AUTOVALORES e AUTOVETORES ou VALORES e VETORES …

Notas de aula – Álgebra Linear Profa. Angelita Minetto Araújo – UTFPR /DAMAT 2021

n. 16 – AUTOVALORES e AUTOVETORES ou

VALORES e VETORES PRÓPRIOS ou

VALORES CARACTERÍSTICOS e VETORES CARACTERÍSTICOS

Aplicações: estudo de vibrações, dinâmica populacional,

estudos referentes à Genética, Mecânica Quântica, Economia

e Geometria.

Fonte: Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=esWX5oYm_rA>

Genética: a quantidade de genótipos AA, Aa,

aa resultante das combinações, conforme

forem passando as gerações é calculada

como sendo os autovalores e os autovetores

de certa matriz.

Pedaço de viga de uma ponte: ao analisarmos

um pedaço de viga, observamos que ele está

sujeito a diversas tensões. A maior e a menor

tensão que este objeto sofre é calculada

encontrando os autovalores de certa matriz.

Sistema massa x mola: dada uma mola

e colando-se nessa mola uma massa a

estabilidade desse sistema pode ser

obtida calculando-se os autovalores e

os autovetores de certa matriz.

Pesquisa de algum tema na Internet: ao digitar uma

palavra no Google aparece no buscador os sites que

podemos consultar. O Google sabe quais são os sites

“mais importantes”, devido a certa matriz, que faz a

relação entre os diversos sites, procurando autovetores e

autovalores e aplicando um algoritmo de busca

desenvolvido por eles (PageRank), eles estabelecem o

critério de qual site é mais importantes que outros.

https://www.youtube.com/watch?v=esWX5oYm_rA


Toda a transformação linear possui uma matriz associada, fixando-

se as bases.

Dada uma transformação linear de um espaço vetorial

T: V⟶ V (um operador linear), estamos interessados em saber

quais vetores são levados em um múltiplo de si mesmo.

Procuramos um vetor �⃗� ∈ V e um escalar α ∈ℝ tais que T(�⃗�) = α �⃗�.

O escalar α será chamado de autovalor de T

e o vetor �⃗� é um autovetor de T.

Definição: Seja T: V⟶V um operador linear. Se existem �⃗� ∈ V, �⃗� ≠ 0,

e α∈ℝ tais que T(�⃗�) = α �⃗�, α é um autovalor de T e �⃗� é um autovetor

de T associado a α.

Obs.: α pode ser o número zero (0),

mas �⃗� não pode ser o vetor nulo.

Um vetor, �⃗� ≠ 0 é autovetor se a imagem T(�⃗�) for um múltiplo

escalar de �⃗�. No R2 e R3 diríamos que �⃗� e T (�⃗�) têm a mesma

direção. Logo, dependendo do valor de α, o operador T dilata �⃗�,

contrai �⃗�, inverte o sentido ou anula no caso de α = 0.

α �⃗⃗⃗� �⃗⃗⃗�

V T ( �⃗⃗⃗�) V


a) Na primeira figura abaixo, o vetor �⃗� ∈ R2 é um vetor próprio

que dilata �⃗�, porque α > 1.

b) Na segunda figura observamos que �⃗� não é um autovetor de T,

pois T(�⃗�) ≠ α �⃗� .

Para encontrar os autovalores e autovetores de TA,

devemos resolver a equação:

TA (�⃗�) = α �⃗�

Exemplos:

1. Verifique se os vetores �⃗�1 e �⃗�2 são autovetores do operador linear

T: ℝ2⟶ℝ2, tal que T (x, y) = (4 x + 5 y, 2 x + y)

a) �⃗�1 = (5, 2)

Resolução: (4 . 5 + 5 . 2, 2 . 5 + 2) = (30, 12)

Logo, 6. (5, 2) =

6 . v = (30, 12)

Portanto, o autovalor é α = 6

b) �⃗�2 = (2, 1)

Resolução: (4 . 2 + 5 . 1, 2 . 2 + 1) = (13, 5)

Logo, ∄ α.(2, 1) = (13, 5), portanto, v2 = (2, 1) não é autovetor

deste operador linear.


