinte situao: a distribuio a seguir indica o nmero de acidentes ocorridos com 40 motoristas de uma empresa de nibus.

N de Acidentes0123456

N de Motoristas137104321

7) O nmero de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes :

a) 3b) 6c) 10d) 27e) 30

8) A porcentagem de motoristas que sofreram no mximo 2 acidentes :

a) 25%b) 32,5%c) 42,5%d) 57,5%e) 75%

9) (EAM) Num trabalho de pesquisa feito com 10.000 fumantes, divididos em 5 grupos em que a cada grupo foi aplicada uma arma contra o fumo, conforme o grfico abaixo. Sabe-se que 40% do grupo que utilizaram a acupuntura parou de fumar. O nmero de pessoas que participaram dessa pesquisa e que pararam de fumar atravs da acupuntura :

a) 840

b) 860

c) 1020

d) 1400

e) 1480

10) (FUZ. NAV.) Um botnico mede o crescimento de uma planta, em centmetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele num grfico, resulta a figura abaixo. Se for mantida sempre essa relao entre altura e tempo, a planta ter, no 30 dia, uma altura igual a:

Altura (cm)

2

1

0 5 10 Tempo (dias)

a) 3 cm

b) 5 cm

c) 6 cm

d) 15 cm

11) Representar o seguinte fato atravs de uma tabela estatstica: produo de motos no Brasil de 1993 a 1997, que, segundo a Abraciclo, foi, respectivamente de: 60.000, 95.000, 145.000, 210.000 e 300.000 unidades.12) Em uma pesquisa feita entre 300 alunos do curso de secretariado de uma universidade, obteve-se o seguinte resultado:

Gnero de Filme Preferido mar/2007

GneroN AlunosPercentual (%)

Aventura120

Humor90

Documentrio30

Fico cientfica60

Total

Fonte: Centro de Pesquisas da UniversidadeComplemente a tabela e construa um grfico de setores (pizza) com os dados da tabela.13) Arredonde cada um dos nmeros abaixo, conforme a preciso pedida:

a) Para o dcimo mais prximo (uma casa decimal)

25,48

38,6500

76,35

45,62

0,85001

b) Para a unidade mais prxima (para o inteiro)

31,500

201,7

84,5

73,5003

14) Calcule cada uma das quantidades seguintes para os valores abaixo.

i12345678

y1510591420617

a)

b)

c)

d)

e)

15) Dados: , , , , , , e , calcule:a)

EMBED Equation.3 b)

EMBED Equation.3 c)

EMBED Equation.3 d)

EMBED Equation.3

UNIDADE 2: MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL

1. Introduo

As medidas de tendncia central so usadas para indicar um valor que tende a tipificar, ou a representar melhor, um conjunto de nmeros. As trs medidas mais usadas so a mdia, a mediana e a moda.

2. A Mdia

2.1. Mdia Aritmtica

A mdia aritmtica a mais utilizada no nosso dia a dia. obtida dividindo-se a soma das observaes pelo nmero delas. um quociente geralmente representado pela letra M ou pelo smbolo . Se tivermos uma srie de N valores de uma varivel x, a mdia aritmtica simples ser determinada pela expresso:

.

Ex.: Calcule a mdia aritmtica dos nmeros 5 e 13. So propriedades da mdia:

- A mdia de um conjunto de nmeros pode sempre ser calculada;

- Para um dado conjunto de nmeros, a mdia nica;

- A mdia sensvel a (ou afetada por) todos os valores do conjunto, ou seja, se um valor se modifica, a mdia tambm se modifica;

- Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a mdia ficar aumentada do valor dessa constante e analogamente subtraindo-se de cada valor do conjunto uma constante, ou multiplicando-se ou dividindo-se por ela cada valor do conjunto, a mdia fica reduzida dessa constante, ou multiplicada ou dividida por ela;

- A soma dos desvios dos nmeros de um conjunto a contar da mdia zero.

2.2. Mdia Aritmtica Ponderada

Consideremos uma coleo formada por n nmeros: , de forma que cada um esteja sujeito a um peso [Nota: "peso" sinnimo de "ponderao"], respectivamente, indicado por: . A mdia aritmtica ponderada desses n nmeros a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida pela soma dos pesos, isto :

Ex.: Calcule a mdia aritmtica ponderada dos nmeros 5 e 8 com pesos 2 e 4.

2.3. Mdia Geomtrica

Chamamos de mdia geomtrica de n nmeros , raiz de ndice n do produto desses nmeros.Mg =

Ex.: Calcular a mdia geomtrica dos nmeros 6 e 24.

2.4. Mdia Harmnica

Chamamos de mdia harmnica de vrios nmeros , o inverso da mdia aritmtica dos inversos desses nmeros.Mh =

Ex.: Calcular a mdia harmnica dos nmeros 3 e 4.

OBS.: Para calcularmos a velocidade mdia de um mvel, que percorre com velocidades diferentes, percursos iguais, basta determinarmos a mdia harmnica dessas velocidades.

