7. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS COM RESTRIÇÕES NAS …coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_7_Metodo_dos... · ção de efeitos, somando-se aos deslocamentos do balanço, considerado

7 MEacuteTODO DOS DESLOCAMENTOS COM RESTRICcedilOtildeES NAS DEFORMACcedilOtildeES

O Meacutetodo dos Deslocamentos conforme apresentado no capiacutetulo anterior tem uma metodologia de caacutelculo bem mais simples do que a metodologia do Meacutetodo das Forccedilas apresentado no Capiacutetulo 5 Alguns aspectos podem ser enumerados para caracterizar esse fato Por exemplo no Meacutetodo dos Deslocamentos soacute existe uma opccedilatildeo para a escolha do Sistema Hipergeomeacutetrico (estrutura cinematicamente determinada utilizada nos casos baacutesicos) enquanto que no Meacutetodo das Forccedilas exis-tem vaacuterias opccedilotildees para a escolha do Sistema Principal (estrutura estaticamente de-terminada utilizada nos casos baacutesicos) Tambeacutem pode ser observado que o caacutelculo dos valores dos coeficientes de rigidez do sistema de equaccedilotildees finais de equiliacutebrio do Meacutetodo dos Deslocamentos eacute muito mais simples (soma direta de coeficientes de rigidez de barras) do que o caacutelculo dos coeficientes de flexibilidade do Meacutetodo das Forccedilas (integrais de energia de deformaccedilatildeo) Esses dois fatores justificam o fato da maioria dos programas de computador para anaacutelise de estruturas adotar o Meacutetodo dos Deslocamentos em suas implementaccedilotildees

Entretanto a aplicaccedilatildeo do meacutetodo (na forma apresentada no capiacutetulo anterior) pa-ra a resoluccedilatildeo manual de uma estrutura eacute muito trabalhosa Isso se deve ao nuacuteme-ro excessivo de incoacutegnitas (deslocabilidades) que resulta da soluccedilatildeo mesmo para estruturas simples e agrave complexidade na consideraccedilatildeo de barras inclinadas

Na verdade a forma apresentada no capiacutetulo anterior para o Meacutetodo dos Deslo-camentos eacute dirigida para uma soluccedilatildeo por computador A formalizaccedilatildeo do meacutetodo para uma implementaccedilatildeo computacional seraacute vista no Capiacutetulo 9 onde eacute apresen-tado o Meacutetodo da Rigidez Direta

Este capiacutetulo faz uma apresentaccedilatildeo do Meacutetodo dos Deslocamentos de uma forma claacutessica voltada para a resoluccedilatildeo manual sem auxiacutelio de computador procurando diminuir ao maacuteximo o nuacutemero de deslocabilidades Essa eacute forma em que o meacuteto-do era apresentado em livros tradicionais de anaacutelise de estruturas reticuladas co-mo o de Suumlssekind (1977-3)

Para tanto satildeo introduzidas simplificaccedilotildees no comportamento das barras com res-peito agraves suas deformaccedilotildees Isto eacute satildeo adotadas restriccedilotildees nas deformaccedilotildees das bar-ras como por exemplo a hipoacutetese de que as barras natildeo se deformam axialmente Essa hipoacutetese tambeacutem eacute adotada comumente na resoluccedilatildeo manual pelo Meacutetodo das Forccedilas quando se despreza a parcela de energia de deformaccedilatildeo axial no caacutelculo dos coeficientes de flexibilidade e termos de carga

232 ndash Meacutetodos Baacutesicos da Anaacutelise de Estruturas ndash Luiz Fernando Martha

Resumindo este capiacutetulo apresenta o Meacutetodo dos Deslocamentos com restriccedilotildees nas deformaccedilotildees de barras com os seguintes objetivos

bull Reduzir o nuacutemero de deslocabilidades da estrutura visando principalmente uma resoluccedilatildeo manual

bull Caracterizar o comportamento de poacuterticos (quadros) com respeito aos efeitos de deformaccedilotildees axiais e de deformaccedilotildees transversais por flexatildeo das barras

Embora a motivaccedilatildeo inicial seja reduzir o nuacutemero de deslocabilidades de uma es-trutura o segundo objetivo eacute o mais importante na presente abordagem O ele-mentos estruturais de um poacutertico real tecircm deformaccedilotildees axiais muito menores do que as deformaccedilotildees transversais por flexatildeo Portanto a consideraccedilatildeo de barras sem deformaccedilatildeo axial (chamadas de barras inextensiacuteveis) eacute uma aproximaccedilatildeo razoaacute-vel para o comportamento de um quadro A hipoacutetese de barras inextensiacuteveis pos-sibilita o entendimento do conceito de contraventamento ou travejamento de poacuterticos que eacute muito importante no projeto de estruturas A apresentaccedilatildeo desse conceito eacute um dos principais objetivos deste capiacutetulo

Aleacutem disso este capiacutetulo apresenta alguns macetes de caacutelculo tal como eliminaccedilatildeo de trechos em balanccedilo que tambeacutem reduzem o nuacutemero de incoacutegnitas na soluccedilatildeo pelo Meacutetodo dos Deslocamentos sem introduzir nenhuma simplificaccedilatildeo quanto ao comportamento das estruturas

71 Classificaccedilatildeo das simplificaccedilotildees adotadas

Pode-se classificar as simplificaccedilotildees adotadas para diminuir o nuacutemero de desloca-bilidades na soluccedilatildeo de uma estrutura reticulada em quatro tipos

bull ldquoEliminaccedilatildeordquo de trechos em balanccedilo

bull Consideraccedilatildeo de barras inextensiacuteveis

bull Eliminaccedilatildeo de deslocabilidades do tipo rotaccedilatildeo de noacutes quando todas as bar-ras adjacentes satildeo articuladas no noacute

bull Consideraccedilatildeo de barras infinitamente riacutegidas

A primeira simplificaccedilatildeo eacute na verdade um macete de caacutelculo visto que trechos em balanccedilo de poacuterticos podem ter seus esforccedilos internos determinados isostaticamente (basta calcular os esforccedilos a partir das extremidades livres do balanccedilo)

A Figura 71 mostra um exemplo dessa simplificaccedilatildeo A estrutura eacute dividida em duas partes o trecho em balanccedilo e o restante O balanccedilo eacute calculado como uma estrutura isostaacutetica engastada no ponto de contato com o restante do poacutertico O poacutertico sem o balanccedilo eacute calculado para uma forccedila e um momento obtidos pelo transporte da forccedila que atua no balanccedilo para o ponto de contato

Luiz Fernando Martha ndash Meacutetodo dos Deslocamentos com Restriccedilotildees nas Deformaccedilotildees ndash 233

l

P

PM = Psdotl

P

Figura 71 ndash Separaccedilatildeo do trecho em balanccedilo de um poacutertico plano

A consequumlecircncia da soluccedilatildeo do poacutertico da Figura 71 com a ldquoeliminaccedilatildeordquo do trecho em balanccedilo eacute evidente Considerando que cada noacute sem restriccedilatildeo de apoio tem 3 deslocabilidades a estrutura completa com balanccedilo tem 21 deslocabilidades A mesma estrutura sem o balanccedilo tem apenas 6 deslocabilidades

Eacute obvio que o caacutelculo de deslocamentos nos pontos do balanccedilo depende da respos-ta do restante da estrutura Entretanto esse caacutelculo pode ser feito por superposi-ccedilatildeo de efeitos somando-se aos deslocamentos do balanccedilo considerado como en-gastado o movimento de corpo riacutegido associado aos deslocamentos e agrave rotaccedilatildeo do ponto de contato do restante do poacutertico com o balanccedilo

72 Consideraccedilatildeo de barras inextensiacuteveis

Uma simplificaccedilatildeo comumente adotada na resoluccedilatildeo manual de estruturas pelo Meacutetodo dos Deslocamentos eacute a de que as barras natildeo se deformam axialmente Essa simplificaccedilatildeo eacute chamada de hipoacutetese de barras inextensiacuteveis e estaacute fundamentada no fato de que as barras usuais de um poacutertico tecircm em geral uma deformaccedilatildeo axial muito menor do que as deformaccedilotildees transversais devidas ao efeito de flexatildeo Um exemplo disso foi mostrado na Seccedilatildeo 4311 do Capiacutetulo 4

Deve-se observar que a soluccedilatildeo de uma estrutura com base nessa hipoacutetese difere um pouco da soluccedilatildeo sem a simplificaccedilatildeo Portanto deve-se tomar cuidado com a adoccedilatildeo dessa hipoacutetese que soacute se justifica para a resoluccedilatildeo manual de poacuterticos pla-nos pequenos

A consideraccedilatildeo de barras sem deformaccedilatildeo axial com o objetivo de diminuir o nuacute-mero de deslocabilidades de uma estrutura reticulada estaacute sempre associada agrave hi-poacutetese de pequenos deslocamentos A combinaccedilatildeo dessas duas simplificaccedilotildees tem como consequumlecircncia uma reduccedilatildeo draacutestica no nuacutemero de deslocabilidades do tipo translaccedilatildeo natildeo afetando o nuacutemero de deslocabilidades do tipo rotaccedilatildeo Isso eacute ex-plicado em seguida


Considere o poacutertico da Figura 72 cujas colunas (barras verticais) por hipoacutetese natildeo tecircm deformaccedilatildeo axial Com essa hipoacutetese a distacircncia entre um noacute superior de um lado da estrutura e o noacute correspondente na base natildeo pode se alterar Como os noacutes da base satildeo fixos os noacutes superiores tecircm seus movimentos restringidos a um arco de ciacuterculo centrado no noacute correspondente da base tal como indica a Figura 72-a Esses arcos de ciacuterculo satildeo os lugares geomeacutetricos (LG) que definem as possiacuteveis posi-ccedilotildees que os noacutes superiores do poacutertico podem ocupar quando se considera as colu-nas inextensiacuteveis

(a) (b)

LG do noacute superior paragrandes deslocamentos

LG do noacute superior parapequenos deslocamentos

Figura 72 ndash Lugares geomeacutetricos (LG) dos noacutes superiores de um poacutertico com colunas inextensiacuteveis

Adotando-se tambeacutem a hipoacutetese de pequenos deslocamentos pode-se aproximar o arco de ciacuterculo por uma tangente ao ciacuterculo tal como indicado na Figura 72-b Dessa forma o LG de um noacute superior eacute uma reta horizontal transversal ao eixo da coluna correspondente

Pode-se generalizar a consequumlecircncia da combinaccedilatildeo da hipoacutetese de barras inexten-siacuteveis com a hipoacutetese de pequenos deslocamentos da seguinte maneira

bull Hipoacutetese de barras inextensiacuteveis (com pequenos deslocamentos) os dois noacutes ex-tremos de uma barra soacute podem se deslocar relativamente na direccedilatildeo trans-versal ao eixo da barra

Com base nessa hipoacutetese analisa-se a configuraccedilatildeo deformada do poacutertico da Figu-ra 73 As trecircs barras do poacutertico satildeo inextensiacuteveis e a solicitaccedilatildeo eacute uma carga hori-zontal P aplicada no topo

b

P b∆ ∆

h

Figura 73 ndash Configuraccedilatildeo deformada (ampliada exageradamente) de um poacutertico com barras

inextensiacuteveis para uma carga horizontal no topo


Observe na Figura 73 que os noacutes superiores na configuraccedilatildeo deformada tecircm a mesma cota vertical h (em relaccedilatildeo agrave base) da configuraccedilatildeo indeformada embora as colunas apresentem deslocamentos transversais por flexatildeo Aparentemente as co-lunas deveriam ter se alongado para isso ser possiacutevel De maneira anaacuteloga os dois noacutes superiores continuam tendo a mesma distacircncia b entre si na configuraccedilatildeo de-formada (os noacutes superiores tecircm o mesmo deslocamento horizontal ∆) embora a viga tenha se deformado transversalmente

Essas aparentes inconsistecircncias soacute fazem sentido se os deslocamentos realmente forem pequenos Na verdade o que se considera com a hipoacutetese de barras inex-tensiacuteveis (com pequenos deslocamentos) eacute a distacircncia na direccedilatildeo do eixo indeformado entre os dois noacutes extremos de uma barra natildeo se altera quando esta se deforma transversal-mente por flexatildeo

A consideraccedilatildeo de barras inextensiacuteveis para a estrutura da Figura 73 resulta na reduccedilatildeo do nuacutemero de deslocabilidades do tipo translaccedilatildeo A Figura 74-a indica as deslocabilidades dessa estrutura para o caso de barras extensiacuteveis e a Figura 74-b indica as deslocabilidades para o caso de barras inextensiacuteveis Neste caso como os LGrsquos dos dois noacutes superiores satildeo retas horizontais esses noacutes natildeo tecircm desloca-mentos verticais Portanto D2 = 0 e D5 = 0 isto eacute duas deslocabilidades do tipo translaccedilatildeo satildeo eliminadas Aleacutem disso os dois noacutes superiores tecircm deslocamentos horizontais que satildeo iguais portanto D4 = D1 Isso elimina mais uma deslocabilida-de do tipo translaccedilatildeo pois o mesmo paracircmetro de deslocabilidade horizontal estaacute associado aos dois noacutes superiores Portanto o nuacutemero de deslocabilidades eacute redu-zido de 6 para 3

