7.Autovalores e Autovetores - alexbrasil.com.bralexbrasil.com.br/_upload/660b7516b36f7b0a5dd315f120544dad.pdf · Geometria Analítica e Álgebra Linear 01 de fevereiro de 2010 Alex

Geometria Analítica e Álgebra Linear

01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil

158

7. Autovalores e Autovetores

Diagonalização

Todas as matrizes consideradas neste capítulo serão quadradas. Se A é uma matriz n n, então, para v

em Rn, A v

será também um vetor em Rn (figura 7.1a). Um problema de

importância considerável em muitas aplicações é a determinação de vetores v

, quando existirem, tais que v

e A v

sejam paralelos (figura 7.1b). Tais problemas surgem em

aplicações que envolvem vibrações; surgem em aerodinâmica, elasticidade, física nuclear, mecânica, engenharia química, biologia, equações diferenciais, etc. Nesta seção formularemos precisamente este problema; definiremos também alguma terminologia pertinente. Na próxima seção resolveremos o problema em questão no caso de matrizes simétricas e discutiremos rapidamente a situação do caso geral.

Definição Seja A uma matriz n n. O número real é chamado um autovalor de A se existir um

vetor não-nulo

nx

x

v

1

em Rn, tal que

Qualquer vetor v

não-nulo que satisfaça (1) é chamado de um autovetor de A associado ao autovalor . Os autovalores são também chamados de valores próprios, valores característicos e valores latentes; e os autovetores são chamados de vetores próprios, vetores característicos e vetores latentes.

Observe que 0v

satisfaz sempre a equação (1), mas insistimos que um autovetor v

seja um vetor não-nulo. Em algumas aplicações práticas encontram-se espaços vetoriais complexos e escalares complexos. Em tal contexto, a definição acima é modificada de maneira que um autovalor possa ser um número complexo. Tais tratamentos são apresentados em livros mais avançados. Neste livro exigimos que um autovalor seja um número real.

Fig. 7.1 (a) Fig. 7.1 (b)

vvA (1)



159

Ex.: 1 Se A é uma matriz identidade In então o único autovalor é = 1; qualquer vetor não-nulo de Rn é um autovetor de A associado com o autovalor = 1:

vvI n 1

Ex.: 2 Seja

021

210A .

Logo

1

1

2

1

21

21

1

1

021

210

1

1A

de maneira que

1

11v é um autovetor de A associado ao autovalor

2

11 . Além

disso,

1

1

2

1

21

21

1

1

021

210

1

1A

de maneira que

1

12v é um autovetor de A associado ao autovalor

2

12 .

A figura (7.2) mostra que 1v

e 1vA

são paralelos, e que

2v

e 2vA

são também paralelos. Isto ilustra ofato de que se v

é um autovetor de A,

então v

e A v

são paralelos.

Na figura (7.3) mostramos v

e A v

para os casos > 1, 0 < < 1, < 0.A um autovalor de A pode ser associados muitosautovetores diferentes. Em verdade, se v

é um autovetor

de A associado a (ou seja, vvA

) e t é qualquernúmero real não nulo, então

)()()()(

vtvtvAtvtA .

Assim, vt

é também um autovetor de A associado a .

Fig. 7.2



160

Ex.: 7.3 Seja

10

00A .

Assim

0

10

0

0

0

1

10

00

0

1A

de maneira que

0

11v é um autovetor de A associado ao autovalor 01 . Além

disso,

1

02v é um autovetor de A associado ao autovalor 12 (verifique isto).

O exemplo 7.3 salienta o fato de que, embora o vetor zero, por definição, não possa ser autovetor, o número zero pode ser um autovalor.

Ex.: 7.4 Seja

42

11A

Desejamos achar os autovalores de A e seus autovetores associados. Queremos assim

achar todos os números reais e todos os vetores não-nulos

2

1

x

xv satisfazendo (1),

ou seja

2

1

2

1

42

11

x

x

x

x (2)

A equação (2) se torna

221

121

42 xxx

xxx

, ou0)4(2

0)1(

21

21

xx

xx

. (3)

Fig. 7.3



161

A equação (3) é um sistema homogêneo de duas equações e duas incógnitas. Da Unidade III, decorre que o sistema homogêneo em (3) possui uma solução não trivial se e somente se o determinante de sua matriz de coeficientes for nulo: assim, se e somente se

042

11

.

