Estruturas Algebricas I

P1

Quinta Feira, 3 de Maio, 2012

Exercise 1. Seja n 2 N \ {0}, e seja µn o grupo das raizes n-esimas da unidade, ou seja: µn := {z 2C | zn = 1} . Seja S1 o subgrupo de C⇤ dos numeros complexos de valor absoluto igual a 1, com amultiplicação come operação. Sejam m,n 2 N \ {0}, considere-se a aplicação:

f : µn ⇥ µm - S1

dada por (a, b) - ab.

• Prove-se que f é homomorfismo de grupos.

• Prove-se que a imagem Imf e o nucleo ker f são grupos ciclicos e identifiquem-se precisamente.

• Considere-se a mapa: g : Z - Z/nZ ⇥ Z/nZ dada por a - ([a]n, [a]m),onde [a]n e [a]m sãoas classes de equivalencia de a modulo n e m, respectivamente. Prove-se que a mapa g fatora

atravesso Z/mnZ - Z/nZ⇥ Z/nZ.

• Prove-se que se (m,n) 6= 1, então Z/nZ⇥ Z/nZ não é isomorfo a Z/mnZ.

Exercise 2. Se considerem-se as seguintes permutações em S7:

� = (123574)(1326)

� =

1 2 3 4 5 6 7

2 7 1 5 4 6 3

!

• Escrevem-se � e � como produto de ciclos disjuntos.

• Diga-se se � e � estão na mesma classe de conjugação, e porque.

• Se sim, encontre-se ⌧ 2 S7, tal que � = ⌧�⌧�1.

Exercise 3. Seja p 6= 2 um primo. Seja G o conjunto G = U(Z/p2Z)⇥Z/p2Z, e se considere a operaçãoem G definida como:

(a, b)(a0, b0) = (aa0, b0 + ba0) .

1. Verifique-se que (G, ·) è um grupo com elemento neutro 1G = (1, 0).

2. Verifique-se que H = {(a, b) 2 G | a ⌘ 1 mod p} é um subgrupo de G.

3. H é um subgrupo normal ? Motive a sua resposta.

4. H é um subgrupo de Sylow?

5. G é um produto semidireto de dois subgrupos? Se sim, se descreva a estrutura de produto semi-

direto.

6. Qual é a ordem de G?

Exercise 4. Seja G um grupo com ordem 33.

• Provar que cada subgrupo proprio de G é normal.

1

• Provar que G não é simples.

• Quantos são os subgrupos normais de G?

• Provar que G é ciclico.

• Se pode fazer o mesmo raciocinio se |G| = 6?. Dar exemplos.

Exercise 5. Seja G o grupo de isometrias de R2. ou seja o grupo das trasformações de R2 dadas porv - Av + b, onde b 2 R2 e A é uma matriz tal que tAA = 1. G age sobre R2 de modo natural. SejaK o estabilizador da origem.

• Provar que K ' O2(R) ' S1 ⇥ Z2.

• Provar que G é o produto semidireto G ' (S1⇥Z/2Z)⇥�R2, por qual � : S1⇥Z/2Z - Aut(R2)?Se descreva.

2

Estruturas Algebricas I

P1

Quarta Feira, 13 de Junho, 2012

Exercicio 1. Seja D um anel comutativo. Um ideal proprio I de D é chamado irredutível se I = I1 \ I2por dois ideais I1, I2 implica que I = I1 ou I = I2.

1. Mostrar que cada ideal primo p é irredutivel1

A partir de agora seja D um dominio a ideais principais.

2. Mostrar que se a é irredutível em D então (a) é irredutível como ideal.

3. Encontrar todos os ideais irredutiveis em D.

4. Mostrar que I é um ideal irredutivel se e soamente é proprio e satisfaz à seguinte propriedade:

xy 2 I =) x 2 I ou ym 2 I

por algum m 2 N \ {0}.5. Elenquem-se todos os ideais irredutíveis em Z. Prove-se que todo ideal I proprio de Z é interseçãofinita de ideais irredutíveis. Prove-se que esta forma de escrever I como interseção é única com exepcão

da ordem da interseção.