2. Determine os autovalores e os autovetores associados à

transformação T: ℝ2⟶ℝ2, tal que T (x, y) = (2x , 2y)

Resolução:

Abrindo o vetor nas variáveis livres: (2x, 2y)

x (2, 0) + y (0, 2)

(2x, 0y) + (0x , 2y)

Neste caso, 2 é um autovalor de T e qualquer vetor

(x, y) ≠ (0, 0) é um autovetor associado ao autovalor 2.

Observe geometricamente:

T

AUTOVALOR E AUTOVETOR DE UMA MATRIZ

Seja o operador linear T: ℝ3⟶ℝ3, cuja matriz canônica é:

𝐴 = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

] → 𝐴 = [𝑇𝐴] (em relação à base canônica)

Logo, A é a transformação.

Assim pela definição temos que T(�⃗�) = α �⃗�, no caso das matrizes a

relação fica: A . �⃗� = α �⃗�

Se �⃗� e α são respectivamente autovetor e autovalor do operador T temos:

A . �⃗� = α �⃗�

A . �⃗� – α �⃗� = 0


Tendo em vista que �⃗� pode ser escrito como I.�⃗� (onde I é a matriz identidade), podemos escrever a equação acima como:

A . �⃗� – α (I. �⃗�) = 0

A . �⃗� – α I �⃗� = 0

�⃗� (A – α I) = 0

Lembrando que, para que o sistema admita soluções não nulas,

�⃗� ≠ 0, então, (A – α I) = 0

Como:

�⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ≠ (0, 0, 0) 𝑒 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠: �⃗� = [𝑥𝑦𝑧

] ≠ [000

]

Deve-se ter então: det (A - α I) = 0

𝑑𝑒𝑡 ([

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

] −

𝛼 [1 0 00 1 00 0 1

]) = 0

𝑑𝑒𝑡 ([

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

] − [𝛼 0 00 𝛼 00 0 𝛼

]) = 0

𝑑𝑒𝑡 ([

𝑎11 − 𝛼 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 − 𝛼 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33 − 𝛼] = 0


A equação det (A - α I) = 0 é denominada equação característica

do operador T ou da matriz A, e suas raízes são os autovalores do

operador T ou da matriz A.

O determinante det (A - α I) é um polinômio em α, denominado

polinômio característico.

PROPRIEDADES DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES

i) Se �⃗� é autovetor associado ao autovalor α de um operador linear

T, o vetor α �⃗�, para qualquer real α ≠ 0, é também autovetor de T

associado ao mesmo α.

T (�⃗�) = α �⃗�

ii) Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e,

portanto, os mesmos autovalores.

Definição:

Duas matrizes quadradas A e B são semelhantes se existe uma

matriz inversível P, tal que B = P-1 AP.

Um conjunto de autovetores obtidos quando α1 ≠ α2 constitui

uma base.

P é a matriz formada por essa base.

Teorema:

Duas matrizes quadradas A e B são semelhantes se, e somente se,

possuem o mesmo determinante.


Matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores.

Exercícios:

1. Determine os autovalores e autovetores da matriz 𝐴 = [4 52 1

]

a) A equação característica de A é:

det (A - α I) = 0

det [4 52 1

] − [𝛼 00 𝛼

] = 0

det [4 − 𝛼 5

2 1 − 𝛼] = 0

(4 – α) . (1 – α) – 5 . 2 = 0

4 – 4 α – α + α2 – 10 = 0

α2 – 5 α – 6 = 0

Logo, (α +1) . (α – 6) = 0

Logo, as raízes são: α1 = - 1 e α2 = 6

Logo, as raízes são os autovalores da matriz A.

b) Para determinarmos os autovetores fazemos:

[(A - α I)] . �⃗� = 0

Como queremos descobrir �⃗�, fazemos �⃗� = (x, y)

[4 52 1

] − [𝛼 00 𝛼

] . [𝑥𝑦] = [

00

]

[4 − 𝛼 5

2 1 − 𝛼] . [

𝑥𝑦] = [

00

]


Agora usamos os autovalores encontrados anteriormente:

α1 = - 1 e α2 = 6

b1) Para α1 = - 1

[4 − (−1) 5

2 1 − (−1)] [

𝑥𝑦] = [

00

]

[5 52 2

] [𝑥𝑦] = [

00

]

{5𝑥 + 5𝑦 = 02𝑥 + 2𝑦 = 0

Logo, y = - x portanto, o sistema admite infinitas soluções.

