Prof. Andr Luis ChristoforoO centro de gravidade G um ponto no
qual se localiza o peso resultante de um sistema de pontos
materiais. O centro de gravidade G um ponto no qual se localiza o
peso resultante de um sistema de pontos materiais. O centro de
gravidade G um ponto no qual se localiza o peso resultante de um
sistema de pontos materiais. = W WRO centro de gravidade G um ponto
no qual se localiza o peso resultante de um sistema de pontos
materiais. = W WRA soma dos momentos dos pesos de todos os pontos
materiais em relao aos eixosx, y, z ento igual ao momento do peso
resultante em relao a esses eixos.Para determinar a coordenadade G,
podemos somar os momentos em relao ao eixo y. xPara determinar a
coordenadade G, podemos somar os momentos em relao ao eixo y. xn n
RW x W x W x W x~...~ ~2 2 1 1+ + + =Para determinar a coordenadade
G, podemos somar os momentos em relao ao eixo y. xn n RW x W x W x
W x~...~ ~2 2 1 1+ + + =De maneira semelhante, efetuando o somatrio
dos momentos em relao ao eixo x obtemos a coordenada ,isto :yPara
determinar a coordenadade G, podemos somar os momentos em relao ao
eixo y. xn n RW x W x W x W x~...~ ~2 2 1 1+ + + =De maneira
semelhante, efetuando o somatrio dos momentos em relao ao eixo x
obtemos a coordenada ,isto :yn n RW y W y W y W y~...~ ~2 2 1 1+ +
+ =Embora os pesos no produzam um momento em relao ao eixo z,
podemos obtera coordenada de G imaginando que o sistema de
coordenadas, com os pontosmateriais fixos, sofre uma rotao de 90 em
torno do eixo x (ou y).Efetuando osomatrio dos momentos em relao ao
eixo x, temos:zEmbora os pesos no produzam um momento em relao ao
eixo z, podemos obtera coordenada de G imaginando que o sistema de
coordenadas, com os pontosmateriais fixos, sofre uma rotao de 90 em
torno do eixo x (ou y).Efetuando osomatrio dos momentos em relao ao
eixo x, temos:zEfetuandoosomatriodosmomentosemrelaoaoeixo x,
temos:n n RW z W z W z W z~...~ ~2 2 1 1+ + + =n n RW z W z W z W
z~...~ ~2 2 1 1+ + + =n n RW x W x W x W x~...~ ~2 2 1 1+ + + =n n
RW y W y W y W y~...~ ~2 2 1 1+ + + =Generalizando:n n RW z W z W z
W z~...~ ~2 2 1 1+ + + =n n RW x W x W x W x~...~ ~2 2 1 1+ + + =n
n RW y W y W y W y~...~ ~2 2 1 1+ + + =Generalizando:=WW xx~=WW
yy~=WW zz~n n RW z W z W z W z~...~ ~2 2 1 1+ + + =n n RW x W x W x
W x~...~ ~2 2 1 1+ + + =n n RW y W y W y W y~...~ ~2 2 1 1+ + +
=Generalizando:=WW xx~=WW yy~=WW zz~z y x ,
,RepresentamascoordenadasdocentrodegravidadeGdosistemadepontos
materiais.z y x~,~,~Representam as coordenadas de cada ponto
material no sistema.W a soma resultante dos pesos de todos os
pontos materiais no sistema.Para o estudo de problemas que dizem
respeito ao movimento da matria sob ainflunciadeforas, isto,
problemasdedinmica, necessriolocalizar umponto denominado centro de
massa. Como a acelerao da gravidade g para cadaponto material
constante, ento:Para o estudo de problemas que dizem respeito ao
movimento da matria sob ainflunciadeforas, isto,
problemasdedinmica, necessriolocalizar umponto denominado centro de
massa. Como a acelerao da gravidade g para cadaponto material
constante, ento:W = mg. Substituindo nas equaes e cancelando g no
numerador e no denominador,obtemos:Para o estudo de problemas que
dizem respeito ao movimento da matria sob ainflunciadeforas, isto,
problemasdedinmica, necessriolocalizar umponto denominado centro de
massa. Como a acelerao da gravidade g para cadaponto material
constante, ento:W = mg. Substituindo nas equaes e cancelando g no
numerador e no denominador,obtemos:=WW xx~=WW yy~=WW zz~=mm xx~=mm
yy~=mm zz~Um corpo rgido composto de um infinito nmero de
partculas. Dessa maneira,se os princpios utilizados anteriormente
so aplicados ao sistema de partculas quecompem esse corpo, torna-se
