Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais

Diagonalizacao de Matrizes 2× 2 e

Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares

Reginaldo J. SantosDepartamento de Matematica-ICExUniversidade Federal de Minas Geraishttp://www.mat.ufmg.br/~regi

30 de setembro de 2002

1 Diagonalizacao de Matrizes 2× 2

1.1 Motivacao

Vamos considerar o problema de encontrar as funcoes que dao a evolucao das po-pulacoes de duas especies, S1 e S2, convivendo em um mesmo ecossistema no tempot > 0. Vamos denotar as populacoes das especies S1 e S2 em um instante t por x1(t) ex2(t), respectivamente.

Inicialmente vamos supor que a taxa de crescimento da populacao de uma especie naodepende do que ocorre com a outra especie e que esta taxa e proporcional a sua populacaoexistente (ou equivalentemente que a taxa de crescimento relativa e constante). Ou seja,vamos supor que

x′1(t) = ax1(t)

x′2(t) = dx2(t)

em que a, d ∈ R. Temos aqui um sistema de equacoes diferenciais, ou seja, um sistemade equacoes que envolvem derivadas das funcoes que sao incognitas. Neste caso as duasequacoes sao desacopladas, isto e, podem ser resolvidas independentemente. A solucaodo sistema e

x1(t) = c1eat e x2(t) = c2e

dt.

1

http://www.mat.ufmg.br/~regi

2 1 DIAGONALIZACAO DE MATRIZES 2× 2

Vamos supor, agora, que as duas populacoes interagem de forma que a taxa de cresci-mento da populacao de uma especie depende de forma linear nao somente da sua populacaoexistente, mas tambem da populacao existente da outra especie. Ou seja, vamos suporque

x′1(t) = ax1(t) + bx2(t)

x′2(t) = cx1(t) + dx2(t)

Por exemplo, se os indivıduos de uma especie competem com os da outra por alimento(a, d > 0 e b, c < 0), ou os indivıduos da especie S1 sao predadores dos da outra (a, b, d > 0e c < 0). Neste caso a solucao de uma equacao depende da outra. Podemos escrever estesistema na forma de uma equacao diferencial matricial

X ′(t) = AX(t), (1)

em que

X ′(t) =

[

x′1(t)x′2(t)

]

, A =

[

a bc d

]

e X(t) =

[

x1(t)x2(t)

]

.

Vamos supor que existam matrizes P e D tais que

A = PDP−1, (2)

em que D =

[

λ1 00 λ2

]

. Substituindo-se (2) em (1) obtemos

X ′(t) = PDP−1X(t).

Multiplicando-se a esquerda por P−1, obtemos

P−1X ′(t) = DP−1X(t). (3)

Fazendo a mudanca de variavel

Y (t) = P−1X(t), (4)

a equacao (3) pode ser escrita como

Y ′(t) = DY (t),

que pode ser escrita na forma de um sistema de equacoes desacopladas

y′1(t) = λ1y1(t)

y′2(t) = λ2y2(t)

Diagonalizacao de Matrizes e Sistemas de Equacoes Diferenciais 30 de setembro de 2002

1.1 Motivacao 3

que tem solucao dada por

y1(t) = c1eλ1t e y2(t) = c2e

λ2t.

Assim, da mudanca de variaveis (4), a solucao da equacao (1) e

X(t) = PY (t) = P

[

c1eλ1t

c2eλ2t

]

.

Se P =

[

v1 w1

v2 w2

]

, ou seja, se as colunas da matriz P sao os vetores V =

[

v1

v2

]

e

W =

[

w1

w2

]

, entao a solucao do sistema pode ser escrita como

[

x1(t)x2(t)

]

= c1 eλ1t

[

v1

v2

]

+ c2 eλ2t

[

w1

w2

]

oux1(t) = c1v1e

λ1t + c2w1eλ2t e x2(t) = c1v2e

λ1t + c2w2eλ2t

Vamos descobrir como podemos determinar matrizes P e D, quando elas existem, taisque A = PDP−1, ou multiplicando a esquerda por P−1 e a direita por P , D = P−1AP ,com D sendo uma matriz diagonal. Chamamos diagonalizacao ao processo de encontraras matrizes P e D.

Definicao 1. Dizemos que uma matriz A, e diagonalizavel, se existem matrizes P eD tais que D = P−1AP , ou equivalentemente, A = PDP−1, em que D e uma matrizdiagonal.

Exemplo 1. Toda matriz diagonal

A =

[

λ1 00 λ2

]

e diagonalizavel, poisA = (I2)

−1AI2,

em que I2 =

[

1 00 1

]

e a matriz identidade 2× 2.

30 de setembro de 2002 Reginaldo J. Santos


1.2 Autovalores e Autovetores

Vamos supor inicialmente que a matriz A seja diagonalizavel. Entao existe uma matrizP tal que

P−1AP = D , (5)

em que D e uma matriz diagonal.Vamos procurar tirar conclusoes sobre as matrizes P e D. Multiplicando a esquerda

por P ambos os membros da equacao anterior, obtemos

AP = PD . (6)

Sejam

D =

[

λ1 00 λ2

]

e P =

[

v1 w1

v2 w2

]

=[

V W]

,

em que V =

[

v1

v2

]

e W =

[

w1

w2

]

sao as colunas de P . Por um lado

AP = A [ V W ] = [ AV AW ]

e por outro lado

PD =

[

v1 w1

v2 w2

] [

λ1 00 λ2

]

= [ λ1V λ2W ]

Assim, (6) pode ser reescrita como[

AV AW]

=[

λ1V λ2W]

.

Logo,AV = λ1V e AW = λ2W.

Ou seja, as colunas de P , V e W , e os elementos da diagonal de D, λ1 e λ2, satisfazem aequacao

AX = λX,

em que λ e X sao incognitas. Isto motiva a seguinte definicao.

Definicao 2. Um numero real λ e chamado autovalor de uma matriz A, se existe um

vetor nao nulo X =

[

xy

]

tal que

AX = λX . (7)

Um vetor nao nulo que satisfaca (7), e chamado de autovetor de A.