D1

D2

D3 D4

D5

D6 D1

D2 = 0

D3

D4 = D1 D6

D5 = 0

(a) (b)

barras extensiacuteveis barras inextensiacuteveis

Figura 74 ndash Reduccedilatildeo do nuacutemero de deslocabilidades para o poacutertico da Figura 73

Como foi dito a consideraccedilatildeo de barras inextensiacuteveis natildeo afeta as deslocabilidades do tipo rotaccedilatildeo Essa hipoacutetese apenas reduz o nuacutemero de deslocabilidades do tipo translaccedilatildeo

Entretanto essa vantagem eacute acompanhada de uma desvantagem que eacute a comple-xidade na identificaccedilatildeo das deslocabilidades do tipo translaccedilatildeo A Seccedilatildeo 722 re-sume as regras que satildeo utilizadas para determinar deslocabilidades do tipo trans-laccedilatildeo em poacuterticos planos com barras inextensiacuteveis


Com a simplificaccedilatildeo de barras inextensiacuteveis eacute feita uma renumeraccedilatildeo das desloca-bilidades resultantes Eacute costume numerar primeiro as deslocabilidades do tipo rotaccedilatildeo e depois as deslocabilidades do tipo translaccedilatildeo Para a estrutura da Figura 73 isso resulta na numeraccedilatildeo mostrada na Figura 75 A Figura 75-a indica as deslocabilidades com a notaccedilatildeo adotada e a Figura 75-b indica a interpretaccedilatildeo fiacutesica das deslocabilidades

D3

D1

D3

D2

(a) (b)

D3 D3

D1 D2

D1 D2

Figura 75 ndash Renumeraccedilatildeo das deslocabilidades para o poacutertico da Figura 73

No restante deste livro a seguinte terminologia seraacute adotada (Suumlssekind 1977-3)

bull Deslocabilidades internas satildeo as deslocabilidades do tipo rotaccedilatildeo

bull Deslocabilidades externas satildeo as deslocabilidades do tipo translaccedilatildeo

bull di nuacutemero total de deslocabilidades internas

bull de nuacutemero total de deslocabilidades externas

Na estrutura da Figura 75 D1 e D2 satildeo deslocabilidades internas D3 eacute uma deslo-cabilidade externa di = 2 e de = 1

721 Exemplo de soluccedilatildeo de poacutertico com barras inextensiacuteveis

Para exemplificar a soluccedilatildeo de um poacutertico plano com barras inextensiacuteveis pelo Meacute-todo dos Deslocamentos o exemplo adotado na Seccedilatildeo 662 seraacute analisado nova-mente O objetivo eacute fazer uma comparaccedilatildeo com a soluccedilatildeo com barras extensiacuteveis do capiacutetulo anterior A Figura 76 mostra o modelo estrutural desse exemplo

Figura 76 ndash Exemplo de poacutertico com barras inextensiacuteveis e articulaccedilatildeo na viga


Assim como na Seccedilatildeo 662 a articulaccedilatildeo do noacute superior direito eacute considerada na extremidade direita da barra horizontal (da viga) A Seccedilatildeo 73 vai mostrar outras possibilidades para considerar essa articulaccedilatildeo

As trecircs barras inextensiacuteveis tecircm a mesma seccedilatildeo transversal com momento de ineacuter-cia I e material com moacutedulo de elasticidade E Na Seccedilatildeo 662 foi adotada uma relaccedilatildeo entre a aacuterea e o momento de ineacutercia da seccedilatildeo transversal dada por AI = 2 m-2 A hipoacutetese de barras inextensiacuteveis eacute anaacuteloga a considerar um valor infinito para essa relaccedilatildeo

A Figura 77 mostra as deslocabilidades e o correspondente Sistema Hipergeomeacute-trico (SH) da estrutura da Figura 76 Observa-se nessa figura que o SH apresenta apenas trecircs apoios fictiacutecios

D3 D1

Deslocabilidades Sistema Hipergeomeacutetrico (SH)

D3D2 3

1 2

Figura 77 ndash Deslocabilidades e Sistema Hipergeomeacutetrico da estrutura da Figura 76

Com respeito agraves deslocabilidades internas as chapas 1 e 2 do SH fixam as rotaccedilotildees D1 e D2 dos noacutes superiores Observa-se que a chapa 2 impede a rotaccedilatildeo da seccedilatildeo do topo da coluna pois a articulaccedilatildeo interna estaacute sendo considerada (modelada) na extremidade direita da viga Vecirc-se que a consideraccedilatildeo de barras inextensiacuteveis natildeo altera a adiccedilatildeo de apoios para o impedimento de deslocabilidades internas na cria-ccedilatildeo do SH uma chapa fictiacutecia eacute adicionada para cada rotaccedilatildeo livre

Por outro lado a adiccedilatildeo de apoios no SH para impedir deslocabilidades externas requer uma anaacutelise adicional Como os noacutes superiores natildeo tecircm deslocamentos ver-ticais (colunas inextensiacuteveis) natildeo eacute necessaacuterio adicionar apoios fictiacutecios para impe-dir esses deslocamentos Aleacutem disso apenas um apoio (o apoio 3) eacute necessaacuterio para fixar o deslocamento horizontal D3 dos dois noacutes superiores Como a viga eacute inextensiacutevel o apoio 3 adicionado no noacute superior esquerdo tambeacutem impede o des-locamento horizontal do noacute superior direito Na verdade o apoio 3 pode ser colo-cado indistintamente em qualquer um dos dois noacutes superiores Nas duas situaccedilotildees o movimento horizontal dos noacutes superiores fica impedido

Esse exemplo mostra que a criaccedilatildeo do SH (e a identificaccedilatildeo das deslocabilidades) de um poacutertico com barras inextensiacuteveis natildeo eacute tatildeo direta como eacute para o caso de bar-ras extensiacuteveis Com barras extensiacuteveis cada noacute superior do poacutertico tem trecircs des-locabilidades (dois deslocamentos e uma rotaccedilatildeo) Portanto a criaccedilatildeo do SH eacute


simples basta adicionar trecircs apoios fictiacutecios por noacute (veja a Figura 629) Jaacute no caso de barras inextensiacuteveis a criaccedilatildeo do SH do exemplo eacute feita em duas fases Na pri-meira satildeo inseridas duas chapas para impedir as deslocabilidades internas Na segunda eacute feita uma anaacutelise para identificar que eacute necessaacuterio inserir apenas um apoio fictiacutecio no SH para fixar a deslocabilidade externa

Essa anaacutelise adicional eacute o preccedilo que se paga para diminuir o nuacutemero de deslocabi-lidades quando se adota a hipoacutetese de barras inextensiacuteveis Isso pode ser relativa-mente complexo no caso geral principalmente quando existirem barras inclinadas A Seccedilatildeo 722 a seguir estabelece regras gerais para a adiccedilatildeo de apoios fictiacutecios no SH para impedir deslocabilidades externas de poacuterticos planos com barras inexten-siacuteveis

Uma vez obtido o SH da estrutura da Figura 76 a metodologia de caacutelculo do Meacute-todo dos Deslocamentos segue o procedimento padratildeo de superposiccedilatildeo de casos baacutesicos Como a estrutura tem trecircs deslocabilidades existem quatro casos baacutesicos o caso (0) isola o efeito da solicitaccedilatildeo externa no SH e os demais casos isolam indi-vidualmente os efeitos das deslocabilidades Isso eacute mostrado a seguir

Caso (0) ndash Solicitaccedilatildeo externa (carregamento) isolada no SH

β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

Figura 78 ndash Caso (0) da estrutura da Figura 76

A Figura 78 mostra que o caso (0) desse exemplo eacute semelhante ao do exemplo da Seccedilatildeo 662 com barras extensiacuteveis A principal diferenccedila estaacute na transmissatildeo dos esforccedilos cortantes das extremidades da viga para esforccedilos normais nas colunas Como natildeo foram adicionados apoios fictiacutecios no SH para impedir os deslocamen-tos verticais dos noacutes superiores a viga vai buscar apoio na base da estrutura Isto eacute os cortantes que devem atuar nas extremidades da viga (com os dois noacutes extre-mos engastados) satildeo fornecidos pelas reaccedilotildees verticais dos apoios originais da base da estrutura Vecirc-se que as colunas por serem inextensiacuteveis tecircm que transmitir via esforccedilo axial as reaccedilotildees da base para os cortantes nas extremidades da viga


Essa anaacutelise leva a concluir que as colunas inextensiacuteveis tecircm esforccedilos normais inde-finidos a priori Isto eacute os esforccedilos normais nas colunas satildeo consequumlecircncia dos esfor-ccedilos cortantes na viga De fato como a barra natildeo tem deformaccedilatildeo axial o seu esfor-ccedilo axial pode assumir qualquer valor

Visto de uma outra forma as colunas inextensiacuteveis satildeo requisitadas a transmitir (via esforccedilo normal) os esforccedilos cortantes das extremidades da viga em substitui-ccedilatildeo aos apoios fictiacutecios que natildeo foram necessaacuterios para criar o SH

Observa-se tambeacutem que a determinaccedilatildeo das reaccedilotildees nos apoios do SH (tanto reais quanto fictiacutecios) eacute feita com base na configuraccedilatildeo deformada que eacute imposta No caso (0) mostrado na Figura 78 as reaccedilotildees verticais da base foram determinadas pelos valores dos esforccedilos cortantes que devem atuar nas extremidades da viga para que ela tenha uma configuraccedilatildeo deformada com todos os noacutes fixos e a solici-taccedilatildeo externa atuando

Isso eacute uma caracteriacutestica do Meacutetodo dos Deslocamentos Eacute sempre assim conhece-se a configuraccedilatildeo deformada e entatildeo se determinam os esforccedilos e reaccedilotildees de apoio

Caso (1) ndash Deslocabilidade D1 isolada no SH

D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

3EI62 3EI62


O caso (1) desse exemplo estaacute mostrado na Figura 79 Os coeficientes de rigidez globais correspondentes a esse caso tambeacutem estatildeo indicados na figura Como no caso (0) acima as reaccedilotildees verticais dos apoios da base satildeo determinadas pelos es-forccedilos cortantes que devem atuar nas extremidades da viga que satildeo transmitidos via esforccedilos normais pelas colunas

Essa transmissatildeo pode ser entendida com base na Figura 710 que mostra as barras do caso (1) isoladas indicando os esforccedilos que atuam nas suas extremidades Ob-serva-se que o coeficiente K11 eacute obtido pela soma dos momentos que devem atuar nas extremidades da viga e da coluna que sofrem a rotaccedilatildeo D1 = 1 que eacute imposta


O coeficiente K21 eacute nulo pois a viga eacute articulada na direita natildeo aparecendo um momento na chapa 2 O coeficiente K31 corresponde ao esforccedilo cortante no topo da coluna da esquerda E finalmente observa-se que os esforccedilos cortantes nas extre-midades da viga correspondem aos esforccedilos normais nas colunas

x D1

D1 = 1

6EI42

2EI4

D1 = 1

3EI623EI62

3EI62

6EI42

4EI4

3EI6

3EI62

3EI62

3EI62

K11 = + 3EI6 + 4EI4

K31 = + 6EI42

Figura 710 ndash Isolamento das barras no caso (1) da estrutura da Figura 76

Eacute interessante comparar esse caso com o correspondente para barras extensiacuteveis indicado na Figura 633 Para barras extensiacuteveis como existem apoios fictiacutecios no SH que impedem os deslocamentos verticais dos noacutes superiores os cortantes nas extremidades da viga natildeo satildeo transmitidos para as colunas e ldquomorremrdquo logo nos apoios adjacentes


D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

06EI42

2EI4+2EI4

+4EI4

0

K12 = 0

K22 = 0 + 4EI4

K32 = + 6EI42

x D2



A Figura 711 indica o caso (2) desse exemplo com os correspondentes coeficientes de rigidez globais A caracteriacutestica mais importante a ser observada nesse caso eacute que o coeficiente de rigidez K32 corresponde ao esforccedilo cortante no topo da coluna da direita Isto eacute o apoio 3 que fica na esquerda do poacutertico estaacute recebendo o es-forccedilo cortante da coluna do outro lado Esse esforccedilo cortante estaacute sendo transmiti-do via esforccedilo normal pela viga tal como eacute mostrado na Figura 712

x D2

2EI4

6EI426EI42

D2 = 1

6EI42

6EI42

4EI4

K22 = + 4EI4

K32 = + 6EI42


Observe que a configuraccedilatildeo deformada do SH nesse caso eacute a mesma que no caso correspondente para barras extensiacuteveis mostrado na Figura 636 Entretanto na-quele caso a viga natildeo eacute solicitada a esforccedilo normal pois existe um apoio adjacente ao noacute superior direito que impede o seu deslocamento horizontal