1Um ideal primo é sempre proprio, por definição

1

Exercicio 2. Considere-se o anel Z[i] e se considere o ideal nZ[i] := (n) (ideal gerado por n).

1. Qual é a carateristica do anel An := Z[i]/nZ[i]? Quantos elementos tem An?

2. Mostrar que se An é um corpo então n é primo.

3. É verdade que Ap, por p primo, é um corpo?

4. É verdade que Ap nunca é corpo?

3

Exercicio 3. Seja D um dominio comutativo de carateristica 0.

1. Provare existe uma unica mapa injetiva de aneis ' : Z ⇢ - D. No que segue vamos sempre identificaro subanel '(Z) com Z.2. Provar que Z[x] não é a ideais principais.3. Provar que, se D não é um corpo, D[x] não é a ideais principais.

Supomos agora que D é fatorial. Seja u um elemento fixado de D.

4. Provar que existe uma única mapa '̂ : Z[x] - D que extende ' e tal que '̂(x) = u.

Supomos que u é algébrico sobre Z.5. Provar que ker '̂ é um ideal principal.

6. Seja g um gerador de ker '̂. Questões: g é irredutivel? g é monico? g é primitivo? (motivar as

respostas em todos os detalhes)

7. Provar que ' induz uma extensão de corpos: Q ⇢ - F (D), onde F (D) é o corpo das fracções de D.Provar que Q[u] é um corpo; que Q[u] = Q(u) e que [Q(u) : Q] = deg g.8. Se estudem os passos precedentes com o exemplo D = C, u = "/ 3

p2 e onde " = e

2⇡i3

9. Quais são os inversos de u e de (u+ 1) em Q(u)?9. Se encontre o polinomio minimo de u sobre R .

5

Estruturas Algebricas I

P3: exame final

2012

Exercicio 1. Seja Dn o n-esimo grupo dihedral, ou seja o grupo das isometrias planas de um poligonoregular de n lados, n � 3. Lembramos que Dn é gerado por dois elementos � e ⇢ com as relações �2 = 1,⇢

n= 1, �⇢� = ⇢�1.

1. Prove-se que o subgrupo gerado por ⇢ é normal em Dn.

2. Por cada elemento x 2 Dn, com x = �i1⇢i2 . . .�i2k�1⇢i2k , considere-se o elemento

'(x) =

kX

j=1

i2j�1 mod 2 em Z/2Z .

Demonstre-se que a função ' : Dn - Z/2Z é bem definida. Demostre-se que é homomorfismode grupos.

3. Prove-se que o nucleo ker' é isomorfo a Z/nZ.

4. Deduza-se que Dn/(Z/nZ) ' Z/2Z

5. Realize-se Dn como o produto semi-direto Dn ' Z/nZ ⇥� Z/2Z, por algum homomorfismo � :Z/2Z - Aut(Z/nZ). Explicitar o �.

6. Seja n impar. Determinar todos os subgrupos de p-Sylow de Dn.

7. Mostrar que D3, D4, D6 são os unicos produtos semi-diretos não triviais de Z/2Z com Z/3Z, Z/4Z,Z/6Z, respectivamente.

Exercicio 2. Seja A um anel comutativo. Seja I um ideal de A. Considere-se o conjunto (chamado oradical de I) p

I = {x 2 A | xn 2 I , 9n 2 N \ {0}} .

1. Provar quepI é um ideal, e que I ✓

pI.

2. Provar que se p é um ideal primo, entãopp = p.

Sejam agora I e J dois ideais. Indicamos com IJ o ideal gerado por todos os produtos ab, tais quea 2 I, b 2 J . Se I é ideal, se define por inducão In o ideal In := In�1I.

1. Provar que I ✓pI

n. E’ verdade que I =pI

n? E se I = p, com p um ideal primo?

2. Provar que o anel A/p

(0) não tem nilpotentes.

3. Provar que sepI e gerado por un numero finito de elementos, por exemplo

pI = (f1, . . . , fr),

então existe l 2 N \ {0} tal que (pI)

l ✓ I.

