Autovalores, Autovetores e Diagonalização de Operadoresmatematicauva.org/.../aula_11_AL_20151_autovalores_autovetores_B.pdf · Todos os vetores v 2R2 s~ao xos; T : R2! R2 de nida

Autovalores e AutovetoresPolinomio Caracterıstico

Diagonalizacao de Operadores

Autovalores, Autovetores e Diagonalizacao deOperadores

Prof. Marcio [email protected]

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Algebra Linear - 2015.1

12 de agosto de 2015

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Sumario

1 Autovalores e Autovetores

2 Polinomio Caracterıstico

3 Diagonalizacao de Operadores

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Sumario




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Autovetores

Sejam T : E −→ E uma transformacao linear de um espaco neleproprio. Se v ∈ E e tal que T (v) = v , entao v e chamado vetorfixo da transformacao T .

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Exemplos

Operador identidade I : R2 −→ R2. Todos os vetores v ∈ R2

sao fixos;

T : R2 −→ R2 definida por T (x , y) = (−x , y) (reflexao emtorno do eixo y). Os vetores sobre o eixo y sao fixos.

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Exemplo

Um operador A : R2 −→ R2 definido por A(x , y) = (x + αy , y)chama-se cisalhamento. Encontremos os vetores fixos deA(x , y) = (x + 2y , y).

Solucao Seja v ∈ R2. Procuramos solucao para a igualdade A(v) = v ,isto e, (x + 2y , y) = (x , y).

Esta igualdade representa um sistema no qual x pode assumirqualquer valor real e y = 0.

Portanto, qualquer vetor sobre o eixo x e invariante por A, ouseja, A(v) = v quando v = (x , 0).

�

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Definicao de Autovetores e Autovalores

Seja T : E −→ E um operador linear. Um vetor v 6= −→0 e ditoautovetor de T quando existe λ ∈ C tal que

T (v) = λv

Ja o numero λ e chamado autovalor associado ao autovetor v (eo autovetor v e associado ao autovalor λ).

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Exemplo

Determinar os autovalores e os autovetores deT (x , y) = (3x + 2y ,−y)

Solucao Devemos resolver a equacao T (v) = λv , isto e,(3x + 2y ,−y) = (λx , λy);Isto e, devemos resolver o sistema:

3x + 2y = λx

−y = λy

10 Caso: Se y 6= 0, na segunda equacao teremos λ = −1 e, naprimeira, 4x + 2y = 0, ou seja, y = −2x .Portanto, ao autovalor λ = −1 estara associado o autovetordo tipo (x ,−2x) com x 6= 0.

20 Caso: Se y = 0 entao x 6= 0 (lembre que autovetores sao naonulos!). Daı, λ = 3 e autovalor e T (x , 0) = (3x , 0) (comx 6= 0) e o autovetor associados.

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Autoespaco: Subespaco associado a autovalor

Repare no exemplo acima que se acrescentarmos o vetor nulo aoconjunto de vetores associados ao autovalor λ de T : E −→ E ,teremos um subespaco vetorial de E .

De fato, sejam v1, v2 tais que T (vi ) = λvi . Entao

T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = λv1 + λv2 = λ(v1 + v2)

Alem disso, se k ∈ R e v um autovetor associado a λ, entao

T (k .v) = k .T (v) = k.λv = λ(kv)

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Exemplo

Determinar os autovalores e os autovetores (e autoespacos) deT (x , y) = (4x + 5y , 2x + y)

Solucao

λ1 = 6 v1 =

(x ,

2

5x

), x 6= 0

λ2 = −1 v2 = (x ,−x) , x 6= 0

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Observacao

A matriz [T ] de T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y) e:

[T ] =

[4 52 1

]Portanto, procurar os autovalores e autovetores de T equivalea resolver:

[T (v)] = λ.[v ]⇐⇒ [T ].[v ] = λ[v ]

Ou seja,[4 52 1

].

[xy

]= λ.

[xy

]⇐⇒

[4 52 1

].

[xy

]= λ.