Isto significa que02)4)(1( ,

ou)2)(3(0652 .

Portanto,21 e 32

são os autovalores de A. Para achar todos os autovetores de A associados a 21 , formamos o sistema linear

vvA 2ou

2

1

2

1 242

11

x

x

x

x.

Isto fornece

221

121

242

2

xxx

xxx

ou

0)42(2

0)12(

21

21

xx

xx

ou

022

0

21

21

xx

xx

Observe que poderíamos ter obtido este último sistema homogêneo substituindo simplesmente 2 em (3). Todas as soluções deste último sistema são dadas por

21 xx 2x qualquer número real .

Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 21 são dados por

, um

número real não-nulo qualquer. Em particular,

1

11v é um autovetor associado a

21 . Semelhantemente, para 32 obtemos, de (3),



162

0)43(2

0)13(

21

21

xx

xx

ou

02

02

21

21

xx

xx

Todas as soluções deste último sistema homogêneo são dadas por

21 21 xx 2x qualquer número real .

Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 32 são dados por

2

,

um número real não-nulo arbitrário. Em particular,

2

12v é um autovetor associado

ao autovalor 32 .

Obs.: Nos exemplos 1, 2 e 3 achamos autovalores e autovetores por inspeção, enquanto que no exemplo 4 procedemos de maneira mais sistemática. Usaremos o processo do exemplo 4 como nosso método padrão, como segue.

7.1.1. Matrizes Semelhantes

Definição Dizemos que uma matriz B é semelhante a uma matriz A, se existir uma matriz P não singular (invertível) tal que

APPB 1 .

Ex.: 7.5 Seja

42

11A

a matriz do exemplo 7.4. Seja

21

11P .

Então,

11

121P e

30

02

21

11

42

11

11

121 APPB .

Assim, B é semelhante a A.



163

A relação de semelhança satisfaz as seguintes propriedades:

toda matriz quadrada é semelhante a si mesma; se uma matriz A é semelhante a B, então B é semelhante a A e se A é semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C.

Deixamos como exercício a verificação destas propriedades.

Definição Dizemos que uma matriz A, n n, é diagonalizável, se ela é semelhante a uma matriz diagonal. Neste caso, dizemos também que A pode ser diagonalizada.

Ex.: 7.6 Se A e B são como no exemplo 7.5, então A é diagonalizável, pois é semelhante a B.

Vamos enunciar e demonstrar o resultado principal deste capítulo. Já vimos que se uma matriz A é diagonalizável, então as colunas da matriz P que faz a diagonalização são autovetores associados a autovalores que são os elementos da matriz diagonal D. Como a matriz P é invertível estes autovetores são Linearmente Independentes. Vamos mostrar a seguir que esta é uma condição necessária e suficiente para que uma matriz seja diagonalizável.

Teorema Uma matriz A n n é diagonalizável se e somente se tiver n autovetores linearmente independentes. Neste caso, A é semelhante a uma matriz diagonal D, com DAPP 1 ; os elementos sobre a diagonal de D são os autovalores de A, enquanto P é uma matriz cujas colunas são n autovetores de A linearmente independentes.

Demonstração

Suponha que A é semelhante a D, Então

DAPP 1

de maneira quePDAP ,

Seja

n

D

00

00

00

00

2

1

(4)

e seja jv

, nj ,,2,1 a j-ésima coluna de P. Observe que a j-ésima coluna da matriz

AP é jvA

e a j-ésima coluna de PD é jj v

. Assim, temos de (4) que

jjj vvA

. (5)



164

Como P é uma matriz não singular, suas colunas são linearmente independentes e, desta maneira, são todas não-nulas. Assim, j é um autovalor de A e jv

é um autovetor

correspondente. Além disto, como P é não-singular, seus vetores coluna são linearmente independentes.

Reciprocamente, suponha que n ,,, 21 são n autovalores de A e que os autovetores

correspondentes nvvv

,,, 21 são linearmente independentes . Seja P a matriz cuja j-

ésima coluna é jv

, decorre que P é não singular. De (5) obtemos (4), o que acarreta que

A é diagonalizável. Isto completa a demonstração.

