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CAPíTULO 5

Sequências e Séries de Funções

1. Comutatividade de Limites

O problema em questão aqui é a troca da ordem de limites que, em geral,não é equivalente.

Definição 5.1. Seja {fn}, n = 1, 2, . . ., de�nidas num conjunto E.Dizemos que fn converge pontualmente em E, Se existe uma função f tam-bém de�nida em E, tal que

∀x ∈ E limn→∞

fn(x) = f(x).

Uma pergunta natural é a seguinte: que propriedades de fn são herdadaspela f .

Exemplo. Seja

sn,m =m

m+ nEntão

limm→∞

sn,m = 1 = sn,∞

e então limn→∞ sn,∞ = 1.Por outro lado,

limn→∞

sn,m = 0 = sn,∞

e, neste caso, limm→∞ = 0.

2. Convergência Uniforme

Definição 5.2. Dizemos fn converge uniformemente para f em um con-junto E, se dado ε > 0 existe N , tal que se

n > N ⇒ |fn(x)− f(x) ≤ ε, ∀x ∈ E.Dizemos que a série

∑∞n=1 fn converge uniformemente, se as sequências das

paricias converge uniformemente.

Teorema 5.1 (Critério de Cauchy). Uma sequência de funçòes fn de�nidasnum conjunto E converge uniformemente se, e somente se, for Cauchy, i.e.,∀ ε > 0 existe N tal que n ≥ N implica |fn(x)− f(x)| ≤ ε, ∀x ∈ E.

Demonstração. Suponhq que fn convirja uniformemente para f . SejaN , tal que n > N temos

|fn(x)− f(x) < ε/2.

45

46 5. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES

Temos então que, para n,m ≥ N

|fn(x)−fm(x)| = |fn(x)−f(x)+f(x)−fm(x)| ≤ |fn(x)−f(x)|+|fm(x)−f(x) = ε.

Reciprocamente, se vale a condição de Cauchy, então para cada x ∈ R, temosque fn(x) é uma sequência de Cauchy e portanto converge para um númeroque denotaremos por f(x). Mas então, dado ε > 0 seja N tal que n > Ntemos

|fn(x)− fm(x)| < ε.

Fazendo m→∞, temos o resultado. �

Proposição 5.1. Seja fn uma sequência de funções em E e suponhaque

limn→∞

fn(x) = f(x).

Seja

Mn = supx∈E|fn(x)− f(x)|.

Então fn converge uniformemente se, e somente se, Mn → 0.

Demonstração. Imediata da de�nição de convergência uniforme. �

Teorema 5.2 (Teste M deWierstrass). Seja fn uma sequência de funçõesreais de�nidas em um conjunto E. Suponha que exista Mn ≥ 0, tal quefn(x) ≤Mn, ∀x ∈ E. Se

∑nMn for convergente, então

∞∑n=n0

fn

converge uniformemente.

Demonstração. Se l ≥ k, então

‖k∑

n=n0

fn −l∑

n=n0

fn‖∞ = ‖l∑

n=k+1

fn‖∞ ≤l∑

k+1

Mn < ε.

�

3. Convergência Uniforme e Continuidade

Teorema 5.3. Seja fn → f uniformemente em um conjunto E de umespaço métrico. Seja x um ponto limite de E e suponha que

limy→x

fn(y) = An.

Então An converge e

limn→∞

limy→x

fn(y) = limy→x

limn→∞

fn(y).

3. CONVERGÊNCIA UNIFORME E CONTINUIDADE 47

Demonstração. Dado ε > 0, seja N tal que, se n,m > N temos então

|fn(y)− fm(y)| < ε, ∀y ∈ E.Fazendo y → x, obtemos

|An −Am| < ε.

Portanto, An é Cauchy e converge, para A digamos. Tomando n > N demaneira que

|fn(y)− f(y)| < ε

3, ∀y ∈ E,

Então, em particular, temos |An −A| < ε/3. Seja δ > 0, tal que

|y − x| < δ ⇒ |fn(y)−An| < ε/3.

Combinamos essas estimativas, obtemos:

|f(y)−A| ≤ |f(y)− fn(y)|+ |fn(y)−An|+ |An −A| = ε.

