5.Vetores - alexbrasil.com.bralexbrasil.com.br/_upload/ec7b423b03362113c421be2fc1d80011.pdf · A multiplicação de um vetor V por um escalar , V, é determinada pelo vetor que possui

Geometria Analítica e Álgebra Linear

01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil

85

5.Vetores

Vetores no Plano e no Espaço

Existem dois tipos de grandeza: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares.

Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais ou simplesmente vetores.

Relembramos que o sistema dos números reais pode ser visualizado como uma reta L, que colocamos geralmente em posição horizontal. Escolhe-se um ponto O, chamado de origem; o correspondente ao número 0. Um ponto A é escolhido à direita de O, fixando desta maneira o comprimento de AO como sendo 1 e especificando uma direção positiva. Assim, os números reais positivos ficam à direita de O; os negativos ficam à

esquerda de O.

O valor absoluto x do número real x é definido por

0

0

xsex

xsexx

Assim, 33 , 22 , 00 , 3232 , 82,182,1 .

O número real x que corresponde ao ponto P é chamado de coordenada de P, e o ponto P cuja coordenada é x é representado por )(xP . A reta L é chamada de um eixo coordenado. Se P está à direita de O, então sua coordenada é o comprimento do seguimento OP. Se Q está à esquerda de O, então sua coordenada é o negativo do comprimento do seguimento OQ. A distância entre os pontos P e Q, com coordenadas ae b respectivamente é ab .

Fig. 5.1



86

Vetores

Geometricamente, vetores são representados por segmentos (de retas) orientados (um segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo) no plano ou no espaço. A ponta da seta do seguimento orientado é chamada ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo é chamado de ponto inicial ou origem do segmento orientado. A direção e o sentido do seguimento orientado identifica a direção e o sentido do vetor. O comprimento do seguimento orientado representa a magnitude do vetor.

Dois ou mais seguimentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor. Na figura (5.2) todos os seguimentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo comprimento de AB, representam o mesmo vetor, que será indicado por

AB ou AB

onde A é a origem e B é a extremidade do seguimento. O vetor também costuma ser

indicado por uma letra minúscula encimada por uma flecha, tal como

v .

Fig. 5.2

Quando escrevemos ABv figura (5.3), estamos afirmando que o vetor

v é determinado pelo seguimento orientado AB. Porém qualquer outro seguimento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o

mesmo vetor

v . Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem

de um segmento orientado que é representante do vetor

v . Esta é a razão de o vetor também ser chamado vetor livre, no sentido de que o representante pode ter sua origem em qualquer ponto P do espaço.

origem

extremidade Fig. 5.3 ABv

O módulo, a direção e o sentido de um vetor

v é o módulo, a direção e o sentido de

qualquer um dos seus representantes. Indica-se o módulo de

v por

v ou

v .

A

B

v B

A



87

Casos Particulares de Vetores

v

w

Fig. 5.4

b) Dois vetores

u e

v são iguais, e indica-se por

vu , se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido.

c) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é

indicado por

0 ou AA (a origem coincide com a extremidade). Pelo fato deste vetor não possuir direção e sentido definidos, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor.

v

u

-

u

Fig. 5.6

a) Dois vetores

u e

v são paralelos, e indica-se por

u //

v , se os seus representantes tiverem a mesma direção. Na

figura (5.4), tem-se

u //

v //

w , onde

u e

v têm o mesmo

sentido, enquanto

u e

v , têm sentido contrário de

w .

u

e) Um vetor

u é unitário se 1

u . A cada vetor

v ,

0v , é

possível associar dois vetores unitários de mesma direção de

v :

u e -

u (figura 5.6). Nesta figura, tem-se 3

v e

1

uu . O vetor

u que tem o mesmo sentido de

v é

chamado versor de

v . Na verdade o vetor

u não é versor só

de

v , mas sim de todos os vetores paralelos e de mesmo

sentido de

v e medidos com a mesma unidade.

f) Dois vetores

u e

v (figura 5.7) são ortogonais, e

indica-se por

u

v , se algum representante de

u

formar ângulo reto com algum representante de

v . Fig. 5.7 (a)

v

d) A cada vetor não nulo

v corresponde um vetor oposto -

v , de

mesmo módulo e mesma direção de

v , porém, de sentido

contrário (figura 5.5). Se

ABv , o vetor

BA é o oposto de

AB , isto é,

ABBA .

v -

v

Fig. 5.5



88

Fig. 5.8

Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar

A soma, V + W, de dois vetores V e W é determinada da seguinte forma:

- tome um segmento orientado que representa V;- tome um segmento orientado que representa W, com origem na extremidade de

V;- o vetor V + W é representado pelo segmento orientado que vai da origem de V

até a extremidade de W.

Fig. 5.9 VWWV Fig. 5.10 UWVUWV )()(

Da figura 5.9, deduzimos que a soma de vetores é comutativa, ou seja,

V + W = W + V;

A figura 5.7 (a) apresenta dois representantes de

u e

vcom origem no ponto A, formando ângulo reto.Considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor.

g) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados. É importante

observar que dois vetores

u e

v quaisquer são sempre coplanares, pois basta considerar um ponto P no espaço e, com origem nele, traçar os dois

representantes de

u e

v pertencendo ao plano (figura 5.8) que passa por aquele ponto.

v

u

Fig. 5.7 (b)

v



89

para quaisquer vetores V e W. Observamos também que a soma V + W está na diagonal do paralelogramo determinado por V e W, quando estão representados com a mesma origem. Da figura 5.10, deduzimos que a soma de vetores é associativa, ou seja,

V + (W + U) = (V + W) + U,

para quaisquer vetores V, W e U.

O vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremidade é chamado vetor nulo

e denotado por . Segue então, que

V + = + V = V,

para todo vetor V.

Para qualquer vetor V, o simétrico de V, denotado por - V, é o vetor que tem mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário ao de V. Segue então, que

V + (- V) = .

Definimos a diferença W menos V, por

W - V = W + (- V).

Segue desta definição, que

W + (V - W) = (V - W) + W = V + (- W + W) = V + = V.

Assim, a diferença V - W é um vetor que somado a W dá V, portanto ele vai da extremidade de W até a extremidade de V, desde que V e W estejam representados por segmentos orientados com a mesma origem.

Fig. 5.11 - A diferença V – W



90

A multiplicação de um vetor V por um escalar , V , é determinada pelo vetor que possui as seguintes características:

(a) é o vetor nulo, se 0 ou

0V ,(b) caso contrário,

(i) tem comprimento | | vezes o comprimento de V; (ii) a direção é a mesma de V (neste caso, dizemos que eles são paralelos); (iii) tem o mesmo sentido de V, se > 0 e

tem o sentido contrário ao de V, se < 0.

Se W = V, dizemos que W é um múltiplo escalarde V. É fácil ver que dois vetores não nulos sãoparalelos (ou colineares) se, e somente se, um éum múltiplo escalar do outro.

Ângulo de Dois Vetores

Fig. 5.12 - Multiplicação de vetor por escalar

O ângulo entre os vetores não nulos

u e

v é o ângulo formado por duas semi-retas de mesma origem O (figura 5.13), onde 0 ( em radianos) ou 1800 .

u

v

O

Fig. 5.13

Se

vu // e

u e

v têm o mesmo sentido, então 0 .

Se

vu // e

u e

v têm sentidos contrários, então .



91

O Tratamento Algébrico: Vetores no Plano

De modo geral, dados dois vetores quaisquer

1

v e 2

v não paralelos, para cada vetor

v

representado no mesmo de 1

v e 2

v , existeuma só dupla de números reais 1a e 2a tal que

2211

vavav (1)

A figura 5.14 ilustra esta situação, onde 1

v e 2

v são vetores não-paralelos quaisquer e

v é um vetor arbitrário do plano determinado por 1

v e 2

v .

