Jonas Gonalves LopesMarcelo Gomes Pereiralgebra Linear IIaula07D I S C I P L I N AAutovalores e autovetoresde uma matrizAutoresddREVISOREVISOREVISOREVISOMaterial AAPROVADOAPROVADO (contedo e imagens) (contedo e imagens) ( g ) ( g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ Data: ___/___/___ Nome:______________________CONTROLE DA EDIO DE MATERIAIS - SEDIS/UFRN /Nome do arquivo: q Al_Li_II_A07Diagramador: g BrunoData de envio para Reviso: p 30/05/2007Verso da EDIO: VERSO 1Data de sada de REV. TIPO.:Professor responsvel: pTodos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizao expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.Diviso de Servios TcnicosCatalogao da publicao na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila MamedeGoverno FederalPresidente da RepblicaLuiz Incio Lula da SilvaMinistro da EducaoFernando HaddadSecretrio de Educao a Distncia SEEDRonaldo MottaUniversidade Federal do Rio Grande do NorteReitorJos Ivonildo do RgoVice-ReitorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira FilhoSecretria de Educao a DistnciaVera Lcia do AmaralSecretaria de Educao a Distncia- SEDISCoordenadora da Produo dos MateriaisClia Maria de ArajoCoordenador de EdioAry Sergio Braga OliniskyProjeto GrcoIvana LimaRevisores de Estrutura e LinguagemJnio Gustavo BarbosaEugenio Tavares BorgesThalyta Mabel Nobre BarbosaRevisora das Normas da ABNTVernica Pinheiro da SilvaRevisoras de Lngua PortuguesaJanaina Tomaz CapistranoSandra Cristinne Xavier da CmaraRevisora TipogrcaNouraide QueirozIlustradoraCarolina CostaEditorao de ImagensAdauto HarleyCarolina CostaDiagramadoresBruno de Souza MeloDimetrius de Carvalho FerreiraIvana LimaJohann Jean Evangelista de MeloAdaptao para Mdulo MatemticoAndr Quintiliano Bezerra da SilvaKalinne Rayana Cavalcanti PereiraImagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis(Secretaria de Educao a Distncia) - UFRNFotograas - Adauto HarleyStock.XCHG - www.sxc.huurabohaAdaREVISOra e Linguagem inguagembosages esbosa bosaNT NTDREVISOura boMaterial APROVADO (contedo e imagens) ( g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________1321Objetivos4Aula 07 lgebra Linear IIApresentaoAnalisaremosnestaaulaequaesdaforma,emque

,

e .Dessemodo,todovetor(matrizcoluna)no-nuloXtalque ser chamado um autovetor de A correspondente ao autovalor .Denir matrizes semelhantes.Denirpolinmiocaractersticodeumamatriz

.Denir e calcular os autovalores e autovetores de A.Demonstrar que toda matriz

, em que Cindica o corpo dos nmeros complexos, semelhante a uma matriz triangular (superior).s snir

de ovaue torpa maREVISOEV333REV44semelhantes. semelhantes.irpolinmiocaractersticoolinmiocaracterstico

.Denir e calcular os au nir e calcularDemonstrar Demonstrarindica odica a um a umREVISOV3s se senir Material APROVADO (contedo e imagens) ( g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________2 Aula 07 lgebra Linear IISemelhanas de matrizesSe V um espao vetorial de dimenso n sobre o corpo F ee so duas bases de V, ento, para cada operador linear , o Teorema 3 da aula 6 (Relao entre transformaes lineares

e matrizes mn) arma que

,em que M a matriz mudana de base de para . Nesse caso, diz-se que

semelhante a sobre F. De um modo geral, temos a seguinte denio.Denio 1 Sejam A e B matrizes nn sobre o corpo F. Dizemos que B semelhante a A sobre F, se existe uma matriz nn inversvel M sobre F tal que

