Módulo 2 Autovalores e autovetores Transformações lineares ...bibliotecadigital.sedis.ufrn.br/pdf/TICS/Alg_II_ECT_Livro_Z_WEB.pdf · 12 Aula 12 Álgebra Linear Exemplo 1 Se multiplicarmos

Projeto Institucional

Edital nº 015/2010/CAPES/DEDFomento ao uso de tecnologias de comunição e informação nos cursos de graduação

Álgebra Linear

Módulo 2Autovalores e autovetoresTransformações linearesFormas quádricas

Jossana Ferreira

Jossana Ferreira


Catalogação da publicação na fonte. Bibliotecária Verônica Pinheiro da Silva.

© Copyright 2005. Todos os direitos reservados a Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – EDUFRN.Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa do Ministério da Educacão – MEC

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Coordenadores Apuena Vieira Gomes/CE Adir Luiz Ferreira/CEGleydson de Azevedo Ferreira Lima/SINFOMarcos Aurélio Felipe/CEMaria Carmozi de Souza Gomes/PROGRADRex Antonio da Costa de Medeiros/ECT

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Secretaria de Educação a Distância (SEDIS)

FICHA TÉCNICA

Natal – RNAbril/2012


Jossana Ferreira

Álgebra Linear

Sumário

Apresentação Institucional 5

Aula 12 Autovalores e autovetores 7

Aula 13 Diagonalização de matrizes 21

Aula 14 Transformações lineares – defi nição 37

Aula 15 Transformações lineares e matrizes 57

Aula 16 Transformações lineares inversas 69

Aula 17 Transformações lineares e geometria do �2 83

Aula 18 Formas quádricas 101

Aula 19 Diagonalização de formas quádricas 115

Aula 20 Seções cônicas 125

5

Apresentação Institucional

A Secretaria de Educação a Distância – SEDIS da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN, desde 2005, vem atuando como fomentadora, no âmbito local, das Políticas Nacionais de Educação a Distância em parceira com a Secretaria de Educação a Distância – SEED, o Ministério da Educação – MEC e a Universidade Aberta do Brasil – UAB/CAPES. Duas linhas de atuação têm caracterizado o esforço em EaD desta instituição: a primeira está voltada para a Formação Continuada de Professores do Ensino Básico, sendo implementados cursos de licenciatura e pós-graduação lato e stricto sensu; a segunda volta-se para a Formação de Gestores Públicos, através da oferta de bacharelados e especializações em Administração Pública e Administração Pública Municipal.

Para dar suporte à oferta dos cursos de EaD, a Sedis tem disponibilizado um conjunto de meios didáticos e pedagógicos, dentre os quais se destacam os materiais impressos que são elaborados por disciplinas, utilizando linguagem e projeto gráfi co para atender às necessidades de um aluno que aprende a distância. O conteúdo é elaborado por profi ssionais qualifi cados e que têm experiência relevante na área, com o apoio de uma equipe multidisciplinar. O material impresso é a referência primária para o aluno, sendo indicadas outras mídias, como videoaulas, livros, textos, fi lmes, videoconferências, materiais digitais e interativos e webconferências, que possibilitam ampliar os conteúdos e a interação entre os sujeitos do processo de aprendizagem.

Assim, a UFRN através da SEDIS se integra o grupo de instituições que assumiram o desafi o de contribuir com a formação desse “capital” humano e incorporou a EaD como moda-lidade capaz de superar as barreiras espaciais e políticas que tornaram cada vez mais seleto o acesso à graduação e à pós-graduação no Brasil. No Rio Grande do Norte, a UFRN está presente em polos presenciais de apoio localizados nas mais diferentes regiões, ofertando cursos de graduação, aperfeiçoamento, especialização e mestrado, interiorizando e tornando o Ensino Superior uma realidade que contribui para diminuir as diferenças regionais e o conhecimento uma possibilidade concreta para o desenvolvimento local.

Nesse sentido, este material que você recebe é resultado de um investimento intelectual e econômico assumido por diversas instituições que se comprometeram com a Educação e com a reversão da seletividade do espaço quanto ao acesso e ao consumo do saber E REFLE-TE O COMPROMISSO DA SEDIS/UFRN COM A EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA como modalidade estratégica para a melhoria dos indicadores educacionais no RN e no Brasil.

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA SEDIS/UFRN

Autovalores e autovetores

12Aula

Aula 12 Álgebra Linear 9

ApresentaçãoOs autovalores e autovetores de uma matriz podem revelar muita informação a respeito

de sistemas e plantas que estejam por trás dessas matrizes. Esse recurso da Álgebra Linear é bastante utilizado nas engenharias, física, química etc.

ObjetivoCalcular os autovalores e autovetores a partir de matrizes quadradas.


Autovalor Os autovalores de uma matriz também são chamados de valor próprio ou valor caracte-

rístico. Para entendermos sua defi nição, consideremos uma matriz A quadrada:

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

an1 an2 · · · ann

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Ao multiplicarmos essa matriz A por um vetor v =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

1

2

n

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ não nulo, obtemos um outro

vetor também de dimensão n×1. Por outro lado, se multiplicarmos o mesmo vetor v por uma constante ¸, também obteremos como resultado um vetor de dimensão n×1:

A·v = vetor de dimensão n×1¸·v = vetor de dimensão n×1

Será que existe algum valor para ¸ que torne esses dois resultados iguais? A.v = ¸.v ? A resposta é sim. Esses valores são chamados de autovalores.

Portanto, autovalor é um número, real ou complexo, que de certa forma pode substituir uma matriz quadrada, ou seja, ou autovalores podem representar essa matriz.

Observações

� Só é possível obter autovalores e autovetores de matrizes quadradas.

� O número de autovalores é defi nido pela ordem da matriz.

Aula 12 Álgebra Linear12

Exemplo 1 Se multiplicarmos a matriz A =

[2 1

1 2

] pelo vetor

1 =

[1

1

] temos:

A · 1 =[

2 1

1 2

]·[

1

1

]=

[3

3

]. É notório que a constante que devemos multiplicar por v

1 para

que a igualdade A.v = ̧ .v seja satisfeita é ̧ =3: λ = 3 :[

2 1

1 2

]·[

1

1

]= 3 ·

[1

1

]=

[3

3

] .

Uma outra possibilidade é multiplicarmos a matriz A =

[2 1

1 2

] pelo vetor

v2 =

[−1

1

]. Assim, temos: A · 2 =

[2 1

1 2

]·[

−11

]=

[−11

] logo, a constan-

te que devemos multiplicar por v2 para que a igualdade A·v = ¸.v seja satisfeita é ¸=1:

λ = 1 :

[2 1

1 2

]·[

−11

]= 1 ·

[−11

]=

[−11

].

Encontrando os autovalores No Exemplo 1, conseguimos identifi car os autovalores da matriz A, porém, nem sempre

essa tarefa é possível de ser alcançada simplesmente analisando a matriz intuitivamente. Para obtermos o procedimento a fi m de encontrarmos os autovalores de uma matriz

quadrada, vamos partir da própria defi nição de autovalores:

Av =¸v

Vamos introduzir a matriz identidade sem alterar a igualdade:

Av =¸Iv

Vamos agora somar a ambos os lados da equação o termo –Av :

Av – v = ¸Iv – Av

0 = ¸Iv – Av

Colocando o vetor v em evidência: (¸I–A)v =0

Essa equação resulta em um sistema de equações com n equações e n incógnitas, onde n é a ordem da matriz A. Note que o sistema é um sistema homogêneo, portanto, admite a solução trivial (todas as variáveis iguais a zero). No sistema de equações, v é o vetor com as incógnitas e a matriz (¸I–A) é a matriz dos coefi cientes. Sabemos ainda que em um sistema de equações, quando a matriz dos coefi cientes apresenta determinante diferente de zero, isso implica em um sistema possível determinado, ou seja, de única solução, e como esse sistema

1


é homogêneo, se apresentar uma única solução, essa solução necessariamente será a trivial, solução que não interessa, pois obteríamos qualquer valor para ¸. Para encontrarmos as soluções não triviais dessa equação, devemos garantir que o determinante da matriz (¸I–A) seja igual a zero: det(¸I–A)=0

Essa equação é chamada de equação característica.Ao desenvolvermos a equação característica, nos deparamos com um polinômio em ¸,

chamado de polinômio característico.¸n+c

1¸n -1+c

2¸n -2+ ... + cn -1¸+ cn

Exemplo 2 Encontre os autovalores da matriz A =

[2 2

2 2

]

Fazendo det(¸I–A)=0

det

(λ

[1 0

0 1

]−[

2 2

2 2

])= 0

det

([λ− 2 −2−2 λ− 2

])= 0

(¸ – 2)2 – 4 = 0¸2 – 4¸ = 0 → polinômio característico¸(¸–4) = 0

λ1 = 0

λ2 = 4

} autovalores de A

Encontre os autovalores da matriz A =

[2 −4

−4 2

]


Autovetor Quando partimos da defi nição Av =¸v encontramos os autovalores da matriz A, porém

quando substituímos o valor de ¸, a equação não é satisfeita para qualquer vetor v, apenas para alguns vetores que são chamados de autovetores da matriz A.

Portanto, autovetor é o conjunto de vetores solução, não triviais, da equação Av =¸v ou (¸I–A)v=0, para cada valor de ¸.

Exemplo 3 Encontre os autovetores da matriz A =

[2 2

2 2

].

Para encontrarmos os autovetores de uma matriz, antes precisamos conhecer seus autovalores, como calculamos no Exemplo 2, sabemos que os autovalores de A são 0 e 4.Então, vamos solucionar a equação (¸I–A)v=0 para ¸=0 e para ¸=4.

Para ¸=0

(λI −A)v = 0(λ− 2 −2−2 λ− 2

)(x1y1

)=

(0

0

)(

0− 2 −2−2 0− 2

)(x1y1

)=

(0

0

)(

−2 −2−2 −2

)(x1y1

)=

(0

0

){

−2x1 − 2y1 = 0−2x1 − 2y1 = 0

x1 = −y1(x1y1

)=

(−y1y1

)= y1

(−11

)

v1 = (−1, 1)

Para ¸=4

(λI −A)v = 0(λ− 2 −2−2 λ− 2

)(x2y2

)=

(0

0

)(

4− 2 −2−2 4− 2

)(x2y2

)=

(0

0

)(

2 −2−2 2

)(x2y2

)=

(0

0

){

2x2 − 2y2 = 0−2x2 + 2y2 = 0

x2 = y2(x2y2

)=

(y2y2

)= y2

(1

1

)

v2 = (1, 1)

2


Autoespaço Note que em toda situação obteremos um sistema possível indeterminado porque defi -

nimos no início que det(¸I–A)=0, o que caracteriza um sistema possível indeterminado ou impossível, e como o sistema é sempre homogêneo, logo não pode ser impossível. Portanto, sempre teremos infi nitas soluções para os autovetores e, por essa razão, não dizemos que apenas um determinado vetor é autovetor de uma matriz e sim todo espaço gerado por essa base encontrada. Esse espaço solução para os autovalores possíveis é chamado de autoespaço associado a um determinado autovalor.