Observe que, no teorema acima, a ordem das colunas de P determina a ordem dos elementos da diagonal de D.

Assim, se uma matriz A é diagonalizável e APPD 1 , então os autovalores de Aformam a diagonal de D e n autovetores linearmente independentes associados aos autovalores formam as colunas de P.

Se conseguirmos para cada autovalor, autovetores L.I., então ao juntarmos todos os autovetores obtidos, eles continuarão sendo L.I.

Ex.: 7.7 Seja A como no exemplo 7.4. Os autovalores são 21 e 32 . Os autovetores

correspondentes

1

11v e

2

12v são linearmente independentes. Assim, A é

diagonalizável.

Neste caso,

21

11P e

11

121P .

Assim

30

02

21

11

42

11

11

121 APP .

Por outro lado, se fizermos 31 e 22 , então

2

11v e

1

12v . Então

12

11P e

12

111P .



165

Logo

20

03

12

11

42

11

12

111 APP .

Ex.: 7.8 Seja

10

11A .

Os autovalores de A são 11 e 12 . Os autovetores associados a 1 e 2 são vetores da forma

0

,

onde é qualquer número real não-nulo. Como A não tem dois autovetores linearmente independentes, concluímos que A não é diagonalizável.

Teorema Uma matriz A é diagonalizável se todas as raízes de seu polinômio característico forem reais e distintas.

Autovalores e Autovetores

Da definição

vvA , onde é chamado autovalor (real) de A e,

v é chamado de autovetor de A, podemos escrever:

vIvA nou

0)(

vIA n (6)

Como os autovetores são vetores não nulos, os autovalores são os valores de , para os quais o sistema (6) tem solução não trivial. Mas, um sistema homogêneo tem solução não trivial se, e somente se, a matriz do sistema é singular e uma matriz é singular se, e somente se, o seu determinante é igual a zero, ou seja: 0)det( nIA . Assim temos

um método para encontrar os autovalores e os autovetores de uma matriz A.



166

Proposição Seja A uma matriz n x n.

(a) Os autovalores de A são as raízes reais do polinômio

)det()( nIAp (7)

(b) Para cada autovalor , os autovetores associados a são os vetores não nulos da solução do sistema

0)( XIA n (8)

Definição Seja A uma matriz n n. O polinômio

)det()( nIAp (9)

é chamado polinômio característico de A.

Assim, para determinarmos os autovalores de uma matriz A precisamos determinar as raízes reais do seu polinômio característico, que tem a forma

011

1)1()( aaap nn

nn . Um resultado sobre polinômios que muitas

vezes é útil, é o que diz que se a0, a1,..., an - 1 são inteiros, então as suas raízes racionais (se existirem) são números inteiros e divisores do coeficiente do termo de grau zero a0. Por exemplo, se 6116)( 23 p , então as possíveis raízes racionais são 1,

2, 3 e 6. Substituindo estes valores em )(p , vemos que p(1) = 0, ou seja, 1 é uma

raiz de )(p . Finalmente, dividindo )(p por ( - 1), obtemos que

)65)(1()( 2 p . Como as raízes de 62 são 2 e 3, então as raízes de )(p , são 1, 2 e 3.

Ex.: 7.9 Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz

22

13A

Para esta matriz o polinômio característico é

452)2)(3(22

13det)det()( 2

nIAP .

Como os autovalores de A são as raízes reais de )(p , temos que os autovalores de A

são 11 e 42 .

Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores 11 e 42 .

Para isto vamos resolver os sistemas 0)( 21 XIA e 0)( 22 XIA . Como

12

1221IA ,

então



167

0)( 21 XIA é

0

0

12

12

y

x

ou

02

02

yx

yx

cuja solução geral é

|)2,{(1v R}.

que é o conjunto de todos os autovetores associados a 11 acrescentado o vetor nulo. Agora,

0)( 22 XIA é

0

0

22

11

y

x

cuja solução geral é

|),{(1v R},

que é o conjunto de todos os autovetores associados a 42 acrescentado o vetor nulo.

Ex.: 7.10 Seja

100

210

100

A .

O polinômio característico de A é 2)1()( p , de maneira que os autovalores de

A são 01 , 12 e 13 . Assim, 12 , é um autovalor de multiplicidade 2.