.Denotaremos por , quando B for semelhante a A.Note que a semelhana ~ uma relao de equivalncia sobre o conjunto das matrizes nn sobre o corpo F. De fato,i). Basta tomar M= In (propriedade reexiva); ii) se,temosqueexistePinversveltalque

.Issoimplicaque

, isto ,

. Assim, tomando M =P{1, obtemos que (propriedade simtrica);iii) see ,temosqueexistemmatrizesinversveisPeQtaisque

e

. Substituindo B em C, obtemos

Assim,tomandoM=QP,segueque

,isto,(propriedade transitiva).a a sebre

nopo Fn in nB fo Bma o,M,teREVISOVISO. Nessa seguinte deni uinte denis n n sobre o co n, se existe uma matriz n

notaremos poremos por , quando andNote que a semelhana ~ e que a semelhana ~ nnn sobre o corposobre o cor nn F. De fa De. Basta tom . Basta to

VISOVISa a se Bbre

RnotaMaterial APROVADO (contedo e imagens) ( g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________3Atividade 1Aula 07 lgebra Linear IIExerccio resolvido 1Mostre que a matriz=

4 00 1

semelhante matriz=

.SoluoDe fato, tomando=

e notando que

=

, temos

=

=

1 1

=

00 1

= Devido propriedade simtrica da semelhana ~, podemos falar sem ambigidade de matrizes semelhantes A e B.Agora, provaremos o seguinte:Mostre que a nica matriz semelhante matriz identidade In a prpria In, e que a nica matriz semelhante matriz nula a prpria matriz nula.Teorema 1Se A e B forem semelhantes, ento, det(B) = det(A).

At1

melhanteEvSvS0REvAtividade 1 vidade 1 ida

Rnica matriz ssem0

AtiEvS1

Malerial !02/6!$/ (conledo e imagens) ( g ) 0ala. ___/___/___ home.______________________4 Aula 07 lgebra Linear IIProvaSe, temos que existe M inversvel tal que

. Assim,

(o corpo F comutativo) = ()(

)()= ()(())

()= ()1= ()em que consideramos o determinante do produto de matrizes como sendo o produto dos determinantes dessas matrizes, e det(M1)=(det(M))1.Autovalores e autovetoresde uma matrizSeja

.Oprximoresultadojusticarasdeniesdeautovalore autovetor de A.Teorema 2So equivalentes as seguintes armaes:i) a equao possui soluo diferente do vetor nulo;ii) a matriz

no inversvel;iii)(

) = 0.(

te daloumoveprREvS0()e do produto de matrizes c e do produto de matrizes det t((MM1 1MM)= )=((det d (MM)) MMM ))1 ..alores e auto ores e autuma matriz ma matrizSeja Seja

.Oautovetor de autovetor d A.REvS0

te d te dealoumMalerial !02/6!$/(conledo e imagens) ( g ) 0ala. ___/___/___ home.______________________5 Aula 07 lgebra Linear IIProva(i) )(ii)Temosqueexiste talque,isto,osistemahomogneo

possuisoluonotrivial.Issoimplicaqueamatriz

no inversvel, pois, caso contrrio, esse sistema teria apenas a soluo trivial , o que uma contradio.(ii) )(iii)Se

, ento,

seria inversvel, contradizendo a hiptese (ii). Logo,

.(iii) )(i)Suponha que a equaopossui apenas a soluo trivial. Isso implica que o sistema homogneo

possui apenas a soluo trivial.Segue disso que a matriz

inversvel e, conseqentemente,

, contradizendo a hiptese. Portanto, a equaopossui soluo diferente do vetor nulo.Exerccio resolvido 2Dada a matriz

, mostre que

um polinmio de grau 3 em x, com coecientes no corpo R (ou Q = corpo dos nmeros racionais).SoluoDe fato,