Esse tipo de anaacutelise evidencia a complexidade adicional da resoluccedilatildeo pelo Meacutetodo dos Deslocamentos para barras inextensiacuteveis A grande vantagem desse meacutetodo era justamente a simplicidade nos procedimentos que podiam ser facilmente au-tomatizados Por isso na implementaccedilatildeo computacional do meacutetodo considera-se em geral barras sem nenhuma restriccedilatildeo nas deformaccedilotildees embora isso acarrete um maior nuacutemero de incoacutegnitas A anaacutelise com a hipoacutetese de barras inextensiacuteveis como dito soacute se justifica na resoluccedilatildeo manual

Existe uma maneira alternativa para se determinar o valor do coeficiente de rigidez K32 que eacute baseada no equiliacutebrio global do SH O ponto de partida dentro da meto-dologia do Meacutetodo dos Deslocamentos eacute sempre a configuraccedilatildeo deformada impos-ta Com base na configuraccedilatildeo deformada do caso (2) na qual eacute imposta uma rota-ccedilatildeo D2 = 1 os esforccedilos cortantes e momentos fletores de todas as barras ficam de-terminados Por conseguinte as reaccedilotildees de apoio na base da estrutura tambeacutem ficam determinadas Nesse caso como mostra a Figura 711 a reaccedilatildeo horizontal na coluna da esquerda eacute nula e a reaccedilatildeo horizontal na coluna da direita eacute igual a 6EI42 da direita para a esquerda Finalmente o coeficiente de rigidez K32 eacute deter-minado impondo que o somatoacuterio de todas as forccedilas horizontais seja nulo

Essa maneira alternativa nem sempre eacute possiacutevel de ser aplicada Nesse caso foi possiacutevel pois existia apenas uma incoacutegnita com relaccedilatildeo ao equiliacutebrio na direccedilatildeo


horizontal Essa alternativa por equiliacutebrio global do SH vai ser salientada em ou-tros exemplos no restante do capiacutetulo


K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3


O uacuteltimo caso desse exemplo eacute mostrado na Figura 713 O caso (3) mostra que a anaacutelise para barras inextensiacuteveis pode ser bastante diferente da anaacutelise para barras extensiacuteveis Com barras inextensiacuteveis quando eacute imposto um deslocamento D3 = 1 no caso (3) os dois noacutes superiores sofrem o mesmo movimento horizontal pois a viga nunca pode ter seu comprimento alterado Isso significa que um deslocamen-to imposto em um noacute pode acarretar um deslocamento de outro noacute o que nunca acontece para o caso de barras extensiacuteveis

Dessa forma as duas colunas satildeo mobilizadas (se deformam) quando o desloca-mento D3 = 1 eacute imposto Por outro lado a viga natildeo se deforma pois as rotaccedilotildees nas extremidades estatildeo fixas tendo apenas um movimento de corpo riacutegido

A Figura 714 explica a determinaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez globais desse caso Como se vecirc nessa figura os coeficientes de rigidez K13 e K23 correspondem aos momentos fletores que devem atuar no topo das colunas quando eacute imposto um deslocamento horizontal unitaacuterio no topo mantendo a rotaccedilatildeo fixa O coeficiente de rigidez K33 corresponde aos esforccedilos cortantes no topo das colunas sendo que o esforccedilo cortante da coluna da direita eacute transmitido ao apoio fictiacutecio 3 do SH via esforccedilo normal na viga

Alternativamente o coeficiente de rigidez K33 pode ser determinado pelo equiliacutebrio global do SH Para tanto as reaccedilotildees horizontais na base do poacutertico ficam determi-nadas a priori pela configuraccedilatildeo deformada das colunas (iguais a 12EI43 da direi-ta para esquerda) A imposiccedilatildeo de somatoacuterio nulo das forccedilas horizontais resulta em K33 = +24EI43


12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42


Equaccedilotildees de equiliacutebrio e determinaccedilatildeo do diagrama de momentos fletores finais

O sistema de equaccedilotildees de equiliacutebrio do Meacutetodo dos Deslocamentos para esse e-xemplo eacute mostrado abaixo com a correspondente soluccedilatildeo para as deslocabilidades (em funccedilatildeo de 1EI)

=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1

Observa-se que os valores das deslocabilidades para a soluccedilatildeo com barras inexten-siacuteveis satildeo ligeiramente diferentes dos valores das deslocabilidades corresponden-tes na soluccedilatildeo com barras extensiacuteveis da Seccedilatildeo 662 do Capiacutetulo 6 A rotaccedilatildeo D1 da presente soluccedilatildeo corresponde agrave rotaccedilatildeo D3 = ndash6875EI do exemplo da Seccedilatildeo 662 A rotaccedilatildeo D2 acima corresponde agrave rotaccedilatildeo D6 = ndash5145EI para barras extensiacuteveis Finalmente o deslocamento horizontal D3 da soluccedilatildeo com barras inextensiacuteveis tem um valor intermediaacuterio entre os valores das deslocabilidades horizontais (D1 = +15655EI e D4 = +13725EI) dos noacutes superiores do poacutertico com barras extensiacute-veis

A configuraccedilatildeo deformada final da estrutura e o diagrama de momentos fletores obtido pela superposiccedilatildeo dos diagramas dos casos baacutesicos dada pela Equaccedilatildeo (64) estatildeo indicados na Figura 715 Comparando essa figura com a Figura 637 da so-luccedilatildeo com barras extensiacuteveis observa-se que os momentos fletores finais das duas soluccedilotildees satildeo proacuteximos


D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283

Diagrama de momentos fletores (traccedilado do lado das fibras tracionadas)

Indicaccedilatildeo dos momentos fletores usando a convenccedilatildeo de sinais

Configuraccedilatildeo deformada (ampliada exageradamente)

Sentidos dos momentos fletores nas extremidades das barras

Figura 715 ndash Configuraccedilatildeo deformada e diagrama de momentos fletores da estrutura da Figura 76

Na comparaccedilatildeo entre as soluccedilotildees do poacutertico analisado com e sem a consideraccedilatildeo da hipoacutetese de barras inextensiacuteveis deve-se levar em conta que na Seccedilatildeo 662 foi adotada uma relaccedilatildeo entre a aacuterea e o momento de ineacutercia da seccedilatildeo transversal dada por AI = 2 m-2 que eacute um valor pequeno em relaccedilatildeo a valores utilizados em estru-turas usuais Quanto maior for esta relaccedilatildeo para uma barra mais proacutexima ela esta-raacute do comportamento inextensiacutevel Apesar disso as diferenccedilas entre as duas solu-ccedilotildees analisadas natildeo satildeo muito grandes Isso demonstra que a hipoacutetese de barras inextensiacuteveis fornece uma boa aproximaccedilatildeo para a soluccedilatildeo de poacuterticos feita manu-almente

722 Regras para determinaccedilatildeo de deslocabilidades externas de poacuterticos planos com barras inextensiacuteveis

No exemplo resolvido na seccedilatildeo anterior foi visto que a identificaccedilatildeo das deslocabi-lidades externas quando se adota a hipoacutetese de barras inextensiacuteveis requer uma anaacutelise adicional para identificar as possiacuteveis translaccedilotildees que os noacutes de um poacutertico podem sofrer O exemplo estudado eacute relativamente simples pois soacute tem uma bar-ra horizontal e duas verticais

O objetivo desta seccedilatildeo eacute estabelecer regras para a identificaccedilatildeo de deslocabilidades externas (translaccedilotildees) de um poacutertico plano qualquer com barras inextensiacuteveis in-cluindo barras inclinadas


Na verdade como vai ser visto a maneira mais simples de se determinar as deslo-cabilidades externas de um poacutertico com barras inextensiacuteveis eacute introduzindo os a-poios fictiacutecios para a criaccedilatildeo do SH a cada apoio necessaacuterio para fixar uma translaccedilatildeo nodal eacute identificada uma deslocabilidade externa

As regras apresentadas a seguir satildeo chamadas de regras de triangulaccedilatildeo Para en-tender essas regras considere o poacutertico com duas barras inextensiacuteveis mostrado na Figura 716

LG do noacute superior comrelaccedilatildeo ao inferior esquerdo

LG do noacute superior comrelaccedilatildeo ao inferior direito

Figura 716 ndash Triangulaccedilatildeo formada por um noacute ligado a dois noacutes fixo por duas barras

De acordo com a hipoacutetese de barras inextensiacuteveis o noacute superior da estrutura da Figura 716 soacute pode se deslocar relativamente ao noacute inferior esquerdo perpendicu-larmente agrave barra da esquerda Isso define um lugar geomeacutetrico (LG) para o noacute su-perior Outro LG eacute definido com relaccedilatildeo ao noacute inferior direito ele soacute pode se des-locar transversalmente agrave barra da direita Como o movimento do noacute superior tem que satisfazer simultaneamente aos seus dois LGrsquos o deslocamento do noacute eacute nulo Isto eacute a uacutenica posiccedilatildeo possiacutevel do noacute na configuraccedilatildeo deformada da estrutura eacute a sua posiccedilatildeo original Portanto o noacute superior natildeo tem deslocabilidades externas

Com base nesse raciociacutenio para impedir deslocabilidades externas de um poacutertico plano com barras inextensiacuteveis satildeo definidas duas regras para a adiccedilatildeo de apoios fictiacutecios no SH

1 Um noacute que estiver ligado a dois noacutes fixos agrave translaccedilatildeo por duas barras inex-tensiacuteveis natildeo alinhadas (formando um triacircngulo) tambeacutem fica fixo agrave transla-ccedilatildeo Portanto natildeo eacute necessaacuterio adicionar um apoio fictiacutecio a esse noacute Caso o noacute soacute esteja ligado a um noacute fixo por uma barra ou a dois noacutes fixos por duas barras alinhadas deve-se adicionar um apoio para impedir o deslocamento na direccedilatildeo transversal ao eixo dessa(s) barra(s)

2 Um conjunto de barras inextensiacuteveis agrupadas em uma triangulaccedilatildeo se comporta como um corpo riacutegido para translaccedilotildees Portanto deve-se procu-rar adicionar apoios para impedir o movimento de corpo riacutegido do conjunto

Alguns exemplos da aplicaccedilatildeo dessas regras satildeo apresentados a seguir para a de-terminaccedilatildeo do SH de poacuterticos com barras inextensiacuteveis As deslocabilidades natildeo satildeo indicadas cada uma eacute identificada por um apoio fictiacutecio necessaacuterio para fixar os noacutes da estrutura


Esses exemplos satildeo analisados apenas com respeito agraves deslocabilidades externas Entretanto as chapas fictiacutecias que satildeo adicionadas para impedir deslocabilidades internas tambeacutem satildeo indicadas Uma chapa fictiacutecia eacute adicionada para cada noacute que tem a sua rotaccedilatildeo livre Os apoios fictiacutecios satildeo numerados da seguinte maneira primeiro numeram-se as chapas que impedem as deslocabilidades internas em seguida os apoios que impedem as deslocabilidades externas satildeo numerados

O primeiro exemplo corresponde a um poacutertico com dois pavimentos Existem trecircs situaccedilotildees pavimentos sem barras diagonais (Figura 717) primeiro pavimento com uma diagonal e segundo pavimento sem diagonal (Figura 718) e os dois pavimen-tos com diagonal (Figura 719)

1 2

3 45

6

Figura 717 ndash SH de um poacutertico com dois pavimentos sem barras diagonais

1 2

4

5

3

Figura 718 ndash SH de um poacutertico com dois pavimentos e uma diagonal no primeiro pavimento

1 2

43

Figura 719 ndash SH de um poacutertico com dois pavimentos e uma diagonal em cada pavimento

No poacutertico da Figura 717 pela regra 1 eacute necessaacuterio adicionar o apoio 5 para impe-dir o movimento horizontal do noacute da esquerda do primeiro pavimento (o noacute que tem a chapa 3) Isso faz com que tambeacutem pela regra 1 o noacute da direita desse pavi-mento natildeo tenha deslocamento Isto eacute o noacute com a chapa 4 tem seus movimentos impedidos pois estaacute ligado por duas barras inextensiacuteveis e natildeo alinhadas a dois noacutes


fixos agrave translaccedilatildeo (o noacute com o apoio 5 e o noacute da base na direita) formando uma triangulaccedilatildeo Portanto natildeo eacute necessaacuterio inserir mais apoios fictiacutecios nesse pavi-mento Observe que o apoio 5 pode ser colocado tanto no noacute da esquerda quanto no da direita para impedir o deslocamento horizontal desse pavimento (os noacutes do pavimento natildeo tecircm deslocamentos verticais pois as colunas satildeo inextensiacuteveis)

Por raciociacutenio anaacutelogo no segundo pavimento do poacutertico da Figura 717 eacute neces-saacuterio adicionar apenas o apoio 6 para fixar os noacutes desse pavimento Parte-se da condiccedilatildeo de que os noacutes do primeiro pavimento jaacute estatildeo fixos

Para essa estrutura contabilizando o nuacutemero de chapas e apoios fictiacutecios que fo-ram inseridos para criar o SH o nuacutemero de deslocabilidades internas eacute di = 4 e o nuacutemero de deslocabilidades externas eacute de = 2