Encontre os autovetores da matriz A =

[2 −4

−4 2

].

Observação:

� O sistema tem soluções não triviais.

� Se A é uma matriz triangular ou diagonal, então, os autovalores de A são os elementos da diagonal principal.

Propriedades

� Se v é um autovetor associado a um autovalor ¸ de A, então, kv também é um autovetor de A associado ao mesmo autovalor.

� Se ¸ é autovalor de A, então, ¸k é um autovalor de Ak.

� Se ¸ é autovalor de A, então, ¸–1 é um autovalor de A–1.

� Se ¸ é autovalor de A, então, k¸ é um autovalor de kA.

*k é um escalar.


Multiplicidade dos autovalores

Multiplicidade algébrica A multiplicidade algébrica dos autovalores indica a quantidade de vezes que um determi-

nado autovalor aparece como solução do polinômio característico.

Multiplicidade geométrica A multiplicidade geométrica dos autovalores indica a dimensão do autoespaço associado

a um determinado autovalor, ou seja, a quantidade de vetores na base do autoespaço.

Exemplo 4 Encontre a multiplicidade algébrica e geométrica da matriz A =

⎡⎢⎣

0 0 1

0 0 1

0 0 1

⎤⎥⎦

Encontrando os autovalores de A:

det(λI −A) = 0

det

⎛⎜⎝

λ 0 −10 λ −10 0 λ− 1

⎞⎟⎠ = 0

Escolhendo a terceira linha da matriz:

detM = m31c31 +m32c32 +m33c33 = 0

detM = 0 · c31 + 0 · c32 +m33c33 = 0

detM = (λ− 1)(−1)3+3∣∣∣∣∣ λ 00 λ

∣∣∣∣∣ = 0(λ− 1)λ2 = 0λ1 = 1 → Mult. Algébrica = 1λ2 = 0

λ3 = 0

}→ Mult. Algébrica = 2

3


Encontrando os autovetores de A:

Para ¸=1

(λI −A)v = 0⎛⎜⎝

λ 0 −10 λ −10 0 λ− 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1y1z1

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝

0

0

0

⎞⎟⎠

(λI −A)v = 0⎛⎜⎝

1 0 −10 1 −10 0 0

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1y1z1

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝

0

0

0

⎞⎟⎠

{x1 − z1 = 0y1 − z1 = 0⎛

⎜⎝x1y1z1

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝

z1z1z1

⎞⎟⎠ = z1

⎛⎜⎝

1

1

1

⎞⎟⎠

v1 = (1, 1, 1)

Multiplicidade geométrica de ¸=1 → 1

Para ¸=0

(λI −A)v = 0⎛⎜⎝

λ 0 −10 λ −10 0 λ− 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x2y2z2

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝

0

0

0

⎞⎟⎠

(λI −A)v = 0⎛⎜⎝

0 0 −10 0 −10 0 −1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x2y2z2

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝

0

0

0

⎞⎟⎠

{−z2 = 0⎛

⎜⎝x2y2z2

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝

x2y20

⎞⎟⎠ = x2

⎛⎜⎝

1

0

0

⎞⎟⎠ = y2

⎛⎜⎝

0

1

0

⎞⎟⎠

v2 = (1, 0, 0),v3 = (0, 1, 0)

Multiplicidade geométrica de ¸=0 → 2

Encontre as multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores de

A =

⎡⎢⎣

0 0 1

0 0 1

1 1 1

⎤⎥⎦.

Desafi o

Resumo

1


1) Sabendo que o polinômio característico é p(¸)= ¸3 –¸2+2¸+4, encontre det(A).

2) Conhecendo os autovalores de A, então, conhecemos os autovalores de AT?

3) Uma matriz A é inversível se um dos seus autovalores for zero?

O assunto de autovalores e autovetores é um dos mais usados da Álgebra Linear e é importante que nesta aula você tenha aprendido como calculá-los, assim como entender seu signifi cado, pois esse conteúdo será amplamente aplicado daqui em diante.

AutoavaliaçãoEncontre os autovalores e autovetores das seguintes matrizes.

a) A =[4]

b) A =[

2 1

0 3

]

c) A =[

2 1

2 3

]

d) A =[

1 1

1 −1

]

e) A =

⎡⎢⎣

0 1 1

1 1 0

1 0 1

⎤⎥⎦

f) A =

⎡⎢⎣

1 0 0

0 0 0

0 0 0

⎤⎥⎦

g) A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

2

3

4

5

6

7


Encontre os autovalores e autovetores de A15, sendo A =

⎡⎢⎣

−1 −2 −21 2 1

−1 −1 0

⎤⎥⎦.

Encontre uma matriz de ordem 4 onde seus autovalores sejam 1, 2, 3 e 4.

Encontre uma base para o autoespaço de:

a) F =

⎡⎢⎣

1 1 1

0 0 0

1 0 1

⎤⎥⎦ b) H =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

0 0 1 2

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Considere a matriz A =

[a b

c d

] e responda:

a) Que condição faz com que a matriz A tenha autovalores complexos?

b) Que condição faz com que os autovalores de A tenham multiplicidade algébrica diferente de 1?

Se um dos autovalores de uma matriz B é zero, a matriz B é não singular? Justifi que.

Considere o polinômio característico de A, p(¸)= ¸(¸–2)(¸+1)3 (¸–4).

a) Qual o tamanho de A?

b) A é inversível?

ReferênciasANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980.

LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

Anotações


Diagonalização de matrizes

13Aula

1

2

3


Apresentação

Sabemos que muitos sistemas podem ser representados por matrizes e a manipulação dessas matrizes implica em análise, melhorias e cálculos desses sistemas. Imagine que essas matrizes, em determinados casos, não sejam simples de serem manipuladas, então devemos encontrar matrizes o mais simples possível para representar esses sistemas e assim ganhar em tempo de processamento e custo operacional. Uma das formas de obter essa simplifi cação consiste em encontrarmos uma matriz diagonal que seja semelhante à original, e a esse processo chamamos de diagonalização de matrizes.

ObjetivosSaber aplicar o processo de diagonalização de matrizes.

Diferenciar a diagonalização convencional da diagonaliza-ção ortogonal.

Calcular a matriz que diagonaliza outra.


Defi nição A diagonalização de matrizes consiste na obtenção de uma matriz diagonal que seja

equivalente à matriz original. O que motiva a obtenção dessa matriz equivalente diagonal são as suas características. Por apresentar todos os elementos fora da diagonal principal diferentes de zero, isso implica, matematicamente, em uma redução signifi cativa no custo de processamento dessa matriz.

Matrizes equivalentes Para entender melhor como a matriz diagonal pode ser semelhante a uma matriz qualquer

quadrada, vejamos a seguir o que é preservado em matrizes semelhantes.

Considere duas matrizes A e B que sejam semelhantes:

� As características (postos) são iguais.

� As nulidades são iguais.

� Os polinômios característicos são iguais.

� Os determinantes são iguais.

� Os traços são iguais.

� Os autovalores são iguais.

� Os autovetores são correspondentes.

Com esses pontos iguais, então podemos afi rmar que duas matrizes são semelhantes. O desafi o consiste então em encontrar uma matriz diagonal que preserve todos esses itens da matriz original.

Por defi nição, dizemos que duas matrizes A e B são semelhantes se existir uma matriz P, inversível, tal que:

B = P–1AP


Então, se encontrarmos a matriz P, estamos encontrando a matriz que diagonaliza A, e B será uma matriz diagonal.

Matriz diagonal Se B é uma matriz diagonal semelhante à A e os autovalores são preservados quando

as matrizes são semelhantes, então a única possibilidade de B ter os mesmos autovalores de A é se os elementos da diagonal de B forem os próprios autovalores de A:

B = D = P –1AP

Se quisermos apenas saber qual a matriz diagonal equivalente, então basta encontrar-mos os autovalores da matriz A, porém, muitos problemas requerem encontrar a matriz que diagonaliza A, uma vez que essa simplifi cação na matriz de trabalho implica em uma mudança de coordenadas e é muito provável que todos os dados envolvidos com o sistema original necessitem migrar para esse novo sistema de coordenadas.

Matriz que diagonaliza a matriz A Para encontrarmos a matriz que diagonaliza A, devemos encontrar os autovetores da

matriz A, uma vez conhecidos os autovetores v1, v2, v3,..., vn, basta montar a matriz P com os autovetores por coluna:

P = [v1|v2|v3| · · · |vn]

A única ressalva é que os autovetores sejam linearmente independentes (LI), pois P deve ser inversível. Portanto, se os autovetores forem LI e a quantidade de autovetores for igual à ordem da matriz A, então dizemos que A é diagonalizável.

D =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

λ1 0 0 · · · 00 λ2 0 · · · 00 0 λ3 · · · 0

0 0 0 · · · λn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦


Encontrando os autovalores:

det(λI− ) = 0

A =

{λ1 = λ2 = 1

λ3 = 0

Encontrando os autovetores:λ = 1

(λI −A)X = 0⎡⎢⎣

1− 1 0 0−2 1 00 0 1− 1

⎤⎥⎦⎡⎢⎣

x1

x2

x3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

0

0

0

⎤⎥⎦

{−2x1 + x2 = 0

v1 =

⎛⎜⎝

1

2

0

⎞⎟⎠ ,v2 =

⎛⎜⎝

0

0

1

⎞⎟⎠

λ = 1(λI −A)X = 0⎡⎢⎣

0− 1 0 0−2 0 00 0 0− 1

⎤⎥⎦⎡⎢⎣

x1

x2

x3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

0

0

0

⎤⎥⎦

{−x1 = 0−x3 = 0

v3 =

⎛⎜⎝

0

1

0

⎞⎟⎠

Verifi cando se os autovetores são LI:

k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0

k1(1, 2, 0) + k2(0, 0, 1) + k3(0, 1, 0) = 0⎧⎪⎨⎪⎩

k1 = 0

2k1 + k3 = 0

k3 = 0

k1 = k2 = k3 = 0

Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI.

