Crescimento Populacional com Estrutura Etária · 2011. 3. 22. · Modelo em tempo discreto (matriz de Leslie) 2. Autovalores e autovetores de matrizes quadradas 3. Exemplo. 2 Quatro

1

Crescimento Populacional com Estrutura Etária

1. Modelo em tempo discreto (matriz de Leslie)

2. Autovalores e autovetores de matrizes quadradas

3. Exemplo

2

Quatro conceitos importantes

Distribuição etária

Taxa de crescimento

Fertilidade idade-específica

Sobrevivência idade-específica

Populações com estrutura etária

1. Modelo em tempo discreto

3

• Distribuição etária

Proporção da população nas várias classes etárias

Idade

Fraç

ão d

a popula

ção



4

• Sobrevivência idade-específica

Fração de indivíduos de uma certa idade que sobrevivem de um período de tempo para outro

IdadePro

bab

ilidad

e de

sobre

vivê

nci

a id

ade-

espec

ífic

a



5

• Fertilidade idade-específica

Tamanho da prole como função da idade

Idade (semanas)

Tax

a de

nas

cim

ento

(por

sem

ana



6

Como integrar os conceitos de estrutura etária,

crescimento populacional, sobrevivência idade-

específica e fertilidade idade-específica?


Taxa de crescimento





7

Modelo de crescimento populacional em tempo discreto com

estrutura etária

• Censo populacional em intervalos

regulares

• Amplitude da classe etária igual ao

intervalo do censo



8

Grafo do ciclo vital



n0 n1 n2 nωP0 P1

F1 F2 Fω

9

• Probabilidade de sobrevivência idade-

específica

Px: fração dos indivíduos vivos na classe x

que sobrevivem ao intervalo entre os

censos

)()1( tnPtn xxx =+)1,,1,0( −= ωKx



10

• Como obter o número de indivíduos

na classe mais jovem no tempo t + 1?

Fx: número médio de prole dos indivíduos

de idade x que sobrevivem ao censo

subsequente

)()()()()1( 2211000 tnFtnFtnFtnFtn ωω++++=+ L



11

)()1()()1()()1(

)()()()1(

223

112

001

2211000

tnPtntnPtntnPtn

tnFtnFtnFtn

=+=+=+

++=+

Por exemplo, para quatro classes

etárias teríamos o modelo,



12

t = 0

t = 1

t = 3

t = 6

t = 10

t = 20

Classes etárias0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fraç

ão d

a popula

ção n

a cl

asse

etá

ria



13



• Distribuição etária não mais varia depois de t = 10

• Distribuição etária estável

14



Tempo

ln(N

)

15


Taxa de crescimento





• Distribuição etária estável • Crescimento exponencial

16

Modelo para predição da estrutura etária no tempo

)()1()()1()()1(

)()()()1(

223

112

001

2211000

tnPtntnPtntnPtn

tnFtnFtnFtn

=+=+=+

++=+

Modelo matricial para predição da estrutura etária

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++

)()()()(

000000000

)1()1()1()1(

3

2

1

0

2

1

0

3210

3

2

1

0

tntntntn

PP

PFFFF

tntntntn



17

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

)()()(

0000

)1()1()1(

2

1

0

1

0

210

2

1

0

tntntn

PP

FFF

tntntn

)()1( tntn rrL=+

LesliedeMatriz→L



18


1. Modelo em tempo discreto (Matriz de Leslie)


3. Exemplo


2. Autovalores e autovetores

19

Fato 1.– Multiplicação de um escalar por um vetor expande (ou contrai) o vetor, mas não muda sua direção.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛42

21

2



20

Fato 2.– Multiplicação de uma matriz por um vetor muda a direção (e tamanho) do vetor.

121222 53

11

2321

×××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛



21

Pergunta.– Existem vetores tais que o único efeito da matriz sobre esses vetores seja expandí-los ou contraí-los, sem mudar a direção?



22

0xAx =− λxxxAx λλλ −=−

( ) 0=− xIA λ

( ) 0det =− IA λ

xAx λ=Populações com estrutura etária


23

( )

0155

42

00

015542

01001

15542

det

=−−

−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

λλ

λλ

λλIA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=15542

A



24

( )( ) 020152 =−−−− λλ

02015230 2 =−++−− λλλ

λ1 e λ2 são os autovalores da matriz A

10,1610,3 21 −== λλ e

50132 −+ λλ



25

.