- Relao entre as Mdias

a) A mdia aritmtica maior do que a mdia geomtrica: Ma > Mg.

b) A mdia geomtrica maior do que a mdia harmnica: Mg > Mh.

c) A mdia geomtrica a mdia geomtrica entre a mdia aritmtica e a mdia harmnica:

Mg = .

Ex.: Provar as relaes acima usando os nmeros 2 e 18.

3. A Moda

A moda de um conjunto de n nmeros o valor que ocorre com maior freqncia, isto , o valor mais comum. Ex.: Na seqncia numrica: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11 qual a moda?

H casos em que pode haver mais de uma moda. Ex.: Encontre a moda na seqncia: 5, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10, 10. Em outros casos, pode no existir moda, como na seqncia: 3, 5, 8, 10, 11, 13.

So Propriedades da moda:

- a moda pode no existir;

- a moda no influenciada por valores extremos;

- a menos til das medidas se comparada com a mdia e a mediana.

Com relao ao elemento modal, um conjunto pode ser:

- amodal: quando no possuir moda.

- unimodal: quando possuir uma nica moda.- bimodal: quando possuir duas modas.

- multimodal: quando possuir mais de duas modas.

4. A Mediana

Mediana de um conjunto de n valores o valor que ocupa a posio central quando esses dados so colocados em ordem crescente ou decrescente. O processo para determinao da mediana consiste em:

- ordenar os valores do conjunto;

- verificar se h um nmero mpar ou par de valores;

- para um nmero mpar de valores, a mediana o valor central;

- para um nmero par de valores, a mediana a mdia aritmtica dos dois valores centrais.

Ex.: Qual a mediana dos dados?

a) 126, 198, 164, 460 e 188

b) 68, 72, 78, 84, 87, 91. Quanto a posio do elemento mediano, temos:

- 1 Caso: o nmero de elementos do conjunto mpar: , onde n representa o nmero de elementos do conjunto.- 2 Caso: o nmero de elementos do conjunto par:

So propriedades da mediana:

- a mediana no influenciada por valores extremos;

- a mediana de um conjunto de nmeros maior que uma metade dos valores e menor que a outra metade;

- se n mpar, a mediana sempre pertence ao conjunto;

- se n par, a mediana no necessariamente pertencer ao conjunto.

- Observaes:

( A mdia pode ser zero se os elementos so todos zeros ou se alguns so positivos e alguns negativos.

( A mdia pode ser negativa.

( As mesmas observaes acima valem para a mediana.TESTES

1) (BB) Os salrios dos 40 empregados e uma empresa, em 31 de dezembro de 2005, estavam distribudos conforme a tabela abaixo:

Salrios

(R$)Nmero de

Funcionrios

400,00

550,00

1.000,00

1.400,00

1.800,004

8

10

16

2

Neste caso, tem-se que a mdia aritmtica dos salrios dos empregados

a) R$ 1.400,00b) R$ 1.230,00c) R$ 1.150,00d) R$ 1.100,00e) R$ 1.050,00

2) (FUZ. NAV.) Abaixo esto apresentados os lucros mensais de uma empresa. Em mdia, qual foi o lucro mensal nesses 4 meses?

MsLucro (R$)

Janeiro5.500,00

Fevereiro3.000,00

Maro2.500,00

Abril7.800,00

a) R$ 4.100,00b) R$ 4.300,00c) R$ 4.500,00d) R$ 4.700,00

3) (IBGE) A tabela abaixo mostra o preo de uma dzia de ovos em 13 mercados:

Preo0,870,991,021,151,17

Frequncia41332

O preo mdio de uma dzia de ovos , aproximadamente, de:

a) R$ 0,87b) R$ 0,98c) R$ 1,02d) R$ 1,08e) R$ 1,15

4) (ESAF) Para a srie numrica: 8, 5, 14, 10, 8, 15:

a) a mdia igual a 10 e a mediana igual a 12.

b) a moda igual a 8 e a mediana igual a 12.

c) a moda igual mdia aritmtica.

d) a moda igual mediana.

e) a mdia aritmtica igual a 10 e a mediana igual a 9.

5) (PUC-SP) A mdia aritmtica de um conjunto de 12 nmeros 9. Se os nmeros 10, 15 e 20 forem retirados do conjunto, a mdia dos restantes ser:

a) 7b) 10c) 12d) 15

6) (LONDRINA-PR) A mdia aritmtica de cinco nmeros 8,5. Se a um desses nmeros acrescentamos 2 unidades, a mdia aritmtica passar a ser:

a) 8,3b) 8,6c) 8,7d) 8,9

7) (CEFET) A mdia aritmtica entre a e b 30. Se c = 15 ento, a mdia aritmtica entre a, b e c ser:

a) 10b) 15c) 20d) 25

8) (IBGE) A mdia aritmtica simples de trs nmeros inteiros e consecutivos 24. O produto desses nmeros ser:

a) 9.240b) 10.624c) 10.626d) 12.144e) 13.800

9) (UECE) Sejam ab e ba dois nmeros de dois algarismos. Se a mdia aritmtica entre estes nmeros 66, ento o valor de a + b :

a) 10b) 11c) 12d) 13

10) (FUZILEIROS NAVAIS) Em uma base naval havia 18 oficiais. Um deles foi para a reserva e foi substitudo por outro de 22 anos. Com isso a mdia das idades dos oficiais diminuiu em dois anos. Determine a idade do oficial que foi para a reserva.