�

Corolário 5.1. Se fn ∈ C(E) e fn → f uniformemente, então f ∈C(E).

Definição 5.3. Se E for um espaço métrico, de�nimos o conjunto

BC(E) = {f : E → R|fn é contínua e limitada} .Dado f ∈ BC(E), seja

‖f‖∞ = sup−x ∈ E|f(x)|.

Proposição 5.2. O espaço (BC(E), ‖ · ‖∞) é um espaço vetorial nor-mado completo.

Demonstração. Deixamos o leitor veri�car que BC(E) é um espaçovetorial, bemo como que

(1) ‖f‖∞ ≥ 0 e ‖f‖∞ = 0 se, e somente se, f ≡ 0.(2) se c ∈ R, então ‖cf‖∞ = |c|‖f‖∞.

Por outro lado,

supx∈E|f(x) + g(x) ≤ sup

x∈E|f(x)|+ |g(x)| ≤ sup

x∈E|f(x)|+ sup

x∈E|g(x)|,

onde a última desigualdade vale apenas por que estamos tomando o supde quantidades positivas. Com isso concluímos que BC(E) é um espaçovetorial normado com a norma uniforme. Finalmente, o teorema 5.3 mostraque BC(E) é completo. �

Teorema 5.4. Seja K um compacto e suponha que

(1) fn seja uma sequência de funções contínuas;(2) fn → f pontualmente, com f contínua;(3) fn(x) ≥ fn+1(x), x ∈ K.

Então fn → f uniformemente.

Demonstração. �


4. Integração e Diferenciação sob Convergência Uniforme

Teorema 5.5. Seja fn : [a, b] → R, com fn integrável a Riemann.Suponha que fn → f uniformemente. Então f é Riemann integrável e

limn→∞

∫ b

afn(x) dx =

∫ b

af(x) dx.

Teorema 5.6. Seja fn : [a, b] → R diferenciáveis e tais que f ′n con-verge uniformemente. Suponha que existe x0 ∈ [a, b] tal que fn(x0) sejaconvergente. Então existe f diferenciável tal que fn → f uniformemente ef ′n→ f ′.

5. Equicontinuidade

Teorema 5.7. Seja fn : E → R, uma sequência de funções pontualmentelimitadas, onde E é enumerável. Então existe uma subsequência fnk queconverge pontualmente em E

Definição 5.4. Dizemos que uma família F de funções reais de�nidasem E é equicontínua, se dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε, ∀x, y ∈ E, ∀f ∈ F

Teorema 5.8. Seja fn uma família de funções reais de�nidas num es-paço métrico compacto K. Se fn converge uniformemente para f , então fné equicontínua.

Teorema 5.9 (Arzelá-Ascoli). Seja F uma famíla equicontína de funçõesreais de�nidas num espaço métrico compacto K. Seja fn ⊂ K, tal que fnseja limitado pontualmente Então

(1) fn é uniformemente limitado;(2) Existe nk tal que fnk converge uniformemente.

6. Teorema de Stone-Weierstrass

Teorema 5.10 (Weierstrass). Seja f : [a, b]→ R contínua. Então existeuma sequência de polinômios Pn tais que Pn → f uniformemente.

Demonstração. Sem perda de generalidade, [a, b] = [0, 1]. Além disso,também sem perde de generalidade, podemos supor que f(0) = f(1) = 0 e,adicionalmente, supor que f é nula fora do intervalo [0, 1]. Com isso, temosque f é uniformemente contínua em R. Seja

Qn(x) = cn(1− x2)n, n = 1, 2, 3, . . . ,

onde cn é tal que ∫ 1

−1Qn(x) dx = 1.

6. TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS 49

Então ∫ 1

−1(1− x2)n dx = 2

∫ 1

0(1− x2)n dx ≥

∫ 1/n

0(1− x2)n dx

≥∫ 1/

√n

0(1− nx2) dx

≥ 43√n

>1√n

Portanto,cn <

√n.

Portanto, se 0 < δ ≤ 1, temos que

|Qn(x)| ≤√n(1− δ2)n, δ ≤ |x| ≤ 1.