No poacutertico com uma diagonal no primeiro pavimento mostrado na Figura 718 jaacute existe uma triangulaccedilatildeo formada pelos dois noacutes da base com o noacute que tem a chapa 3 Portanto pela regra 1 este noacute jaacute estaacute fixo e natildeo eacute necessaacuterio adicionar um apoio para impedir a translaccedilatildeo horizontal do primeiro pavimento Para o segundo pa-vimento o comportamento eacute igual ao da estrutura anterior e eacute necessaacuterio adicio-nar o apoio 5 fixar os noacutes do pavimento Nesse caso di = 4 e de = 1

No uacuteltimo poacutertico dessa seacuterie o poacutertico com duas diagonais mostrado na Figura 719 observa-se que pela regra 1 de triangulaccedilatildeo natildeo eacute necessaacuterio inserir nenhum apoio para impedir deslocabilidades externas (di = 4 e de = 0) Esse poacutertico por natildeo ter deslocabilidades do tipo translaccedilatildeo eacute chamado de poacutertico indeslocaacutevel (Suumls-sekind 1977-3)

As barras inclinadas dos exemplos acima tecircm a funccedilatildeo de impedir deslocamentos horizontais dos pavimentos Essas barras satildeo chamadas de barras de contraventa-mento ou travejamento em uma alusatildeo ao fato que essas barras enrijecem a estrutu-ra para resistir a cargas laterais de vento Na verdade elas aumentam a rigidez do poacutertico natildeo somente para resistir a cargas laterais mas tambeacutem a cargas verticais que tambeacutem podem provocar deslocamentos horizontais dependendo da configu-raccedilatildeo do poacutertico

O conceito de contraventamento de poacuterticos isto eacute de inserccedilatildeo de barras diagonais em paineacuteis da estrutura eacute muito importante no projeto estrutural principalmente no caso de estruturas metaacutelicas que tecircm as peccedilas estruturais mais esbeltas do que no caso de estruturas de concreto armado por exemplo Eacute necessaacuterio contraventar uma estrutura para impedir o aparecimento de grandes deslocamentos horizontais Um poacutertico sem barras inclinadas de contraventamento pode apresentar apenas por causa das deformaccedilotildees por flexatildeo das barras deslocamentos horizontais muito grandes incompatiacuteveis com o bom funcionamento de uma estrutura civil

Eacute necessaacuterio entender que sempre vatildeo aparecer deslocamentos horizontais em um poacutertico mesmo com barras de contraventamento pois estas tambeacutem se deformam axialmente Entretanto como a deformaccedilatildeo axial de uma barra usual de uma es-


trutura eacute muito menor do que as deformaccedilotildees transversais por flexatildeo os desloca-mentos horizontais satildeo muito menores quando se projeta uma estrutura com bar-ras de contraventamento

Um outro exemplo de um poacutertico contraventado eacute mostrado na Figura 720 Eacute in-teressante observar que para tornar esta estrutura indeslocaacutevel soacute eacute necessaacuterio introduzir uma barra inclinada por pavimento (em apenas um compartimento ou baia por pavimento) Isto eacute como as vigas do pavimento satildeo inextensiacuteveis basta que um noacute do pavimento tenha o seu movimento horizontal impedido para que todos os outros noacutes do pavimento tambeacutem tenham seus deslocamentos horizontais impedidos Na estrutura da Figura 720 por triangulaccedilatildeo o noacute com a chapa 7 estaacute fixo Tambeacutem por triangulaccedilatildeo todos os outros noacutes do pavimento ficam fixos Para o pavimento superior o mesmo raciociacutenio se aplica Partindo do fato de que os noacutes do primeiro pavimento estatildeo fixos observa-se que a uacutenica diagonal do segundo pavimento eacute suficiente para contraventar esse pavimento

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

Figura 720 ndash SH de um poacutertico com dois pavimentos e contraventado em uma baia por pavimento

No contraventamento de poacuterticos eacute comum colocar duas diagonais com inclina-ccedilotildees opostas por pavimento Isso porque dependendo do sentido das cargas late-rais uma diagonal vai trabalhar agrave compressatildeo e a outra agrave traccedilatildeo Esse procedimen-to eacute adotado para evitar que o contraventamento deixe de surtir efeito no caso da diagonal que trabalha agrave compressatildeo perder a estabilidade quando submetida a va-lores altos de esforccedilos axiais (a perda de estabilidade de barras submetidas a esfor-ccedilos de compressatildeo eacute um fenocircmeno que se denomina flambagem) A Figura 721 mostra o exemplo de um poacutertico com dois pavimentos contraventado com dois tirantes por pavimento Um tirante contraventa o pavimento para cargas laterais da esquerda para direita e o outro tirante para cargas laterais no sentido oposto

Figura 721 ndash Poacutertico com dois pavimentos contraventado com dois tirantes por pavimento


A sequumlecircncia de poacuterticos mostrados nas Figuras 722 a 725 analisa a criaccedilatildeo do SH para uma estrutura com trecircs paineacuteis no segundo pavimento mas sem as colunas centrais no primeiro pavimento

9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12

Figura 722 ndash SH de um poacutertico com trecircs paineacuteis sem diagonais

9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

Figura 723 ndash SH de um poacutertico com trecircs paineacuteis e uma diagonal no painel central

9

10

1 2 3 4

5 6 7 8

Figura 724 ndash SH de um poacutertico com trecircs paineacuteis e duas diagonais

9

1 2 3 4

5 6 7 8

Figura 725 ndash SH de um poacutertico com trecircs paineacuteis e trecircs diagonais

O primeiro poacutertico mostrado na Figura 722 natildeo tem barras inclinadas nos paineacuteis Nesse caso o apoio 9 adicionado no noacute da esquerda do primeiro pavimento eacute sufi-ciente para impedir o movimento horizontal de todos os noacutes desse pavimento Entretanto somente os noacutes que tecircm as chapas 5 e 8 tecircm os deslocamentos verticais fixos pois natildeo existem colunas no pavimento inferior para restringir os desloca-mentos verticais dos outros noacutes Portanto os apoios 10 e 11 satildeo inseridos para im-pedir esses deslocamentos verticais Para o segundo pavimento como natildeo existem barras inclinadas eacute necessaacuterio inserir o apoio 12 para impedir o deslocamento ho-


rizontal do pavimento Os deslocamentos verticais de todos os noacutes do segundo pavimento satildeo nulos pois eles estatildeo ligados por colunas (inextensiacuteveis) aos noacutes do primeiro pavimento que estatildeo todos fixos Portanto mais nenhum apoio eacute neces-saacuterio para criar o SH O resultado em termos do nuacutemero de deslocabilidades eacute di = 8 e de = 4

O segundo poacutertico dessa seacuterie (Figura 723) tem uma diagonal no painel central do seu segundo pavimento Apoacutes a inserccedilatildeo dos apoios 10 e 11 essa barra inclinada eacute suficiente para impedir as translaccedilotildees dos noacutes do segundo pavimento Isso por-que por triangulaccedilatildeo o noacute que tem a chapa 2 fica fixo agrave translaccedilatildeo pois estaacute ligado aos noacutes (fixos) que tecircm as chapas 6 e 7 por duas barras natildeo alinhadas Os demais noacutes do segundo pavimento tambeacutem ficam fixos por triangulaccedilatildeo resultando em di = 8 e de = 3

Eacute interessante observar que apoacutes a adiccedilatildeo do apoio 10 o apoio 11 do SH da Figura 723 poderia ter sido colocado alternativamente fixando o movimento horizontal do noacute que tem a chapa 1 Nesse caso por triangulaccedilatildeo os noacutes que tecircm as chapas 2 7 3 e 4 (nesta ordem) tambeacutem ficariam fixos Isso mostra que quando se adota a hipoacutetese de barras inextensiacuteveis natildeo existe soacute um SH possiacutevel embora as alterna-tivas sejam semelhantes como no caso da estrutura da Figura 723

Conforme observado anteriormente essa hipoacutetese elimina em parte a vantagem que o Meacutetodo dos Deslocamentos tem na facilidade de automatizaccedilatildeo dos seus procedimentos A proacutepria anaacutelise que se faz nesta seccedilatildeo explorando as regras de triangulaccedilatildeo mostra que natildeo eacute simples criar um algoritmo para identificar deslo-cabilidades externas em um poacutertico com barras inextensiacuteveis

A Figura 724 mostra o terceiro poacutertico da sequumlecircncia com diagonal nos dois pai-neacuteis da esquerda Nesse caso apoacutes a adiccedilatildeo do apoio 10 o noacute que tem a chapa 1 fica fixo por causa da barra inclinada no painel da esquerda Depois disso assim como para o SH da Figura 723 os demais noacutes tambeacutem ficam fixos resultando em di = 8 e de = 2

Finalmente na Figura 725 vecirc-se o SH do poacutertico com diagonal nos trecircs paineacuteis Intuitivamente (pela sequumlecircncia de poacuterticos estudada) eacute de se imaginar que o nuacute-mero de deslocabilidades externas desse poacutertico seja de = 1 Entretanto mesmo depois de adicionar o apoio 9 para prender o movimento horizontal do primeiro pavimento natildeo eacute possiacutevel encontrar outro noacute que se ligue a dois noacutes fixos por duas barras natildeo alinhadas A uacutenica maneira de demonstrar que de = 1 eacute lanccedilando matildeo da regra 2 que ateacute agora natildeo foi utilizada Observe que o conjunto de barras dos trecircs paineacuteis forma uma triangulaccedilatildeo completa Esse conjunto pela regra 2 tem um comportamento de corpo riacutegido para translaccedilotildees Para prender os movimento de corpo riacutegido desse conjunto considerando que os deslocamentos verticais dos noacutes do topo das colunas inextensiacuteveis do primeiro pavimento satildeo nulos vecirc-se que soacute eacute necessaacuterio fixar o movimento horizontal em um ponto o que eacute feito pelo apoio 9 Aliaacutes esse apoio poderia ser colocado em qualquer noacute da triangulaccedilatildeo


Dois exemplos adicionais satildeo considerados para exemplificar a criaccedilatildeo de SH para poacuterticos planos com barras inextensiacuteveis Eles estatildeo mostrados nas Figuras 726 e 727

1 2

3 47

8

56

Figura 726 ndash SH de um poacutertico com um apoio simples do 1ordm gecircnero

O poacutertico da Figura 726 eacute semelhante ao poacutertico da Figura 717 com exceccedilatildeo de que o suporte da direita eacute um apoio simples que soacute restringe o deslocamento verti-cal do noacute (apoio do 1ordm gecircnero) Nesse caso na criaccedilatildeo do SH tanto a deslocabili-dade interna quanto o deslocamento horizontal desse noacute tecircm que ser fixados (cha-pa 5 e apoio 6)

1

2 3 54

1

2 3 5

4

Figura 727 ndash Duas opccedilotildees para SH de um poacutertico com vigas inclinadas

Por uacuteltimo a Figura 727 mostra um poacutertico com duas vigas inclinadas mas sem uma barra horizontal que una os noacutes no topo das colunas Pela regra 1 de triangu-laccedilatildeo eacute preciso inserir o apoio 4 e o apoio 5 para impedir os deslocamentos hori-zontais desses noacutes tal como indicado no centro da figura O noacute que tem a chapa 1 fica fixo apoacutes a inserccedilatildeo desses apoios Alternativamente conforme indicado agrave direita da figura pode-se fixar os movimentos do noacute com a chapa 1 com os apoios 4 (horizontal) e 5 (vertical) Isso fixa por triangulaccedilatildeo os dois outros noacutes

73 Simplificaccedilatildeo para articulaccedilotildees completas

Na Seccedilatildeo 721 foi analisado um poacutertico simples com barras inextensiacuteveis e uma articulaccedilatildeo (roacutetula) interna Essa articulaccedilatildeo embora tenha sido considerada na extremidade direita da viga (veja a Figura 76) tambeacutem articulou a seccedilatildeo no topo da coluna da direita De fato o momento fletor final no topo da coluna tambeacutem eacute nulo (veja a Figura 715) Esse resultado eacute oacutebvio uma roacutetula na qual convergem duas barras articula as seccedilotildees adjacentes de ambas as barras


Mas fica a pergunta e se a seccedilatildeo no topo da coluna tambeacutem tivesse sido modelada com uma roacutetula Pela observaccedilatildeo acima isso seria uma redundacircncia visto que uma uacutenica roacutetula jaacute eacute suficiente para articular a seccedilatildeo da extremidade direita da viga e a seccedilatildeo no topo da coluna

Entretanto conforme seraacute mostrado nesta seccedilatildeo essa redundacircncia pode resultar na diminuiccedilatildeo de uma deslocabilidade interna na soluccedilatildeo do problema a rotaccedilatildeo do noacute completamente articulado Isso se configura em um macete de caacutelculo que natildeo modifica os resultados

Para justificar esse ldquotruquerdquo de caacutelculo a roacutetula da estrutura da Seccedilatildeo 721 vai ser modelada de mais duas formas diferentes uma com a coluna articulada e outra com a viga e a coluna articuladas Portanto ao todo satildeo mostradas trecircs maneiras de se considerar a articulaccedilatildeo da estrutura da Figura 76

(a) Viga articulada na extremidade direita e coluna direita natildeo articulada (jaacute mostrado na Seccedilatildeo 721)