necessrio usar a operao de integrao.Um corpo rgido composto de um
infinito nmero de partculas. Dessa maneira,se os princpios
utilizados anteriormente so aplicados ao sistema de partculas
quecompem esse corpo, torna-se necessrio usar a operao de
integrao.}}=dWdW xx~}}=dWdW yy~}}=dWdW zz~dV dW =Um corpo rgido
composto de um infinito nmero de partculas. Dessa maneira,se os
princpios utilizados anteriormente so aplicados ao sistema de
partculas quecompem esse corpo, torna-se necessrio usar a operao de
integrao.}}=dWdW xx~}}=dWdW yy~}}=dWdW zz~dV dW =}}=VVdVdV
xx~}}=VVdVdV yy~}}=VVdVdV zz~A densidade serelacionacom pelaequao =
.g, onde gaaceleraogravitacional.A densidade serelacionacom
pelaequao = .g, onde gaaceleraogravitacional.}}=VVdVdV xx~}}=VVdVdV
yy~}}=VVdVdV zz~A densidade serelacionacom pelaequao = .g, onde
gaaceleraogravitacional.}}=VVdVdV xx~}}=VVdVdV yy~}}=VVdVdV
zz~}}=VVdVdV xx~}}=VVdVdV yy~}}=VVdVdV zz~ um ponto que define o
centro geomtrico de um objeto. Sua localizao podeser determinada a
partir de frmulas semelhantes quelas utilizadas para obter ocentro
de gravidade ou o centro de massa de um corpo. Se o material que
compe o corpo for uniforme ou homogneo, a densidade oupeso
especfico ser constante por todo o corpo e, conseqentemente, esse
termopoder sair da chave de integrao e ser cancelado nos
numeradores edenominadores das equaes.As frmulas resultantes que
definem o centride de um corpo soindependentes do peso dele,
dependendo apenas de sua geometria.VOLUME REA LINHASe um objeto
subdividido em elementos de volumes infinitesimais dV
(Figuraabaixo), a localizao do centride C( , , ) para o volume do
objeto podeser determinadopeloclculodos momentosdoselementos
infinitesimais emrelao a cada eixo de coordenadas. As frmulas
resultantes so:VOLUMExyzSe um objeto subdividido em elementos de
volumes infinitesimais dV (Figuraabaixo), a localizao do centride
C( , , ) para o volume do objeto podeser determinadopeloclculodos
momentosdoselementos infinitesimais emrelao a cada eixo de
coordenadas. As frmulas resultantes so:VOLUMExyz}}=VVdVdV
xx~}}=VVdVdV yy~}}=VVdVdV zz~De forma anloga, o centride para a rea
da superfcie de um objeto, como umaplaca ouuma concha, pode ser
obtidosubdividindo-se a rea doobjetoemelementos de reas
infinitesimais dA e calculando-se os momentos dessas
reaselementares em relao a cada eixo de coordenadas, isto :READe
forma anloga, o centride para a rea da superfcie de um objeto, como
umaplaca ouuma concha, pode ser obtidosubdividindo-se a rea
doobjetoemelementos de reas infinitesimais dA e calculando-se os
momentos dessas reaselementares em relao a cada eixo de
coordenadas, isto :REA}}=AAdAdA xx~}}=AAdAdA yy~}}=AAdAdA zz~Se a
geometria do objeto, tal como uma barra fina ou um fio, tem o
formato de umfio, o clculo dos momentos dos elementos
infinitesimais dL em relao a cada umdos eixos de coordenadas
fornece:LINHASe a geometria do objeto, tal como uma barra fina ou
um fio, tem o formato de umfio, o clculo dos momentos dos elementos
infinitesimais dL em relao a cada umdos eixos de coordenadas
fornece:LINHA}}=LLdLdL xx~}}=LLdLdL yy~}}=LLdLdL zz~Os centrides de
algumas formas geomtricas devemser parcial ou
completamenteespecificados por meio das condies de simetria. Nos
casos em que a forma geomtricatem um eixo de simetria, o centride
dela ficar sobre esse eixo.Nos casos em que uma forma tem dois ou
trs eixos de simetria, o centride se localizar nainterseco desses
eixos.Localize o centride da barra curvada no formato de um arco
parablico, comomostrado na figura :Localize o centride da barra
curvada no formato de um arco parablico, comomostrado na figura :(
) ( ) dydydxdy dx dL 122 2+||.|
\|= + =SOLUOLocalize o centride da barra curvada no formato de