,de modo que

ntrapenssuqep vidz o im.Segconor nu

= coREvS0Rraenas a soluo trivial as a soluo trivial. Is . sui apenas a soluo triviala soluo trivialentemente,emente,

possui soluo diferente do vet soluo diferente d vido 2

, mostre qu tre qcientes no corpo cientes no corpo RR (ou Q (ou QREvS0trpenassuiqep vidz Malerial !02/6!$/ (conledo e imagens) ( g ) 0ala. ___/___/___ home.______________________6Atividade 2Aula 07 lgebra Linear IIO polinmio obtido no exerccio resolvido 2 recebe um nome especial, o qual ser dado na seguinte denio.Denio 2 Seja

.

um polinmio de grau n em x, com coecientes em F, chamado o polinmio caractersticodeA.Aequaochamadaaequao caractersticadeA.Asrazesdaequaocaractersticasochamadasos autovalores(ouvalorescaractersticos)deA.Todovetorno-nuloXtal que chamadoumautovetor(ouvetorcaracterstico)deAcorrespondente ao autovalor.Exerccio resolvido 3Seja

. Determine os autovalores de A e os autovetores correspondentes a esses autovalores.Encontre os autovalores da matriz

, a qual j foi considerada no exerccio resolvido 2. comorazres ce aoade asvetetors aurcc0

S0REvSvSREvREvREvRE EEEEEEEEEERE EEAtivida tivid dRcientes em Fo

sdaequaocaracterstisticos)deA Todmadoumautovetor(ou valo ncon0

SREv vom oo orazees che aoMalerial !02/6!$/(conledo e imagens) ( g ) 0ala. ___/___/___ home.______________________7 Aula 07 lgebra Linear IISoluoO polinmio caracterstico de A

A equao caracterstica de A

, ou seja,,demodoqueosautovaloresdeAso .Paraencontraros autovetores

deAcorrespondentesaoautovalor,devemos resolver a equao matricial

,a qual equivalente ao sistema

.Assim, para, devemos resolver o sistema

ou .Logo,

x e rbilrrio

dtodososautovetoresdeAcorrespondentes aoautovalor .Emparticular,

soautovetoresdeAcorrespondentes ao autovalor.Agora, para, devemos resolver o sistema

ou

.Pao

emra

tem

REvS0ovalor,

devemos resolver o s

REvS0Poa emaraMalerial !02/6!$/ (conledo e imagens) ( g ) 0ala. ___/___/___ home.______________________8 Aula 07 lgebra Linear IIExerccio resolvido 4Seja

. Determine os autovalores de A, se existirem.Aqui,

y arbitrrio

dtodososautovetoresdeA correspondentesaoautovalor = 1 .Porexemplo,

11

so autovetores de A correspondentes ao autovalor= 1.SoluoO polinmio caracterstico de A

=

02

0

=

1.Resolvendo a equao caracterstica de A,

,encontramos x = iex = i,emque =

1.Portanto,Anotem autovalores reais.Para evitar obtermos razes no pertencentes ao corpo de escalares, como no exerccio resolvido4,deagoraemdiantesuporemosqueocorpodosescalaresFocorpoCdos nmeros complexos. Nesse caso, sabemos que todo polinmio no constante sobre CtemtodasassuasrazesemCe,conseqentemente,todamatriz

terpelomenosumautovalor.Como,asmatrizessobreRseroconsideradascomo matrizes sobre C.Oprximoresultadocaracterizaosautovaloreseautovetoresdematrizes semelhantes.

linRe

ticai e iis.SOEVIS

. Determine os autov termine os autoio caracterstico de A REREVlvendo a equao caractercontramos xautovalores SOEVI

linRResMaterial APROVADO (contedo e imagens) ( g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________9 Aula 07 lgebra Linear IIProvai) Temosque

.Queremosprovarque

.Usando a propriedade distributiva da multiplicao de matrizes, note que

.Neste caso, observe tambm que xIn comuta com M{1. Assim,

ii) Temos que . Note que

Isso prova que

um autovetor de

correspondente ao autovalor .Uma conseqncia imediata do Teorema 3 (i) dada no seguinte resultado.Corolrio Seja

semelhante a uma matriz diagonal D. Ento, os autovalores de A so os elementos da diagonal principal da matriz D.Teorema 3Se A e B so matrizes semelhantes, isto ,

