TRIGONOMETRIA ESFÉRICA: NOTAS DE AULA

POR

José Milton Arana Departamento de Cartografia

Faculdade de Ciências e Tecnologia Unesp – Campus de Presidente Prudente

MARÇO/2006

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SUMÁRIO 2

LISTA DE TABELAS 4

LISTA DE FIGURAS 4

1 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA 5

1.1 Conceitos básicos 5

1.2 Unidades de medidas de arcos e ângulos 5

1.3 Transformação de unidades 6

1.4 Linhas e funções trigonométricas 7

1.5 Relações entre funções circulares 10

1.6 Arcos e extremidades associadas 10

1.7 Funções circulares inversas 11

1.8 Série de Taylor 11

1.9 Exercícios relativos aos conceitos básicos 12

2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 16

2.1 Definições 16

2.2 Exercícios relativos à esfera 19

3 TRIÃNGULO ESFÉRICOS 20

3.1 Polígono esféricos 20

3.2 Triângulo esférico 20

3.3 Igualdade dos triângulos esféricos 22

3.4 Propriedades dos triângulos esféricos 22

3.5 Triângulos polares 23

3.6 Excesso esférico 24

3.7 Exercícios relativos aos triângulos esféricos 25

4 FÓRMULAS FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA 26

4.1 Fórmula dos quatro elementos (lado) 26

4.2 Fórmula dos quatro elementos (ângulo) 28

4.3 Lei dos senos da Trigonometria Esférica 29

4.4 Fórmula dos cinco elementos 29

4.5 Fórmula das Co-tangentes 29

4.6 Fórmula da Borda 30

4.7 Analogias de Delambre e as de Nepper 31

4.8 Resolução dos triângulos esféricos retângulos 32

3

4.9 Exercício - resolução de triângulos esféricos retângulos 33

4.10 Resolução de triângulos esféricos retilátero 33

4.11 Exercício – resolução de triângulos esféricos retiláteros 34

5 COORDENADAS DE UM PONTO SOBRE A SUPERFÍCIE DA TERRA E SOBRE MODELOS GEOMÉTRICOS 35

5.1 Coordenadas geográficas 35

5.2 Superfícies de referências 36

6 RELAÇÃO DE EXERCÍCIOS A SEREM RESOLVIDOS 37

7 BIBLIOGRAFIA UTILIZADA 40

4

LISTA DE TABELAS Tabela 4.1 – Triângulos esféricos retângulos 33

Tabela 4.2 - Triângulos esféricos retiláteros 34

Tabela 6.1 – Relação de exercícios a serem resolvidos 37

Tabela 6.2 – Relação de cidades e suas coordenadas geográficas 38

Tabela 6.3 – Relação de triângulos esféricos resolvidos 39

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Seno 7

Figura 1.2 – Co-seno 7

Figura 1.3 – Tangente 8

Figura 1.4 – Co-secante 8

Figura 1.5 – Secante 9

Figura 1.6 – Co-tangente 9

Figura 2.1 – Circunferência 16

Figura 2.2 – Circunferência máxima 16

Figura 2.3 – Circunferência menor 17

Figura 2.4 – Calota esférica 18

Figura 2.5 – Zona esférica 18

Figura 3.1 – Polígono esférico 20

Figura 3.2 – Ângulo esférico 20

Figura 3.3 – Esfera e triângulo esférico 21

Figura 3.4 – Triângulo esférico 21

Figura 3.5 – Triângulos polares 23

Figura 4.1 – Lei dos co-senos 26

Figura 4.2 – Triângulo esférico retângulo 32

Figura 4.3 – Triângulo esférico retilátero 33

Figura 5.1 – Coordenadas geográficas 35

Figura 5.2 - Superfícies utilizadas em Geodésia 36

5

OBS: O objetivo desta notas de aula é apenas para facilitar as atividades desenvolvidas em sala de aulas, proporcionando aos alunos do Curso de Engenharia Cartográfica um material para estudos de fácil acesso. Lembra-se aos leitores que não se pretende abordar todo o conteúdo de Trigonometria Esférica, apenas aborda-lo de maneira simples e de fácil entendimento para ao aluno, proporcionando uma ferramenta ao desenvolvimento do Curso.

NOTAS DE AULA Trigonometria Esférica é imprescindível ao estudo de Astronomia de Posição;

Cartografia; da Geodésia Elementar; . . . Onde, fundamentalmente, seu conteúdo será

abordado de maneira a resolver o triângulo esférico, resolvendo problemas relativos a

Posicionamentos. Numa primeira aproximação, em nosso estudo, a Terra será

reduzida ao modelo esférico. 1 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA 1.1 Conceitos básicos

Trigonometria é parte da Matemática que tem por objetivo o estudo das funções

trigonométrica e a conseqüente resolução dos triângulos. Didaticamente, a

Trigonometria é “dividida” em: Trigonometria Plana e em Trigonometria Esférica (esta é

alvo de nossos estudos)

. Trigonometria Plana: estuda os triângulos situados em uma superfície plana (esfera

de raio infinito), estes triângulos são denominados de triângulos planos.

. Trigonometria Esférica: estuda a resolução dos triângulos situados em uma superfície

esférica, estes são denominados de triângulos esféricos.

. Circunferência Orientada: é a circunferência na qual se fixou, convencionalmente,

como sentido de percurso o sentido anti-horário (denominado de sentido positivo).

. círculo trigonométrico: é a circunferência orientada, cujo raio é tomado como a

unidade de comprimento (r = 1).

. arco trigonométrico: é um segmento do círculo trigonométrico.

1.2 Unidades de medidas de arcos e ângulos

As unidades de medidas de arcos e ângulos são:

- Grau: é o arco que mede 1/360 da circunferência (o). As sub-unidades o grau são o

minuto de arco (‘), que corresponde a 1/60 do grau; e o segundo de arco (“) que

corresponde a 1/60 do minuto, os segundos são subdivididos em decimais.

