5.2 Largura de Banda de Transmissão e Distorção5.2 Largura de Banda de Transmissão e Distorção

Em geral, o espectro de sinal com modulação exponencial tem largura infinita.

Portanto, a geração e transmissão de FM pura requer largura de banda infinita, quer a mensagem seja ou não limitada em banda.

Porém, sistemas de FM práticos, possuindo largura de banda finita, existem e funcionam muito bem.

Seus sucessos baseiam-se no fato que para frequências suficientemente distantes da portadora asSeus sucessos baseiam se no fato que, para frequências suficientemente distantes da portadora, as componentes espectrais são muito pequenas, e assim, podem ser descartadas.

Na verdade, a omissão de qualquer porção do espectro causa distorção no sinal demodulado, contudo, tal distorção pode ser minimizada se forem mantidas apenas as componentes espectrais significativastal distorção pode ser minimizada se forem mantidas apenas as componentes espectrais significativas.

Estimativa da largura de banda de transmissão

O que pode ser considerado “significativo”?

Ao contrário da modulação linear, na qual a largura de banda de transmissão pode ser determinada analiticamente, no caso não-linear da modulação exponencial, ela só pode ser estimada.

A determinação da largura de banda de transmissão de FM depende de se estabelecer qual a porção do d i lespectro do sinal é significante.

Esta questão é subjetiva e depende de quanta distorção pode ser tolerada para uma aplicação específica.

Contudo, regras práticas baseadas no estudo da modulação de tom têm conduzido a resultados bem

O que pode ser considerado “significativo”?

Contudo, regras práticas baseadas no estudo da modulação de tom têm conduzido a resultados bem sucedidos.

A relação Jn() versus (n/) informa que Jn() decai rapidamente para n/ >1, principalmente se >> 1:

Valores significativos

= índice de modulação = Amf/fm

Assumindo que é elevado pode-se observar que J () é significativo apenas para n/ 1 Assumindo que é elevado, pode se observar que Jn() é significativo apenas para n/ 1 n = Amf /fm .

Portanto, todas as linhas significativas estão contidas na faixa de frequências:

mc fnf fAfff mcmc (válido para modulação de tom)

grande: todas as linhas significativas estão contidas na faixa de frequências: mc ff _______________________________________________________

Por outro lado, se for pequeno, então, todas as linhas laterais são pequenas comparadasas linhas laterais são pequenas comparadas com a linha da portadora, pois J0() >> Jn 0() .

Porém, deve-se manter pelo menos o par de linhas laterais de primeira ordem, caso contrário, não haverá nenhuma modulação em frequência.

Portanto para pequeno as linhas de bandasPortanto, para pequeno, as linhas de bandas laterais significativas estão concentradas em

.mc ff

Colocando-se as observações acima em termos quantitativos, todas as linhas de bandas laterais tendo amplitudes relativas Jn() > sãodefinidas como sendo significativas onde definidas como sendo significativas, onde varia de 0.01 a 0.1, de acordo com a aplicação.

Então, se JM() > e JM+1() < , para grande, existem M pares de linhas significativas, e assim, (2M+1) linhas ao todo.

De forma geral (para grande ou pequeno), a largura de banda é escrita como:

uma vez que as linhas estão espaçadas por fm , e, M depende do índice de modulação

A di ã Mf i i l íd l t f t B ã d 2fA condição Mfoi incluída para se levar em conta o fato que B não pode ser menor que 2fm.

A Fig. 5.2-1 mostra M como uma função de , para igual a 0.01 e 0.1.

Estudos experimentais revelam que o valor = 0.01 é muito conservador, enquanto que o valor = 0.1 p q q qresulta numa pequena (embora perceptível) distorção.

Valores de M entre os dois extremos são aceitos para a maioria das propostas, e serão usadas neste texto.

Neste caso a linha tracejada pode ser aproximada (pelo menos para 2) porNeste caso, a linha tracejada pode ser aproximada (pelo menos para 2) por

Contudo a largura de banda B ainda não é a largura de banda de transmissão B ; trata se apenas daContudo, a largura de banda B ainda não é a largura de banda de transmissão, BT ; trata-se apenas da mínima largura de banda necessária para modulação por um único tom de amplitude e frequência específicas.

Para calcular B deve se calcular a largura de banda máxima gerada quando os parâmetros do tomPara calcular BT , deve-se calcular a largura de banda máxima, gerada quando os parâmetros do tom são limitados por Am 1 e fm W.

A fim de se determinar BT, considera-se a linha tracejada na Fig. 5.2-1, isto é (já citada anteriormente):

que está no meio das duas linhas sólidas quando 2.

Substituindo se (5 2 2) em (5 2 1) ou seja em

(atenção!)

Substituindo-se (5.2-2) em (5.2-1), ou seja, em

resulta:

Sabendo-se que f é uma propriedade do modulador, procura-se qual tom produz a máxima largura de banda (f está fixado)banda.

Fica claro que isto deve acontecer para o tom de máxima amplitude e máxima frequência: Am =1 e fm = W:

(f está fixado)

Tom de máxima amplitude e máxima frequência: Am =1 e fm = W:

Note-se que o índice de modulação não é o valor máximo de , mas sim aquele W

f

f

fA

m

m

___________________________________________________________________

que, combinado com a frequência de modulação máxima (W), gera a máxima largura de banda.

Qualquer outro tom tendo Am < 1 ou fm < W exigirá menos largura de banda, mesmo que possa ser maior que f /W.se o que f /W.

(Por exemplo, se Am = 1 e fm < W /2 , o dobro!)W

f

W

f

2

2/

1

Finalmente, considere-se um sinal de modulação arbitrário, x(t), razoavelmente suave, tendo largura de banda de mensagem W, e que satisfaça a convenção de normalização x(t) 1.

O valor da sua largura de banda de transmissão será estimado diretamente a partir da análise do caso mais crítico de modulação de tom, assumindo-se que qualquer componente de x(t) de menor amplitude ou frequência exigirá uma largura de banda menor que BT.

Da discussão do espectro multi-tons, foi mostrado que os pares de bandas laterais de frequências de batimento estão contidos primariamente dentro da largura de banda do tom dominante.

W3/2

FM com três tons, para f1 << f2 << f3 e 1 > 3 > 3.W1/2

W2/2

X1(f-fc)

X2(f-fc)

X3(f-fc)

f f +f f +f f

Portanto, extrapolando a modulação de tom para um sinal de modulação arbitrário x(t), define-se a razão de desvio (deviation ratio) como:

fc fc+f2 fc+f3 f

correspondente ao máximo desvio (f) dividido pela máxima frequência moduladora (W) análogo ao

(medido em rad)

correspondente ao máximo desvio (f), dividido pela máxima frequência moduladora (W), análogo ao índice de modulação ( ) do caso mais crítico de modulação de tom.

A largura de banda de transmissão necessária para transmitir x(t) será então:g p ( )

onde D é tratado exatamente como para se encontrar M(D) usando a Fig. 5.2-1.