4. O que acontece quando o anel A é um dominio principal?

Exercicio 3. Seja R um anel comutativo. Considere-se M2(R) o anel das matrizes quadradas 2 ⇥ 2com entradas em R. Provar que o determinante det : M2(R) - R é um homomorfismo de monoidesmultiplicativos. Provar que det induz um homomorfismo dos grupos dos inversiveis: det : GL2(R) :=U(M2(R))

-U(R). Seja SL2(R) o nucleo de det, restringido a GL2(R), ou seja SL2(R) := {A 2

M2(R) | detA = 1}.

1

1. Seja T (R) o subconjunto de M2(R) das matrizes triangulares superiores, ou seja:

T (R) =

( a b

0 d

!| a, b, d 2 R

).

É um ideal? É um subanel?

2. É N(R) =

( 0 x

0 0

!x 2 R

)um ideal bilateral de T (R)? É um ideal de M2(R)?

3. Considere-se T ⇤(R) = GL2(R) \ T (R). Provar que T ⇤(R) é isomorfo ao produto semidireto '(U(R)⇥ U(R))⇥� R, com � : U(R)⇥ U(R) - Aut(R) para explicitar.

4. Considere-se ˜T (R) := SL2(R)\T (R). Provar que ˜T (R) é subgrupo de T ⇤(R). Provar que T ⇤(R) 'U(R) ⇥' R, por um certo homomorfismo ' : U(R) - Aut(R) (qual? ). Provar que nasidentificações dadas a injeção ˜T (R) ⇢ - T ⇤(R) é induzida por a injeção U(R) ⇢ - U(R)⇥U(R).

5. Provar que ˜T (Z/3Z) ' D6.

6. Seja F um corpo finito de caraterística p. Encontrar explicitamente todos os p-Sylow de T ⇤(F ).

7. Descrever o mais explicitamente possível T ⇤(F ).

Exercicio 4. Considere-se u = e2⇡i/3 2 C. Seja f(x) o polinomio x2 + x+ 1.

• Prove-se que f(x) é irredutível em Q[x] e em Z[x]. Prove-se que u é uma raiz de f(x). Deduza-seque f(x) é o polinomio minimo de u sobre Q.

• Prove-se que Q[u] é um corpo, isomorfo a Q[x]/(f(x)).

• Qual’é o grau da extensão [Q[u] : Q]?

• Quem é o inverso de u e 2u+ 1 em Q[u]?

• Por [a] 2 (Z/3Z)⇤, defina-se1 '([a]) : Q[x] - Q[x]/(f(x)) como a unico morfismo de aneis tal que'([a])(x) = x̄

a. Prove-se que é bem definido. Prove-se que isto define uma ação de G := (Z/3Z)⇤

sobre Q[x]/(f(x)) ' Q[u]. Deduza-se que por cada [a] 2 G, '([a]) induz um automorfismo deQ[x]/(f(x)) ' Q[u] que fixa Q.

• Prove-se que cada automorfismo � de aneis de Q[x]/(f(x)) ' Q[u] que fixa Q é dado por um certo'([a]). (Sugestão: prove-se que cada automorfismo � como aqui em cima induz um automorfismodo anel dos polinômios Q[u][t], na trascendente t, que fixa o polinômio minimo de u e, então, todasas suas raizes).

• Prove-se que [Q[x]/(f(x))]G = Q.

Exercise 5. Provar que se G é um grupo que admite um subgrupo normal N , com N ✓ Z(G) e comG/N ciclico, então G é um grupo abeliano.

Deduzir que o centro de um grupo nao pode ter indice primo.Deduzir que cada grupo con p2 elementos, onde p é primo, é abeliano.

1lembramos que (Z/3Z)⇤ é o grupo dos inversiveis do anel Z/3Z

2

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PUC-RIO

Estruturas Algébricas I — P1 14/04/2015

Nome:

Questão 1. Provar a seguinte afirmação sem usar os teoremas de Sylow ou o Lema de Cauchy .

”Seja G um grupo. Supomos que G admite um subgrupo de ordem pk. Então G admite um subgrupo de

ordem ph, com 0 § h § k.”

Questão 2. Seja G o conjunto

G :“ tA P M2ˆ2pZ{pZq | detpAq “ ˘1u .