a) 58 anosb) 60 anosc) 62 anosd) 64 anos

11) (CEFET) Calcule a mdia geomtrica entre os nmeros 4, 6 e 912) (FUZILEIROS NAVAIS) Em um concurso, atribuiu-se peso 3 prova de matemtica, peso 2 para a de contabilidade e peso 5 para a de portugus. Um candidato tirou nota 6 em portugus, 6 em contabilidade e 5 em matemtica. Qual foi a sua mdia?

a) 5,7b) 5,6c) 5,5d) 5,4

13) (UNIV. UBERABA-MG) Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a R$ 1,50 e 2 doces a R$ 2,50 cada. O preo mdio, por doce, foi:

a) R$ 1,75b) R$ 1,85c) R$ 1,93d) R$ 2,00

14) A mdia aritmtica de trs nmeros 11. Um desses nmeros 6. Calculando-se a mdia aritmtica ponderada desses trs nmeros, usando-se peso 2 para o menor, peso 1 para o maior e peso 3 para o 6, obtm-se a mdia igual a 8. Calcule os outros dois nmeros.

15) A mdia aritmtica de 11 nmeros 38. Retirando-se o nmero 8, calcule a mdia aritmtica dos 10 nmeros restantes.

16) Calcule a mdia aritmtica entre todos os nmeros inteiros de dois algarismos que sejam igual ao qudruplo da soma de seus algarismos.

17) Calcular a diferena entre a mdia aritmtica e a mdia geomtrica dos nmeros 3 e 27.

18) Sendo a mdia geomtrica de dois nmeros igual a 12, determine o primeiro, sabendo que o segundo igual a 36.

19) Calcular a mdia geomtrica dos nmeros 4/7 e 9/28.

20) Calcular dois nmeros, sabendo que a mdia aritmtica entre eles 25 e a mdia geomtrica 15.

21) Calcular a mdia harmnica dos nmeros 3, 6 e 18.

22) Um carro vai de uma cidade A para uma cidade B, com uma velocidade de 60 km/h e volta com velocidade de 40 km/h. Calcular a velocidade mdia desse carro.

23) Uma das propriedades da mdia :

a) a soma dos quadrados dos desvios mxima.

b) a soma dos desvios em relao mdia sempre diferente de zero.

c) a soma da mdia sua metade sempre um extremo da distribuio.

d) a soma dos desvios em relao mdia zero.

24) Dados os conjuntos de nmeros A = {100, 101, 102, 103, 104, 105} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Podemos afirmar que:

a) A mdia de A igual de B multiplicada por 100.

b) A mdia de A igual de B.

c) A mdia de A igual mdia de B dividida por 100.

d) A mdia de B igual mdia de A subtrada de 100.

25) Se as mdias aritmticas de dois conjuntos de nmeros; o primeiro com 30 elementos e o segundo com 20, forem respectivamente, 4 e 5. A mdia aritmtica do conjunto de todos os nmeros ser:

a) 4,5b) 4,3c) 4,4d) 5,4

26) Seja a mdia aritmtica do conjunto A = . Caso multipliquemos todos os X por uma constante K, a mdia aritmtica dos novos valores ser:

a) b) c) d)

27) Os desvios tomados em relao a uma mdia aritmtica arbitrria , de um conjunto de nmeros so: [-4, -1, 2, 0, 3, -3]. A mdia aritmtica desse conjunto ser:

a) 9,0

b) 8,0

c) 9,5d) 8,5

28) As mdias aritmtica, geomtrica e harmnica dos nmeros 2, 4, 8, 16 e 32 so, respectivamente:

a) 8; 12,4 e 12

b) 12,4; 8 e 5,16

c) 12,4; 5,16 e 8

d) 12; 8 e 5

29) Calcule a mdia aritmtica de 8 valores dos quais se conhece a mdia aritmtica 4 dos 3 primeiros e a mdia 6 dos 5 ltimos.

a) 4,25b) 4,50

c) 5,25d) 5,50

30) Que posio ocupa a mediana de uma srie composta de 21 nmeros?

a) 9b) 10c) 11d) 1231) Na srie estatstica: 6, 10, 4, 20, 16, 20, 4, 12, 20, 10 a mdia aritmtica, a moda e a mediana valem, respectivamente:

a) 6; 20 e 12,1

b) 12,1; 6 e 20

c) 12,1; 20 e 6

d) 12,2; 20 e 11

32) Na srie 60, 50, 70, 80, 90; o valor 70 ser:

a) a mdia e a moda.

b) a mediana e a moda.

c) a mdia e a mediana.

d) a mdia, a moda e a mediana.