Quando o vetor

v é expresso como em (1), diz-se que

v é combinação linear de 1

v e

2

v . O conjunto },{ 21

vvB é chamado base no plano. Aliás, qualquer conjunto de dois vetores não-paralelos constitui uma base no plano. Embora estejamos simbolizando a base como um conjunto, nós a pensamos como um conjunto ordenado. Então, dada uma base qualquer no plano, todo vetor desse plano é combinação linear dos vetores dessa base, de modo único.

Os números 1a e 2a da igualdade (1) são chamados componentes ou coordenadas de

v na base B ( 1a é a primeira componente e 2a a segunda componente).

O vetor

v da igualdade (1) pode ser representado também por Baav ),( 21

ou

),( 21 aavB

.

Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonornais.

Uma base },{ 21

ee é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto

é, se 21

ee e 1|||| 21

ee .

Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente importante. Trata-se da base que determinao conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy . Os vetores

ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por i e j,ambos com origem em O e extremidades em (1,0) e (0,1),

respectivamente, (figura 5.15), sendo a base },{

jiC chamada canônica. Portanto, i = (1,0) e j = (0,1).

Daqui por diante, trataremos apenas da base canônica.

22

va

11

va

2

v

1

v

v

Fig. 5.14

y

Fig. 5.15



92

Dado um vetor

v qualquer do plano (figura 5.16), existe uma só dupla de números x e ytal que

jyixv

(2)

Fig. 5.16

O vetor

v em (2) será também representado por

),( yxv

(3)

dispensando-se a referência à base canônica C. A igualdade (3) sugere a definição:

Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais.

O par (x, y) é chamado expressão analítica de

v . Para exemplificar, veja a seguir alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas:

)5,3(53 ji )0,4(4 i

)3,0(3 j )0,0(0

Obs.: A escolha proposital da base },{ ji deve-se exclusivamente à simplificação. A cada ponto ),( yxP do

plano xOy corresponde o vetor yjxiOPv

(figura 5.17). Quer dizer, as coordenadas do ponto

extremo P são as próprias componentes do vetor

OP na base canônica. Em geral, deixa-se de indicar nos eixos os vetores i e j como se vê nessa figura.

As operações com vetores podem ser definidas utilizando um sistema de coordenadas retangulares. Em primeiro lugar, vamos considerar os vetores no plano.

De acordo com as considerações feitas, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores.

Os números x e y são as componentes de

v na base canônica.

A primeira componente é chamada abscissa de

v e a segunda

componente é a ordenada de

v .

y

Fig. 5.17



93

Igualdade de Vetores

Dois vetores ),( 11 yxu

e ),( 22 yxv

são iguais se, e somente se, 21 xx e 21 yy ,

escrevendo-se

vu .

Ex.: O vetor )4,1(

xu é igual ao vetor )62,5(

yv se 51 x e 462 y , ou seja,

4x e 5y . Assim, se

vu , então 4x , 5y e )4,5(

vu .

Operações com Vetores

Sejam os vetores ),( 11 yxu

e ),( 22 yxv

e R. Define-se:

1) ),( 2121 yyxxvu

2) ),( 11 yxu

Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por este número.

As figuras 5.18(a) e 5.18(b) ilustram as definições das operações dadas acima.

Fig. 5.18(a) Fig. 5.18(b)

Considerando estes mesmos vetores, tem-se ainda:

),()1( 11 yxuu

),(),(),()( 21212211 yyxxyxyxvuvu



94

Ex.: Dados os vetores )3,2(

u e )4,1(

v , determinar

vu 23 e

vu 23 .

Sol.: )1,4()89,26()8,2()9,6()4,1(2)3,2(323

vu

)17,8()89,26()8,2()9,6()4,1(2)3,2(323

vu

Vetor Definido por Dois Pontos

Consideremos o vetor

AB de origem no ponto ),( 11 yxA e extremidade em ),( 22 yxB (figura 5.19).

De acordo com o que foi visto em (3), os vetores

OA e

OB

têm expressões analíticas: ),( 11 yxOA

e ),( 22 yxOB

.Por outro lado, do triângulo OAB , da figura, vem

OBABOA

donde

OAOBAB ou ),(),( 1122 yxyxAB

),( 1212 yyxxAB

isto é, as componentes de

AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve

ABAB

.

Fig. 5.20

É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os seguimentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido. E,

dentre os infinitos representantes do vetor

AB , o que “melhor o caracteriza” é aquele que tem origem em )0,0(O e extremidade em

),( 1212 yyxxP (figura 5.20).

O vetor

OPv é também chamado vetor posição

ou representante natural de

AB .

Fig. 5.19



95

Ponto Médio

Resolvendo em relação a x e y, temos

212 xxx e 212 yyy ou

2

21 xxx

e

221 yy

y

.

Portanto:

2,

22121 yyxx

M

Paralelismo de dois Vetores

Vimos que, se dois vetores ),( 11 yxu

e ),( 22 yxv

são paralelos, existe um

número real tal que

vu , ou seja,

),(),( 2211 yxyx ou

),(),( 2211 yxyx

pela condição de igualdade resulta em

21 xx e 21 yy

donde 2

1

2

1

y

y

x

x

Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais.

Ex.: Os vetores )3,2(

u e )6,4(

v são paralelos pois:6

3

4

2

Seja o segmento de extremos ),( 11 yxA e ),( 22 yxB (figura 5.21). Sendo ),( yxM o ponto médio de AB, podemos expressar de forma vetorial como

AM MB

ou ),(),( 2211 yyxxyyxx

e daí

xxxx 21 e yyyy 21

Fig. 5.21



96

Vetores no espaço

Vimos em Vetores no Plano que a base canônica },{ ji no plano determina o sistema cartesiano ortogonal xOy e que a um ponto ),( yxP qualquer desse plano corresponde

o vetor yjxiOP

, isto é, as próprias coordenadas x e y do ponto P são as

componentes do vetor

OP na base canônica (figura 5.17).

No espaço, de forma análoga, consideramos a base canônica},,{ kji como aquela que irá determinar o sistema cartesiano

ortogonal Oxyz (figura 5.22), onde estes três vetores unitáriose dois a dois ortogonais estão representados com origem no ponto O. Este ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou eixo dos x (das abscissas) corresponde ao vetor i, o eixoOy ou eixo dos y (das ordenadas) corresponde ao vetorj e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) corresponde ao vetor k. As setas nesta figura indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado também de eixocoordenado.

Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no espaço. Para isto, escolhemos um ponto como origem O e como eixos coordenados, três retas orientadas, passando pela origem, perpendiculares entre si. Estes serão os eixos x, y e z. O eixo z é o eixo vertical. Os eixos x e y são horizontais e satisfazem a seguinte propriedade. Suponha que giramos o eixo x pelo menor ângulo até o eixo y. Se os dedos da mão direita acompanham o eixo x durante a rotação, então o eixo z aponta no sentido do polegar. Cada par de eixos determina um plano chamado de plano coordenado. Portanto os três planos coordenados são: xy, yz e xz.

A cada ponto P no espaço associamos um terno de números (x, y, z), chamado de coordenadas do ponto P como se segue:

passe três planos por P paralelos aos planos coordenados;

a interseção do plano paralelo ao plano xy, passando por P, com o eixo z determina a coordenada z;

a interseção do plano paralelo ao plano xz, passando por P, com o eixo y determina a coordenada y;

a interseção do plano paralelo ao plano yz, passando por P, com o eixo x determina a coordenada x.

Fig. 5.22

Fig. 5.23



97

Alternativamente, podemos encontrar as coordenadas de um ponto P como segue.