[1 00 1

] [xy

]⇐⇒ [T ].[v ] = λ.I .[v ]⇐⇒ [T ].[v ]− λ.I .[v ] = [0]

⇐⇒ ([T ]− λ.I )[v ] = [0]

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Observacao

A matriz [T ] de T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y) e:

[T ] =

[4 52 1

]

Em termos matriciais, ([T ]− λ.I )[v ] = [0] equivale a:[(4− λ) 5

2 (1− λ)

].

[xy

]=

[00

]isto e, um sistema homogeneo para o qual queremos solucoesnao nulas! Lembre que os autovetores sao nao nulos!

Queremos, entao, os valores de λ para os quais ocorre

det([T ]− λ.I ) = 0

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Ainda no exemplo anterior, vemos que

det([T ]− λ.I ) = 0⇐⇒∣∣∣∣(4− λ) 5

2 (1− λ)

∣∣∣∣ = 0

Ou seja,λ2 − 5λ− 6 = 0

cujas raızes sao λ1 = 6 e λ2 = −1.

Fazendo λ = 6 e depois λ = −1 na equacao[(4− λ) 5

2 (1− λ)

].

[xy

]=

[00

]

obtemos, os autovetores v1 =

(x ,

2

5x

)com x 6= 0 e

v2 = (x ,−x) com x 6= 0. Isso corresponde aos autoespacosVλ1 = [(1, 2/5)] e Vλ2 = [(1,−1)].

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Sumario




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Definicao - Polinomio Caracterıstico

Seja T : E −→ E um operador linear e [T ] a matriz de Tassociada a base canonica de E . Chama-se polinomiocaracterıstico de T (ou da matriz [T ]) ao determinante

p(λ) = det([T ]− λI )

A equacaodet([T ]− λI ) = 0

e chamada equacao caracterıstica de T e suas raızes sao osautovalores de T .

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Exemplo

Determinar os autovalores e autovetores do operador linearT : R3 −→ R3 definido por

T (x , y , z) = (3x − y + z ,−x + 5y − z , x − y + 3z)

Solucao Polinomio Caracterıstico: p(λ) = λ3 − 11λ2 + 36λ− 36

Autovalores: λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 6

Autoespacos:Vλ1 = [(1, 0,−1)]

Vλ2 = [(1, 1, 1)]

Vλ3 = [(1,−2, 1)]

Os autovetores estao nos subespacos acima; basta descartar ovetor nulo.

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Autovetor NULO

Por que o vetor nulo nao e considerado um autovetor?

No exemplo anterior vimos 3 autovalores distintos e, a cadaum deles, autovetores associados.

Se o vetor nulo pudesse ser autovetor, veja que terıamos ummesmo vetor (o vetor nulo) associado a autovalores diferentes!

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Autovalor NULO

Considere a transformacao linear T : R2 −→ R2 definida porT (x , y) = (8x + 2y , 4x + y) e encontre seus autovalores eautovetores.

Polinomio Caracterıstico:

p(λ) =

∣∣∣∣(8− λ) 24 (1− λ)

∣∣∣∣ = λ2 − 9λ

Autovalores: λ1 = 0 e λ2 = 9.

Autovetores: v1 = (x ,−4x) com x 6= 0 e v2 = (2y , y) comy 6= 0.

Conclusao: O numero zero pode ser autovalor.

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Sumario




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Matriz de um operador

Sabemos que, dado um operador linear T : E −→ E , a cada baseB de E esta associada uma matriz [T ]BB que representa T na baseB. O objetivo agora e obter uma base de E de modo que [T ]BB sejaa mais simples possıvel.

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Teorema

Seja T : E −→ E um operador linear. Autovetores de Tassociados a autovalores distintos, sao LI.

Prova Faremos a prova para o caso de dimensao 2. O caso geralpode ser generalizado. Sejam v1, v2 autovetores associadosaos autovalores distintos λ1, λ2.

α1v1 + α2v2 =−→0 (i)

T (α1v1 + α2v2) =−→0

α1T (v1) + α2T (v2) =−→0

α1(λ1v1) + α2(λ2v2) =−→0 (ii)

Multiplicando (i) por λ1, temos: α1(λ1v1) + α2(λ1v2) =−→0

(iii)

Subtraindo (iii) de (ii), temos: α2(λ2 − λ1)v2 =−→0

Como λ2 6= λ1, segue que α2 = 0. De (i), temos α1 = 0.