33) (FISCAL DE TRIBUTOS-MG) Dados os conjuntos de valores:

A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 9, 10}

B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9, 10}

Em relao moda, afirmamos que:

I A unimodal e a moda 8.

II B unimodal e a moda 9.

III C bimodal e as modas so 4 e 9.

Ento, em relao s afirmativas, correto dizer que:

a) Todas so verdadeiras.

b) Todas so falsas.

c) Somente I e II so verdadeiras.

d) Somente I e III so verdadeiras.

e) Somente II e III so verdadeiras.

(PRF) Grfico para os itens 34 e 35.

O grfico acima ilustra o nmero de acidentes de trnsito nos estados do Acre (2.100), Mato Grosso do Sul (6.400), Amazonas (4.100), Esprito Santo (10.300) e Minas Gerais (13.100), no ano de 2001. Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes.

34 A mdia aritmtica de acidentes de trnsito nos cinco estados citados superior a 7.000.

35 Se, no ano de 2004, com relao ao ano de 2001, o nmero de acidentes de trnsito no Acre crescesse 10%, o do Mato Grosso do Sul diminusse 20%, o do Amazonas aumentasse 15% e os demais permanecessem inalterados, ento a mdia aritmtica da srie numrica formada pelo nmero de acidentes de trnsito em cada estado, em 2004, seria maior que a mediana dessa mesma srie.

UNIDADE 3: MEDIDAS DE DISPERSO

1. Introduo

As medidas de disperso indicam se os valores esto relativamente prximos uns dos outros, ou separados.

2. O Intervalo

O intervalo pode ser expresso pela diferena entre o maior e o menor nmero num grupo, ou pela identificao desses dois nmeros.

Ex.: Determine o intervalo nas seqncias de nmeros abaixo:

a) 1, 5, 7, 13

b) 14, 3, 17, 4, 8, 73, 36, 48

So vantagens desta medida: relativamente fcil de calcular (mesmo para um grande conjunto de nmeros) e seu significado fcil de entender.

3. O Desvio Mdio Absoluto

O desvio mdio absoluto de um conjunto de nmeros a mdia dos desvios dos valores a contar da mdia, ignorando-se o sinal de diferena.

DMA = Ex.: Determine o desvio mdio para o seguinte conjunto de nmeros: 2, 4, 6, 8, 10.

4. A Varincia

Os estgios do clculo da varincia so:

- Calcular a mdia;

- Subtrair a mdia a cada valor do conjunto;

- Elevar ao quadrado cada desvio;

- Somar os quadrados dos desvios;

- Dividir a soma por (n 1) se se trata de dados amostrais, ou simplesmente por n para somar o conjunto ou se os dados representam todos os valores de uma populao.

S = Ex.: Calcular a varincia da amostra: 2, 4, 6, 8, 10.

So propriedades da Varincia:

- a varincia de uma constante c igual a zero.

- somando-se (ou subtraindo-se) uma constante diferente de zero, a nova varincia calculada ser igual varincia anterior, isto , ela no se altera.

- multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores por uma constante diferente de zero, a nova varincia calculada ser igual varincia anterior multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante utilizada.

5. O Desvio Padro

O Desvio Padro determina a disperso dos valores em torno da mdia.

O desvio padro de um conjunto de nmeros a raiz quadrada positiva da varincia. S = A unidade do desvio padro a mesma da mdia. Por exemplo, se a mdia em reais, o desvio padro tambm se exprime em reais. J a varincia se exprime em quadrados de unidades.

Ex.: Considere o conjunto A = {2, 5, 6, 7} para calcular o desvio padro.

So propriedades do Desvio Padro:- o desvio padro de uma constante igual a zero.

- somando-se (ou subtraindo-se) uma constante diferente de zero, o novo desvio padro calculado ser igual ao anterior, isto , ele no se altera.

- multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores por uma constante diferente de zero, o desvio padro fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.

6. Coeficiente de Variao

O Coeficiente de Variao o quociente entre o desvio padro e a mdia aritmtica do conjunto de dados.

x 100Ex.: Calcule o Coeficiente de Variao do Conjunto A = {2, 4, 9}.TESTES

1) (FISCAL DE TRIBUTOS-MG) O desvio padro do conjunto de dados A = {2, 4, 6, 8, 10} , aproximadamente, igual a:

a) 2,1 b) 2,4 c) 2,8 d) 3,2 e) 3,6

(PRF) Grfico para os itens 2 e 3.

O grfico acima ilustra o nmero de acidentes de trnsito nos estados do Acre (2.100), Mato Grosso do Sul (6.400), Amazonas (4.100), Esprito Santo (10.300) e Minas Gerais (13.100), no ano de 2001. Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes.