Trocando se por D em M() +2 para a curva tracejada (válida quando > 2) tem se:Trocando-se por D em M() +2, para a curva tracejada (válida quando > 2), tem-se:

e assim,

WfDDDDM /,2,2)(

WDWDMBT )2(2)(2 2D_________________________________________Historicamente, seguinte relação foi deduzida para a largura de banda de transmissão:

T )()(

WW

fWfBT )1(2)(2

ou

conhecida como Regra de Carson

WfT )()(

(deduzida para casos extremos)

conhecida como Regra de Carson.

Neste caso, tem-se os extremos:

___________________________________________Infelizmente, a maioria dos sistemas FM práticos possuem 2 < D < 10, para os quais a regra de Carson subestima a largura de banda de transmissão.

Uma aproximação mais adequada para fins de projeto corresponde à relação deduzida acima:

a qual é útil, por exemplo, para determinar a largura de banda de 3 dB de amplificadores de FM.

No outro extremo, porém, no qual D << 1, a regra de Carson superestima a largura de banda deNo outro extremo, porém, no qual D 1, a regra de Carson superestima a largura de banda de transmissão._____________________________________________Exemplo: N d E l 5 1 2 ( i l ( ) 100 [2 5000 0 05 i 2 200 ] 100 [ ( )])No caso do Exemplo 5.1-2 (sinal xc(t) =100cos[25000t + 0.05 sin2200t] = 100cos[c(t)]),a largura de banda do sinal NBFM transmitido foi calculado analiticamente como sendo2fm= 400 Hz = 2W.

f = 10f 200fm = 200fc = 5000 Hz

Contudo, a regra de Carson (5.2-5) estabelece uma largura de banda maior:

Hz420)20010(2)(2 WfBT

No entanto, ela ainda é melhor que

id i d t l l ã ó é fi i t #

Hz820)40010(2

2Devidenciando que tal relação só é eficiente para . # 2D

Modulação PMModulação PM

Fisicamente, a razão de desvio D representa o desvio de fase máximo de um sinal FM diante de condições críticas de largura de banda.

O l d FM li d l d d f D f b i íd lOs resultados para FM, portanto, se aplicam para modulador de fase se D for substituído pelo máximo desvio de fase do sinal PM.

Com isto, a largura de banda de transmissão PM com x(t) arbitrário pode ser estimado por:Co s o, a a gu a de ba da de a s ssão co x( ) a b á o pode se es ado po :

ou

a qual é o equivalente da regra de Carson.

Estas expressões diferem do caso FM no sentido de que é independente de W._____________________________________________________________Exemplo 5.2-1: Largura de banda de FM comercial

Estações comerciais de rádio-difusão nos EUA estão limitadas a um desvio de frequência máximo d f 75 kH f ê i d d l ã ti i t b f i t 10 H 15 kHde f = 75 kHz, e, as frequências de modulação tipicamente cobrem a faixa entre 10 Hz a 15 kHz.

Sendo W = 15 kHz, a razão de desvio é

5kHz75

fD 5kHz15

W

D(continua...)

e kHz201kHz15)25(2)2(2 WDBTe

*Rádio FM de alta qualidade tem largura de banda de pelo menos 200 kHz.

*Este exemplo elucida o equívoco discutido na ‘Nota histórica’: se o sinal fosse modulado em AM

)()(T

Este exemplo elucida o equívoco discutido na Nota histórica : se o sinal fosse modulado em AM, sua largura de banda seria de apenas 2W = 30 kHz; no entanto, a do sinal FM é quase 7 vezes maior!

*Alerta-se que a regra de Carson subestima a largura de banda, gerando:(e não fc 15 kHz)

*Se um único tom de modulação tem Am = 1 e fm = 15 kHz, então,

kHz180kHz15)15(2)1(2 WDBT

5kHz15

kHz751

m

f

fA

e assim, M() = +2 = 5+2 = 7, e sua largura de banda será

kHz15mf

kHz210kHz1572)(2 mfMB

Um tom de frequência mais baixa como, por exemplo, em fm = 3 kHz, resultaria num índice de

modulação maior 25kHz3

kHz751

m

m

f

fA

e também, num maior número de pares de bandas laterais significativas: M() = +2 = 25+2 = 27.

Porém, conduz a uma menor largura de banda, pois

mf

#kHz162kHz3272)(2 mfMB

Largura de banda de sinais modulados em ângulo dedução analítica*

Diferentemente de AM, a modulação em ângulo é não-linear, de modo que nenhuma propriedade da transformada de Fourier pode ser aplicada diretamente para efeitos de análise de largura de banda.

Para determinar a largura de banda de FM, seja o fasor girante

com

de modo que o sinal de FM é

dxtg

)()(tjtgfjc

tgftjcc

cc eeAeAtX )(2)](2[)(

)}(Re{)( tXtx de modo que o sinal de FM é .

Expandindo a exponencial em série de potências:

)}(Re{)( tXtx cc

)(2 tgfje

tjnn fjf )2()2( 2

2

Na qual, aplicando-se , resulta:

tjncc

cetgn

fjtg

ftgfjAtX

...)(!

)2(...)(

!2

)2()(21)( 2

)}(Re{)( tXtx cc

)2()2( 32 ff

Sendo g(t) a integral de x(t), e, como a integral é uma operação linear, equivale a passar o sinal x(t)

...sin)(!3

)2(cos)(

!2

)2(sin)(2cos)( 3

32

2

ttgf

ttgf

ttgftAtx cccccc

por uma resposta em frequência (1/j2f), e então, se X(f) for limitado à banda W, o espectro de G(f) também deve ser limitado em W.

O espectro de g2(t) é limitado à banda de G*G(f), ou seja, 2W, ...., e o de gn(t), à banda nW.p g ( ) (f), j , , , g ( ),_________________________________________________* Lathi, B.P., Sistemas de Comunicações Analógicos e Digitais Modernos, quarta edição, LTC, 2012.

...sin)(

)2(cos)(

)2(sin)(2cos)( 3

32

2

ttgf

ttgf

ttgftAtx cccccc

)(!3

)(!2

)()( gggf cccccc

______________________________________________Portanto, o espectro de xc(t) consiste em uma portadora não modulada, mais os espectros de g(t), g2(t), ..., gn(t), centrado em c.

Fica claro que o sinal modulado não é limitado em banda: tem largura de banda infinita e não guarda uma relação simples com o espectro do sinal modulado (como ocorria no caso AM).

N t t fi áti (t) li it d 2 f (t) fi itNo entanto para fins práticos, com g(t) limitado, 2fg(t) permanece finito.

Como n! aumenta muito mais rápido que 2fg(t)n , tem-se que para n grande.

Conclui-se que a maior parte da potência do sinal modulado reside em uma largura de banda finita

0!

)()2(

n

tgf nn

Conclui-se que a maior parte da potência do sinal modulado reside em uma largura de banda finita.

Considere-se agora um sinal g(t) com largura de banda W, o qual é aproximado por um sinal em forma de escada :)(~ tg

O sinal de FM é dado por: com . )](2cos[)( tgftAtx ccc dxtg

)()(

O sinal g(t) é aproximado por uma sucessão de pulsos de amplitudes constantes ou “células”.