6

Exemplificando: 22o 07’ 18,34” (vinte e dois graus, sete minutos, dezoito segundos e

trinta e quatro centésimos de segundo;

- Grado: é o arco que mede 1/400 da circunferência (gr), seus submúltiplos são

decimais. Exemplo : 24,580 gr (24 grados, cinqüenta e oito centigrados);

- Radiano: é o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência (rad). O radiano

subdivide-se em sub-múltiplos decimais. Ex.: 0,386 rad (trezentos, oitenta e seis mili-

radianos).;

- Hora: é o arco correspondente à 1/24 da circunferência (h). As sub-unidade da hora

são o minuto de arco (min) que corresponde à 1/60 da hora e o segundo de arco de

hora (s) é 1/60 do minuto de arco de hora, este são sub-divididos em sub-múltiplos

decimais. Ex. 2,566 (duas horas, quinhentos e sessenta e seis milésimos).

1.3 Transformação de unidades Para calcular o valor correspondente em outra unidade angular, basta fazer as

relações, que seguem:

180o = 200 gr = 12 h = π rad

Onde,

π = 3,14159265358979 rad

Tem-se que 1” é igual a 0,000 004 848 1 rad, ainda:

sen 1” = 0, 000 004 848 1

Estes valores são utilizados para transformação angulares de segundo de arco para

radiano, bastando fazer a multiplicação por sen 1”, ou melhor, arredondando, dividi-lo

por 206 000. E para transformar pequenas quantidades (valores absolutos) de radiano

para segundo de arco, simplesmente multiplica-o por 206 000.

7

1.4 Linhas e funções trigonométricas

Seno, o valor seno (sen) de um arco, mede a projeção do raio no eixo vertical,

sendo positivos aos arcos pertencentes ao primeiro e segundos quadrantes e negativos

aos pertencentes ao terceiro e quarto quadrantes. Seus valores extremos são +1 e -1.

Na figura 1.1, representa o segmento de reta que liga S à circunferência.

Figura 1.1 – Seno

Co-seno, o valor co-seno (cos) de um arco, mede a projeção do raio no eixo

horizontal, sendo positivos aos arcos pertencentes ao primeiro e quarto quadrantes e

negativos aos pertencentes ao segundo e terceiro quadrantes. Seus valores extremos

são +1 e -1. Na figura 1.2, representa o segmento de reta que liga c ao eixo CD, ou

centro da circunferência.

Figura 1.2 – Co-seno

B 2o Q 1o Q C α A S 3o Q 4o Q D

B 2o Q 1o Q C α A c 3o Q 4o Q D

8

Tangente, o valor tangente (tg) de um arco, mede a projeção do raio no

eixo AT, sendo positivos aos arcos pertencentes ao primeiro e terceiro

quadrantes e negativos aos pertencentes ao segundo e quarto quadrantes. Seus

valores extremos são + ∞1 e -∞. Na figura 1.3, representa o segmento de reta

que liga A ao ponto T.

Figura 1.3 - Tangente Co-secante, o valor co-secante (cossec) de um arco, mede o segmento de reta

de O à S, sendo positivos aos arcos pertencentes ao primeiro e segundo quadrantes e

negativos aos pertencentes ao terceiro e quarto quadrantes. Seus valores extremos

são +∞ e -∞. Na figura 1.4, representa o segmento de reta que liga o centro O à S.

S

Figura 1.4 – Co-secante

2o Q 1o Q α 3o Q 4o Q

D

AC

B T

2o Q 1o Q α O 3o Q 4o Q

A

B

C

D

M

9

Secante, o valor secante (sec) de um arco, mede o segmento de reta de O à U

sendo positivos aos arcos pertencentes ao primeiro e quarto quadrantes e negativos

aos pertencentes ao segundo e terceiro quadrantes. Seus valores extremos são +∞ e

-∞. Na figura 1.5, representa o segmento de reta que liga o centro O à U.

Figura 1.5 – Secante

Co-tangente, o valor tangente (cotg) de um arco, mede a projeção do raio no

eixo AT, sendo positivos aos arcos pertencentes ao primeiro e terceiro quadrantes e

negativos aos pertencentes ao segundo e quarto quadrantes. Seus valores extremos

são + ∞ e -∞. Na figura 1.6, representa o segmento de reta que liga B ao ponto T.

Figura 1.6 – Co-tangente

2o Q 1o Q α O 3o Q 4o Q

A

B

C

D

M

U

2o Q 1o Q α 3o Q 4o Q

D

AC

B T

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1.5 Relações entre funções circulares

1cos22 =+ aasen

aasenatg

cos=

asenaag coscot =

aa

cos1sec =

asenasc 1cos =

−=

xxtgarcxarc21cos

−=

21 x

xtgarcxsenarc

1.6 Arcos e extremidades associadas Dois arcos de mesma origem têm extremidades associada quando estas

extremidades são simétricas em relação ao centro, ou a um dos eixos:

- complemento b = 90o – a

- suplemento b = 180o – a

- explemento b = 180o + a

- replemento b = 360o – a

Para os arcos respectivos, tem-se as seguintes igualdades trigonométricas:

complemento suplemento explemento replemento sen (90o - a) = cos a sen (180o - a) = sen a sen (180o + a) = - sen a sen (360o - a) = - sen a

cos (90o - a) = sen a cos (180o - a) = - cos a cos (180o + a) = - cos a cos (360o - a) = cos a

tg (90o - a) = cotg a tg (180o - a) = - tg a tg (180o + a) = - tg a tg (360o - a) = - tg a

cotg (90o - a) = tg a cotg (180o - a) = -cotg a cotg (180o + a) = cotg a cotg (360o - a) = - cotg a

sec (90o - a) = cossec a sec (180o - a) = - sec a sec (180o + a) = - sec a sec (360o - a) = sen a

cossec (90o - a) = sec a cossec(180o-a) = cossec a cossec(180o+a)=-cossec a cossec(360o-a) =-cossec a