um arco parablico, comomostrado na figura :( ) ( ) dydydxdy dx dL
122 2+||.|
\|= + =Como , . Conseqentemente, expressandodL em funo de y e dy
, temos: 2y x = y dy dx 2 / =SOLUOLocalize o centride da barra
curvada no formato de um arco parablico, comomostrado na figura :(
) ( ) dydydxdy dx dL 122 2+||.|
\|= + =Como , . Conseqentemente, expressandodL em funo de y e dy
, temos: 2y x = y dy dx 2 / =( ) dy y dL 1 22+ =SOLUOLocalize o
centride da barra curvada no formato de um arco parablico,
comomostrado na figura :( ) ( ) dydydxdy dx dL 122 2+||.|
\|= + =Como , . Conseqentemente, expressandodL em funo de y e dy
, temos: 2y x = y dy dx 2 / =( ) dy y dL 1 22+ =O centride est
localizado eme x x =~y y =~SOLUOO centride est localizado eme x x
=~y y =~O centride est localizado eme x x =~y y =~mdy ydy y ydy ydy
y xdLdL xxLL410 , 0479 , 16063 , 01 41 41 41 4~102102 2102102=
=++=++= =}}}}}}O centride est localizado eme x x =~y y =~mdy ydy y
ydy ydy y xdLdL xxLL410 , 0479 , 16063 , 01 41 41 41 4~102102
2102102= =++=++= =}}}}}}mdy ydy y ydLdL yyLL574 , 0479 , 18484 , 01
41 4~102102= =++= =}}}}Localize o centride do segmento circular do
fio, conforme mostra a figura.Localize o centride do segmento
circular do fio, conforme mostra a figura.Como o arco circula, sero
usadas coordenadaspolares para resolver o problema.SOLUOLocalize o
centride do segmento circular do fio, conforme mostra a figura.Como
o arco circula, sero usadas coordenadaspolares para resolver o
problema.( )tu u uuu uttttRd Rd RRdRd RdLdL xxLL2cos cos~2 /02 /022
/02 /0= = = =}}}}}}SOLUOLocalize o centride do segmento circular do
fio, conforme mostra a figura.Como o arco circula, sero usadas
coordenadaspolares para resolver o problema.( )tu u uuu uttttRd Rd
RRdRd RdLdL xxLL2cos cos~2 /02 /022 /02 /0= = = =}}}}}}( )tu u uuu
uttttRd Rd sen RRdRd RsendLdL yyLL2~2 /02 /022 /02 /0= = =
=}}}}}}SOLUODetermine a distnciado eixo x ao centride da rea do
tringulo mostrado na figura.yDetermine a distnciado eixo x ao
centride da rea do tringulo mostrado na figura.A rea do elemento
dAydy y hhbXDY dA ) ( = =SOLUODetermine a distnciado eixo x ao
centride da rea do tringulo mostrado na figura.A rea do elemento
dAydy y hhbXDY dA ) ( = =( )( )3~2126100 hbhbhdy y hhbdy y hhbydAdA
yyhhAA= == =}}}}SOLUOLocalize o centride para a rea de um quarto de
crculo mostrado na figura.Localize o centride para a rea de um
quarto de crculo mostrado na figura.A rea do elemento dAdy y hhbXDY
dA ) ( = =SOLUOLocalize o centride para a rea de um quarto de
crculo mostrado na figura.A rea do elemento dAdy y hhbXDY dA ) ( =
=( )( )3~2126100 hbhbhdy y hhbdy y hhbydAdA yyhhAA= == =}}}}SOLUOA
rea do elemento infinitesimal :( )( ) u u dRRd R dA2221= =A rea do
elemento infinitesimal :( )( ) u u dRRd R dA2221= =O centride do
elemento triangular esta localizado em:u cos32~R x =u Rsen y32~=A
rea do elemento infinitesimal :( )( ) u u dRRd R dA2221= =O
centride do elemento triangular esta localizado em:u cos32~R x =u
Rsen y32~=tuu uuu utttt34cos3222cos32~2 /02 /02 /022 /02Rdd
RdRdRRdAdA xxAA=|.|
\|=|.|
\|= =}}}}}}A rea do elemento infinitesimal :( )( ) u u dRRd R
dA2221= =O centride do elemento triangular esta localizado em:u
cos32~R x =u Rsen y32~=tuu uuu utttt34cos3222cos32~2 /02 /02 /022
/02Rdd RdRdRRdAdA xxAA=|.|
\|=|.|
\|= =}}}}}}tuu uuu utttt34 3222 32~2 /02 /02 /022 /02Rdd sen
RdRdRRsendAdA yyAA=|.|
\|=|.|
\|= =}}}}}}Localize o centride da rea mostrada na
figura.Localize o centride da rea mostrada na figura.A rea do
elemento :ydx dA=SOLUOLocalize o centride da rea mostrada na
figura.A rea do elemento :ydx dA=x x =~2~yy =Seu centride esta
localizado em:SOLUOLocalize a coordenada do centride da rea
sombreada limitada pelas duas curvase , conforme a figura.xx y =2x
