607901_Fenômenos de transportes - Mecânica dos fluidos.pdf

Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia

Mecânica dos Fluidos

60

MECÂNICA DOS FLUIDOS

A Mecânica dos Fluidos estuda o comportamento dos corpos fluidos em repouso

(Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica) e os efeitos dos fluidos em contato com

fronteiras, que podem ser sólidos ou outros fluidos.

É natural iniciar o estudo da Mecânica dos Fluidos pela definição de fluido. Um fluido é

aquela substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço tangencial, não

importando a magnitude deste esforço. Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou

de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe. A distinção entre um fluido e o estado

sólido fica clara ao ser comparado seu comportamento. Aplicando-se uma força tangencial F

(Fig. 1) sobre um elemento sólido fixado entre duas placas, o elemento sofre uma deformação

e se estabiliza no novo formato. No regime elástico do material, ao cessar a aplicação da

força, o sólido retorna à forma original. Repetindo a experiência para um fluido, ele irá se

deformar continuamente, enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele.

Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante

A Hipótese do Contínuo

Como o espaço médio entre as moléculas que compõem o fluido é bastante inferior às

dimensões físicas dos problemas estudados em engenharia, considera-se o fluido como uma

substância que pode ser dividida ao infinito.

PROPRIEDADES

A seguir, são apresentadas algumas propriedades dos fluidos, que ainda não foram definidas

na parte de Termodinâmica.

Peso Específico: Peso do fluido contido em uma unidade de volume

: Peso específico [N/m3]

W W: Peso da substância [N]

][m fluido do Volume: 3



61

O peso específico é relacionado à massa específica através da seguinte equação

ggmmg

Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: Propriedade que determina o grau de resistência do

fluido à força de cisalhamento ou, em outras palavras, a dificuldade do fluido em escoar.

A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por

dAy

dFx

Ay

Fxlim

0Ayyx

A taxa de deformação é igual a t

lim0t

Figura 2 – Deformação de um Elemento de Fluido

Se t

lu

, a distância entre os pontos M e M' (Fig. 2) pode ser dada por

tul (a)

A deformação do fluido é calculada através da expressão

y

ltg

Para pequenos ângulos, y

l

Assim, yl (b)

Igualando-se (a) e (b),

dy

du

dt

d

y

u

t



62

Para fluidos Newtonianos, a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação, ou

dy

duyx

dy

duyx

A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, . No SI, a

unidade da viscosidade é kg/m.s (= N.s/m2 = Pa.s). No sistema britânico, utiliza-se slug/ft.s.

Uma unidade comum é o Poise, sendo 1 Poise = 0,1 Pa.s. A Tabela A.1 apresenta valores de

viscosidade absoluta para alguns fluidos.

O comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig. A.1.

Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto que os

líquidos apresentam comportamento inverso.

Exemplo 1 – Cálculo da tensão de cisalhamento

Suponha o escoamento de óleo SAE 10W entre uma placa inferior estacionária e uma placa

superior movendo-se em regime permanente com uma velocidade V, como mostrado na

figura. A distância entre as placas é h. Calcule a força de atrito na placa superior, se V=3m/s e

h=2cm. Considere que a largura da placa é 20 cm e o seu comprimento, 1,2 m.

A força de atrito em qualquer posição do fluido pode ser determinada a partir da tensão de

cisalhamento, através da relação

AF yxat

onde A á a área de contato entre o fluido e a superfície, dada pelo produto entre a largura e o

comprimento da placa.

A tensão de cisalhamento em qualquer posição do fluido é dada pela expressão

dy

duyx

onde dydu é a derivada da velocidade u em relação a y. Para se calcular a tensão de cisalhamento é

necessário determinar dydu .

Sabendo-se que o perfil de velocidades é linear, são necessários dois pontos para se determinar a

equação. Em y = 0, u = 0 e em y = h, u = V. Assim, a equação do perfil de velocidades é

h

Vyu

h

V

dy

du

A tensão de cisalhamento é



63

h

Vyx

Da Tabela A.1, s.m/kg104,0

m02,0

s/m3

s.m

kg104,0yx

Pa6,15yx

Assim,

)m2,1.m2,0(.Pa6,15AF yxat

N744,3Fat ◄

Viscosidade Cinemática: Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica.

: Viscosidade cinemática [m2/s]

: Viscosidade absoluta [Ns/m

2]

: massa específica [kg/m3]

Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stoke, sendo 1 Stoke = 1cm2/s.

Número de Reynolds: Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as

forças viscosas.

Re: Número de Reynolds [adimensional]

: massa específica do fluido [kg/m3]

**LVRe V

*: Velocidade característica do escoamento [m/s]

L*: Dimensão característica do escoamento [m]

: Viscosidade absoluta do fluido [Ns/m2]

O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele

determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no interior de

tubos, o valor aceito para caracterizar a transição do escoamento laminar para turbulento é

2.300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Para escoamentos no interior

de tubos,

Se

o turbulenté escoamento o 4000,Re

transiçãode faixa na está escoamento o 4000,Re2300

laminar é escoamento o 2300,Re

Deve-se ressaltar que V* e L

* correspondem, respectivamente, à velocidade e à dimensão

características do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, V* é a velocidade média

no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. Para escoamentos sobre placas planas, V

* é a

velocidade da corrente livre e L*, o comprimento da placa.



64

Exemplo 2 – Cálculo do número de Reynolds e determinação do regime de escoamento

Para o escoamento de óleo SAE 30W (a 20oC) a 2 m/s no interior de um tubo de 20 cm de

diâmetro, determine o regime de escoamento.

O regime de escoamento é definido pelo número de Reynolds,

**LVRe

Para escoamento no interior de um tubo, V* é a velocidade média no interior do tubo e L

*, o seu

diâmetro. e são, respectivamente, a massa específica e a viscosidade absoluta do fluido, no caso, o

óleo. Da Tabela A.1, .s.m/kg29,0em/kg891 3

1229s.m/kg29,0

m20,0.s/m2.m/kg891Re

3

Como Re < 2300, o escoamento é laminar. ◄

Campo de Velocidades

Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidades. Seja o volume de

fluido mostrado na Fig. 3.

Figura 3 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto

A velocidade instantânea do fluido em um ponto C qualquer do escoamento é definida como a

velocidade do centro de gravidade do volume infinitesimal que envolve o ponto C no

instante de tempo em questão.

O campo de velocidades V

é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa

representação do campo de velocidades é dada por

t,z,y,xVV

O vetor velocidade V

pode ser expresso em termos de suas três componentes escalares.

Chamando as componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de

velocidades pode ser escrito como



65

kwjviuV

,

onde as componentes escalares também dependem das coordenadas cartesianas e do tempo,

tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu

Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento, não variam

com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é

0t

, onde representa uma propriedade qualquer do escoamento.

Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo.

Campo Uniforme de Escoamento: O módulo e o sentido do vetor velocidade permanecem

constantes em todo o campo de escoamento, podendo, no entanto, variar com o tempo.

Escoamentos uni-, bi- e tridimensionais:

Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o

número de coordenadas necessárias para descrever seu campo de velocidades. Nem todos os

escoamentos são tridimensionais. Suponha, por exemplo, o escoamento laminar em regime

permanente no interior de um duto de seção transversal constante, como mostrado na Fig. 4.

Figura 4 – Exemplo de Escoamento Unidimensional

A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela

equação

2

maxR

r1uu

Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é

unidimensional.

Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 5). Como o canal é

considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo de velocidades será idêntico em todos

os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de velocidades é função

somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é, portanto, bidimensional.



66

Figura 5 – Exemplo de Escoamento Bidimensional

FLUIDOESTÁTICA

A fluidoestática é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos

em repouso. A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática.

Em um problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da

distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido.

A EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS

Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças de

superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças

desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o caso

das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força de campo

que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é a força

gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas fronteiras de um

meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só poderão estar presentes

forças normais à superfície (por definição, o fluido é a substância incapaz de resistir a forças

de cisalhamento sem se deformar). A única força de superfície a ser considerada é, portanto, a

força de pressão.

Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig. 6.

Figura 6 – Volume de Controle Infinitesimal

A força total atuando no elemento é dada por

SC FdFdFd

Como já foi dito, a única força de campo a ser considerada é a força peso.

g.dmFd C

Assim,



67

SFdg.dmFd

A força líquida de pressão SFd

é dada pela soma das forças de pressão em cada uma das

faces do elemento. Se a pressão atuando na face esquerda do elemento é P, a força de pressão

atuando na face esquerda do elemento é

dz.dxPdFL

A força de pressão na face direita é dada por

dz.dxdyy

PPdFR

A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do

elemento,

kdy.dxdzz

PPkdy.dxP

jdz.dxdyy

PPjdz.dxPidz.dydx

x

PPidz.dyPFd S

ou

dz.dy.dxkz

Pj

y

Pi

x

PFd S

A força total é dada, portanto, por

dz.dy.dxkz

Pj

y

Pi

x

Pg.dmFdg.dmFd S

Como

dz.dy.dx.d.dm ,

dPgdz.dy.dxk

z

Pj

y

Pi

x

Pg.dz.dy.dx.Fd

A 2ª Lei de Newton estabelece que

a.dmFd

Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas as

forças deve ser zero. Assim,

0Pg

Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares,

0gx

Px

0g

y

Py

0g

z

Pz

Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor

gravidade esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z

apontando para cima gge0g,0g zyx , as equações podem ser reescritas como



68

0x

P

0

y

P

g

z

P

Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do

fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig. 7).

Figura 7 – Variação de Pressão em um Fluido Estático

ghPP CB

Observando as equações anteriores, pode-se concluir que:

1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer,

situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à mesma

pressão;

2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna

fluida (Equação Fundamental da Hidrostática);

3. No limite para z infinitamente pequeno, o elemento tende a um ponto. A pressão

passa a não variar, sendo independente da orientação (Lei de Pascal).

Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As

maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado.

Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas. Quando

o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são denominadas pressões

manométricas ou efetivas. O valor padrão adotado para a pressão atmosférica é Patm = 1atm =

101.325 Pa.

A pressão absoluta e a pressão manométrica se relacionam por

manatmabs PPP ou atmabsman PPP

A pressão manométrica pode assumir, portanto, valores positivos, negativos ou nulos (Fig. 8).

Se P>Patm, Pman > 0

Se P<Patm, Pman < 0

Se P=Patm, Pman = 0

A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras equações de

estado é a pressão absoluta.



69

Figura 8 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica

O Barômetro de Mercúrio

A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor de pressão

atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto peso específico

(geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório contendo o mesmo

fluido. No processo de inversão do tubo, o fluido desce, criando um vácuo na parte superior

do tubo, como mostrado na Fig. 9.

Figura 9 – O Barômetro de Mercúrio

hghP

ghP

Vácuo P

ghPP

repouso em fluido mesmo no altura mesma uma a situadosPontos PP

PP

atm

A

E

EA

AA

atmA

0

'

´

Portanto, a pressão atmosférica pode ser medida a partir da altura de uma coluna líquida de

mercúrio.



70

mmHg760atm1mm760h

Se o fluido for a água, a altura da coluna é de 10,332 m.

mca332,10atm1m332,10h

APLICAÇÃO PARA A MANOMETRIA

Da mesma maneira que a pressão atmosférica, uma diferença de pressão pode ser medida a

partir de uma diferença de elevação, conhecendo-se as massas específicas dos fluidos. Este é

o princípio de funcionamento dos manômetros de líquido (Fig. 10), que são tubos

transparentes e curvos, geralmente em forma de U, contendo o líquido manométrico. Para

medição de altas pressões, utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mercúrio.