Exemplo 1 Encontre a matriz que diagonaliza A =

⎡⎢⎣

1 0 0

2 0 0

0 0 1

⎤⎥⎦

Resolução:

1


Montando a matriz P:

P = [v1 v2 v3 ]

P =

[1 0 02 0 10 1 0

]

P−1 =

[1 0 00 0 1−2 1 0

]

Verifi cando:D = P-1AP

D =

⎡⎢⎣

1 0 0

0 0 1

−2 1 0

⎤⎥⎦ ·

⎡⎢⎣

1 0 0

2 0 0

0 0 1

⎤⎥⎦ ·

⎡⎢⎣

1 0 0

2 0 1

0 1 0

⎤⎥⎦

D =

⎡⎢⎣

1 0 0

0 0 1

0 0 0

⎤⎥⎦ ·

⎡⎢⎣

1 0 0

2 0 1

0 1 0

⎤⎥⎦

D =

⎡⎢⎣

1 0 0

0 1 0

0 0 0

⎤⎥⎦

Matriz diagonal formada a partir dos autovalores de A.

Encontre a matriz que diagonaliza A =

⎡⎢⎣

2 0 1

1 0 1

0 0 1

⎤⎥⎦

Potenciação de matrizes A diagonalização de matrizes permite-nos calcular potências de matrizes. Sabendo queD = P–1AP, ao multiplicarmos a matriz diagonal por ela mesma, teremos:D·D = (P–1AP)·(P–1AP)Eliminando os parênteses, temos:D2 = P–1A /AP = P–1A2PMultiplicando a expressão pela esquerda por P e pela direita por P –1, temos:


PD2P–1 = A2Se multiplicarmos novamente por D, chegaremos à conclusão que:

Ak = PDkP–1Onde k é qualquer expoente inteiro.Dessa forma, se conhecemos a matriz diagonal e a matriz que diagonaliza A, podemos calcular qualquer potência de A.

Exemplo 2 Calcule A15, onde A =

[0 0

1 1

]

Resolução:Sabemos que A15 = PD15P –1 , então devemos encontrar D e P.Encontrando os autovalores:

det(λI− ) = 0{

λ1 = 1

λ2 = 0

Encontrando os autovetores:

λ1 = 1

(λI −A)X = 0[1 0

−1 1− 1

][x1

x2

]=

[0

0

]{

x1 = 0

v1 =

(0

1

)

λ2 = 0

(λI −A)X = 0[0 0

−1 0− 1

][x1

x2

]=

[0

0

]{

−x1 − x2 = 0

v2 =

(1

−1

)

Verifi cando se os autovetores são LI: Como não são múltiplos um do outro, então são LI.

Matriz diagonal: D =

[1 0

0 0

], D15 =

[115 0

0 0

]=

[1 0

0 0

]

Matriz que diagonaliza A: P =[

0 1

1 −1

], P−1 =

[1 1

1 0

]

2


Calcule A15, onde A =[

1 −11 1

].

Diagonalização ortogonal de matrizes

Uma particularidade no caso da diagonalização de matrizes é quando a matriz que dia-gonaliza A é uma matriz ortogonal:

Pt = P –1Ou seja, os vetores que representam as linhas e as colunas de P são ortonormais entre si.A diagonalização ortogonal permite que a transição de um sistema de coordenadas para

outro ocorra sem perda de proporções, fato que comprovaremos ao estudarmos as cônicas. Portanto, se houver uma matriz P, tal que D = P–1AP = PtAP, então dizemos que A é ortogonalmente diagonalizável.

Para saber se A pode ser diagonalizada ortogonalmente, devemos observar se A é uma matriz simétrica, caso contrário, já podemos descartar a possibilidade. Então:

Se At = A (simétrica), A é diagonalizável ortogonalmente.O processo de obtenção da matriz que diagonaliza A ortogonalmente é inicialmente o

mesmo do processo de diagonalização convencional, porém quando encontramos os autove-tores LI, estes devem ser ortonormais e, para isso, aplicamos o processo de Gram-Schmidt e depois normalizamos os vetores para só então montarmos a matriz P.

As etapas para a diagonalização ortogonal são:

1) Encontrar os autovetores.

2) Se os vetores forem LI, aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

3) Normalizar os vetores.

Logo,

A15 = P 15P−1 =

[0 1

1 −1

]·[

1 0

0 0

]·[

1 1

1 0

]=

[0 0

1 1

]


Exemplo 3 Encontre a matriz que diagonaliza A =

⎡⎢⎣

1 0 1

0 0 0

1 0 1

⎤⎥⎦ortogonalmente.

Resolução:Encontrando os autovalores:

det(λI− ) = 0

{λ1 = 2

λ2 = λ3 = 0

Encontrando os autovetores:λ1 = 2

(λI −A)X = 0⎡⎢⎣

2− 1 0 −10 2 0

−1 0 2− 1

⎤⎥⎦⎡⎢⎣

x1

x2

x3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

0

0

0

⎤⎥⎦

⎧⎪⎨⎪⎩

x1 − x3 = 0x2 = 0

−x1 + x3 = 0{x1 = x3

v1 =

⎛⎜⎝

1

0

1

⎞⎟⎠

λ2 = 0

(λI −A)X = 0⎡⎢⎣

0− 1 0 −10 0 0

−1 0 0− 1

⎤⎥⎦⎡⎢⎣

x1

x2

x3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣

0

0

0

⎤⎥⎦

{−x1 − x3 = 0

{x1 = −x3

x2

v2 =

⎛⎜⎝

−10

1

⎞⎟⎠ ,v3 =

⎛⎜⎝

0

1

0

⎞⎟⎠

Verifi cando se os autovetores são LI:

k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0

k1(1, 0, 1) + k2(−1, 0, 1) + k3(0, 1, 0) = 0⎧⎪⎨⎪⎩

k1 − k3 = 0k2 = 0

k1 + k3 = 0

k1 = k2 = k3 = 0

Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI.Analisando se os vetores são ortogonais:

= 0 = 0 = 0

3

Desafi o


Não será necessário utilizar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, pois os vetores já são ortogonais, é necessário então apenas normalizá-los:

Encontre a matriz que diagonaliza A =

⎡⎢⎣

0 0 1

0 2 0

1 0 0

⎤⎥⎦ ortogonalmente.

1) A matriz N =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦pode ser diagonalizada? E diagonalizada ortogonalmente?

2) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, a qual possui dois autovalores distintos, onde cada autoespaço é unidimensional. A é diagonalizável? Justifi que.

3) Prove que A não é diagonalizável se s≠0. A =[

r s

0 r

]

v1 =v1

‖v1‖ =(1, 0, 1)√

2=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1√201√2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ v2 =

v2‖v2‖ =

(−1, 0, 1)√2

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

−1√201√2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

v3 =

⎛⎜⎝

0

1

0

⎞⎟⎠

Montando a matriz P:

P = [v1 v2 v3 ] P−1 = P t

P =

⎡⎢⎢⎣

1√2

−1√2

0

0 0 11√2

1√2

0

⎤⎥⎥⎦ P−1 =

⎡⎢⎢⎣

1√2

0 1√2

−1√2

0 1√2

0 1 0

⎤⎥⎥⎦

Resumo

1

2


Nesta aula, você aprendeu como obter uma matriz diagonal equivalente a uma matriz qualquer, assim como obter a diagonalização ortogonal. Viu ainda como identifi car quais os requisitos para que determinada matriz possa ser diagonalizada e diagonalizada ortogonalmente.

AutoavaliaçãoDetermine se a matriz A é diagonalizável. Em caso afi rmativo, encontre a matriz que diagonaliza A.

Determine se a matriz A é diagonalizável ortogonalmente. Em caso afi rmativo, encontre a matriz que diagonaliza A ortogonalmente.

a) A =[

2 1

0 1

]

b) A =

⎡⎢⎣

3 0 0

1 3 0

0 1 3

⎤⎥⎦

c) A =

⎡⎢⎣

0 0 1

0 0 1

1 1 1

⎤⎥⎦

d) A =

⎡⎢⎣

2 0 2

0 0 0

2 0 2

⎤⎥⎦

e) A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

0 0 0 1

0 0 0 1

1 1 1 1

0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

a) A =[

2 1

0 1

]

b) A =

⎡⎢⎣

3 0 0

1 3 0

0 1 3

⎤⎥⎦

c) A =

⎡⎢⎣

0 0 1

0 0 1

1 1 1

⎤⎥⎦

d) A =

⎡⎢⎣

2 0 2

0 0 0

2 0 2

⎤⎥⎦

e) A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

0 0 0 1

0 0 0 1

1 1 1 1

0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Anotações

3

4


Calcule A21. A =

⎡⎢⎣

0 2 2

0 0 1

0 1 0

⎤⎥⎦

Para que valores de x a matriz B é diagonalizável? E ortogonalmente diagonalizável?

B =

[1 1

0 x

]




Anotações


Transformações lineares – defi nição

14Aula

1

2

3


ApresentaçãoNo estudo de espaços vetoriais é comum que espaços distintos se relacionem entre

si e essa interação ocorre através de funções que, em se tratando de espaços vetoriais, são chamadas de transformações lineares.

ObjetivosReconhecer os espaços evolvidos na transformação linear.

Calcular núcleo e imagem de transformações lineares.

Encontrar vetores de espaços distintos que estão relacio-nados através da transformação linear.

Espaço

Domínio Espaço

Imagem

Espaçovetorial

W

Espaçovetorial

V

V2

Vn

V1

T(V1)=W

1

T(V2)=W

2

T(Vn)=WnW

2

Wn

W1

T:V→W


Defi nição Transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que

preservam a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear.

Considerando funções da forma w =F(x), onde a variável independente x é um vetor em V (espaço domínio) e a variável dependente w é um vetor em W (espaço imagem), tem-se que a função é dita uma transformação linear F: V →W se satisfi zer as seguintes condições:

i) F(x1 + x

2) = F(x

1)+ F(x

2)

ii) F(k·x1) =k·F(x

1)

ondex

1 e x

2= elementos quaisquer de V e k = constante.

Notação: Uma transformação T de um espaço vetorial V em um espaço vetorial W será denotada por

T :V →W,

onde T(v)=w,

sendo v um elemento de V e w um elemento de W. A Figura 1 mostra os espaços vetoriais V e W relacionados através da transformação linear T.

Figura 1 – Transformação linear de V em W


Exemplo 1 Explique se T: �→�, T(x)= 8x é uma transformação linear.