(b) Coluna direita articulada no topo e viga natildeo articulada (Seccedilatildeo 731)

(c) Viga e coluna articuladas no noacute superior direito (Seccedilatildeo 732)

731 Poacutertico com articulaccedilatildeo no topo de uma coluna

Como dito a mesma estrutura analisada na Seccedilatildeo 721 vai ser analisada nesta se-ccedilatildeo A diferenccedila eacute que nesta seccedilatildeo a articulaccedilatildeo interna vai ser considerada no to-po da coluna direita tal como indicado na Figura 728 ao inveacutes de consideraacute-la na extremidade direita da viga A soluccedilatildeo (b) com a roacutetula no topo da coluna eacute seme-lhante agrave soluccedilatildeo (a) comentada na Seccedilatildeo 721 Portanto apenas alguns pontos em que as duas soluccedilotildees diferem entre si seratildeo salientados

Figura 728 ndash Exemplo de poacutertico com barras inextensiacuteveis e articulaccedilatildeo em coluna

As deslocabilidades da estrutura satildeo basicamente as mesmas da soluccedilatildeo (a) (veja a Figura 77) excetuando-se o fato de que a rotaccedilatildeo D2 agora corresponde agrave rotaccedilatildeo da seccedilatildeo da extremidade direita da viga Como consequumlecircncia a chapa 2 do SH da


soluccedilatildeo (b) fica acima da roacutetula no topo da coluna da direita Isso pode ser visto nas figuras dos casos baacutesicos dessa soluccedilatildeo mostrados a seguir


β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0

β10 = + 30 kNm β20 = minus 30 kNm β30 = minus 10 kN

31 2


O caso (0) da soluccedilatildeo (b) mostrado na Figura 729 difere do caso (0) da soluccedilatildeo (a) (Figura 78) nos momentos de engastamento da viga que agora eacute considerada sem articulaccedilatildeo Por conseguinte os termos de carga β10 e β20 mostrados na Figura 729 correspondem agrave soluccedilatildeo de viga biengastada O termo de carga β30 eacute igual ao da soluccedilatildeo (a)


D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62


O caso (1) da soluccedilatildeo (b) com articulaccedilatildeo na coluna (Figura 730) tambeacutem difere do caso (1) da soluccedilatildeo (a) (Figura 79) somente na viga que agora se comporta como


uma barra biengastada Isso altera os coeficientes de rigidez K11 e K21 Este uacuteltimo eacute nulo na soluccedilatildeo (a) e diferente de zero na soluccedilatildeo (b)


D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62


O caso (2) das soluccedilotildees com articulaccedilatildeo na viga (Figura 711) e com articulaccedilatildeo na coluna (Figura 731) satildeo bastante diferentes Na primeira soluccedilatildeo a rotaccedilatildeo D2 = 1 eacute imposta no topo da coluna e na segunda a rotaccedilatildeo D2 = 1 eacute imposta na seccedilatildeo da extremidade direita da viga Com isso o coeficiente de rigidez K12 natildeo eacute mais nulo como eacute na soluccedilatildeo (a) e o coeficiente de rigidez global K22 agora corresponde ao coeficiente de rigidez agrave rotaccedilatildeo da viga e natildeo da coluna como eacute na soluccedilatildeo (a)

Uma outra diferenccedila marcante eacute o fato da coluna da direita natildeo sofrer flexatildeo na soluccedilatildeo (b) natildeo aparecendo tambeacutem esforccedilo cortante nessa coluna Dessa forma o coeficiente de rigidez global K32 que estaacute associado ao esforccedilo cortante no topo da coluna eacute nulo na soluccedilatildeo (b)

Tambeacutem se observa que natildeo existem reaccedilotildees de apoio horizontais no caso (2) da Figura 731 mostrando de forma alternativa que por equiliacutebrio global de forccedilas na direccedilatildeo horizontal o coeficiente K32 eacute igual a zero


Finalmente o caso (3) da soluccedilatildeo (b) mostrado na Figura 732 difere do caso (3) da soluccedilatildeo (a) apenas no comportamento da coluna da direita Com isso o coeficiente de rigidez global K23 eacute nulo na soluccedilatildeo (b) pois o topo da coluna eacute articulado O coeficiente de rigidez K33 tambeacutem eacute diferente pois o esforccedilo cortante na coluna da direita agora corresponde ao de uma barra com engaste na base e articulaccedilatildeo no topo


K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3


Equaccedilotildees de equiliacutebrio

Com base nos casos baacutesicos da soluccedilatildeo (b) para o exemplo que estaacute sendo analisa-do monta-se o correspondente sistema de equaccedilotildees de equiliacutebrio Isso estaacute indica-do abaixo juntamente com os valores obtidos para as deslocabilidades (em funccedilatildeo de 1EI)

=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1

Nota-se que os valores obtidos para a rotaccedilatildeo D1 e para o deslocamento horizontal D3 satildeo os mesmos obtidos na soluccedilatildeo (a) (Seccedilatildeo 721) Entretanto o valor obtido para a rotaccedilatildeo D2 difere do valor obtido anteriormente Isso era esperado haja vis-ta que essa rotaccedilatildeo tem interpretaccedilotildees fiacutesicas diferentes nas duas soluccedilotildees tal como indicado na Figura 733 Essa figura mostra as configuraccedilotildees deformadas da solu-ccedilatildeo (a) ndash viga articulada ndash e da soluccedilatildeo (b) ndash coluna articulada

Configuraccedilatildeo deformada (viga articulada)

D3

D1

D1

D3

Configuraccedilatildeo deformada (coluna articulada)

D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD

Figura 733 ndash Configuraccedilotildees deformadas das estruturas das Figuras 76 e 728


Observa-se na Figura 733 que a rotaccedilatildeo D2 da soluccedilatildeo (a) eacute no sentido horaacuterio cor-respondendo ao valor negativo )(

2aD = ndash5666EI enquanto que na soluccedilatildeo (b) o

sentido eacute anti-horaacuterio compatiacutevel com o valor positivo )(2bD = +7888EI Fica cla-

ro na figura que )(2aD corresponde agrave rotaccedilatildeo da seccedilatildeo do topo da coluna quando a

articulaccedilatildeo pertence agrave viga e que )(2bD corresponde agrave rotaccedilatildeo na extremidade direi-

ta da viga para o caso da articulaccedilatildeo pertencer agrave coluna Portanto os valores de D2 tinham mesmo que ser diferentes nas duas soluccedilotildees

Apesar disso como natildeo podia deixar de ser os resultados finais para os esforccedilos internos (e reaccedilotildees de apoio) obtidos pela soluccedilatildeo (b) satildeo os mesmos da soluccedilatildeo (a) Por exemplo pode-se verificar que a superposiccedilatildeo dos diagramas de momentos fletores (M = M0 + M1D1 + M2D2 + M3D3) da soluccedilatildeo (b) resulta no mesmo dia-grama da soluccedilatildeo (a) mostrado na Figura 715

732 Poacutertico com articulaccedilatildeo dupla na viga e coluna

Finalmente o poacutertico analisado nas Seccedilotildees 721 e 731 seraacute analisado nesta seccedilatildeo considerando que tanto a viga quanto a coluna da direita contecircm uma roacutetula no noacute superior direito ndash soluccedilatildeo (c) Conforme mencionado anteriormente o objetivo dessa anaacutelise eacute justificar um ldquotruquerdquo de caacutelculo que ldquoeliminardquo a deslocabilidade interna de um noacute com articulaccedilatildeo completa (com as seccedilotildees adjacentes rotuladas)

O modelo estrutural da soluccedilatildeo (c) estaacute mostrado na Figura 734 onde a articulaccedilatildeo completa do noacute superior direito estaacute indicada As Figuras 735 736 737 e 738 mostram os casos (0) (1) (2) e (3) respectivamente

Figura 734 ndash Exemplo de poacutertico com barras inextensiacuteveis e articulaccedilatildeo dupla na viga e coluna

Quase todos os casos baacutesicos da soluccedilatildeo (c) tecircm aspectos semelhantes aos da solu-ccedilatildeo (a) ou da soluccedilatildeo (b) Por exemplo o caso (0) mostrado na Figura 735 tem os mesmos resultados do caso (0) da soluccedilatildeo (a) (Figura 78)

Salienta-se o fato de que tudo o que se refere agrave deslocabilidade D2 na soluccedilatildeo (c) eacute nulo Dessa forma o termo de carga β20 eacute igual a zero O coeficiente de rigidez K21 do caso (1) (Figura 736) que eacute semelhante ao caso (1) da soluccedilatildeo (a) (Figura 79)


tambeacutem eacute nulo Analogamente no caso (3) (Figura 738) que eacute semelhante ao caso (3) da soluccedilatildeo (b) (Figura 732) o coeficiente K23 = 0

O uacutenico caso baacutesico da soluccedilatildeo (c) que natildeo tem semelhante nas outras soluccedilotildees eacute o caso (2) mostrado na Figura 737 Observa-se nesse caso que natildeo existe resistecircncia do SH para a rotaccedilatildeo D2 = 1 que eacute imposta Portanto os coeficientes de rigidez desse caso satildeo nulos assim como os momentos fletores (ou qualquer outro esforccedilo interno) pois as barras natildeo tecircm deformaccedilatildeo


β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0



O sistema de equaccedilotildees de equiliacutebrio da soluccedilatildeo (c) eacute indicado abaixo

=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI


Observa-se que a matriz de rigidez global desse sistema de equaccedilotildees eacute singular pois tem a segunda linha e a segunda coluna nulas Isso quer dizer que esse siste-ma pelo menos na forma como estaacute apresentado natildeo tem soluccedilatildeo Na verdade isso eacute consistente com o fato da articulaccedilatildeo estar sendo considerada de forma re-dundante

Entretanto se a segunda linha da equaccedilatildeo for eliminada bem como a influecircncia da deslocabilidade D2 (eliminando a segunda coluna da matriz) isso resulta em um sistema de equaccedilotildees que tem soluccedilatildeo para D1 e D3

=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1

Nota-se que os valores de D1 e D3 satildeo os mesmos obtidos nas soluccedilotildees (a) e (b) Os momentos fletores (ou qualquer outro esforccedilo interno ou reaccedilotildees de apoio) tam-beacutem resultam nos mesmos valores obtidos nas outras soluccedilotildees Tambeacutem se obser-va que na soluccedilatildeo (c) a superposiccedilatildeo envolve apenas trecircs casos M = M0 + M1D1 + M3D3

Este eacute justamente o macete de caacutelculo simplesmente desconsidera-se a deslocabilidade interna de um noacute completamente articulado Esta eacute a terceira simplificaccedilatildeo adotada quando se resolve manualmente uma estrutura pelo meacutetodo dos deslocamentos Como visto na anaacutelise desta seccedilatildeo essa simplificaccedilatildeo natildeo modifica os resultados apenas deixa uma deslocabilidade interna indefinida

Quando se adota essa simplificaccedilatildeo entretanto devem-se tomar alguns cuidados Por exemplo soacute se pode fazer a simplificaccedilatildeo quando realmente todas as barras que chegam no noacute tecircm as seccedilotildees adjacentes articuladas Por exemplo a Figura 739 mostra um exemplo em que somente uma barra eacute articulada em um noacute e um e-xemplo correspondente onde todas as barras satildeo articuladas nesse noacute Os SHrsquos dos dois casos estatildeo tambeacutem indicados na figura No primeiro caso a deslocabilidade interna do noacute com articulaccedilatildeo tem que ser considerada e no segundo caso essa deslocabilidade pode ser eliminada

1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)

Figura 739 ndash Estrutura em que natildeo se pode desconsiderar a rotaccedilatildeo do noacute da articulaccedilatildeo (a) e

estrutura em que a simplificaccedilatildeo pode ser feita (b)


Outro macete de caacutelculo pode ser feito no caso de um apoio simples do 2ordm gecircnero (apoio que fixa deslocamentos e libera a rotaccedilatildeo) no qual converge apenas uma barra O ldquotruquerdquo consiste em interpretar a liberaccedilatildeo da rotaccedilatildeo como uma articu-laccedilatildeo da barra considerando o apoio como um engaste Isso eacute exemplificado na Figura 740 Dessa forma elimina-se a deslocabilidade interna do noacute do apoio

1 2 3

Interpretaccedilatildeo SH

Figura 740 ndash Simplificaccedilatildeo para o caso de apoio do 2ordm gecircnero no qual soacute converge uma barra

Nos exemplos mostrados neste e no proacuteximo capiacutetulo essa interpretaccedilatildeo estaraacute sendo feita implicitamente sem que se desenhe o apoio como um engaste e a barra articulada na extremidade do apoio Entretanto seraacute dessa forma que a barra esta-raacute sendo considerada

Essa simplificaccedilatildeo tambeacutem deve ser usada com cuidado A Figura 741 mostra um exemplo em que duas barras convergem para um noacute com um apoio do 2ordm gecircnero sem que exista uma articulaccedilatildeo Nesse caso o ldquotruquerdquo natildeo eacute possiacutevel e a desloca-bilidade interna do noacute do apoio deve ser considerada