No caso de menores pressões, utilizam-se fluidos com menores pesos específicos, como a

água ou um óleo. Os manômetros metálicos são instrumentos usados para medir as pressões

dos fluidos através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon – Fig. 11) ou de um

diafragma (Fig. 12), que cobre um recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em

aplicações industriais.

BA

BatmB

AatmA

BA

pp

ghpp

ghpp

hh

Figura 10 – Manômetro de Líquido

Figura 11 – Tubo de Bourdon Figura 12 – Manômetro de Diafragma

Exemplo 3 – Variação de pressão em uma coluna de múltiplos fluidos

Determine a pressão absoluta no ponto A e a pressão manométrica no ponto B da figura,

sendo as dimensões dadas em cm.



71

A Equação Fundamental da Hidrostática estabelece que a diferença de pressão entre dois pontos de

uma massa fluida em equilíbrio é diretamente proporcional à diferença de altura entre eles, ou

ghPP 12

Se o ponto na superfície livre do reservatório for chamado de C e os pontos nas interfaces dos líquidos

forem chamados de D e E, tem-se que

1oleoCD ghPP (1)

2gliDA ghPP (2)

3gliAE ghPP (3)

32gliDE hhgPP (4)

4mercEB ghPP (5)

onde m20,0h1 m12,0h2 m13,0h3 m40,0h4

É necessário conhecer as massas específicas dos fluidos. Da Tabela A.1,

3oleo m/kg891 3

gli m/kg1260 3merc m/kg13550

Somando-se as equações (1) e (2),

2gli1oleoatm2gli1oleoCA ghghPghghPP

Pa414,566.104m12,0.s

m81,9.

m

kg1260m20,0.

s

m81,9.

m

kg891Pa325.101P

2323A

kPa5,104PA ◄

Somando-se as equações (1), (4) e (5),

4merc32gli1oleoatm4merc32gli1oleoCB ghhhgghPghhhgghPP

m4,0.s

m81,9.

m

kg13550m25,0.

s

m81,9.

m

kg1260m20,0.

s

m81,9.

m

kg891Pa325.101P

232323B

Pa492,333.159PB

Para se obter o valor da pressão manométrica no ponto B, basta subtrair a pressão atmosférica do valor

obtido, ou seja,

Pa325.101Pa492,333.159PPP atmman,Bman,B

kPa58P man,B ◄



72

Exemplo 4 – Manômetros de líquido

Na figura, o manômetro A lê uma pressão de 1,5 kPa. Determine as alturas hB e hC dos fluidos

nos tubos piezométricos abertos para a atmosfera. Despreze o peso do ar.

Se os pontos nas interfaces dos líquidos forem chamados de 1, 2 e 3, tem-se que

1arA1 ghPP (1)

2oleo12 ghPP (2)

3gli23 ghPP (3)

onde m2h1 m5,1h2 m1h3

Ao mesmo tempo, as pressões nos pontos 2 e 3 podem ser relacionadas à pressão atmosférica por

3Coleoatm2 hhgPP (4)

Bgliatm3 ghPP (5)

É necessário conhecer as massas específicas dos fluidos. Da Tabela A.1,

3oleo m/kg891 3

gli m/kg1260

Somando-se as equações (1), (2) e (3), pode-se determinar a pressão no ponto 3 em relação à pressão

lida pelo manômetro.

3gli2oleo1arA3 ghghghPP

Como o peso do ar pode ser desprezado,

3gli2oleoA3 ghghPP

A pressão manométrica no ponto 3 será

Pa7,971.26m1.s

m81,9.

m

kg1260m5,1.

s

m81,9.

m

kg891Pa1500P

23233

Substituindo-se na equação (5),

B23Bgliatm3 h.s

m81,9.

m

kg12600Pa7,971.26ghPP

m18,2hB ◄

Deve ser ressaltado que, como foi utilizada a pressão manométrica no ponto 3, foi utilizado a pressão

atmosférica manométrica (0 Pa).



73

Da mesma maneira, a altura hC pode ser encontrada igualando-se as equações (2) e (4),

3Coleoatm2oleo12 hhgPghPP

m1h.s

m81,9.

m

kg8910m5,1.

s

m81,9.

m

kg891Pa1500 C2323

m67,2hC ◄

EQUILÍBRIO DOS CORPOS FLUTUANTES

Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua (em decorrência da

pressão do fluido) é chamada de empuxo de flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 13,

imerso em um fluido em repouso.

Figura 13 – Corpo Imerso em um Fluido Estático

O empuxo vertical no cilindro elementar de volume d é dado por

dAPdAPdE 12

dAghPdAghPdE 1atm2atm

gddAhhgdE 12

O empuxo total é obtido integrando-se dE, ou seja,

ggddEE

Princípio de Arquimedes

Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um empuxo

vertical, de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume fluido deslocado pelo

corpo.

É interessante notar que o “peso” de um corpo pode sofrer variações significativas

dependendo do meio em que o corpo estiver imerso. Isto ocorre porque, na verdade, o valor

sentido por uma pessoa ou medido por uma balança é a força resultante que atua sobre a

pessoa ou a balança. Assim, se o corpo estiver imerso no ar, o empuxo é muito pequeno,

podendo ser desprezado. Se o corpo estiver imerso na água, o empuxo é significativo e o

corpo “pesa” menos.

Quando um corpo é colocado em um recipiente contendo um fluido, podem acontecer três

situações distintas:



74

1) o corpo afunda

Na situação inicial, a força peso é superior à força de empuxo.

fluidocorpo

corpofluidocorpocorpo gg

EW

Na situação final, o corpo atinge o equilíbrio

NEW

onde N é a reação normal no contato do corpo com o fundo do reservatório

2) o corpo retorna à superfície

Na situação inicial, a força peso é inferior à força de empuxo.

fluidocorpo


EW

Na situação final, o corpo atinge o equilíbrio

gg

EW

deslocfluidocorpocorpo

3) o corpo permanece onde foi colocado



75

fluidocorpo


EW

O princípio de Arquimedes é de particular importância na prática. Entre suas principais

aplicações, destacam-se a navegação de superfície fluvial e marítima, o deslocamento de

submarinos a uma dada profundidade, a sustentação hidrostática dos aeróstatos (assim

chamados os veículos mais leves que o ar, como balões e dirigíveis – os últimos equipados de

hélices propulsoras e de sistemas de direção) e os aparelhos de medição como os densímetros

(para medição da massa específica), lactômetros (para medição da massa específica do leite) e

alcoômetros (para medição do teor alcoólico de vinhos e licores).

Exemplo 5 – Empuxo

Um bloco de madeira flutua, mantendo dois terços de seu volume embaixo d’ água a 20oC.

Quando flutua no óleo, 90% de seu volume fica submerso. Calcule a massa específica da

madeira e do óleo.

Para a situação de equilíbrio, a força resultante vertical deve ser nula, ou seja, a força de empuxo e o

peso devem se anular. Ou seja, tanto para a água como para o óleo, deve ser obedecida a equação

WE

gg blocomaddeslocfluido ou

blocomaddeslocfluido

Da Tabela A.1, 3agua

m

kg998

Para a água,

blocomadblocoagua3

2

blocomadbloco3 3

2

m

kg998

3madm

kg665 ◄

Para o óleo,

blocomadblocooleo .90,0.

bloco3blocooleom

kg665.90,0.

3oleom

kg739 ◄



76

FLUIDODINÂMICA

A Fluidodinâmica é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos

em movimento, ou seja, estuda os escoamentos de fluidos. Na solução de problemas da

fluidodinâmica, é importante definir o tipo de análise a ser feita, ou seja, deve-se escolher

entre as abordagens utilizando-se um sistema ou um volume de controle

As Leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre quando há

uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos problemas de

Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-se a formulação de

Volume de Controle. O Teorema de Transporte de Reynolds permite que as leis da Mecânica,

escritas utilizando-se a formulação de sistema, sejam transformadas para a formulação de

volume de controle, como já visto anteriormente.

A EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA MASSA PARA UM VOLUME DE CONTROLE

ARBITRÁRIO

A equação de conservação da massa já foi definida anteriormente, no entanto, dada a sua

importância no estudo da Mecânica dos Fluidos, ela é repetida aqui.

0AdVdt

SCVC

onde

VC

dt

é a taxa de variação da massa dentro do volume de controle

SC

AdV

é a taxa líquida de fluxo de massa através da superfície de controle, ou vazão

mássica através da superfície de controle.

Para uma seção de uma superfície de controle de área A, define-se a vazão mássica ou vazão

em massa por:

A

AdVm

Para escoamento em regime permanente com um número finito de entradas e saídas, esta

equação é dada por

0mmentradasaída

Para uma seção de uma superfície de controle de área A, define-se a vazão volumétrica Q por:

A

AdVQ

,

a equação de conservação da massa pode ser escrita, para um número finito de entradas e

saídas, como

0QQentradasaída

A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a velocidade média em uma



77

seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica Q e a área da seção A, ou

AdVA

1

A

QV

Observa-se, assim, que a vazão volumétrica através da seção pode ser dada por

AVQ

De maneira análoga, pode-se calcular a vazão mássica através da seção por:

AVm

A EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA PARA UM VOLUME DE CONTROLE

ARBITRÁRIO

Como já visto, a Primeira Lei da Termodinâmica para um volume de controle é dada por:

SC

2

VC

outrosS AdVgz2

VPude

tWWQ

Na equação, SW é a taxa de qualquer trabalho de eixo (potência) realizado sobre ou pelo

volume de controle, outrosW é a taxa de qualquer trabalho não considerado (como por exemplo

um trabalho produzido por forças eletromagnéticas).

É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina. Para

maiores detalhes, recomenda-se consultar os livros texto de Mecânica dos Fluidos sugeridos

nas referências bibliográficas.

A EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento em

regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com apenas

uma entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode ser

simplificada.

Adotando-se as hipóteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de

trabalho realizadas, a equação se reduz a

SC

2

S AdVgz2

VPuWQ

Chamando a entrada da tubulação de 1 e a saída da tubulação de 2, e considerando que, em

uma dada seção, a energia interna u, a pressão P e a distância vertical z não se alteram, a

equação pode ser dada por

1A

11

21

2A

22

22

222

2111

1S dAV2

VdAV

2

Vmgz

Pumgz

PuWQ

No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressível, a vazão mássica se conserva.

mmm 21

Assim,



78

1A

11

2

1

2A

22

2

212

1212S dAV

2

VdAV

2

Vmgzgz

PPuuWQ

Definindo-se o coeficiente de energia cinética de forma que

A

2

A

2

VdA2

VVdA

2

V,

pode-se escrever a equação da energia em uma forma mais compacta

mgzgz2

V

2

VPPuuWQ 12

2

11

2

22

1212S

Para escoamento em regime turbulento, é aproximadamente igual à unidade. Para

escoamento em regime laminar, = 2.