2 Se, no ano de 2004, com relao ao ano de 2001, o nmero de acidentes de trnsito no Acre passasse para 2.500, o nmero de acidentes de trnsito no Esprito Santo fosse reduzido para 10.000, o de Minas Gerais fosse reduzido para 13.000 e os demais permanecessem inalterados, ento o desvio-padro da srie numrica formada pelo nmero de acidentes de trnsito em cada estado em 2004 seria superior ao desvio-padro da srie numrica formada pelo nmero de acidentes de trnsito em cada estado em 2001.

3 Se, no ano de 2004, com relao ao ano de 2001, o nmero de acidentes de trnsito em cada um dos estados considerados aumentasse de 150, ento o desvio-padro da srie numrica formada pelo nmero de acidentes de trnsito em cada estado em 2004 seria superior ao desvio-padro da srie numrica formada pelo nmero de acidentes de trnsito em cada estado em 2001.

4) Considere os seguintes dados correspondentes a preos de propostas:

26,5 ; 27,5 ; 25,5 ; 26,0 ; 27,0 ; 23,4 ; 25,1 ; 26,2 ; 26,8.

a) Calcule o intervalo.

b) Determine o DMA.

c) Determine a varincia.

d) Determine o desvio padro.

5) (BANCO REG. DESENVOLV. EXTREMO SUL) O coeficiente de variao do seguinte conjunto de oito nmeros: 1, 2, 2, 5, 5, 7, 8 e 10 igual a:

a) 50%

b) 60%

c) 167%

d) 180%

e) 500%

6) O Coeficiente de Variao das disciplinas Estatstica e Matemtica, com base nos resultados abaixo so:Estatstica: e S = 16

Matemtica: e S = 5

a) 16% e 40%

b) 50% e 40%

c) 20% e 25%

d) 80% e 40%

7) Considere o conjunto A = {0, 5, 10, 15, 20} para calcular:

a) o Intervalo

b) o Desvio Mdio Absoluto

c) a Varincia

d) o Desvio Padro (arredonde para o inteiro mais prximo)

e) o Coeficiente de Variao

8) Considere o conjunto A = {2, 3, 5, 10} para julgar as afirmativas abaixo:

1. O Desvio Mdio Absoluto menor que 2.

2. O Coeficiente de Variao superior a 50%, indicando que o conjunto pouco homogneo.

3. O Desvio Padro superior a 2,5.

UNIDADE 4: DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS

1. Definio

a tabela em que se resumem grandes quantidades de dados, determinando o nmero de vezes que cada dado ocorre (freqncia) e a porcentagem com que aparece (freqncia relativa).

2. Elementos

a) Amplitude Total: a amplitude total a diferena entre o maior e o menor valor observado da varivel em estudo.

b) Classe de Freqncia: cada um dos grupos de valores em que se subdivide a amplitude total do conjunto de valores observados da varivel.

c) Limites de Classe: os limites de classe so seus valores extremos. O limite superior o maior valor que aparece na classe e o limite inferior o menor valor que aparece na classe.

d) Amplitude do Intervalo de Classe: o comprimento da classe sendo definida como sendo a diferena entre seus limites superior e inferior.

e) Ponto Mdio de Classe: o ponto mdio da classe a mdia aritmtica dos limites superior e inferior.

f) Freqncia Simples Absoluta: o nmero de repetio de um valor individual ou de uma classe de valores na varivel. A soma das freqncias absolutas chamada freqncia total e corresponde ao nmero total de observaes.

g) Freqncia Simples Relativa: representa a proporo de observaes de um valor individual ou de uma classe em relao ao nmero total de observaes. Para calcular a freqncia relativa basta dividir a freqncia absoluta pelo total de observaes.

h) Freqncia Simples Percentual: representa a freqncia simples relativa multiplicada por 100.

i) Freqncia Acumulada: representa a soma da freqncia simples absoluta de uma classe ou de um valor individual com as freqncias simples absolutas das classes ou dos valores anteriores.

OBS.: Para elaborar uma distribuio de freqncias, devemos seguir os seguintes passos:

1. observar os dados brutos (so os dados coletados ainda no organizados numericamente);

2. elaborar o rol (so os dados organizados numericamente, em ordem crescente ou decrescente);

3. calcular a amplitude total (AT = maior valor do rol menor valor do rol);

4. considerar o nmero de classe (i) fornecido;

5. determinar a amplitude de classe: k = AT/i

6. montar a distribuio de freqncias.

Obs1.: Para determinarmos o nmero de classe podemos usar a Regra de Sturges:

i ( 1 + 3,3 . log n, onde: i o nmero de classe e n o nmero total de dados.

Obs2.: Outro processo sugerido fazer i = 5 para at 25 elementos e i = para quantidades maiores.

Ex1.: Considere as notas referentes aos alunos de uma 3 srie do ensino mdio em matemtica:

6,5 7,2 5,6 2,5 6,4

2,4 1,3 8,0 5,8 1,7

3,8 0,1 4,0 9,0 4,5

0,0 3,9 0,8 8,1 0,7

Agora elabore uma distribuio de freqncias com cinco classes.

