7-Funções integradoras

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(2014/2015)

Anlise Estrutural Avanada

Funes Integradoras

Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Caso unidirecional - El. Lagrangianos

Elemento finito unidimensional com quatro ns colocados sobre o eixo x. A posio de cada

n definida pela respectiva coordenada cartesiana xi , sendo i o nmero do n.

(Azevedo, A., 2003)

As caractersticas essenciais de uma funo de forma Ni so as seguintes:

deve assumir o valor unitrio para i x = x ;

deve anular-se nos restantes ns.

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Anlise estrutural avanada (2014/2015) (Azevedo, A., 2003)

Valores que cada funo de forma deve assumir nos ns do elemento finito



fcil verificar que as seguintes funes de forma so polinmios que respeitam as condies definidas

A expresso genrica para o

caso de um elemento finito

unidimensional com n ns

Frmula de interpolao de Lagrange


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Anlise estrutural avanada (2014/2015) (Delgado, R., 1997)


Anlise estrutural avanada (2014/2015) (Delgado, R., 1997)


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Relativamente ao elemento finito bidimensional com 16 ns, pretende-se obter a funo de

forma N7 (s1, s2)

Caso bidimensional - El. Lagrangianos

Esta funo deve ser unitria no n 7 e deve anular-se nos restantes ns. As coordenadas do n 7 so

(s1, s2) = (1/3, -1/3).


Na direco s1, o n 7 o terceiro n. Por isso deve-se utilizar a funo N3 indicada e considerar x = s1 ,

x1 =-1 , x 2 = 1/3 , x3 = 1/3 e x4 = 1. Esta funo designada N31 e tema seguinte expresso:

Os ndices em N31 tm o significado de funo de forma unidimensional correspondente ao n 3 e com

x substituido por s1.


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Na direco s2, o n 7 o segundo n. Por isso deve-se utilizar a funo N2 indicada

em (2), considerar x = s 2 e, de igual forma, x1 = 1 , x 2 = 1/3 , x3 = 1/3 e x4 = 1 .

Esta funo designada N22 e tem a seguinte expresso


A funo N7 (s1, s2) o produto de N31(s1) por N22(s2):


Como se pode facilmente verificar, esta funo de forma assume o valor unitrio no n 7 e anula-se

nos restantes ns. As funes de forma correspondentes aos restantes 15 ns poderiam ser obtidas de

um modo idntico ao que foi aqui apresentado. Na Figura encontra-se, em perspectiva, o grfico da

funo N7 (s1, s2).


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A expresso N7 (s1, s2) quivalente seguinte:



O tringulo de Pascal correspondente a uma funo de duas variveis o seguinte


Comparando N7 (s1, s2) com o tringulo de Pascal pode observar-se que a funo de forma N7 (s1, s2)

um polinmio de sexto grau incompleto, em que foram utilizados apenas os 16 termos que figuram em

N7 (s1, s2)

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Apresenta-se em seguida um procedimento que permite determinar as funes de forma de um

elemento finito com n ns arbitrariamente distribudos [7.2]. A exposio que se segue baseia-se

num exemplo, que consiste num elemento finito de cinco ns posicionados de acordo com a Figura

As coordenadas dos cinco ns do elemento finito so,

no sistema de eixos (s1, s2)



Pretende-se fazer a interpolao do campo de espessuras h (s1, s2), sendo utilizada a seguinte

expresso, em que hi representa a espessura do elemento finito no n i.

Em notao matricial

,

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Tendo em vista a determinao das cinco funes de forma polinomiais Ni, necessrio seleccionar no

tringulo de Pascal um nmero de termos igual ao nmero de ns do elemento finito. Por este motivo, o

exemplo requer a escolha de cinco termos, que devem ser de grau to baixo quanto possvel. No

tringulo de Pascal, so assim seleccionados os seguintes termos, que se agrupam num vector designado

por V.

Na seleco efectuada, foi dada preferncia a termos de grau mais elevado em s1 do que em s2, devido

ao facto de o elemento finito apresentar mais ns segundo a direco s1. De acordo com a seleco de

termos efectuada, a funo h (s1, s2) vai ser aproximada com o seguinte polinmio



Em notao matricial se escreve

Ao efectuar a substituio das variveis s1 e s2 pelas

coordenadas do n 1, pretende-se obter o valor da

espessura h no n 1 ( h1 )

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Procedendo de igual forma com os restantes ns e agrupando as cinco expresses do tipo anterior

numa nica expresso matricial, tem-se.



No caso do exemplo da Figura, com 5 ns, os elementos de Q so.

Uma vez que a matriz Q quadrada e se supe no singular, pode-se multiplicar, direita, ambos

os membros de (27) por Q1 , resultando

substituindo

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Sabendo:

No caso do exemplo



As funes so:

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Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Bibliografia

Delgado, R. Texto de apoio s aulas de Mtodo dos Elementos Finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. 1990, Porto, Portugal.

Azevedo, A. Livro - Mtodo dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. Abril 2003, Porto, Portugal.

Azevedo, A. Apresentao -Mtodo dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. Abril 2003 Porto, Portugal.

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