Trace um reta paralela ao eixo z, passando por P;

A interseção da reta paralela ao eixo z, passando por P, com o plano xy é o ponto P’. As coordenadas de P’, (x,y), no sistema de coordenadas xy são as duas primeiras coordenadas de P.

A terceira coordenada é igual ao comprimento do segmento PP’ com o sinal negativo, se P estiver abaixo do plano xy.

Agora, estamos prontos para utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas também nas operações de vetores no espaço. Seja V um vetor no espaço. Como no caso bi-dimensional, definimos as componentes de V como sendo as coordenadas (v1, v2, v3) do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem. Escrevemos simplesmente

),,( 321 vvvV ou ),,( zyxV

Assim, as coordenadas de um ponto P são iguais as componentes do vetor

OP que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P. Em particular, o vetor nulo,

)0,0,0(0

. Assim como fizemos para vetores no plano, para vetores no espaço a soma de vetores e a multiplicação de vetor por escalar podem ser realizadas em termos das componentes.

Se V = (x1, x2, x3) e W = (y1, y2, y3), então a adição de V com W é dada por

Fig. 5.24

Fig. 5.25 - As componentes de um vetor no espaço Fig. 5.26 - As coordenadas de P são iguais as

componentes de

OP



98

),,( 332211 yxyxyxWV

Se V = (x, y, z) e é um escalar, então a multiplicação de V por é dada por

),,( zyxV

Ex.: Se V = (1, - 2, 3), W = (2, 4, - 1), então

V + W = (1 + 2, - 2 + 4, 3 + (- 1)) = (3, 2, 2), 3V = (3 . 1, 3 (- 2), 3 . 3) = (3, - 6, 9).

Quando um vetor V está representado por um segmento orientado com ponto inicial fora da origem (figura 5.27), digamos em P = (x1, y1, z1), e ponto final em Q = (x2, y2, z2), então as componentes do vetor V são dadas por

),,( 121212 zzyyxxOPOQPQV

Portanto, as componentes de V são obtidas subtraindo-se as coordenadas do ponto Q(extremidade) das do ponto P (origem). O mesmo se aplica a vetores no plano.

Ex.: As componentes do vetor V com ponto inicial P = (5/2, 1, 2) e ponto final Q = (0, 5/2, 5/2) são dadas por

PQV (0 - 5/2, 5/2 - 1, 5/2 - 2) = (- 5/2, 3/2, 1/2).

Obs.: Um vetor é “livre”, ele não tem posição fixa, ao contrário do ponto e do segmento orientado. Por exemplo, o vetor V = (- 5/2, 3/2, 1/2), no exemplo acima, estava com a origem no ponto P = (5/2, 1, 2). Mas, poderia ser representado por um segmento orientado cujo ponto inicial poderia estar em qualquer outro ponto.

Fig. 5.27 -

OPOQV



99

Considere a matriz 2 1

y

xX ,

onde x e y são números reais. Associamos a X o segmento de reta orientado com ponto inicial na origem O(0,0) e ponto final em P(x,y). O segmento de reta orientado de O a P

é representado por OP ; O é chamado sua origem (ou início) e P sua extremidade.

Um segmento de reta orientado tem uma direção, que é o ângulo que ele faz com o eixo positivo dos x, indicado pela flecha sobre o eixo. A grandeza de um segmento de reta orientado é seu comprimento.

Ex.: Seja

3

2X .

Podemos associar a X o segmento orientado com origem )0,0(O e extremidade )3,2(P , mostrado na fig. 5.29.

Reciprocamente, podemos associar a um segmento de reta orientado OP com origem )0,0(O e extremidade ),( yxP a matriz

y

x

Definição Um vetor do plano é uma matriz 2 1 ou 1 2 yxy

xX

,

em que x e y são números reais, chamamos de componentes de X. Chamamos um vetor do plano simplesmente de vetor.

P(x,y)

Eixo dos x

Eixo dos y

P(0,0)

Fig. 5.28

2

3P(2,3)

Eixo dos y

Eixo dos x

Fig. 5.29



100

Um vetor no espaço ),,( zyxv

pode também ser escrito na notação matricial como uma matriz linha ou como uma matriz coluna:

z

y

x

v ou zyxv

.

Estas noções podem ser justificadas pelo fato de que as operações matriciais

21

21

21

2

2

2

1

1

1

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

wv ,

z

y

x

z

y

x

v

ou

212121222111 zzyyxxzyxzyxwv

,

zyxzyxv

produzem os mesmos resultados que as operações vetoriais

),,(),,(),,( 212121222111 zzyyxxzyxzyxwv

,

),,(),,( zyxzyxv

.

O mesmo vale, naturalmente, para vetores no plano.

No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores e multiplicação de vetores por escalar.

Teorema: Sejam U, V e W vetores e e escalares. São válidas as seguintes propriedades:

(a) U + V = V + U;

(b) (U + V) + W = U + (V + W);

(c) U + = U;

(d) U + (- U) = ;

(e) (U) = ( )U;

(f) (U + V) = U + V;

(g) ( +)U = U + U;

(h) 1U = U.



101

Produto de Vetores

Norma e Produto Escalar

Já vimos que o comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. O comprimento de um vetor V, também chamado de norma ou módulo de V, é denotado(a) por V ou V . Segue do

Teorema de Pitágoras que a norma de um vetor é dada por

22

21 vvV ou

22 yxV

no caso em que V = (v1, v2) é um vetor no plano, e por

23

22

21 vvvV ou

222 zyxV

no caso em que V = (v1, v2, v3) é um vetor no espaço (verifique usando as figuras 5.30 e 5.31).

Um vetor de norma igual a 1 é chamado de vetor unitário. A distância entre dois pontos

P = (x1, y1, z1) e Q = (x2, y2, z2) é igual a norma do vetor

PQ (figura 5.27). Como

),,( 121212 zzyyxxOPOQPQ , então a distância de P a Q é dada por

212

212

212 )()()(),( zzyyxxPQQPdist

Fig. 5.30 - A norma de um vetor V no plano Fig. 5.31 - A norma de um vetor V no espaço



102

Analogamente, a distância entre dois pontos P = (x1, y1) e Q = (x2, y2) no plano é igual ao

módulo (norma) do vetor

PQ , que é dado por

212

212 )()(),( yyxxPQQPdist

Ex.: A norma (módulo) do vetor V = (1, - 2, 3) é

143)2(1 222 V .

A distância entre os pontos P = (2, - 3, 1) e Q = (- 1, 4, 5) é

7447)3()15())3(4()21(),( 222222 PQQPdist .

Vetor Unitário

Dado um vetor V não nulo, o vetor

é um vetor unitário na direção de V, temos que

11

VV

U

Ex.: Um vetor unitário na direção do vetor V = (1, - 2, 3) é o vetor

14

3,

14

2,

14

1)3,2,1(

14

11V

VU .

Fig. 5.32



103

Produto Escalar

Vamos definir, agora, um produto entre dois vetores, cujo resultado é um escalar. Por isso ele é chamado produto escalar. Este produto tem aplicação, por exemplo, em Física: o trabalho realizado por uma força é o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento, quando a força aplicada é constante.

Chama-se produto escalar ou interno de dois vetores kzjyixu 111

e

kzjyixv 222

e se representa por

vu , ao número real

212121 zzyyxxvu

Ex.: Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3). O produto escalar de V com W é dado por

V . W = x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0 . 2 + 1 . 2 + 0 . 3 = 2 .

Teorema Sejam U, V e W vetores e um escalar. São válidas as seguintes propriedades:

(a) U . V = V . U;

(b) U . (V + W) = U . V + U . W;

(c) (U . V) = ( U) . V = U . ( V);

(d) V . V = || V||2 0, para todo V e V . V = 0 se, e somente se, V = .