, ento:i) AeBtmomesmopolinmiocaractersticoe,conseqentemente,os mesmos autovalores;ii) se XforumautovetordeAcorrespondenteaoautovalor,segueque

um autovetor de

correspondente ao autovalor .ovaipli

mb

.Ass

REvS0varque

plicao de matrizes, note que o de matrizes, note qu

mbm que xIIncomuta comcomuta co MM{1 1

REvS0ovarplic

mb Malerial !02/6!$/ (conledo e imagens) ( g ) 0ala. ___/___/___ home.______________________10 Aula 07 lgebra Linear IIProvaNote inicialmente que os autovalores de

so

. De fato,

.Assim,

implica

,demodo que

soosautovaloresdeD.Temos,porhiptese, que.Logo,peloTeorema3(i),AeDtmosmesmosautovalores.Portanto,os autovalores de A so

.O teorema de triangularizaoFinalizamosestaaulaprovandoquetodamatrizcomelementosemCsemelhante aumamatriztriangular(superior),isto,umamatrizquetemsomenteelementosnulos abaixo da diagonal principal.Teorema 4Seja

comautovalores

.Existeumamatriz inversvel

tal que

.

s(i), emnalmaabnguetoisto emREvS0R

oosautovalore sautovalore),),AAe Dtmosmesmo tmosmesm D

.ema de triang ma de trianalizamosestaaulaprovandoq mosestaaulaprovandoqmamatriztriangular(superior), atriztriangular(superioabaixo da diagonal principal. diagonal pREvS0

so(i),i), emnalizma abaMalerial !02/6!$/(conledo e imagens) ( g ) 0ala. ___/___/___ home.______________________11 Aula 07 lgebra Linear IIProva (Por induo sobre n)i) Vericar para n = 2Seja XumautovetordeAcorrespondenteaoautovalor

.EscolhaPcomosendo qualquer matriz inversvel da qual X a primeira coluna. Note que a primeira coluna de AP

e, da, a primeira coluna de

, a qual a primeira coluna de

, isto ,

Pelo Teorema 3 (i),

e A tm os mesmos autovalores; logo, deduzimos que

,provando que o resultado verdadeiro para n = 2. Basta tomar M= P.ii) Hiptese de induo.Suponha que o resultado verdadeiro para n { 1.iii) Provaremos que o resultado verdadeiro para n.Defato,repetindoosmesmosargumentosde(i),seguequeaprimeiracolunade

.Assim, podemos escrever

,emque0amatriznula, B1amatriz,eA1umamatriz .Noteque

,e como,peloTeorema3(i),

eAtmosmesmosautovalores,conclumosqueos autovalores de A1 so

. Pela hiptese de induo, existe uma matriz inversvel L, ( 1) ( 1), tal queova

a no resrep osd

REVISOvalores; logo, d es; logo, d

,,n = 22. Basta tomar . Basta tomar MM= PP.. verdadeiro paraeiro para nn1.resultado verdadeiro paratado verdadeiro paREVn.epetindoosmesmosargument doosmesmosarguVISOovalo

nREo resepeMaterial APROVADO (contedo e imagens) ( g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________12ResumoAula 07 lgebra Linear II

.Agora, escolhendo

,temos()

() =

=

1

1

Portanto,tomandoM= PQ,oresultadoverdadeiroparane,porinduo, conclumos que toda matriz

()= , semelhante a uma matriz triangular (superior).Nesta aula, voc viu que se

, ento, A e B so semelhantes seexisteumamatriz

inversveltalque

.Viu tambmquearelaodesemelhanaumarelaodeequivalncia,eque matrizessemelhantestmomesmodeterminante.Almdisso,estudouque

o polinmio caracterstico de A, e que as razes da equao caractersticadeA,

,soosautovaloresdeA.Desse modo,todovetorX,no-nulo,talquechamadoumautovetor de Acorrespondenteaoautovalor .Finalmente,vocestudouquematrizes semelhantes tm os mesmos autovalores, e que toda matriz

semelhante a uma matriz triangular superior.