Dividindo-se a equação pela vazão mássica, tem-se

12

21

1

22

212

12S gzgz

2

V

2

VPPuu

m

W

m

Q

Reescrevendo-se a equação,

m

Quu

m

Wgz

2

VPgz

2

VP12

S2

22

22

1

21

11

Os termos entre parênteses do lado esquerdo da equação representam a energia mecânica por

unidade de massa em cada seção transversal do escoamento. O termo mWS representa a

potência de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido (hS) e o termo

m

Quu 12

representa a conversão irreversível de energia mecânica na seção 1 em energia

térmica não desejada e a perda de energia por transferência de calor. Este último termo é

denominado Perda de Carga, hLT.

A equação pode ser escrita como

LTS2

2

22

21

2

11

1 hhgz2

VPgz

2

VP

É importante lembrar que hS representa a energia de eixo por unidade de massa fornecida ou

retirada do fluido. Pela convenção de sinais adotada, esta energia é positiva quando se trata de

energia retirada do fluido (como no caso de uma turbina) e negativa quando fornecida ao

fluido (como no caso de uma bomba).

Para facilitar a utilização da equação de Bernoulli, pode-se definir a energia de uma bomba

(por unidade de massa do fluido) por hB e a energia de uma turbina (por unidade de massa do

fluido) por hT e atribuir sinais a elas, de acordo com a convenção adotada. A equação pode ser

dada por

LTBT2

2

22

21

2

11

1 hhhgz2

VPgz

2

VP

A potência de uma bomba, ou seja, a potência que a bomba fornece ao fluido é dada por:



79

BB QhW

onde é a massa específica do fluido

Q é a vazão volumétrica através da bomba

hB é a energia por unidade de massa do fluido fornecida pela bomba.

No entanto, a energia disponível para a bomba é diferente da energia transferida pela bomba

para o fluido. Uma parte da energia é perdida por fugas de massa e por dissipação por atrito

no interior da bomba. A eficiência da bomba é definida então como sendo a razão entre a

energia disponível para o fluido e a energia disponível para a bomba, ou seja, a razão entre a

potência real da bomba e a sua potência ideal (ou de acionamento),

oAcionamentedPotência

RealPotência

IdealPotência

RealPotênciab

A potência real é a potência que efetivamente chega ao fluido e a potência ideal ou de

acionamento de uma bomba é a potência de entrada (normalmente elétrica) da bomba, ou seja,

a potência gasta para acioná-la.

A unidade de potência, no SI, é o W (J/s). Outras unidades bastante utilizadas são o cavalo-

vapor (cv) e o horse power (hp), sendo 1cv = 736W e 1 hp = 745,7W, ou seja, 1hp = 1,014cv.

Da mesma maneira, pode-se definir a potência retirada do escoamento por uma turbina:

TT QhW

onde é a massa específica do fluido

Q é a vazão volumétrica através da turbina

hT é a energia por unidade de massa do fluido retirada pela turbina.

A energia retirada pela turbina é diferente da energia fornecida para um gerador. Uma parte

da energia é perdida por fugas de massa e por dissipação por atrito no interior da turbina. A

eficiência da turbina é definida então como sendo a razão entre a potência disponível para o

gerador (potência de saída) e a potência retirada pela turbina (potência de entrada), ou seja, a

razão entre a potência real da turbina e a sua potência ideal,

IdealPotência

RealPotênciaT

Cada termo da equação de Bernoulli, na forma apresentada, tem dimensões de energia por

unidade de massa, ou m2/s

2. Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um

escoamento por meios gráficos. Para isto, é mais conveniente a apresentação da equação de

Bernoulli dividida pela aceleração da gravidade, onde cada termo tem dimensões de

comprimento, ou carga do fluido em escoamento.

g

h

g

hz

g2

V

g

Pz

g2

V

g

P LTS

2

2

22

21

2

11

1

ou

LTS2

2

22

21

2

11

1 HHzg2

V

g

Pz

g2

V

g

P



80

A EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS IDEAIS

Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais podem ser desprezados os efeitos

de atrito (fluidos ideais), tem-se que

m

Quu 12

ou

hLT = 0

A equação de Bernoulli pode ser dada então por

BT2

2

22

21

2

11

1 hhgz2

VPgz

2

VP

Quando, além disso, não há nenhuma potência de eixo, toda a energia mecânica se conserva.

A equação é dada por

2

22

22

1

21

11 gz

2

VPgz

2

VP

tetanconsHgz2

VP 2

Equação de Bernoulli para fluidos ideais

A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível em regime

permanente é constante.

Exemplo 6 – Equação de Bernoulli para fluidos ideais

Gasolina a 20oC escoa através do duto mostrado na figura, com uma vazão de 12kg/s.

Assumindo comportamento de fluido ideal, calcule a pressão manométrica na seção 1.

A equação de Bernoulli estabelece que

LTBT

22

222

21

111 hhh

2

Vgz

P

2

Vgz

P

Se forem desprezadas as perdas de carga, hLT = 0. Além disso, como não existe bomba nem turbina no

problema, hT = hB = 0.

A equação se reduz a

2

Vgz

P

2

Vgz

P 22

222

21

111

É necessário conhecer as velocidades do fluido nos pontos 1 e 2. Elas podem ser determinadas através



81

da definição da vazão mássica, lembrando que ela deve se conservar para um escoamento em regime

permanente.

2211 AVAVm

Da Tabela A.1, .s.m/kg10x92,2em/kg680 43

213m08,0

4.V.

m

kg68012

s/m51,3V1

223m05,0

4.V.

m

kg68012

s/m99,8V2

Para se determinar o regime de escoamento, é necessário calcular o número de Reynolds em ambas as

seções.

dVRe

Para a menor velocidade,

5

4

3

10x54,6s.m/kg10x92,2

m08,0.s/m51,3.m/kg680Re

Para a maior velocidade,

6

4

3

10x05,1s.m/kg10x92,2

m05,0.s/m99,8.m/kg680Re

Em ambas as seções, o escoamento é turbulento. Pode-se considerar, portanto,

121

Se o plano de referência for passado pela seção 1, z1 = 0 e z2 = 12 m.

Como a incógnita do problema é a pressão manométrica, pode-se utilizar o valor manométrico da

pressão atmosférica no ponto 2, ou seja, zero.

2

99,8.181,9.12

680

0

2

51,3.181,9.0

680

P 22man,1

kPa3,103P man,1 ◄

Visualização gráfica da equação de Bernoulli

Muitas vezes, é conveniente visualizar a equação de Bernoulli graficamente. Esta visualização

é mais facilmente feita se os termos da equação forem escritos com dimensão de energia por

unidade de peso. Para fluidos ideais sem trabalho de eixo, a equação de Bernoulli é dada por:

2

2

22

21

2

11

1 zg2

V

g

Pz

g2

V

g

P

Os termos individuais da equação de Bernoulli são



82

local dinâmica pressão à devida cargaou fluido do peso de unidadepor Cinética Energia :g2

V

elevação de cargaou fluido do peso de unidadepor Posição de Energia :z

local estática pressão à devida cargaou fluido do peso de unidadepor Pressão de Energia :g

P

2

Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva. A energia

total por unidade de peso do fluido é a carga total do escoamento. A linha energética

representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equação de Bernoulli, a altura da

linha energética permanece constante para o escoamento sem atrito, quando nenhum trabalho

é realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezométrica representa a soma das alturas de carga

devidas à elevação e à pressão estática. A diferença entre as alturas da linha energética e da

linha piezométrica representa a altura de carga dinâmica (de velocidade). A Figura 14

apresenta uma representação das linhas de carga para o escoamento de um fluido.

Figura 14 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento em um Duto

Linha Energética: g2

V

g

Pz

2

Linha Piezométrica: g

Pz

Teorema de Torricelli

Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante, contendo um

fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício lateral (Fig. 15).



83

Figura 15 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas

A aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais conduz a

g2

Vz

g

P

g2

Vz

g

P 21

111

22

222

Para escoamento turbulento, assume-se 121

A equação da continuidade estabelece que a vazão volumétrica é constante, ou seja,

2211 VAVAQ

Como 21 AA , pode-se considerar 0V1

Como o jato de saída é livre à pressão atmosférica, atm21 PPP .

Além disso, hzz 21

Portanto,

g2

uh

22 ou

gh2V2

Teorema de Torricelli: A velocidade média de um líquido jorrando por um orifício através de

uma parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma altura h.

A EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS REAIS – PERDA DE CARGA

A perda de carga total hLT é dada pela soma das perdas distribuídas, hd, devidas aos efeitos de

atrito no escoamento completamente desenvolvido em tubos de seção reta constante, com as

perdas localizadas, hL, devidas a entradas, acessórios, mudanças de área e outros.

LdLT hhh

A equação de Bernoulli é dada, então, por

LdBT2

2

22

21

2

11

1 hhhhgz2

VPgz

2

VP

Perdas de carga distribuídas

A perda de carga distribuída é dada por



84

2

V

D

Lfh

2

d

onde L é a distância percorrida pelo fluido entre as duas seções consideradas

D é o diâmetro do tubo

V é a velocidade média do fluido

f é o fator de atrito.

O principal problema consiste então na determinação do fator de atrito. Basicamente, ele

depende da rugosidade e do diâmetro D da tubulação, da velocidade média do escoamento

V e das propriedades do fluido ( e ). Através de análise dimensional, obtém-se que o fator

de atrito é função de dois adimensionais: a rugosidade relativa /D e o número de Reynolds. O

adimensional de Reynolds, ou Re, é definido por

DVDVRe

Como já visto, o número de Reynolds caracteriza o regime de escoamento. Para escoamentos

no interior de tubos,

Se

o turbulenté escoamento o 4000,Re

transiçãode faixa na está escoamento o 4000,Re2300

laminar é escoamento o 2300,Re

O fator de atrito depende do regime de escoamento. Para escoamentos laminares, o fator de

atrito pode ser calculado por:

Re

64f

Para escoamentos turbulentos, a determinação do fator de atrito é mais complicada. A

expressão mais largamente utilizada é a de Colebrook

5,05,0 fRe

51,2

7,3

D/log2

f

1

A expressão anterior é transcendental, ou seja, deve ser resolvida por um procedimento

iterativo. No entanto, as calculadoras científicas atuais possuem recursos para resolver estas

equações sem a necessidade de iterações manuais.

Os valores do fator de atrito, para escoamentos laminares e turbulentos, foram determinados

experimentalmente para uma série de valores de Re e de /D e sumarizados em um ábaco

(Fig. 16), denominado Ábaco de Moody.

Moody apresenta também uma tabela para determinação da rugosidade absoluta em tubos,

para alguns materiais comuns de engenharia, em boas condições (Tabela 2).



85

Tabela 2 – Rugosidade para Tubos de Materiais Comuns de Engenharia

Material Rugosidade (mm)

Aço Rebitado 0,9-9

Concreto 0,3-3

Madeira 0,2-0,9

Ferro Fundido 0,26

Ferro Galvanizado 0,15

Ferro Fundido Asfaltado 0,12

Aço Comercial 0,046

Aço Galvanizado 0,06 a 0,20

Trefilado 0,0015

PVC 0,015

Exemplo 7 – Cálculo do fator de atrito – escoamento laminar

Óleo SAE 30W a 20oC escoa no interior de um tubo novo de aço comercial de 2 in de

diâmetro. Determine o fator de atrito do escoamento, se a velocidade do óleo é de 3 m/s.