Definição Geométrica de Produto Escalar

Se V e W são vetores não-nulos e o ângulo entre eles, então

cosWVWV

cosWVWV para 1800

O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo co-seno do ângulo por eles formado.

Obs.: Dois vetores V e W são ortogonais se, e somente se, 0WV

Fig. 5.33



104

Cálculo do Ângulo de Dois Vetores

Da igualdade cosWVWV

WV

WV cos

fórmula a partir da qual se calcula o ângulo entre dois vetores V e W não-nulos.

Ex.: Calcular o ângulo entre os vetores )4,1,1(V e )2,2,1(W .

WV

WV cos =

2

2

2

1

323

9

918

821

4411611

2421)1(1

logo,

452

2arccos

Projeção Ortogonal

O ângulo entre dois vetores não-nulos, V e W, é definido pelo ângulo determinado por Ve W que satisfaz 0 , quando eles estão representados com a mesma origem.

Quando o ângulo entre dois vetores V e W é reto ( = 90o) dizemos que os vetores V e Wsão ortogonais ou perpendiculares entre si.

Lema Se dois vetores V e W são ortogonais, então V . W = 0.

Podemos decompor um vetor V em uma soma de dois vetores, V1 e V2, sendo V1 na direção de um vetor W e V2 perpendicular a W (figura 5.35).

Fig. 5.34 (a) Fig. 5.34 (b)



105

Figura 5.35 – Decomposição de V em uma soma 21 VV , onde 1V é paralelo a W.

O vetor V1 é chamado projeção ortogonal de V sobre W e é denotado por VprojW .

Proposição Seja W um vetor não nulo. Então, a projeção ortogonal de um vetor V em W é dada por

WW

WVVprojW

2.

Uma Aplicação na Física

O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas físicas são definidas com seu emprego, como por exemplo, o trabalho.

O trabalho realizado por uma força constante

F ao longo de

um deslocamento

d é definido como o produto escalardesta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo qual a força está aplicada. Pode-se observar que a

componente da força

F que realiza o trabalho é

xF

, conforme mostra a figura 5.36.

Então, cos||||||||

FFx

Onde é o ângulo entre a força e o deslocamento. A grandeza física trabalho, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema Internacional o joule, notado por J.

Então,

dFW ou cos||||||||

dFW [J] = [N m]

Fig. 5.35 (a) Fig. 5.35 (b)

Fig. 5.36



106

Ex.: Vamos determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. Sejam V1 = (1, 0, 0), V2 = (0, 1, 0) e V3 = (0, 0, 1) (figura 5.37). Uma diagonal do cubo é representada pelo vetor D dado por

D = V1 + V2 + V3 = (1, 1, 1) .

Então o ângulo entre D e V1 satisfaz

3

1

001111

1.01.01.1cos

2222221

1

VD

VD

ou seja,

543

1arccos

.

Produto Vetorial

Vamos, agora, definir um produto entre dois vetores, cujo resultado é um vetor. Por isso, eleé chamado produto vetorial. Este produto tem aplicação, por exemplo,em Física: a força exercida sobre uma partícula carregada, mergulhada num campo magnético, é o produto vetorial do vetor velocidade da partícula pelo vetor campo magnético, desde que o campo seja constante e a carga seja unitária.

Definição Sejam V = (x1, y1, z1) e W = (x2, y2, z2) dois vetores no espaço. Definimos o produto vetorial, WV , por

22

11

22

11

22

11 detdetdetyx

yx

zx

zx

zy

zyWV (4)

Ex.: Sejam V = (1, 2, - 2) e W = (3, 0, 1).

)6,7,2(03

21det

13

21det

10

22det

WV .

Fig. 5.37



107

Vetores Canônicos

)0,0,1(i , )0,1,0(j , )1,0,0(k

são vetores unitários (de norma igual a um) paralelos aos eixos coordenados. Todo vetor V = (x1, y1, z1) pode ser escrito em termos de uma soma de múltiplos escalares de i, j e k(combinação linear), pois

),0,0()0,,0()0,0,(),,( zyxzyxV )1,0,0()0,1,0()0,0,1( zyx

kzjyixkzjyix

Usando os vetores i, j e k o produto vetorial WV , pode ser escrito em termos do determinante simbólico

222

111

zyx

zyx

kji

WV

(5)

onde

kyx

yxj

zx

zxi

zy

zy

zyx

zyx

kji

WV22

11

22

11

22

11

222

111

O símbolo à direita de (5) não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial.

Fig. 5.38 (a) Fig. 5.38 (b)



108

Ex.: Calcular

vu para kjiu 345

e kiv

Sol.:

101

345

kji

vu

repita as primeira e segunda linhas

01101

45345

jikji

, faça a

multiplicação dos elementos das “diagonais principais” menos as “diagonais secundárias”.

jikkji 150314051314

kji 424 ou )4,2,4(

No teorema seguinte estão as propriedades mais importantes do produto vetorial.

Teorema Sejam V, W e U vetores no espaço e um escalar. São válidas as seguintes propriedades:

(a) V x W = - (W x V), ou seja, o produto vetorial é anti-comutativo;

(b) V x W = se, e somente se, V = W ou W = V;

(c) V . (V x W) = W . (V x W) = 0, ou seja, o produto vetorial V x W é perpendicular a V e a W;

(d) V x (W + U) = V x W + V x U e (V + W) x U = V x U + W x U;

(e) (V x W) = ( V) x W = V x ( W);

(f) || V x W||2 = || V||2|| W||2 - (V . W)2 (identidade de Lagrange).

Características do Vetor V W

Se V e W são vetores não nulos, já vimos que V x W é perpendicular a V e a W. Além disso, pode ser mostrado que o sentido de V x W é determinado pela “regra da mão direita'' (figura 5.39): Se o ângulo entre V e W é , giramos o vetor V de um ângulo até que coincida com W e acompanhamos este movimento com os dedos da mão direita, então o polegar vai apontar no sentido de V x W.

Fig. 5.39 (a) Fig. 5.39 (b)



109

Interpretação Geométrica

Se V e W são vetores no espaço, o produto vetorial V x W tem uma interpretação geométrica. Pela identidade de Lagrange,

|| V x W||2 = || V||2|| W||2 - (V . W)2 .

Se é o ângulo entre V e W, então V . W = || V|| || W|| cos e assim

|| V x W||2 = || V||2|| W||2 - || V||2|| W||2(cos )2 = || V||2|| W||2(sen )2 .

Como, 0 , segue que 0sen , e portanto

senWVWV

Mas, || W|| sen é a altura do paralelogramo determinado por V e W (figura 5.40). Logo, a norma do produto vetorial || V x W|| é igual à área do paralelogramo determinado por Ve W. Isto demonstra o resultado seguinte.

Teorema Sejam V e W vetores não nulos no espaço. A área do paralelogramo determinado por V e W é igual a

|||| WV

Ex.: Vamos calcular a área do triângulo determinado pelos pontos P = (2, 2, 0), Q = (0, 4, 3) e R = (- 1, 0, 2) (figura 5.41). Sejam

V =

PQ = (0 - 2, 4 - 2, 3 - 0) = (- 2, 2, 3)

W =

PR = (- 1 - 2, 0 - 2, 2 - 0) = (- 3, - 2, 2) .

Então, V x W = (10, - 5, 10)

e

Área = 2

15||||

2

1WV .

Fig. 5.40 - Área de um paralelogramo

Fig. 5.41



110

Produto Misto

O volume de um paralelepípedo determinado por três vetores também pode ser obtido usando o produto escalar e o produto vetorial, como mostraremos a seguir.

Teorema Sejam U, V e W vetores no espaço. Então,

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

WVU

O produto U . (V x W) é chamado de produto misto de U, V e W.