11

1.7 Funções circulares inversas As funções inversas tem por objetivo determinar os arcos quando se conhece o

valor da função. Por possuírem uma infinidade de arcos que proporcionam o mesmo

valor, significa dizer que o problema inverso é indeterminado, ou seja admitem uma

infinidade de arcos que tem o mesmo valor (mesmo seno, mesmo cosseno, mesma

tangente, . . .). Sendo a função:

cos a = x

Existirá um único valor de x para o valor de a dado. No entanto, quando

se conhece o valor de x, a equação proporciona infinitas soluções. Nos problemas da

Engenharia quase sempre nos interessa as soluções correspondentes às menores

determinações. As funções inversas são representadas por:

arc sen__, arc cos__, . . .

Exemplificando:

sen a = 0,5

A solução será arco do primeiro ou segundo quadrante (existirá infinitas soluções poderá ser 30o, 150, 390o,510,... (30o+ n 360; e 150 + n 360).

1.8 Série de Taylor As funções trigonométricas podem ser calculadas pelas Séries de Taylor, que

segue:

( ) 1

121

753

753

753

642

753

21...

753

...1125

403

6

...31517.

152

3

....!6!4!2

1cos

...!7!5!3

−

−−−++−+−=

++++=

++++=

+−+−=

+−+−=

n

nn xxxxxxtgarc

xxxxxsenarc

xxxxxtg

xxxx

xxxxxsen

ps: os valores dos arcos (x) são sempre em radianos.

12

1.9 Exercícios relativos aos conceitos básicos

1 – Transformar os ângulos em graus decimais:

a) 27o 19’ 53,78”

Solução:

27o 19’ 53,78” = 27o +19’ + 53,78” (#)

Sabemos que 1o contém 60’, portanto 19’ = 19 / 60 o = 0,31666667o; e

1o contém 3600”, então 53,78” = 53,78 / 3600 o = 0,0149388889o

Levando estes valores em (#), tem-se:

27o 19’ 53,78” = 27o + 0,31666667o + 0,0149388889o

27o 19’ 53,78” = 27,331605556o

b) 243’ =

c) 12500” =

d) 20,346565” =

2 – Dados os ângulos, transforma-los em radianos:

a) 27o 19’ 53,78”

b) 243’ =

c) 12500” =

d) 20,346565” =

e) 235o 54’ 43,98” =

13

3 – Transformar em graus sexagesimais:

a) 27,331605556o

Solução: 27,331605556o = 27o + 0,331605556o (♣)

0,331605556o = 0,331605556 x 60’

= 19,896 333 336’

19,896 333 336’ = 19’ + 0,896 333 336’

0,896 333 336’ = 0,896 333 336 x 60”

= 53,78”

Então, “retornando” à (♣), tem-se que 27,331605556o = 27o + 19’ + 53,78”, ou

27o 19’ 53,78”

b) 2,4678 rad

c) 378,3421 gr

d) 17h 43min 57,92s

e) 0,25537 rad

4 – Transformar os dados, conforme indicados:

a) 312,267592” = ____o ___’ ____,___”

b) 10o 42’ 42” = ___,________o

c) 115o 29’ 06,35” = ___h ___min ___,___s

d) 1,267265 rad = ____,__________o

e) 200,5634 gr = ___o____’___,___”

f) 312,267692” = ___o____’___,___”

g) 312,267692” = ___h ___min ___,__

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h) 0,76578 rad = _______,____”

i) 0,76578 rad = ___o____’___,___”

j) 0o 05’’ 12,267692” = __________,_________”

k) 8h 12min 51,64s = ___o ____’____,___”

i) 4h 42min 54,218s = ___,__________rad

j) 12h 20min 44,52s = ____,________h

5 – Extrair o valor das funções abaixo:

a) sen 20o 56’ 12,3” = __,________________

b) sen -50o 16’ 42,7” = ___,________________

c) cos 5,34578 rad = ___,_________________

d) tg 307o 22’ 01,2” = ___,____________

e) sec 67o 31’ 58” = ___,_________

f) cotg 2345” = ___,_____________

g) cossec 22,35gr = ____,________

6 – Calcular os arcos correspondentes a:

a) sen x = 0,987 656 6 x = ___o___’___,__” ou

x = ___o___’___,__”

b) cos x = 0,637 627 8 x = ___o___’___,__” ou

x = ___o___’___,__”

c) tg x = 2,366 347 3 x = ___o___’___,__” ou

x = ___o___’___,__”

d) cotg x = 10,276 365 1 x = ___o___’___,__” ou

x = ___o___’___,__”

15

e) sec x = 10,987 656 6 x = ___o___’___,__” ou

x = ___o___’___,__”

f) cossec x = 10,987 656 6 x = ___o___’___,__” ou

x = ___o___’___,__”

h) sen (90o – a) = 0,876 867 a = ___o___’___,__” ou

a = ___o___’___,__”

i) tg (90o – a) = 2,347 390 3 a = ___o___’___,__” ou

a = ___o___’___,__”

j) cos b = -0,505 509 8 b =___h____min___,___s ou

b =___h____min___,___s

k) cos (180o – a) = -0,343 445 a =___h____min___,___s

b =___h____min___,___s

l) sen (180o – a) = 0,987 867 a = __,__________rd

a = __,__________rd

m) tg (90o – b ) = ∞ b = __,__________h ou

b = __,__________h

n) cotg a = - ∞ a = __,__________o

a = __,__________o

7 – Utilizando-se das Séries de Taylor, calcular o valor das funções trigonométricas:

a) sen 32o 46’ 17,32”

b) cos 67o 15’ 47,43”

c) tg 54o 49’ 54,12”

d) arc sen 0,5412897

e) arc tg 1,4192568

16

2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 2.1 Definições: a. Superfície esférica: é o lugar geométrico dos pontos do espaço que eqüidistam de

um ponto interior chamado centro. Ver figura 2.1.