Para assegurar que contenha toda a informação de g(t), a largura da célula não deve ser maior que o intervalo de Nyquist, 1/2W.

Considerando-se a célula com início em

)(~ tg

t = tk, a qual tem amplitude constante g(tk) e largura T = 1/2W, o sinal FM a ela correspondente é uma senóide de frequência

e duração T = 1/2W)(2 tgf e duração T 1/2W.

O sinal FM para uma sequências de pulsos senoidais como esta, de frequência constante

)(2 tgfc

e duração T = 1/2W, corresponde às várias células de .

O espectro FM para é a soma das TFs

)(~ tg

)(~ tgO espectro FM para é a soma das TFsdos pulsos senoidais associados às células.

No caso da k-ésima célula, tem-se l d f i

)(tg

um pulso de RF na frequência:)( kc tgff

])(2cos[2/1

ttgftW

tA kcc

_____________________________________________________ Ver o “Adendo” adiante.

2/1 W

Do Exemplo 2.3-2, dado um pulso de RF de largura , , tem-se:ttAtz 0cos)/()( AA

, um espectro centrado em f0 e se estendendo por 1/.)(sinc

2)(sinc

2)( 00 ff

Aff

AfZ

Então, para = 1/2W e ,)(0 kc tgfff , p ,o espectro da k-ésima célula é:

0 kc

W

tgfff

W

A

W

tgfff

W

A kcckcc

2

)(sinc

42

)(sinc

4

O espectro deste pulso se espalha nos dois lados da frequência central ,

)( kc tgff q ,por 4W, como ocorre no lóbulo principal da função ‘sinc’.

Se as amplitudes mínima e máximaSe as amplitudes, mínima e máxima, das células são gp e +gp (pico), respectivamente, as frequências centrais, mínima e máxima, dos

pulsos senoidais para todas as células são e , respectivamente. pc gff pc gff

Considerando-se o lóbulo principal da função ‘sinc’ desses espectros como contribuição significativa à largura de banda de FM, os valores máximo e mínimo das frequências significativas neste espectro são

e , respectivamente.

A largura de banda do espectro de FM é

pc gff pc gff

A largura de banda do espectro de FM é, aproximadamente:

)2(242 WgfWgfB ppT

Ou então,

)2(2 WfBT

para gp=1 (devido à normalização).

)2(2 WfBT ____________________________________________Entende-se agora, o erro de raciocínio que levou a se acreditar que a modulação FM pudesse gerar uma largura de banda menor que a de AM.

As frequências portadoras máxima e mínima são e respectivamentegff gff As frequências portadoras, máxima e mínima, são e , respectivamente.

Por isso, foi concluído que as componentes espectrais também deveriam estar contidas nesse intervalo, resultando em BT = 2fgp.

pc gff pc gff

Considerou-se que uma senóide na frequência f0 tem todo seu espectro concentrado em f0, contudo, isto é verdadeiro somente no caso da senóide eterna.

Para uma senóide de duração finita , o espectro se espalha como uma função ‘sinc’, nos dois lados dePara uma senóide de duração finita , o espectro se espalha como uma função sinc , nos dois lados de f0, por pelo menos 1/.

Aí estava o erro de interpretação!

Adendo: Teorema da Amostragem*

Considere-se um sinal real x(t) cuja TF, X(f), é identicamente nula fora da faixa de frequênciasW f +W, ou seja

)()()( fXfPfX pW

onde

)()()( fff pW

)2

(,0

,1)(

W

fWf

WffPW

Espera-se que tal limitação no comportamento da TF restringirá a natureza de x(t) no domínio do tempo, de tal sorte a permitir uma descrição mais simples da função.

X(f)11

2

W 0 +W f

00

1

2

12

FWWF

W 0 +W fXp(f)

W2

1amostragemdeTaxa

2W W 0 +W +2W f

F_____________________________________________* Sakrison, D. J., Communication Theory: Transmission of Waveforms and Digital Information, John Wiley & Sons, NY, 1968.

F0

Teorema da amostragemTeorema da amostragem

Seja a TF de x(t), X(f), igual a zero para f > W. Então, x(t) pode ser reconstruída, para todos os valores de tempo, a partir de amostras tomadas a cada intervalo de 1/2W segundos entre si.EspecificamenteEspecificamente,

kk W

ktW

W

kx

ktW

W

ktW

W

kxtx

22sinc

22

22sin

2)(

_____________________________________________________Prova: Observa-se que X(f) pode ser descrita no intervalo f W por uma série de Fourier exponencial em f de período espectral F0= 2W (ou frequência espectral/ taxa de amostragem 1/2W):

WtW

22

em f, de período espectral F0 2W (ou frequência espectral/ taxa de amostragem 1/2W):

(i)

k

kW

fj

kk

fW

kj

kk

ffkjkp eXeXeXfX

2

12

2 0)(

cujos coeficientes Xk são (ii)dfefXW

XW

W

fW

kj

pk

2

2

)(2

1

Lembrando a definição de TF:

sendo (iii)

dtetvfV ftj 2)()(

dfefVtv ftj 2)()(

(continua...)

dfefXXW f

W

kj

2

2

)(1

dfefVtv ftj 2)()((ii) (iii)dfefXW

XW

Wpk

)(2

dfefVtv )()((ii) (iii)_____________________________________________________Comparando-se (ii) com (iii), conclui-se que:

k1

Lembra-se que a expressão em série de Fourier de Xp(f) em (i) é válida para representar X(f) apenas para f W

W

kx

WX k 22

1

para f W.

Pode-se obter uma expressão válida para todo f multiplicando-se esta série por PW(f):

fW

kj

2

2

Substituindo Xk e trocando o sinal do índice de somatório:

k

W

fW

j

kpW fPeXfXfPfX )()()()( 2

fk

jfk

j kk22

11

Lembrando se que

k

fW

j

Wk

fW

j

W efPW

kx

WefP

W

kx

WfX 22 )(

22

1)(

22

1)(

W

kfj

ek

t 22

Lembrando-se que We

Wt 2

2

W

ffP

Wt

WtW W 2

)(2

2sin2

calcula-se a TFI de X(f).(continua...)

f

W

kjk 2

21

kfjk 2

f

fWt

)(2sin

2

k

WW efP

W

kx

WfX 2)(

22

1)( W

fje

W

kt 2

2

2

W

ffP

Wt

WtW W 2

)(2

2sin2

, ,

______________________________________________________O sinal recuperado xr(t), a partir das amostras x(k/2W), será:

k

fW

kj

Wr efPW

kx

WfXtx )(

22

1)}({)( 2

211

kW

fW

kj

Wtkk

fPeW

kx

W

2i1

)}({*}{22

1 12

21

k

Wk

tWk

Wt

WtW

W

kt

W

kx

W

22sin

}2

2sin2*

222

1

k

kk

Wk

tW

WW

kx

22

22

Este teorema estabelece que uma função limitada em banda é determinada por amostras periódicas

k W

ktW

W

kx

22sinc

2

Este teorema estabelece que uma função limitada em banda é determinada por amostras periódicas tomadas no mínimo a cada 1/2W segundos. #

Interpretação: reconstrução do sinal a partir de suas amostras através de interpolação

Nas figuras (a) e (b) ao lado são mostrados o sinal de tempo contínuo x(t) e o correspondente trem de pulsos modulado (amostras tomadas a cada

1/2W d ))(~ tx

k

tWk

xtx 2sinc)(

1/2W segundos).