Ex.: O produto misto dos vetores U = 2i – j + 3k, V = – i + 4j + k e W = 5i + j – 2k é

84

215

141

312

)(

333

222

111

zyx

zyx

zyx

WVU

Teorema Sejam U, V e W vetores no espaço. O volume do paralelepípedo determinado por U, V e W (figura 5.42) é igual a

|)(| WVU .

Demonstração O volume do paralelepípedo determinadopor U, V e W é igual a área da base vezes a altura,ou seja, pelo teorema visto anteriormente, o volume é dado por

vol = || V x W|| h .

Mas, como vemos na figura 5.42 a altura é h = || U||| cos |, o que implica que

vol = || V x W|| || U|| | cos | = | U . (V x W)| .

Fig. 5.42



111

Ex.: Sejam U = - 3i + 2j + 5k, V = i + 4j – 4k e W = 3j + 2k. O volume de um paralelepípedo com arestas determinadas por U, V e W é dado por

49|49|

230

441

523

|)(|

WVU .

Corolário Sejam U, V e W vetores no espaço. Estes vetores são coplanares (isto é, são paralelos a um mesmo plano) ou dois deles são colineares (paralelos) ou um deles é o vetor nulo se, e somente se,

0)(

333

222

111

zyx

zyx

zyx

WVU .

Ex.: Vamos verificar que os pontos P = (0, 1, 1), Q = (1, 0, 2), R = (1, - 2, 0) e S = (- 2, 2, - 2) são coplanares, isto é, pertencem a um mesmo plano. Com estes pontos podemos construir os vetores

PQ = (1 - 0, 0 - 1, 2 - 1) = (1, - 1, 1),

PR = (1 - 0, - 2 - 1, 0 - 1) = (1, - 3, - 1) e

PS = (- 2 - 0, 2 - 1, - 2 - 1) = (- 2, 1, - 3)

Os pontos P, Q, R e S pertencem ao mesmo plano se, e somente se, os vetores

PQ ,

PR e

PS são coplanares. E isto acontece se, e somente se, o produto misto entre eles é zero. Mas,

0

312

131

111

)(

PSPRPQ



112

Espaços Vetoriais Euclidianos

Em meados do século dezessete foi materializada explicitamente a idéia de utilizar pares de números para situar pontos no plano e ternos de números para situar pontos no espaço tridimensional. Na segunda metade do século dezoito, os matemáticos e físicos começaram a perceber que não havia necessidade de parar com ternos, pois quádruplos 4321 ,,, aaaa

de números poderiam ser considerados pontos de um espaço de dimensão quatro, quíntuplos 54321 ,,,, aaaaa de números como pontos num espaço de dimensão cinco e

assim por diante, uma n-upla de números sendo pontos de um “espaço n-dimensional.” Nosso objetivo neste capítulo é estudar as propriedades das operações sobre os vetores deste tipo de espaço.

Espaço Euclidiano n -dimensional

Neste capítulo definimos o espaço tridimensional R3 como o conjunto de todas as ternas zyx ,, de números reais. Esta definição nos dá um modelo matemático do espaço físico em que vivemos, pois a intuição geométrica e a experiência diária impõem que a localização de qualquer ponto seja especificada univocamente por três coordenadas.

Embora nossa visualização geométrica não se estenda além do espaço tridimensional, é possível, mesmo assim, estender além do espaço tridimensional muitas das idéias familiares trabalhando, não com as propriedades geométricas de pontos e vetores mas sim com suas propriedades numéricas ou algébricas.

Vetores no Espaço n -dimensional

Definição Se n é um inteiro positivo, dizemos que uma seqüência naaa ,,, 21 de números reais é

uma n-upla ordenada. O conjunto de todas as n-uplas ordenadas é chamado espaço n-dimensional e denotado por Rn.

Já vimos que os vetores no plano são definidos por pares ordenados de números reais e que vetores no espaço são definidos por ternos ordenados de números reais. Muito do que estudamos sobre vetores no plano e no espaço pode ser estendido para n-uplas de números reais, em que n pode ser um número inteiro positivo. Para cada n, o conjunto das n-uplas de números reais é chamado espaço euclidiano.

O conjunto R1 é simplesmente o conjunto dos números reais. O conjunto R2 é o conjunto dos pares de números reais e o R3 é o conjunto dos ternos de números reais.

No R3 o terno de números 321 ,, xxx pode ser interpretado geometricamente de duas

maneiras: pode ser visto como um ponto, neste caso x1, x2 e x3 são as coordenadas do ponto



113

(figura 5.43), ou como um vetor, neste caso x1, x2 e x3 são as componentes do vetor (figura5.44). Também no Rn uma n-upla pode ser pensada como um vetor ou como um ponto. Por exemplo, a quíntupla 4,5,3,2,1 X pode ser pensada como um ponto no R3, quando consideramos X como um elemento do conjunto R5, ou como um vetor do R5, quando fazemos operações com X, como as que iremos definir adiante. Vamos chamar os elementos do Rn de pontos ou de vetores dependendo da situação.

Definição Dois vetores nuuuu ,,, 21

e nvvvv ,,, 21

em Rn são ditos iguais se

nn vuvuvu ,,, 2211

A soma u + v é definida por

nn vuvuvuvu

,,, 2211

e se k é um escalar qualquer, o múltiplo escalar

vk de

v é definido por

As operações de adição e multiplicação por escalar nesta definição são chamadas as operações padrão em Rn.

O vetor nulo ou zero de Rn é denotado por

0 e é definido como

0,,0,00

Fig. 5.43 Fig. 5.44



114

Se nuuuu ,,, 21

é um vetor qualquer de Rn, então o negativo (ou simétrico) de

u é

denotado por

u e definido por

nuuuu

,,, 21

A diferença de vetores em Rn é definida por

nn vuvuvuvu

,,, 2211

Propriedades das Operações Vetoriais no Espaço n -dimensional

As propriedades aritméticas mais importantes da adição e multiplicação por escalar de vetores em Rn estão listadas no próximo teorema. As provas são todas fáceis e deixadas como exercícios.

Teorema Se nuuuu ,,, 21

, nvvvv ,,, 21

e nwwww ,,, 21

são vetores em Rn e k e l

são escalares, então:

a)

uvvu

b)

wvuwvu )()(

c)

uuu 00

d) 0)(

uu , ou seja, 0

uu

e) )()(

uklulk

f)

vlulvul )(

g)

vlvkvlk )(

h)

uu1


Para estender as noções de distância, norma e ângulo ao Rn, nós começamos com a seguinte generalização do produto escalar de R2 e R3.



115

Definição Se nuuuu ,,, 21

e nvvvv ,,, 21

são vetores quaisquer em Rn, então

nnvuvuvuvu

2211

define o produto interno euclidiano

vu de

u e

u .

Observe que para 2n ou 3, o produto interno euclidiano é o produto escalar usual.

Ex.: O produto interno euclidiano dos vetores

7,5,3,1

u e 0,7,4,5

v

em R4 é

18)0)(7()7)(5()4)(3()5)(1(

vu

Como tantas das idéias familiares dos espaços bi e tridimensionais continuam válidas no espaço n-dimensional, é comum nos referirmos ao Rn com as operações de adição, multiplicação por escalar e o produto interno euclidiano como espaço euclidiano n-dimensional.

Teorema Propriedades do Produto Interno Euclidiano

Se

u ,

v e

w são vetores em Rn e l é um escalar, então:

a)

uvvu

b) )()(

vulvul

c)

wvvuwvu )(

d) 0

vv . Além disso, 0

vv se, e somente se, 0

v .