Figura 2.1 - Circunferência

b. Círculo máximo e círculo menor: A interseção de um plano com a esfera forma

um círculo. Há duas situações: se este plano contiver o centro da esfera, tem-se o

círculo máximo (figura 2.2); e se o plano que “corta” a esfera não contém o centro

da esfera, tem-se o círculo menor (figura 2.3).

Circunferência máxima: é a figura geométrica formada pela interseção da

superfície esférica com um plano que contém o centro da superfície esférica. A

figura 2.2.

Figura 2.2 – Circunferência máxima

R

A B

C

17

Circunferência menor: é a figura geométrica formada pela interseção da

superfície esférica com um plano que não contém o centro da superfície esférica. A

figura 2.3.

Figura 2.3 – Círculo menor

c. Distância esférica: é o menor arco de circunferência máxima que liga dois pontos

na superfície esférica, a figura 2.2 ilustra a distância esférica entre os pontos A e B. Ou, ainda, se existirem dois pontos não diametralmente opostos de uma superfície

esférica, por ele sempre passa um único arco de círculo máximo, a distância

esférica entre estes dois pontos é o arco de menor comprimento do arco de círculo

máximo que passa por eles.

)(radRd α=

d. Pólo e polar. Pólo de um círculo da esfera são os extremos de um diâmetro

perpendicular ao plano do círculo considerado. No caso da consideração de um

círculo máximo, este é denominado de polar. Portanto polar é o lugar geométrico

dos pontos da superfície esférica que eqüidistam 90o dos pólos.

e. Área de uma superfície esférica. A área de uma superfície esférica é expressa

em função do Raio (R) da superfície esférica.

24 RS π= seu volume será 3

34 RV π=

C

18

f. Área de uma calota esférica. Calota esférica é cada uma das partes em que a

superfície esférica fica dividida por um plano secante à ela. Figura 2.4

hRSc π2=

Figura 2.4 – Calota esférica

g. Área de uma zona esférica. Zona esférica é a porção da superfície compreendida

entre dois paralelos quaisquer. A área de uma zona esférica é expressa em função

do raio da superfície esférica e a distância (k) entre os paralelos. Figura 2.5

kRSz π2=

Figura 2.5 – Zona esférica

i. Meridiano. é uma circunferência máxima que contém os pólos de uma superfície

esférica.

j. Área de um fuso esférico. Fuso esférico é a porção da superfície esférica

compreendida entre dois semi-meridiano de um mesmo diâmetro. A amplitude de

um fuso (ao) é o ângulo diedro formado pelos semi-meridianos que compõem o

fuso.

90

2 oaRS fπ

=

h R

k

19

2.2 Exercícios relativos à esfera. Supondo-se que a forma da Terra seja esférica com raio de 6 370 km. Calcular:

2.1- Sua área.

2.2- Seu volume.

2.3- Supondo que sua densidade média seja 2,67 g/cm3, determine sua massa.

2.4- A área de um fuso de 2o de amplitude.

2.5- O comprimento do equador.

2.6- O comprimento do paralelo distante 30o do equador.

2.7- A área da calota esférica, cuja distância polar é de 23o 27’.

2.8- A área de um fuso de 15o de amplitude.

2.9 A área da zona esférica limitada pelo equador e o trópico de capricórnio (latitude

23o 27’S).

20

3. TRIÂNGULO ESFÉRICO 3.1 Polígono esférico Denomina-se polígono esférico a porção da superfície esférica limitada

exclusivamente por arcos de circunferência máxima. Figura 3.1

Figura 3.1 – Polígono esférico

3.2 Triângulo esférico

Triângulo esférico (euleriano) é a porção da superfície esférica limitada por três

arcos de circunferência máxima, menores que 180º. Ou, polígono esférico formado por

três lados menores que 180º. Todo triângulo corresponde um triedro com vértice no

centro da esfera a qual pertence o triângulo.

Resolver um triângulo esférico é determinar três de seus elementos quando são

conhecidos os outros três elementos, onde os elementos de um triângulo esférico são:

- três ângulos – são os ângulos esféricos formados nos vértices do triângulo,

representam-se, normalmente por A, B, C;

- três lados – são os arcos de circunferências máximas que unem os três vértices, dois

a dois, normalmente são representados por a, b, c.

α

α

0

Figura 3.2 – Ângulos esféricos

a b c o d

21

Figura 3.3 – Esfera e triângulo esférico

Figura 3.4 – Triângulo esférico

Medida dos lados de um triângulo esférico – os lados de um triângulo esférico

medem-se através dos arcos de círculo que eles contêm, sendo, em conseqüência,

equivalentes às respectivas medidas das faces do triedro que se obtém quando se

ligam seus vértices ao centro da esfera. – Os lados do triângulo esférico são medidos

pelos ângulos planos das faces do diedro, assim, o ângulo AÔC mede o lado b.

Medida dos ângulos de um triângulo esférico – os ângulos de um triângulo esférico

medem-se através das medidas dos respectivos diedros do triedro que ele determina

quando se ligam seus vértices ao centro da esfera. O ângulo CÂB mede o vértice A.

A A c c b b O a B a C

A c B O b a C

22

3.3 Igualdade dos triângulos esféricos

Dois triângulos, pertencentes à mesma esfera, ou esfera de mesmo raio são

iguais quando:

a. Possuir um ângulo igual, compreendido entre dois lados, respectivamente igual;

a = a

Β c B c

b. Possuir três lados respectivamente iguais; e

a b = a b

c c

c. Ter um lado igual, adjacentes a dois ângulos iguais.