Em (c), são mostrados os diversos termos de

~

k

r WtW

Wxtx

22sinc

2)(

bem como, o sinal resultante reconstruído (ie, o somatório das várias parcelas ‘sinc’).

1/2W

p )

Como se percebe, a expressão de xr(t) promove uma interpolação entre os pulsos discretos em para recuperar um sinal de tempo contínuo correspondente

)(~ tx

ecupe a u s a de te po co t uo co espo de tea x(t).

Para um dado k = m, ocorre

mkkmm

1/2Wa recuperação exata de x(t) nos instantes de amostragem (nos demais tem-se a interpolação)

W

mx

W

k

W

kW

W

mx

W

mxr 222

2sinc22

amostragem (nos demais, tem se a interpolação)._____________________________________________ Oppenheim, A. V., Schafer, R. W., Buck, J. R., Discrete-Time Signal Processing,2nd edition Prentice Hall, 897 p., New Jersey, 1999.

Distorção linear

A seguir, apresenta-se uma análise sobre a distorção produzida num sinal FM ou PM por uma rede linear (SLIT).

Seja um sinal passa-banda modulado angularmente x (t) aplicado a um SLIT com resposta emSeja um sinal passa-banda modulado angularmente, xc(t), aplicado a um SLIT com resposta em frequência H(f), produzindo uma saída yc(t).

O sinal exponencial é dado pelo sinal passa-banda:

ttvttvttAttAttAtx cqciccccccc sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)](cos[)(

Aplicando-se (4.1-11a), o equivalente passa-baixa é:

)](sin)([cos2

)]()([2

1)( tjt

Atjvtvtx c

qip

ou

o qual está em conformidade com (4.1-11b), , para uma envoltória A(t) = Ac cte.)()(

2

1)( tj

p etAtv

Neste caso, toda a informação da mensagem está contida em (t).

Se , o espectro do equivalente passa-baixa de saída é obtida aplicando-se (4.1-14a))()( fXtx pp Se , o espectro do equivalente passa baixa de saída é obtida aplicando se (4.1 14a)e (4.1-14b):

)()( fpp

ou seja,

A saída é obtida aplicando-se a transformação de passa-baixa para passa-banda dada em (4.1-12) qual

)(tvbp (4.1-12)

sa da é ob da ap ca do se a a s o ação de passa ba a pa a passa ba da dada e ( . ) quaseja:

E assim, se : [saída correspondente a xc(t)])()( fYty pp

A princípio este método parece simples, porém, os cálculos de e de, em geral, são complicados.

)}({)( txfX pp )}({)( 1 fYfy pp

, g , p

Frequentemente, torna-se necessário o uso de técnicas numéricas com auxílio computacional.

)}({)( ffy pp

Distorção linear de amplitude

______________________________________________________

Distorção linear de amplitude

Um dos poucos casos nos quais as equações (5.2-8) e (5.2-10) conduzem à soluções fechadas é para a resposta em frequência abaixo:

O ganho H(f) = K0 em f = fc e aumenta (diminui) linearmente com a declividade K1/fc .

A curva de fase corresponde ao carrier delay t0 e group delay t1 discutidos no Exemplo 4.1-2.

O equivalente passa-baixa de H(f) é:

)( fH p

0

A Eq. (5.2-9), isto é,

torna setorna-se

Invocando-se os teoremas do retardo no tempo e da diferenciação:

Recordando-se (5.2-8), , calcula-se:

_____________________________________________________Substituindo as duas últimas na primeira

)(

2

1)( tj

cp eAtx

Substituindo as duas últimas na primeira,

C i t (5 2 10) i l d íd

)(1

1)(0

1010 )(22

)( ttjctj

c

ttjctjp ett

jAe

j

Ke

AeKty cc

Com isto, (5.2-10), , gera o sinal de saída:

)]()(cos[)(2

2)]()(cos[2

2)( 1011

100 ttttttAK

ttttKA

ty cc

cc

cc

ou

No caso de entrada FM:

tal que

)(2)()(2

1)()( txfttftxfftf cc

A Eq. (5.2-12) tem a mesma forma da envoltória de um sinal AM com .

Conclui se que H(f) na Fig 5 2 3 produz conversão de FM para AM acompanhado de um carrier

cfKfK 01 /

Conclui-se que H(f) na Fig. 5.2-3 produz conversão de FM para AM, acompanhado de um carrierdelay t0 e group delay t1 devido a arg H(f) .

Na prática, variações AM são minimizadas com o uso de um circuito limitador e filtro no receptor de FM á i t di tFM, como será visto adiante.

A propósito, uma observação mais detalhada no Exemplo 4.4-2 revela que a distorção de amplitude de um sinal AM pode produzir o efeito inverso, ou seja, de conversão de AM para PM.

A conversão de FM para AM não representa um problema insuperável para a transmissão FM ou PM, uma vez que (t) não sofre nenhum efeito hostil, a menos de um time delay t1:

Portanto, pode-se ignorar a distorção de amplitude presente em qualquer curva de ganho razoavelmente suave.

P é d l di t ti ti d c r a não linear d d l t d f d itPorém, o delay distortion a partir de uma curva não-linear de deslocamento de fase pode ser muito severo, e precisa ser equalizado a fim de se preservar a informação da mensagem.

Distorção linear de fase*

Uma abordagem simplificada para os efeitos de distorção linear de fase é proporcionada pela aproximação quase-estática:

A l iAnalogia:

a) Regime permanente senoidal

H(f) )](arg2cos[)()( 0 fHtffHAty ]2cos[)( 0 tfAtx

H(f) )](arg)(2cos[)()( fHttffHAty )](2cos[)( ttfAtx

b) Aproximação quase-estática

H(f) )](arg2cos[)()( 0 fHtffHAty ccc ]2cos[)( 0 tfAtx ccc

H(f) )](arg)(2cos[)()( fHttffHAty ccc )](2cos[)( ttfAtx ccc

Isto acontece se (t) for quase constante, ou seja, quando d/dt for muito pequeno, mesmo se f >> W .

Se x(t) = Am cos2fmt, então:

tff

fAtf

f

Afdxft m

m

mm

m

m

2sin2sin2

2)(2)(

___________________________________________________________________________________________________

*E J Baghdady Theory of low-distortion reproduction of FM signals in linear systems IRE Transactions in

)(22cos22cos2)(

txftffAtfff

fA

dt

tdmmmm

m

m

E. J. Baghdady, Theory of low distortion reproduction of FM signals in linear systems, IRE Transactions in Circuit Theory, pp. 202-214, 1958.

x(t) = A cos2f t f >> W tffAtfffAtd m

2cos22cos2)(

___________________________________________________________________

Para , que ocorre se Am <<1 .1)(

dt

td

x(t) = Am cos2fmt, f >> W , tffAtfffdt mmmm

m

m 2cos22cos2

)(

12 fAm 12

1

fAm

Nesta situação,

t d i ã t é

dt

ffAftdf

2i2)(

tffftxfftf mcc 2cos)()(

fm

com uma taxa de variação no tempo é:

e cujo valor máximo é:

mmm ffAfdt

f 2sin2)(

WAfdt

tdfm 2

)( mm

T

m

T

WTAfdtWAftdffmm

22)(00

sendo Tm=1/W, o período de x(t) na frequência W.