Para a determinação do fator de atrito, é necessário conhecer o número de Reynolds e a rugosidade

relativa do tubo.

dVRe

Da Tabela A.1, 3m

kg891

s.m

kg29,0

m0508,0in2d

468s.m/kg29,0

m0508,0.s/m3.m/kg891Re

3

Como Re < 2300, o escoamento é laminar. O fator de atrito independe da rugosidade relativa do tubo,

sendo dado pela expressão

468

64

Re

64f

137,0f ◄



86

Figura 16 – Ábaco de Moody



87

Exemplo 8 – Cálculo do fator de atrito – escoamento turbulento

Determine o fator de atrito do escoamento de água a 15oC, para as mesmas condições do

exemplo anterior.

As propriedades da água a 15oC são

3m

kg999

s.m

kg10x14,1 3

Assim, pode-se calcular o número de Reynolds

dVRe

550.133s.m/kg10x14,1

m0508,0.s/m3.m/kg999Re

3

3

Como Re > 2300, o escoamento é turbulento. É necessário, portanto, determinar a rugosidade relativa

do tubo.

Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do aço comercial é 0,046 mm. A rugosidade relativa pode ser

obtida dividindo-se a rugosidade absoluta pelo diâmetro do tubo. É importante ressaltar que ambas as

grandezas devem estar expressas nas mesmas unidades.

0009,0mm8,50

mm046,0

d

Utilizando-se o ábaco de Moody (Fig. 16) ou a equação de Colebrook, tem-se

021,0f ◄

Perdas de carga localizadas

Em um sistema real, muitas vezes o escoamento é obrigado a passar por uma série de

acessórios, conexões, curvas ou mudanças abruptas de seção e direção. Ao passar por estes

obstáculos, o escoamento perde energia e tem sua pressão diminuída. As perdas de carga

locais foram determinadas experimentalmente e modeladas segundo duas equações diferentes

2

VKh

2

L

2

V

D

Lfh

2

e

L

onde K é o coeficiente de perda local e Le é o comprimento equivalente da tubulação. Para

cada tipo de acessório, existe um coeficiente ou comprimento equivalente. A perda de carga

localizada total é dada pela soma das perdas de carga localizadas individuais.

2

V

D

Lf

2

VKh

2

e

2

L

A entrada do escoamento em um tubo pode causar uma perda de carga considerável, se for

mal projetada. Na Tabela 3, são apresentadas três geometrias básicas de entradas.



88

Tabela 3 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada e Saída do Escoamento

Tipo K

0,78

0,5

r/D 0,02 0,06 >0,015

K 0,28 0,15 0,04

Saída Submersa

Toda a energia cinética do fluido é dissipada pela mistura quando o escoamento descarrega de

um tubo em um grande reservatório ou câmara (saída submersa). Assim, para uma saída

submersa, o coeficiente de perda é igual a , não importando a geometria (Tabela 3). Deve-se

lembrar que o coeficiente de energia cinética é determinado pelo regime de escoamento.

Para escoamento laminar, = 2,0 e, para escoamento turbulento, = 1,0.

Um escoamento pode ainda sofrer uma expansão ou contração abrupta. Para este caso, a

Tabela 4 apresenta os coeficientes de perda de carga, em função da razão de áreas AR (razão

entre a menor e a maior área da contração ou expansão).

Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Contração e Expansão

AR = A2 / A1 Kcontração Kexpansão

0 0,5 1

0,2 0,43 0,64

0,25 0,40 0,58

0,4 0,3 0,39

0,6 0,17 0,17

0,8 0,1 0,06

1,0 0 0



89

Para se obter coeficientes de perda de carga correspondentes a valores de AR intermediários

entre os apresentados na Tabela 4, deve-se fazer uma interpolação.

Exemplo 9 – Determinação do coeficiente de perda de carga em uma expansão abrupta

Um tubo de 15 cm de diâmetro (d) tem a sua seção subitamente alterada para 25 cm (D).

Determine o coeficiente de perda de carga correspondente a esta expansão.

Em primeiro lugar, deve-se determinar a razão de áreas AR, definida como a razão entre a área menor

e a área maior.

2

2

2

D

d

4/D

4/d

A

aAR

36,025

15AR

2

Na aplicação de uma interpolação linear, assume-se que o coeficiente de perda de carga varia

linearmente entre os extremos encontrados, como observado na figura a seguir. Para uma expansão

com AR = 0,2, o valor de k correspondente é 0,64. Para uma expansão com AR = 0,4, o valor de k

correspondente é 0,39.

Como os triângulos na figura são semelhantes, pode-se dizer que:

4,036,0

39,0k

4,02,0

39,064,0

Assim, k = 0,44 ◄

As perdas decorrentes da variação de área podem ser reduzidas pela instalação de um bocal ou

um difusor entre as duas seções de tubo reto. Um bocal é um dispositivo utilizado para a

redução gradual da seção do escoamento (Fig. 17). A Tabela 5 apresenta os coeficientes de



90

perda de carga para bocais, para diferentes razões de área e para diferentes ângulos .

Figura 17 – Bocal

Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Redução Suave da Seção

Kcontração

A2 / A1 10o

15o - 40

o 50

o - 60

o 90

o 120

o 150

o 180

o

0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26

0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41

0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43

As perdas em difusores (expansão gradual da seção do escoamento) dependem de diversas

variáveis geométricas e do escoamento. Como um difusor provoca um aumento da pressão

estática do escoamento (redução da velocidade média), o coeficiente de perda é comumente

apresentado em termos de um coeficiente de recuperação de pressão, CP

21

12P

V21

PPC

O coeficiente de perda de carga é dado por

P2C

AR

11K

Definindo-se um coeficiente ideal de recuperação de pressão, CPi, como o coeficiente de

recuperação que existiria se os efeitos de atrito fossem desprezados,

2PiAR

11C

PPi CCK

A Figura 18 apresenta os coeficientes de perda de carga para difusores, em função do ângulo

total do difusor.



91

Figura 18 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor

Deve ser observado que as perdas de carga são obtidas ao se multiplicar o coeficiente de

perda de carga por 2

V 2

. No entanto, em uma redução ou aumento de seção, há duas

velocidades diferentes; a da maior e a da menor seção. Para estes casos, sempre deve ser

usado o maior valor de velocidade.

As perdas de carga em escoamentos através de válvulas e conexões também podem ser

escritas em termos de comprimentos equivalentes de tubos retos. Estes valores, para cada um

dos acessórios, são mostrados na Tabela 6.

Tabela 6 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões

Válvulas são dispositivos destinados a estabelecer, controlar e interromper a descarga de

fluidos em tubulações. Algumas garantem a segurança da instalação e outras permitem

desmontagens para reparos ou substituições de elementos da instalação. Existe uma grande

variedade de tipos de válvulas, cuja escolha depende da natureza da operação a realizar, das

propriedades físicas e químicas do fluido considerado, da pressão e da temperatura do

escoamento e da forma de acionamento pretendida.

As válvulas de gaveta (Figuras 19a e 20a) são as válvulas mais empregadas para escoamento

de líquidos. Possuem custo relativamente reduzido e permitem a redução da vazão do



92

escoamento através do volante situado na parte superior do corpo da válvula. Quando o

volante é girado, a válvula desliza para baixo na seção (Figura 20a).

As válvulas de esfera (Figura 19b) são válvulas de uso geral, de fechamento rápido, muito

usadas para ar comprimido, vácuo, vapor, gases e líquidos. O controle do fluxo é feito por

meio de uma esfera, possuindo uma passagem central e localizada no corpo da válvula. O

comando é, em geral, manual, com o auxílio de uma alavanca. Estas válvulas não se aplicam a

casos em que se pretende variar a vazão, mas apenas abrir ou fechar totalmente a passagem do

fluido.

(a) Válvula Gaveta (b) Válvula de Esfera

Figura 19 – Exemplos de Válvulas

Figura 20 – Geometrias de Válvulas Comerciais Típicas: (a) Válvula Gaveta; (b) Válvula Globo;

(c) Válvula Angular; (d) Válvula de Retenção Basculante; (e) Válvula tipo Disco

As válvulas globo (Fig. 20b) possuem uma haste parcialmente rosqueada em cuja extremidade

existe um alargamento, tampão ou disco para controlar a passagem do fluido por um orifício.



93

Servem para regular a vazão, pois podem trabalhar com o tampão da vedação do orifício em

qualquer posição, embora acarretem grandes perdas de carga, mesmo com abertura máxima.

As válvulas angulares (Fig. 20c) são semelhantes às válvulas globo, porém trabalham com

uma mudança de seção de 90.

As válvulas de retenção (Fig. 20d) permitem o escoamento em um só sentido. Quando há a

tendência de inversão no sentido do escoamento, fecham automaticamente pela diferença de

pressão provocada.

As válvulas tipo disco (Fig. 20e) fecham a seção com uma comporta circular.

Existe um número muito grande de dados experimentais para as perdas de carga localizadas.

Os valores apresentados constituem uma compilação dos dados da literatura, proposta por Fox

e McDonald (2001). Eles devem ser considerados como dados representativos para algumas

situações comumente encontradas. Para válvulas, o projeto irá variar significativamente,

dependendo do fabricante. Sempre que possível, os valores fornecidos pelos fabricantes

deverão ser utilizados para a obtenção de dados mais precisos. Além disso, como as perdas de

carga introduzidas por acessórios e válvulas irão variar consideravelmente, dependendo dos

cuidados tomados durante a fabricação da tubulação. Rebarbas do corte de trechos de tubos,

por exemplo, poderão causar obstruções locais, com aumento considerável das perdas.

Exemplo 10 – Equação de Bernoulli para fluidos reais – perdas de carga

Uma tubulação de aço comercial leva 0,15 m3/s de água a 20˚C entre dois reservatórios

abertos, como mostrado na figura. Sabendo que o diâmetro da tubulação é reduzido de 28 cm

para 14 cm na seção CD (com = 90o), calcule o desnível entre os pontos B e G.

Para se resolver o problema, deve-se utilizar a equação de Bernoulli,

LTBT

22

22

21

11 hhh

2

Vgz

P

2

Vgz

P

Considerando-se os pontos 1 e 2 na superfície livre do primeiro reservatório e na saída da tubulação,

podem ser feitas as seguintes simplificações

atm21 PPP 0V1 10hz1 0z2 0hh BT


dL

22 hh

2

V10hg (2)

Como existem dois diâmetros diferentes ao longo da tubulação, devem ser consideradas duas perdas



94

de carga distribuídas, uma ao longo da tubulação BC e outra ao longo da tubulação DG. As perdas de

carga localizadas que devem ser consideradas são as perdas devido à entrada do escoamento na

tubulação (ponto B), à redução gradual de seção (CD) e ao cotovelo de 90o (EF). Indicando as

propriedades na seção BC pelo subscrito a e, na seção DG, pelo subscrito b, as perdas de carga são

dadas por

2

V

d

Lf

2

V

d

Lfh

2

b

b

bb

2

a

a

aad

observando-se que

m40La m15hLb

2

V

d

Lf

2

VK

2

VKh

2

b

ovelocot

eb

2

bredução

2

aentradaL

Deve ser observado que a perda de carga na redução foi dada em função da velocidade da seção DG

(maior valor de velocidade).

Da Tabela 3, Kentrada = 0,5 (Borda viva).