Assim, v1 = (x, - x)

v1 = x(1,- 1) com x≠0 são autovetores associados ao autovalor

α = - 1

b2) Para α2 = 6

[4 − (6) 5

2 1 − (6)] [

𝑥𝑦] = [

00

]

[−2 52 −5

] [𝑥𝑦] = [

00

]


{−2𝑥 + 5𝑦 = 02𝑥 − 5𝑦 = 0

Logo, 𝑦 =2

5 𝑥 portanto, o sistema admite infinitas soluções.

Assim, v2 = (𝑥,2

5 𝑥 )

v2 = x (1,2

5 ) com x ≠ 0

ou um múltiplo: (5,2) são autovetores associados ao autovalor α = 6

2. Determine os autovalores e autovetores da matriz 𝐴 = [− 3 4−1 2

]

a) A equação característica de A é:

det (A - α I) = 0

det [− 3 4− 1 2

] − [𝛼 00 𝛼

] = 0

det [−3 − 𝛼 4

−1 2 − 𝛼] = 0

(- 3 – α) . (2 – α) – 4 . (-1) = 0

- 6 + 3 α – 2 α + α2 +4 = 0

α2 + α – 2 = 0

Logo, (α +1) . (α + 2) = 0

Logo, as raízes são: α1 = - 2 e α2 = 1


b) Para determinarmos os autovetores fazemos:

(A - α I) . v = 0


Como queremos descobrir v, fazemos v = (x, y)

[− 3 4−1 2

] − [𝛼 00 𝛼

] [𝑥𝑦] = [

00

]

[−3 − ( 𝛼) 4

−1 2 − (𝛼)] [

𝑥𝑦] = [

00

]

Agora usamos os autovalores encontrados anteriormente:

α1 = - 2 e α2 = 1

b1) Para α1 = - 2

[−3 − (−2) 4

−1 2 − (−2)] [

𝑥𝑦] = [

00

]

[− 3 + 2 4

−1 2 + 2] [

𝑥𝑦] = [

00

]

[−1 4−1 4

] [𝑥𝑦] = [

00

]

{−𝑥 + 4𝑦 = 0−𝑥 + 4𝑦 = 0

Logo, x = 4y

Assim, v1 = (4 y, y) = y (4, 1) = (4, 1)

v1=(4, 1) com y ≠ 0 são autovetores associados ao autovalor α1 = - 2

b2) Para α2 = 1


[− 3 − 1 4

− 1 2 − 1] [

𝑥𝑦] = [

00

]

[−4 4− 1 1

] [𝑥𝑦] = [

00

]

{−4𝑥 + 4𝑦 = 0

−𝑥 + 𝑦 = 0

Logo, y = x

Assim, v2 = (𝑦, 𝑦 )

v2 = y (1, 1 )

v2 = (1, 1) com y ≠ 0 é um autovetor associado ao autovalor α = 1

Exercícios:

1. Calcule o polinômio característico e os valores próprios das

seguintes matrizes:

a. [2 01 1

]

b. [−1 −1−3 1

]

c. [2 10 1

]

d. [−1 −3−1 1

]


e. [1 2 30 1 20 0 1

]

f. [1 2 10 2 30 0 4

]

2. Encontre o polinômio característico das seguintes matrizes:

a. [4 2 0

−1 1 00 1 2

]

b. [−1 −4 142 −7 142 −4 11

]

3. Mostre que 2 é autovalor de: [3 −1 1

−1 5 11 −1 3

]

Resolução das questões:

1. Calcule o polinômio característico e os valores próprios das

seguintes matrizes:

a. [2 01 1

]

A equação característica de A é:

det (A - α I) = 0


det [2 01 1

] − [𝛼 00 𝛼

] = 0

det [2 − 𝛼 0

1 1 − 𝛼] = 0

(2 – α) . (1 – α) – 0 . (1) = 0

2 – 2 α – α + α2 = 0

α2 – 3 α + 2 = 0 esse é o polinômio característico.