Ex2.: Fez-se um levantamento dos pesos de 50 pessoas presentes em uma festa, obtendo-se o seguinte resultado:

48,5 66,1 33,0 71,2 55,3 64,7 94,3 74,5 84,2 - 77,0

35,4 - 53,0 66,5 88,7 73,6 41,8 60,6 80,5 50,4 77,0

81,3 97,5 68,0 54,0 39,8 45,3 61,2 67,0 57,7 85,4

41,5 66,4 85,0 65,0 69,3 52,2 35,6 73,1 65,3 74,5

65,9 55,5 42,0 89,0 76,0 59,5 91,6 47,8 60,1 78,5

Obtenha uma distribuio de freqncias.3. Representao Grfica

Uma distribuio de freqncias pode ser representada graficamente pelo:

( Histograma: um grfico formado por um conjunto de retngulos justapostos, assentados no eixo horizontal, de tal modo que:

- as bases dos retngulos possuem as mesmas amplitudes das classes (no eixo horizontal);

- as alturas dos retngulos so numericamente iguais s freqncias relativas das classes dadas em porcentagem (no eixo vertical);

- os pontos mdios da parte superior dos retngulos coincidem com os pontos mdios dos intervalos de classe.

( Polgono de Freqncias: o grfico que se obtm quando unimos os pontos mdios da parte superior de cada retngulo do histograma.( Ogiva de Galton: o grfico obtido quando colocamos no eixo horizontal as classes e, no vertical, as freqncias acumuladas.Ex.: Represente graficamente a distribuio de freqncias abaixo atravs do histograma.

CLASSESfi

10|-- 20 6

20|-- 30 8

30|-- 4016

40|-- 5012

50|-- 60 8

TOTAL50

TESTES1) O nmero de observaes correspondentes a uma classe :

a) freqncia acumulada

b) freqncia relativa

c) freqncia absoluta

d) observaes da classe

2) A soma de todas as freqncias absolutas :

a) sempre menor que o total de valores observados.

b) sempre maior que o total de valores observados.

c) no existe relao com o total de valores observados.

d) sempre igual ao nmero total de valores observados.3) O grfico formado por um conjunto de retngulos justapostos, de forma que a rea de cada retngulo seja proporcional freqncia da classe chamado de:

a) Polgono de Freqncia

b) Grfico de Colunas

c) Ogiva de Galton

d) Histograma

4) A representao grfica das distribuies de freqncias acumuladas basicamente:

a) Polgono de Freqncia

b) Grfico de Colunas

c) Ogiva de Galton

d) Histograma

5) Se dividirmos cada freqncia absoluta pelo total das freqncias absolutas, vamos obter:

a) freqncia relativa percentual

b) freqncia acumulada

c) freqncia relativa

d) freqncia acumulada relativa

6) Um professor, ao aplicar um teste em uma turma, deseja fazer uma pesquisa completa sobre o desempenho dos seus 50 alunos. A lista dos resultados obtidos foi a seguinte:5,5 7,5 7,0 4,5 3,0 2,0 0,5 0,0 9,5 5,0

2,5 3,5 4,0 4,0 1,5 1,0 6,0 2,5 8,0 3,5

5,0 5,5 5,5 4,0 4,5 6,5 2,5 1,0 4,5 5,0

3,0 1,5 1,5 7,5 5,0 5,5 4,0 4,5 5,5 5,5

0,0 0,5 2,5 3,5 0,5 9,5 5,0 3,5 4,0 2,0

Organize uma Distribuio de Freqncias com 5 classes contendo freqncia absoluta simples e acumulada, freqncia relativa simples e acumulada.

7) Complete a distribuio de freqncias abaixo correspondente s idades dos alunos de uma escola e, com base na distribuio preenchida, responda as perguntas que seguem.

IDADES (Anos)fi

0 |--- 53

5 |--- 1012

10 |--- 1515

15 |--- 2020

Total

a) Qual a amplitude total do fenmeno estudado?b) Qual a amplitude das classes?

c) Qual o ponto mdio da terceira classe?

d) Quantos alunos tm menos de 15 anos?

e) Qual a porcentagem de alunos com menos de 10 anos?

Para responder as questes 8, 9 e 10, considere a distribuio abaixo.