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Corolario

Seja T : E −→ E um operador linear. Se dimE = n, entao oconjunto formado pelos vetores v1, v2, ..., vn associados aosautovalores λ1, λ2, ..., λn, respectivamente, forma uma base paraE ..

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Exemplo

Considere T : R2 −→ R2 definida porT (x , y) = (2x − 2y , 2x − 3y). Encotremos a matriz associada a Trelativamente a uma base formada por autovetores.

T (e1) = (2, 2) e T (e2) = (−2,−3). Portanto,

[T ] =

[2 −22 −3

]Polinomio Caracterıstico:

p(λ) = det([T ]− λI ) = λ2 − 4λ+ 4

Raızes: λ1 = −2 e λ2 = 1.

Autoespacos: Vλ1 = [(1, 2)] e Vλ2 = [(2, 1)]

Base de autovetores: B′ = {v1, v2} = {(1, 2), (2, 1)}23 / 29



Exemplo

Considere T : R2 −→ R2 definida porT (x , y) = (2x − 2y , 2x − 3y). Encotremos a matriz associada a Trelativamente a uma base formada por autovetores.

Base de autovetores: B′ = {v1, v2} = {(1, 2), (2, 1)}T (v1) = λ1v1 = λ1v1 + 0.v2

T (v2) = λ2v2 = 0.v1 + λ2.v2

[T (v1)]B′ =

[λ1

0

]e [T (v2)]B′ =

[0λ2

][T ]B

′B′ =

[λ1 00 λ2

]=

[−2 00 1

]Conclusao: ao consideramos uma base formada porautovetores, a matriz associada a transformacao linearrelativamente a esta base e uma matriz diagonal na qual adiagonal principal e composta pelos autovalores.

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Exemplo

Considere T : R2 −→ R2 definida por T (x , y) = (x − y , x + 3y).Busquemos uma matriz associada a T relativamente a uma basede autovetores.

Inicialmente vamos construir a matriz associada a Trelativamente a base canonica {e1, e2} = {(1, 0), (0, 1)}.

T (e1) = (1, 1) e T (e2) = (−1, 3). Portanto, [T ] =

[1 −11 3

]Polinomio Caracterıstico: p(λ) = det([T ]− λI ) = λ2 − 4λ+ 4

Raızes: λ = 2;

Substituindo na equacao T (x , y) = λ(x , y), teremos x = −y ,isto e, os autovetores associados ao unico autovalor λ = 2 saoda forma v = (x ,−x), o que corresponde ao autoespaco[(1,−1)]. Como a dimensao deste subespaco e 1, nao epossıvel gerar uma base de autovetores para R2.

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Exemplo

Considere T : R3 −→ R3 definida por T (x , y , z) = (3x , 3y , 3z).Busquemos uma matriz associada a T relativamente a uma basede autovetores.

Matriz associada a T com relacao a base canonica de R3:

[T ] =

3 0 00 3 00 0 3

Polinomio Caracterıstico:

p(λ) = det([T ]− λI ) = (3− λ)3 = 27− 27λ+ 9λ2 − λ3

Raızes: λ = 3;

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Exemplo


Raızes: λ = 3;

Substituindo na equacao T (x , y , z) = λ(x , y , z), teremosx = x , y = y e z = z , isto e, os autovetores associados aoautovalor λ = 3 sao da forma v = (x , y , z), o que correspondeao autoespaco [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] que e o proprio R3.

Exemplo de base de autovetores:

B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

B2 = {(2, 0, 0), (0− 1, 0), (0, 0, π)}...

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Exemplo


Matriz associada a T com relacao a uma base de autovetores:

[T ]B =

3 0 00 3 00 0 3

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Definicao - Operador Diagonalizavel

Seja T : E −→ E um operador linear. Dizemos que T e umoperador diagonalizavel se existe uma base de E cujos elementossao autovetores de T .

Diagonalizacao de um Operador

Seja T : E −→ E um operador linear. Diagonalizar o operador T eencontrar - quando possıvel - uma matriz associada a T comrelacao a uma base de E formada por autovetores de T ..

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