Da Tabela 4, para uma razão de áreas de 0,25 e um ângulo de 90o, Kredução = 0,17

Da Tabela 6,

ovelocot

e

d

L= 30

A equação é dada, então, por

2

V

d

Lf

2

VK

2

VK

2

V

d

Lf

2

V

d

Lf

2

V10hg

2

b

ovelocot

eb

2

bredução

2

aentrada

2

b

b

bb

2

a

a

aa

2

2

ou. lembrando que 2b VV

10g2

V

d

LfK

d

Lf1

g2

VK

d

Lfh

2

b

ovelocot

ebredução

b

bb

2

aentrada

a

aa

(1)

As velocidades devem ser calculadas a partir da vazão volumétrica, que se conserva através de toda a

tubulação (a água pode ser considerada incompressível).

bbaa AVA.VQ

4

m28,0.V

s

m15,0

2

a

3 s/m44,2Va

As propriedades da água a 20oC podem ser obtidas na Tabela A.2.

3m

kg998

s.m

kg10x0,1 3

5

3

3

a 10x81,6s.m/kg10x0,1

m28,0.s/m44,2.m/kg998Re

Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do aço comercial é 0,046 mm. A rugosidade relativa na seção BC é

dada, portanto, por

00016,0mm280

mm046,0

d




95

0147,0fa

Para a seção BG,

4

m14,0.V

s

m15,0

2

b

3 s/m74,9Vb

6

3

3

b 10x36,1s.m/kg10x0,1

m14,0.s/m74,9.m/kg998Re

00033,0mm140

mm046,0

d

0157,0fb

Substituindo-se os valores encontrados na equação (1), tem-se

m10

s/m81,9.2

s/m74,930.0157,017,0

m14,0

m15h0157,01

s/m81,9.2

s/m44,25,0

m28,0

m400147,0h

2

2

2

2

m98,14h ◄

Exemplo 11 –Potência de uma bomba

Água para resfriamento de perfuratrizes é bombeada de um reservatório para um canteiro de

obras usando o sistema de tubulação mostrado. A tubulação tem 10cm de diâmetro e é feita de

ferro fundido. Entre a saída da bomba e o canteiro de obras, existem 15 conexões, com K = 1

(cada) e a água percorre um comprimento total de 1 km. A vazão deve ser de 40 litros/s e a

água desemboca para a atmosfera. Estime a potência de acionamento requerida pela bomba se

a sua eficiência é de 70%. Despreze as perdas de carga nas curvas. Considere as propriedades

da água a 15˚C.

A potência de acionamento da bomba pode ser calculada pela expressão

BB

QhW (1)

onde hB é a energia, por unidade de peso, que a bomba fornece para o fluido e é a eficiência da

bomba. hB pode ser calculada pela equação de Bernoulli,

LdBT

22

222

21

111 hhhh

2

Vgz

P

2

Vgz

P



96

Se os pontos 1 e 2 forem definidos como sendo, respectivamente, a superfície livre do reservatório e o

canteiro de obras, podem ser feitas as seguintes simplificações

atm21 PPP 0V1 0z1 m120z2


Ld

22

22B hh2

Vgzh (2)

onde hL e hd representam, respectivamente, as perdas de carga localizadas e distribuídas. No problema

em questão, deve ser considerada apenas uma perda de carga distribuída, ao longo de 1 km de

extensão da tubulação e perdas de carga localizadas devido à entrada do escoamento na tubulação, à

válvula gaveta e às conexões.

As perdas de carga são dadas por

2

V

d

Lfh

22

d

2

VK15

2

V

d

Lf

2

VKh

22

con

22

válvula

e22

entradaL

Da Tabela 3, Kentrada = 0,78 (Entrada Reentrante).

Da Tabela 6,

gavetaválvula

e

d

L= 8

2

Vf.878,15

2

V1.15f.878,0

2

VK15

d

LfKh

22

22

22

con

válvula

eentradaL

A equação é dada, então, por

2

Vf.878,15

2

V

d

Lf

2

Vgzh

22

22

22

22B

É necessário calcular a velocidade do fluido no ponto 2 e o fator de atrito do escoamento. A

velocidade é calculada através da vazão volumétrica,

222 A.VQ

4

m10,0.V

s

m040,0

222

3 s/m09,5V2

Para se determinar o fator de atrito, é necessário calcular o número de Reynolds e a rugosidade relativa

do tubo. As propriedades da água a 15oC podem ser obtidas na Tabela A.2.

3m

kg999

s.m

kg10x14,1 3

5

3

3

10x46,4s.m/kg10x14,1

m10,0.s/m09,5.m/kg999Re

Como Re > 2300, o escoamento é turbulento. Portanto, 12 .

Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do ferro fundido é 0,26 mm. A rugosidade relativa é dada por

0026,0mm100

mm26,0

d



97


025,0f

A energia por unidade de peso fornecida pela bomba é dada pela equação (2)

2

s/m09,5025,0.878,15

2

s/m09,5

m10,0

m1000025,0

2

s/m09,5.1m120.s/m81,9h

2222

B

2

2

Bs

m52,3458h

A potência de acionamento da bomba é então calculada através da expressão (1)

70,0

s/m040,0s/m52,3458.m/kg999W

3223

B

hp265kW197WB ◄

MEDIDORES DE VAZÃO

Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem diferentes

dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em duas classes:

instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos mecânicos medem

a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade de fluido. Os dispositivos de

perda de carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma corrente fluida e a

queda da pressão do escoamento, como mostrado na Fig. 21 para um bocal genérico.

Figura 21 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico

A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de uma

zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A corrente

principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma vena contracta

na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do tubo. Na vena

contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima.

A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da equação

de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação da massa. A equação de

Bernoulli estabelece que

2

Vgz

P

2

Vgz

P 2

222

2

2

111

1



98

Como z1 = z2, a equação se reduz a

2

VP

2

VP 2

22

2

2

11

1

Assim, considerando-se escoamento turbulento, 121 e

21

2221 VV

2PP

22

21

22

21V

V1

2

VPP

As velocidades 21 VeV podem ser relacionadas através da equação de conservação da massa,

2211 AVAV

ou

1

2

2

1

A

A

V

V

Assim,

2

1

222

21A

A1

2

VPP

A velocidade teórica (ideal) 2V é, portanto, dada por

212

212

AA1

PP2V

A vazão volumétrica teórica é dada, portanto, por

22AVQ

2212

21 AAA1

PP2Q

No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equação anterior para o cálculo da vazão

através do medidor. A área do escoamento real na seção 2 é desconhecida quando a vena

contracta é pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade não podem ser considerados

uniformes na seção. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes quando os contornos do

medidor são abruptos. Finalmente, a localização das tomadas de pressão influencia a leitura

da pressão diferencial.

A equação teórica é ajustada pela definição de um coeficiente de descarga empírico C.

t21t

21real CA

AA1

PP2Q

Deve ser observado que no cálculo da vazão real a área que deve ser utilizada é a área da

garganta, e não a área do escoamento na seção 2.



99

São apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazão, medidos

com distribuições de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na entrada do

medidor.

O Tubo de Venturi

O tubo de Venturi consiste em uma redução da seção do escoamento, provocando um

aumento de velocidade e uma queda na pressão, como mostrado na Fig. 22. Em geral, os

medidores são fundidos e usinados com pequenas tolerâncias, de modo a reproduzir o

desempenho de projeto. A perda de carga total é baixa. Dados experimentais mostram que os

coeficientes de descarga variam de 0,980 a 0,995 para altos números de Reynolds (maiores

que 2x105). Por isso, C = 0,99 pode ser usado para medir a vazão em massa com cerca de 1%

de erro. Para menores números de Reynolds, a literatura dos fabricantes deve ser consultada.

Figura 22 – Tubo de Venturi

A Placa de Orifício

A placa de orifício é uma placa fina que pode ser colocada entre flanges. Como a sua

geometria é simples, é de baixo custo e de fácil instalação e reposição. As principais

desvantagens são a sua capacidade limitada e a elevada perda de carga imposta ao sistema. As

tomadas de pressão podem ser posicionadas em diversos locais. Como a localização das

tomadas influencia o coeficiente de descarga, valores consistentes devem ser selecionados de

manuais.

Figura 23 – Placa de Orifício

A equação de correlação recomendada para um orifício concêntrico com tomadas de canto

(Fig. 23) é

5,2

75,01D

81,2

1D

Dt

Re

71,91

1D

Dt184,0

1D

Dt0312,05959,0C

Equações de correlação similares estão disponíveis para placas de orifício com tomadas de

flange e com tomadas de pressão com D e D/2.



100



101

LISTA DE EXERCÍCIOS – MECÂNICA DOS FLUIDOS

1) Qual a unidade de viscosidade absoluta no Sistema Gravitacional Britânico? Transforme

para unidades do Sistema Internacional.

2) Um cubo oco, de aresta a = 2 cm, é totalmente preenchido com mercúrio a 20oC.

Utilizando os valores dados no Apêndice A, determine:

a) A densidade relativa;

b) o volume específico;

c) o peso específico;

d) a viscosidade cinemática do mercúrio e

e) a pressão exercida pelo mercúrio na face inferior do cubo.

3) O óleo lubrificante SAE 70, a 55oC, tem um peso específico de 55lbf/ft

3 e uma

viscosidade absoluta de 0,0088slug/(ft.s). Em unidades do SI, quais são:

a) A sua viscosidade e

b) a sua viscosidade cinemática ?

4) Uma placa infinita move-se sobre outra igual e estacionária. Entre ambas há uma camada

líquida de espessura h = 0,3 mm. Admitindo que a distribuição das velocidades seja linear

com Vmax = 0,3m/s, que a viscosidade seja 0,65 centipoise e que a densidade relativa valha

0,88, calcule: (a) A viscosidade absoluta do líquido em slug/ft.s, (b) A viscosidade

cinemática do líquido em m2/s, (c) A tensão tangencial na placa superior em lbf/ft

2 e (d) A

tensão tangencial na placa inferior em Pa.

Exercício 4

5) Um bloco cúbico uniforme de aresta a = 10 cm é puxado sobre uma superfície horizontal

sobre a qual há uma fina película de óleo com viscosidade μ = 0,3 N.s/m2. A película de

óleo tem espessura h = 1 mm, como mostrado na figura. Supondo que a distribuição de

velocidades na película de óleo seja linear, determine qual deve ser a força necessária para

puxar o bloco com velocidade constante V = 0,8 m/s.

Exercício 5

6) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar completamente desenvolvido



102

entre placas paralelas é dada por 2

max h

y21

u

u

onde h é a distância separando as placas. A origem está situada na linha mediana entre as

placas. Considere um escoamento de água a 20°C, com maxu = 0,10 m/s e h = 0,25 mm.

Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior.

7) Petróleo bruto, com densidade relativa SG = 0,85 e viscosidade = 2,15x10-3

lbf.s/ft2

,

escoa em regime permanente sobre uma superfície inclinada de 30° para baixo em relação

à horizontal, em uma película de espessura h = 0,12 in. O perfil de velocidades é dado por

sen

2

yhy

gu

2

A coordenada x está ao longo da superfície e y é normal a ela. Determine a tensão de

cisalhamento que atua sobre a superfície.