Consideremos agora os autovetores associados aos autovalores 132 . Eles são

obtidos resolvendo o sistema linear 0)1( 3 XIA :

0

0

0

000

200

101

3

2

1

x

x

x

Uma solução é qualquer vetor da forma

0

0

, onde é um número real arbitrário, de

maneira que a dimensão do espaço-solução de 0)1( 3 XIA é 1. Não existem dois

autovetores linearmente independentes associados a 12 . Assim, A não pode ser diagonalizada.



168

Ex.: 7.11 Seja

101

010

000

A .

O polinômio característico de A é 2)1()( p , de maneira que os autovalores de

A são 01 , 12 e 13 . Assim, 12 , é um autovalor de multiplicidade 2.

Consideremos agora os autovetores associados aos autovalores 132 . Eles são

obtidos resolvendo o sistema linear 0)1( 3 vIA

, isto é, de

0

0

0

001

000

001

3

2

1

x

x

x

.


0

para números reais arbitrários e .

Podemos assim escolher como os autovetores

2v e

3v os vetores

0

1

0

2v e

1

0

0

3v .

Procuremos agora um autovetor associado a 01 . Temos que resolver

0)0( 3 vIA

, ou seja,

0

0

0

101

010

000

3

2

1

x

x

x

.


0 para qualquer número real . Assim,

1

0

1

1v , é um autovetor associado a 01 . Como

1v ,

2v e

3v são linearmente

independentes, A pode ser diagonalizada.



169

Assim, uma matriz n n pode deixar de ser diagonalizável ou porque nem todas as raízes de ser polinômio característico são números reais, ou porque não tem nautovetores linearmente independentes.

Os autovalores e autovetores satisfazem muitas propriedades importantes. Por exemplo, se A é uma matriz triangular superior (inferior), então os autovalores de A são os elementos sobre a diagonal principal de A. Além disto, seja um autovalor fixo de A. O conjunto que é formado por todos os autovetores de A associados com e pelo vetor zero é um subespaço de nR , já que é o conjunto solução de um sistema linear homogêneo 0)( XIA n . Este subespaço recebe o nome de autoespaço associado

ao autovalor .

O processo para diagonalizar uma matriz A é como se segue.

1º passo Forme o polinômio característico )det()( nIAp de A.

2º passoAche todas as raízes do polinômio característico de A. Se as raízes não forem todas reais, então A não pode ser diagonalizada.

3º passo

Para cada autovalor i de A com multiplicidade ik , ache uma base para

o espaço-solução de 0)( XIA n (o autoespaço de i ). Se a

dimensão do autoespaço for menor do que ik , então A não é

diagonalizável. Determinamos assim n autovetores de A linearmente independentes.

4º passo

Seja P a matriz cujas colunas são os n autovetores linearmente independentes determinados no terceiro passo. Então DAPP 1 , uma matriz diagonal cujos elementos sobre a diagonal são os autovalores de A que correspondem às colunas de P.

Deve ser salientado que este método de achar os autovalores de uma matriz por meio das raízes do polinômio característico não é prático para n > 4, devido à necessidade de se calcular um determinante. Neste caso, deve-se usar um método numérico mais eficiente.



170

Diagonalização de Matrizes Simétricas

Motivação

O problema da identificação de uma cônica (curva no plano descrita por uma equação do 2 grau em x e y) através da sua equação é facilmente resolvido se a equação nãopossui um termo em que aparece o produto xy. Mas, ao contrário, se aparece este termo misto, temos que fazer uma mudança de coordenadas de forma que nas novas coordenadas ele não apareça. Vejamos o exemplo seguinte.

Ex.: 7.12 Considere o problema de identificar uma cônica representada pela equação

4323 22 yxyx (10)

Usando matrizes, esta equação pode ser escrita como

433

y

xyxyx

ou

431

13

y

xyx

ou ainda,

4AXX T , (11)

em

31

13A e

y

xX .

Como veremos adiante, podemos escrever

TPDPA

em que

2

1

2

12

1

2

1

P e

40

02D .