1. Provar que G é um grupo finito não comutativo e encontrar a sua ordem1 |G|.

2. Provar que p | |G|.

3. Considere-se a matriz

A “˜

r1sp r1spr1sp 0

¸.

Mostrar que A P G. Calcular An por cada n.

4. Deduzir que p ⌫ F|G|, onde Fk é o k-esimo número de Fibonacci.

5. Encontrar um subgrupo de p-Sylow P de G.

6. P é normal?

7. Seja p um primo geral. Provar que G é uma extensão

1

- Hf- G

g- Z{2Z - 0 ,

com H um grupo a ser determinado. A extensão é trivial? ´E split? Se sim encontrar inversas

esquerdas e/o direitas de f e g, respectivamente.

8. Mostrar que p ⌫ |H|. Qual é a ordem de H?

9. Para p “ 3 encontrar o número de subgrupos de 3-Sylow de H.

10. Mostrar que, por p “ 3, 2 ⌫ |G|. Encontrar um 2-Sylow de G.

11. Seja p um primo geral. Pode G se exprimido como produto semi-direto de dois subgrupos não triviais?

12. Provar que G contem um grupo dihedral Dp (tem um subgrupo isomorfo ao grupo dihedral Dp).

Questão 3. Seja X um conjunto finito não vazio. Consideramos o grupo simétrico SpXq de X. ´E claroque ha uma ação natural de SpXq sobre X.

1Resposta: |G| “ 2ppp2 ´ 1q.

1. Mostrar que SpXq opera sobre X transitivamente, ou seja, por cada x, y P X, existe � P SpXq talque �.x “ y.

2. Mostrar que SpXq opera de forma natural sobre o conjunto PpXq dos subconjuntos de X.

3. Seja agora tA1, . . . , Aku uma partição de X tal que os conjuntos Ai são tais que |Ai| “ |Aj | por cadai, j. Seja G o estabilizador da partição: por definição G é o subconjunto de SpXq formado pelaspermutações � tais que para todo l “ 1, . . . , k, �pAlq Ñ Ah para um certo h (ou seja G é osubconjunto das permutações que mandam conjuntos da partição em conjuntos da partição, ou seja,

que respeita a partição). Provar que G é uma extensão

1

- SpA1q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ SpAkq f- G g- Sk - 1 .

4. Provar que a extensão é split e encontrar explicitamente uma homomorfismo � : Sk - G tal que

g ˝ � “ id.

Questão 4. Seja X um conjunto finito. Supomos que G1 e G2 sejam grupos que operam sobre X com as

ações � : G1 - SpXq e µ : G2 - SpXq, respectivamente. Seja ⌘ : G2 - AutpG1q umhomomorfismo de grupos. Mostrar que � e µ se extendem a uma ação ⇤ : G1 ¸⌘ G2 - SpXq se esomente se o diagrama seguinte comuta:

G1 ˆ G2a - G1

SpXq ˆ SpXq

� ˆ µ? b- SpXq

�

?

onde apg, hq “ ⌘phqpgq e bp�, ⌧q “ ⌧�⌧´1.

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PUC-RIO

Estruturas Algébricas I — P2 30/06/2015

Nome:

Questão 1. Seja F um corpo comutativo e E uma sua extensão, ou seja um corpo comutativo tal que F é subanel de E. Seja

u P E. Lembramos que u é algebrico sobre F se existe um polinômio ppxq não nulo a coeficientes em F tal que ppuq “ 0. Nestecaso o homomorfismo de extensão F rxs - E que extende a inclusão e manda x em u tem núcleo, que é um ideal principal,gerado por um polinômio pupxq P F rxs, que podemos sempre assumir mônico. Lembramos que o polinômio pupxq é chamadopolinômio mı́nimo do elemento u.

1. Mostrar que pupxq é um polinômio irredut́ıvel em F rxs. (Dica: raciocinar por absurdo). Deduzir que o ideal principalppupxqq é um ideal maximal de F rxs.

2. Mostrar que F rus é um corpo comutativo. (Dica: mostrar que F rus é naturalmente isomorfo a um outro anel, necessaria-mente um corpo comutativo).