Resolução:Para que T(x)= 8x seja uma transformação linear T: �→�, é necessário que sejam satisfeitas as duas condições:

i) T(x1 + x

2) = T(x

1) + T(x

2)

T(x1) = 8x

1

T(x2) = 8x

2

T(x1)+ T(x

2) = 8x

1+8x

2 = 8(x

1 + x

2)

T(x1 + x

2) = 8(x

1 + x

2)

Como T(x1 + x

2) = T(x

1)+ T(x

2), primeira condição satisfeita.

ii) T(k·x1) = k.T(x

1)

T(k·x1)=8(k·x

1)= k.8(x

1)

k ·T(x1)= k·8(x

1)

Satisfaz também a segunda condição T(k·x1) = k.T(x

1). Logo, a transformação é uma

transformação linear.

Exemplo 2 Explique se T: �4→�2, T(x,y,z,w)=(x+y+1,z–w), é uma transformação linear.

Resolução:Para que a transformação seja uma transformação linear, é necessário que sejam satisfeitas as duas condições:

i) T(u + v) = T(u)+ T(v),

onde u =(u1,u

2,u

3,u

4), v =(v

1,v

2,v

3,v

4)

T(u)=(u1 + u

2 + 1, u

3–u

4)

T(v)=(v1 + v

2 + 1,v

3– v

4)

T(u)+ T(v) = (u1+v

1+u

2+v

2+1+1, u

3+v

3–u

4 – v

4)= (u

1+v

1+u

2+v

2+2, u

3+v

3–u

4–v

4)

T(u + v) =(u1+v

1+u

2+v

2+1, u

3+v

3–u

4–v

4)

Como T(u + v) ≠T(u)+ T(v), a primeira condição não foi satisfeita. Logo, a transformação não é linear.

1


Em toda transformação linear T:V→W, tem-se que T(0)=0.Essa característica da transformação linear pode ser usada para provar que uma determinada transformação não é linear, caso T(0) seja diferente de zero. Mas quando a transformação T(0) é nula, sem que seja feita nenhuma outra avaliação, não é possível afi rmar que a transformação é linear.

Avaliando os exemplos anteriores, tem-se que:

Exemplo 1 T: �→�, T(x) = 8x (é uma transformação linear)T(0)=8·0=0

Exemplo 2T: �4→�2, T(x,y,z,w)=(x+y+1,z–w) (não é uma transformação linear)T(0,0,0,0)=(0+0+1,0-0)=(1,0,0)

No exemplo 1, verifi camos que a transformação é linear, logo, T(0)=0. Já no exemplo 2, foi verifi cado que a transformação não é linear, T(0)≠0.

Explique se as transformações são lineares.

a) T: �2→�3, T(x,y)=(3x,–2y, x–y)

b) T: �→�, T(x)= 3x2


Princípio da superposição O princípio da superposição nos permite “separar” transformações lineares de somas de

vetores, assim como deslocar constantes para fora da transformação, isso faz com que usemos parcelas mais simples de serem resolvidas. Na realidade, aplicaremos as características de adição e multiplicação por escalar das transformações lineares.

T:V→W é uma transformação linear, {v1,v

2,...,vn} é base de V e ̧ 1, ̧ 2,..., ̧ n pertencem a �, então:

T(¸1v

1+¸

2v

2+...¸nvn)= ¸1T(v1)+ ¸2T(v2)+...+ ¸nT(vn)

O princípio da superposição possibilita encontrarmos as expressões das transformações a partir de pares de vetores relacionados por essa transformação linear.

Exemplo 3 Seja T: �3→�2 uma transformação linear e B={v

1,v

2,v

3} uma base do �3, onde v

1=(0,1,0),

v2=(1,0,1) e v

3=(1,1,0); determine T(v), sabendo que v=(5,3,–2), T(v

1)=(1,–2),

T(v2)=(3,1) e T(v

3)=(0,2).

Resolução:O vetor v pode ser escrito como combinação linear dos elementos da base B, consi-dere ¸ constantes:

V=¸1v

1+¸

2v

2+¸

3v

3

v=¸1(0,1,0)+¸

2(1,0,1)+¸

3(1,1,0)

v=(¸2+¸

3, ¸

1+¸

3, ¸

2)

(5,3,–2)= (¸2+¸

3, ¸

1+¸

3, ¸

2)

¸2+¸

3=5

¸1+¸

3=3

¸2=–2

Logo,¸

1= –4

¸2= –2

¸3= 7

Assim,v=¸

1v

1+¸

2v

2+¸

3v

3

v= –4 v1–2v

2+7v

3


Aplicando a transformação em ambos os lados da equação, temos:

T(v)=T(–4v1–2v

2+7v

3)

Usando agora o princípio da superposição podemos separar as somas e colocar as constantes para fora da transformação:

T(v)=–4T(v1)–2T(v

2)+7T(v

3)

T(v)=–4(1,–2)–2(3,1)+7(0,2)T(V)=(–10,20)

Dessa forma, encontramos T(v)=T(5,3,–2)=(–10,20).

Exemplo 4 Encontre, caso exista, T: �2→�3 tal que T(1,1)=(3,–2,1) e T(0,–2)=(0,1,0).

Resolução:A primeira coisa a ser verifi cada é se {(1,1),(0,-2)} é a base do �2. Como é base, então a transformação existe.Nesse exercício, queremos encontrar agora a regra da transformação linear, a equação que nos permite achar a transformação de qualquer vetor do domínio.O passo seguinte é considerar um vetor genérico do espaço domínio v=(x,y) e escrevê-lo como combinação linear dos elementos da base:

v=(x,y)=¸1(1,1)+¸

2(0,–2)

¸1=x¸1–2¸2=y

Logo,

λ1 = x

λ2 =x− y2

Depois que encontramos os pesos, escrevemos o vetor v como combinação linear dos vetores da base com os respectivos pesos ¸1 e ¸2:

(x, y) = λ1(1, 1) + λ2(0,−2)

(x, y) = x(1, 1) +

(x− y2

)(0,−2)

Aplicamos então a transformação em ambos os lados da equação:

T (x, y) = T

(x(1, 1) +

x− y2

(0,−2))

2


Usando o teorema da superposição, temos:

T (x, y) = x · T (1, 1) + x− y2

· T (0,−2)

T (x, y) = x(3,−2, 1) + x− y2

(0, 1, 0)

T (x, y) =

(3x,−2x+ x− y

2, x

)

T (x, y) =

(3x,

−3x− y2

, x

)

Logo, encontramos a transformação linear.

Conferindo:Se a regra está correta, as transformações fornecidas no enunciado da questão devem valer para a regra:

T (1, 1) = (3,−2, 1)T (0,−2) = (0, 1, 0)

T (1, 1) =

(3 · 1, (−3) · 1− 1

2, 1

)= (3,−2, 1)

T (0,−2) =(3 · 0, (−0) · 1− (−2)

2, 0

)= (0, 1, 0)

Logo, a transformação está correta.

Encontre, caso exista, T: �3→�3 tal que T(0,1,1)=(1,–1,1), T(1,0,0)=(1,1,0) e T(–1,0,1)=(–1,0,0).

Espaço V Espaço W

V5

V1

Vn

V3

V2

V4

W5

W1

Wn

W3

T:V→W

N(T) 0


Núcleo De uma maneira simples, o núcleo da transformação linear corresponde ao conjunto de

todos os elementos do espaço domínio que, quando aplicados na transformação, o resultado é o vetor nulo do espaço imagem.

Considerando a transformação linear T:V→W, chamamos de núcleo da transformação linear todos os vetores de V tal que T(v)=0. O núcleo é também chamado de Kernel de uma transformação linear.

N(T)=Ker(T)={v ∈V; T(v)=0}

A Figura 2 mostra a relação dos espaços com o núcleo da transformação.

Figura 2 – Núcleo de uma transformação linear

Note que o núcleo da transformação está contido em V, N(T) ⊂ V, e N(T) ≠ ∅, pois 0 ∈ N(T), uma vez que a transformação é linear e T(0)=0.


Propriedades do núcleoSeja T:V→W uma transformação linear, então N(T) é um subespaço vetorial de V.Para provarmos, considere que v

1 e v

2 ∈ N(T), logo:

T(v1)=0

T(v2)=0

Para o subconjunto ser um subespaço, devemos verifi car três pontos:

I) Deve conter o elemento nulo do espaço:

Como T(0)=0, então o núcleo contém o elemento nulo do espaço.

II) Adição:

T(v1+v

2) = T(v

1)+T(v

2) = 0+0 = 0

logo, v1 +v

2 ∈ N(T)

III) Multiplicação por escalar:

Seja ¸ ∈ �, então

T(¸v1) = ¸T(v

1) = ¸· 0 = 0

∴ ¸·v1 ∈ N(T)

Espaço V Espaço W

V5

V1

Vn

V3

V2

V4

W5

W1

W4

Wn

W3

W2

T:V→W

Im(T)


Imagem A imagem de uma transformação linear consiste no subconjunto do espaço imagem que

contém os vetores resultantes da aplicação das transformações lineares quando inserimos os elementos do domínio.

Seja T:V→W, chamamos de imagem de uma transformação linear o conjunto de vetores w ∈ W que são imagens de pelo menos um vetor v ∈ V.

Im(T)= {w ∈ W; T(v)=w, para algum v ∈ V }A Figura 3 mostra a relação da imagem com os espaços vetoriais envolvidos.

Figura 3 – Imagem de uma transformação linear

Note que a imagem da transformação está contida em W, Im(T) ⊂ W, e Im(T) ≠ ∅, pois T(0) = 0 e o vetor nulo pertencem e imagem de T, 0 ∈ Im(T).

Teorema

Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão fi nita e T:U→V uma transforma-ção linear, tem-se:

dim(U) = dim(N(T)) + dim(Im(T))


Exemplo 5 Encontre o núcleo e a imagem da transformação T(x,y)=(x+y,x).

Resolução:NúcleoSabemos que para o núcleo T(x,y)=0, logo

T (x, y) = (x+ y, x) = (0, 0){x+ y = 0

x = 0

x = y = 0

Portanto, N(T)={(0,0)}

ImagemPara encontrar a imagem, vamos escrever a transformação em coluna:

T (x, y) = (x+ y, x) =

(x+ y

x

)

Como aparecem duas incógnitas, x e y, então separaremos em dois vetores, um para cada variável.

T (x, y) = x

(1

1

)+ y

(1

0

)

Os vetores que aparecem são os que formam a base da imagem, desde que sejam linearmente independentes (LI).