Com isso, a variação da frequência instantânea durante Tm segundos é:

dt max 00

AfWAff 21

2Co sso, a va ação da equê c a s a â ea du a e m segu dos é:

O intervalo de tempo correspondente à f é: , bem maior que 1/W.

mm AfW

WAff 22

12

11

mAff

Resumo: Na aproximação quase-estática se assume que a frequência instantânea f(t) de um sinal de FM, com f >> W, varia tão lentamente quando comparada 1/W, que xc(t) se parece mais ou menos como uma senoide ordinária na frequência f(t)=fc+f x(t) .q f( ) fc f ( )

Algumas relações que serão utilizadas nos próximos itens sob a condição de aproximação quaseAlgumas relações que serão utilizadas nos próximos itens, sob a condição de aproximação quase-estática são:

a) Vale a aproximação de primeira ordem: quando x(t)<<1.cc ftxfftf )()(

b) No caso f >> W, ocorre , e, devido a (5.2-5, ou seja, , deduz-se a

aproximação:

1

W

fD WDBT )1(2

fBT 2aproximação:

c) Também, na condição 2f >> 2W .

fT

WBT 2

Propositura: Se a resposta do sistema a uma senoide na frequência da portadora éPropositura: Se a resposta do sistema a uma senoide na frequência da portadora é

então, se xc(t) tem uma frequência instantânea f(t) variando lentamente, pode-se mostrar que:

][arg)(cos[][)( ccccc fHttfHAty

desde que

no qual

para FM modulado por tom com f W

Wft 24)(

para FM modulado por tom com fm W.______________________________________________Prova: Na discussão a seguir, será usada a abordagem de Carlson & Fry , para análise da resposta dinâmica de um sistema linear, à uma excitação variável em frequência.

Neste tipo de análise, o filtro é considerado como um sistema dinâmico, o qual, por virtude de seus elementos armazenadores de energia, exerce uma inércia que estabelece um limite da velocidade na qual sua resposta pode crescer ou decair.

Nesta abordagem, a resposta dinâmica pode ser separada em duas partes: uma componente quase-estática e uma componente de distorção.___________________________________________________________________________________________

E J B hd d Th f l di i d i f FM i l i li IRE T i iE. J. Baghdady, Theory of low-distortion reproduction of FM signals in linear systems, IRE Transactions in Circuit Theory, pp. 202-214, 1958.

A componente quase-estática representa a parte da resposta que pode ser obtida formalmente a partir d t i d i it i t id l b tit i d f ê i i t tâda teoria de circuitos em regime permanente senoidal, substituindo-se a frequência instantânea variável no tempo, pela frequência constante sob consideração.

Em geral, contudo, a resposta do sistema não pode crescer ou decrescer tão rápido, e, a solução l t t d ã d d dcompleta requer um termo de correção de segunda ordem.

A componente quase-estática representa a resposta total somente quando a faixa máxima de variação na frequência de excitação é baixa comprada com a velocidade de resposta do sistema.

Na sequência, considera-se que o SLIT seja caracterizado por sua resposta impulsiva h(t).Por questão de conveniência, será utilizada a notação de fasor girante para os sinais de entrada e saída do sistema.

O SLIT é excitado pelo fasor girante

tal que

)()]([)( tjc

ttjcc

cc eAeAtX

)]([)}(R {)( AX Deve ser lembrado que a frequência instantânea, (t), corresponde à inclinação de c(t) em t,

)](cos[)}(Re{)( ttAtXtx cccc

dttd

t cc )()(

)()(

e, portanto,

sendo

dt c )()()(

t

cc djAtX )(exp)(

)()()(

)( ttdtd

t c sendo )()()(

)( tdtdt

t ccc

)()]([)( tjc

ttjcc

cc eAeAtX

dtXhtY cc )()()(

___________________________________________A resposta do SLIT obedece à integral de superposição:

Na qual substituindo se X (t) gera

dehAtY ttjcc

c )]()([)()(

Na qual, substituindo-se Xc(t), gera

Por outro lado, se a resposta do SLIT for postulada como (após cessar o transitório):

então, sua envoltória será

)]([)()( ttjc

cetAtY

)]([)()( ttjc

cetYtA

Substituindo-se Yc(t) da integral de superposição na expressão acima, resulta:

Carson e Fry denotam A(t) como

dehAtA ttjc

c )]()([)()(

Carson e Fry denotam A(t) como

enquanto Van der Pol prefere escrever

deeehAtA cjtjtjc

}{)()( )()(

e aplicar a relação para obter

deeeehAtA cjtjtjttjc }{)()( )()()]()([

)()( tt c

dhAA tjtttj )()]()()([ }{)()(

deehAtA tjtttj

c)()]()()([ }{)()(

deeehAtA cjtjtjc

}{)()( )()( deehAtA tjtttjc

)()]()()([ }{)()(

________________________________________As quantidades entre chaves (de ambas abordagens) será denotada por g(t,), gerando-se

c

}{)()( c }{)()(

dtgehAtA jc ),()()(

onde no artigo de Carson e Fry, e, , no de Van der Pol

Neste texto será usada a abordagem de Van der Pol.

gc )()()(

c )(t

O problema consiste então em estabelecer condições para que a resposta em frequência do SLIT, H(f), deva satisfazer, a fim de assegurar uma reprodução aceitável da excitação FM, Xc(t), na saída.

Na formulação quase estática exige se apenas que a resposta seja aproximada por aquela prevista naNa formulação quase-estática, exige-se apenas que a resposta seja aproximada por aquela prevista na teoria de circuitos em regime permanente AC, isto é, que a saída seja (em notação fasorial):

sendo)()]([)( tXtHtY cc )]([)(exp)( ttjc

t

ccceAdjAtX

Ou seja

)]([)]([arg)(

)]([)]([)( ttjtHjc

dj

ccc

t

eetHAeAtHtY

a qual deve conduzir a (5.2-13) na notação instantânea, desde que (5.2-14) seja obedecida.

dtgehAtA tjc ),()()( )(

)]()()([),( tttjetg

)()()()(1

)( Rtttd

t nn

gc ),()()(

________________________________________________________No Adendo* será mostrado que a série de Taylor de (t) é:

),(g

21)1(2 ))((

1))((

1 ttR nn

para n = 0, 1, 2, ..., onde o resíduo R2 vale

20

)()()(!

)( Rttdtn

tn

n

____________________________________________

2 ))((2

))(()!1(

tt

nR

max)()( tt para 0 < <1, sendo .

Prosseguindo, assume-se que (t) e sejam contínuos para todo t, e, que exista para todot finito.