Seja agora K um outro corpo, e L uma sua extensão, e seja v P L um elemento algébrico sobre K, com polinômio mı́nimopvpxq P Krxs. Supomos que haja um homomorfismo de corpos ' : F - K não nulo.

3. Mostrar que ' se extende a um homomorfismo de aneis '̂ : F rxs - Krxs.4. Mostrar a seguinte afirmação: o homomorfismo ' : F - K se extende à um homomorfismo de aneis f : F rus - Krvs

se e somente se pvpxq ⌫ '̂ppupxqq em Krxs.5. A afirmação é verdadeira mesmo se F , E, K, L fossem domı́nios comutativos UFD ? (Neste caso, consideraremos u e v

inteiros sobre F e K, respetivamente, e substituiremos pupxq e pvpxq com os polinômios mônicos de grau mı́nimo qupxq, qvpxqtais que qupuq “ 0, qvpvq “ 0, respeitivamente. Extendendo cada dominio ao seu corpo das frações (por exemplo, extendendo Fà KF e E a KE) podemos na mesma considerar u P KE como algebrico sobre KF ; denotaremos com pu o polinomio mı́nimo deu sobre KF etc...) (Dica: mostrar que se F , E, K, L, são UFD, então pupxq “ qupxq, pvpxq “ pvpxq).

5. (dificil) E se fossem domı́nios não necessariamente UFD?

Questão 2. Seja A um anel. Um elemento idempotente em A é um elemento e tal que e2 “ e.1. Provar que se A é domı́nio comutativo então A tem exactamente dois idempotentes 0 e 1.

2. Seja A um anel qualquer. Seja e um elemento idempotente de A. Provar que f “ 1 ´ e é idempotente. Provar queef “ 0 “ fe.

3. Seja desde agora A anel comutativo. Provar que peq e pfq são ideais coprimos, ou seja peq ` pfq “ A. Provar quepeq X pfq “ t0u.

4. Provar que peq é um anel, com as operações induzidas por A, mas não um subanel. Obviamente o mesmo val para pfq.Porquê peq e pfq não são subaneis de A?

5. Dar um isomorfismo de aneis peq ˆ pfq - A.6. Deduzir que se A contem um idempotente e tal que e ‰ 0, e ‰ 1, então A não pode ser um domı́nio.7. Consideramos um corpo comutativo F e o conjunto

A :“#˜

a b

b a

¸| a, b P F

+.

Provar que A é um subanel comutativo de M2ˆ2pF q e que A é isomorfo, come anel, a F ˆ F . (Encontrar dois idempotentescomo nos pontos 2–5).

Questão 3. Seja A um anel comutativo. Provar que se Arxs é um domı́nio a ideais principais, então A é um corpo comutativo.(Dica: obter A como quociente adequado de Arxs, por um certo ideal)

Questão 4. Sejam A e B dois aneis (não necessariamente comutativos). Consideramos o anel produto direto A ˆ B (com asoperações componentes por componentes). Seja I um ideal esquerdo de AˆB. Provar que existem ideais esquerdos I1 (de A) eI2 (de B) tais que I “ I1 ˆ I2.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PUC-RIO

Estruturas Algébricas I — P1 09/05/2016

Nome:

Questão 1. Por cada um destes item, provar o enunciado ou dar um contraexemplo

1. (0.2pt) Sejam H1, H2 grupos e G o produto direto G “ H1 ˆ H2. Então cada subgrupo de G é daforma K1 ˆ K2.

2. (0.2pt) Seja G um grupo. Seja N ⇥G e H ⇥N . Então H ⇥G.

3. (0.5pt) Sejam G1, G2 grupos. Sejam N1 ⇥G1, N2 ⇥G2, N1 » N2 e G1{N1 » G2{N2. Então G1 » G2.

4. (0.3pt) Sejam G1, G2 grupos. Sejam N1 ⇥G1, N2 ⇥G2, N1 » N2, G1 » G2. Então G1{N1 » G2{N2.

5. (0.5pt) Sejam G1, G2 grupos. Sejam N1 ⇥G1, N2 ⇥G2, G1 » G2, G1{N1 » G2{N2. Então N1 » N2.

6. (0.3pt) Seja G um grupo, com N ⇥G, rG : N s “ n, então @g P G, gn P N .