es=triz REvS0

REPortanto,tomando Portanto,tomandoMconclumos que toda m conclumos que toda mangular (superior) angular (superioREvS0

Malerial !02/6!$/(conledo e imagens) ( g ) 0ala. ___/___/___ home.______________________131Aula 07 lgebra Linear IIAuto-avaliaoSe

, encontre o polinmio caracterstico de A. E, considerando

, encontre tambm:i) os autovalores de A;ii) os autovetores de A correspondentes aos autovalores de A.Exerccios propostos1) Mostre que a matriz

tem autovalores 3 e 0 e use esse fato para encontrar uma matriz M tal que

seja triangular (superior).2) Prove que uma matriz A, n n, no inversvel se, e somente se, 0 um autovalor de A.3) Se Aforinversvel,provequeosautovaloresdeA{1soosrecprocosdos autovalores deA.4) Uma matriz no-nula A dita nilpotente se existe um inteiro positivo r tal que

.(Aqui,

(r fatores)). Prove, por multiplicao sucessiva, que uma matriz triangular, na qual todos os elementos da diagonal principal so zeros, nilpotente.5) Prove que uma matriz no-nula nilpotente se, e somente se, todos os seus autovalores so iguais a zero.6) Provequeumamatrizno-nulanilpotentenopodesersemelhanteauma matriz diagonal.7) Uma matriz

dita idempotente se

. Se A idempotente, prove que os autovalores de A so 1 ou 0.alo

t

Avers de fatomeoresnte s)). emeEVISOlores de s de AA..

tem autovalores 3 e 0 e use es ovalores 3 e 0 e useseja triangular (superior). ja triangular (superior).A, nREVnn, no inversvel se, e s , no inversvel se, eersvel,provequeosautova provequeosautovdeA.o-nulao-nula AA dita nilpot dita nilpo(r fatore torRos os e os oEVISOalor

te

ARversdeMaterial APROVADO (contedo e imagens) ( g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________14 Aula 07 lgebra Linear IIRefernciasANTON,HowardA.;RORRES,Chris.lgebralinearcomaplicaes.PortoAlegre: Bookman, 2001.BOLDRINI, J. L. et al. lgebra linear. So Paulo: Harbra, 1986.Ateno Lembre-se de que voc no deve vericar as respostas dos exerccios propostos antes de resolv-los.Respostas dos exerccios propostos1)

(a segunda coluna arbitrria, desde que M seja inversvel).2) Sugesto: note que A no inversvel se, e somente se, o sistema homogneo possui soluo .3) Sugesto:sejaumautovalordeAesejaumautovetordeAcorrespondente a , temos. Multiplique esquerda ambos os membros dessa igualdade por A{1 e use o fato de que

.7) Sugesto: se, ento, , e disso decorre

, isto ,

, o que implica

.ve spo

) Sprotrrsve

au

sa igo: sorreREvS0REvS0e vericar as resp car as respspostas dos exercciostas dos exerccios

(a segunda coluna ar (a segunda coluna aSugesto: note queesto: note que A no inve o in possui soluo possui solu 3) 3) Sugesto:seja ugesto:seja umcorrespondentecorrespondente membros de membros de7) 7) Suges SugREvS0REvSve vspo

) SuMalerial !02/6!$/(conledo e imagens) ( g ) 0ala. ___/___/___ home.______________________15AnotaesAula 07 lgebra Linear IIEvS0 00S0SvSvREvEvREvREREvS0SvRMalerial !02/6!$/ (conledo e imagens) ( g ) 0ala. ___/___/___ home.______________________16AnotaesAula 07 lgebra Linear IIREvS0 000SSvSEvREvREvRERREvS0 0RRMalerial !02/6!$/(conledo e imagens) ( g ) 0ala. ___/___/___ home.______________________