1.2 Autovalores e Autovetores 5

©©©©©©*

©©©*

O

AX = λXX

q

λ > 1

©©©©©©*

©©©*

O

XAX = λX

q

0 < λ < 1

©©©©©©*

©©©¼

O

X

AX = λXq

λ < 0

Observe que a equacao (7) pode ser escrita como

AX = λI2X

ou(A− λI2)X = 0 . (8)

Como os autovetores sao vetores nao nulos, os autovalores sao os valores de λ, para osquais o sistema (A − λI2)X = 0 tem solucao nao trivial. Mas, este sistema homogeneotem solucao nao trivial se, e somente se, det(A−λI2) = 0. Assim temos um metodo paraencontrar os autovalores e os autovetores de uma matriz A.

Proposicao 1. Seja A uma matriz 2× 2.

(a) Os autovalores de A sao as raızes do polinomio

p(t) = det(A− t I2) (9)

(b) Para cada autovalor λ, os autovetores associados a λ sao os vetores nao nulos dasolucao do sistema

(A− λI2)X = 0 . (10)

Definicao 3. Seja A uma matriz 2× 2. O polinomio

p(t) = det(A− t I2) (11)

e chamado polinomio caracterıstico de A.

Assim, para determinarmos os autovalores de uma matriz A precisamos determinar asraızes do seu polinomio caracterıstico, que tem a forma p(t) = t2 + at+ b.



Exemplo 2. Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz

A =

[

1 −1−4 1

]

Para esta matriz o polinomio caracterıstico e

p(t) = det(A− tI2) = det

[

1− t −1−4 1− t

]

= (1− t)2 − 4 = t2 − 2t− 3 .

Como os autovalores de A sao as raızes de p(t), temos que os autovalores de A sao λ1 = 3e λ2 = −1.

Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores λ1 = 3 e λ2 = −1.Para isto vamos resolver os sistemas (A− λ1I2)X = 0 e (A− λ2I2)X = 0. Como

A− λ1I2 =

[

−2 −1−4 −2

]

,

entao

(A− λ1I2)X = 0

e[

−2 −1−4 −2

] [

xy

]

=

[

00

]

ou{

−2x − y = 0−4x − 2y = 0

cuja solucao geral e

W1 = {(α,−2α) | α ∈ R}.que e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = 3 acrescentado o vetor nulo.Agora,

(A− λ2I2)X = 0

e[

2 −1−4 2

] [

xy

]

=

[

00

]


W2 = {(α, 2α) | α ∈ R},que e o conjunto de todos os autovetores associados a λ2 = −1 acrescentado o vetor nulo.


1.3 Diagonalizacao 7

−6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

x

y

W2

W1

−6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

x

y

AW

AV

V = (1,−2)

W = (1, 2)

Figura 1: Autovetores associados a λ1 = 3 e a λ2 = −1 da matriz do Exemplo 2

Um resultado interessante e que iremos usar mais adiante e o seguinte.

Proposicao 2. Sejam V e W autovetores de uma matriz A associados a λ1 e λ2, respec-tivamente. Se V = αW , para algum escalar α, entao λ1 = λ2.

Demonstracao. Se V = αW , entao multiplicando-se a esquerda por A e usando o fatode que AV = λ1V e AW = λ2W , temos que

λ1V = A(αW ) = αAW = αλ2W = λ2αW = λ2V.

Isto implica que(λ1 − λ2)V = 0.

Como V e um vetor nao nulo, entao λ1 = λ2.

1.3 Diagonalizacao

Vamos enunciar e demonstrar o resultado principal. Ja vimos que se uma matriz A ediagonalizavel, entao as colunas da matriz P , que faz a diagonalizacao, sao autovetoresassociados a autovalores, que por sua vez sao elementos da matriz diagonal D. Como amatriz P e invertıvel, estes 2 autovetores sao L.I. (um vetor nao e multiplo escalar dooutro).



Teorema 3. Seja A uma matriz 2×2 que tem 2 autovalores λ1 6= λ2. Sejam V = (v1, v2)e W = (w1, w2) autovetores associados a λ1 e λ2, respectivamente. Entao, as matrizes

P = [ V W ] =

[

v1 w1

v2 w2

]

e D =

[

λ1 00 λ2

]

sao tais que

D = P−1AP,

ou seja, a matriz A e diagonalizavel.

Demonstracao. Pela Proposicao 2, V = (v1, v2) e W = (w1, w2) sao L.I. sao 2 autove-tores L.I. (um nao e multiplo escalar do outro). Vamos definir as matrizes

P =

[

v1 w1

v2 w2

]

= [ V W ] e D =

[

λ1 00 λ2

]

.

Como AV = λ1V e AW = λ2W , entao

AP = A [ V W ] = [ AV AW ] = [ λ1V λ2W ] =

[

v1 w1

v2 w2

] [

λ1 00 λ2

]

= PD . (12)

Como V e W sao L.I., a matriz P e invertıvel. Assim, multiplicando por P −1 a esquerdaem (12) obtemos

D = P−1AP.

Ou seja, A matriz A e diagonalizavel.

Assim, se uma matriz A e diagonalizavel e D = P−1AP , entao os autovalores de Aformam a diagonal de D e os 2 autovetores linearmente independentes associados aosautovalores formam as colunas de P .

Exemplo 3. Considere a matriz

A =

[

1 14 1

]

Ja vimos no Exemplo 2 na pagina 6 que o seu polinomio caracterıstico e p(t) =det(A − t I2) = t2 − 2t − 3, que os seus autovalores sao λ1 = 3 e λ2 = −1 e que osautoespacos correspondentes sao W1 = {(α, 2α) | α ∈ R} e W2 = {(α,−2α) | α ∈ R},respectivamante.


