7_2- Forcas Distribuidas - Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centroide

CentrCentrides de Superfides de Superfcies cies Planas de Formatos UsuaisPlanas de Formatos Usuais

CentrCentrides de Curvas Planas ides de Curvas Planas de Formatos Usuaisde Formatos Usuais

Quando se estiver interessado na determinao de propriedades integrais (rea, comprimento e momentos de primeira ordem) de regies que no esto tabeladas, mas identifica-se que a regio em questo formada pela composio de regies elementares cujas propriedades integrais so conhecidas, aplica-se essa composio na avaliao das integrais referentes s propriedades de interesse.

Placas e Fios CompostosPlacas e Fios Compostos


A

++

=321 RRR

dAA ++=321 RRR

dAdAdA321 RRR

AAA ++=

++

=321 RRR

x ydAQ 321 RxRxRx QQQ... ++==

++

=321 RRR

y xdAQ321 RyRyRy

QQQ... ++==AQx=Y

AQy=X


ExemploExemplo::

Determine o centride da superfcie composta mostrada.


ExemploExemplo (continua(continuao):o):

1 composio

1

2



1 composio 12

Regio(cm2) (cm) (cm) (cm3) (cm3)

12

Total - -

ixiA iy ixQ iyQ

cm 14150021000 ===

AQ

x y cm 5,16150024750 ===

AQy x

300

1200-1020

22,515

6750

18000-300024000

1500 24750 21000



2 composio

1

2

12



2 composio

cm 14150021000 ===

AQ

x y cm 5,16150024750 ===

AQy x

Regio(cm2) (cm) (cm) (cm3) (cm3)

12

Total - -

ixiA iy ixQ iyQ

1800

-30010

-1015

7,527000

-2250180003000

1500 24750 21000

DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integraoo

== ydAAyQx == xdAAxQyEm princpio, para quantificao dos momentos de 1 ordem de superfcie (ou momentos estticos de rea), esses so calculados a partir de integrais duplas no domnio representativo da regio estudada, onde se deve escrever o elemento infinitesimal de rea dA de acordo com a convenincia das coordenadas de

descrio da regio tratada.

db

c

a

DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integrao Duplao Dupla

= ydAQx

x

y

dxdy

dA=dxdy = dc

b

a

ydxdy

[ ]= dc

ba dyxy ( ) = d

c

ydyab

( )d

c

2

2yab

=

( )( )2

cdab 22 =

( ){ }dyc e bxa|yx, D =

db

c

a


= xdAQy

x

y

dxdy

dA=dxdy = dc

b

a

xdxdy

=d

c

b

a

2

dy2x = d

c

22

dy2

ab

d

c

22

2ab

= y

( )( )2

cdab 22 =

( ){ }dyc e bxa|yx, D =

ba


= ydAQx

x

y

= a0

ab

0

ydydxx

=a

0

ab

0

2

dx2y

x

= a0

22

2

dxxa2

b

a

0

3

2

2

3x

2ab

=

6ab

2

=

( )

= x

aby0 e ax0|yx, D

dxdy

dA=dxdy

ba


= xdAQy

x

y

= a0

ab

0

xdydxx

[ ]= a0

ab

0 dxxyx = a

0

2dxxab

a

0

3

3x

ab

=

3ba

2

=

( )

= x

aby0 e ax0|yx, D

dxdy

dA=dxdy


= ydAQx

x

drdsinrb

a

2

6

2 =

[ ] = ba

2

6

2 drcosr

b

a

3r63

= ( )33 ab

63 =

( )

=

2

6 e bra|rsin,rcos D

b

a

30

drrd

dA=rddry

= ba

2drr23


= xdAQy

x

drdcosrb

a

2

6

2 =

[ ]= ba

2

6

2 drsinr

b

a

3

6r

=6

ab 33 =

( )

=

2

6 e bra|rsin,rcos D

b

a

30

drrd

dA=rddry

= ba

2

dr2r

DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integrao de Fatiaso de Fatias

== ydAAyQx== xdAAxQy

A idia desta sistemtica considerar que a regio de interesse formada pela composio de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regies cujas propriedades geomtricas j so conhecidas. Sendo

= elxdQ= elydQ

assim, esta sistemtica pode ser entendida como uma aplicao do mtodo j apresentado para regies compostas.

DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integrao de Fatiaso de Fatias

y

a bdx

elxely

= ydAQx= dAA = eldA =

b

a

y(x)dx

= eleldAy =b

a

2

dx2

y(x)

= xdAQy= eleldAx =

b

a

xy(x)dx

= elxdQ

= elydQx

(x,y(x))

dx)x(ydAel =xxel =

2)x(yyel =

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