Com isso, concluímos que Qn → 0 uniformemente.Seja

Pn(x) =∫ 1

−1f(x+ t)Qn(t) dt.

Vamos mostrar que Pn → f , uniformemente em [0, 1]. De fato, dado ε > 0seja δ > 0, tal que |f(x)− f(y)| < ε/2, se |x− y| < δ, x, y ∈ R e seja M talque |f(x) < M , x ∈ R. Então

|Pn(x)− f(x)| =˛Z 1

0

f(x+ t)Pn(t) dt− f(x)

˛=

˛Z 1

−1

(f(x+ t)− f(x))Qn(t) dt

˛≤Z 1

−1

|f(x+ t)− f(x)|Qn(t) dt

=

Z δ

−1

|f(x+ t)− f(x)|Qn(t) dt+

Z δ

−δ|f(x+ t)− f(x)|Qn(t) dt+

Z 1

δ

|f(x+ t)− f(x)|Qn(t) dt

≤ 2M√n(1− δ2)n +

ε

2+ 2M

√n(1− δ2)n

= 4M√n(1− δ2)n +

ε

2

Mas 4M√n(1 − δ2)n < ε/2, se n for su�cientemente grande e, neste caso,

temos ‖Pn − f‖∞ < ε.Para ver que Pn é de fato um polinômio, observe que, como f se anula

fora de [0, 1] e fazendo uma troca de variáveis obtemos:

Pn(x) =∫ 1

−1f(x+t)Qn(t) dt =

∫ 1−x

−xf(x+t)Qn(t) dt =

∫ 1

0f(t)Qn(t−x) dt,

que claramente é um polinômio em x. �

Vamos agora provar uma versão mais geral. No que se segue, K é umespaço métrico compacto e todas as funções tomam valores reais.


Observe que C(K) tem varias estruturas associadas: (C(K), ‖ · ‖∞ é umespaço vetorial normado completo (Espaço de Banach). Além disso, C(K)também pode ser visto com um anel, já que fg ∈ C(K), se f, g ∈ C(K) e,por conta disso, podemos ver C(K) também como um álgebra. Finalmente,de�nimos f ∨ g(x) = max(f(x), , g(x)) e f ∧ g(x) = min(f(x), g(x)). Então,se f, g ∈ C(K), também temos f ∨g, f ∧g ∈ C(K). Neste caso, dizemos queC(K) é um reticulado.

Proposição 5.3 (Dini estendido). Seja R ⊂ C(K) um reticulado esuponha que

h(x) = inff∈R

f(x),

seja contínua. Então, dado ε > 0, existe g ∈ L tal que 0 ≤ g(x)− h(x) < ε,x ∈ K.

Demonstração. Dado ε > 0 e x ∈ K, existe fx tal que

fx(x)− h(x) <ε

3.

Como h e fx são contínuas, existe δx > 0, tal que

y ∈ Bδx(x)⇒ |fx(y)− fx(x)| < ε

3e |h(y)− h(x) <

ε

3.

Então, se y ∈ Bδx(x), temos

|fx(y)− h(y)| ≤ |fx(y)− fx(x)|+ |fx(x)− h(x)|+ |h(x)− h(y)| < ε.

Como K é comptacto, existem x1, . . . , xN ∈ K tais que

K ⊂N⋃i=1

Bδi(xi).

Seja

f = fx1 ∧ fx2 ∧ · · · ∧ fxN .Então, dado x ∈ K, temos x ∈ Bδi(xi) para algum i e, neste caso:

f(x)− h(x) ≤ fxi(x)− h(x) < ε.

�

Definição 5.5. Dizemos que uma família de funções F :(1) separa pontos em K, se ∀x1, x2 ∈ K, com x1 6= x2, existe f ∈ F

tal que f(x1) 6= f(x2);(2) a�m, se f ∈ F e c ∈ R implica c+ f, cf ∈ F .

Lema 5.1. Seja F uma família de funções reais de�nidas num conjuntoE, que separe pontos e que seja a�m. Então, dados x1, x2 ∈ E e c1, c2 ∈ R,existe f ∈ F tal que f(x1) = c1 e f(x2) = c2.

6. TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS 51

Demonstração. Como F separa pontos, seja g tal que g(x1) 6= g(x2).Seja

f(x) =c1 − c2

g(x1)− g(x2)g(x) +

c2g(x1)− c1g(x2)g(x1)− g(x2)

.

Então f ∈ F por e temos: f(x1) = c1 e f(x2) = c2.�

Proposição 5.4. Seja R ⊂ C(K) um reticulado, que separe pontos eque seja a�m. Então, dados números reais a ≤ b, x ∈ K e F ⊂ K fechado,com x 6∈ F , temos que existe f ∈ R tal que f ≥ a e, além disso: f(x) = a ef(y) > b, y ∈ F .

Demonstração. Pelo lema 5.1, temos que, dado y ∈ F , existe gy ∈ Rtal que gy(x) = ae gy(y) = b+ 1. Por continuidade, existe δy > 0 tal que, sez ∈ Bδy(y), então gy(z) > b. Como F é compacto, temos que existem yi, gie δi, i = 1, . . . , N tais que

K ⊂N⋃i=1

Bδi(yi)

Sejag = g1 ∨ g2 ∨ · · · ∨ gN .

Então g(x) = a e g(y) > b, y ∈ F . Mas então,

f = g ∨ aé a função desejada. �

Teorema 5.11. Seja R ⊂ C(K) um reticulado que separe pontos e queseja a�m. Então R = C(K).

Demonstração. Seja g ∈ C(K) e seja M = ‖g‖∞. Como R é a�m, Rcontém as constantes. Assim, o conjunto

R′ = {f ∈ R|f ≥ g.}é um reticulado não vazio.

Se mostrarmos que

(3) g(x) = inff∈R′

f(x),

então o resultado segue pela proposição 5.3.Para mostrar (3), �xe x ∈ K e seja η > 0 dado. Seja

F = {y ∈ K|g(y) ≥ g(x) + η}Como g é contínua, F é fechado.

Pela proposição 5.4, existe f ∈ R tal que f(x) = g(x) +η, f ≥ g(x) +η ef(y) > M , y ∈ F . Mas então, f ≥ g e, portanto f ∈ R′. Como o argumentovale para todo η > 0, concluímos (3) e temos o resultado. �

Lema 5.2. Seja B = A, onde A ⊂ C(K) é uma álgebra. Então B é umaálgebra uniformemente fechada.


Demonstração. B é fechado pois é o fecho de A e é uma álgebra emdecorrência dos resultados do exercício 2. �

Lema 5.3. Existe uma sequência de polinômios Pn tal que Pn(x) → |x|uniformemente em [−1, 1].

Demonstração. Seja Qn(t) a n-ésima parcial da série binomial de (1−t)1/2. Então Qn converge uniformemente para 0 < t < 1 e Pn(x) = Qn(1 −x2) é um polinômio em x que converge uniformemente para |x| em [−1, 1]. �

Teorema 5.12 (Stone-Weierstrass). Seja K um espaço métrico com-pacto e A ⊂ C(K) um álgebra que separe pontos e que contém as constantes.Então A é densa em C(X).

Demonstração. Pelo lema 5.2, temos que A é uma álgebra uniforme-mente fechada. Seja f ∈ A, com ‖f‖∞ ≤ 1. Pelo lema 5.3, temos que existePn tal que

||f(x)| − Pn(f(x))| < ε.

Como A é uma álgebra, temos Pn(f) ∈ A e, portanto, |f | é ponto limite deA, logo |f | ∈ A. Mas, se f ∈ A, então f/‖f‖∞ tem norma unitária e, peloargumento anterior, temos |f |/‖f‖ ∈ A. Assim, concluímos que |f | ∈ A,sempre que tivermos f ∈ A.

Por outro lado,

f ∨ g =f + g + |f − g|

2;

f ∧ g =f + g − |f − g|

2.

Assim, tanto f ∨ g e f ∧ g estão em A e concluímos que A é um reticuladoque separa pontos. Como A contém as constantes, A é um retículado a�m.Portanto, o resultado segue do teorema 5.11.