1 2

3

SH

Figura 741 ndash Situaccedilatildeo em que natildeo eacute possiacutevel adotar a simplificaccedilatildeo para apoio do 2ordm gecircnero

733 Exemplo de soluccedilatildeo de poacutertico com duas articulaccedilotildees

Esta seccedilatildeo mostra um exemplo de soluccedilatildeo de uma estrutura com barras inextensiacute-veis em que se adota a simplificaccedilatildeo para noacutes completamente articulados O mo-delo estrutural e sua soluccedilatildeo estatildeo mostrados na Figura 742 Todas as barras tecircm a mesma ineacutercia agrave flexatildeo EI onde E eacute o moacutedulo de elasticidade do material e I eacute o momento de ineacutercia da seccedilatildeo transversal das barras Existe uma articulaccedilatildeo inter-na e uma articulaccedilatildeo externa (apoio do 2ordm gecircnero no qual converge apenas uma barra) De acordo com a simplificaccedilatildeo que foi introduzida na seccedilatildeo anterior nos dois noacutes correspondentes a essas articulaccedilotildees as deslocabilidades internas natildeo se-ratildeo consideradas


1 2 SH

Sistema Hipergeomeacutetrico


=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1

Momentos Fletores Finais 22110 DMDMMM sdot+sdot+=

[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm

Caso (0) ndash Solicitaccedilatildeo externa isolada no SH

10middot4middot(58) = 25

12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12

K22 = +18EI43ndash6EI42

-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1

Figura 742 ndash Soluccedilatildeo de um poacutertico com uma articulaccedilatildeo interna e outra externa


Na soluccedilatildeo mostrada na Figura 742 deve-se observar que o termo de carga β20 e os coeficientes de rigidez K21 e K22 podem ser calculados de duas maneiras Eles po-dem ser determinados pela soma dos esforccedilos cortantes que atuam nas colunas no niacutevel do pavimento ou podem ser calculados impondo-se o equiliacutebrio global do SH na direccedilatildeo horizontal (Σ Fx = 0)

Por exemplo no caso (0) pela soma dos cortantes nas colunas no niacutevel do pavimen-to β20 = ndash104(38) ndash 1242 = ndash39 kN Pelo equiliacutebrio global deve-se considerar todas as forccedilas horizontais atuantes inclusive as resultantes das cargas distribuiacute-das Σ Fx = β20 + 104 + 124 ndash 104(58) ndash 1242 = 0 Isso resulta no mesmo valor para β20

74 Consideraccedilatildeo de barras infinitamente riacutegidas

O uacuteltimo tipo de simplificaccedilatildeo adotada para reduzir o nuacutemero de deslocabilidades na soluccedilatildeo de um poacutertico pelo Meacutetodo dos Deslocamentos eacute a consideraccedilatildeo de bar-ras com rigidez infinita isto eacute de barras que natildeo tecircm nenhuma deformaccedilatildeo Essa consideraccedilatildeo natildeo eacute feita para todas as barras de um poacutertico e soacute faz sentido para um caso especial de anaacutelise simplificada do comportamento global do poacutertico

Por exemplo na anaacutelise de um preacutedio para cargas laterais (de vento por exemplo) pode-se considerar que o conjunto de lajes e vigas de um pavimento do preacutedio forma um diafragma riacutegido quando o poacutertico se desloca lateralmente Em outras palavras em situaccedilotildees especiais o pavimento pode ser considerado como um ele-mento infinitamente riacutegido em comparaccedilatildeo com as colunas do preacutedio (elementos estruturais que tecircm deformaccedilotildees transversais por flexatildeo)

Para entender como a consideraccedilatildeo de pavimentos ou barras riacutegidas influencia a determinaccedilatildeo das deslocabilidades de um poacutertico o exemplo da Figura 743 vai ser analisado Nesse poacutertico as colunas satildeo inextensiacuteveis com uma ineacutercia agrave flexatildeo EI constante A viga eacute considerada como uma barra infinitamente riacutegida A solicita-ccedilatildeo externa eacute uma carga horizontal P atuando no pavimento riacutegido

P

b

h

Figura 743 ndash Poacutertico com uma viga infinitamente riacutegida


Considerando que as colunas do poacutertico da Figura 743 satildeo inextensiacuteveis os noacutes do pavimento do poacutertico soacute podem se deslocar na direccedilatildeo horizontal Isso impede a rotaccedilatildeo da viga como um corpo riacutegido Portanto o uacutenico movimento que a viga infinitamente riacutegida pode ter eacute o deslocamento horizontal mostrado na Figura 744

D1D1

Figura 744 ndash Configuraccedilatildeo deformada da estrutura da Figura 743

Vecirc-se na configuraccedilatildeo deformada mostrada na Figura 744 que os noacutes do pavimen-to natildeo sofrem rotaccedilotildees pois a viga se desloca horizontalmente mantendo-se reta (eacute uma barra que natildeo pode se deformar) Dessa forma a estrutura soacute tem uma deslo-cabilidade que eacute o deslocamento horizontal D1 do pavimento

Atraveacutes dessa anaacutelise pode-se avaliar como a consideraccedilatildeo de barras infinitamente riacutegidas influencia na reduccedilatildeo do nuacutemero de deslocabilidades de um poacutertico Se as barras do poacutertico adotado como exemplo natildeo tivessem nenhuma restriccedilatildeo quanto agraves suas deformaccedilotildees o nuacutemero total de deslocabilidades seria 6 (3 em cada noacute do pavimento) Considerando as trecircs barras sem deformaccedilatildeo axial o nuacutemero de des-locabilidades reduz para 3 (veja a Figura 75) Finalmente com a consideraccedilatildeo da viga infinitamente riacutegida o nuacutemero de deslocabilidades se reduz a 1

Eacute evidente que tanto a hipoacutetese de barras inextensiacuteveis quanto a consideraccedilatildeo de barra com rigidez infinita modificam os resultados da soluccedilatildeo de um poacutertico quando comparados com a soluccedilatildeo sem essas simplificaccedilotildees As restriccedilotildees nas de-formaccedilotildees de barras devem ser consideradas tendo com objetivo uma anaacutelise sim-plificada em geral relacionada com a resoluccedilatildeo manual de uma estrutura

Outro ponto a ser considerado eacute que a identificaccedilatildeo das deslocabilidades de poacuterti-cos com barras infinitamente riacutegidas soacute pode ser feita caso a caso Muitas vezes eacute necessaacuterio visualizar a priori (atraveacutes de esboccedilos por exemplo) a configuraccedilatildeo de-formada de uma estrutura para identificar suas deslocabilidades Seria muito difiacute-cil estabelecer regras a para determinaccedilatildeo de deslocabilidades de poacuterticos que tecircm pelo menos uma barra riacutegida tal como foi feito na Seccedilatildeo 722 para poacuterticos com apenas barras inextensiacuteveis

Apesar disso para poacuterticos simples com poucas barras infinitamente riacutegidas natildeo eacute difiacutecil identificar as deslocabilidades Assim como para poacuterticos soacute com barras i-nextensiacuteveis a maneira mais simples de se determinar as deslocabilidades de um poacutertico com barras inextensiacuteveis e riacutegidas eacute introduzindo os apoios fictiacutecios para a criaccedilatildeo do SH a cada apoio necessaacuterio para fixar os noacutes da estrutura eacute identificada uma


deslocabilidade Isso vai ser considerado nos exemplos que contecircm barras infinita-mente riacutegidas deste capiacutetulo

Voltando ao poacutertico da Figura 743 a sua soluccedilatildeo recai na superposiccedilatildeo dos casos (0) e (1) mostrados nas Figuras 745 e 746 O SH desse exemplo estaacute mostrado na Figura 745 onde soacute foi necessaacuterio adicionar um apoio fictiacutecio (o apoio 1) para fixar a estrutura podendo-se identificar dessa forma a deslocabilidade D1 Como os noacutes superiores da estrutura natildeo tecircm rotaccedilotildees natildeo eacute necessaacuterio inserir chapas fictiacutecias (que fixam deslocabilidades internas) no SH


Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1

Figura 745 ndash Sistema Hipergeomeacutetrico (SH) e caso (0) da estrutura da Figura 743


K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2

12EIh3 6EIh2 12EIh3 6EIh2

12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1

12EI(h2middotb) 12EI(h2middotb)

12EI(h2middotb) 12EI(h2middotb) 12EI(h2middotb)


D1 = 1 D1 = 1


O fato de natildeo existirem chapas fictiacutecias no SH faz com que a determinaccedilatildeo dos es-forccedilos nas barras no caso (1) (Figura 746) exija uma anaacutelise mais detalhada Como sempre no Meacutetodo dos Deslocamentos o ponto de partida para a soluccedilatildeo de cada caso baacutesico eacute a configuraccedilatildeo deformada que eacute imposta Nesse caso eacute imposto um deslocamento D1 = 1 As colunas do poacutertico satildeo deformadas de tal maneira que haacute um deslocamento transversal nos noacutes superiores sem que eles girem A viga se desloca como um corpo riacutegido


Com base na configuraccedilatildeo deformada das colunas no caso (1) os esforccedilos cortantes e momentos fletores nas suas extremidades satildeo conhecidos (coeficientes de rigidez de barra ndash veja a Figura 430 do Capiacutetulo 4) Por outro lado o fato da viga natildeo ter deformaccedilatildeo por flexatildeo natildeo acarreta a condiccedilatildeo de momentos fletores nulos Assim como para colunas inextensiacuteveis os esforccedilos normais natildeo satildeo conhecidos a priori os momentos fletores na viga riacutegida tambeacutem natildeo podem ser determinados antecipa-damente De fato a viga riacutegida pode ter qualquer distribuiccedilatildeo para momentos fle-tores jaacute que ela sempre se manteacutem reta Assim os momentos fletores na viga riacutegi-da devem ser determinados para satisfazer o equiliacutebrio da estrutura

Isso pode ser entendido com base no isolamento das barras no caso (1) tal como indicado na Figura 746 A viga riacutegida tem que ter momentos nas suas extremida-des de forma a estabelecer o equiliacutebrio de momentos nos noacutes superiores Assim os sentidos dos momentos fletores que atuam nas seccedilotildees da viga satildeo sempre opostos aos sentido dos momentos nas colunas Utilizando a convenccedilatildeo de sinais do Meacute-todo dos Deslocamentos os momentos fletores do diagrama M1 tecircm sinais positi-vos nas colunas e negativos na viga resultando em um somatoacuterio de momentos nulos em cada noacute

Essa anaacutelise pode ser vista de uma outra maneira A presenccedila da viga riacutegida fez com que natildeo fosse necessaacuterio inserir chapas fictiacutecias no SH para impedir deslocabi-lidades internas Entatildeo a viga riacutegida tem que fazer o papel das chapas fictiacutecias Esse papel eacute feito equilibrando os momentos fletores que atuam nas colunas para a configuraccedilatildeo deformada imposta

O isolamento das barras na Figura 746 tambeacutem mostra que devem aparecer esfor-ccedilos cortantes nas extremidades da viga riacutegida que satildeo transmitidos via esforccedilo normal nas colunas para os apoios da base

A determinaccedilatildeo do coeficiente de rigidez K11 pode ser feita de duas maneiras Ele pode ser obtido pela soma dos esforccedilos cortantes no topo das colunas ou pelo equi-liacutebrio global de forccedilas horizontais De ambas as maneiras o valor resultante eacute K11 = +24EIh3

Equaccedilatildeo de equiliacutebrio e determinaccedilatildeo do diagrama de momentos fletores finais

Com base na superposiccedilatildeo dos casos baacutesicos (0) e (1) eacute estabelecido o equiliacutebrio da estrutura original Isso eacute feito obrigando o efeito final do apoio fictiacutecio na estrutura ser igual a zero

011110 =+ DKβ ( ) 024 13 =sdot+minusrArr DhEIP

A soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo de equiliacutebrio resulta no valor da deslocabilidade da estru-tura

EIhPD

24

3

1sdot+=


Finalmente o diagrama de momentos fletores mostrado na Figura 747 eacute obtido com base na relaccedilatildeo M = M0 + M1D1 onde nesse exemplo M0 = 0 Eacute interessante observar que os valores dos momentos fletores independem da largura b do poacuterti-co

+Pmiddoth4 ndashPmiddoth4 ndashPmiddoth4

+Pmiddoth4

+Pmiddoth4+Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M

Figura 747 ndash Diagrama de momentos fletores da estrutura da Figura 743

741 Exemplo de soluccedilatildeo de poacutertico com dois pavimentos Esta seccedilatildeo analisa uma estrutura com dois pavimentos riacutegidos mostrada na Figura 748 As colunas satildeo inextensiacuteveis com uma ineacutercia agrave flexatildeo EI constante

Figura 748 ndash Poacutertico com dois pavimentos riacutegidos

Diferentes condiccedilotildees de articulaccedilatildeo satildeo consideradas para as colunas A coluna do segundo pavimento agrave esquerda eacute articulada no topo No mesmo pavimento a co-luna da direita eacute articulada na base A coluna da esquerda no primeiro pavimento eacute considerada articulada na base (apoio do 2ordm gecircnero) A uacutenica coluna que natildeo tem articulaccedilatildeo eacute a coluna do primeiro pavimento agrave direita