Encontrando as raízes da equação:

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−(−3) ± √(−3)2 − 4(1)(2)

2(1)=

3 ± √9 − 8

2=

3 ± √1

2=

3 ± 1

2

𝛼′ = 2 𝑒 𝛼′′ = 1

Assim, as raízes da equação são: α1 = 2 e α2 = 1


α2 – 3 α + 2 = 0 é o polinômio característico e os valores próprios

são: α1 = 2 e α2 = 1.

b. [−1 −1−3 1

]


det (A - α I) = 0

det [−1 −1−3 1

] − [𝛼 00 𝛼

] = 0


det [−1 − 𝛼 −1 − 0−3 − 0 1 − 𝛼

] = 0

(-1 – α) . (1 – α) – (-1) . (-3) = 0

- 1+ α – α + α2 - 3 = 0

α2 – 4 = 0 esse é o polinômio característico.


−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−(0) ± √(0)2 − 4(1)(−4)

2(1)=

±√16

2=

±4

2

𝛼′ = 2 𝑒 𝛼′′ = −2

Assim, as raízes da equação são: α1 = 2 e α2 = - 2


R: α2 – 4 = 0 é o polinômio característico e os valores próprios são:

α1 = 2 e α2 = - 2.

c. [2 10 1

]


det (A - α I) = 0

det [2 10 1

] − [𝛼 00 𝛼

] = 0

det [2 − 𝛼 1 − 00 − 0 1 − 𝛼

] = 0


(2 – α) . (1 – α) – (1) = 0

2 - 2α – α + α2 - 1 = 0

α2 – 3 α +1 = 0 esse é o polinômio característico.


−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−(−3) ± √(−3)2 − 4(1)(1)

2(1)=

3 ± √9 − 4

2=

3 ± √5

2

𝛼′ = 3 + √5

2 𝑒 𝛼′′ =

3 − √5

2

Assim, as raízes da equação são: α1 = 3+√5

2 e α2 = 3−√5

2


R: α2 – 3 α +1 = 0 é o polinômio característico e os valores próprios

são: α1 = 3+√5

2 e α2 = 3−√5

2

d. [−1 −3−1 1

]


det (A - α I) = 0

det [−1 −3−1 1

] − [𝛼 00 𝛼

] = 0

det [−1 − 𝛼 −3 − 0−1 − 0 1 − 𝛼

] = 0


(-1 – α) . (1 – α) – (-3) . (-1) = 0

- 1+ α – α + α2 - 3 = 0

α2 – 4 = 0 esse é o polinômio característico.


−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−(0) ± √(0)2 − 4(1)(−4)

2(1)=

±√16

2=

±4

2

𝛼′ = 2 𝑒 𝛼′′ = −2

Assim, as raízes da equação são: α1 = 2 e α2 = - 2


R: α2 – 4 = 0 é o polinômio característico e os valores próprios são:

α1 = 2 e α2 = - 2.

e. [1 2 30 1 20 0 1

]

A equação característica de A é: det (A - α I) = 0

𝑑𝑒𝑡: [1 − 𝛼 2 3

0 1 − 𝛼 20 0 1 − 𝛼

] = 0

[

1 − 𝛼 2 3 | 1 − 𝛼 20 1 − 𝛼 2 | 0 1 − 𝛼0 0 1 − 𝛼 | 0 0

] = 0


(1 − 𝛼)(1 − 𝛼)(1 − 𝛼) = 0

(1 − 𝛼 − 𝛼 + 𝛼2)(1 − 𝛼) = 0

(1 − 𝛼 − 𝛼 + 𝛼2 − 𝛼 + 𝛼2 + 𝛼2 − 𝛼3) = 0

−𝛼3 + 3𝛼2 − 3𝛼 + 1 = 0

Para o autovalor 𝛼 = 1 temos:

[1 − 𝛼 2 3

0 1 − 𝛼 20 0 1 − 𝛼

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

[1 − 1 2 3

0 1 − 1 20 0 1 − 1

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

[0 2 30 0 20 0 0

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

{2𝑦 + 3𝑧 = 0

2𝑧 = 00 = 0

→ {𝑦 = 0𝑧 = 00 = 0

Como, 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 = 0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜:

𝐶𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟: (𝑥, 0, 0) = 𝑥 (1, 0, 0)

R: −𝛼3 + 3𝛼2 − 3𝛼 + 1 = 0 é o polinômio característico, para o

autovalor α1 = 1 o autovetor é 𝑥 (1, 0, 0), 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0 . (Boldrini, p.

195)


f. [1 2 10 2 30 0 4

]


𝑑𝑒𝑡: [1 − 𝛼 2 1

0 2 − 𝛼 30 0 4 − 𝛼

] = 0

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 é 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜

𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙.

(1 − 𝛼)(2 − 𝛼)(4 − 𝛼) = 0

(2 − 𝛼 − 2𝛼 + 𝛼2)(4 − 𝛼) = 0

(2 − 3𝛼 + 𝛼2)(4 − 𝛼) = 0

(8 − 12𝛼 + 4𝛼2 − 2𝛼 + 3𝛼2 − 𝛼3) = 0

𝛼3 + 7𝛼2 − 14𝛼 + 8 = 0

Autovalores: 𝛼1 = 1 , 𝛼2 = 2 𝑒 𝛼3 = 4

Para o autovalor 𝛼1 = 1 temos:

[1 − 𝛼 2 1

0 2 − 𝛼 30 0 4 − 𝛼

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

[1 − 1 2 1

0 2 − 1 30 0 4 − 1

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]


[0 2 10 1 30 0 3

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

{2𝑦 + 𝑧 = 0𝑦 + 3𝑧 = 0

3𝑧 = 0

→ {0 = 0𝑦 = 0𝑧 = 0

(𝑥, 0, 0) = 𝑥 (1, 0, 0) 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0


[1 − 𝛼 2 1

0 2 − 𝛼 30 0 4 − 𝛼

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

[1 − 2 2 1

0 2 − 2 30 0 4 − 2

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

[−1 2 10 0 30 0 2

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

{−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0

3𝑧 = 02𝑧 = 0

→ {−𝑥 = −2𝑦

𝑧 = 0𝑧 = 0

→ {𝑥 = 2𝑦𝑧 = 0𝑧 = 0

(2𝑦, 𝑦, 0) = 𝑦 (2, 1, 0) 𝑐𝑜𝑚 𝑦 ≠ 0



[1 − 𝛼 2 1

0 2 − 𝛼 30 0 4 − 𝛼

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

[1 − 4 2 1

0 2 − 4 30 0 4 − 4

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

[−3 2 10 −2 30 0 0

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

{−3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0

−2𝑦 + 3𝑧 = 00 = 0

→ {

−3𝑥 = −2𝑦 − 𝑧

𝑦 = −3𝑧

−2

→ {−3𝑥 = −2 (

3𝑧

2) − 𝑧

𝑦 = 3𝑧

2

{−3𝑥 = −3𝑧 − 𝑧

𝑦 = 3𝑧

2

→ {−3𝑥 = −4𝑧

𝑦 = 3𝑧

2

→ {𝑥 =

−4𝑧

−3

𝑦 = 3𝑧

2

→ {𝑥 =

4𝑧

3

𝑦 = 3𝑧

2

(4𝑧

3,3𝑧

2, 𝑧) = 𝑧 (

4

3,3

2, 1) 𝑐𝑜𝑚 𝑧 ≠ 0 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 6 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠

6 (4

3,3

2, 1) = (8, 9,6) 𝑐𝑜𝑚 𝑧 ≠ 0

R: 𝛼3 + 7𝛼2 − 14𝛼 + 8 = 0 é o polinômio característico, para o

autovalor α1 = 1 o autovetor é 𝑥 (1, 0, 0), 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0, para α2 = 2 o

autovetor é 𝑦 (2,1, 0), 𝑐𝑜𝑚 𝑦 ≠ 0 e para α3 = 4 o autovetor é

𝑧 (8, 9, 6), 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0 .


