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EM 621 - DMC - UNICAMP
MODELAGEM DE ESTADO
■ Introdução■ Vetor de Estado■ Modelo Canônico Controlável
■ Autovalor e Autovetor
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Introdução
■ O uso de modelos de estados foi iniciado na década de 60, apesarde ser um método conhecido desde o século XIX.
■ Originou o que hoje é conhecido como controle moderno(domínio do tempo), em contraposição ao controle clássico(domínio da freqüência) desenvolvido nas décadas anteriores.
■ A modelagem de estado permite que um sistema de s equaçõesordem n possa ser representado por ns equações de primeiraordem.
■ Definem-se ns variáveis auxiliares, uma para cada equação deprimeira ordem, às quais dá-se o nome de variáveis de estado.
■ As ns variáveis de estado são agrupadas em um vetor de nscomponentes, o qual é chamado de vetor de estado.
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Conceito de estado
O estado de um sistema é o menor conjunto de variáveisque permita uma descrição completa do sistema, ouseja, conhecida sua equação dinâmica e respectivasentradas, os seus estados futuros podem ser previstos.
Por exemplo, para que o deslocamento da massa em umsistema MMA seja previsto é necessário que seconheça o deslocamento e velocidade iniciais e a forçaexercida ao longo do tempo.
Portanto um possível vetor de estado é o deslocamento evelocidade, ou diferentes combinações destas variáveis
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Características do modelo de estado
■ Domínio do tempo■ Notação matricial■ Vamos trabalhar com sistemas lineares
invariantes no tempo, mas pode representar,da mesma forma, sistemas:
• não lineares• variantes no tempo• de múltiplas entradas e saídas
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Vantagens do Modelo de Estado
■ equações mais adaptadas àsolução computacional, por sermatricial
■ equações de primeira ordem, ondea solução é conceitualmentesimples e conhecida
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Modelo de estado geral
■ Considerando um sistema de ordem n com p entradas e q saídas
u1
u2
up
�
y1
yq
y2
�
[ ] nituuuxxxftx pnii ���� 2,1,,,,)( 2121 ==
pode ser descrito pelo conjunto de
[ ] qktuuuxxxgty pnkk ��� 2,1,,,,)( 2121 == e q equações algébricaspara as saídas
n equações diferenciais de1a. ordem para o estado
sistema
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■ As equações podem ser resumidas:
■ Ou ainda, na forma matricial linearizada p/ parâmetrosconstantes e invariantes no tempo (LIT):
■ Onde A é n x n, B é n x p, C q x n e D q x p.
Modelo de estado invariante no tempo
)),(),(()(
)),(),(()(
tttgt
tttft
uxy
ux
==x�
)()()(
)()()(
tDtCt
tBtAt
uxy
ux
+=+=x�
equações de estado
equações de saída
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Representação no Espaço de Estados
Muitas técnicas estão disponíveispara obtenção da representação no
espaço de estados de sistemasdescritos por equações
diferenciais lineares
Representaçãonão é única
•Modelo com variáveis físicas•Formas canônicas
•Controlável•Observável•Diagonal•Jordan
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Exemplo 4.1
Para o circuito abaixo, determine um modelo de estadoonde a entrada é uma fonte de tensão e a saída é atensão no segundo capacitor.
K
R1
C2C1
R2
vi vo
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Exemplo 4.1: Solução
Aplicando as leis de Kirchhoff e as relações de cadacomponente:
20
222
111
2222
12
111
C
C
C
C
C
Ci
vvdt
dvCi
dt
dvCi
viRv
Kvv
viRv
=
=
=
+==
+=
K
R1
C2C1
R2
vi vo
2v
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Exemplo 4.1: continuando
Admitindo como variáveis de estado e saída:
iC
CC
vuvy
vxvx
====
2
2211
dt
dvCi
dt
dvCi
Kvv
viRv
viRv
C
C
C
C
Ci
222
111
12
2222
111
=
=
=+=
+=
22
221
11
11
xdt
dxCRKx
xdt
dxCRu
+=
+=
222
122
2
111
11
1
1
11
xCR
xCR
K
dt
dx
uCR
xCRdt
dx
−=
+−=
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Exemplo 4.1: concluindo
O modelo de estado na forma matricial é portanto
O sistema acima é chamado de modelo de estado comvariáveis físicas.