Assim, a equação (10) pode ser escrita como

4 XPDXPXPDPX TTTTT .

Se fazemos a mudança de variáveis (ou de coordenadas) 'PXX , então como

2IPPT , a equação (10) se transforma em

4'' DXX T



171

ou

4'

'

40

02''

y

xyx

que pode ser escrita como,

4'4'2 22 yx .

ou dividindo por 4, como

11

'

2

' 22

yx

que é a equação da elipse mostrada na Figura (7.4). Veremos na próxima seção como traçar esta elipse.

Fig. 7.4

A matriz P, tem a propriedade de que a sua inversa é simplesmente a sua transposta, TPP 1 . Uma matriz que satisfaz esta propriedade é chamada de matriz ortogonal. O

que possibilitou a identificação da cônica, no exemplo anterior, foi o fato de que a matriz A é diagonalizável através de uma matriz ortogonal P. Ou seja, existe uma matriz P tal que 1 PDPA e TPP 1 .

Já vimos que nem toda matriz é diagonalizável. Vamos ver que se uma matriz A é simétrica, então ela é diagonalizável, isto é, existe uma matriz diagonal D e uma matrizinvertível P tal que APPD 1 . Além disso, para matrizes simétricas, existe uma matriz P tal que APPD T . Isto porque existe uma matriz ortogonal P que faz a diagonalização, ou seja, que tem a propriedade TPP 1 . Em algumas aplicações a diagonalização com uma tal matriz é necessária, como por exemplo na identificação de cônicas.



172

Cônicas

A palavra cônica, em princípio, significa uma seção cônica, pois podem ser obtidas das interseções de planos com um cone. Isto já havia verificado o matemático Apolônio no século III a.C., que descreveu essas curvas no livro intitulado Cônicas.

Dependendo do corte no cone, as interseções podem ser: círculo, parábola, hipérbole ou elipse, conforme indicam as figuras.

As cônicas foram de fundamental importância para o desenvolvimento da astronomia, sendo descritas na antiguidade por Apolônio de Perga, um geômetro grego.

Mais tarde, Kepler e Galileu mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos naturais, como nas trajetórias de um projétil ou de um planeta.

Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da interseção de um cone circular com um plano. Vamos estudar a elipse, a hipérbole e a parábola, que sãochamadas de cônicas não degeneradas (Figura 7.5). Vamos defini-las em termos de lugares geométricos. As outras cônicas, que incluem um único ponto, um par de retas, são chamadas cônicas degeneradas (Figura 7.6).

Fig. 7.5



173

Cônicas Não Degeneradas

Parábola

Parábola é o conjunto de todos os pontos yxP , de um plano eqüidistantes de uma reta r (diretriz) e de um ponto fixo F (foco), não pertencente a r, ou seja, a parábola é o conjunto de pontos yxP , tais que

rPdistFPdist ,, .

Fig. 7.7. Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano

Proposição (a) A equação de uma parábola com foco 0,pF e reta diretriz pxr : é

pxy 42 . (12)

Fig. 7.6



174

(b) A equação de uma parábola com foco pF ,0 e reta diretriz pyr : é

pyx 42 . (13)

Fig. 7.8. Parábola com foco no ponto

pF ,0 e 0pFig. 7.9. Parábola com foco no ponto

0,pF e 0p

Demonstração Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercício, a demonstração da segunda parte. A parábola é o conjunto dos pontos yx, tais que

rPdistFPdist ,, ,neste caso é

pxypx 22

Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos (12).

Fig. 7.10. Parábola com foco no ponto

pF ,0 e 0pFig. 7.11. Parábola com foco no ponto

0,pF e 0p



175

O ponto V é o ponto da parábola mais próximo da reta diretriz e é chamado de vértice da parábola. A parábola é a curva que se obtém seccionando-se um cone por um plano paralelo a uma reta geratriz do cone.

Elipse

Definição Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

Consideramos no plano dois pontos distintos, 1F e 2F , tal que a distância

cFF 2,dist 21 , e um número real positivo a com ca 22 .

Chamando de a2 a constante da definição, um ponto P pertence à elipse (Figura 7.12) se, e somente se,

Elementos

Com base nas Figuras (7.13 e 7.14), tem-se:

aFPFP 2,dist,dist 21

em que ca .

Fig. 7.12

Focos: são os pontos 1F e 2F .Distância focal: é a distância c2 entre os focos.Centro: é o ponto médio c do segmento 1F e 2F .