A soluccedilatildeo dessa estrutura pelo Meacutetodo dos Deslocamentos estaacute mostrada na Figu-ra 749 As uacutenicas deslocabilidades satildeo os deslocamentos horizontais D1 e D2 dos dois pavimentos Isso eacute identificado pelos apoios fictiacutecios 1 e 2 do SH necessaacuterios para fixar os deslocamentos horizontais dos pavimentos Como os noacutes da estrutu-ra natildeo tecircm deslocamentos verticais (colunas inextensiacuteveis) e as vigas satildeo infinita-


mente riacutegidas natildeo satildeo necessaacuterios mais apoios para prender a estrutura Portanto soacute existem duas deslocabilidades


=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48

Figura 749 ndash Soluccedilatildeo da estrutura da Figura 748


Na soluccedilatildeo do poacutertico com dois pavimentos mostrada na Figura 749 observa-se que no caso (0) os momentos fletores satildeo nulos pois as colunas natildeo tecircm deforma-ccedilotildees nem cargas no seu interior Nesse caso as forccedilas horizontais aplicadas satildeo transmitidas via esforccedilo normal nas vigas riacutegidas diretamente para os apoios fictiacute-cios do SH As reaccedilotildees nos apoios fictiacutecios satildeo os termos de carga β10 e β20

Nos casos (1) e (2) o ponto de partida satildeo as deformaccedilotildees conhecidas que satildeo im-postas para as colunas Essas deformaccedilotildees induzem momentos fletores e esforccedilos cortantes nas extremidades das colunas (coeficientes de rigidez de barras com e sem articulaccedilatildeo ndash veja as Figuras 430 432 e 434 do Capiacutetulo 4) Os momentos fletores que aparecem nas extremidades das vigas riacutegidas satildeo tais que equilibram os momentos nas extremidades das colunas Isto eacute os momentos fletores dos dia-gramas M1 e M2 que aparecem nas extremidades das vigas riacutegidas tecircm valores e sinais que fazem com que o somatoacuterio dos momentos em cada noacute seja nulo

Os coeficientes de rigidez dessa estrutura (K11 K21 K12 e K22) correspondem aos es-forccedilos cortantes nas colunas em cada pavimento Por exemplo o coeficiente K11 eacute calculado no caso (1) pela soma dos cortantes nas extremidades das colunas no primeiro pavimento K11 = +3EI62 + 3EI62 + 3EI62 + 12EI62 = +21EI62 No mesmo caso o coeficiente K21 eacute obtido pela soma dos cortantes no topo das colunas do segundo pavimento K21 = ndash3EI62 ndash 3EI62 = ndash6EI62 Para essa estrutura natildeo eacute possiacutevel determinar os coeficientes de rigidez impondo-se apenas o equiliacutebrio glo-bal da estrutura na direccedilatildeo horizontal pois em cada caso existem duas incoacutegnitas para uma equaccedilatildeo de equiliacutebrio

742 Exemplo de barra riacutegida com giro

Nos dois exemplos anteriores as barras infinitamente riacutegidas sofriam um desloca-mento horizontal sem rotaccedilatildeo Nesta seccedilatildeo eacute considerado um poacutertico mostrado na Figura 750 que tem uma barra riacutegida que sofre um giro Esse poacutertico tem a coluna da esquerda considerada infinitamente riacutegida sendo que a viga e a outra coluna satildeo flexiacuteveis (com ineacutercia agrave flexatildeo igual a EI) e inextensiacuteveis

P

b

h

Figura 750 ndash Poacutertico com uma coluna infinitamente riacutegida que sofre um giro


Como a coluna riacutegida da estrutura da Figura 750 estaacute articulada na base (apoio do 2ordm gecircnero) existe a possibilidade dessa barra girar tendo como centro de rotaccedilatildeo o ponto do apoio Isso eacute indicado na Figura 751 que mostra a uacutenica configuraccedilatildeo deformada possiacutevel para esse poacutertico Como o acircngulo entre a coluna riacutegida e a viga natildeo pode se alterar (ligaccedilatildeo riacutegida sem articulaccedilatildeo) o giro θ1 da coluna induz uma rotaccedilatildeo igual na extremidade esquerda da viga

D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1


Considerando que os deslocamentos satildeo pequenos o acircngulo θ1 pode ser aproxi-mado pela sua tangente Portanto θ1 = D1h sendo h o comprimento da coluna riacutegida Observa-se que um deslocamento D1 da esquerda para a direita induz uma rotaccedilatildeo θ1 no sentido horaacuterio

A hipoacutetese de pequenos deslocamentos tambeacutem permite que se considere que o movimento do noacute no topo da coluna riacutegida natildeo tenha uma componente vertical Como a rotaccedilatildeo θ1 do noacute estaacute associada ao seu deslocamento horizontal D1 soacute exis-te um paracircmetro que define o movimento do noacute Portanto esse noacute soacute tem uma deslocabilidade Pode-se adotar para esse paracircmetro tanto o deslocamento hori-zontal D1 quanto a rotaccedilatildeo θ1

Nesse exemplo o deslocamento horizontal D1 foi adotado como deslocabilidade pois tambeacutem corresponde ao deslocamento horizontal do noacute superior direito Co-mo esse noacute tem uma articulaccedilatildeo completa a uacutenica deslocabilidade resultante da estrutura eacute D1 A Figura 752 mostra o SH correspondente onde somente o apoio fictiacutecio 1 eacute necessaacuterio para prender completamente a estrutura


Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1



O caso (0) desse exemplo tambeacutem estaacute mostrado na Figura 752 Como as barras flexiacuteveis natildeo estatildeo deformadas pois natildeo tecircm carga no seu interior natildeo aparecem momentos fletores nessas barras Portanto tambeacutem natildeo aparece momento fletor na coluna riacutegida A carga P aplicada eacute transmitida via esforccedilo na viga para o apoio 1 do SH resultando no termo de carga β10 = ndashP


K11

K11 = +3EI(bsdoth2) + 3EIh3

3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h (3EIb)sdotθ1h (3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)


O caso (1) dessa soluccedilatildeo mostrado na Figura 753 merece atenccedilatildeo especial Eacute im-posta uma configuraccedilatildeo deformada tal que D1 = 1 Isso provoca uma rotaccedilatildeo θ1 = 1h no sentido horaacuterio na extremidade esquerda da viga Com base nessa rotaccedilatildeo imposta agrave viga todos os esforccedilos atuantes nas barras do SH ficam determinados no caso (1)

Isso pode ser entendido analisando o equiliacutebrio das barras isoladas conforme mos-trado na Figura 753 A rotaccedilatildeo θ1 imposta na extremidade esquerda da viga pro-voca um momento nessa extremidade igual a (3EIb)sdotθ1 no sentido horaacuterio No diagrama M1 isso corresponde ao valor negativo ndash3EI(bsdoth) na seccedilatildeo esquerda da viga Para que haja equiliacutebrio de momentos no noacute superior esquerdo aparece um momento fletor no topo da coluna riacutegida igual a +3EI(bsdoth) Os esforccedilos cortantes nas extremidades da viga e da coluna riacutegida satildeo calculados de forma a equilibrar essas barras Portanto esses esforccedilos satildeo sempre iguais em valores e com sentidos opostos formando conjugados que equilibram os momentos nas barras


Por outro lado o momento fletor e os esforccedilos cortantes nas extremidades da colu-na flexiacutevel da direita ficam determinados pela condiccedilatildeo de deslocamento horizon-tal unitaacuterio imposto no topo (veja os coeficientes de rigidez de barra com articula-ccedilatildeo mostrados na Figura 432 do Capiacutetulo 4)

Para completar o equiliacutebrio das barras isoladas no caso (1) desse exemplo eacute neces-saacuterio determinar os esforccedilos normais em todas as barras Como indica a Figura 753 os esforccedilos normais satildeo determinados por uacuteltimo de forma a equilibrar os esforccedilos cortantes nas barras

A Figura 753 tambeacutem indica o valor do coeficiente de rigidez K11 que corresponde agrave soma dos esforccedilos cortantes no topo das colunas


Com base no termo de carga β10 e no coeficiente de rigidez K11 pode-se determinar o valor da deslocabilidade D1 o que eacute feito a partir da equaccedilatildeo de equiliacutebrio mos-trada abaixo

011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1

Finalmente os momento fletores finais na estrutura podem ser determinados utili-zando a superposiccedilatildeo de efeitos M = M0 + M1D1 onde M0 = 0 O diagrama de momentos fletores finais estaacute mostrado na Figura 754

ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0

+Pmiddoth2(b+h)Pmiddoth2(b+h)

Pmiddoth2(b+h)

+Pmiddot(bmiddoth)(b+h)Pmiddot(bmiddoth)(b+h)



Resumindo este capiacutetulo apresenta o Meacutetodo dos Deslocamentos com restriccedilotildees nas deformaccedilotildees de barras com os seguintes objetivos

bull Reduzir o nuacutemero de deslocabilidades da estrutura visando principalmente uma resoluccedilatildeo manual

bull Caracterizar o comportamento de poacuterticos (quadros) com respeito aos efeitos de deformaccedilotildees axiais e de deformaccedilotildees transversais por flexatildeo das barras

Embora a motivaccedilatildeo inicial seja reduzir o nuacutemero de deslocabilidades de uma es-trutura o segundo objetivo eacute o mais importante na presente abordagem O ele-mentos estruturais de um poacutertico real tecircm deformaccedilotildees axiais muito menores do que as deformaccedilotildees transversais por flexatildeo Portanto a consideraccedilatildeo de barras sem deformaccedilatildeo axial (chamadas de barras inextensiacuteveis) eacute uma aproximaccedilatildeo razoaacute-vel para o comportamento de um quadro A hipoacutetese de barras inextensiacuteveis pos-sibilita o entendimento do conceito de contraventamento ou travejamento de poacuterticos que eacute muito importante no projeto de estruturas A apresentaccedilatildeo desse conceito eacute um dos principais objetivos deste capiacutetulo

Aleacutem disso este capiacutetulo apresenta alguns macetes de caacutelculo tal como eliminaccedilatildeo de trechos em balanccedilo que tambeacutem reduzem o nuacutemero de incoacutegnitas na soluccedilatildeo pelo Meacutetodo dos Deslocamentos sem introduzir nenhuma simplificaccedilatildeo quanto ao comportamento das estruturas

71 Classificaccedilatildeo das simplificaccedilotildees adotadas

Pode-se classificar as simplificaccedilotildees adotadas para diminuir o nuacutemero de desloca-bilidades na soluccedilatildeo de uma estrutura reticulada em quatro tipos

bull ldquoEliminaccedilatildeordquo de trechos em balanccedilo

bull Consideraccedilatildeo de barras inextensiacuteveis

bull Eliminaccedilatildeo de deslocabilidades do tipo rotaccedilatildeo de noacutes quando todas as bar-ras adjacentes satildeo articuladas no noacute

bull Consideraccedilatildeo de barras infinitamente riacutegidas

A primeira simplificaccedilatildeo eacute na verdade um macete de caacutelculo visto que trechos em balanccedilo de poacuterticos podem ter seus esforccedilos internos determinados isostaticamente (basta calcular os esforccedilos a partir das extremidades livres do balanccedilo)

A Figura 71 mostra um exemplo dessa simplificaccedilatildeo A estrutura eacute dividida em duas partes o trecho em balanccedilo e o restante O balanccedilo eacute calculado como uma estrutura isostaacutetica engastada no ponto de contato com o restante do poacutertico O poacutertico sem o balanccedilo eacute calculado para uma forccedila e um momento obtidos pelo transporte da forccedila que atua no balanccedilo para o ponto de contato


l

P

PM = Psdotl

P










(a) (b)








b

P b∆ ∆

h







D1

D2

D3 D4

D5

D6 D1

D2 = 0

D3

D4 = D1 D6

D5 = 0

(a) (b)







D3

D1

D3

D2

(a) (b)

D3 D3

D1 D2

D1 D2















D3 D1


D3D2 3

1 2










β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN









D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

3EI62 3EI62






x D1

D1 = 1

6EI42

2EI4

D1 = 1

3EI623EI62

3EI62

6EI42

4EI4

3EI6

3EI62

3EI62

3EI62

K11 = + 3EI6 + 4EI4

K31 = + 6EI42




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

06EI42

2EI4+2EI4

+4EI4

0

K12 = 0

K22 = 0 + 4EI4

K32 = + 6EI42

x D2




x D2

2EI4

6EI426EI42

D2 = 1

6EI42

6EI42

4EI4

K22 = + 4EI4

K32 = + 6EI42









K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3







12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)




l

P

PM = Psdotl

P










(a) (b)








b

P b∆ ∆

h







D1

D2

D3 D4

D5

D6 D1

D2 = 0

D3

D4 = D1 D6

D5 = 0

(a) (b)







D3

D1

D3

D2

(a) (b)