Como (1,1) e (1,0) são LI, então:

Im(T)={(1,1),(1,0)}

*Se os vetores não fossem LI, teríamos que retirar um vetor e verifi car se o conjunto rema-nescente seria LI. Caso afi rmativo, teríamos a base da imagem e, caso fossem LD, teríamos que retirar mais um vetor e fazer a verifi cação quantas vezes forem necessárias.

3

Desafi o


Exemplo 6 Encontre o núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear T:�3→�3, onde T(x,y,z)=(x–y+2z , 2x+y–z , 3x+z).

Resolução:Encontrando o núcleo:Sabemos que para o núcleo T(x,y,z)=0(x− y + 2z, 2x+ y − z, 3x+ z) = 0⎧⎪⎨⎪⎩

x− y + 2z = 02x+ y − z = 03x+ z = 0

⎧⎪⎨⎪⎩

x

z = −3xy = −5x

(x, y, z) = x(1,−5,−3)

N(T ) = (1,−5,−3)

Como o núcleo da transformação tem apenas um vetor na base, entãodim(N(T)) = 1.Usando o teorema das dimensões:dim(�3) = dim(N(T)) + dim(Im(T))3 = 1 + dim(Im(T))dim(Im(T)) = 2.

Encontre o núcleo, a imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear T:�3→�2, onde T(x,y,z)=(x–y+z, –x+z).

1) Encontre uma transformação linear cujo núcleo seja P2.

2) Seja T:P1→P

1, T(x+1)=2x+3 e T(x–1)=3x–2, encontre T(ax+b).

3) Encontre N(T) e escreva dois vetores pertencentes à Im(T), sendo T:M22→M

22,

T

([a b

c d

])=

[a+ b b+ c

c+ d d+ c

]

1

Resumo


AutoavaliaçãoVerifi que se as transformações são lineares.

a) T:�3→�3, T(x,y,z) = (x–y,x 2+z, y+2z)

b) T:�5→�, T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w)

c) T:�3→�3, T(x,y,z) = (0,0,0)

d) T:�4→�2, T(x,y,z,w) = (x–y+2z+3, 3x–w+4z)

e) T : M22 → �, A =[

a b

c d

], T (A) = det(A)

f) T : M22 → M44, T([

a b

c d

])=

⎡⎢⎢⎢⎣

a 0 0 0

0 b 0 0

0 0 c 0

0 0 0 d

⎤⎥⎥⎥⎦

g) T:Mnn→ Mnn, , Ann, T(A) = At

h) T:P2→R, P

2(x)=a

2x 2 + a

1x + a

0,T(P

2) = a

2a

1a

0

i) T:P2→ P

2, T(a

2x2+a

1x +a

0) = (a

2 –a0)x 2 + (a0+a1+a2)

j) T : P3 → P2, T (P2) = dP2dx

k) T:P2→ P

3, T(p(x)) =

p(x) + xp(x) + x2ṕ (x)

Nesta aula, você viu uma introdução às transformações lineares e descobriu que é através delas que os espaços vetoriais se relacionam. Viu ainda a defi nição de núcleo e imagem de uma transformação linear e como calculá-los.

2

4

5

6

3


Encontre a regra para a transformação linear, sabendo que:

a) T:�2→�2, Base do �2 = {(2,1),(0,1)}, T(2,1) = (3,7) e T(0,1) = (–1,1)

b) T:�3→�2, Base do �3 = {(1,0,1),(0,1,2),(1,1,1)}, T(1,0,1) = (3,1), T(0,1,2) = (1,2) e T(1,1,1) = (4,2)

c) T:�2→�4, Base do �2 = {(–1,1),(1,1)}, T(–1,1) = (0, –4, 0, –1) e T(1,1) = (4,2,2,1)

Sejam as transformações T(v1) = (1,1,1), T(v

2) = (1,0,1) e T(v

3) = (–1,2,0),

encontre T(3v1 – v

2 + 5v

3).

Sabendo que Q(u) = x2–2 e Q(v) = 2–3x, encontre Q(3u–2v).

Encontre a imagem do vetor u nas seguintes transformações:

a) T:�5→�, T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w), onde u = (1,1,2,0,1)

b) T : M22 → M22, T([

a b

c d

])=

[−a 00 −b

],u =

[3 2

7 −2

]

c) T : P2 → P1, T (P2) = dP2dx ,u = 5x2 − 3x+ 2

Encontre o núcleo e a imagem das transformações:

a) T:�5→�, T(v,x,y,z,w) = (x+3y –2z–w)

b) T:�2→�2, T(x,y) = (x+3y,3y)

c) T:�→�3, T(x) = (x,0,3x)

d) T:�3→�2, T(x,y,z) = (x+y, x+z)

e) T : M22 → M22, T([

a b

c d

])=

[−a 00 −b

]

f) T : P2 → P1, T (P2) = dP2dx

g) T: P2→ P

2, T(p(x))= xp´ (x)

7

8


Encontre a dimensão do núcleo e da imagem das transformações:

a) T:�5→�, T(v,x,y,z,w) = (3x–w)

b) T:�2→�2, T(x,y) = (x–y, 3x+y)

c) T:�→�3, T(x) = (0,0,5x)

d) T:�3→�2, T(x,y,z) = (y,x+y+z)

e) T:M22→ M

22, T : M22 → M22, T

([a b

c d

])=

[−a a+ b+ c

−a− b− c −b

]

f) T : P3 → P1, T (P3) = d2P3dx2

g) T: P2→ P

3, T(p(x))= xp(x)

h) T : �2 → �2, T (x, y) = 1√2(x+ y, x− y)

O que é o núcleo de uma transformação linear? E a imagem de uma transformação linear?




Anotações


Transformações lineares e matrizes

15Aula

1

2


ApresentaçãoTemos visto ao logo de nossas aulas o quanto a representação matricial de sistemas

pode facilitar seu manuseio, cálculo e entendimento, quando tratamos com transformações lineares não é diferente. Toda transformação linear pode ser representada na forma matricial, o que implica nas mesmas facilidades da representação matricial dos sistemas.

ObjetivosObter transformações lineares na forma matricial.

Efetuar cálculos com transformações lineares na forma matricial.


Defi niçãoConsideremos uma transformação linear T:�n →�m defi nida pelas equações da forma:

w1 = a11x1 + a12x2 + · · · a1nxnw2 = a21x1 + a22x2 + · · · a2nxn

wm = am1x1 + am2x2 + · · · amnxn

Podemos escrever essas equações como um produto de matrizes, separando as matrizes dos termos independentes W, dos coefi cientes A e das incógnitas X, onde

W=A.X⎡⎢⎢⎢⎢⎣

w1

w2

wm

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

am1 am2 · · · amn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

x1

x2

xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Onde A é chamada matriz canônica da transformação linear.Prova que T(x)=A.X é uma transformação linear:

i) F(x1 + x

2) = F(x

1) + F(x

2)

F(x1 + x

2) = A(x

1 + x

2) = Ax

1 + Ax

2 = F(x

1) + F(x

2)

ii) F(k.x) = k.F(x)

F(k.x) = A(k.x) = A.k.x = k.A.x = k(Ax) = k.F(x)

As duas regras são satisfeitas, logo, é uma transformação linear.

Exemplo 1 A transformação linear T:�4→�3, defi nida por:T(x

1, x

2, x

3, x

4) = (2x

1 – 3x

2 + x

3 – 5x

4, 4x

1 + x

2 – 2x

3 + x

4, 5x

1 – x

2 + 4x

3)

Pode ser representada da seguinte forma;⎡⎢⎣ w1w2

w3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ 2 −3 1 −54 1 −2 1

5 −1 4 0

⎤⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x1

x2

x3

x4

⎤⎥⎥⎥⎦ → W = A · X

Note que na primeira coluna da matriz A aparecem os coefi cientes da primeira variável, x1, na

segunda de x2 e assim sucessivamente.


Encontrando a matriz transformação com as bases canônicas

Podemos encontrar a matriz transformação com a aplicação dos vetores da base canônica à transformação linear. A matriz é montada a partir da entrada por coluna dos vetores imagem dos vetores da base canônica.

Exemplo 2 A transformação linear T:�4→�3, defi nida por:

T(x1, x

2, x

3, x

4) = (2x

1 – 3x

2 + x

3 – 5x

4, 4x

1 + x

2 – 2x

3 + x

4, 5x

1 – x

2 + 4x

3)

ResoluçãoO primeiro passo é identifi car a base canônica do espaço domínio, nesse exemplo é o �4, logo, a base canônica é:

e1 = (1,0,0,0)e2 = (0,1,0,0)e3 = (0,0,1,0)e4 = (0,0,0,1)

Em seguida, aplicamos a transformação aos vetores da base canônica:

T(e1) = (2.1 – 3.0 + 0 – 5.0,4.1 + 0 – 2.0 + 0,5 .1– 0 + 4.0) = (2,4,5)T(e2) = (2.0 – 3,1 + 0 – 5.0,4.0 + 1 – 2.0 + 0,5.0 – 1 + 4.0) = (–3,1,–1)T(e3) = (2.0 – 3.0 + 1 – 5.0,4.0 + 0 – 2.1 + 0,5.0 – 0 + 4.1) = (1, –2, 4)T(e4) = (2.0 – 3.0 + 0 – 5.1,4.0 + 0 – 2.0 + 1,5.0 – 0 + 4.0) = (-5,1,0)

Agora, montamos a matriz transformação A com os vetores T(e1), T(e2), T(e3) e T(e4) por coluna:

A = [T (e1)|T (e2)|T (e3)|T (e4)] =

⎡⎢⎣ 2 −3 1 −54 1 −2 1

5 −1 4 0

⎤⎥⎦

Logo,

⎡⎢⎣ w1w2

w3

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ 2 −3 1 −54 1 −2 1

5 −1 4 0

⎤⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x1

x2

x3

x4

⎤⎥⎥⎥⎦ → W = A · X

1


Encontre a forma matricial da transformação linear T:�2→�5, defi nida por:T(x

1, x

2) = (x

1+2x

2, 0, –3x

1, –x

1–x

2, x

2)

Núcleo e Imagem de uma transformação linear na forma matricial

A forma matricial de uma transformação linear facilita as operações envolvidas e com o processo de obtenção do núcleo e da imagem ocorre a mesma coisa.