1.3 Diagonalizacao 9

Para λ1 = 3, temos que V = (1, 2) e um autovetor de A associado a λ1. De formaanaloga para λ2 = −1, W = (1,−2) e um autovetor associado a λ2. Como um vetor naoe multiplo escalar do outro, a matriz A e diagonalizavel e as matrizes

P = [ V W ] =

[

1 12 −2

]

e D =

[

λ1 00 λ2

]

=

[

3 00 −1

]

sao tais que

D = P−1AP.


A =

[

0 10 0

]

O seu polinomio caracterıstico e p(t) = det(A − tI2) = t2, assim A possui um unicoautovalor: λ1 = 0. Agora, vamos determinar os autovetores associados ao autovalorλ1 = 0. Para isto vamos resolver o sistema (A− λ1I2)X = 0. Como

A− λ1I2 = A =

[

0 10 0

]

,

entao

(A− λ1I2)X = 0

e[

0 10 0

] [

xy

]

=

[

00

]

ou{

y = 00 = 0


W1 = {(α, 0) | α ∈ R} .

que e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = 0 acrescentado o vetor nulo.Portanto, nao podemos ter 2 autovetores L.I. associados a λ1 = 0 e como so temos umautovalor nao podemos ter mais autovetores L.I. Portanto, pelo Teorema 3 na pagina 8, amatriz A nao e diagonalizavel, ou seja, nao existem matrizes P e D tais que D = P −1AP .



1.4 Autovalores complexos

Tudo que fizemos ate agora e valido para matrizes com entradas que sao numeros reaisou complexos e para autovalores reais ou complexos.

Um vetor de C2 pode ser escrito como

Z = (z1, z2) = (v1 + iw1, v2 + iw2) = (v1, v2) + i(w1, w2) = V + iW,

em que V e W sao vetores de R2.

O proximo resultado e valido exclusivamente para matrizes com entradas que saonumeros reais.

Proposicao 4. Seja A uma matriz 2 × 2 com entradas que sao numeros reais. Se umvetor Z = V + iW ∈ C

2 e um autovetor de A associado ao autovalor λ = α + iβ, entaoZ = V − iW tambem e um autovetor de A, mas associado a λ = α− iβ. Alem disso, seβ 6= 0 entao Z e Z sao L.I.

Demonstracao. Substituindo-se Z = V + iW e λ = α + iβ em AZ = λZ obtemos que

AV + iAW = α(V + iW ) + iβ(V + iW ) = (αV − βW ) + i(αW + βV ).

Isto implica queAV = αV − βW e AW = αW + βV.

Agora, usando os valores de AV e AW obtidos temos que

AZ = A(V − iW ) = AV − iAW = αV − βW − i(αW + βV )

= (α− iβ)V − (β + iα)W = (α− iβ)V − i(α− iβ)W

= (α− iβ)(V − iW ) = λZ.

Se β 6= 0, entao λ e λ sao diferentes. Logo, pela Proposicao 2 na pagina 7, Z e Z saoL.I.

Assim, se uma matriz A, 2× 2, com entradas reais tem autovalores complexos, entaoela e diagonalizavel.


A =

[

−3 2−4 1

]


1.5 Se a matriz A nao e diagonalizavel 11

O seu polinomio caracterıstico e p(t) = det(A− t I2) = (−3− t)(1− t)2 + 8 = t2 + 2t+ 5cujas raızes sao λ1 = −1+2i e λ2 = λ1 = −1−2i. Agora, vamos determinar os autovetoresassociados ao autovalor λ1 = −1+2i. Para isto vamos resolver o sistema (A−λ1I2)X = 0.Como

A− λ1I2 =

[

−2− 2i 2−4 2− 2i

]

,

entao(A− λ1I2)X = 0

e[

−2− 2i 2−4 2− 2i

] [

xy

]

=

[

00

]

ou{

(−2− 2i)x + 2y = 0−4x + (2− 2i)y = 0

cuja solucao geral eW1 = {(α, (1 + i)α) | α ∈ C} .

que e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = −1 + 2i acrescentado o vetornulo. Assim, Z = (1, 1 + i) e um autovetor associado a λ1 = −1 + 2i. Pela Proposicao 4,Z = (1, 1− i) e um autovetor associado a λ2 = λ1 = −1− 2i e alem disso Z e Z sao L.I.Assim, a matriz A e diagonalizavel e as matrizes

P = [ Z Z ] =

[

1 11 + i 1− i

]

e D =

[

λ1 0

0 λ1

]

=

[

−1 + 2i 00 −1− 2i

]

sao tais queD = P−1AP.

1.5 Se a matriz A nao e diagonalizavel

Se uma matriz A com entradas que sao numeros reais, 2 × 2, nao e diagonalizavele por que ela tem somente um autovalor real λ. Neste caso apesar de nao podermosdiagonaliza-la e valido o seguinte resultado.



Teorema 5. Seja A uma matriz nao diagonal 2× 2 com entradas que sao numeros reaise que possui um unico autovalor λ. Sejam W = (w1, w2) um vetor que nao e autovetorde A (AW 6= λW ) (Por exemplo, E1 = (1, 0) ou E2 = (0, 1) satisfaz esta condicao)

e V =

[

v1

v2

]

= (A − λI2)W . Entao, as matrizes P = [ V W ] =

[

v1 w1

v2 w2

]

e

J =

[

λ 10 λ

]

sao tais que

J = P−1AP.

Demonstracao. Vamos escrever A =

[

a bc d

]

. Neste caso, o polinomio caracterıstico

de A e p(t) = det(A− t I2) = (a− t)(d− t)− bc = t2− (a+d)t+(ad− bc). Como estamossupondo que A tem somente um autovalor, entao

∆ = (a+ d)2 − 4(ad− bc) = a2 − 2ad+ d2 + 4bc = 0 (13)

e o autovalor de A que e a unica raiz de p(t) e

λ =a+ d

2.

Assim, para este valor λ e usando (13) obtemos que

(A−λI2)2 = A2− 2λA+λ2I2 =

[

a2 + bc− 2λa+ λ2 ab+ bd− 2λbac+ dc− 2λc bc+ d2 − 2λd+ λ2

]

=

[

0 00 0

]

.