8) Um bloco cúbico pesando 45 N e com aresta de 25 cm é puxado para cima sobre uma

superfície inclinada sobre a qual há uma fina película de óleo ( 2m/s.N037,0 ). A

velocidade do bloco é de 0,6 m/s e a película de óleo tem 0,001 in de espessura. A

superfície está inclinada de 25° em relação à horizontal. Supondo que a distribuição de

velocidades na película de óleo seja linear, determine:

a) A tensão de cisalhamento sobre a superfície inferior do bloco;

b) A força de atrito entre o bloco e a película de óleo;

c) A força necessária para puxar o bloco.

9) Um bloco é puxado para cima sobre uma superfície inclinada 25 sobre a qual há

uma fina película de óleo, de espessura h = 0,01 in. Para que o bloco se movimente para

cima com uma velocidade constante de 1,5 m/s, é necessária uma força F = 130 N. A

densidade relativa do material do bloco é SGb = 5,3 e suas dimensões são a = 12 cm, b =

13 cm e c = 15 cm (perpendicular ao plano da folha). Sabendo que a densidade relativa do

óleo é 0,85, determine sua viscosidade cinemática. Considere que o perfil de velocidades

na película de óleo é linear.

Exercício 9

10) Um bloco cúbico de aresta a = 20 cm desliza para baixo sobre uma superfície inclinada

sobre a qual há uma fina película de óleo (viscosidade absoluta de 0,3 N.s/m2), de

espessura h = 0,01 in. A superfície está inclinada de θ = 20˚ em relação à horizontal, como

mostra a figura. Suponha que o perfil de velocidades no óleo é linear. Determine qual deve

ser a densidade absoluta do material do bloco para que ele se desloque para baixo com

velocidade constante U = 1,2 m/s.



103

Exercício 10

11) Água a 20oC escoa no interior de um tubo de 20cm de diâmetro com uma velocidade de

1,0 m/s. Calcule o número de Reynolds característico do escoamento.

12) Seja o escoamento laminar em um duto circular. A velocidade u em um ponto qualquer,

longe da região de entrada, é dada por

2r25612u ,

Determine: a) a velocidade máxima do escoamento; b) o raio do duto; c) a velocidade do

fluido nos pontos r = 0, r = 0,20 m e r = 0,40 m. d) Sabendo que a velocidade média do

escoamento é igual à metade da velocidade máxima, determine qual deve ser a mínima

viscosidade cinemática do fluido para garantir que o escoamento seja laminar.

13) O campo de velocidades de um escoamento é dado por kwjviuV ˆˆˆ

, onde

54/3,24 ywyxvyxu . Determine se o escoamento é uni, bi ou

tridimensional, permanente ou transiente e calcule a velocidade do elemento fluido

localizado no ponto P = (0,-1,2).

14) Para os campos de velocidade dados a seguir, determine se o escoamento é uni, bi ou

tridimensional e permanente ou transiente. a e b são constantes.

a) iaeV bx ˆ

b) jeaxV bt ˆ2

c) jbyitaxV ˆˆ 2

15) Para os campos de velocidade dados a seguir, determine se o escoamento é uni, bi ou

tridimensional e permanente ou transiente.

a) u = 2x + 3y v = 3z

b) u = 2x + 3y v = 3zt

c) u = 3x2 v = 2xyt w = 2y

2

16) Supondo que a água do mar seja incompressível , calcule a diferença de pressão entre um

ponto na superfície livre e um ponto localizado na profundidade de 4km. O peso

específico médio da água salgada é 10.050N/m3.

17) Calcule a pressão absoluta no fundo de um reservatório aberto de 2m de altura contendo:

a) água

b) mercúrio

18) Um tanque fechado contém mercúrio, água e óleo SAE 10W30, nas condições indicadas

na figura. O peso do ar acima do óleo é desprezível. Sabendo que a pressão no fundo do

tanque é 200 kPa, determine a pressão na superfície do óleo.



104

Exercício 18 Exercício 19

19) O tanque mostrado na figura está aberto para a atmosfera. Se a pressão absoluta no fundo

do tanque é 242 kPa, determine a massa específica do fluido X. O óleo é SAE 50W.

20) Determine a pressão no ponto “o” do mecanismo mostrado na figura, desprezando o atrito

entre o bloco (de massa m = 100kg) e a parede. O óleo utilizado é SAE 30W.


21) A carga de 500 kg do macaco hidráulico mostrado na figura deve ser elevada despejando-

se óleo (SG = 0,78) dentro de um tubo fino. Determine a altura h necessária para que o

peso comece a ser levantado. Ambos os lados do macaco hidráulico estão abertos para a

atmosfera. Considere que os tubos têm seção circular.

22) Na figura, um líquido manométrico tem densidade relativa 0,90 e em A e B existe água.

Sendo h1 = 0,40m, h2 = 0,30m e h3 = 0,80m, determine a diferença de pressão entre A e

B.

Exercício 22

23) Um manômetro é constituído por um tubo de vidro de diâmetro interno uniforme, D =

6,35 mm, como mostrado na figura. O tubo em U formado é preenchido parcialmente com

água. Em seguida, um volume de 3,25 cm3 de um óleo (com densidade relativa de 0,827) é

adicionado no lado esquerdo do tubo. Calcule a altura de equilíbrio H quando ambas as



105

pernas do tubo em U estão abertas para a atmosfera.

Exercício 23 Exercício 24 24) Um manômetro é constituído por um tubo de vidro de diâmetro interno D = 1 in, como

mostrado na figura. O tubo em U formado é preenchido parcialmente com água. Um

volume de óleo (SG = 0,8) é adicionado no lado direito do tubo. Quando ambas as pernas

do tubo estão abertas para a atmosfera, H = 2,5 cm. Determine o volume de óleo

adicionado.

25) O manômetro de tubo em U mostrado na figura contém água e querosene

3m/kg820Considere . Com ambos os tubos abertos para a atmosfera, as elevações da

superfície livre diferem de Ho = 20 mm. Determine a diferença de elevação H quando

uma pressão manométrica de 98 Pa é aplicada no tubo da direita.


26) Na figura, um líquido manométrico tem massa específica 1500kg/m3 e em A e B existe

água. Sendo h1 = 0,40m, h2 = 0,70m e h3 = 0,35m, determine a diferença de pressão entre

B e A.

27) Na figura, os fluidos estão a 20˚C.

a) Determine a diferença de pressão entre os pontos A e B, sabendo que h1 = 0,8 m, h2 =

0,25 m e h3 = 0,5 m.

b) Um manômetro colocado em B registrou uma pressão de 12 kPa. Determine a pressão

absoluta em A.



106

Exercício 27

28) Calcule a pressão manométrica da água no ponto C, sabendo que o ponto F está aberto

para a atmosfera.

Exercício 28

29) Considere o manômetro mostrado na figura. Todos os fluidos estão a 20oC. a) Determine a

diferença de pressão entre os pontos A e B, em função das variáveis mostradas. b) Calcule

a diferença de pressão entre A e B, se h1 = 20cm, h2 = 8cm, h3 = 40cm, h4 = 9cm, h5 =

14cm, SGbenzeno = 0.88.

Exercício 29

30) Na figura, as extremidades do manômetro estão abertas para a atmosfera. Determine a

densidade relativa do fluido X.



107


31) Na figura, o manômetro está aberto para a atmosfera em B. Determine a pressão

manométrica no ponto A.

32) Calcule a pressão absoluta no ponto A mostrado na figura.

Exercício 32

33) Para a figura mostrada, determine:

a) A pressão absoluta do ar;

b) O valor de H, para uma leitura do manômetro M de 120 kPa.

Exercício 33

34) Um manômetro de mercúrio é utilizado para medir a diferença de pressão entre as duas

tubulações mostradas na figura. A tubulação A transporta óleo combustível

3m/N8330 e a tubulação B transporta óleo SAE 30W. Qual será o valor da pressão

absoluta no tubo B se uma bolha de ar ficar presa na perna do manômetro e a pressão

absoluta em A for igual a 105 kPa? Considere h1 = 76 mm, h2 = 457 mm, h3 = 152,4 mm,



108

h4 = 177,8 mm e h5 = 127 mm.

Exercício 34

35) No ponto P indicado na figura, é colocado um corpo de massa m. O diâmetro do tubo

manométrico é d = 0,15m. Sabendo que os pontos A e B estão abertos para a atmosfera,

calcule: a) a massa m e b) a pressão lida pelo manômetro M. Despreze o atrito entre o

corpo e o tubo.


36) Qual é a leitura do manômetro no ponto A mostrado na figura? O óleo é o SAE 30W.

37) O Departamento financeiro de determinada companhia está comprando um sofisticado

equipamento laser de US$ 80 000,00 para medir a diferença de níveis de água entre dois

grandes reservatórios. É importante que pequenas diferenças de nível sejam precisamente

medidas. Você sugere que a tarefa deva ser desempenhada pela adequada instalação de um

manômetro de US$ 200,00. Um óleo menos denso do que a água pode ser usado para

proporcionar o aumento de 10:1 do movimento do menisco. Assim, uma pequena

diferença de nível dos dois reservatórios produzirá nos níveis de óleo do manômetro uma

deflexão 10 vezes maior. Determine a densidade relativa do óleo capaz de produzir este

aumento de deflexão.


38) O manômetro de tubo inclinado da figura tem D = 76,2 mm e tubo de medidas com d =

6,35 mm e contém óleo (de densidade relativa igual a 0,897) como líquido manométrico.

Determine o ângulo que permita a deflexão de 12,7 cm de óleo no tubo inclinado quando



109

for medida a pressão manométrica equivalente a 1,866 mmHg.

39) O manômetro de combustível do tanque de gasolina de um carro registra

proporcionalmente à pressão manométrica do fundo (Ver figura). Se o tanque tem 30 cm

de profundidade e acidentalmente contém 2 cm de água, quantos centímetros de ar

permanecem no topo quando o manômetro registra erroneamente “cheio”?


40) Uma pessoa de massa m = 70 kg deseja mergulhar em água do mar 3m/kg1025 . Para

isto, veste uma roupa com massa de 30 kg, ocupando um volume total (pessoa + roupa) de

0,08 m3. Determine a força máxima na corda necessária para segurar esta pessoa,

considerando que a pessoa esteja completamente submersa.

41) Um cubo oco de 12 cm de aresta externa e 11 cm de aresta interna é equilibrado por uma

massa de 1 kg em uma balança de braço (ver figura) quando o cubo é imerso em etanol

( 3/789 mkg ). Com base nestas informações, determine a massa específica do material

do cubo.

42) Uma lata de estanho tem um volume total de 1200cm3 e massa igual a 130g. Quantos

gramas de balas de chumbo ela poderia conter sem afundar na água? A massa específica

do chumbo é igual a 11,4g/cm3.

43) Um pedaço de madeira de pinho ( = 650kg/m3) pode ser representado por um prisma

quadrado de 5cm de base e 2,2m de comprimento. Determine a massa de chumbo que

deve ser presa à extremidade da madeira para que ela flutue verticalmente com 30cm fora

da água. Despreze o volume do chumbo adicionado.

44) Calcule a área mínima de um bloco de gelo ( = 917 kg/m3) de 0,30m de espessura para

que ele possa sustentar um automóvel de massa igual a 1100kg, sem que o bloco afunde

na água.

45) Um densímetro é composto por uma caixa cúbica de aresta externa a = 0,8m e espessura

de parede t = 0,03m, com massa m igual a 11kg. Esta caixa é preenchida com o fluido cuja

massa específica se deseja medir e mergulhada em água. Medindo-se a profundidade que a

caixa afunda, pode-se determinar a massa específica do fluido. Se, para um determinado

fluido, a caixa fica 50% submersa, calcule a massa específica do fluido.