Exemplo 3 Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T:�4→�3, defi nida por:

T (X) = W =

⎡⎢⎣ 2 0 1 01 1 0 1

0 0 −1 0

⎤⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x1

x2

x3

x4

⎤⎥⎥⎥⎦ W ∈ �3 e X ∈ �4

ResoluçãoNúcleoDevemos investigar que vetores do �4 resultam em um vetor nulo do �3 quando aplicados à transformação:⎡⎢⎣ 2 0 1 01 1 0 1

0 0 −1 0

⎤⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x1

x2

x3

x4

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎣ 00

0

⎤⎥⎦

Ou seja, nesse caso, corresponde a encontrarmos o espaço nulo da matriz dos coefi cientes A.

2


Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T:�3→�3, defi nida por:

T (X) =

⎡⎢⎣ 2 0 1−1 0 0

1 1 0

⎤⎥⎦⎡⎢⎣ x1x2

x3

⎤⎥⎦

Usando a eliminação gaussiana, chegamos a:

⎡⎢⎣ 1 0 0 00 1 0 1

0 0 1 0

⎤⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x1

x2

x3

x4

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎣ 00

0

⎤⎥⎦

⎧⎪⎨⎪⎩

x1 = 0

x2 + x4 = 0

x3 = 0

⎡⎢⎢⎢⎣

x1

x2

x3

x4

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣

0

−x40

x4

⎤⎥⎥⎥⎦ = x4

⎡⎢⎢⎢⎣

0

−10

1

⎤⎥⎥⎥⎦ , N(T (X)) = {(0,−1, 0, 1)}

ImagemPara encontrar a imagem, separaremos os vetores:

T (X) = x1

⎡⎢⎣ 21

0

⎤⎥⎦+ x2

⎡⎢⎣ 01

0

⎤⎥⎦+ x3

⎡⎢⎣ 10

−1

⎤⎥⎦+ x4

⎡⎢⎣ 01

0

⎤⎥⎦

Aparecem multiplicados por x1 todos os seus coefi cientes e o mesmo acontece para x

2, x

3 e x

4.

Analisando os vetores resultantes, a base da Imagem será a maior quantidade possível de vetores LI desse conjunto.Ao tomarmos os quatro vetores resultantes, percebemos que o conjunto é LD, pois temos quatro vetores de dimensão 3. Devemos então descartar um e analisar o conjunto resultante.Escolhendo os três primeiros vetores (2, 1, 0), (0, 1, 0) e (1, 0, –1), quando calculamos percebemos que o conjunto é LI, logo é uma base para a Imagem da transformação.

Im =(2,1,0),(0,1,0),(1,0,-1)

logo

Desafi o

1

2

Resumo


Na aula sobre transformações lineares e matrizes você aprendeu como obter a forma matricial de uma transformação linear, assim como realizar operações características dessas transformações na forma matricial.

Mostre que as transformações T1 e T2 T:�3→�3 têm o mesmo núcleo e Imagem.

T1(x, y, z) =

⎡⎢⎣ 0 0 00 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦⎡⎢⎣ xy

z

⎤⎥⎦

T2(x, y, z) =

⎡⎢⎣ 0 0 00 1 1

0 2 1

⎤⎥⎦⎡⎢⎣ xy

z

⎤⎥⎦

Encontre o valor de a para que a dimensão do núcleo seja a mesma da imagem de T, onde T:�2→�2

T (x, y) =

[1 1

a 1

][x

y

]

1

2


AutoavaliaçãoEscreva a transformação na forma matricial e encontre seu Núcleo e Imagem:

a) T:�5→�, T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w)

b) T:�2→�2, T(x,y) = (x+3y, 3y)

c) T:�→�3, T(x) = (x, 0, 3x)

d) T:�3→�2, T(x,y,z) = (x+y, x+z)

e) T : P3 → P1, T (P3) = d2P3dx2

f) T:P2→P

3, T(p(x)) = xp(x)

g) T : �2 → �2, T (x, y) = 1√2(x+ y, x− y)

Sabendo que a transformação envolve polinômios, encontre a forma por extenso da transformação e diga qual o espaço domínio e qual o imagem:

a) T (P ) =[

1 0

1 1

]P

b) T (P ) =[

1 −1 22 0 1

]P

c) T (P ) =

⎡⎢⎢⎢⎣

1 0

2 −13 0

4 −2

⎤⎥⎥⎥⎦P

d) T (P ) =⎡⎢⎣ 1 0 0 −1 1−1 2 0 1 1

1 0 0 0 1

⎤⎥⎦P

Anotações





Transformações lineares inversas

16Aula

1

2

3


ApresentaçãoVimos nas aulas anteriores que uma transformação Linear é uma função que associa

espaços vetoriais distintos ou não. Imaginemos que essa associação, em muitos casos, deva permitir o caminho de volta, ou seja, se a transformação que leva um vetor de uma espaço V para um espaço W permitir a transformação inversa, então, é possível partir do vetor resultante em W e voltar ao mesmo vetor em V de partida.

ObjetivosSaber reconhecer quando uma transformação admite inversa.

Aplicar a defi nição de inversa.

Calcular a inversa de uma Transformação Linear.

T:V→W

Espaçovetorial

W

Espaçovetorial

V

T -1:V→W


Defi niçãoConsideremos a Transformação Linear deV em W, T:V→W. Partindo do ponto que

o domínio da transformação corresponde ao conjunto de vetores de V que são aplicados à transformação e que a imagem de T é o subespaço composto por todos os vetores em W gerados a partir de V através da transformação, então, se a transformação permitir o caminho inverso, o que era imagem da transformação T passa a ser domínio da transformação inversa e o que era domínio passa a ser imagem, como mostrado na Figura 1.

Notação para Transformação Linear inversa de T :T –1

Figura 1 – Transformação Linear inversa

Relações entre T e T –1

Sendo v um vetor de V e w um vetor de W, então, teremos:

T(v) = wT –1(w) = v

T –1(T(v)) = vT(T –1(w)) = w

Função injetorae não sobrejetora

Domínio Imagem

1

2

3

A

DB

C

Função sobrejetorae não injetora

Domínio Imagem

1

2

3

4

A

B

C

Função bijetora

Domínio Imagem

1

2

3

4

A

D

B

C


Figura 2 – Função injetora, sobrejetora e bijetora

Relembrando...Funções Injetoras, Sobrejetora e BijetoraUma função é dita injetora se para cada elemento do domínio existe um cor-respondente exclusivo no contradomínio. Uma função é classifi cada como so-brejetora se a imagem corresponder a todo o contradomínio. Já no caso de a função ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ela é classificada como bijetora. A Figura 2 mostra a diferença entre os tipos de funções.

Critérios para transformação inversaPara que uma Transformação Linear admita inversa ela deve ser bijetora, ou seja, deve

ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Transformação Injetora

Dada uma transformação linear T:V→W, e dados os vetores u e v, ambos pertencentes a V, diz-se que T é injetora se T(u) = T(v) apenas para u = v. Ou seja, T é injetora se as ima-gens de vetores distintos são distintas. Uma transformação linear é injetora quando Ker(T )=0.

Transformação Sobrejetora

Dada uma transformação linear T:V→W, tem-se que a transformação é sobrejetora se a imagem de T coincidir com W.


Transformação Bijetora

A transformação é bijetora se for injetora e sobrejetora.Quando uma transformação linear T:V→W for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo,

tem-se um isomorfi smo.

Se T é bijetora, então, cada vetor w pertencente à Im(T) é imagem de um único vetor v em V. Essa unicidade é que permite defi nir essa nova função, chamada transformação inversa de T, que leva w de volta em v.

Exemplo 1 Verifi que se a transformação é bijetora: T :� 2→�2 T(x,y)=(x+y, x).

ResoluçãoPara que a transformação seja bijetora, ela deve ser injetora e sobrejetora.

InjetoraUma transformação é injetora se o núcleo da transformação for apenas o vetor nulo.Encontrando o núcleo:T(x,y) = (0,0)(x+ y, x) = (0, 0){

x+ y = 0

x = 0

Logo, x = y = 0 , portanto, N(T(x,y))={(0,0)} → A transformação é injetora.

SobrejetoraA transformação é sobrejetora se a imagem corresponder a todo o contradomínio, ou seja, o �2.Encontrando a imagem:

T (x, y) = (x+ y, x) =

(x+ y

x

)= x

(1

1

)+ y

(1

0

)

Analisando os dois vetores resultantes, (1,1) e (1,0), verifi ca-se que são LI, logo, a imagem corresponde ao espaço gerado por esses dois vetores, o próprio �2.

Im(T(x,y)) = �2

Assim sendo, a imagem é igual ao contradomínio e a transformação é sobrejetora. Como a transformação é injetora e sobrejetora, logo é bijetora.

1


Verifi que se a transformação é bijetora: T:� 3→�2 T(x,y,z)=(0, x –y+z, 2x–z).

Forma matricial e transformação inversaUma maneira mais simples de verifi car se uma Transformação Linear admite inversa é

proceder a análise sob a forma vetorial. Uma vez obtida a matriz canônica da transformação, basta verifi car se essa matriz admite inversa, caso afi rmativo, a transformação também ad-mite e sua transformação inversa tem a matriz canônica defi nida pela inversa da matriz da transformação original.

Exemplo 2 Verifi que se a transformação admite inversa: T:� 2→�2 T(x,y)=(x+y,x).

ResoluçãoPassando para a forma matricial:

T (x, y) = (x+ y, x)

T (x, y) =

(1 1

1 0

)(x

y

)

Analisando a matriz canônica da transformação A =(

1 1

1 0

) verifi ca-se que a matriz admite

inversa, pois det(A) = –1, logo, a transformação também admite inversa.

Calculando a inversa de A temos:

A−1 =

(0 1

1 −1

), portanto, a transformação inversa é dada por:

T−1(x, y) =

(0 1

1 −1

)(x

y

)= (y, x− y)


Uma Transformação Linear admite inversa se for bijetora e uma transformação apenas será bijetora se a matriz que a representa for inversível.

Exemplo 3 Encontre a inversa da transformação caso exista. T:�2→�3, T(x,y)=(2x–y,y+3x, x+y)

ResoluçãoPassando para a forma matricial:

T (x, y) = (2x− y, y + 3x, x+ y)

T (x, y) =

⎛⎜⎝ 2 −13 1

1 1

⎞⎟⎠

(x

y

)

Como a matriz canônica da transformação não admite inversa por não ser uma matriz quadrada, então, a transformação também não admite inversa.Para investigarmos porque não admite inversa, vamos averiguar se ela é injetora e sobrejetora.