Seja W = (w1, w2) um vetor que nao e autovetor de A. Portanto, ele nao pertence aoespaco solucao de (A− λI2)X = 0. Seja V = (v1, v2) = (A− λI2)W . Entao

(A− λI2)V = (A− λI2)2W = 0

Logo, V e um autovetor de A, ou seja,

AV = λV.

Da definicao de V segue que

AW = V + λW.


1.6 Resumo 13

Assim P = [ V W ] =

[

v1 w1

v2 w2

]

e J =

[

λ 10 λ

]

sao tais que

AP = A[ V W ] = [ AV AW ] = [ λV V + λW ] =

[

λv1 v1 + λw1

λv2 v2 + λw2

]

= PJ. (14)

Como V e autovetor de A, se W fosse um multiplo escalar de V , entao W tambem seriaum autovetor de A. Mas isto nao ocorre pela definicao do vetor W . Assim a matriz P einvertıvel e multiplicando-se a equacao (14) a esquerda por P−1 obtemos o resultado.


A =

[

−1 1−1 −3

]

O seu polinomio caracterıstico e p(t) = det(A− t I2) = (−1− t)(−3− t) + 1 = t2 +4t+4cujas raızes sao λ1 = λ2 = λ = −2. O vetor E1 = (1, 0) e tal que

(A− λI2)E1 =

[

1 1−1 −1

] [

10

]

=

[

1−1

]

6= 0

Sejam W = E1 = (1, 0) e V = (A− λI2)W = (1,−1). Pelo Teorema 5, as matrizes

P = [ V W ] =

[

1 1−1 0

]

e J =

[

λ 10 λ

]

=

[

−2 10 −2

]

sao tais queJ = P−1AP.

1.6 Resumo

Para diagonalizar uma matriz 2× 2 nao diagonal siga os seguintes passos:(a) Determine o polinomio caracterıstico p(t) = det(A− t I2).

(b) Se p(t) tem duas raızes reais (distintas) λ1 6= λ2, entao determine um autovetorV = (v1, v2) associado a λ1, isto e, uma solucao nao trivial de (A − λ1I2)X = 0e um autovetor W = (w1, w2) associado a λ2, isto e, uma solucao nao trivial de(A− λ2I2)X = 0. Entao

P = [ V W ] =

[

v1 w1

v2 w2

]

e D =

[

λ1 00 λ2

]

sao tais que A = PDP−1.



(c) Se p(t) tem duas raızes complexas λ1 = α + iβ e λ2 = λ1 = α − iβ. Encontre umautovetor complexo V + iW = (v1 + iw1, v2 + iw2), isto e, uma solucao nao trivialde (A− (α + iβ)I2)X = 0. Entao

P = [ V + iW V − iW ] =

[

v1 + iw1 v1 − iw1

v2 + iw2 v2 − iw2

]

e D =

[

α + iβ 00 α− iβ

]

sao tais que A = PDP−1.

(d) Se p(t) tem somente uma raiz real λ. Seja W = (w1, w2) um vetor nao nulo que naoseja autovetor de A (AW 6= λW ). Por exemplo, W = E1 = (1, 0) ou W = E2 =

(0, 1). Seja V =

[

v1

v2

]

= (A− λI2)W . Entao

P = [ V W ] =

[

v1 w1

v2 w2

]

e J =

[

λ 10 λ

]

sao tais que A = PJP−1.

1.7 Exercıcios (respostas na pagina 28)

Ache para cada matriz A, se possıvel, uma matriz nao-singular P tal que P−1AP seja

diagonal. Se nao for possıvel, ache uma matriz P tal que P−1AP =

[

λ 10 λ

]

, para λ ∈ R.

1.1.

[

1 11 1

]

1.2.

[

1 −12 4

]

1.3.

[

3 −41 −1

]

1.4.

[

1 −15 3

]

1.5.

[

4 −28 −4

]

1.6.

[

−1 −41 −1

]

1.7.

[

a 2−2 0

]

1.8.

[

0 a−2 −2

]

1.9.

[

2a 11 4a

]

1.10.

[

1 1a 1

]


15

2 Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares

Considere o sistema de equacoes diferenciais lineares.

{

x′1(t) = ax1(t)x′2(t) = dx2(t)

em que a, d ∈ R. Temos aqui um sistema de equacoes diferenciais, ou seja, um sistemade equacoes que envolvem derivadas das funcoes que sao incognitas. Neste caso as duasequacoes sao desacopladas, isto e, podem ser resolvidas independentemente. A solucaodo sistema e

x1(t) = c1eat

x2(t) = c2edt.

Considere, agora, o sistema de equacoes diferenciais lineares

{

x′1(t) = ax1(t) + bx2(t)x′2(t) = cx1(t) + dx2(t)

em que a, b, c, d ∈ R com b ou c nao nulos. Neste caso a solucao de uma equacao dependeda outra. Podemos escrever este sistema na forma de uma equacao diferencial matricial

X ′(t) = AX(t), (15)

em que X ′(t) =

[

x′1(t)x′2(t)

]

, A =

[

a bc d

]

e X(t) =

[

x1(t)x2(t)

]

.

2.1 A Matriz A e diagonalizavel em R

Vamos supor que existam matrizes P =

[

v1 w1

v2 w2

]

e D =

[

λ1 00 λ2

]

, com λ1, λ2 ∈ R,

tais que

A = PDP−1. (16)

Substituindo-se (16) em (15) obtemos

X ′(t) = PDP−1X(t).


P−1X ′(t) = DP−1X(t). (17)


16 2 SISTEMAS DE EQUACOES DIFERENCIAIS LINEARES

Fazendo a mudanca de variavel

Y (t) = P−1X(t), (18)

a equacao (17) pode ser escrita como

Y ′(t) = DY (t),

que pode ser escrita na forma de um sistema de equacoes desacopladas

y′1(t) = λ1y1(t)

y′2(t) = λ2y2(t)

que tem solucao dada por

y1(t) = c1eλ1t e y2(t) = c2e

λ2t.