D3 D3

D1 D2

D1 D2















D3 D1


D3D2 3

1 2










β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN









D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

3EI62 3EI62






x D1

D1 = 1

6EI42

2EI4

D1 = 1

3EI623EI62

3EI62

6EI42

4EI4

3EI6

3EI62

3EI62

3EI62

K11 = + 3EI6 + 4EI4

K31 = + 6EI42




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

06EI42

2EI4+2EI4

+4EI4

0

K12 = 0

K22 = 0 + 4EI4

K32 = + 6EI42

x D2




x D2

2EI4

6EI426EI42

D2 = 1

6EI42

6EI42

4EI4

K22 = + 4EI4

K32 = + 6EI42









K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3







12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)





(a) (b)








b

P b∆ ∆

h







D1

D2

D3 D4

D5

D6 D1

D2 = 0

D3

D4 = D1 D6

D5 = 0

(a) (b)







D3

D1

D3

D2

(a) (b)

D3 D3

D1 D2

D1 D2















D3 D1


D3D2 3

1 2










β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN









D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

3EI62 3EI62






x D1

D1 = 1

6EI42

2EI4

D1 = 1

3EI623EI62

3EI62

6EI42

4EI4

3EI6

3EI62

3EI62

3EI62

K11 = + 3EI6 + 4EI4

K31 = + 6EI42




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

06EI42

2EI4+2EI4

+4EI4

0

K12 = 0

K22 = 0 + 4EI4

K32 = + 6EI42

x D2




x D2

2EI4

6EI426EI42

D2 = 1

6EI42

6EI42

4EI4

K22 = + 4EI4

K32 = + 6EI42









K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3







12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)







D1

D2

D3 D4

D5

D6 D1

D2 = 0

D3

D4 = D1 D6

D5 = 0

(a) (b)







D3

D1

D3

D2

(a) (b)

D3 D3

D1 D2

D1 D2















D3 D1


D3D2 3

1 2










β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN









D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

3EI62 3EI62






x D1

D1 = 1

6EI42

2EI4

D1 = 1

3EI623EI62

3EI62

6EI42

4EI4

3EI6

3EI62

3EI62

3EI62

K11 = + 3EI6 + 4EI4

K31 = + 6EI42




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

06EI42

2EI4+2EI4

+4EI4

0

K12 = 0

K22 = 0 + 4EI4

K32 = + 6EI42

x D2




x D2

2EI4

6EI426EI42

D2 = 1

6EI42

6EI42

4EI4

K22 = + 4EI4

K32 = + 6EI42









K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3







12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)





D3

D1

D3

D2

(a) (b)

D3 D3

D1 D2

D1 D2















D3 D1


D3D2 3

1 2










β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN









D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

3EI62 3EI62






x D1

D1 = 1

6EI42

2EI4

D1 = 1

3EI623EI62

3EI62

6EI42

4EI4

3EI6

3EI62

3EI62

3EI62

K11 = + 3EI6 + 4EI4

K31 = + 6EI42




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

06EI42

2EI4+2EI4

+4EI4

0

K12 = 0

K22 = 0 + 4EI4

K32 = + 6EI42

x D2




x D2

2EI4

6EI426EI42

D2 = 1

6EI42

6EI42

4EI4

K22 = + 4EI4

K32 = + 6EI42









K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3







12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)







D3 D1


D3D2 3

1 2










β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN









D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

3EI62 3EI62






x D1

D1 = 1

6EI42

2EI4

D1 = 1

3EI623EI62

3EI62

6EI42

4EI4

3EI6

3EI62

3EI62

3EI62

K11 = + 3EI6 + 4EI4

K31 = + 6EI42




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

06EI42

2EI4+2EI4

+4EI4

0

K12 = 0

K22 = 0 + 4EI4

K32 = + 6EI42

x D2




x D2

2EI4

6EI426EI42

D2 = 1

6EI42

6EI42

4EI4

K22 = + 4EI4

K32 = + 6EI42









K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3







12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)








β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN









D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

3EI62 3EI62






x D1

D1 = 1

6EI42

2EI4

D1 = 1

3EI623EI62

3EI62

6EI42

4EI4

3EI6

3EI62

3EI62

3EI62

K11 = + 3EI6 + 4EI4

K31 = + 6EI42




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

06EI42

2EI4+2EI4

+4EI4

0

K12 = 0

K22 = 0 + 4EI4

K32 = + 6EI42

x D2




x D2

2EI4

6EI426EI42

D2 = 1

6EI42

6EI42

4EI4

K22 = + 4EI4

K32 = + 6EI42









K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3







12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)









D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

3EI62 3EI62






x D1

D1 = 1

6EI42

2EI4

D1 = 1

3EI623EI62

3EI62

6EI42

4EI4

3EI6

3EI62

3EI62

3EI62

K11 = + 3EI6 + 4EI4

K31 = + 6EI42




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

06EI42

2EI4+2EI4

+4EI4

0

K12 = 0

K22 = 0 + 4EI4

K32 = + 6EI42

x D2




x D2

2EI4

6EI426EI42

D2 = 1

6EI42

6EI42

4EI4

K22 = + 4EI4

K32 = + 6EI42









K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3







12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)





x D1

D1 = 1

6EI42

2EI4

D1 = 1

3EI623EI62

3EI62

6EI42

4EI4

3EI6

3EI62

3EI62

3EI62

K11 = + 3EI6 + 4EI4

K31 = + 6EI42




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

06EI42

2EI4+2EI4

+4EI4

0

K12 = 0

K22 = 0 + 4EI4

K32 = + 6EI42

x D2




x D2

2EI4

6EI426EI42

D2 = 1

6EI42

6EI42

4EI4

K22 = + 4EI4

K32 = + 6EI42









K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3







12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)





x D2

2EI4

6EI426EI42

D2 = 1

6EI42

6EI42

4EI4

K22 = + 4EI4

K32 = + 6EI42









K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3







12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)






K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = + 6EI42 + 0

K33 = + 12EI43 + 12EI43

12EI43

6EI42

D3 = 1

+6EI42

+6EI42

x D3







12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)




12EI43 6EI42

D3 = 1

12EI43

6EI42

D3 = 1

x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42

12EI43 12EI43

K13 = + 6EI42

K33 = + 12EI43 + 12EI43

K23 = + 6EI42




=

+

000

3

2

1

333231

232221

131211

30

20

10

DDD

KKKKKKKKK

βββ

=

+

minus

+rArr

000

838383831083023

10045

3

2

1

DDD

EI

+=minus=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615166567867

3

2

1




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)




D3

D2D1

D1

D3+111 0

ndash111

+228

M [kNm]

+283

0

M [kNm]

111

111

228 283
























1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)

















1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)






1 2

3 45

6


1 2

4

5

3


1 2

43















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)















1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

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M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

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0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)






1 2 3 4 5

6 7 8 9 10






9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

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x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

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D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

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K12

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D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










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+sdot+minusrArr Db

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+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)





9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8

12


9

10 11

1 2 3 4

5 6 7 8


9

10

1 2 3 4

5 6 7 8


9

1 2 3 4

5 6 7 8












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

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+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

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D2 = 1 K32

K12

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0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

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x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

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K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

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-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

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M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

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+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

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3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

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0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

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β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


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0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

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M2

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x D2 0

0

ndash3EI62

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0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

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K12

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[kNm]

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0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

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+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

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0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

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+sdot+minusrArr Db

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hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)












1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

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+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

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0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

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D1 = 1

K31

K11

M1

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K21

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+2EI4

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K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

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0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

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β10 = ndash 10 kN

β10


M1

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0

0

0

+3EI62

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ndash6EI62

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+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

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M2

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0

0 0

0

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K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

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ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)





1 2

3 47

8

56



1

2 3 54

1

2 3 5

4



















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)

















β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)






β30 β10

M0 [kNm]

+30 minus30 0

0

β20

0

0


31 2




D1 = 1

K31

K11

M1

K21

0

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+4EI6

K11 = + 4EI6 + 4EI4 K21 = + 2EI6

K31 = + 6EI42

D1 = 1

+2EI6

x D1

6EI62 6EI62






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)






D2 = 1 K32

K12

M2

0

K22

0

0

+4EI6+2EI60

K12 = + 2EI6

K22 = + 4EI6 + 0

K32 = 0

x D2

6EI62 6EI62








K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)




K33

K13

M3

0 K23

0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0 + 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

3EI43 3EI42

D3 = 1

+3EI42

0

x D3




=

+

minusminus+

000

641508303231833135

103030

3

2

1

DDD

EI

+=+=minus=

rArr

EIDEIDEID

0615188787867

3

2

1



D3

D1

D1

D3


D3

)(2aD

D1

D1

D3

)(2bD




















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)





















β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)







β30 β10

M0 [kNm]

+45 0 0

0

β20

0

β10 = + 45 kNm β20 = 0

β30 = minus 10 kN

0



D1 = 1

K31

K11

M1

0

K21

0 6EI42 2EI4

+2EI4

+4EI4+3EI6

K11 = + 3EI6 + 4EI4 K21 = 0

K31 = + 6EI42

D1 = 1 x D1

0

3EI62 3EI62




D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)





D2 = 1

K32 K12

M2

0 K22

0

0

0

K12 = 0

K22 = 0

K32 = 0

x D2

D2 = 1 0

0



K33

K13

M3

0 K23 0

12EI43 6EI42

+6EI42

+6EI42

D3 = 1

K13 = + 6EI42 + 0

K23 = 0

K33 = + 12EI43 + 3EI43

D3 = 1

x D3 3EI43 3EI42

+3EI42

0




=

+

minus

+

000

641508300083023

10045

3

2

1

DDD

EI




=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)






=

+

minus+

00

6415838323

1045

3

1

DD

EI

+=minus=

rArrEID

EID06151

7867

3

1




1 2

3 45

6 1 2

3 4

5SH SH

(a) (b)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)





1 2 3





1 2

3

SH





1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)




1 2 SH



=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

minusminus+

sdot+

minus+

rArr00

96672

323916

2

1

DDEI

sdot+=

sdot+=

rArr

EID

EID

15321696

153720

2

1


[kNm]

+24

M0

+466

0

-668

-325

+301

0 [kNm]

24

M

466

668

325 301

24

20

β20 β10

[kNm]

M0

+20

0

00

0

0

ndash16

+16

β20 = ndash 39 kN

β10 = + 16 kNm



12middot4 2 = 24


M1

K11 = +9EI4

x D1

0

0 0

+2EI4

+3EI6

+4EI4

+3EI4

0

K21 K11

K21 = ndash3EI42

3EI42

6EI422EI4

D1 = 1


M2

K12 = ndash3EI42

x D2 0

0

+3EI42

K22K12


-6EI42

+3EI42 0

0

6EI42 12EI43

3EI43 3EI43 3EI42

D2 = 1









P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)










P

b

h




D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)





D1D1











Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)







Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

00

SH 1



K11

12EIh3 12EIh3

M1

+6EIh2

ndash6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

+6EIh2

ndash6EIh2

6EIh2 6EIh2


12EIh36EIh2

K11 = +24EIh3

12EIh3 6EIh2

12EIh3 12EIh3

12EI(h2middotb)

6EIh2 6EIh2

x D1




D1 = 1 D1 = 1













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)













EIhPD

24

3

1sdot+=




+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)






+Pmiddoth4


Pmiddoth4Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4

Pmiddoth4Pmiddoth4

M M









=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)






=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

sdot

+minusminus+

sdot+

minusminus

rArr00

66621

2161010

2

1

DDEI

+=

+=rArr

EID

EID

648

288

2

1



1

2 SH


β20

[kNm]

M0

0

0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

0

β20 = ndash 10 kN

β10 = ndash 10 kN

β10


M1

K11 = +21EI63

x D1

0

+3EI62

K21

-3EI62 0

0

0

0

+3EI62

ndash3EI62

ndash6EI62

+6EI62

+6EI62

K11

K21 = ndash6EI63

6EI623EI63

12EI63

D1 = 1


M2

K12 = ndash6EI63

x D2 0

0

ndash3EI62

+3EI62

0

0

0 0

0

0

ndash3EI62

+3EI62 K22

K12

K22 = +6EI63

D2 = 1

[kNm]

+24 M

0

0

ndash54 +30

ndash30

+30

ndash48

+48

+48

0

[kNm]

M

24

5430

30

30

48

48

48








P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)









P

b

h




D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)





D1

θ1 = D1h

θ1

θ1

h

D1






Pβ10

β10 = ndashP M0

0

0 0

0

0 0

SH 1





K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)






K11


3EIh3

D1 = 1

θ1 = 1h

θ1 θ1

b

h

3EIh2

3EIh3

(3EIb)sdotθ1


(3EIb)sdotθ1

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1b

(3EIb)sdotθ1h

(3EIb)sdotθ1h


(3EIb)sdotθ1b

x D1 M1

ndash3EI(bsdoth)

+3EIh2

0

0

0

+3EI(bsdoth)










011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)









011110 =+ DKβ 0313 =sdot

+sdot+minusrArr Db

hbhEIP

+sdotsdot+=rArr

hbb

EIhPD

3

3

1


ndashPmiddoth2(b+h)

M M

0

0

0


Pmiddoth2(b+h)



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7. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS COM RESTRIÇÕES NAS …coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_7_Metodo_dos... · ção de efeitos, somando-se aos deslocamentos do balanço, considerado