Verifi cando se a transformação é Injetora

T (x, y) = (0, 0, 0)

T (x, y) = (2x− y, y + 3x, x+ y) = (0, 0, 0)⎧⎪⎨⎪⎩

2x− 1 = 0y + 3x = 0

x+ y = 0

x = y = 0

N(T (x, y)) = {(0, 0)} →

N(T(x,y))= {(0,0)} → é injetora.

Verifi cando se a transformação é Sobrejetora

T (x, y) = (2x− y, y + 3x, x+ y) =

⎛⎜⎝ 2x− yy + 3x

x+ y

⎞⎟⎠ = x

⎛⎜⎝ 23

1

⎞⎟⎠+ y

⎛⎜⎝ −11

1

⎞⎟⎠

Os dois vetores que obtemos são LI, logo, são a base da Imagem.Im(T(x,y)) = {(2,3,1),(-1,1,1)}

O espaço correspondente à Imagem que é gerado por esses dois vetores não compreende todo o �3 e sim um plano dentro do �3. Dessa forma, a transformação não é sobrejetora, portanto, não admitindo inversa.

é injetora

2

Desafi o

Resumo

1

2

3


Encontre a inversa da transformação, caso exista. T:� 3→�3, T(x,y,z)=(2x – y –z, 2z – y+3x, x+3z)

Seja T uma transformação linear do espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, definida por:

T (1) =1+xT (x) = 3−x2T (x2) = 4+2x –3x2

A transformação T tem inversa? Justifique.

Seja T uma transformação linear T:� 3→�3, definida por:

T(x1,x

2,x

3) =(a

1x

1,a

2x

2,a

3x

3), a

i ∈ �.

Determine as condições que a1,a

2 e a

3 devem satisfazer para T admitir inversa.

Obtenha a expressão de T–1.

Por que é necessário que a transformação seja bijetora para possuir inversa?

Nesta aula, você aprendeu a identifi car quando uma Transformação Linear admite inversa e como encontrar a transformação inversa. Aprendeu ainda a relacionar os vetores dos espaços ligados por transformações que apresentam inversa.

1

2

3


AutoavaliaçãoO que é uma transformação linear injetora? E sobrejetora?

Verifi que se as transformações são injetoras e/ou sobrejetoras.

a) T:� 2 → � 4, T(x,y) = (x+y, 3x, x –2y, –y)

b) T:� 4 → � 4, T(x,y,z,w) = (x+y, 3w, z –2y, –x)

c) T:� 2 → � 2, T(x,y) = (x+y,0)

d) T (u) =[

2 0

−2 −1

]u

e) T−1(u) =

⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 1 0

2 −2 0 00 1 1 3

2 0 0 −3

⎤⎥⎥⎥⎦u

f) T (u) =[

1 0 −10 1 0

]u

g) T:P 2 → P

2 , T(a

2x2 + a

1x + a

0) = (a

2– a

0)x2

Indique a inversa das transformações, por extenso, caso existam.

a) T:� 4 → � 4, T(x, y, z, w) = (x, y, z, 0)

b) T:�2 → �2, T(x, y) = (x, 2y)

c) T (u) =[

2 0

1 −1

]u

d) T−1(u) =⎡⎢⎣ 1 1 20 1 0

−1 1 1

⎤⎥⎦u

e) T:P2 → P

3, T(a

2x2 + a

1x + a

0) = –x (a

2x2 + a

1x + a

0)

f) T:P1 → P

3, T(a

1x + a

0) = ((a

1+a

0)x3 + a

1x2 + a

0x)

4

5

Anotações


Seja T: :�3→�3 uma transformação linear definida por T(x,y,z)=(ax,by,cz), a,b e c ∈ �. Determine as condições que a,b e c devem satisfazer para que T admita inversa. Para esses casos, encontre T –1 se possível.

Seja T:�2→�2 defi nida por T (x,y)=(k·x,x+y), k ∈ �.

a) Determine k de modo a que a transformação T admita inversa e, para esses valores, obtenha a transformação inversa T–1.

b) Considere k = 0. Determine a dimensão e uma base para o núcleo de T.

ReferênciasA NTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.



g) T : P2 → P2, T (a2x2 + a1x+ a0) = xd(a2x2 + a1x+ a0)

dx

h) T:P2 → P

2 , T(p(x)) = p(x +1)

Anotações


Transformações lineares e geometria do �2

17Aula

1

2


Apresentação

Uma das formas mais comuns de utilizar as Transformações Lineares é a aplicação a vetores no plano. Modifi cações como expansão, rotação, refl exão etc. são utilizadas cor-riqueiramente e servem de base para a manipulação de imagens. Veremos a aplicação de transformações lineares no plano, porém, os princípios vistos aqui podem ser expandidos a espaços com dimensão superior.

ObjetivosIdentifi car matrizes transformações e aplicar a vetores no plano.

Utilizar combinações de Transformações Lineares.

y

x

u

y

x

uy

x

u

-ku

y u ku

ku

0 < K < 1K > 1 K < 0


Defi nição As Transformações Lineares permitem modifi carmos vetores utilizando apenas multipli-

cação de matrizes, ou seja, aplicando uma Transformação Linear a um vetor, o que resulta em outro vetor com uma, ou várias, alterações previamente defi nidas. Aqui, serão analisadas algumas dessas transformações no �2, as quais podem ser expandidas para outros espaços euclidianos.

Operações sobre vetores Para todos os casos, considere o vetor u = (x,y).

1) Semelhança (Expansão e contração)

Nessa operação, o vetor aumenta ou diminui de tamanho sendo mantidos a direção e o sentido.

Forma por extenso Forma matricial

T (x, y) = k(x, y) T (x, y) =

[k 0

0 k

][x

y

]

A Figura 1 mostra o vetor u e o resultado da transformação k.u para os possíveis valores de k. Note que as duas coordenadas são alteradas do fator k.

Figura 1 – Vetor u e suas alterações de semelhança

x

y

x

u u

y

T(u)


2) Refl exão em torno do eixo Y


T (x, y) = (−x, y) T (x, y) =[

1 0

0 −1

][x

y

]

A Figura 2 mostra o vetor u e sua refl exão em torno do eixo Y. Nesse caso, apenas a coordenada x é modifi cada, permanecendo a mesma coordenada y.

Figura 2 – Vetor u e sua refl exão em torno do eixo Y

3) Refl exão em torno do eixo X


T (x, y) = (x,−y) T (x, y) =[

1 0

0 −1

][x

y

]

A Figura 3 mostra o vetor u e sua refl exão em torno do eixo X. Nesse caso, a coordenada y é modifi cada e a coordenada x permanece a mesma.

x

y

x

u u

y

T(u)

x

y

x

u uy

T(u)


Figura 3 – Vetor u e sua refl exão em torno do eixo X

4) Refl exão em torno da reta Y = X


T (x, y) = (y, x) T (x, y) =

[0 1

1 0

][x

y

]

A Figura 4 mostra o vetor u e sua refl exão em torno da reta Y = X. Aqui as coordenada x e y são invertidas.

Figura 4 – Vetor u e sua refl exão em torno da reta Y = X

5) Projeção ortogonal sobre o eixo Y


T (x, y) = (0, y) T (x, y) =

[0 0

0 1

][x

y

]

x

y

x

uu

y

T(u)

x

y

x

u u

y

T(u)


A Figura 5 mostra o vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y. No caso da projeção ortogonal, uma das coordenadas é zerada, se for a projeção sobre o eixo Y, a coordenada x é descartada.

Figura 5 – Vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y

6) Projeção ortogonal sobre o eixo X


T(x,y) = (x,0)T (x, y) =

[1 0

0 0

][x

y

]

A Figura 6 mostra o vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y. Nesse caso, a coordenada y é descartada.

Figura 6 – Vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo X

x

y

x

u

u

y T(u)

θ


7) Rotação de um vetor de um ângulo θ


T (x, y) = (x · cos(θ)− y · sen(θ), x · sen(θ) + y · cos(θ)) T (x, y) =[

cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)

][x

y

]

A Figura 7 mostra o vetor u e sua rotação de um ângulo θ.

Figura 7 – Vetor u e sua rotação de um ângulo θ

8) Cisalhamento de um fator k na direção X


T (x, y) = (x+ ky, y) T (x, y) =

[1 k

0 1

][x

y

]

A Figura 8 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no eixo X. Note que, à medida que o vetor se afasta do eixo y, a distorção é maior, perceba que, para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada y próximo de zero, o cisalhamento é menor, porém, se y for grande, então, essa distorção será maior.

y

x

u

y

x

u

K > 0

T(u)

y

u

K < 0

T(u)


Figura 8 – Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo X

9) Cisalhamento de um fator k na direção Y


T (x, y) = (x, kx+ y) T (x, y) =

[1 0

k 1

][x

y

]

A Figura 9 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no eixo Y. Nesse caso, acontece a mesma proporcionalidade que foi comentada no cisalhamento no eixo X, para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada x próximo de zero, o cisa-lhamento é menor, porém, se x for grande, então, essa distorção será maior.

1

y

x

u

y

x

uy

u

K < 0 K > 0

T(u)

T(u)


Figura 9 – Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo Y

Exemplo 1 Obtenha a projeção ortogonal sobre o eixo x do vetor (3,–5).

ResoluçãoPara obter a projeção de qualquer vetor do �2 sobre o eixo x, basta usar a transformação:

T (x, y) =

[1 0

0 0

][x

y

], logo, T (3,−5) =

[1 0

0 0

][3

−5

]=

[3

0

]

Portanto, a projeção do vetor (3,5) sobre o eixo x é o vetor (3,0).

Encontre o vetor resultante da rotação do vetor (1,4) de um ângulo de 90º.


Composição de transformações lineares

Em muitas situações, há a necessidade de aplicarmos não apenas uma, mas uma sequ-ência de transformações a um conjunto de vetores. Nessa situação, ao invés de multiplicarmos uma matriz transformação e depois outra e outra, o melhor a fazer é encontrar uma única matriz que represente a aplicação de todas as transformações desejadas. Para obtermos essa matriz equivalente, basta que multipliquemos as matrizes às transformações envolvidas.

Consideremos que se deseja aplicar a transformação T1(u) e depois T

2(u), nessa

ordem, onde T1 é a matriz transformação de T

1(u), T

2 é a matriz transformação de T

2(u)

e u um vetor, então, teremos:T2 ◦ T1(u) = T2(T1(u)) = T2 · T1

Onde: T2 ◦ T1 �= T1 ◦ T2

Exemplo 2 Obtenha o vetor resultante da rotação de 90º seguida de refl exão sobre o eixo y do vetor (–4,3).