uCRx
x
CRCR
KCR
x
x
+
−
−=
0
1
1
01
112
1
2222
11
2
1
��
222
122
2
111
11
1
1
11
xCR
xCR
K
dt
dx
uCR
xCRdt
dx
−=
+−=
[ ]
=
2
110x
xy
2xy =
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Forma canônica (controlável)
■ Dada a equação geral de um sistema de ordem n
■ considerando a forma de cascata
)(011
1
1
011
1
1
tubdt
dub
dt
udb
dt
udb
yadt
dya
dt
yda
dt
yd
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
++++
=++++
−
−
−
−
−
−
�
�
N(p)D(p)-1
vu y
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■ Observando que
■ Análise do 1º sistema para a relação entre v e u
Considerando apenas o denominador
)(011
1
1 tuvadt
dva
dt
vda
dt
vdn
n
nn
n
=++++ −
−
− �
1x2xnxnx�
1nx −� 1x� �
■ definindo
D(p)-1
vu
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■ onde a saída é dada por:
Modelo canônico controlável parcial
■ Chega-se assim ao seguinte modelo:
1
2
3
1
2
3
4
n n
x x
x x
x x
x x−
===
=
��
�
��
1v x=
)(011
1
1 tuvadt
dva
dt
vda
dt
vdn
n
nn
n
=++++ −
−
− �
)(10211 tuxaxaxax nnn =++++ − ��
n 0 1 1 2 2 3 n 1 nx u (t) a x a x a x a x−= − − − − −� �
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Matrizes sem numerador
■ Em notação matricial, o modelo pode ser escrito:
1 1
2 2
0 1 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0( )
1nn n
x x
x xu t
a a a ax x−
= + − − − −
� �� �
� � � � � �� �� �
[ ]1
2( ) 1 0 0 0
n
x
xv t
x
=
��
A x Bx�
E
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Matrizes sem numerador
■ Em notação matricial compacta, o modelo pode ser escrito:
0 1 1
0 1 0
0 0 0
1
n
A
a a a −
= − − −
��
� � ��
x
x
x
xn
=
1
2
�
B =
0
0
1
�
[ ]1 0 0 0E = �( ) ( ) ( )
( ) ( )
t A t Bu t
v t E t
= +=
x� x
x
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Considerando apenas o numerador
■ Para a relação entre y e v
■ substituindo as variáveis de estado já definidas
12nn
n1n322110n
xbxbxb
xaxaxaxau(t)bty
011
)()(
+++++−−−−−=
−
−
�
�
vbdt
dvb
dt
vdb
dt
vdbty
n
n
nn
n
n 011
1
1)( ++++= −
−
− �
N(p)
v y
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Conclui-se
■ Agrupando os termos
■ e na forma matricial
u(t)bxabbxabbxabbty n10n21nn1-nnn +−+−++−= − )()()()( 011 �
C
D
0
1
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
T
n 0 1
n 1 2
n
n n n-2 n-1
n n n-1 n
b b a x
b b a x
y t b u(t)
b b a x
b b a x−
−
− −
= + − −
� �
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Matrizes do modelo canônico controlável
■ O modelo final pode ser escrito
B =
0
0
1
�
nbD =
)()()(
)()()(
tDutCty
tButAtdt
d
+=
+=
x
xx
0
1
1
( )
( )
( )
T
n 0
n 1
n n n-1
b b a
b b aC
b b a−
− − = −
�
−−−−
=
−1210
1000
0100
0010
naaaa
A
��
�������
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Equação homogênea
■ A equação homogênea corresponde aosistema de entrada nula e portanto o modelode estado reduz-se a
■ Portanto, conhecendo-se a matriz A, ocomportamento natural do sistema pode serdeterminado.
Axdt
dx =( ) ( ) ( )d
t A t Bu tdt
= +xx
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Autovalor e autovetor
Definem-se como autovalores (λ) e autovetores (ξ) deuma matriz A a solução da equação
λξξ =A
0)( =− ξλ AI
0)det( =− AIλ
ou ainda,
cuja solução, desprezando a trivial, exige que a matriz[λI-A] seja singular (não inversível) e, portanto,
que é uma forma de calcular os autovalores.
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Autovalor e pólo
■ Pode-se mostrar que as raízes do polinômiocaracterístico, ou pólos, são iguais aos autovalores damatriz de estado A.
■ Considerando que existem infinitas representações deestado de um mesmo sistema, pode-se concluir quetodos os modelos vão apresentar os mesmosautovalores.