46) Um cubo oco de aresta interna 15 cm e espessura de parede 1 cm contém um líquido de

densidade relativa 0,7. Ao ser colocado em um recipiente contendo água ele flutua,

mantendo parte de seu volume submerso. Sabendo que a densidade do material do cubo é

de 1200 kg/m3, determine o volume de fluido deslocado.

47) Um paralelepípedo, feito de um material desconhecido, possui uma base de área S e uma

altura h. Ao ser mergulhado na gasolina, ele flutua, ficando com 9,3 cm acima da

superfície livre. Em seguida, o paralelepípedo é retirado da gasolina e mergulhado no

álcool (álcool = 800kg/m3), ficando com 14,4 cm acima da superfície livre. Obtenha: (a) a

altura h do paralelepípedo e (b) o peso específico do material do paralelepípedo.

48) Uma pessoa repousa sobre uma bóia (com 2,0m de comprimento, 50cm de largura e 30cm

de altura) imersa em uma piscina, fazendo com que a bóia afunde 7cm. Em seguida, uma

criança de 30kg pula sobre a pessoa. Considerando ar = 1,2kg/m3 e água = 1000kg/m

3,



110

calcule: a) a massa da pessoa e b) quantos centímetros da bóia ficarão submersos após a

bóia estar em equilíbrio com a criança sobre a pessoa.

49) Um cilindro reto de paineira 3340 m/kg tem 0,3 m de diâmetro e altura H =1,6 m.

Em sua base inferior, prende-se certo volume de chumbo 311250 m/kg .

Mergulhado em óleo diesel 3820 m/kg , o cilindro modificado irá flutuar

verticalmente, deixando 20 cm de altura acima da superfície livre. Determine o volume e a

massa de chumbo adicionado.


50) Para executar as fundações de uma ponte, uma caixa de concreto armado de 12 m de

comprimento (perpendicular ao plano da folha), 5 m de largura, 10 m de altura e 400.000

kg de massa é lançada à água do rio, cuja profundidade média é 8 m. Determine o peso

mínimo do lastro a ser adicionado para que a caixa chegue ao fundo do rio.

51) A relação entre gordura e músculo de uma pessoa pode ser determinada por uma medição

de sua densidade relativa. A medição é feita imergindo o corpo em um tanque de água e

medindo o peso líquido WH. Determine uma expressão para a densidade relativa de uma

pessoa em termos de seu peso no ar Wa e de seu peso na água WH. Obs: A densidade

relativa deve ser função apenas de Wa e WH.

52) O peso lido por uma balança é dado como o valor da força exercida sobre ela. Assim, um

mesmo corpo pode apresentar pesos diferentes se for colocado sobre uma balança, imerso

em diferentes fluidos. O peso de uma moeda cunhada com uma liga de ouro (SG = 19,3) e

cobre (SG = 8,89), no ar, é de 0,36 N e, em água, 3/1000 mkg , é de 0,33 N. Calcule

o volume de ouro e o volume de cobre contidos na moeda.

53) O volume e a densidade de um corpo de forma irregular devem ser determinados usando-

se uma balança. O corpo pesa 7,2 kN no ar e 4,79 kN na água. Determine o volume e a

densidade absoluta do corpo. Despreze o empuxo no ar.

54) Um balão esférico cheio de hélio tem um raio de 12m. A massa total do balão, incluindo

todo o seu material, os cabos e a cesta, é igual a 196kg. Calcule a carga máxima M que

este balão pode transportar.

55) Um grupo de 10 crianças deseja fazer um passeio de balão. A massa do balão, incluindo o

material, os cabos e a cesta, além da massa do operador, é igual a 270kg. Se a elasticidade

do material do balão é tal que ele mantém a forma esférica independente da quantidade de

gás hélio em seu interior, calcule qual deve ser o mínimo raio do balão para que ele

consiga carregar o grupo de crianças (de massa individual 30kg). Despreze o volume da

cesta.

56) Um balão esférico cheio com hélio está imerso em ar atmosférico a uma altura de 1500

m 3

ar m/kg06,1 . Se o balão transporta uma carga total de 6000 kg (não considerado

o peso do hélio), determine o raio do balão. Despreze o volume ocupado pela cesta e pela

carga.



111

57) Um bloco uniforme de aço 3m/kg7870 flutua em uma interface de água e mercúrio

como mostrado na figura. Qual é a razão entre as distâncias a e b para esta condição?


58) Um bloco cúbico uniforme de aresta a e densidade absoluta ρA = 900 kg/m3 flutua em uma

interface de dois fluidos B e C, com densidades absolutas ρB desconhecida e ρC = 1000

kg/m3, como mostrado na figura. Se CB h2h , determine a densidade absoluta do fluido

B.

59) Um bloco cúbico de gelo (SG = 0,9) flutua em água do mar (SG = 1,025), mantendo 10

cm para fora da água, como mostrado na figura. Determine a altura submersa na água do

mar.

Exercício 59 60) Deseja-se determinar a massa específica do material de um cone. Para tanto, mergulhou-se

o objeto em gasolina, com a base voltada para baixo. Observou-se que 50% da altura do

cone ficava submersa. Com base nestas informações, calcule a sua massa específica.

61) Um cubo oco de aresta interna 10cm e espessura de parede de 2cm contém ar. Ao ser

colocado em um recipiente contendo óleo (densidade relativa igual a 0,90), ele flutua,

mantendo metade de seu volume submerso. Desprezando o peso do ar, calcule a densidade

relativa do material do cubo.

62) Um cubo oco de aço 3/8000 mkg , de massa m = 15 kg e de aresta externa a = 20

cm, é mergulhado em água 3/1000 mkg , mantendo metade de seu volume submerso

(ver figura).

a) Determine o valor da massa M para equilibrar o corpo.

b) Determine a aresta interna do cubo.



112


63) A esfera mostrada na figura tem 18,9 cm de raio e é mantida suspensa por um peso de 89

N, flutuando com metade de seu volume submerso quando colocada em água. Despreze o

atrito nas polias e cordas.

a) Determine o peso específico do material da esfera;

b) Se o peso for retirado, qual a porcentagem do volume da esfera que será mantido para

fora da água?

64) Uma caixa cúbica de massa m = 15kg, aresta a = 0,9m e espessura de parede desprezível

(caixa delgada), contém 2 líquidos imiscíveis, de densidades relativas SG1 = 0,75 e SG2 =

1,2. Determine o volume do fluido 1 no interior da caixa para que ela não afunde quando

colocada em um reservatório contendo água.

65) Uma esfera oca de ferro ( = 7870kg/m3) flutua completamente imersa na água. Se o

diâmetro externo da esfera é 60cm, calcule seu diâmetro interno.

66) Uma esfera oca com raio interno de 8cm e raio externo de 9cm flutua, mantendo metade

de seu volume submerso em um líquido cuja massa específica vale 800kg/m3. Calcule a

massa específica do material da esfera.

67) Um tronco retangular de madeira ( 3m/kg400 ), com 2 m de comprimento, 30 cm de

largura e 25 cm de altura flutua na água.

a) Determine a altura do tronco submersa;

b) Uma pessoa de massa m = 75 kg sobe em cima do tronco, fazendo com que ele

afunde. Considerando que nenhuma parte do corpo da pessoa fica dentro da água,

determine o volume do tronco submerso.

68) Uma tubulação de uma indústria despeja resíduos ( = 1500kg/m3) em um rio, com a

descarga acima do nível do rio. A tubulação tem diâmetro variável, como mostrado na

figura. Se a vazão de entrada do resíduo é de 0,6 m3/s, calcule a pressão absoluta no ponto

1. Despreze as perdas de energia.


69) Água escoa em regime permanente pelo tubo vertical de 0,1m de diâmetro mostrado na

figura. Ela é descarregada à pressão atmosférica pelo bocal com 0,05m de diâmetro. A

pressão absoluta de entrada da água na seção 1 é 330kPa. Calcule a velocidade da água

nas seções 1 e 2, considerando comportamento de fluido ideal.



113

70) Considere o escoamento de água a 20C através do bocal mostrado na figura, Um fluido

de massa específica 2 = 1800 kg/m3 é utilizado como líquido manométrico. Se a vazão de

água é de 0,3 m3/min, D = 100 mm e d = 50 mm, determine o desnível h. Despreze as

perdas de carga.

Exercício 70

71) Ar escoa com baixa velocidade por um bocal horizontal que descarrega na atmosfera. A

área do bocal à entrada mede 0,1m2 e, à saída, 0,02m

2. O escoamento é, essencialmente,

de fluido incompressível e de atrito desprezível. Determine a pressão manométrica

necessária à entrada do bocal para produzir a velocidade de saída de 50 m/s. Represente

graficamente a equação de Bernoulli.

72) Calcule o fator de atrito para os escoamentos no interior de tubos de ferro fundido a

seguir:

Fluido Velocidade Diâmetro

Glicerina 2m/s 20 cm

Óleo SAE 10W 5m/s 10”

Óleo SAE 50W 1m/s 10”

73) Calcule o fator de atrito para os escoamentos no interior de tubos de aço comercial a

seguir, pelo ábaco de Moody e pela equação de Colebrook e compare os valores.

Fluido Vazão Diâmetro

Água 3 l/min 0,5”

Água 1,5 kg/s 5 cm

74) Dados foram obtidos por medições em um trecho vertical de um tubo de ferro

galvanizado, velho e corroído, com diâmetro de 25 mm. Em uma seção, foi medida uma

pressão manométrica de 700 kPa. Em uma segunda seção, 6 m abaixo, a pressão

manométrica era de 520 kPa. A vazão volumétrica de água é de 3 litros/s.

a) Estime a rugosidade relativa do tubo;

b) Determine a queda de pressão resultante se o tubo fosse restaurado ao estado de

rugosidade de tubo novo e limpo, mantendo-se a mesma vazão do escoamento.

75) Uma bomba impulsiona água a uma vazão constante de 10 kg/s através de um sistema de

tubos. A pressão manométrica na entrada da bomba é -20 kPa. A pressão manométrica na

descarga da bomba é 300 kPa. O diâmetro do tubo de entrada é 75 mm e do tubo de saída,

50 mm. A eficiência da bomba é de 70%. Desprezando as perdas na bomba, determine a

potência requerida para acionar a bomba

76) Água a 20C escoa na serpentina horizontal de um trocador de calor, como mostrado na

figura. Sabendo que a vazão do escoamento é 5,68x10-5

m3/s, determine a queda de

pressão entre as seções de alimentação e de descarga da serpentina. O tubo tem 12,7 mm

de diâmetro e é feito de cobre extrudado ( = 0,046 mm). O coeficiente de perda de carga

em uma curva de 180 é 1,5 m. Considere L = 46 cm.



114

Exercício 76

77) Água a 20C em regime permanente escoa através da tubulação mostrada na figura. A

vazão do escoamento é de 125 litros/s. Sabendo que os diâmetros são D = 30 cm e d = 19

cm e os comprimentos L1 = L2 = L3 = 40 m, determine a queda de pressão através da

tubulação de aço comercial.