Recordando que a função g(t,) é dada por:

)(t )(t

)]()()([),( tttjetg q ç g( , ) p

e aplicando a série de Taylor:

vem

),(g

2)()()( Rttt

)]()()()([)]()()([ 2)( ttRttjtttj vem )]()()()([)]()()([ 2),( ttRttjtttj eetg

2),( jRetg

________________________________________________________* Ver Adendo no final deste item.

2),( jRetg 22 ))((

2

1 tR

__________________________________________________________Como o resíduo é pequeno, aplicando-se novamente a série de Taylor (convencional), agora parauma função ex :

nn axaf ))(( 1)1( ))(()( axf nn

2

, , para a < < x.

No caso onde n = 0 e 1: onde , para a < < x.

nRn

axafaxafafxf

)!1(

))((...))(´()()(

!

))((

n

axfRn

1)()( Rafxf !1

))(´( 1

1

axfR

ou seja, para a < < x,

Para o caso a=0, gera-se: para 0 < < x,

)(!1

1ax

d

deee ax

xee x 1g p

ou, equivalentemente para 0 < < 1.

No presente caso para 0 < < 1

xx xee 1

22

21),( RjjR ejRetg No presente caso, para 0 < < 1.

Chamando-se

21),( ejRetg

gRtg 11),(

2RjRRtem-se para 0 < < 1

2

21Rj

g ejRR

21 RR g ______________________________________________________________ Spiegel, M. R., Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, McGraw-Hill, 1973.

dtgehAtA jc ),()()(

gRtg 11),(

2

21Rj

g ejRR 22 ))((

2

1 tR

____________________________________________________________Substituindo estas informações e, A(t),

dehRAdehAdRehAtA tjtjtj )(1

)(1

)( )()()1()()(

g 2

A primeira integral corresponde à TF de h(t), tal que:

dehRAdehAdRehAtA gccgc 11 )()()1()()(

Ecc RAtHAtA 1)]([)(

sendo

Substituindo a expressão de R em R (t)

Ecc 1)]([)(

deheRjdehRtR tjRjtjgE

)(2

)(11 )()()( 2

Substituindo a expressão de R2 em R1E(t),

dehet

jtR tjt

j

E)(2))((

21 )()()(

2)(

2

Usando a suposição de que a velocidade de resposta do sistema é maior que a variação de frequência, a integral acima pode ser aproximada por:

dehet

jtR tjt

j

E)(2))((

21 )()()(

2)(

2

e, usando o teorema da diferenciação, resulta2

2

2))((2

1 )]([

)]([)(

2)(

2

td

tHdet

jtR

tj

E

)]([2 td

2

2))((2

1 )]([

)]([)(

2)(

2

d

tHdet

jtR

tj

E

max)()( tt

Ecc RAtHAtA 1)]([)( 21 )]([

)(2

)(tdE

_______________________________________________________________Com isso,

2

2

1 )]([

)]([)(

2

1)(

td

tHdttR E

no qual, aplicando-se

resulta

max)()( tt

22 )]([1)(

tHddtR

resulta

Conclui-se, portanto, que limite superior sobre a magnitude do erro relativo que se incorre na aproximação

2

max

21 )]([

)]([

2)(

tddttR E

)]([)( tHAtA c

é:

C i t di ã l t táti é

)]([)( c

)]([

)](["

2

1

)]([

)(

max

2

21

tH

tH

dt

d

tH

tR E

Como varia no tempo, a condição geral para que se possa usar a resposta quase estática é:

1)]([

)](["

2

1

max

2

2

1 tH

tH

dt

dm

É importante observar que a validade desta análise requer que (t) e sejam contínuas para todo t, e, que exista para todo t finito.

Nenhuma condição de continuidade para , ou, a existência de derivadas superiores, são necessárias.

)(t)(t

)(tç p , , p ,

Contudo, H(s) somente pode ter pólos no semi-plano esquerdo (a fim de manter a estabilidade).

)(

1)](["1 2

tHd

__________________________________________________Baghdady (1958) ressalta que a expressão para 1m é válida para uma classe geral de modulação, não necessariamente periódica.

1)]([2

max

21 tHdtm

p

No caso de uma modulação periódica, 1m pode ser substituída por uma condição menos restritiva:

1)]([

)]([")(

2

12

tH

tHtm

Num caso genérico, com uma excitação de FM e um dado filtro, os valores de 1m e 2m variam com a posição da frequência portadora não modulada (c) em relação ao centro da banda passante do filtro.

)]([2max tH

Para certos valores de c, a máxima inclinação (t) ocorrerá precisamente naqueles instantes de tempo em que (t) se iguala à frequência na qual é máximo (note-se que foi usado , e não t)).

)(/)(" HH

Nessas aplicações, as condições 1m e 2m assumem a forma

1)]([

)]([")(

2

1

maxmaxmax

tH

tHt

Situações nas quais esta forma é usada (a qual é a mais restritiva de todas, embora mais tratável) tornam-se mais perceptíveis quando o comportamento da razão tenha sido determinado e a faixa de frequência esperada (e que será coberta por t)) tenham sido especificada.

)(/)(" HH

1)]([

)]([")(

2

1maxmax

tH

tHt

)]([2max

max tH _________________________________________________________Além disso, tem-se que

2

2

22

2

2

2 )(

)2(

1

)2(

)2()()("

df

fHd

ffd

fHd

d

HdH

e então

)2()2( dfffdd

2

max

2

2

maxmax 8)](

)(

1)(

2

1 df

fHd

fHt

o que comprova (5.2-14).

Como um exemplo simples de aplicação, seja um tom de frequência m e amplitude Am=1, ou seja:)sin()( mmtt

onde

)s ()( mm

FM2A

PM

m

mm

m

f

f

fA

Com isso,

e, como para FM, então

mmf

)sin()( 2mmm tt

mff

No caso crítico, em que fm = W, resulta:

)sin(2)sin(2)( mmmmmmm tftft

Wft 2

max4)(

o que completa a prova da Propositura. #

Adendo: Série de Taylor de (t) ____________________________________________Como é bem conhecida, a série de Taylor de uma função f(x), expandida em torno do ponto x=a, é dada por:

nn

Raxafaxaf

axafafxf

))(())(("

))(´()()(1)1(2

onde o resíduo obedece à forma de Lagrange:

< <

nRn

axafafxf

)!1(

...!2

))(()()(

))(()( axfR

nn , a < < x.

Em forma compacta, f(x) pode ser escrita como!

))((

n

axfRn

)( ))(()(

mmn

Raxaf

xf

Trocando a por t, vem1

0 !)(

nm

Rm

xf

1

)(

0 !

)()()(

n

mmn

m

Rm

tftxxf

e depois, trocando x por ,

( ) ( )

1

)(

0 !

)()()(

n

mmn

m

Rm

tftf

)( )(])[( mmn tftt e, () por (t)

obtém-se, finalmente

10 !

)(])[()(

nm

Rm

tftttf

1

)(

!

))(()(

n

mmn

Rm

tt

onde f foi aplicado a .

0 !m m

))(()( axfR

nn a < < x______________________________________________________

Similarmente, no resíduo Rn+1, ocorre para a < < x.)!1(

))(( 1)1(

1

n

axfR

nn

n

!nRn , a < < x.