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Exemplo 4.2
Para um sistema MMA, determine o modelo deestado canônico controlável correspondente.
m
k c c k uy y y
m m m+ + =�� �
y
1x2x2x�
2 2 1
1 2
c k ux x x
m m mx x
+ + =
=
�
�
1x�
onde o vetor de estado
1
2
x yx
x y
= =
�
1y x=resposta
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Exemplo 4.2 continuação
1 2
2 2 1
0x x
c k ux x x
m m m
− =
+ + =
�
� vetor deestado
1
2
x yx
x y
= =
�
■ na forma matricial
1 1
2 2
0 1 0
1x x
uk cx x
m m m
= + − −
��
[ ]1 0 1
2
xy
x
=
1y x=
resposta
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Exemplo 4.2 continuação
■ na forma matricial padronizada
10C
m =
0 1A k c
m m
= − −
0
1B
=
[ ]0D =
A
a a a an
=
− − − −
−
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 2 1
��
� � � � ��
B =
0
0
1
� nbD =
0
1
1
( )
( )
( )
T
n 0
n 1
n n n-1
b b a
b b aC
b b a−
− − = −
�
c k uy y y
m m m+ + =�� �
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Exemplo 4.2: Diagrama de blocos
■ Diagrama de blocos do sistema
■ notar que as saídas dos integradores são as variáveisde estado
�-
�
k/m
y
c/m
u +1/m
-
2y x=�� � 2y x=�1y x=
∫ ∫
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Matlab: exemplo 4.2
Considerando m=2kg, c=3 N/m/s, k=10 N/m,montar o modelo de estado anterior usandoMatlab. Usar os comandos ss, eig, damp, tf,roots e mostrar que os autovalores e os pólosdo sistema são os mesmos.
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■ m=2;■ c=3;■ k=10;■ A=[0 1;-k/m -c/m];■ B=[0;1/m];■ C=[1 0];■ D=0;■ sys=ss(A,B,C,D);■ impulse(sys)
Matlab: programa p/ o exemplo 4.2
■ np=1/m;■ dp=[1 c/m k/m];■ sys2=tf(np,dp);■ figure(2), impulse(sys2)
■ eig(A)■ roots(dp)
■ damp(A)■ damp(sys2)
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Exemplo 4.3
Determine o modelo de estado físico para osistema abaixo, com 2 GDL.
1 1 1, ,y y y� � �
2 2 2, ,y y y� � �
1m
2m
10
3
2
1
1
1
===
k
c
m
10
3
50
2
2
2
===
k
c
m1c
2c
1k
2k
)(tf
Nttf )2sen(10)( =
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Exemplo: solução
Aplicando-se a lei de Newton a cada massachega-se às seguintes equações:
A partir dessas equações deduzir os modelos deestado. Usar como vetor de estado odeslocamento e a velocidade de cada massa.
fkykyycycym
kykyycycym
=+−+−=−+−+
212122
212111 022
����
����
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Exemplo : solução
Definindo-se o vetor de estado como
as equações ficam
ou ainda
fkxkxcxcxxm
kxkxcxcxxm
=+−+−=−+−+
314242
314221 022
�
�
2412
2311
yxyx
yxyx
�� ====
32
12
42
222
4
31
11
41
21
2
1
22
xm
kx
m
kx
m
cx
m
cf
mx
xm
kx
m
kx
m
cx
m
cx
−+−+=
+−+−=
�
�
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Exemplo : solução
Ordenando os termos
e lembrando que
o modelo fica
fm
xm
cx
m
kx
m
cx
m
kx
xm
cx
m
kx
m
cx
m
kx
24
23
22
21
24
41
31
21
11
2
1
22
+−−+=
++−−=
�
�
u
mx
x
x
x
m
c
m
k
m
c
m
k
m
c
m
k
m
c
m
k
x
x
x
x
+
−−
−−=
24
3
2
1
2222
1111
4
3
2
1
10
0
0
1000
220010
����
423
211
xyx
xyx
====
��
��
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Exemplo : solução
Considerando a saída como a posição da massa 1:
Se desejarmos as duas posições:
11 yxy == [ ]
=
4
3
2
1
0001
x
x
x
x
y
=
4
3
2
1
0100
0001
x
x
x
x
y
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Exercício
■ Utilizar o mesmo programa anterior doúltimo exemplo (p/ saída = y1) e calculara resposta à excitação f(t) a partir dafunção de transferência.
■ Encontrar o modelo canônico controlávelpara o mesmo exemplo.• Sugestão: usar o operador p nas duas
equações básicas e eliminar em umadelas.