Assim, da mudanca de variaveis (18), a solucao da equacao (15) e

X(t) = PY (t) = P

[

c1eλ1t

c2eλ2t

]

.

Como P =

[

v1 w1

v2 w2

]

, entao as colunas da matriz P sao os vetores V =

[

v1

v2

]

e

W =

[

w1

w2

]

, assim a solucao do sistema pode ser escrita como

[

x1(t)x2(t)

]

= c1 eλ1t

[

v1

v2

]

+ c2 eλ2t

[

w1

w2

]

.

Se sao dadas as condicoes iniciais x1(0) = x(0)1 e x2(0) = x

(0)2 , entao para determinarmos

c1 e c2 substituimos t = 0 na solucao, ou seja,

[

x1(0)x2(0)

]

= c1

[

v1

v2

]

+ c2

[

w1

w2

]

=

[

x(0)1

x(0)2

]

.

que e equivalente ao sistema linear{

v1c1 + w1c2 = x(0)1

v2c1 + w2c2 = x(0)2

Exemplo 7. Considere o sistema{

x′1(t) = x1(t) − x2(t)x′2(t) = −4x1(t) + x2(t)


2.1 A Matriz A e diagonalizavel em R 17

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

Figura 2: Trajetorias do sistema do Exemplo 7

Ja vimos no Exemplo 3 na pagina 6 que a matriz

A =

[

1 −1−4 1

]

e diagonalizavel e as matrizes

P = [ V W ] =

[

1 1−2 2

]

e D =

[

λ1 00 λ2

]

=

[

3 00 −1

]


Assim, a solucao do sistema e dada por[

x1(t)x2(t)

]

= c1 e3t

[

1−2

]

+ c2 e−t[

12

]

.

Os graficos de diversas solucoes aparecem na Figura 2. A disposicao das trajetorias etıpica de um sistema linear X ′ = AX, em que os autovalores de A sao reais nao nuloscom sinais contrarios. Neste caso, dizemos que a origem e um ponto de sela.


x′1(t) = 3x1(t) − x2(t)x′2(t) = −2x1(t) + 2x2(t)



−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y


Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz

A =

[

3 −1−2 2

]

Para esta matriz o polinomio caracterıstico e

p(t) = det(A− t I2) = det

[

3− t −1−2 2− t

]

= (3− t)(2− t)− 2 = t2 − 5t+ 4 .

Como os autovalores de A sao as raızes de p(t), temos que os autovalores de A sao λ1 = 1e λ2 = 4.

Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores λ1 = 1 e λ2 = 4.Para isto vamos resolver os sistemas (A− λ1I2)X = 0 e (A− λ2I2)X = 0. Como

A− λ1I2 =

[

2 −1−2 1

]

,


e[

2 −1−2 1

] [

xy

]

=

[

00

]

ou{

2x − y = 0−2x + y = 0


2.2 A Matriz A e diagonalizavel em C 19


W1 = {(α, 2α) | α ∈ R} = {α(1, 2) | α ∈ R} = {αV | α ∈ R}, em que V = (1, 2).

Este e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = 1 acrescentado o vetor nulo.Agora,

(A− λ2I2)X = 0

e[

−1 −1−2 −2

] [

xy

]

=

[

00

]


W2 = {(−α, α) | α ∈ R} = {α(−1, 1) | α ∈ R} = {αW | α ∈ R}, em que W = (−1, 1).

Este e o conjunto de todos os autovetores associados a λ2 = 4 acrescentado o vetor nulo.Assim, a matriz A e diagonalizavel e as matrizes

P = [ V W ] =

[

1 −12 1

]

e D =

[

λ1 00 λ2

]

=

[

1 00 4

]


Assim, a solucao do sistema e dada por

[

x1(t)x2(t)

]

= c1 et

[

12

]

+ c2 e4t

[

−11

]

.

Os graficos de diversas solucoes aparecem na Figura 3. A disposicao das trajetorias e tıpicade um sistema linear X ′ = AX, em que os autovalores de A sao reais e positivos. Nestecaso, dizemos que a origem e um no instavel ou fonte. No caso em que os autovaloresde A reais e negativos as trajetorias sao semelhantes, mas percorridas no sentido contrarioas da Figura 3. Neste caso, dizemos que a origem e um no atrator ou sumidouro.

2.2 A Matriz A e diagonalizavel em C

Vamos supor que existam matrizes P =

[

v1 + iw1 v1 − iw1

v2 + iw2 v2 − iw2

]

e D =

[

λ 0

0 λ

]

, com

λ1, λ2 ∈ C, tais queA = PDP−1. (19)




X ′(t) = PDP−1X(t).


P−1X ′(t) = DP−1X(t).

Fazendo novamente a mudanca de variavel Y (t) = P−1X(t), obtemos

Y ′(t) = DY (t),

que pode ser escrito na forma

y′1(t) = λ y1(t)

y′2(t) = λ y2(t)

Estas equacoes estao desacopladas e tem solucoes dadas por

y1(t) = C1 eλt

y2(t) = C2 eλt.

Assim a solucao da equacao (15) e

X(t) = PY (t) = P

[

C1 eλt

C2 eλt

]

.

Como P =

[

v1 + iw1 v1 − iw1

v2 + iw2 v2 − iw2

]

, entao as colunas da matriz P sao os vetores V + iW =[

v1 + iw1

v2 + iw2

]

e V − iW =

[

v1 − iw1

v2 − iw2

]

. Assim a solucao geral nos complexos e dada por

X(t) = C1 eλt

[

v1 + iw1

v2 + iw2

]

+ C2 eλt

[

v1 − iw1

v2 − iw2

]

(20)

As constantes C1 e C2 sao complexas. Estamos interessados em uma solucao real. Paraisso, fazendo C2 = C1, a segunda parcela em (20) se torna o conjugado da primeira eassim obtemos.