�

Recordamos que dado um anel comutativo R, dizemos que J é um idealde R se

(1) f + g e −f estão em J , se f, g ∈ J .(2) Se f ∈ R e g ∈ J , então fg ∈ J .

Se denotarmos o conjunto dos zeros de f por Zf , lembramos que Zf é fechadose f for contínua. De�nimos então

Z(J) =⋂f∈J

Zf .

Se J ⊂ C(X), então Z(J) é fechado. Também, se J ′ ⊂ J , então Z(J ′) ⊃Z(J).

Uma pergunta natural é o quanto Z(J) caracteriza em J . Um resultadofamoso, usualmente provados nos cursos de geometria algébrica, é Nusten-llensatz de Hilbert: se R for o anel de polinômios complexos em n variáveise j for um ideal de R, então se f ∈ R e f se anula em Z(J), então fm ∈ J ,

7. DIFERENCIABILIDADE E CATEGORIA DE BAIRE 53

para algum inteirom. Vamos então provar um resultado análogo paa funçõescontínuas.

Teorema 5.13. Seja K um espaço métrico compacto e J ⊂ C(K), umideal fechado de R. Se f ∈ R se anula em Z(J), então f ∈ J .

Demonstração. Seja G = (x ∈ K||f(x)| < ε.Seja F o complementarde U . Então F é fechado, portanto compacto. Como Z(J) ⊂ Zf ⊂ G, temosque para cada y ∈ F , existe gy ∈ J , tal que gy(y) 6= 0. Pela continuidade degv, existe δy > 0 tal que gy(z) 6= 0, se z ∈ Bδy(y). Pela compacidade de F ,existem y1, . . . , yN ∈ F , tais que gi ∈ J e δi > 0 tais que gi 6 0 em Bδi(yi),i = 1, . . . , N . Seja

g = g21 + . . . g2

N .

Então g > 0 em F e g ≥ 0 em K. Como F é compacto, temos g ≥ m > 0em F . Mas então

n

1 + ng∈ C(K)⇒ ng

1 + ng∈ J,

pois J é um ideal de C(K). Mas em F , ng(1+ng)−1 converge uniformementepara 1. Logo

fng

1 + ng→ f, uniformemente em F.

Em G, temos

|f(x)− f(x)ng1 + ng

| ≤ |f(x) + |f(x)|| ng

1 + ng| ≤ 2ε.

Assim, f ∈ J = J , pois J é fechado.�

7. Diferenciabilidade e Categoria de Baire

Seja K = [a, b] e seja

D = {f ∈ C(K)|f é diferenciável em algumx ∈ K} .

De�nimos também

An,m ={f ∈ C(K)|∃x ∈ K,

∣∣∣∣f(t)− f(x)t− x

∣∣∣∣ ≤ n, 0 < |t− x| < 1m

}Lema 5.4. Se f ∈ D, então f ∈ An,m para algum n e m.

Demonstração. Seja x ∈ K tal que f seja diferenciável. Tome n >f ′(x). Então, existe δ > 0 tal que∣∣∣∣f(t)− f(x)

t− x

∣∣∣∣ ≤ n, 0 < |t− x| < δ.

Tome m tal que 1/m < δ. Então f ∈ An,m. �

Lema 5.5. Cada An,m é fechado


Demonstração. Seja f ∈ C(K) tal que fi → f uniformemente, fi ∈An,m. Para cada i, existe xi ∈ K tal que∣∣∣∣fi(t)− fi(x)

t− xi

∣∣∣∣ ≤ n, 0 < |t− xi| < δ.

ComoK é compacto, existe uma subsequência convergente de (xi). Passandoa uma subsequência, podemos supor que xi → x ∈ K, ainda com fi →f uniformemente. Mas se |t − x| < 1/m, temos |t − xi| < 1/m, para isu�cientemente grande e como

limi→∞

∣∣∣∣fi(t)− fi(x)t− xi

∣∣∣∣ =∣∣∣∣f(t)− f(x)

t− x

∣∣∣∣temos que f ∈ An,m. �

Lema 5.6. Cada An,m tem interior vazio. Em particular, cada An,m édenso em lugar algum.