A A

c c

B B

3.4 Propriedades dos triângulos esféricos a. A soma dos ângulos de um triângulo esférico está compreendido entre 180o e 540º.

180o< A + B + C < 540o

b. A soma dos lados de um triângulo esférico é sempre menor que 360º.

a + b + c < 360º.

c. Um lado sempre é menor que a soma dos outros dois lados e maior que a diferença

dos mesmos;

a < b + c

a > b – c

d. O lado maior se opõe ao ângulo maior;

e. A lados iguais se opões ângulos iguais;

23

f. A soma de 180o a um ângulo do triângulo esférico é maior que a soma dos outros

dois ângulos

A + 180o > B + C;

g. Todo triângulo esférico tri-retângulo é tri-retilátero e vice-versa

A = B = C = 90o , implica dizer que a = b = c = 90o;

h. Ao lado maior de um triângulo esférico se opõe o maior ângulo.

3.5 Triângulos polares

Polar – Polar é o lugar geométrico dos pontos da superfície esférica que distam 90o

dos pólos; assim, todas as circunferências máximas perpendiculares a polar

contém os pólos

Dois triângulos esféricos são polares quando os vértices do primeiro são os

pólos dos lados homônimos do outro, e reciprocamente.

A relação existente entre os triângulos polares diz: “os lados de um triângulo

esférico polar são suplementos dos ângulos do triângulo dado, e seus ângulos são os

suplementos dos lados do triângulo dado”.

Figura 3.5 – Triângulos polares

A’ A b’ b c’ c C B C’ a B’ a’

24

Propriedades dos triângulos polares (decorrentes da relação mencionada

acima).

A + a’ = 180o

B + b’ = 180o

C + c’ = 180o

a + A’ = 180o

b + B’ = 180o

c + C’ = 180o

3.6 Excesso esférico Conforme já mencionamos, a soma dos ângulos de um triângulo esférico

euleriano é sempre maior que 180o, e o que excede de 180o é denominado de excesso

esférico.

ε = A + B + C – 180o (este excesso é proporcional à área do triangulo esférico).

O excesso esférico também pode ser calculado com uso da Fórmula de L’Huillier:

222242 cstgbstgastgstgtg −−−

=ε

, onde

2cbas ++

=

A área do triângulo esférico, determinada em a partir de seu excesso esférico:

radRS ε2= , ou ainda:

o

oRS180

2 επ=

S = R2 sen 1” ε”

25

3.7 Exercícios relativos aos triângulos esféricos 3.1 Determinar a área do triângulo esférico pertencente a uma esfera raio 6 378 km,

onde:

A = 144o 15’ 43”

B = 97o 27’ 21”

C = 68o 21’ 43”

3.2 Determinar a área do triângulo polar ao do exercício 3.1

3.3 Determinar o excesso esférico e a área do de um triângulo esférico (pertencente a

uma esfera de raio 6 378 km) de lados:

a = 25 994,372 m

b = 35 637,943 m

c = 28 998,321 m.

3.4 Determinar o excesso esférico e a área do triângulo (pertencente a uma esfera de

raio 6 378 km):

a = 33o 21’ 37”

b = 83o 17’ 54”

c = 110o 48’ 29”

26

4 FÓRMULAS FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA A Trigonometria Esférica, em nossos estudos, tem por objetivo principal a

resolução dos triângulos esféricos, onde serão utilizadas das leis que relacionam os

elementos destes triângulos. Estaremos deduzindo apenas um grupo de fórmulas, as

conhecidas como Fórmula dos Quatro Elementos, conforme segue.

4.1 Fórmula dos Quatros Elementos (lado) As fórmulas dos quatro elementos – aplicada a lados, também denominada de

“Lei dos co-senos da Trigonometria Esférica”, este grupo de fórmulas relacionam três

lados e um ângulo do triângulo esférico.

A partir do triângulo esférico, figura 4.1, de ângulos A, B, C, pertencente a uma

esfera de raio unitário (R = 1), Ligando seus vértices ao centro da esfera O.

Figura 4.1 – Lei dos co-senos

Da figura 4, tem-se:

OÂM = OÂN = 90o

Tomando os triângulos planos AMN e OMN, e lembrando MÂN = A e MÔN = a,

tem-se:

MN2 = MO2 + NO2 – 2 NO MO cosa

e

MN2 = NA2 + MA2 – 2 NA MA cosA, portanto:

MO2 + NO2 – 2 NO MO cosa = NA2 + MA2 – 2 NA MA cosA

MO2 - MA2 + NO2 - NA2 – 2 NO MO cosa + 2 NA MA cosA = 0

A . b b c c C M O a a B N

27

Ainda na figura 4.1, tem-se:

MO2 = OA2 + MA2 OA2 = MO2 – MA2

NO2 = OA2 + NA2 OA2 = NO2 – NA2

Portanto:

OA2 + OA2 + 2 NA MA cosA = 2 NO MO coa

ou

2 OA2 + 2 NA MA cos = 2 NO MO cosa

Ainda da figura 4.1,

csenONANONANsencbsenOMAM

OMAMbsen

e

cONOAONOAcbOMOA

OMOAb

=⇒==⇒=

=⇒==⇒= coscoscoscos

Portanto:

OM2 cos2b + ON sen c OM sen b cos A = NO MO cos a

AbsencsenbONOMa coscoscos 2 += (∗)

mas,

bOMbcOMb

OAcOM

bOMOAlembrando

bOA

cOM

b

cOAOMb

ONOM

cOAON

coscoscoscoscos

,cos:

coscos

cos

cos

coscos

22

2

22

=

=

=

=∴=

28

bcbONOM coscoscos2 =∴ substituindo em (∗), tem-se:

cos a = cos b cos c + sen b sen c cosA, e por analogia,

cos b = coa a cos c + sen a sen c cos B

cos c = coa a cos b + sen a sen b cos C

Estas são as da Lei dos Co-senos da Trigonometria Esférica, cujo enunciado:

“O co-seno de um lado é igual ao produto do co-seno dos outros dois lados mais o

produto dos senos dos mesmos lados pelo co-seno do ângulo por eles formado”

Aplicação:

Resolver o triângulo esférico:

a = 52o 05’ 50”

b = 66o 06’ 10”

c = 68o 13’ 00”

4.2 Fórmula dos Quatro Elementos (ângulo) Utilizando-se das propriedades dos triângulos esféricos polares, chega-se às

fórmulas dos quatro elementos aplicadas a ângulos. Este grupo de fórmulas relacionam

três ângulos e um lado.

cos A = - cos B cos C + sen B sen C cos a

cos B = - cos A cos C + sen A sen C cos b .

cos C = - cos A cos B + sen A sen B cos c

Exemplo:

Resolver o triângulo esférico

A = 110o 30’ 20”

B = 130o 40’ 10”

C = 100o 20’ 50”

29

4.3 Lei dos Senos da Trigonometria Esférica

Este grupo de fórmulas, também conhecido como Analogia dos Senos

relaciona dois lados e dois ângulos opostos.

Csencsen

Bsenbsen

Asenasen

==

Cujo enunciado é: “Em todo triângulo esférico os senos dos lados são

proporcionais aos senos dos ângulos opostos”.

4.4 Fórmulas dos 5 elementos Este grupo de fórmulas relaciona três lados e dois ângulos. sen b cos A = cos a sen c - sen a cos c cos B

sen c cos B = cos b sen a - sen b cos a cos C

sen a cos C = cos c sen b - sen c cos b cos A

sen b cos C = cos c sen a - sen c cos a cos B

sen c cos A = cos a sen b - sen a cos b cos C

sen a cos B = cos b sen c - sen b cos c cos A

4.5 Fórmulas das Co-tangentes Este grupo de fórmulas apresentam a relação entre dois lados e dois ângulos.

cotg A sen B = cotg a sen c - cos c cos B

cotg B sen C = cotg b sen a - cos a cos C

cotg C sen A = cotg c sen b - cos b cos A

cotg A sen C = cotg a sen b - cos b cos C

cotg B sen A = cotg b sen c - cos c cos A

cotg C sen B = cotg c sen a - cos a cos B

30

4.6 Fórmulas da Borda Este grupo de fórmulas também é conhecido como Fórmulas do Marinheiro.

bsenasencssenssenC

bsenasenbssenassenCsen

csenasenbssenssenB

csenasencssenassenBsen

csenbsenassenssenA

csenbsenbssencssenAsen

)(2

2cos

)()(2

2

)(2

2cos

)()(2

2

)(2

2cos

)()(2

2

−=

−−=

−=

−−=

−=

−−=

Por divisão conveniente das fórmulas da Borda, chega-se às chamadas

Fórmulas dos Marinheiros

CBAScbascom

BSASCSSctg

cssenssenbssenassenCtg

CSASBSSbtg

bssenssencssenassenBtg

CSBSASSatg

assenssencssenbssenAtg

++=++=

−−−

−=−

−−=

−−−

−=−

−−=

−−−

−=−

−−=

22

)cos()cos()cos(cos

2)()()(

2

)cos()cos()cos(cos

2)()()(

2

)cos()cos()cos(cos

2)()()(

2

22

22

22

31

4.7 Analogias de Delambre e as de Nepper As Analogias de Delambre, também conhecidas como Equações de Gauss, são

muito utilizadas como formulas de verificação, envolvem os seis elementos do triângulo

e conduzem a uma identidade quando os elementos obtidos pelo cálculo são corretos.

Quadro 4.1 – Analogias de Delambre e as de Neper

Analogia de DELAMBRE (verificação)

Analogia de NEPER dois lados e três ângulos

Analogia de NEPER Três lados e dois angulos

2)cb(sen

2Asen

2asen

2)CB(cos

2)cb(cos

2A

sen2a

cos2

)CB(cos

2)cb(sen

2A

cos2a

sen2

)CB(sen

2)cb(cos

2A

cos2a

cos2

)CB(sen

2)ca(sen

2B

sen2b

sen2

)CA(cos

2)ca(cos

2Bsen

2bcos

2)CA(cos

2)ca(sen

2B

cos2b

sen2

)CA(sen

2)ca(cos

2B

cos2b

cos2

)CA(sen

2)ba(sen

2C

sen2c

sen2

)BA(cos

2)ba(cos

2C

sen2c

cos2

)BA(cos

2)ba(sen

2Ccos

2csen

2)BA(sen

2)ba(cos

2C

cos2c

cos2

)BA(sen

+=

−

+=

+

−=

−

−=

+

+=

−

+=

+

−=

−

−=

+

+=

−

+=

+

−=

−

−=

+

2)cb(sen

2)cb(sen

2Agcot

2)CB(tg

2)cb(cos

2)cb(cos

2Agcot

2)CB(tg

2)ca(sen

2)ca(sen

2Bgcot

2)CA(tg

2)ca(cos

2)ca(cos

2Bgcot

2)CA(tg

2)ba(sen

2)ba(sen

2Cgcot

2)BA(tg

2)ba(cos

2)ba(cos

2Cgcot

2)BA(tg

+

−

=−

+

−

=+

+

−

=−

+

−

=+

+

−

=−

+

−

=+

2)CB(sen

2)CB(sen

2atg

2)cb(tg

2)CB(cos

2)CB(cos

2atg

2)cb(tg

2)CA(sen

2)CA(sen

2btg

2)ca(tg

2)CA(cos

2)CA(cos

2btg

2)ca(tg

2)BA(sen

2)BA(sen

2ctg

2)ba(tg

2)BA(cos

2)BA(cos

2ctg

2)ba(tg

+

−

=−

+

−

=+

+

−

=−

+

−

=+

+

−

=−

+

−

=+

32

4.8 Resolução dos triângulos esféricos retângulos

Um triângulo esférico é retângulo, se possuir pelo menos um ângulo reto. Para a

resolução destes triângulos, existe uma regra mnemônica que é denominada como

Regra de Maudiut. Cujo enunciado é: “O co-seno do elemento médio é igual ao produto