X(t) = 2Re

{

C1 eλt

[

v1 + iw1

v2 + iw2

]}



Escrevendo a constante complexa em termos de constantes reais na forma C1 =c12− i

c22

e escrevendo λ = α + iβ, obtemos

[

x1(t)x2(t)

]

= Re(C1) Re

{

e(α+iβ)t

[

v1 + iw1

v2 + iw2

]}

− Im(C1) Im

{

e(α+iβ)t

[

v1 + iw1

v2 + iw2

]}

= c1 Re

{

e(α+iβ)t

[

v1 + iw1

v2 + iw2

]}

+ c2 Im

{

e(α+iβ)t

[

v1 + iw1

v2 + iw2

]}

= c1 eαt

(

cos βt

[

v1

v2

]

− sen βt

[

w1

w2

])

+ c2 eαt

(

cos βt

[

w1

w2

]

+ sen βt

[

v1

v2

])




[

x1(0)x2(0)

]

= c1

[

v1

v2

]

+ c2

[

w1

w2

]

=

[

x(0)1

x(0)2

]

.

que e equivalente ao sistema linear

{

v1c1 + w1c2 = x(0)1

v2c1 + w2c2 = x(0)2

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

x

y




Exemplo 9. Considere o sistema

{

x′1(t) = −3x1(t) + 2x2(t)x′2(t) = −4x1(t) + x2(t)

Ja vimos no Exemplo 5 na pagina 10 que a matriz

A =

[

−3 2−4 1

]


P = [ Z Z ] =

[

1 11 + i 1− i

]

e D =

[

λ1 0

0 λ1

]

=

[

−1 + 2i 00 −1− 2i

]

sao tais que

D = P−1AP.

Assim a solucao do sistema e dada por

[

x1(t)x2(t)

]

= c1 Re

{

e(−1+2i)t

[

11 + i

]}

+ c2 Im

{

e(−1+2i)t

[

11 + i

]}

= c1 e−t(

cos 2t

[

11

]

− sen 2t

[

01

])

+ c2 e−t(

cos 2t

[

01

]

+ sen 2t

[

11

])

Os graficos de diversas solucoes aparecem na Figura 4. A disposicao das trajetorias etıpica de um sistema linear X ′ = AX, em que os autovalores de A sao complexos com aparte real negativa. Neste caso, dizemos que a origem e um foco atrator ou sumidoroespiral. No caso em que os autovalores de A sao complexos com a parte real positiva astrajetorias sao semelhantes, mas percorridas no sentido contrario as da Figura 4. Nestecaso, dizemos que a origem e um foco instavel ou fonte espiral.

Exemplo 10. Considere o sistema

{

x′1(t) = −x1(t) + 2x2(t)x′2(t) = −x1(t) + x2(t)

Este sistema pode ser escrito na forma X ′(t) = AX(t), em que

A =

[

−1 2−1 1

]



−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y


O polinomio caracterıstico da matriz A e p(t) = det(A−t I2) = (−1−t)(1−t)2+2 = t2+1cujas raızes sao λ1 = i e λ2 = λ1 = −i. Agora, vamos determinar os autovetores associadosao autovalor λ1 = i. Para isto vamos resolver o sistema (A− λ1I2)X = 0. Como

A− λ1I2 =

[

−1− i 2−1 1− i

]

,


e[

−1− i 2−1 1− i

] [

xy

]

=

[

00

]

ou{

(−1− i)x + 2y = 0−x + (1− i)y = 0


W1 = {((1− i)α, α) | α ∈ C} = {α(1− i, 1) | α ∈ C}.Este e o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = i acrescentado o vetor nulo.Assim, Z = (1 − i, 1) e um autovetor associado a λ1 = i. Pela Proposicao 4 na pagina10, Z = (1 + i, 1) e um autovetor associado a λ2 = λ1 = −i e alem disso Z e Z sao L.I.Assim, a matriz

A =

[

−1 2−1 1

]




P = [ Z Z ] =

[

1− i 1 + i1 1

]

e D =

[

λ1 0

0 λ1

]

=

[

i 00 −i

]



[

x1(t)x2(t)

]

= c1 Re

{

eit[

1− i1

]}

+ c2 Im

{

eit[

1− i1

]}

= c1

(

cos t

[

11

]

− sen t

[

−10

])

+ c2

(

cos t

[

−10

]

+ sen t

[

11

])

Os graficos de diversas solucoes aparecem na Figura 5. A disposicao das trajetorias etıpica de um sistema linear X ′ = AX, em que os autovalores de A sao complexos com aparte real igual a zero. Neste caso, dizemos que a origem e um centro.

2.3 A Matriz A nao e diagonalizavel em C

Sejam P =

[

v1 w1

v2 w2

]

e J =

[

λ 10 λ

]

matrizes tais que

A = PJP−1. (21)


X ′(t) = PJP−1X(t).


P−1X ′(t) = JP−1X(t).

Fazendo a mudanca de variavel Y (t) = P−1X(t), obtemos

Y ′(t) = JY (t),

que pode ser escrito na forma

y′1(t) = λ y1(t) + y2(t)

y′2(t) = λ y2(t)


2.3 A Matriz A nao e diagonalizavel em C 25

A segunda equacao tem solucaoy2(t) = c2e

λt.

Substituindo y2(t) na primeira equacao obtemos a equacao

y′1(t) = λ y1(t) + c2 eλt

que tem solucaoy1(t) = (c1 + c2 t)e

λt.

Assim a solucao da equacao (1) e

X(t) = PY (t) = P

[

(c1 + c2 t)eλt

c2 eλt

]

.

Se P =

[

v1 w1

v2 w2

]

, ou seja, se as colunas da matriz P sao os vetores V =

[

v1

v2

]

e

W =

[

w1

w2

]

, entao

[

x1(t)x2(t)

]

= (c1 + c2 t)eλt

[

v1

v2

]

+ c2 eλt

[

w1

w2

]

.