Demonstração. Seja f ∈ An,m e seja ε > 0 dado. Pelo exercício 24,temos que existe p ∈ LP (K) tal que ‖f − p‖∞ < ε/2. Como p é linear porpartes, p é diferenciável exceto num número �nito e pontos e p′ é constantepor partes. Seja M , tal que |p′(x)| < M , sempre que p for diferenciável.Dado N positivo, seja κ = N(b−a) e seja xi = a+ i/κ, i = 1, . . . , N . De�na

φ(x) ={

0, i par;1, i ímpar.

Então ‖φ‖∞ = 1 e φ′(x) = ±κ, sempre que φ for diferenciável. Seja

g = p+ε

2φ.

Então

‖f − g‖∞ ≤ ‖f − p‖ −∞+ε

2‖φ‖∞ < ε.

Tomando N su�cientemente grande, podemos supor que

κ >2(M + n)

ε.

Mas então, se g for diferenciável em x, temos

|g′(x)| = |p′(x)± κε

2≥ n.

Em particular, tomando l grande o su�ciente tal que g restrito a [x−1/l, x+1/l é linear e g′(x) > n. Mas então, g 6∈ An,l. Mas, para l > m, temosAn,l ⊃ An,m. Logo g 6∈ An,m.

�

Teorema 5.14. D é um conjunto magro em C(K). Em particular, ex-istem funções contínuas que não são diferenciáveis em lugar algum.

8. EXERCÍCIOS 55

Demonstração. Seja

A =∞⋃n=1

∞⋃m=1

An,m.

Então A é magro (primeira categoria). Como D ⊂ A, então D também émagro.

Como C(K) é de segunda categoria, pelo teorema de Baire, a inclusãode D em C(K) é estrita. �

8. Exercícios

(1) Prove que toda sequência uniformemente convergente é uniforme-mente limitada.

(2) Se fn e gn convergirem uniformemente num conjunto E, mostre quefn + gn convergem uniformemente em E. Adicionalmente, se fn egn forem sequências de funções limitadas, prove que fngn convergeuniformemente em E.

(3) Encontre sequências fn e gn que convirgam uniformemente em al-gum conjunto E, mas que fngn não converge uniformemente emE.

(4) Considere

f(x) =∞∑n=1

11 + n2x

(a) Para que valores de x a série converge absolutamente?(b) Em que intevarlos a série converge uniformemente?(c) Em que intevarlos a série não converge uniformemente?(d) f é contínua, sempre que a série converge?(e) f é limitada?

(5) Seja

fn(x) =

0, x < 1

n+1

sen2(π/x), 1n+1 ≤

1n

0, x < 1n .

Mostre que fn converge para uma função contínua, porém não uni-formemente. Use a série σfn para mostrar que mesmo convergêciaabsoluta ∀x, não garaten convergência uniforme.

(6) Prove que as série∞∑n=1

(−1)nx2 + n

n2

converge uniformemente em qualquer intervalo limitado, mas quenão converge absolutamente para qualquer valor de x.

(7) Seja

fn(x) =x

1 + nx2.


Mostre que fn converge uniformemente para uma função f , e quetemos

limn→∞

f ′n(x) = f ′(x),

para x 6= 0.(8) Seja

I(x) ={

0, x ≤ 01, x > 0.

Seja também um sequência de pontos xn distintos do intervalo (a, b)e cn uma sequência de números reais tais que

∑|cn| converge.

Mostre que

f(x) =∑−n = 1∞cnI(x− xn), a ≤ x ≤ b

converge uniformemente e que f é contínua, exceto em x = xn.(9) Seja fn uma sequência de funções contínuas que converge uniforme-

mente para f num conjunto E. Seja xn uma sequência, tal quexn → x ∈ E. Mostre que

limn→∞

fn(xn) = f(x).

(10) Seja fn, gn de�nidas em E e tais que:(a)

∑fn tenha somas parciais uniformemente limitadas;

(b) gn → 0 uniformemente;(c) g1(x) ≥ g2(x) ≥ g3(x) ≥ · · · .Prove que

∑fngn converge uniformemente em E.