ResoluçãoPrimeiro encontramos as duas matrizes transformações:

Rotação de 90º: T (x, y) =[

cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)

][x

y

]=

[cos(90 ) −sen(90 )sen(90 ) cos(90 )

][x

y

]

T1(x, y) =

[0 −11 0

][x

y

]

Refl exão sobre o eixo Y:

T2(x, y) =

[−1 00 1

][x

y

]

Obtendo a combinação:

T2 ◦ T1(x, y) = T2 · T1 =[

−1 00 1

][0 −11 0

]=

[0 1

1 0

]

T2 ◦ T1(x, y) =[

0 1

1 0

][x

y

]

T2 ◦ T1(−4, 3) =[

0 1

1 0

][−43

]=

[3

−4

]

2

y

x

3

-4

-3 3

-4 -4

u

T1(u) T

2(T

1(u))

y

x

y

x

Vetor u Rotação de 90° Reflexão em torno do eixo y


Verifi cando grafi camente, podemos comprovar o resultado, conforme mostrado na Figura 10.

Figura 10 – Vetor u e a aplicação de duas transformações seguidas

Obtenha o vetor resultante da refl exão em t orno da reta y=x seguida da projeção ortogonal sobre o eixo x do vetor (–5,–3).

Exemplo 3 Obtenha a transformação resultante da composição de duas rotações, primeiro por um ângulo θ1 e depois por θ2.

ResoluçãoAs transformações são:

T1(x, y) =

[cos(θ1) −sen(θ1)sen(θ1) cos(θ1)

][x

y

]T2(x, y) =

[cos(θ2) −sen(θ2)sen(θ2) cos(θ2)

][x

y

]

A composição das duas é dada por:

TR = T2 ◦ T1 = T2 · T1 =[

cos(θ2) −sen(θ2)sen(θ2) cos(θ2)

][cos(θ1) −sen(θ1)sen(θ1) cos(θ1)

]

TR =

[cos(θ1)cos(θ2)− sen(θ1)sen(θ2) −cos(θ1)sen(θ2)− sen(θ1)cos(θ2)sen(θ1)cos(θ2) + cos(θ1)sen(θ2) −sen(θ1)sen(θ2) + cos(θ1)cos(θ2)

]

TR =

[cos(θ1 + θ2) −sen(θ1 + θ2)sen(θ1 + θ2) cos(θ1 + θ2)

]


Como era de se esperar, a composição das duas rotações resulta em fazer uma transformação apenas com a rotação da soma dos ângulos. NESSE CASO, a ordem não infl uência.

Transformações Lineares no �3 Para as Transformações Lineares sobre vetores no �3, não serão feitas as

demonstrações, porém, o raciocínio é o mesmo visto para o �2.

Transformação Forma por extenso Forma matricial

Expanção-contração T (x, y, z) = (kx, ky, kz)

⎡⎢⎣ k 0 00 k 0

0 0 k

⎤⎥⎦

Refl exão em torno do plano xy T (x, y, z) = (x, y,−z)

⎡⎢⎣ 1 0 00 1 0

0 0 −1

⎤⎥⎦

Refl exão em torno do plano xz T (x, y, z) = (x,−y, z)

⎡⎢⎣ 1 0 00 −1 0

0 0 1

⎤⎥⎦

Refl exão em torno do plano yz T (x, y, z) = (−x, y, z)

⎡⎢⎣ −1 0 00 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦

Projeção ortogonal sobre o plano xy

T (x, y, z) = (x, y, 0)

⎡⎢⎣ 1 0 00 1 0

0 0 0

⎤⎥⎦

Projeção ortogonal sobre o plano xz

T (x, y, z) = (x, 0, z)

⎡⎢⎣ 1 0 00 0 0

0 0 1

⎤⎥⎦

Projeção ortogonal sobre o plano yz

T (x, y, z) = (0, y, z)

⎡⎢⎣ 0 0 00 1 0

0 0 1

⎤⎥⎦

Desafi o

Resumo


1) Considerando as Transformações Lineares no plano T1, T2, T3 e T4, determine as matri-zes associadas e esboce no plano a figura determinada pela aplicação das Transformações Lineares em sequência, T1 até T4, sobre o quadrado com vértices (0,0),(1,0),(0,1) e(1,1).

T1(x, y) = (3x− y,−y − 2x) T3(x, y) = (x+ y, 0)

T2(x, y) =

(x+ y

2,x− y2

)T4(x, y) = (x− y, x)

2) A Transformação Linear T (x, y) =(x+ y

2,x− y2

)é bijetora? Justifi que.

3) Utilizando a matriz transformação que defi ne a rotação de um vetor no �2 de um ângulo θ, determine os vértices de um triângulo retângulo e isósceles que tem um dos lados coincidente com o vetor A=(2,1).

Nesta aula, você aprendeu a aplicar Transformações Lineares a vetores no plano, assim como a obter suas respectivas matrizes transformações. Esta aula contemplou ainda a composição de transformações e a determinação de uma matriz resultante que represente a aplicação dessas transformações em sequência.

1

2

3

4


AutoavaliaçãoEncontre a representação matricial canônica para cada um dos operadores lineares em �2 descritos a seguir.

a) Gira cada vetor de 45° no sentido antitrigonométrico.

b) Refl ete cada vetor em relação ao eixo x e depois roda o vetor refl etido de 90° no sentido trigonométrico.

c) Dobra o comprimento do vetor, depois roda o vetor obtido de 30° no sentido trigonomé-trico.

d) Refl ete cada vetor em relação à reta x = y e depois projeta o vetor refl etido sobre o eixo x.

Considerando as transformações lineares do �2 , descreva geometricamente o que elas fazem com o vetor.

Uma transformação linear T:�2→�2 é obtida a partir da rotação de um vetor de um ângulo de –90º, seguida de uma expansão por um fator k = 2,5, seguida de refl e-xões em torno do eixo X e Y, exatamente nessa sequência. Qual a transformação linear resultante? Considere o sentido positivo como sendo o sentido anti-horário.

Conhecendo as transformações T:�3→�3 , onde Ta(x,y,z)=(x+z, 2x–z, y–2z), Tb(x,y,z)=(2x, 2y,2z) e Tc(x,y,z)=(y,z,x), encontre:

a) (Tc ◦ Ta)(1, 1, 1)

b) (Tb ◦ Ta)(0,−1, 2)

c) (Ta ◦ Tb ◦ Tc)(1,−1, 1)

d) (Tc ◦ Tb ◦ Ta)(1,−1, 1)

a) T (x, y) = (−x, y)

b) T (x, y) = (x2, 0)

c) T (x, y) = (−x, 0)

d) T (x, y) = y(e1)

e) T (x, y) = (x, y)

f) T (x,y) = (x,y)

Anotações





Formas quádricas

18Aula

1

2


ApresentaçãoA Álgebra Linear pode ser usada, além de muitos outros casos, na Geometria. Nesta aula,

veremos como equações quádricas podem ser reescritas visando uma mudança de coorde-nadas que facilitará o traçado do seu gráfi co futuramente.

ObjetivosSaber manipular as formas quádricas da forma por extenso para forma matricial e o contrário.

Reconhecer a matriz associada das formas quádricas.


Defi nição Formas quádricas ou quadráticas são funções em que aparecem termos com multiplica-

ção de variáveis, fato que não ocorre nas funções lineares.

Forma linear Todas as variáveis aparecem na primeira potência e não há produto de variáveis

na expressão. a

1x1 + a2x2 + ... + anxn

Forma bilinear As variáveis aparecem na primeira potência e há produto de variáveis distintas

na expressão. a

1x1y1 + a2x2y2 + ... + anxnyn

Forma quádrica É possível aparecer quadrados de variáveis ou produto de duas variáveis:

No �2 → a1x21 + a2x22 + a3x1x2

No �3 → a1x21 + a2x22 + a3x23 + a4x1x2 + a5x1x3 + a6x2x3

Onde os termos que envolvem variáveis distintas são chamados de produto misto ou termo cruzado. Exemplo: a

2x

1x

2.


Representação matricial Seja x um vetor de dimensão n, y um vetor de dimensão n e A uma matriz n×n.

x =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

x1

x2

xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ y =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

y1

y2

yn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

an1 an2 · · · ann

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Uma forma linear pode ser associada a uma matriz na forma: L(x) = Ax

Uma forma bilinear pode ser associada a uma matriz na forma:B(x) = xTAy

Uma forma quadrática pode ser associada a uma matriz na forma:Q(x) = xTAx

Onde A é a matriz associada à forma quádrica.

Exemplo 1

Seja A =[

3 2

−2 7

] a matriz associada à forma quádrica, encontre sua expressão

por extenso.

Resolução:Conhecendo a matriz que é associada à forma quádrica, basta substituir na expressão Q(x) = XTAx. Como a matriz A tem ordem 2x2, então o vetor X só pode pertencer ao �2:

X =

[x1

x2

]

Substituindo:

Q(x) = xTAx =[x1 x2

] [ 3 2−2 7

][x1

x2

]

Q(x) = [(3x1 − 2x2)(2x1 + 7x2)][

x1

x2

]

Q(x) = 3x21 + 7x22 − 2x1x2 + 2x1x2

Q(x) = 3x21 + 7x22


Obtendo a forma matricial Quando se conhece a matriz associada à forma quádrica é fácil obter a forma por extenso,

o contrário também pode ser obtido, porém, requer um pouco mais de atenção.Procedimento:

� Definimos a ordem da matriz associada de acordo com a quantidade de variáveis envolvidas.

� Identifi camos os coefi cientes dos termos ao quadrado.

� Alocamos na diagonal principal esses coefi cientes.

� As demais entradas da matriz dependem dos coefi cientes dos termos cruzados, a posição ij + a posição ji na matriz corresponde ao coefi ciente do termo cruzado xixj.

Exemplo 2Considere a forma quádrica Q(x) = x21 – 2x22 + 5x1x2 e obtenha uma forma matricial equivalente.

Resolução:Primeiro, defi niremos a ordem da matriz. Como apenas aparecem como variáveis x

1 e x

2, então

a matriz associada terá ordem 2x2.

A =

[− −− −

]

Os elementos dos termos ao quadrado são os elementos da diagonal principal. Nesse caso, os coefi cientes são: 1 e –2

A =

[1

−2

]

Os ele

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Módulo 2 Autovalores e autovetores Transformações lineares ...bibliotecadigital.sedis.ufrn.br/pdf/TICS/Alg_II_ECT_Livro_Z_WEB.pdf · 12 Aula 12 Álgebra Linear Exemplo 1 Se multiplicarmos