Classesfi

42 4422

44 4624

46 4856

48 5059

50 5225

8) O intervalo :a) aberto a esquerda

b) fechado

c) aberto

d) fechado a esquerda

9) A amplitude dos intervalos de classe :a) 10

b) 2

c) 52

d) 50

10) Os pontos mdios so:

a) 42, 44, 46, 48, 50

b) 86, 90, 94, 98, 102

c) 44, 46, 48, 50, 52

d) 43, 45, 47, 49, 51

11) (FISCAL DE TRIBUTOS MG) Ouvindo-se 300 pessoas sobre o tema Reforma da previdncia, contra ou a favor?, foram obtidas 123 respostas a favor, 72 contra, 51 pessoas no quiseram opinar, e o restante no tinha opinio formada sobre o assunto. Distribuindo-se esses dados numa tabela, obtm-se:

OPINIO FREQUNCIA FREQUNCIA RELATIVA

Favorvel123x

Contra72y

Omissos510,17

Sem Opinio540,18

Total3001,00

Na coluna freqncia relativa, os valores de x e y so respectivamente:

a) 0,41 e 0,24

b) 0,38 e 0,27

c) 0,37 e 0,28

d) 0,35 e 0,30

e) 0,30 e 0,35

12) Uma empresa deseja avaliar a distribuio dos salrios pagos por hora a seus funcionrios. O estatstico da empresa possui os seguintes dados:

13,3 11,6 12,6 10,4 14,2 14,3

11,5 12,4 12,9 12,1 8,8 8,5

10,4 10,7 9,6 10,3 10,3 9,8

15,2 12,4 9,7 13,2 13,8 10,2

12,6 15,8 11,6 13,5 8,3 12,3

Agrupe os dados em uma distribuio de freqncias com 5 classes e complete as lacunas nas frases seguintes.

a) A classe de salrios predominante na empresa a ______________, ou seja, com salrios de ______ a ______ salrios mnimos.

b) A freqncia acumulada da ______ classe indica que, nessa empresa, _____ funcionrios recebem salrios/hora abaixo de 12,8 unidades.

c) H certa predominncia de salrios mais baixos. Cerca de _____% da distribuio de salrios concentra-se at o salrio de 12,8 unidades.

d) Os maiores salrios servem a apenas _____% dos funcionrios da empresa.

UNIDADE 5: Mdia, Moda e Mediana para uma Distribuio de Freqncias. a) Mdia

Onde: fi: freqncia

xi: ponto mdio da classe

N: (fi

b) Moda

Onde: li: limite inferior da classe modal

h: amplitude da classe modal

: freqncia da classe modal menos freqncia da classe anterior modal

: freqncia da classe modal menos freqncia da classe posterior modal

Obs.: A classe modal a classe que apresenta maior freqncia.

Obs.: A moda bruta igual ao ponto mdio da classe modal.

c) Mediana

Onde: ld: limite inferior da classe mediana

F ant.: soma das freqncias das classes anteriores classe mediana

hd: amplitude da classe mediana

fd: freqncia da classe mediana

Obs.: A freqncia acumulada imediatamente superior a indica a classe mediana.

Obs.: No caso de existir uma freqncia acumulada exatamente igual a , a mediana ser o limite superior da classe correspondente.

Ex1.: Determinar o tempo mdio de servio dos funcionrios de uma empresa conforme o quadro:

Anosfi

0 |--- 220

2 |--- 410

4 |--- 640

6 |--- 820

8 |--- 1010

Ex2.: Calcule a moda da distribuio.Anosfi

2 |--- 43

4 |--- 66

6 |--- 84

8 |--- 103

Ex3.: Calcule a mediana da distribuio.

Anosfi

0 |--- 22

2 |--- 41

4 |--- 64

6 |--- 82

8 |--- 101

TESTES

1) Considere as notas abaixo referentes 3 srie do ensino mdio em matemtica numa prova.

9 4 7 4 5 1 2 6

2 7 9 3 6 3 4 3

5 1 10 1 7 7 3 5

3 8 6 3 4 6 7 6

5 6 8 4 3 5 2 7

Agora elabore um quadro de distribuio de freqncias com 5(cinco) classes e em seguida calcule a mdia aritmtica da distribuio.2) (FISCAL DE TRIBUTOS MG) As distncias, em milhares de quilmetros, percorridas em um ano pelos 20 txis de uma empresa, esto representadas no quadro seguinte:DISTNCIASNMERO DE TXIS

45 |-- 55

55 |-- 65

65 |-- 75

75 |-- 85

85 |-- 953

7

4

5

1

Nestas condies, correto afirmar que a mediana dessa distribuio, em milhares de quilmetros, :

a) 57

b) 61

c) 65

d) 69

e) 73

(AUDITOR TRIBUTRIO) Responda s questes 3, 4 e 5 com base na situao descrita a seguir: A empresa do Cerrado distribuiu seus empregados nas faixas salariais abaixo, em SM = salrios mnimos.

1 |--- 5 SM ........... 15 empregados

5 |--- 9 SM .......... 40 empregados

9 |--- 13 SM ......... 10 empregados

13 |--- 17 SM ......... 5 empregados

Aproxime os resultados para duas decimais.

3) O salrio mdio :

a) 7,00

b) 7,20

c) 7,29

d) 8,00

4) O salrio mediano :

a) 7,00

b) 6,71

c) 7,50

d) 8,00

5) O salrio modal :

a) 6,71

b) 6,82

c) 7,00

d) 8,00

6) Considere as seguintes notas obtidas pelos alunos de uma certa classe:

0,0 4,5 6,5 8,5 3,2 5,44,0 6,2 8,0 2,6 5,0 7,05,8 7,7 2,5 5,0 7,0 9,57,0 2,0 4,8 6,5 9,0 4,01,5 4,5 6,5 8,8 3,5 5,7Organize os dados em uma distribuio de freqncias com 5 classes e calcule:

a) a nota mdia

b) a nota mediana

c) a moda da distribuio

UNIDADE 6: MEDIDAS SEPARATRIZES

1. Definio

So nmeros reais que dividem a seqncia ordenada da distribuio em partes que contm a mesma quantidade de valores.