Exercício 77

78) Uma tubulação de aço comercial leva 15 litros/s de água do ponto A até o ponto C. No

trecho A-B, o diâmetro da tubulação é de 2 in, e no trecho B-C, o diâmetro é de 3 in. A

pressão absoluta da água no ponto A é de 500 kPa. Determine qual deve ser a pressão lida

por um manômetro colocado em C.

Exercício 78

79) Água a 20C escoa em regime permanente através da tubulação de ferro fundido mostrada

na figura. Do ponto A até o ponto B, o diâmetro da tubulação é de 20 cm e a velocidade é

de 2 m/s. No ponto B, há um estrangulamento da tubulação, fazendo com que a velocidade

alcance 3,5 m/s. No ponto C, o escoamento descarrega para a atmosfera. Determine:

a) o diâmetro da tubulação no trecho B-C;

b) A pressão lida por um manômetro colocado no ponto A.

Exercício 79

80) Água escoa através da tubulação mostrada na figura com uma vazão de 250 litros/s.



115

Devido a uma restrição de espaço, no trecho BC o diâmetro foi reduzido para 25 cm. Nos

demais trechos, o diâmetro é de 45 cm. Determine a diferença de pressão entre os pontos

A e D. A tubulação é feita de aço comercial.

Exercício 80

81) Água escoa com uma vazão de 45 litros/s entre os dois reservatórios mostrados na figura

(indo de R1 para R2). Os reservatórios estão abertos para a atmosfera. As tubulações são

fabricadas em aço comercial, sendo D1 = 20 cm e D2 = 10 cm. Determine o desnível h

entre os reservatórios, se L1 = 10 m e L2 = 12 m.

Exercício 81

82) Uma tubulação, com altura média das irregularidades = 0,16mm, leva 0,2m3/s de água

de 1 até 2, como mostrado na figura. Na metade da distância, o diâmetro da tubulação

passa de 15 para 20cm. Se a pressão absoluta da água no ponto 1 é 3atm e o ponto 2 está

aberto para a atmosfera, calcule o desnível H entre os pontos 1 e 2. A distância percorrida

pela água é de 250m.

Exercício 82

83) Num reservatório aberto, é ligada uma tubulação de descarga que possui saída livre, como

mostrado na figura. A tubulação é feita com tubos de diâmetros diferentes, de maneira que

os valores das velocidades nos pontos iniciais de cada trecho sejam iguais a 1,25 vezes a

velocidade no trecho anterior. Se a tubulação descarrega na atmosfera, calcule as

velocidades u1, u2 e u3, desprezando as perdas de carga contínuas.



116

Exercício 83

84) Para a tubulação em aço comercial de 25 cm de diâmetro mostrada na figura, determine a

diferença de elevação entre os reservatórios. A vazão de água é de 200 litros/s.

Exercício 84

85) Determine o nível h que deve ser mantido no reservatório mostrado na figura para que

uma vazão de 0,45 litros/s de água escoe através da tubulação de aço comercial de 13 mm

de diâmetro.

Exercício 85

86) Água a 20C escoa do subsolo para o segundo piso através de um tubo de cobre recozido

( = 0,0015 mm) de 0,75 in de diâmetro com uma vazão de 0,75 litros/s e sai através de

um bocal de 0,5 in de diâmetro, conforme mostrado na figura. Determine a pressão

medida por um manômetro colocado no ponto 1. Considere o coeficiente de perda de

carga no bocal Kbocal = 2.



117

Exercício 86

87) Os reservatórios na figura estão conectados por tubos de ferro fundido unidos

abruptamente. Os tubos possuem diâmetros de 25 mm e 50 mm, ambos com 6,1 m de

comprimento. Para uma vazão de água de 4,7 litros/s, determine o desnível entre os

reservatórios.

Exercício 87

88) Para a tubulação em ferro fundido mostrada na figura, determine a diferença de elevação

entre os reservatórios, se a vazão de água é de 3 litros/s.

Exercício 88

89) Uma tubulação de ferro galvanizado leva 0,2m3/s de água entre os reservatórios mostrados

na figura. Se o diâmetro da tubulação até o ponto D é de 20cm e, a partir dele, de 16cm,

calcule a pressão absoluta da água no ponto A.



118

Exercício 89

90) Água escoa em regime permanente através da tubulação de aço comercial mostrada na

figura. Determine a pressão manométrica no ponto 1 do reservatório fechado, necessária

para que a água escoe com uma vazão de 4 litros/s.

Exercício 90

91) Uma bomba leva uma vazão de 250 litros/s de água através da tubulação mostrada na

figura. A pressão absoluta no ponto A é de 150 kPa. Sabendo que a potência fornecida

pela bomba é de 32 kW, determine a pressão lida pelo manômetro em B. A tubulação é

feita de aço comercial, com 25 cm de diâmetro.

Exercício 91

92) Na instalação mostrada na figura, a tubulação de aço comercial tem 10 cm de diâmetro e a

bomba opera com uma vazão de 10 litros/s. A pressão manométrica do ar na câmara

(ponto 4) é igual a 90kPa. A distância percorrida pela água desde a bomba até a entrada do



119

tanque pressurizado é de 10 m. Sabendo que a eficiência da bomba é igual a 80%, calcule

a potência de acionamento da bomba. Considere s.m/kg10x14,1em/kg1000 33 .

Exercício 92

93) Pretende-se bombear água de um poço artesiano até a caixa d’água de um edifício. Para

isto, a seguinte instalação deverá ser construída. A vazão de água é de 0,4 litros/s. O

diâmetro da tubulação é de 20 cm e a rugosidade relativa, de 0,002. Desprezando a energia

cinética na entrada e na saída e a variação de pressão, determine a potência ideal da

bomba.

15

0m

5m

15

m

Exercício 93

94) Para levar 250 litros/s de água do reservatório 1 para o reservatório 2 mostrados na figura,

foi utilizada uma tubulação de ferro galvanizado, de 40 cm de diâmetro e 250 m de

comprimento. Se a eficiência da bomba é de 80%, determine a sua potência de

acionamento.



120

Exercício 94

95) A bomba mostrada na figura leva 20 litros/s de água do reservatório 1 para o reservatório

2. O tubo é de aço comercial, com diâmetro de 4 in. Determine a potência fornecida pela

bomba. Despreze o cotovelo na bomba.

Exercício 95

96) Uma bomba deve levar 120 litros/s de água do reservatório 1 para o reservatório 2, como

mostrado na figura. Os reservatórios estão abertos para a atmosfera. Se a tubulação de

ferro fundido tem 25 cm de diâmetro, determine a potência necessária para acionar a

bomba. Considere a eficiência da bomba como 75%.



121

Exercício 96

97) Uma bomba leva 50 litros/s de água do reservatório da direita para o reservatório da

esquerda. A tubulação, com 15 cm de diâmetro, é de ferro fundido. Se a eficiência da

bomba é 75%, determine a potência requerida para acioná-la.

Exercício 97

98) Na figura, ambos os reservatórios estão abertos para a atmosfera. A vazão de água que

escoa através da tubulação de ferro fundido de 15 cm de diâmetro é de 85 litros/s.

Determine o nível de água H do reservatório 1



122

Exercício 98

99) Considere a instalação de bombeamento de água mostrada na figura. A tubulação, de 5 cm

de diâmetro, é fabricada em aço comercial. A velocidade da água no bocal (de 1,5 cm de

diâmetro) é de 20 m/s. Se a potência de acionamento da bomba é de 7 kW, determine a sua

eficiência. Considere Kbocal = 0,3.

Exercício 99

100) Considere a instalação de bombeamento de água mostrada na figura a seguir. A

tubulação, de 15 cm de diâmetro, é feita de aço galvanizado ( = 0,15 mm) e a vazão de

água que escoa através da bomba é de 40 litros/s. A pressão manométrica do ar no ponto B

é mantida constante em 532 kPa. Se a bomba tem 70% de eficiência, determine a potência

do motor necessária para acioná-la.



123

Exercício 100

101) A bomba mostrada na figura fornece 85 litros/s de água a 20C para uma máquina na

seção 2, que possui uma pressão absoluta de 68,95 kPa. O tubo é de aço comercial, com

diâmetro de 75 mm. Encontre a potência necessária para esta bomba, sabendo que a sua

eficiência é de 75%.

Exercício 101

102) Pretende-se bombear água de um rio até a caixa d’água situada no topo de uma colina.

Para isso, a instalação mostrada na figura deverá ser construída. A tubulação, de 25 mm de

diâmetro, possui rugosidade relativa de 0,003. Se a vazão de água é de 0,5 litros/s,

determine a potência fornecida pela bomba.



124

Exercício 102

103) O sistema bomba-turbina mostrado na figura retira água do reservatório superior

durante o dia para produzir potência para uma cidade. À noite, o sistema bombeia água do

reservatório inferior para o superior para restaurar a situação. A vazão de projeto entre os

reservatórios é de 56,8 m3/min de água a 20C. A tubulação, de aço comercial, tem 50 cm

de diâmetro e 500 m de comprimento.

a. Determine a potência extraída pela turbina;

b. Determine a potência entregue pela bomba e

c. Discuta a viabilidade da instalação

Exercício 103

104) Água a 20C escoa de um lago, conforme mostrado na figura, com uma vazão de 113

litros/s. O comprimento total percorrido pela tubulação de aço comercial de 12 cm de

diâmetro é de 300 ft. O dispositivo interno da edificação é uma bomba ou uma turbina?

Justifique. Determine a potência do dispositivo.



125

Exercício 104

105) A vazão de água através do sistema é de 15 m3/h. O tubo, de 6 cm de diâmetro, possui

rugosidade absoluta de 0,12 mm. Determine a potência extraída pela turbina.

Exercício 105

106) A tubulação mostrada na figura é de ferro fundido e tem 30 cm de diâmetro. A

velocidade média do escoamento de água é de 5 m/s. Determine a potência extraída pela

turbina.

Exercício 106

107) Na instalação mostrada na figura, a tubulação de aço comercial tem 10 cm de

diâmetro. Se a vazão de água é de 25 litros/s, determine a potência extraída pela turbina.



126

Exercício 107

108) Na figura, encontram-se 75 m de tubo de ferro fundido de 50 mm de diâmetro.

Determine a potência extraída pela turbina para uma vazão de água de 4,0 litros/s.

Exercício 108

109) Água a 20C escoa em regime permanente através da tubulação mostrada na figura. A

vazão do escoamento é de 1,25 litros/s. A tubulação de PVC tem 3,81 cm de diâmetro.

Determine a potência extraída pela turbina.

Exercício 109

110) Um medidor de Venturi horizontal tem diâmetro de 25cm no tubo e 12,5cm no

estrangulamento. A pressão da água no tubo é de 0,54 atm e no estreitamento é de 0,41

atm. Determine a vazão em m3/s.

111) Considere um Venturi horizontal de 2 x 1 in com escoamento de água. Determine a

pressão diferencial, para uma vazão volumétrica de 8,6 litros/s.



127

112) Gasolina escoa através de um medidor Venturi de 2 x 1 in. A pressão diferencial é de

380 mmHg. Determine a vazão em volume e a velocidade do fluido no tubo.

113) Água a 20C escoa através de um orifício com diâmetro de 3 in, instalado em um tubo

com 6 in de diâmetro interno. A vazão em volume é de 0,0189 m3/s. Determine a

diferença de pressão entre as tomadas de canto.

Documents

607901_Fenômenos de transportes - Mecânica dos fluidos.pdf