2. Encontre o polinômio característico das seguintes matrizes:

a. [4 2 0

−1 1 00 1 2

]


𝑑𝑒𝑡: [4 − 𝛼 2 0

−1 1 − 𝛼 00 1 2 − 𝛼

] = 0

[

4 − 𝛼 2 0 | 4 − 𝛼 2−1 1 − 𝛼 0 | −1 1 − 𝛼0 1 2 − 𝛼 | 0 1

] = 0

(4 − 𝛼)(1 − 𝛼)(2 − 𝛼) + 2 (2 − 𝛼) = 0

−𝛼3 + 7𝛼2 − 16 𝛼 + 12 = 0

R: – α3 + 7 α2 – 16 α + 12 = 0 é o polinômio característico (Boldrini,

p. 185)

b. [−1 −4 142 −7 142 −4 11

]



𝑑𝑒𝑡: [−1 − 𝛼 −4 14

2 −7 − 𝛼 142 −4 11 − 𝛼

] = 0

[

−1 − 𝛼 −4 14 | −1 − 𝛼 −42 −7 − 𝛼 14 | 2 −7 − 𝛼2 −4 11 − 𝛼 | 2 −4

] = 0

(−1 − 𝛼)(−7 − 𝛼)(11 − 𝛼) − 112 − 112 − 28(−7 − 𝛼) + 56(−1 − 𝛼) + 8(11 − 𝛼) = 0

(−1 − 𝛼)(−7 − 𝛼)(11 − 𝛼) − 224 + 196 + 28𝛼 − 56 − 56𝛼 + 88 − 8𝛼 = 0

(+7 + 𝛼 + 7𝛼 + 𝛼2)(11 − 𝛼) − 224 + 196 + 28𝛼 − 56 − 56𝛼 + 88 − 8𝛼 = 0

(7 + 8𝛼 + 𝛼2)(11 − 𝛼) − 224 + 196 + 28𝛼 − 56 − 56𝛼 + 88 − 8𝛼 = 0

+77 + 88𝛼 + 11𝛼2 − 7𝛼 − 8𝛼2 − 𝛼3 − 224 + 196 + 28𝛼 − 56 − 56𝛼 + 88 − 8𝛼 = 0

−𝛼3 + 11𝛼2 − 8𝛼2 + 28𝛼 + 88𝛼 − 56𝛼 − 8𝛼 − 7𝛼 − 56 + 88 − 224 + 196 + 77 = 0

−𝛼3 + 3𝛼2 + 45𝛼 + 81 = 0

R: −𝛼3 + 3𝛼2 + 45𝛼 + 81 = 0 é o polinômio característico

(Boldrini, p. 195)

3. Mostre que 2 é autovalor de: [3 −1 1

−1 5 11 −1 3

]

Da equação característica temos:

det( [3 −1 1

−1 5 11 −1 3

] − 𝛼𝐼) = 0

[3 − 𝛼 −1 1

−1 5 − 𝛼 11 −1 3 − 𝛼

] = 0

Para 𝛼 = 2 temos:


[3 − 2 −1 1

−1 5 − 2 11 −1 3 − 2

] = 0

[1 −1 1

−1 3 11 −1 1

] = 0

[

1 −1 1 | 1 −1−1 3 1 | −1 31 −1 1 | 1 −1

] = 0

3 − 1 + 1 − 3 + 1 − 1 = 0

Logo, 2 é autovalor de [3 −1 1

−1 5 11 −1 3

] .

Referências Bibliográficas BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1998. LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.


VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba. 1949. AUTOVETORES E AUTOVALOES. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=esWX5oYm_rA> Acesso em: 20 nov./ 2016.

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