Trocando-se n por t, e depois, x por (), obtêm-se

, t < < x , t < <

)!1( n

)!1(

))(( 1)1(

1

txf

Rnn

n

)!1(

))(( 1)1(

1

tf

Rnn

n

, ,

e, () por (t):

)!1(1 nn )!1( n

))(( 1)1( ttf nn ))(( 1)1( f nn , t < < t , t < < t

ou, equivalentemente, para , para 0 < < 1

)!1(

))(()(

1

n

ttfRn

)!1(

))((1 n

fRn

1)1(1 ))((

)!1(

1

nn

n tn

R

A forma de Lagrange requer ainda que:

)!1( n

)1()1( )()( tt nn

ao longo do intervalor 0 < < 1# (fim do Adendo)

max)()( tt

Prosseguindo com o assunto, afirma-se que:Prosseguindo com o assunto, afirma se que:

Se H(f) representa um filtro passa-banda de sintonia simples (single-tuned), com largura de banda igual a B3dB, então, o termo se iguala a ._______________________________________________

)(/)(" fHfH 23/8 dBB

Prova: Na seção 4.1, mostrou-se que o filtro single-tuned é tal que

onde B3dB=f0/Q.

Então, 11)( 0

0

f

f

f

fjQfH

na qual, derivando em relação a f resulta:

0)(

1)('

1)(

20

0

fHfH

f

f

fjQfH

Daí, deduz-se que:

e, derivando novamente em relação a f :

)(1

)(' 220

0

fHf

f

fjQfH

)(1

)(2

)()(1

)(2

)(')(21

)(2

)("

3

2

0220

2

020

20

0

24

0

ff

fQfj

fff

fQfj

fHfHf

f

fjQfH

f

ffjQfH

)(1

2)(2

)()]([1

2)(2 3

20

0

223

020

0

23

0 fHf

f

fQfH

f

QfjfHfjQH

f

f

fQjfH

f

Qfj

)(1

2)(2

)(" 3

2

2022

30 fH

f

f

fQfH

f

QfjfH

20

3 fff

____________________________________________________________

)(2

)(2)(

)(" 03

32

2

20

0

fHQ

f

f

Q

QjfH

f

Qf

f

Q

fH

fH

Como f f0 ao longo de toda a banda passante do filtro com Q elevado,

)( 0 QfQfff

)(2

)(2)(

)("0

0

3

22

2

fHQ

f

f

Q

QjfH

f

Q

f

Q

f

fH

com H(f0) = 1 (o qual também torna H´´(f)/H(f) máximo).

Com isto, e usando B3dB=f0/Q , vem

)()()( 02

000

fQfQ

jffffH

f

, 3dB f0 Q ,

20

23

223

23

333

2

2

3

28281

121

22

)(

)("

0f

jBQB

jB

BBQ

jBfH

fH

dBdBdBdB

dBdBf

Como f0 >>1 , e resulta0/2 20 f

23

8

)(

)("

dBBfH

fH

o que completa a prova.

3max

dB

Usando os resultados: e Wft 24)( 2

8

)(

)("

BfH

fH

em

fmax)( 2

3)( dBBfH

8obtém-se

ou

223

2 88

4 dBB

Wf

14

23

dBB

Wf

Esta condição estabelece que o produto da máxima frequência de modulação e o máximo desvio de frequência, medidos em unidades de largura de banda de meia potência do filtro, ou seja, (W/B3dB) (f/B3dB), deve ser desprezível quando comparado com a unidade, a fim de se computar a

3dBB

(W/B3dB) (f/B3dB), deve ser desprezível quando comparado com a unidade, a fim de se computar a resposta do circuito sintonizado, com base na resposta em regime permanente e na frequência instantânea, como sendo aproximadamente a resposta verdadeira.

14

WfB 2f 2W << B (*)1

23

dBB

fBT = 2f 2W << BT (*)

_____________________________________________________________Uma tal condição é mais facilmente satisfeita se for exigido que a banda de transmissão do filtro seja B3dB BT (condição suficiente).seja B3dB BT (condição suficiente)._______________________________________________

Prova: Já foi visto que

e então, se D >> 1, ocorre BT = 2f.

Como D = f /W >> 1 W << f 2W << BT .

A condição: certamente é satisfeita se BT << B3dB e 2W << B3dB

simultaneamente.

1222

3333

dBdB

T

dBdB B

W

B

B

B

W

B

f

Embora esta não seja a única possibilidade, ela é garantida.

Neste cenário, a hipótese também ocorre quando B3dB = BT 2W << B3dB = BT , a qual satisfaz adesigualdade (*) acimadesigualdade ( ) acima.

Supõe-se agora que (5 2-14) seja satisfeita ou sejaSupõe se agora que (5.2 14) seja satisfeita, ou seja

e que o sistema tenha um deslocamento de fase não linear tal que

arg H(f) = f 2 ,

para constantepara constante.

A saída do sistema ainda obedece a (5.2-13), qual seja

tal que arg H(f) é obtido substituindo em arg H(f) = f 2 , gerando

2

)()(

tftf c

2)( t

2

)()]([arg

t

ftfH c

Isto informa que a fase total em (5.2-13) será distorcida pelo acréscimo de e . )(t )(2 t

Distorção não linear e limitadoresDistorção não linear e limitadores

Foi visto que a distorção de amplitude da onda de frequência modulada produz conversão de FM para AM.

Mostra-se a seguir que o AM resultante pode ser eliminado através do uso de distorção não linear controlada e filtragem.

Considere-se um elemento não linear sem memória (nenhuma energia armazenada) tal que entrada e saída são relacionadas por uma característica de transferência não linear vout = T [vin]:

Assume-se, por conveniência, que T [0] = 0.

Seja o sinal de entrada

onde e A(t) é a amplitude.

Embora vin(t) não seja necessariamente periódica o tempo, pode ser vista como uma função periódica de (t), com período 2

)()( ttt cc

de c(t), com período 2

(2.1-18a)

(2.1-14) ___________________________________________________________________________________________________________________________________

Da mesma forma, a saída é uma função periódica de c(t), com período 2

Considerando-se que o sinal FM não tenha valor médio (c0=0), aplicando-se (2.1-18a) ao sinal de saída vout = T [vin] e chamando-se cn de an, resulta out [ in] n n

para

2

000

)(2

1)()(

1

00

0 detvtdetvT

a jnout

T

tjnoutn

)argcos(2)( anatv para

onde se definiu = 0t (e assim, quando t = T0 no limite de integração, ocorre = 0t = 2).

Com isso

1

)argcos(2)(n

nnout anatv

Com isso,

A variável t não aparece explicitamente, mas vout depende de t via variação de c.

Adicionalmente, os coeficientes an podem ser funções de t quando a amplitude de vin tem variação no tempono tempo.

_______________________________________________Considere-se, primeiramente, o caso de uma entrada de FM não distorcida, tal que A(t) é igual à constante Ac, e, todos os an são constantes.

Com isso,

a qual revela que distorção não linear produz ondas FM adicionais em harmônicas da frequênciaa qual revela que distorção não linear produz ondas FM adicionais, em harmônicas da frequência portadora.