Por analogia com as fórmulas familiares do R2 e R3, nós definimos a norma euclidiana (ou

o comprimento euclidiano) de um vetor nuuuu ,,, 21

em Rn por



116

222

21

21)( nuuuuuu

(6)

Da mesma forma, a distância euclidiana entre os pontos nuuuu ,,, 21 e

nvvvv ,,, 21 do Rn é definida por

2222

211 )()()(, nn vuvuvuvuvud (7)

Ex.: Se 7,2,3,1

u e 2,2,7,0

v , então temos, no espaço euclidiano R4,

7363)7()2()3()1( 2222

u

e

58)27()22()73()01(),( 2222

vud

Teorema A desigualdade de Cauchy-Schuarz em Rn, então:

Se nuuuu ,,, 21

e nvvvv ,,, 21

são vetores quaisquer em Rn, então:

vuvu (8)

Se

u e

v são vetores não-nulos do R2 e R3,

vuvuvuvu coscos (9)

e, se 0

u ou se 0

v , então ambos os lados de (9) são zero, de modo que a desigualdade vale também neste caso.

Os próximos dois teoremas apresentam as propriedades básicas de comprimento e distância no espaço euclidiano n-dimensional.

Teorema Propriedades do Comprimento em Rn

Se

u ,

v e

w são vetores em Rn e k é um escalar, então:

a) 0u



117

b) 0u se, e somente se, 0u

c) vkkv

d) vuvu (desigualdade triangular)

A parte (c) deste teorema afirma que multiplicando um vetor por um escalar k multiplica o comprimento daquele vetor por um fator de k (figura 5.45 (a)). A parte

(d) deste teorema é conhecida como a desigualdade triangular por que generaliza o resultado familiar da geometria euclidiana segundo o qual a soma de dois dos lados de um triângulo é pelo menos tão grande quanto o terceiro lado (figura 5.45 (b)).

Teorema Propriedades da Distância em Rn

Se

u ,

v e

w são vetores em Rn, então:

a) 0, vud

b) 0, vud se, e somente se,

vu

c) uvdvud ,, d) wvdvudwud ,,, (desigualdade triangular)

A parte (d) deste teorema, que também é chamada desigualdade triangular, generaliza o resultado familiar da geometria euclidiana que afirma que a menor distância entre dois pontos é obtida ao longo de uma reta (figura 5.46).

vk

v

vu

v

u

Fig. 5.45 (a) Fig. 5.45 (b)



118

A fórmula (6) expressa a norma de um vetor em termos do produto escalar. O seguinte teorema útil expressa o produto escalar em termos de normas.

Teorema Se

u e

v são vetores em Rn com produto interno euclidiano, então

22

4

1

4

1vuvuvu (10)

Ortogonalidade

Lembre-se que nos espaços euclidianos R2 e R3, dois vetores

u e

v são definidos como

sendo ortogonais (ou perpendiculares) se 0

vu . Motivados por isto, nós apresentamos a seguinte definição.

Definição Dois vetores

u e

v em Rn são ortogonais se 0

vu .

Ex.: Os vetores

4,1,3,2

u e 1,0,2,1

v

são ortogonais no espaço euclidiano R4, pois

0)1)(4()0)(1()2)(3()1)(2(

vu

Observamos que muitas das propriedades familiares de vetores ortogonais dos espaços

euclidianos R2 e R3 continuam valendo no espaço euclidiano Rn. Por exemplo, se

u e

Fig. 5.46

w

vu

wvdvudwud ,,,



119

v são vetores ortogonais de R2 ou de R3, então

u ,

v e

u +

v formam os lados de um triângulo retângulo (figura 5.47); assim pelo teorema de Pitágoras,

222vuvu

O próximo teorema mostra que este resultado estende ao Rn.

Teorema O teorema de Pitágoras em Rn.

Se

u e

v são vetores ortogonais em Rn com produto interno euclidiano, então

222vuvu

Notações Alternativas para Vetores em Rn

Muitas vezes é útil escrever um vetor nvvvv ,,, 21

de Rn em notação matricial como

uma matriz-linha ou uma matriz-coluna:

nv

v

v

v2

1

ou nvvvv 21

Estas notações podem ser justificadas pelo fato de que as operações matriciais

vu

v

u

Fig. 5.47



120

nnnn uv

uv

uv

u

u

u

v

v

v

uv

22

11

2

1

2

1

,

nn v

v

v

v

v

v

v

2

1

2

1

ou

nnnn uvuvuvuuuvvvuv

22112121

nn vvvvvvv

2121

produzem os mesmos resultados que as operações vetoriais

nnnn vuvuvuvvvuuuvu

,,,,,,,,, 22112121

nn vvvvvvv

,,,,,, 2121

A única diferença é o formato em que escrevemos os vetores.

Uma Fórmula Matricial para o Produto Escalar

Se nós usarmos a notação de matrizes-coluna para os vetores

nu

u

u

u2

1

e

nv

v

v

v2

1

e omitirmos o colchete de matrizes 11 , então teremos

uvvuvuvuvu

u

u

u

vvvuv nn

n

nT

22112

1

21



121

Assim, para vetores na notação de matrizes-coluna nós temos a seguinte fórmula para o produto interno euclidiano:

uvvu T (11)

Ex.: Se

7

5

3

1

u e

0

7

4

5

v

então

1818

7

5

3

1

0745

uvvu T

Um Sistema Linear Escrito na Forma de Produto Escalar

Em particular, podemos escrever um sistema linear BAX no formato de produto escalar como

mm b

b

b

xr

xr

xr

2

1

2

1

(12)

onde mrrr ,,, 21 são os vetores-linha de A e mbbb ,,, 21 são as entradas de B.

Um exemplo de um sistema linear expresso no formato (12) de produto escalar é:



122

Sistema Forma de Produto Escalar

085

5472

143

321

321

321

xxx

xxx

xxx

0

5

1

,,8,5,1

,,4,7,2

,,1,4,3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Independência Linear

Definição Para cada inteiro positivo n, o espaço euclidiano Rn é definido pelo conjunto de todas as n-uplas ordenadas nxxxX ,,, 21 de números reais.

Combinação Linear

Uma combinação linear de vetores kvvv

,,, 21 é simplesmente uma soma de múltiplos

escalares de kvvv

,,, 21 .

Definição Um vetor

v é uma combinação linear dos vetores kvvv

,,, 21 , se a equação vetorial

vvxvxvx kk2211 (13)

possui solução, ou seja, se existem escalares kxxx ,,, 21 que satisfazem equação (13).

Neste caso, dizemos também que

v pode ser escrito como uma combinação linear de

kvvv

,,, 21 .

Se 1k , então a equação (13) se reduz a

vvx 11 , ou seja,

v é uma combinação linear

de 1

v se, e somente se,

v é um múltiplo escalar de 1

v .

Ex.: Sejam 0,0,11

v e 0,1,12

v , vetores de R3. O vetor 2,3,2

v não é uma combinação

linear de 1

v e 2

v , pois a equação



123

vvxvx 2211 ,

que pode ser escrita como

2,3,20,1,10,0,1 21 xx ,

ou ainda,

2,3,20,),( 221 xxx ,

é equivalente ao sistema

20

3

2

2

21

x

xx

que não possui solução.

Ex.: O vetor 0,3,2

v é uma combinação linear de 0,0,11

v e 0,1,12

v , pois a equação

vvxvx 2211 ,

ou

Fig. 5.48 (a) – O vetor

v não é

combinação linear de 1

v e 2

v

Fig. 5.48 (b) – O vetor

v é combinação

linear de 1

v e 2

v



124

0,3,20,1,10,0,1 21 xx ,

ou ainda,

0,3,20,),( 221 xxx ,

é equivalente ao sistema

00

3

2

2

21

x

xx

que possui solução.