das co-tangentes dos elementos conjunto ou produto dos senos dos elementos

separados”

cos___ = cotg___ cotg___ = sen___ sen___

Figura 4.2 – Triângulo Esférico Retângulo

Na aplicação desta regra, há que se considerar:

1 – Admitindo a como elemento médio (poderia ser escolhido qualquer elemento do

triângulo, exceto o ângulo reto), seus elementos conjuntos serão os lados B e C,

seus elementos separados serão b e c; 2 – O Elemento reto é considerado inexiste na aplicação da regra. Se admitirmos b

0como elemento médio, seus conjuntos serão C e c; e 3 – Não se “tomam” os catetos, e sim seus complementos: Se A for o ângulo reto,

utilizaremos (90o – c) e não c; (90o – b) e não b.

A b c B C a

33

4.9 Exercícios – resolução de triângulos esféricos retângulos

Resolver os triângulos esféricos, retângulos em A: Tabela 4.1 – Triângulos esféricos retângulos

4.1 – b = 75o 28’ 52”

a = 67o 56’ 28”

4.3 - a = 65o 00’ 32”

B = 28o 45’ 53”

4.2 - a = 75o 19’ 19”

c = 35o 59’ 59”

4.4 - B = 47o 50’ 18”

C = 67o 46’ 35”

4.10 Resolução de Triângulos Esféricos Retiláteros O triângulo esférico retilátero é o triângulo esférico que possui pelo menos um

lado reto (lado igual a 90o).

Figura 4.3 – Triângulo Esférico Retilátero

A resolução do triângulo esférico retilátero, utilizando da Regra de Mauduit,

procede-se da seguinte maneira:

- Lembrando-se das propriedades dos triângulos polares, verifica-se que um triângulo

polar ao triângulo retilátero será um triângulo retângulo.

- Utilizando das propriedades dos triângulos polares, determina-se o triângulo polar ao

triângulo dado;

- Utiliza-se da Regra de Mauduit, resolve o triângulo polar (este determinado pelas

propriedades polares);

- Resolvido o triângulo polar (utilizado a regra de Mauduit), novamente com as

propriedades dos triângulos polares calcula-se o triângulo dado.

A b c B C a = 90o

34

4.11 Exercícios – resolução de triângulos esféricos retiláteros Resolver os triângulos esféricos, retiláteros:

Tabela 4.2 – Triângulos esféricos retiláteros

4.5 a = 90o 00’ 00”

b = 45o 28’ 52”

c = 67o 56’ 28”

4.8 c = 90o 00’ 00”

b = 83o 33’ 25”

B = 27o 46’ 11”

4.6 c = 90o 00’ 00”

a = 55o 55’ 55”

B = 77o 56’ 00”

4.9 c = 90o 00’ 00”

a = 115o 24’ 36”

b = 60 18 24

35

5 COORDENADAS DE UM PONTO SOBRE A SUPERFÍCIE DA TERRA E SOBRE MODELOS GEOMÉTRICOS

5.1 Coordenadas geográficas Como um dos objetivos da Astronomia de Posição é a determinação das

coordenadas geográficas ou astronômicas de um ponto, definem-se as coordenadas,

conforme segue:

a – latitude geográfica ou astronômica de um ponto é o ângulo formado pela vertical

desse ponto com sua projeção equatorial (em nossa disciplina será representada

pela letra grega φ), tem variação de 0o a ± 90o, sendo positiva no Hemisfério Norte

e negativa no Hemisfério Sul;

b – longitude geográfica é o ângulo diedro formado pelo meridiano astronômico do

ponto e o meridiano que passa pelo Observatório de Greenwich (origem). É

simbolizada pela letra grega λ. A longitude varia de 0o a 180o por leste ou de 0o a

180o por oeste de Greenwich. Usualmente, representa-se a longitude com variação

de 0o a ± 180º. No desenvolvimento de nossa disciplina, utilizar-se-á o sinal positivo

para longitude de pontos situados a leste de Greenwich e negativo para pontos

situados a oeste. Assim, todos os pontos situados em território brasileiro terão

longitude negativa.

c - azimute astronômico. Chama-se azimute astronômico de uma direção ao ângulo

formado entre o meridiano do ponto e o alinhamento da direção, contado sobre o

plano do horizonte, a partir do sul por oeste.

Pn meridiano origem S paralelo de S G meridiano de S Q’ ϕ Q λ equador Figura 5.1 – Coordenadas geográficas

G

S

ϕ

λ

Ps

36

5.2 Superfícies de referências Rotineiramente, o cartógrafo utiliza-se de três superfícies:

Superfície física da Terra – É a superfície na qual são realizadas as operações

geodésicas e astronômicas;

Superfície do modelo geométrico – Denominada de superfície de referência e sobre

a qual são efetuados os cálculos geodésicos, na maioria das vezes é o elipsóide de

revolução; e

o geóide é uma determinada superfície eqüipotencial do campo da gravidade; geope

que mais se aproxima do nível médio dos mares. Nos continentes e ilhas acha no

interior da crosta. O geóide presta-se à definição da terceira coordenada natural, ou

seja, a altitude ortométrica (distância contada ao longo da vertical, desde o geóide até

o ponto considerado).