[

x1(0)x2(0)

]

= c1

[

v1

v2

]

+ c2

[

w1

w2

]

=

[

x(0)1

x(0)2

]

.

que e equivalente ao sistema linear{

v1c1 + w1c2 = x(0)1

v2c1 + w2c2 = x(0)2


x′1(t) = −x1(t) + x2(t)x′2(t) = −x1(t) − 3x2(t)

Vimos no Exemplo 6 na pagina 13 que a matriz

A =

[

−1 1−1 −3

]



nao e diagonalizavel, mas que as matrizes

P = [ V W ] =

[

1 1−1 0

]

e J =

[

λ 10 λ

]

=

[

−2 10 −2

]

sao tais queJ = P−1AP.


[

x1(t)x2(t)

]

= (c1 + c2 t)e−2t

[

1−1

]

+ c2 e−2t

[

10

]

.

Os graficos de diversas solucoes aparecem na Figura 6. A disposicao das trajetoriase tıpica de um sistema linear X ′ = AX, em que a matriz A nao e diagonalizavel em C

e o unico autovalor e negativo. Neste caso, dizemos que a origem e um no improprio.No caso em que o unico autovalor de A e positivo as trajetorias sao semelhantes, maspercorridas no sentido contrario as da Figura 6. Neste caso, dizemos tambem que aorigem e um no improprio.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y



2.4 Exercıcios (respostas na pagina 31) 27

2.4 Exercıcios (respostas na pagina 31)

Ache a solucao geral do sistema de equacoes dado.

2.1.

{

x′(t) = x(t) + y(t)y′(t) = x(t) + y(t)

2.2.

{

x′(t) = x(t) − y(t)y′(t) = 2x(t) + 4y(t)

2.3.

{

x′(t) = 3x(t) − 4y(t)y′(t) = x(t) − y(t)

2.4.

{

x′(t) = x(t) − y(t)y′(t) = 5x(t) + 3y(t)

2.5.

{

x′(t) = 4x(t) − 2y(t)y′(t) = 8x(t) − 4y(t)

2.6.

{

x′(t) = −x(t) − 4y(t)y′(t) = x(t) − y(t)

2.7.

{

x′(t) = ax(t) + 2y(t)y′(t) = −2x(t)

2.8.

{

x′(t) = ay(t)y′(t) = −2x(t) − 2y(t)

2.9.

{

x′(t) = 2ax(t) + y(t)y′(t) = x(t) + 4ay(t)

2.10.

{

x′(t) = x(t) + y(t)y′(t) = ax(t) + y(t)

Faca um esboco das solucoes de X ′(t) = AX(t) e diga se a origem define uma sela,um no instavel, um no atrator, um foco instavel, um foco atrator, um centro ou umno improprio.

2.11. A =

[

2 13 4

]

2.12. A =

[

−1 81 1

]

2.13. A =

[

1 1−3 −2

]

2.14. A =

[

5 3−3 1

]

2.15. A =

[

3 −41 −1

]

2.16. A =

[

0 2−2 0

]

2.17. A =

[

2 −31 −2

]

2.18. A =

[

−1 −20 −2

]

Comandos do MATLAB:

>>[P,D]=eig(sym(A)) determina simbolicamente, se possıvel, matrizes P e D tais queD = P−1AP , sendo D uma matriz diagonal.>>[P,J]=jordan(sym(A)) determina simbolicamente, se possıvel, matrizes P e J tais que

J = P−1AP , sendo J =

[

λ 10 λ

]

.

Comando do pacote GAAL:

>>fluxlin(A) desenha algumas trajetorias que sao solucoes do sistema de equacoes dife-renciais X ′(t) = AX(t).


28 3 RESPOSTAS DOS EXERCICIOS

3 Respostas dos Exercıcios

1. Diagonalizacao de Matrizes 2× 2(pagina 14)1.1. À A=sym([1,1;1,1]);

À [P,D]=eig(A)

P =[ 1, -1]

[ 1, 1]

D =[ 2, 0]

[ 0, 0]

1.2. À A=sym([1,-1;2,4]);À [P,D]=eig(A)

P =[ -1, 1]

[ 1, -2]

D =[ 2, 0]

[ 0, 3]

1.3. À A=sym([3,-4;1,-1]);À [P,J]=jordan(A)

P =[ 2, 1]

[ 1, 0]

J =[ 1, 1]

[ 0, 1]

1.4. À A=sym([1,-1;5,3]);À [P,D]=eig(A)

P =[ -1/5+2/5*i, -1/5-2/5*i]

[ 1, 1]

D =[ 2+2*i, 0]

[ 0, 2-2*i]

1.5. À A=sym([4,-2;8,-4]);À [P,J]=jordan(A)

P =[ 4, 1]

[ 8, 0]

J =[ 0, 1]

[ 0, 0]

1.6. À A=sym([-1,-4;1,-1]);À [P,D]=eig(A)


29

P =[ 2*i, -2*i]

[ 1, 1]

D =[ -1+2*i, 0]

[ 0, -1-2*i]

1.7. Se |a| > 4:

À [P,D]=eig(A)

P =

[

4 4

−a+√a2 − 16 −a−

√a2 − 16

]

D =

[

a+√a2−162

0

0 a−√a2−162

]

Se |a| < 4:

P =

[

4 4

−a+ i√16− a2 −a− i

√16− a2

]

D =

[

a+i√

16−a2

20

0 a−i√

16−a2

2

]

Se a = 4:

À [P,J]=jordan(subs(A,a,4))

P =[ 2, 1]

[ -2, 0]

J =[ 2, 1]

[ 0, 2]

Se a = −4:

À [P,J]=jordan(subs(A,a,-4))

P =[ -2, 1]

[ -2, 0]

J =[ -2, 1]

[ 0, -2]

1.8. Se a < 1/2:

À [P,D]=eig(A)



P =

[

−1 +√1− 2a −1−

√1− 2a

2 2

]

D =

[

−1 +√1− 2a 0

0 −1−√1− 2a

]

Se a > 1/2:

P =

[

−1 + i√2a− 1 −1− i

√2a− 1

2 2

]

D =

[

−1 + i√2a− 1 0

0 −1− i√2a− 1

]