Eixo maior: é o segmento 21 AA de comprimento a2 (este segmento contém os focos).Eixo menor: é o segmento 21BB de comprimento b2 e perpendicular a 21 AA no seu ponto médio.Vértices: são os pontos 121 ,, BAA e 2B .



176

Fig. 7.13. Elipse com focos nos pontos

0,1 cF e 0,2 cF Fig. 7.14. Elipse com focos nos pontos

cF ,01 e cF ,02

Pela Figura (7.13) é imediato que aFB 22 pois aFBFB 22212 (definição de

elipse) e 2212 FBFB . Logo, do triângulo retângulo 22cFB vem

222 cba

Esta igualdade mostra que ab e ac .

Excentricidade da elipse é o número real

a

ce 10 e

A excentricidade é responsável pela “forma” da elipse: elipses com excentricidade perto de 0 (zero) são aproximadamente circulares, enquanto que elipses com excentricidade próxima de 1 são “achatadas”. Por outro lado, fixada uma excentricidade, por exemplo,

2

1e , todas as infinitas elipses com esta excentricidade têm a mesma forma (diferem

apenas pelo tamanho).

Proposição a) A equação de uma elipse cujos focos são 0,1 cF e 0,2 cF é (Figura 7.13)

2 2

2 21

x y

a b , (14)

em que 22 cab .



177

b) A equação de uma elipse cujos focos são cF ,01 e cF ,02 é (Figura 7.14)

2 2

2 21

x y

b a , (15)

em que 22 cab .

Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercício, a demonstração da segunda parte. A elipse é o conjunto dos pontos yxP , tais que

aFPFP 2,dist,dist 21 ,

ou seja,

aPFPF 221

,

que neste caso é

aycxycx 22222

ou

2222 2 ycxaycx

Elevando ao quadrado e simplificando, temos

cxaycxa 222 .

Elevando novamente ao quadrado e simplificando, temos

22222222 caayaxca

Como ca , então 022 ca . Assim, podemos definir 22 cab e dividir a

equação acima por 22222 caaba , obtendo (14).



178

Fig. 7.15. Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano

Os pontos 121 ,, BAA e 2B são chamados vértices da elipse. Os segmentos 21 AA e 21BB

são chamados eixos da elipse. A excentricidade da elipse é o número a

ce . Como,

ac , a excentricidade de uma elipse é um número real não negativo menor que 1. Observe que se 21 FF , então a elipse reduz-se ao círculo de raio a. Além disso, como

0c , então 0e . Assim, um círculo é uma elipse de excentricidade nula.

A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da superfície.

Hipérbole

A Figura (7.16) nos mostra dois pontos fixos 1F e 2F , distintos e a uma distância c2um do outro.

Fig. 7.16



179

Consideremos, agora, o conjunto dos pontos P do plano tais que a diferença de suas distâncias aos pontos fixos 1F e 2F seja uma constante positiva que indicamos por a2 , ou seja:

aPFPF 212

O conjunto de pontos nPPPP ,,,, 321 , nessas condições, é denominado hipérbole.

Definição Hipérbole é o conjunto de todos os pontos P do plano tais que a diferença de suas distâncias a dois pontos fixos 1F e 2F do plano é uma constante positiva e menor que a distância entre esses pontos fixos.

Consideramos no plano dois pontos distintos 1F e 2F tal que a distância cFF 2,d 21 e um número real positivo a de modo que ca 22 .

Chamando de a2 a constante da definição, um ponto P pertence a hipérbole (Figura 7.18) se, e somente se,

aFPFP 2,d,d 21 (16)

Fig. 7.18

Fig. 7.17



180

Elementos

Com base nas Figuras (7.19), tem-se:

Fig. 7.20. Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano

Fig. 7.19

1A 2A

2B

1B

Focos: são os pontos 1F e 2F .Distância focal: é a distância c2 entre os focos.Centro: é o ponto médio c do segmento 1F 2F .

Vértices: são os pontos 1A e 2A .

Eixo real ou transverso: é o segmento 21 AA de comprimento a2 .

Eixo imaginário ou não-transverso: é o segmento 21BB de comprimento b2 e

2121 AABB em C.



181

Proposição Seja a hipérbole de centro 0,0C . Consideraremos dois casos:

1) O eixo real está sobre o eixo dos x.

Seja yxP , um ponto qualquer de uma hipérbole (Figura 7.21) de focos 0,1 cF e

0,2 cF .

Pela definição em (16), tem-se

aFPFP 2,d,d 21

ou, em coordenadas

aycxycx 200 2222

Com procedimento de simplificação análogo ao que foi usado na dedução da equação da elipse, e lembrando que 222 bac , chegamos à equação

12

2

2

2

b

y

a

x

que é a equação reduzida para este caso.

E a equação das assíntotas (retas para onde as curva se aproxima, quando x )

xa

by ,

em que 22 acb .

Fig. 7.21. Hipérbole com focos nos pontos

0,1 cF e 0,2 cF Fig. 7.22. Hipérbole com focos nos pontos

cF ,01 e cF ,02



182

2) O eixo real está sobre o eixo dos y

Observando a Figura (7.22), com procedimento análogo ao 1° caso, obtemos a equação reduzida

12

2

2

2

b

x

a

y

E a equação das assíntotas (retas para onde as curva se aproxima, quando x )

yb

ax ,

em que 22 acb .

Aplicação na Identificação de Cônicas

O problema da identificação de uma cônica (curva no plano descrita por uma equação do segundo grau em x e y) através da sua equação é facilmente resolvido, se a equação não possui um termo em que aparece o produto das duas variáveis. Mas, ao contrário, se aparece este termo misto, temos que fazer uma mudança de sistemas de coordenadas de forma que no novo sistema ele não apareça.

Uma equação quadrática nas variáveis x e y tem a forma

022 feydxcybxyax ,

em que a, b, c, d, e e f são números reais, com a, b e c não simultaneamente nulos. Esta equação representa uma (seção) cônica.

Dizemos que a equação de uma cônica não degenerada está na forma padrão se ela tem uma das formas dadas na Figura (7.23).

Vamos ver, agora, como a diagonalização de matrizes simétricas pode ser usada na identificação das cônicas cujas equações não estão na forma padrão.

Vamos estudar alguns exemplos.



183



184

Fig. 7.23. Cônicas não degeneradas com equações na forma padrão

Ex.: 7.13 Considera a cônica C cuja equação é

036845 22 yxyx .

Esta equação pode ser escrita como

036 AXX T , (17)

em que

82

25A .

O polinômio característico de A é

361382

25detdet 2

2

IAp .

Logo, os autovalores de A são 41 e 92 . Os autovetores associados a 41 são as soluções não nulas do sistema

04 2 XIA

ou

0

0

42

21

y

x,



185

cuja solução é

2

1V , onde R .

Os autovetores associados a 92 são as soluções não nulas do sistema

09 2 XIA

ou

0

0

12

24

y

x,

cuja solução é

21V , onde R .

Então,

2

2V . Onde as colunas de

V são os autovetores correspondentes.

Vamos fazer a mudança de variáveis |'PXX , em que

'

''

y

xX na equação (17).

036'' XAPPX TT,

ou

036'' DXXT

,

ou

03692'2' yx ,

ou ainda

149

2'2'

yx

(18)

que é a equação de uma elipse cujo esboço é mostrado na Figura (7.24). Para fazer o esboço do gráfico, em primeiro lugar temos que traçar os eixos 'x e 'y . O eixo 'x passa

pela origem, é paralelo e possui o mesmo sentido do vetor 1

W , que tem coordenadas



186

0

1em relação ao sistema de coordenadas 'x 'y . Assim,

0

11 PW , que é a primeira

coluna de P. O eixo 'y passa pela origem, é paralelo e possui o mesmo sentido de 2

W

que tem coordenadas

0

1em relação ao sistema de coordenadas 'x 'y . Assim,

1

02 PW , que é a segunda coluna de P. Depois, a partir da equação (18), verificamos

na Figura (7.23) a forma da curva em relação aos eixos 'x e 'y .