7. (0.5pt) Seja G um grupo. Supomos que G{ZpGq é ciclico. Então G é abeliano.

8. (0.5pt) Seja G um grupo. Supomos que G{ZpGq é abeliano. Então G é abeliano.

9. (0.4pt) Seja G um grupo finito não abeliano. Então |ZpGq| § |G|{4.

Questão 2. Seja G um grupo finito, e seja H o subgrupo de G gerado por todos os elementos de G de

ordem impar. Provar que

1. (0.5pt) H é normal em G

2. (2pt) rG : Hs “ 2k, Dk P N.

Questão 3. (3pt) Seja G um grupo de ordem |G| “ pam, com p � m. Supomos que G satisfaça àpropriedade seguinte: se P e Q são subgrupos de p-Sylow arbitrarios de G, então P “ Q ou P X Q “ 1.Provar que o número np de subgrupos de p-Sylow satisfaz a

np ” 1 mod pa .

Questão 4. (1.5pt) Provar que um grupo de ordem 2001 “ 3 ¨ 23 ¨ 29 contem um subgrupo ciclico normalde indice 3.

(1pt) Provar que um grupo de ordem 2002 “ 2 ¨ 7 ¨ 11 ¨ 13 tem um subgrupo ciclico de indice 2.

Questão 5. Seja Fp o corpo Z{pZ, (com as usuais operações de soma e produto). Seja GLnpFpq o grupode matrizes n ˆ n inverśıveis a coe�cientes em Fp.

1. (0.2pt) Provar que se v1, . . . , vr são vetores linearmente independentes em Fnp , as posśıveiscombinações Fp-lineares são pr.

2. (0.3pt) Provar que |GLnpFpq| “ ppn ´ 1qppn ´ pq ¨ ¨ ¨ ppn ´ pn´1q. Dica: enumerar as posśıveis matrizesA “ pA1, . . . , Anq (aqui Ai são as colunas de A) em GLnpFpq) contando as posśıveis primeiras colunasA1 (mostrar que estas são qn), as posśıveis primeiras colunas A2 (mostrar que são qn menos as

múltiplas de A1, as posśıveis colunas A3 (mostrar que são qn menos todas as combinações lineares de

A1 e A2,) ), etc...

3. (0.2pt) Qual’é a ordem de um p-Sylow de GLpFpq? Encontrar explicitamente um tal subgrupo. ´Enormal?

4. (0.5pt) Consideramos a aplicação det : GLnpFpq - F˚p , que associa a A o determinante detA. ´Eum homomorfismo por o Teorema de Binet. Consideramos a extensão de grupos

1

- SLnpFpq i- GLnpFpq det- F˚p - 1

onde SLnpFpq é o núcleo de det e o mapa i é a inclusão. A extensão é split a direita? Se sim,encontrar uma seção � : F˚p - GLnpFpq de det. ´E split a esquerda? Se sim, encontrar umaprojeção ⌧ : GLnpFpq - SLnpFpq tal que i ˝ ⌧ “ id. ´E verdade que GLnpFpq se pode exprimircomo produto semi-direto SLnpFpq ¸✓ F˚p , e, se sim, por qual theta?

5. (0.4pt) Considere-se agora o produto semi-direto F˚p ¸⌘ GLnpFpq onde ⌘ : GLnpFpq - AutpF˚p qdado por

⌘pAqpxq “ pdetAqx

se A P GLnpFpq, x P F˚p . Encontrar explicitamente um subgrupo de p-Sylow de F˚p ¸⌘ GLnpFpq.

6. (0.4pt) Provar que SL2pF2q é isomorfo a D3 ou a S3.

7. (0.4pt) Realizar o isomorfismo ' : SL2pF2q » S3 em modo geometrico, definendo uma ação deSL2pF2q sobre um triangulo (conjunto de três pontos distintos) do plano F22.

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PUC-RIO

Estruturas Algébricas I — P2 22/06/2016

Nome:

Questão 1. Consideramos o polinômio x3 ` 7x2 ` 3x ` 1 P Zrxs. Sejam ↵,�, � as suas raizes complexas.