A n-ésima harmônica tem amplitude constante 2an e modulação de fase n(t), mais um desvio de fase constante arg aconstante arg an.

Se estas ondas não se superpõem no domínio da frequência, a entrada não distorcida pode ser recuperada aplicando-se a saída à um filtro passa banda.

Assim, diz-se que FM goza de imunidade considerável contra efeitos de distorção não linear sem memória.

Retorne se agora ao problema de FM com variações de amplitude indesejável A(t)Retorne-se agora ao problema de FM com variações de amplitude indesejável, A(t).

Estas variações podem ser niveladas por um limitador ideal ou clipper:

+V+Vcc

Vcc

A saída “clipada” se assemelha essencialmente a uma onda quadrada, pois T [vin] = V0 sgn vin, evout

+V0

c0

V0

c

vout=T [vin]+V0V0

V

c0

V0_______________________________________________________Os coeficientes da eq. (5.2-15b) são obtidos a partir de (2.1-20), qual seja:

a =can=cn

c = t2T0

(2 1-20)(2.1-20)

No presente caso, = T0/2 = 1/2f0, A = 2V0 e c0 = 0:

i22/sin1

i2 000 nVn

VfTV

2sin

2

2/

2/sin

2

1sinc

2

2 00

00

0

0

0

n

n

V

n

nV

fnf

T

T

Van

vout=T [vin]+V0

c = ctV0

V

c0

V0

__________________________________________________________Os coeficientes an não dependem do tempo porque a amplitude A(t) 0 não afeta o sinal de vin.

Portanto,

vvinvout

A seguir um filtro passa banda pode gerar uma onda FM de amplitude constante desde que asA seguir, um filtro passa banda pode gerar uma onda FM de amplitude constante, desde que as componentes de vout(t) não tenham sobreposição espectral.

_______________________________________________Na Fig. 5.2-6a, ilustra-se o sistema que remove as variações indesejáveis de amplitude de uma ondaFM ou PM, sendo comumente usado em receptores.

Por outro lado, na Fig. 5.2-6b, o elemento não linear distorce a onda de amplitude constante, porém, o BPF deixa passar apenas a tensão não distorcida na n-ésima harmônica*.

Esta combinação age como um multiplicador de frequência se n > 1, e é empregado em certos tipos de transmissores*.

_________________________________________________________* Esta questão será estudada nos itens a seguir.

Imunidade da modulação em ângulo à distorção não linearImunidade da modulação em ângulo à distorção não linear

Uma propriedade importante da modulação em ângulo é sua amplitude constante, que a torna menos susceptível à não linearidades.

Não linearidades estão presentes em redes elétricas, e podem ser classificadas em duas categorias:

i) Não linearidade forte: quando é introduzida intencionalmente, de forma controlada e objetiva alguma aplicação específica, como multiplicação de frequência, limitadores, etc.

ii) Não linearidade fraca: quando se deseja um desempenho linear, porém, não linearidades espúrias aparecem devido à imperfeições.

id l d i j í i d d íd jConsidere-se um canal de comunicação cuja característica de entrada e saída seja:

e onde nenhuma energia armazenada é envolvida (sem memória).

)()()()( 33

221 tvatvatvatv inininout

e onde nenhuma energia armazenada é envolvida (sem memória).

Se a entrada do sistema for onde

íd

)](2cos[)()( ttfAtxtv cccin

t

dxft )(2)(

)](2[)](2[)](2[ 3322 fAfAfA tem-se a saída:

A seguir, expandem-se os termos em cosseno ao quadrado e ao cubo.

)](2[cos)](2[cos)](2cos[ 333

2221 ttfAattfAattfAav ccccccout

________________________________________________________ Haykin, S., Communication Systems, 3rd. Edition, John Wiley & Sons, NY, 1994.

)](2[cos)](2[cos)](2cos[ 333

2221 ttfAattfAattfAav ccccccout

_____________________________________________________

)](36cos[4

1)](24cos[

2

1)](2cos[

4

3

2

1 33

22

331

22 ttfAattfAattfAaAaAav ccccccccout

A fim de extrair o sinal de FM desejado da saída do canal, ie, a componente na frequência fc, énecessário separar este sinal de FM daquele com frequência portadora mais próxima, 2fc.

Um valor suficientemente grande de fc torna as componentes de vout(t) separáveis no domínio da c out

frequência.

Aplicando a regra de Carlson (por exemplo), encontra-se que a condição necessária para separar o FM desejado é: .][]2[2 WffWff cc

f 2f f

Assim, um filtro passa banda fc centrado em e largura de banda igual a 2fc+2W pode extrair a componente desejada de FM:

fc 2fc f

)](2cos[3

)( 3 ttfAaAaty

onde ocorre apenas mudança de amplitude.

Portanto FM não é afetado por distorção produzida na transmissão através de um canal com não

)](2cos[4

)( 31 ttfAaAaty cccc

Portanto, FM não é afetado por distorção produzida na transmissão através de um canal com não linearidade de amplitude.

Observação:Observação:

Em AM, uma não linearidade similar causa não apenas modulação indesejada, com frequência portadora nc , mas também distorção do sinal desejado.

P l i l DSB ( ) ã li id d )()()( 3bPor exemplo, se um sinal DSB, x(t) cos ct, passar por uma não linearidadegera-se a saída:

)()()( 3 tbvtavtv ininout

ttxb

ttxb

taxttbxttaxv ccccout 3cos)(4

cos)(4

3)(cos)(cos)( 3333

Se este sinal for aplicado a um filtro passa banda, a saída será:

ttxb

taxty cc cos)(4

3)()( 3

Note-se a componente de distorção que aparece junto com o sinal desejado, ax(t).

Imunidade a não linearidade é a principal razão do uso da modulação em ângulo em sistemas de

4

)()4/3( 3 txb

Imunidade a não linearidade é a principal razão do uso da modulação em ângulo em sistemas de rádio de microondas, nos quais os níveis de potência são elevados.

Isto requer amplificadores de microondas classe-C altamente eficientes.

Além disso, o efeito de variações de amplitude causadas por desvanecimento rápido pode ser compensado com o uso de controle automático de ganho e limitação em banda passante.

Isto justificou o uso de FM na primeira geração de sistemas de telefonia celular.

Exemplo 5.2-1: Limitador FMExemplo 5.2 1: Limitador FM

Na Fig. 5.2-7a mostra-se uma forma de onda FM, enquanto na Fig. 5.2-7b tem-se o sinal corrompido por ruído.

P d i l id li i d i l d Fi 5 2 7 l li hPassando o sinal ruidoso por um limitador, gera-se o sinal da Fig. 5.2-7c, o qual apresenta glitches, porém, as variações de amplitude são sensivelmente removidas.

Ao passar este sinal por um BPF, gera-se o sinal de FM limpo mostrado na Fig. 5.2-7d; o filtro t d lt f ê i d d d d li i li hremove as componentes de alta frequência da onda quadrada e elimina os glitches.

Embora o sinal resultante apresente alguma distorção, a informação presente em seus zeros é preservada.