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

26,096,0

1x ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

97,021,0

2x

x1 e x2 são os autovetores

associados aos autovalores λ1 e λ2

26

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 82,0

99,226,096,0

15542

1

32143421xA

{ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛82,099,2

26,096,0

10,3

1

1 321x

λ



27

{32132143421

1

1

1

26,096,0

10,326,096,0

15542

xxA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− λ

xAx λ=



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛82,099,2

82,099,2

28




3. Exemplo

29

Idade 1991 1992 1993 1994

26 28 27 29016 17 20 201

12 11 13 142

9 8 9 103

Número de indivíduos de cada idade

entre 1991 e 1994 de uma população

de Lichenostomus melanops


3. Exemplo

30

)()1( tnPtn xxx =+

)()1(

tntnPx

xx

+=


3. Exemplo

31

654,02617

)1991()1992(

0

10 ===nnP

Idade 1991 1992 1993 1994

26 28 27 29016 17 20 201

12 11 13 142

9 8 9 103


3. Exemplo

32

714,02820

)1992()1993(

0

10 ===nnP

Idade 1991 1992 1993 1994

26 28 27 29016 17 20 201

12 11 13 142

9 8 9 103


3. Exemplo

33

703,02720

)1993()1994(

0

10 ===nnP

Idade 1991 1992 1993 1994

26 28 27 29016 17 20 201

12 11 13 142

9 8 9 103


3. Exemplo

34

703,03

741,0714,0654,00 =

++=P


3. Exemplo

35

687,01611

)1991()1992(

1

21 ===nnP

Idade 1991 1992 1993 1994

26 28 27 29016 17 20 201

12 11 13 142

9 8 9 103


3. Exemplo

36

765,01713

)1992()1993(

1

21 ===nnP

Idade 1991 1992 1993 1994

26 28 27 29016 17 20 201

12 11 13 142

9 8 9 103


3. Exemplo

37

700,02014

)1993()1994(

1

21 ===nnP

Idade 1991 1992 1993 1994

26 28 27 29016 17 20 201

12 11 13 142

9 8 9 103


3. Exemplo

38

717,03

700,0765,0687,01 =

++=P


3. Exemplo

39

666,0128

)1991()1992(

2

32 ===nnP

Idade 1991 1992 1993 1994

26 28 27 29016 17 20 201

12 11 13 142

9 8 9 103


3. Exemplo

40

818,0119

)1992()1993(

2

32 ===nnP

Idade 1991 1992 1993 1994

26 28 27 29016 17 20 201

12 11 13 142

9 8 9 103


3. Exemplo

41

769,01310

)1993()1994(

2

32 ===nnP

Idade 1991 1992 1993 1994

26 28 27 29016 17 20 201

12 11 13 142

9 8 9 103


3. Exemplo

42

751,03

769,0818,0666,02 =

++=P


3. Exemplo

43

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++

)()()()(

0751,00000717,00000703,0659,0750,0756,00

)1()1()1()1(

3

2

1

0

3

2

1

0

tntntntn

tntntntn

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++

)()()()(

000000000

)1()1()1()1(

3

2

1

0

2

1

0

3210

3

2

1

0

tntntntn

PP

PFFFF

tntntntn

)()1( tntn rrL=+

Leslie deMatriz→L


3. Exemplo

44

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0751,00000717,00000703,0659,0750,0756,00

L

Como calcular os autovalores e autovetores da matriz de Leslie, L?


3. Exemplo

45

MATLAB

A = [0, 0.756, 0.750, 0.659;

0.703, 0, 0, 0;

0, 0.717, 0, 0;

0, 0, 0.751, 0]


3. Exemplo

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0751,00000717,00000703,0659,0750,0756,00

L

46

[V,D] = eig(A)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

=

0.66580.66580.53010.24430.4904 ‐ 0.1551‐0.4904 0.1551‐0.4957‐0.34240.2393 0.3405‐0.2393 ‐ 0.3405‐0.48560.50250.20920.27420.2092‐0.27420.4873‐0.7554

iiiiii

V

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

ii

0.5531 ‐ 0.1750‐0.5531 0.1750‐

0.7024‐1.0523

000000000000

D


3. Exemplo

MATLAB

47

• Autovalor dominante → 1,0523

Interpretação: População cresceu aproximadamente 5% durante o período amostrado

Matriz de autovalores

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

ii

0.5531 ‐ 0.1750‐0.5531 0.1750‐

0.7024‐1.0523

000000000000

D


3. Exemplo

48

Matriz de autovetores

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

=

0.66580.66580.53010.24430.4904 ‐ 0.1551‐0.4904 0.1551‐0.4957‐0.34240.2393 0.3405‐0.2393 ‐ 0.3405‐0.48560.50250.20920.27420.2092‐0.27420.4873‐0.7554

iiiiii

V

Autovetor associado ao autovalor dominante


3. Exemplo

49

• Interpretação do autovetor normalizado

Distribuição etária estável: 41% de indivíduos na classe 0, 27% na classe 1, 18% na classe 2 e 13% na classe 3


3. Exemplo

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

2443.03424.05025.07554.0

1324,08446,12443,0

1856,08446,13424,0

2724,08446,15025,0

4095,08446,17554,0

=

=

=

=

50




3. Exemplo

Documents

Crescimento Populacional com Estrutura Etária · 2011. 3. 22. · Modelo em tempo discreto (matriz de Leslie) 2. Autovalores e autovetores de matrizes quadradas 3. Exemplo. 2 Quatro