Na figura 3, que segue, mostra-se esquematicamente as três superfícies mencionadas

e mais o geópe passante pelo ponto S; este admite V como vertical (perpendicular ao

geope W) e N como normal. O desvio da vertical i é o ângulo formado pela vertical e

pela normal passante pelo ponto S i Superfície Física geópe H h

geóide N

elipsóide

Figura 5.2 – Superfícies utilizadas em Geodésia

37

6 RELAÇÃO DE EXERCÍCIOS A SEREM RESOLVIDOS Tabela 6.1 – Relação de exercícios a serem resolvidos:

Exercício o ‘ “ o ‘ “ o ‘ “

6.1 a = 52 05 50 b = 66 06 10 c = 68 13 00

6.2 A=110 30 20 B= 130 40 10 C =100 20 50

6.3 a = 88 42 30 b = 60 10 10 C = 70 48 40

6.4 A = 70 30 30 B = 100 30 30 c = 60 30 40

6.5 a = 54 20 01 b = 43 32 30 A = 90

6.6 b = 12 17 07 c = 09 45 01 A = 90

6.7 a = 64 40 17 B = 64 38 43 A = 90

6.8 a = 15 28 52 B = 67 56 28 A = 90

6.9 a = 115 24 36 b = 60 18 24 C = 90

6.10 a = 55 55 55 B = 77 56 00 c = 90

6.11 b = 33 31 25 B = 27 46 11 c = 90

6.12 a = 15 28 52 b = 67 56 28 A = 90

6.13 a = 35 59 59 c = 75 19 19 A = 90

6.14 a = 65 00 32’ B = 97 16 35 A = 90

6.15 B = 105 12 58 C = 58 23 01 A = 90

6.16 b = 33 48 41 c = 76 42 20 A = 90

6.17 c = 05 13 59 C = 42 24 56 A = 90

6.18 a = 125 26 58 b = 58 02 01 A = 77 19 19

6.20 a = 15 28 52 b = 17 56 28 A = 58 25 53

6.21 a = 17 42 25 b = 50 16 48 C = 149 04 53,2

6.22 a = 35 21 06 b = 57 55 17 B = 118 31 23

6.23 a = 41 18 19 b = 25 25 25 c = 46 43 22

6.24 A = 102 28 52 B = 87 16 44 C = 55 12 58

6.25 b = 11 20 12 A = 58 17 56 C = 37 22 05

38

Dados as coordenadas geográficas das cidades, pede-se a distância esférica e o

azimute astronômico entre elas:

Tabela 6.2 – Relação de cidades e suas coordenadas geográficas

Localidade Latitude (ϕ) Longitude (λ)

Presidente Prudente 22o 07’ 18” S 51o 24’ 20” W

Curitiba 25 26 52 S 49 13 50 W

Foz do Iguaçu 25 32 45 S 54 35 08 W

Rio Branco 09 58 22 S 67 48 40 W

Greenwich 51 28 38 N 00 00 00

Calcutá 22 33 25 N 88 20 12 E

Moscou 55 45 17 N 37 30 11 E

Tóquio 35 39 19 N 139 44 29 E

Ps: Adotar o Raio da Terra = 6 370 km

39

Tabela 6.3 – Relação de triângulos esféricos resolvidos

a b c A B C

15o 38’ 07” 16o 06’ 22” 20o 15’ 35” 50o 02’ 53” 52o 05’ 54” 80o 02’ 18”

16 06 22 40 32 32 52 05 54 15 38 07 39 09 35 129 57 07

21 27 36 50 02 53 56 52 23 25 26 17 64 09 41 100 30 16

40 09 20 56 52 53 79 29 44 36 10 38 50 02 53 115 50 19

41 32 39 44 44 18 57 10 06 52 05 54 56 52 23 88 42 27

38 57 12 55 01 00 56 15 42 47 37 51 74 16 19 77 43 18

17 42 25 50 16 48 .6 66 07 09 51 23 25 39 06 149 04 53

35 21 06 57 55 17 33 12 34 36 52 04 118 31 23 34 36 23

98 00 04 115 53 18 45 59 13 75 18 00 118 30 28 44 37 35

47 12 33 61 46 09 43 59 18 56 21 29 91 46 10 51 59 23

102 27 54 140 44 20 86 35 22 105 35 25 141 22 12 100 01 51

78 12 52 50 31 15 76 15 43 85 55 36 51 51 33 81 48 40

46 12 18’ 69 15 18 75 48 36 48 07 12 74 42 30 90

109 15 48 37 09 18 105 14 42 101 55 06 38 45 24 90

157 29 06 109 19 00 72 12 30 156 17 12 97 38 42 90

38 08 24 138 43 24 126 16 00 49 59 42 125 10 36 90

60 24 00 123 15 30 105 43 00 64 35 24 119 41 36 90

115 24 36 60 18 24 90 119 36 00 56 44 30 74 17 00

40

7 BIBLIOGRAFIA UTILIZADA ARANA, J. M. Astronomia de Posição: Notas de aula. FCT/Unesp- Departamento de Cartografia. Presidente Prudente. 2000. BOSCO, R. Conceitos de Astronomia. Editora Edghard Blücheer Ltda. São Paulo. 1984. GEMAL, C. Elementos de Trigonometria Esférica: Notas de aula. UFPR/Diretório Acadêmico do Setor de Tecnologia. Curitiba. 1981. NADAL, C. A. Introdução à Trigonometria Esférica – Aplicações na Astronomia e na Cartografia. UFPR/Setor de Tecnologia – Departamento de Geociências. Curitiba. 1998. VELLOSO, F. de C. Trigonometria Esférica. IME. Rio de Janeiro. 1979.