2. Valores Separatrizes

- Mediana: divide a distribuio em duas partes iguais. Geometricamente a mediana o ponto tal que uma vertical por ele traada divide a rea sob o histograma em duas partes iguais.- Quartil: divide a srie ordenada em quatro partes iguais. H, portanto, trs quartis. O primeiro quartil (Q1) separa a seqncia ordenada, deixando sua esquerda 25% de seus valores, e 75% sua direita. O segundo quartil igual mediana (Q2 = Md).

- Decil: divide a srie ordenada em dez partes iguais. H, portanto, nove decis. O primeiro decil (D1) separa a seqncia ordenada, deixando sua esquerda 10% de seus valores e 90% sua direita. O quinto decil igual mediana (D5 = Md = Q2).

- Percentil: divide a srie ordenada em 100 partes iguais. H, portanto, noventa e nove percentis. O primeiro percentil (P1) separa a seqncia ordenada, deixando sua esquerda 1% de seus valores e 99% sua direita. O qinquagsimo percentil igual mediana (P50 = Md = Q2 = D5).3. Clculo dos Valores Separatrizes

- Dados no agrupados: basta ordenar os dados, ou seja, obter um rol e em seguida dividir conforme a posio. Ex.: Obtenha o primeiro quartil dos dados da seqncia: 4, 2, 8, 3, 10, 12, 8, 4, 15, 6, 10, 6.

- Dados agrupados:

1 Caso: varivel discreta

Ex.: Obter o terceiro quartil da srie.

xifi

23

34

58

76

103

2 Caso: varivel contnua: neste caso iremos adaptar a frmula da mediana para valores agrupados em classes de freqncias para o clculo dos quartis, dos decis e dos percentis.a) Quartil

b) Decil

c) Percentil

Ex.: Em um ensaio para o estudo da distribuio de um atributo financeiro (X) foram examinados 100 itens de natureza contbil do balano de uma empresa. Esse exerccio produziu a tabela de freqncias abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna f representa a freqncia simples. Assinale a opo que corresponde estimativa do dcimo percentil da distribuio de X.

Classesfi

0 |--- 109

10 |--- 2018

20 |--- 3032

30 |--- 4024

40 |--- 5017

a) 10,56

b) 10,60

c) 11,00

d) 11,20

e) 11,50

TESTES

1) Determine o valor do terceiro quartil da seqncia: 8, 10, 3, 5, 8, 9, 15, 2, 4, 6, 8, 12, 1, 2, 6, 2.2) Considere a seguinte distribuio de freqncias:

Classesfi

0 |--- 520

5 |--- 1020

10 |--- 1540

15 |--- 2010

20 |--- 2510

Total

a) Encontre o vigsimo percentil.b) Determine o segundo quartil.

c) Calcule o oitavo decil.

UNIDADE 7: MEDIDAS DE DISPERSO PARA DADOS AGRUPADOS1. Desvio Mdio

DM =

Ex.: Considere a distribuio de freqncias abaixo para calcular o desvio mdio.

Classesfi

0 |--- 23

2 |--- 44

4 |--- 66

6 |--- 85

8 |--- 102

20

2. VarinciaS =

EMBED Equation.3 3. Desvio Padro

S =

4. Coeficiente de Variao

CV =

Ex.: Observe a distribuio de freqncias seguinte para calcular a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao.Classesfi

0 |--- 22

2 |--- 45

4 |--- 66

6 |--- 85

8 |--- 102

20

TESTES1) Dada a distribuio abaixo:

Classesfi

0 |--- 520

5 |--- 1020

10 |--- 1540

15 |--- 2010

Total

Calcule:a) o Desvio Mdio

b) a Varincia

c) o Desvio Padro

d) o Coeficiente de Variao

2) A distribuio abaixo possui desvio padro igual a 3,02. Determine o valor do coeficiente de variabilidade.Classesfi

0 |--- 42

4 |--- 83

8 |--- 122

Total

3) Dadas as distribuies abaixo, determine o desvio mdio, a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao.a)

Classesfi

0 |--- 22

2 |--- 44

4 |--- 610

6 |--- 86

8 |--- 103

Total

b)

Classesfi

0 |--- 21

2 |--- 43

4 |--- 612

6 |--- 85

8 |--- 104

Total

24%

28%

21%

13%

14%

goma de mascar

com nicotina.

internaes em

hospitais.

acupuntura

hipnose

injees clonidina.

( ANOTAES

( ANOTAES

( ANOTAES

( ANOTAES

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