• Provar que o polinômio qpxq “ px ´ ↵2qpx ´ �2qpx ´ �2q tem coe�cientes inteiros.

• Encontrar explicitamente qpxq.

Questão 2. Mostrar que o ideal de Zrxs gerado por 2 e x4 ` x2 ` 1 é maximal. Roteiro-dica: indicandocom F2 “ Z{2Z, mostrar que:

• Mostrar queZrxsp2q » F2rxs .

• Mostrar que Zrxs{p2, x4 ` x2 ` 1q » F2rxs{px4 ` x2 ` 1q (usar um dos teorema de isomorfismos paraaneis, notando que p2, x4 ` x2 ` 1q “ p2q ` px4 ` x2 ` 1q).

• Mostrar que x4 ` x2 ` 1 é irredut́ıvel em F2rxs.• Deduzir que px4 ` x2 ` 1q é maximal em F2rxs.• Deduzir que o ideal p2, x4 ` x2 ` 1q de Zrxs é maximal.

Questão 3. Seja R um anel (não comutativo). Sejam a, b P R. Provar que

1 ´ ab P UpRq ñ˜

1 a

b 1

¸P UpM2ˆ2pRqq ñ 1 ´ ba P UpRq .

Questão 4. 1. Seja R um anel comutativo tal que 2 :“ 1 ` 1 P UpRq. Provar que, no anel Rrxs temos aigualdade de ideais px ´ 1q X px ` 1q “ px2 ´ 1q. Deduzir do Teorema Chines do Resto (com anel Rrxse ideais px ´ 1q e px ` 1q) que que Rrxs{px2 ´ 1q » R ˆ R.

2. Seja agora A :“ tpa, bq P Z ˆ Z | a ” b mod 2u. Provar que A é subanel de Z ˆ Z.3. Provar que Zrxs{px2 ´ 1q » A.4. Provar que Zrxs{px2 ´ 1q não é isomorfo a Z ˆ Z.

Questão 5. Seja B um anel comutativo e A um seu subanel. Um elemento � P B se diz inteiro sobre A seexiste um polinômio mônico de grau positivo ppxq P Arxs tal que pp�q “ 0.

Consideramos agora um dominio comutativo D e o seu corpo das frações KD. Dizemos que D é integral-

mente fechado se

p@uq“

pu P KD, u inteiro sobre Dq ùñ pu P Dq‰

• Provar que se D é UFD, então D é integralmente fechado. (Impor que uma fração r{s, com r e scoprimos, seja inteira sobre D e deduzir que s ⌫ r...)

• Provar que em Zr?´5s não existe mdc (encontrar a, b P Zr?´5s pelos quais não existe pa, bq). Deduzirque Zr?´5s não é UFD.

• (Mais dificil) Provar que Zr?´5s é integralmente fechado. (Mostrar antes de tudo que KZr?´5s “Qp?´5q “ ta ` b?´5 | a, b P Qu). Isto prova que a classe dos domı́nios integralmente fechados é maiorda classe dos dominios UFD.

O resto do exercicio tenta dar um exemplo de dominio não integralmente fechado.

• Seja k um corpo comutat́ıvo. Provar que o ideal px2 ´ y3q é primo em krx, ys. (Dica: mostrar, antes detudo que o polinômio x2 ´ y3 é irredut́ıvel).

• O ideal px2 ´ y3q é maximal? Porquê?• Deduzir que o quociente D :“ krx, ys{px2 ´ y3q é um dominio.• Provar que D é integralmente fechado em KD. (Dica: se x̄ e ȳ indicam as classes de x e y no quocientekrx, ys{px2 ´y3q, então D é k algebra gerada por x̄ e ȳ, ou seja, podemos ver D como krx̄, ȳs, onde temosclaramente a relação x̄2 “ ȳ3. Provar que KD coincide com o conjunto das frações fpx̄, ȳq{gpx̄, ȳq, ondef, g P krx, ys, e g R px2 ´ y3q. Provar que o elemento x̄{ȳ P KD é inteiro sobre D mas não pertence a D.)

• Consideramos agora os polinômios a coe�cientes em D na variável t. Encontrar um polinômio primitivoirredut́ıvel em Drts, mas não irredut́ıvel em KDrts.

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