Fig. 7.24. Elipse do exemplo (7.13)

Exercícios Numéricos

1. Ache o polinômio característico de cada matriz:

(a)

231

210

121

A , (b)

300

120

314

B R.: 24269)(

74)(23

23

b

a

2. Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:

(a)

11

11A R.:

|),(

),(;

2

0

1

0

2

1

v

v

R



187

(b)

42

11B R.:

|)2,(

),(;

3

2

3

2

2

1

v

v

R

(c)

223

031

001

C R.: R

|)2,5,0(

)8,3,6(),0,0(

;3

12

3

1

2

3

2

1

v

vv

(d)

000

300

210

D R.: R

|)0,0,(

0

0

321

v

3. Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:

(a)

21

41A , (b)

12

01B R.:

1;)(

3,2;)(

21

21

nãob

sima

4. Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz não singular P tal que APP 1

seja diagonal:

(a)

021

212

324

A R.: (a) não é diagonalizável; 3,1 321

(b)

110

110

001

A R.: (b)

101

101

010

P

5. Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço no gráfico.

(a) 30649 22 yxyx ;

(b) 0811283 22 yxyx ;

(c) 2442 22 yxyx ;

(d) 013213621 22 yxyx .



188

Exercícios usando o MATLAB

>> syms x y z diz ao MATLAB que as variáveis x, y e z são simbólicas;

>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] cria uma matriz, m por n, usando os elementos a11, a12, ..., amn e a armazena numa variável A;

>> A=[A1,...,An] cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas anteriormente, A1, ..., An colocadas uma ao lado da outra;

>> A=rand(n) ou >> A=rand(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, respectivamente, com elementos aleatórios.

>> solve(expr) determina a solução da equação expr=0. Por exemplo, >> solve(x2-4) determina as soluções da equação x2 - 4 = 0;

>> subs(expr,x,num) substitui na expressão expr a variável x por num.

>> A=randi(n) ou >> A=randi(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, respectivamente, com elementos inteiros aleatórios.

>> escalona(A) calcula passo a passo a forma reduzida escalonada da matriz A.

>> [P,D]=diagonal(A) diagonaliza a matriz A, de forma que AP=PD, em que D éuma matriz diagonal e P é uma matriz ortogonal.

>> subst(expr,[x;y],[a;b]) substitui na expressão expr as variáveis x,y por a,b, respectivamente.

>> elipse(a,b) desenha a elipse 12

2

2

2

b

y

a

x.

>> elipse(a,b,[U1 U2]) desenha a elipse 12

2'

2

2'

b

y

a

x, em que x’ e y’ são as

coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.

>> elipse(a,b,[U1 U2],X0) desenha a elipse 12

2''

2

2''

b

y

a

x, em que x” e y” são as

coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormalU1 e U2 e pelo ponto X0.

>> hiperbx(a,b) desenha a hipérbole 12

2

2

2

b

y

a

x.



189

>> hiperbx(a,b,[U1 U2]) desenha a hipérbole 12

2'

2

2'

b

y

a

x, em que x’ e y’são as


>> hiperbx(a,b,[U1 U2],X0) desenha a hipérbole 12

2''

2

2''

b

y

a

x, em que x” e y” são

as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0.

>> hiperby(a,b) desenha a hipérbole 12

2

2

2

b

x

a

y.

>> hiperby(a,b,[U1 U2]) desenha a hipérbole 12

2'

2

2'

b

x

a

y, em que x’ e y’ são as


>> hiperby(a,b,[U1 U2],X0) desenha a hipérbole 12

2''

2

2''

b

x

a

y, em que x” e y” são

as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0.

>> parabx(p) desenha a parábola pxy 42 .

>> parabx(p,[U1 U2]) desenha a parábola '42' pxy , em que x’ e y’ são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.

>> parabx(p,[U1 U2],X0) desenha a parábola "42'' pxy , em que x” e y” são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X0.

>> paraby(p) desenha a parábola pyx 42 .

>> paraby(p,[U1 U2]) desenha a parábola , '42' pyx em que x’ e y’ são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.

>> paraby(p,[U1 U2],X0) desenha a parábola "42'' pyx , em que x” e y” são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X0.

Obs.: Use o MATLAB para resolver os Exercícios Numéricos

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7.Autovalores e Autovetores - alexbrasil.com.bralexbrasil.com.br/_upload/660b7516b36f7b0a5dd315f120544dad.pdf · Geometria Analítica e Álgebra Linear 01 de fevereiro de 2010 Alex