Ex.: O vetor nulo

0 é sempre combinação linear de quaisquer vetores kvvv

,,, 21 , pois

kvvv

0000 21

Ex.: Todo vetor cbav ,,

do R3 é uma combinação linear de

0,0,1

i , 0,1,0

j e 1,0,0

k .

Pois,

kcjbiacbacba 1,0,00,1,00,0,1,, .

Para verificarmos se um vetor

b é combinação linear de um conjunto de vetores

naaa ,,, 21 , escrevemos a equação vetorial

baxaxax nn2211 , (14)



125

e verificamos se ela tem solução. Se

naaa ,,, 21 são vetores do Rm, a (14), pode ser

escrita como

mmn

n

n

m b

b

a

a

x

a

a

x 11

1

11

Fig. 5.49

que é equivalente ao sistema linear

BAX ,

em que as colunas de A são vetores são os vetores ia

escritos como matrizes colunas, ou

seja,

naaaA 21 e

nx

x

x

X2

1

. Isto prova o seguinte resultado.

Proposição Sejam A uma matriz nm e B uma matriz 1m . O vetor

b é combinação linear das colunas de A se, e somente se, o sistema BAX tem solução.



126

Independência Linear

Definição Dizemos que um conjunto

kvvvS ,,, 21 de vetores é linearmente independente

(L.I.) se a equação vetorial

02211 kk vxvxvx (15)

só possui a solução trivial, ou seja, se a única forma de escrever o vetor nulo como

combinação linear dos vetores kvvv

,,, 21 é aquela em que todos os escalares são iguais a zero. Caso contrário, isto é, se (15) possui solução não trivial, dizemos que o conjunto S é linearmente dependente (L.D.).

Ex.: Um Conjunto Linearmente Dependente

Se 3,0,1,21

v , 1,5,2,12

v e 8,5,1,73

v , então o conjunto de vetores

321 ,, vvvS é linearmente dependente, pois 03 321 vvv .

Ex.: Um Conjunto Linearmente Dependente

Os polinômios

xp 11 , 22 235 xxp e 2

3 31 xxp

formam um conjunto linearmente dependente em 3P , pois 023 321 ppp .

Ex.: Conjuntos Linearmente Independentes

Considere os vetores 0,0,1

i , 0,1,0

j e 1,0,0

k em R3. Em termos de componentes, a equação vetorial

0321

kkjkik

é dada por



127

0,0,01,0,00,1,00,0,1 321 kkk

ou, equivalente, por

0,0,0,, 321 kkk

Isto implica que 01 k , 02 k e 03 k , de modo que o conjunto kjiS ,, é

linearmente independente. Um argumento similar pode ser usado para mostrar que os vetores

0,,0,0,11 e , 0,,0,1,02 e , ∙∙∙, 1,,0,0,0 ne

formam um conjunto linearmente independente em R3.

Ex.: Determinando Independência / Dependência Linear

Determine se os vetores

3,2,11

v , 1,6,52

v e 1,2,33

v

formam um conjunto linearmente dependente ou independente.

Solução

Em termos de componentes, a equação vetorial

0332211

vkvkvk

é dada por

0,0,01,2,31,6,53,2,1 321 kkk

ou, equivalente, por

0,0,03,262,35 321321321 kkkkkkkkk

Igualando as componentes correspondentes, dá



128

03

0262

035

321

321

321

kkk

kkk

kkk

Assim, os vetores 1

v , 2

v e 3

v formam um conjunto linearmente dependente se este sistema tiver uma solução não-trivial, ou um conjunto linearmente independente se só tiver a solução trivial. Resolvendo o sistema, obtemos

tk2

11 , tk

2

12 , tk 3

Assim, o sistema tem soluções não-triviais e 1

v , 2

v e 3

v formam um conjunto linearmente dependente. Alternativamente, nós poderíamos mostrar a existência de soluções não-triviais sem resolver o sistema, mostrando que a matriz de coeficientes tem determinante zero e conseqüentemente é não-invertível (verifique).

O termo “linearmente dependente” sugere que os vetores de alguma maneira dependem um do outro. O próximo teorema mostra que isto realmente ocorre.

Teorema Um conjunto S de dois ou mais vetores é:

a) Linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores de S pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S.

b) Linearmente independente se, e somente se, nenhum vetor em S pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S.

Ex.: Nós já vimos que os vetores 0,0,1

i , 0,1,0

j e 1,0,0

k formam um conjunto linearmente independente. Pelo teorema anterior segue que nenhum destes vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Para ver isto diretamente, suponha

que

k pode ser escrito como

jkikk 21

Em termos de componentes,

0,1,00,0,11,0,0 21 kk ou 0,,1,0,0 21 kk



129

Mas a última equação não é válida para nenhum valor de 1k e 2k , de modo que

k não

pode ser expresso por uma combinação linear de

i e

j . Similarmente,

i não pode ser

expresso por uma combinação linear de

i e

j . Similarmente,

i não pode ser expresso

por uma combinação linear de

j e

k e

j não pode ser expresso por uma combinação

linear de

i e

k .

O seguinte teorema fornece duas informações importantes sobre independência linear.

Teoremaa) Um conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo é linearmente dependente.b) Um conjunto de exatamente dois vetores é linearmente independente se, e somente

se, nenhum dos dois vetores é um múltiplo escalar do outro.

Interpretação Geométrica da Independência Linear

A independência linear tem uma interpretação geométrica útil em R2 e R3:

Em R2 ou R3, um conjunto de dois vetores é linearmente independente se, e somente se, os vetores não estão numa mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem (figura 5.50).

Fig. 5.50 - Linearmente dependente Linearmente independente

Em R3, um conjunto de três vetores é linearmente independente se, e somente se, os vetores não estão num mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem (figura 5.51).



130

Três vetores linearmente dependentes (paralelos) Três vetores linearmente dependentes (2 paralelos)

No R3 temos que se três vetores não nulos são L.D., então ou os três são paralelos, ou dois deles são paralelos ou os três são coplanares, isto é, são paralelos a um mesmo plano.

Três vetores linearmente dependentes (coplanares)

Portanto, podemos dizer que três vetores são L.D. se, e somente se, um deles é uma combinação linear dos outros dois. No R3, se três vetores são L.I., então eles não são coplanares (figura 5.52).

Fig. 5.52 - Três vetores linearmente independentes

Fig. 5.51



131

Para descobrir se um conjunto nvvv ,,, 21 é L.I. precisamos saber se a equação vetorial

02211 nnvxvxvx (16)

tem somente solução trivial. Se nvvv ,,, 21 são vetores do Rm, a equação (16), pode ser

escrita como

0

01

1

11

1

mn

n

n

m v

v

x

v

v

x

é equivalente ao sistema linear homogêneo

0XA , em que as colunas de A são os

vetores iv escritos como matrizes colunas, ou seja, nvvvA ,,, 21 e

nx

x

x

X2

1

. Isto

prova o seguinte resultado.

Proposição Seja A uma matriz nm .

a) As colunas de A são linearmente independentes se, e somente se, o sistema

0XA tem

0XA somente a solução trivial.b) Se nm , então as colunas de A são linearmente independentes se, e somente se,

0)det( A .

Teorema Seja rvvvS ,,, 21 um conjunto de vetores em Rn. Se nr , então S é linearmente dependente.

O teorema acima nos diz que um conjunto em R2 com mais de dois vetores, ou um conjunto em R3 com mais de três vetores ou um conjunto em Rn com mais de n vetores são sempre L.D. Pois, nestes casos, o problema de verificar se eles são ou não L.I. leva a um



132

sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações, que tem sempre solução trivial.