Se a = 1/2:

À [P,J]=jordan(subs(A,a,1/2))

P =[ 1, 1]

[ -2, 0]

J =[ -1, 1]

[ 0, -1]

1.9. À [P,D]=eig(A)

P =

[

−a+√a2 + 1 −a−

√a2 + 1

1 1

]

D =

[

3 a+√a2 + 1 0

0 3 a−√a2 + 1

]

1.10. Se a > 0:

À [P,D]=eig(A)

P =

[ 1√a− 1√

a

1 1

]

D =

[

1 +√a 0

0 1−√a

]

Se a < 0:

P =

[ − i√−a

i√−a

1 1

]

D =

[

1 + i√−a 0

0 1− i√−a

]

Se a = 0:


31

À A=subs(A,a,0)À [P,J]=jordan(A)

P =[ 1, 0]

[ 0, 1]

J =[ 1, 1]

[ 0, 1]

2. Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares (pagina 27)

2.1.

[

x(t)y(t)

]

= c1 e2t

[

11

]

+ c2

[

−11

]

.

2.2.

[

x(t)y(t)

]

= c1 e2t

[

−11

]

+ c2 e3t

[

1−2

]

.

2.3.

[

x(t)y(t)

]

= (c1 + c2 t)et

[

21

]

+ c2 et

[

10

]

2.4.

[

x(t)y(t)

]

= c1 e2t

(

cos 2t

[

−15

]

− sen 2t

[

20

])

+

c2 e2t

(

cos 2t

[

20

]

+ sen 2t

[

−15

])

2.5.

[

x(t)y(t)

]

= (c1 + c2 t)

[

48

]

+ c2

[

10

]

2.6.

[

x(t)y(t)

]

= c1 e−t(

cos 2t

[

01

]

− sen 2t

[

20

])

+

c2 e−t(

cos 2t

[

20

]

+ sen 2t

[

01

])

2.7. Se |a| > 4:[

x(t)y(t)

]

= c1 e(a+

√a2−16

2)t

[

4

−a+√a2 − 16

]

+

c2 e(a−

√a2−16

2)t

[

4

−a−√a2 − 16

]

.

Se |a| < 4:[

x(t)y(t)

]

= c1 eat

2

(

cos(√

16−a2

2t)

[

4−a

]

− sen(√

16−a2

2t)

[

0√16− a2

])

+

c2 eat

2

(

cos(√16− a2t)

[

0√16− a2

]

+ sen(√16− a2t)

[

4−a

])



Se a = ±4:[

x(t)y(t)

]

= (c1 + c2 t)e±2t

[

±2−2

]

+ c2 e±2t

[

10

]

2.8. Se a < 1/2:[

x(t)y(t)

]

= c1 e(−1+

√1−2a)t

[

−1 +√1− 2a

2

]

+

c2 e(−1−

√1−2a)t

[

−1−√1− 2a

2

]

.

Se a > 1/2:[

x(t)y(t)

]

= c1 e−t(

cos(√2a− 1t)

[

−12

]

− sen(√2a− 1t)

[ √2a− 10

])

+

c2 e−t(

cos(√2a− 1t)

[ √2a− 1

0

]

+ sen(√2a− 1t)

[

−12

])

Se a = 1/2:[

x(t)y(t)

]

= (c1 + c2 t)e−t[

1−2

]

+ c2 e−t[

10

]

2.9.

[

x(t)y(t)

]

= c1 e(3a+

√a2+1)t

[

−a+√a2 + 1

1

]

+ c2 e(3a−

√a2+1)t

[

−a−√a2 + 1

1

]

.

2.10. Se a > 0:[

x(t)y(t)

]

= c1 e(1+

√a)t

[ 1√a

1

]

+ c2 e(1−

√a)t

[ − 1√a

1

]

.

Se a < 0:[

x(t)y(t)

]

= c1

(

et cos(√−at)

[

01

]

− et sen(√−at)

[ − 1√−a

0

])

+

c2

(

et cos(√−at)

[ − 1√−a

0

]

+ et sen(√−at)

[

01

])

.

Se a = 0:[

x(t)y(t)

]

= (c1 + c2 t)et

[

10

]

+ c2 et

[

01

]


33

2.11. A origem e um no instavel.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

2.12. A origem e uma sela.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

2.13. A origem e um foco atrator.

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

x

y



2.14. A origem e um foco instavel.

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

x

y

2.15. A origem e um no improprio.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

y

2.16. A origem e um centro.

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

x

y


35

2.17. A origem e uma sela.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

2.18. A origem e um no atrator.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y


36 REFERENCIAS

Referencias

[1] Howard Anton and Chris Rorres. Algebra Linear com Aplicacoes. Bookman, SaoPaulo, 8a. edicao, 2000.

[2] William E. Boyce and Richard C. DiPrima. Equacoes Diferenciais Elementares eProblemas de Valores de Contorno. Livros Tecnicos e Cientıficos Editora S.A., Rio deJaneiro, 6a. edicao, 1999.

[3] Morris W. Hirsch and Stephen Smale. Differential Equations, Dynamical Systems andLinear Algebra. Academic Press, Inc., New York, 1974.

[4] Bernard Kolman. Introducao a Algebra Linear com Aplicacoes. Prentice Hall doBrasil, Rio de Janeiro, 6a. edicao, 1998.

[5] Erwin Kreiszig. Matematica Superior. Livros Tecnicos e Cientıficos Editora S.A., Riode Janeiro, 2a. edicao, 1985.

[6] Steven J. Leon. Algebra Linear com Aplicacoes. Livros Tecnicos e Cientıficos EditoraS.A., Rio de Janeiro, 5a. edicao, 1998.

[7] Reginaldo J. Santos. Um Curso de Geometria Analıtica e Algebra Linear. ImprensaUniversitaria da UFMG, Belo Horizonte, 2002.

[8] Jorge Sotomayor. Licoes de Equacoes Diferenciais Ordinarias. IMPA, Rio de Janeiro,1979.


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Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais