572807_Resolucao Da Atividade Aberta 2 - 2908 a 120912

© T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2012-2

1

Probabilidade e Estatística I

Resolução da Atividade Aberta 2 – Valor: 5,0 pontos

Entrega até: 12/09/2012

OBS.: Entregar as resoluções juntamente com as respostas!

Questão 1: (0,5 pts) Seja a variável aleatória X igualmente provável de ter valores iguais a

8

3 e

4

1 ,

8

1. Determine a média e o desvio-padrão de X.

Solução:

Seja a distribuição de X:

x 1/8 1/4 3/8 Total

p(x) 1/3 1/3 1/3 1,0

xp(x) 1/24 1/12 3/24 6/24=0,25

x2p(x) 1/192 1/48 9/192 14/192

Logo, 25,024

6)()(

3

1

i

ii xpxXE

Tem-se:

073,0192

14)()(

3

1

22 i

ii xpxXE

0104,0)25,0(073,0)()()( 222 XEXEXVar

102,00104,0)()( XVarXdp

Resp.: A média é 0,25 e o desvio-padrão 0,102.

Questão 2: (0,5 pts) Um caça-níquel tem dois discos que funcionam independentemente um do

outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 peras e 1 laranja. Uma pessoa paga R$

80,00 e aciona a máquina. Se aparecerem 2 maçãs ganha R$ 40,00, se aparecerem 2 bananas,

ganha R$ 80,00; R$ 140,00 se aparecerem 2 peras; e ganha R$ 180,00 se parecerem 2 laranjas.

Qual o ganho médio dessa pessoa em uma única jogada?


2


Solução:

Sejam os eventos sobre o tipo de fruta: M = maçã; B = banana; P = pera; L = laranja.

Tem-se as seguintes probabilidades, sendo o evento, por exemplo, MM = (M,M) – maçã no

primeiro resultado e maçã no segundo resultado:

Probabilidades

1 fruta 2 frutas iguais

P(M) 0,4 P(MM) 0,16

P(B) 0,3 P(BB) 0,09

P(P) 0,2 P(PP) 0,04

P(L) 0,1 P(LL) 0,01

Total 1,00 0,30

Logo, a P(outros) = P(2 frutas diferentes) = 1 – P(2 frutas iguais) = 1 – 0,30 = 0,70

Considere o evento G = ganho liquido do jogador ( G é obtido pelo resultado de quanto recebe na

jogada menos o valor da jogada).

A distribuição de probabilidades de G é:

Resultado da jogada

Paga Recebe Ganha (g) P(g) gP(g)

P(MM) R$ 80,00 R$ 40,00 -R$ 40,00 0,16 -R$ 6,40

P(BB) R$ 80,00 R$ 80,00 R$ 0,00 0,09 R$ 0,00

P(PP) R$ 80,00 R$ 140,00 R$ 60,00 0,04 R$ 2,40

P(LL) R$ 80,00 R$ 180,00 R$ 100,00 0,01 R$ 1,00

P(Outros) R$ 80,00 R$ 0,00 -R$ 80,00 0,70 -R$ 56,00

Total 1,00 -R$ 59,00

Então o ganho médio é dado por )()( ggpGE = - R$ 59,00, ou seja, o jogador deve perder

em média, 59 reais.

Questão 3: (0,5 pts) Bateladas que consistem em 50 molas helicoidais, provenientes de um

processo de produção, são verificadas com relação à conformidade em relação aos requerimentos

dos consumidores. O número médio de molas não conformes em uma batelada é igual a cinco.

Considere que o número de molas não conformes em uma batelada, denotado por X, seja uma

variável aleatória binomial.

a) Quais são os valores de n e p?

b) Qual é a P( X ≤ 2)?

c) Qual é a P( X ≥ 49)?


3


Solução:

Seja X : número de molas helicoidais não conformes

Cada mola pode ser não conforme ou conforme, ou seja, cada mola é um ensaio de Bernoulli. As

50 molas da batelada são independentes, logo, X ~ Bin (n, p)

a) Molas da batelada: n = 50 e E(X) = 5, mas E(X) = np, logo p = 0,10

Então, X ~ Bin (50; 0,1)

b) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X = 2) = 0,11173

Donde,

P(X = 0) = 500 9,01,0

0

50

= (1)(1)(0,00515) = 0,00515

P(X = 1) = 491 9,01,0

1

50

= (50)(0,1)(0,00573) = 0,02863

P(X = 2) = 482 9,01,0

2

50

= (1225)(0,01)(0,00636) = 0,07794

c) P(X ≥ 49 ) = P(X = 49) + P(X = 50) = 0,000

Pois,

P(X = 49) = 149 9,01,0

49

50

= (50)(0,000)(0,9) 0,000

P(X = 50) = 000,0)1)(000,0)(1(9,01,050

50050

Questão 4: (0,5 pts) Um determinado artigo é vendido em caixa ao preço de R$ 20,00 cada. É

característica de produção que 20% destes artigos sejam defeituosos. Um comprador fez a

seguinte proposta: de cada caixa escolhe 25 artigos, ao acaso, e paga por caixa:

R$ 25,00 se nenhum artigo, dos selecionados, for defeituoso;

R$ 17,00 se um ou dois artigos forem defeituosos;

R$ 10,00 se três ou mais forem defeituosos. O que é melhor para o fabricante: manter o seu preço

de R$ 20,00 por caixa ou aceitar a proposta do consumidor?


4


Solução:

1) Proposta do fabricante: 25 x R$ 20,00 = R$ 500,00

Cliente pode levar em média, 5 artigos com defeitos por caixa.

2) Proposta do cliente.

X: número de artigos com defeitos; X ~ Bin (25; 0,20)

a) P(X = 1 ou X = 2) = P(X=1) + P(X = 2) = 0,0944

Pois,

P(X = 1) = 241 80,020,0

1

25

= 0,0236

P(X = 2) = 232 80,020,0

2

25

= 0,0708

b) P(X ≥ 3) = 1 – P(X < 3) = 1 – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] = 1 – 0,0982 = 0,9018

Dado que P(X=0) = 250 80,020,0

0

25

= 0,0038

Dessa maneira, o cliente quer pagar: R$ 10,63 por artigo, em média, pois

x R$ 17,00 R$ 10, 00 Total

p(x) 0,0944 0,9018 ~ 1,0

xp(x) R$ 1,61 R$ 9,02 R$ 10,63

Então o cliente pagará em média, 25 * R$ 10,63 = R$ 265,75 por caixa.

Comparando as propostas o fabricante não deve aceitar a do cliente, pois a sua é melhor....

Questão 5: (0,5 pts) De acordo com a Divisão Estatística Vital do Departamento de Saúde dos

Estados Unidos, a média anual de afogamentos acidentais neste país é de 3 por 100.000

indivíduos. Determinar a probabilidade de que em uma cidade com 300.000 habitantes se

verifiquem:

a) Nenhum afogamento.

b) No máximo 2 afogamentos.

c) Mais de 4 e menos de 8 afogamentos.

Solução:

X: numero de afogamentos por 100.000 habitantes; X ~ Pois (3)

Se X : numero de afogamentos por 300.000 habitantes, então X ~ Pois (9)


5


Com !

)(k

ekXP

k

a) Nenhum afogamento.

000123,0!0

9)0( 9

09

ee

XP

b) No máximo 2 afogamentos.

09457,0070835,0023612,0000123,0!2

9

!1

9

!0

9)2(

291909

eee

XP

c) Mais de 4 e menos de 8 afogamentos

33491,011084,016335,006073,0)7()6()5()84( XPXPXPXP

Questão 6: (0,5 pts) Uma companhia emprega 800 homens com menos de 55 anos. Suponha

que 30% carreguem um marcador no cromossomo masculino que indique um risco crescente de

pressão sanguínea alta.

a) Se 10 homens na companhia forem testados em relação ao marcador nesse cromossomo,

qual será a probabilidade de exatamente um homem ter esse marcador?

b) Se 10 homens na companhia forem testados em relação ao marcador nesse cromossomo,

qual será a probabilidade de mais de um homem ter esse marcador?

Solução:

Seja, X: número de homens com menos de 55 anos com marcador no cromossomo da amostra. Tem-se: N = 800; r = 30% de 800 = 240; n = 10 Podem ser feitas as seguintes contagens:

Podem ser feitas as seguintes contagens:

10

800 = a quantidade de amostras sem reposição que podem ser retiradas;

k

240 = numero de maneiras em que os k sucessos podem ocorrer;

k10

240800= numero de maneiras em que os fracassos podem ocorrer.

Logo,

a)


6


1201,01079647,2

1035799,3

10

800

9

560

1

240

10

800

110

240800

1

240

)1(22

21

x

xXP

b) P(X > 1) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 – [P(X=0) + P(X =1 )] = 1 – (0,0276 + 0,1201) = 0,8523

Dado que,

0276,01079647,2

1070938,7

10

800

10

560

0

240

10

800

010

240800

0

240

)0(22

20

x

xXP

Questão 7: (0,5 pts) O tempo entre as chamadas para uma loja de suprimento de encanamentos

é distribuído exponencialmente, com um tempo médio de 15 minutos entre as chamadas.

Solução:

X: tempo entre as chamadas, em minutos

E(X) = 15

15

1~ ExpX

Lembrando que se X ~ Exp(α), então P(X ≤ x) = F(x) = 1 – xe e P(X > x) =

xe

a) Qual é a probabilidade de não haver chamadas dentro do intervalo de 30 minutos?

Significa que as chamadas chegarão após os 30 minutos:

P(X > 30 ) = 1353,02)30(

15

1

ee

b) Qual é a probabilidade de que no mínimo uma chamada chegue dentro do intervalo de 10

minutos?

Significa que será 1 – a probabilidade de nenhuma chamada em 10 minutos, ou seja,

1 – P(X > 10) = F(10)

P(X < 10 ) = 1 - 4866,05134,011 667,0)10(

15

1

ee


7


c) Qual é a probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de 5 a 10 minutos

depois da loja aberta?

P(5 < X < 10 ) = P(X < 10) – P(X < 5) =

= 2031,02835,04866,011)10(

15

1)10(

15

1

ee

d) Determine o comprimento de um intervalo de tempo, tal que exista uma probabilidade igual

a 0,90 de haver no mínimo uma chamada no intervalo.

P( X < x ) = 0,90 10,090,01 15)(

15

1

xx

ee

Tomando a função inversa: 30258,215

)10,0ln(15

xx

Logo, x = 34,54 minutos aproximadamente.

Questão 8: (0,5 pts) O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente

distribuído com uma média de 0,002 polegadas e um desvio-padrão de 0,0004 polegadas.

Solução:

X: o diâmetro do ponto da impressora, em polegadas

X ~ N (0,002; 0,0004)

a) Qual é a probabilidade de o diâmetro de um ponto exceder 0,0026 polegadas?

P(X > 0,0026) =

0004,0

002,00026,0ZP = P(Z > 1,5) = 0,5 – P(0 < Z < 1,5) = 0,5 – 0,4332

(utilizando valor da Tabela 3 anexada às Anotações de Aula da Unidade 2)

Logo, P(X > 0,0026) = 0,0668 (≈ 6,7%)

b) Qual é a probabilidade de um diâmetro estar entre 0,0014 e 0,0026 polegadas?

P(0,0014 < X < 0,0026) =

0004,0

002,00026,0

0004,0

002,00014,0ZP = P(-1,5 < Z < 1,5)

=2 P(0 < Z < 1,5) = (2)(0,4332) = 0,8664 ( pela simetria da Normal)

Logo, P(0,0014 < X < 0,0026) = 0,8664 (≈ 86,7%)


8


c) Que desvio-padrão do diâmetro é necessário para que a probabilidade do item (b) seja

0,995?

Do item (b) quer:

P(0,0014 < X < 0,0026) =

0006,00006,0002,00026,0002,00014,0ZPZP

=0,995 81,20006,0

9975,00006,0

ZP

000214,081,2

0006,0

Questão 9: (0,5 pts) Uma impressora de alta capacidade imprime páginas com pequenos erros

de qualidade de impressão, em um teste de 1.000 páginas de texto, de acordo com uma

distribuição de Poisson, com média de 0,4 por página. Aproxime a probabilidade de mais de 350

páginas conterem erros (um ou mais).

Solução:

X: no de erros por pagina; X ~ Pois(0,4),

Então a probabilidade de um ou mais erros por página é: P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,67 =0,33,

pois P(X = 0) = 670,0!0

4,0 4,004,0

ee

Agora, defina Y: numero de paginas com mais ou um erros

Y ~ Bin (1000; 0,33)

E E(Y) = np = (1000)(0,33) = 330 e Var(Y) = np(1-p)= (1000)(0,33)(0,67) = 221,1, ou seja,

dp(Y)=14,869

Dessa maneira, podemos utilizar que a variável com um ou mais erros por página pode ser

aproximada por uma Normal com média 330 e desvio-padrão 14,869, ou seja,

Y ≈ N(330; 14,869)

Para preservar a continuidade,

P(Y > 350) ≈

869,14

3305,350ZP P(Z > 1,38) = 0,5 – P(0< Z < 1,38) = 0,5 – 0,4162 = 0,0838

(8,38%)


9


Questão 10: (0,5 pts) O tempo que uma célula leva para se dividir (processo chamado de mitose)

é normalmente distribuído com um tempo médio de uma hora e um desvio-padrão de 5 minutos.

Solução:

X: tempo par a célula se dividir, em minutos; X ~ N(60; 5),

a) Qual é a probabilidade de uma célula se dividir em menos de 45 minutos?

P(X < 45) =

5

6045ZP = (Z < - 3) = P(Z > 3) = 0,5 – P(0 < Z < 3) = 0,5 – 0,4987 = 0,0013

b) Qual é a probabilidade de uma célula levar mais de 65 minutos para se dividir?

P(X > 65) =

5

6065ZP = P(Z > 1) = 0,5 – P(0 < Z < 1) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587

c) Em que tempo, aproximadamente, 99% de todas as células completaram a mitose?

P(X > x) = 0,99 P(Z > z) = 0,99 P(Z < z) = 0,01 = P(Z > z) = 0,01

P(0 < Z < z) = 0,49 z = 2,33 e por simetria, z = -2,33

zx

xz x = (-2,33)(5) + 60 = 48,35 minutos.

Isso significa que 99% das células completam a mitose em 48,35 minutos.

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