Ex.: Considere os vetores 1,0,11

v , 1,1,02

v e 1,1,13

v de R3. Para sabermos se eles são L.I. ou L.D. escrevemos a equação

0332211 vxvxvx

Esta equação vetorial equivalente ao sistema linear

0XA , em que

111

110

101

321 vvvA .

Escalonamento a matriz 0|A podemos obter a sua forma escalonada reduzida

0100

0010

0001

0|R .

Concluímos, então que o sistema

0XA possui somente a solução trivial 0321 xxx . Portanto os vetores 321 ,, vvv são L.I.

Ex.: Sejam 5,2,11

v , 5,1,72

v e 1,1,13

v vetores do R3. Para sabermos se eles são L.I. ou L.D. escrevemos a equação

0332211 vxvxvx

Esta equação vetorial equivalente ao sistema linear

0XA , em que

155

112

171

321 vvvA .



133

A matriz 0|A é equivalente por linhas à matriz escalonada reduzida

0000

05110

05201

0|R .

Assim a variável 3x pode ser uma variável livre que pode, portanto, assumir qualquer valor.

Concluímos que o sistema

0XA e a equação vetorial (17) têm solução não trivial. Portanto, os vetores 321 ,, vvv são L.D.

A expressão “linearmente dependente” sugere que os vetores dependem uns dos outros em algum sentido. O teorema seguinte mostra que este realmente é o caso.

Teorema Um conjunto kvvvS ,,, 21 1k de vetores é linearmente dependente (L.D.) se, e

somente se, pelo menos um dos vetores, jv , for combinação linear dos outros vetores de S.



134

Exercícios Numéricos

1. Dados os vetores jiu 32

e jiv

, determinar

vu2 R.: )5,3(

2. Dados os vetores )1,1(

u e )4,3(

v , calcular

(a) ||||

u (b) ||||

vu R.: (a) 2 (b) 13

3. Dados os vetores )1,3,2(

u e )4,1,1(

v , calcular

)(2

vu R.: -2

4. Determine o valor de x para o qual os vetores kjxiv 43

e kjiw 23

são

perpendiculares. R.: 311

5. Ache o ângulo entre o seguinte par de vetores:

ji 33 e kji 22 R.: 42

2arccos

6. Sejam )1,2,3(

u , )3,2,0(

v e )7,6,2(

w , calcule

wvu )( R.: )42,40,27(

7. Encontre a área do paralelogramo determinado por

u e

v .

)2,1,1(

u , )1,3,0(

v R.: 59

8. Calcule a área do triângulo com vértices )1,2,1(A , )4,0,3(B e )3,1,5(C

R.: 2

101

9. Encontre o produto misto )(

wvu .

)4,2,1(

u , )2,4,3(

v , )5,2,1(

w R.: - 10

10. Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = (2,1,6) e os três vértices adjacentes nos pontos B = (4,1,3) , C = (1,3,2) e D = (1,2,1).

R.: 15 unids de Vol



135

11. Sejam u = (-3, 2, 1, 0), v = (4, 7, -3, 2) e w = (5, -2, 8, 1). Encontre

(a) wv (b) )4( wvu

12. Sejam 0,2,3,11 u , 1,4,0,22 u , 4,1,1,73 u e 2,1,3,64 u . Encontre os

escalares 4321 ,, ceccc

3,6,5,044332211 ucucucuc R.: 1;1;1;1 4321 cccc

13. Verifique que não existem escalares 321 ,, ccc tais que

3,2,2,12,1,0,21,2,0,10,1,0,1 321 ccc

14. Em cada parte, calcule a norma euclidiana do vetor.

(a) )5,2( (b) )12,0,4,3( (c) )4,3,1,1,2(

15. Sejam 3,2,1,4u , 2,8,3,0 v e 2,2,1,3w . Calcule cada expressão.

(a) vu (b) vu (c) wvu 53

16. Encontre o produto interno euclidiano vu .

(a) 5,4,1,3 u , 3,4,2,2 v (b) 3,4,0,1,1 u , 1,2,0,2,2 v

17. Encontre a distância euclidiana entre u e v.

(a) 1,1,2,0 u , 4,4,2,3v (b) 3,0,2,3,3 u , 0,5,1,1,4 v

18. Em cada parte, determine se os vetores dados são ortogonais.

(a) 2,3,1u , 1,2,4 v (b) 1,2,3,0 u , 0,1,2,5 v

19. Para quais valores de k os vetores u e v são ortogonais?

(a) 3,1,2u , kv ,7,1 (b) 1,, kku , 6,5,kv



136

20. Resolva os seguintes sistemas lineares em x1, x2 e x3.

7,,1,5,4

1,,0,2,3

10,,4,1,1

321

321

321

xxx

xxx

xxx

21. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de 3,2,41 X , 2,1,22 X e

0,1,23 X ?

(a) 1,1,1 ; (b) 6,2,4 .

22. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes?

(a) ;12,6,4,0,0,1,2,1,1 (b) 2,1,3,1,3,2,1,1,1 .

23. Para quais valores de o conjunto de vetores 0,2,2,0,1,3 é L.D.?

24. Vamos calcular a força (que é um vetor) de atração entre dois corpos de massas 2 e 5 unidades, colocados nos pontos (1, 3, 5) e (2, 1, 0), respectivamente, sabendo que a

intensidade da atração entre eles é dada pela relação 2

21

d

mm .

0

2

4

01

23

4

0

1

2

3

4

5

y

z

x

Onde 1m é a massa do primeiro corpo, 2m a massa do segundo e d a distância entre eles, esabendo ainda que a força age na direção da reta que une os dois pontos.

R.:

303

5,

303

2,

303

1F



137

25. Um campo elétrico uniforme induz uma força constante dada pelo vetor 5,2,10

Fem uma partícula carregada eletricamente. Vamos calcular o trabalho realizado quando a partícula se move na trajetória que começa e termina em A, dada pela figura abaixo. O trabalho total é

CABCAB TTTT

onde ABT é o trabalho realizado de A a B etc. O trabalho é o produto interno da força pelo vetor que dá o deslocamento.

R.: 0

1

1.5

2

1

1.5

2

2.5

3

1

1.5

2

2.5

3

A=(1, 1, 3)

B=(2, 3, 2)

C=(2, 2, 1)



138

Exercícios usando o MatLab

>> V=[v1,v2,v3] cria um vetor V, usando as componentes numéricas v1, v2, v3. Por exemplo >> V=[1,2,3] cria o vetor V = (1, 2, 3);

>> subs(expr,x,num) substitui x por num na expressão expr;

>> solve(expr) determina a solução da equação expr=0;

Comandos numéricos do pacote GAAL:

>> V=randi(1,3) cria um vetor aleatório com componentes inteiras;

>> no(V) calcula a norma do vetor V.

>> pe(V,W) calcula o produto escalar do vetor V pelo vetor W.

>> pv(V,W) calcula o produto vetorial do vetor V pelo vetor W.

Comandos gráficos do pacote GAAL:

>> desvet(P,V) desenha o vetor V com origem no ponto P

>> desvet(V) desenha o vetor V com origem no ponto O = (0, 0, 0).

>> po([P1;P2;...;Pn]) desenha os pontos P1, P2, ..., Pn.

>> lineseg(P1,P2,'cor') desenha o segmento de reta P1P2.

>> eixos desenha os eixos coordenados.

>> box desenha uma caixa em volta da figura.

>> axiss reescala os eixos com a mesma escala.

>> rota faz uma rotação em torno do eixo z.

>> zoom3(fator) amplifica a região pelo fator.

>> tex(P,'texto') coloca o texto no ponto P.

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5.Vetores - alexbrasil.com.bralexbrasil.com.br/_upload/ec7b423b03362113c421be2fc1d80011.pdf · A multiplicação de um vetor V por um escalar , V, é determinada pelo vetor que possui