(11) Suponha que g e fn são de�nidas em (0,∞) são integráveis a Rie-mann em [a, b], para 0 < a < b < ∞. Suponhe que |fn| ≤ g e quefn → f uniformemente em todo subconjunto compacto de (0,∞).Suponha também que∫ ∞

0g(x) dx <∞.

Mostre que

limn→∞

∫ ∞0

fn(x) dx =∫ ∞

0f(x) dx.

(12) Seja fn uma sequência de funções de funções crescentes em R, com0 ≤ fn ≤ 1.(a) Mostre que existe f e uma sequência nk tal que

f(x) = limk→∞

fnk(x).

Este resultado é conhecido como teorema de seleção de Helley.(b) Se, adicionalmente, f for contínua, então fnk → f uniforme-

mente. Esse resultado é conhecido com o teorema de Dini.(13) Seja f : R → R contínua e tal que a família fn(x) = f(nx), n =

1, 2, 2, 3, . . ., seja equicontínua. Que conclusões sobre f conseguimostirar?

8. EXERCÍCIOS 57

(14) Seja fn a uma sequência equicontínua de funções de�nidas numconjunto compacto K, tal que fn converge pontualmente em K.Então fn converge uniformemente.

(15) Provas gerais de teoremas variados(16) Seja fn uma sequência de funções reais de�nidas em [a, b], inte-

gráveis a Riemann. Seja

Fn(x) =∫ x

afn(t) dt, a ≤ x ≤ b.

Mostre que existe uma subsequência Fnk que converge uniforme-mente em [a, b].

(17) Seja K um espaço métrico compacto. Um subconjunto S ⊂ C(K) écompacto se, e somente se, S for uniformemente fechado, equicon-tínuo e pontualmente limitado,

(18) Seja f integrável a Riemann. em [a, b]. Mostre que existem polinômiosPn tais que

limn→∞

∫ b

a|f(x)− Pn(x)|2 dx = 0

(19) Seja (X, d) um espaço métrico. Fixe um ponto a e para cada passocie a função

fp(x) = d(x, p)− d(x, a).

Então(a) Mostre que |fp(x)| ≤ d(a, p); conclua que cada fp é contínua.(b) Mostre que ‖fp − fq‖∞ = d(p, q); conclua que a aplicação

Φ(p) = fp é uma isometria de X em Φ(X) ⊂ C(X).(c) Seja Z o fecho de Φ(X). Mostre que Z é completo.(d) Conclua que X é isométrico a conjunto denso de um espaço

completo.(20) Seja F uma família equicontínua de funções. Seja F+ a família

de limites pontuais de F . Mostre que F+ também é uma famíliaequicontínua.

(21) Uma função em [0, 1] é dita contínua a Holder de ordem α, se existeuma constante C tal que

|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|α.

De�na

‖f‖α = max |f(x)|+ sup|f(x)− f(y)||x− y|

.

Para 0 < α ≤ 1, seja Bα = [f ∈ C([0, 1]|‖f‖α ≤ 1]. Mostre que Bαé um subconjunto compacto de C([0, 1]).


(22) Seja f uma função real, contínua de período 2π. Mostre que, dadoε > 0, existe uma série de Fourier �nita dada por

ϕ(x) = a0 +n∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] ,

tal que‖f − ϕ‖∞ < ε.

(23) Seja

f(x) =∞∑n=0

an(x− x0)n, x ∈ R.

(a) Mostre que ou a série converge pontualmente apenas para x0,ou converge num aberto contendo x0 (que pode ser a reta toda).Encontre uma expressão para o raio de convergência.

(b) Mostre que, dentro do raio de convergência, a série convergeuniformemente.

(c) Indique f (k) a série derivada k-vezes termo a termo. Mostreque f (k) tem o mesmo raio de convergência de f , e que convergeuniformemente dentro desse raio. Conclua que f ∈ C∞.

(d) Encontre uma expressão para os an's em termos das derivadasde f .

(24) Seja LP ([a, b]) o conjunto de funções de�nidas em [a, b] que sãolineares por partes. Mostre que PL([a, b]) é denso em C([a, b]).

(25) Estenda o teorema de Weierstrass para o hipercubo em Rn.(26)

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