y =Localize a coordenada do centride da rea sombreada limitada
pelas duas curvase , conforme a figura.xx y =2x y =SOLUOA rea do
elemento : dy x x dA ) (2 1 =Localize a coordenada do centride da
rea sombreada limitada pelas duas curvase , conforme a figura.xx y
=2x y =SOLUOA rea do elemento : dy x x dA ) (2 1 =2 2~ 2 1 2 12x x
x xx x+=+ =Seu centride esta localizadoem:Localize a coordenada do
centride da rea sombreada limitada pelas duas curvase , conforme a
figura.xx y =2x y =SOLUOA rea do elemento : dy x x dA ) (2 1 =2 2~
2 1 2 12x x x xx x+=+ =Seu centride esta localizadoem:( )( )( )(
)pdx x xdx x x xdx y ydx y y xdAdA xxAA5 , 0~61121102102101 2101 2=
=== =}}}}}}Determine o baricentro da rea limitada pela curvae pela
reta .22xy =x y =Determine o baricentro da rea limitada pela curvae
pela reta .1 passo Faamos o esboo grfico:22xy =x y =SOLUODetermine
o baricentro da rea limitada pela curvae pela reta .1 passo Faamos
o esboo grfico:2 passo Calculemos A:22xy =x y =( )} } = =2020dx y y
ydx Ac r203 22026 2 2((
=||.|
\| = }x xdxxx232342 u = =SOLUO3 passo Calculemos e
:Multiplicamos a rea pela distancia de seu baricentro ao eixo dos
x.Logo,( ) | |( )c r c ry y dx y y + 21dxxx dxxxxx Mx} } ||.|
\| =||.|
\|||.|
\|+ =204222024 212 2 2115858382120 3 21205 3=|.|
\| =((
=x x3 passo Calculemos e :Multiplicamos a rea pela distancia de
seu baricentro ao eixo dos x.( ) | |( )c r c ry y dx y y + 21Para
calcular o My, multiplicamos a rea pela distancia de seu baricentro
ao eixo dos y.Logo,( ) | |x dx y yc r 322388 3 2 2204 32032202=
=((
=||.|
\| =||.|
\| =} }x xdxxx xdxxx My4 passo Calculemoseatravs das frmulas:
xy13232= = =AMxy5432158= = =AMyx|.|
\|54, 1 GDetermine o baricentro da superfcieD limitada pela
curvae a reta , supondo-a de material homogneo.22x y =8 =
yDetermine o baricentro da superfcieD limitada pela curvae a reta ,
supondo-a de material homogneo.22x y =8 = y1 passo Faamos o esboo
grficoSOLUODetermine o baricentro da superfcieD limitada pela
curvae a reta , supondo-a de material homogneo.22x y =8 = y1 passo
Faamos o esboo grfico2 passo Calculemos :| |(
)222322222822282364332323161631616328 2 822uxx dx xdx y dydx Axx=
=|.|
\|+ |.|
\| =((
= == = }} } }SOLUO3 passo Calculemos os momentos estticos em
relao aos eixos dose dos: x y| | ( ) ( )( ) ( ) 0 8 16 8 16242 8 2
822422232222282228222= =((
= = = = = } } } } } }}xxdx x x dx x x dx y x xdydx xdydxxx D3
passo Calculemos os momentos estticos em relao aos eixos dose dos:
x y| | ( ) ( )( ) ( ) 0 8 16 8 16242 8 2 822422232222282228222=
=((
= = = = = } } } } } }}xxdx x x dx x x dx y x xdydx xdydxxx D(
)5512512812856464564645232 2 32222522422822228222= =|.|
\|+ |.|
\| =((
= =((
= = } } } } }}xx dx x dxyxdydx ydydxxx D3 passo Calculemos os
momentos estticos em relao aos eixos dose dos: x y| | ( ) ( )( ) (
) 0 8 16 8 16242 8 2 822422232222282228222= =((
= = = = = } } } } } }}xxdx x x dx x x dx y x xdydx xdydxxx D(
)5512512812856464564645232 2 32222522422822228222= =|.|
\|+ |.|
\| =((
= =((
= = } } } } }}xx dx x dxyxdydx ydydxxx DAssim,03640= = x8 ,
45243645512= = = y ( ) 8 , 4 ; 0 GLocalize a coordenada do centride
de um parabolide de revoluo que gerado pela rotao da rea sombreada
mostrada na figura, em torno do eixo .yyLocalize a coordenada do
centride de um parabolide de revoluo que gerado pela rotao da rea
sombreada mostrada na figura, em torno do eixo .yydy z dV2t =O
volume do elemento :SOLUOLocalize a coordenada do centride de um
parabolide de revoluo que gerado pela rotao da rea sombreada
mostrada na figura, em torno do eixo .yydy z dV2t =y y =~O volume
do elemento :Seu centride esta localizadoem:SOLUOLocalize a
coordenada do centride de um parabolide de revoluo que gerado pela
rotao da rea sombreada mostrada na figura, em torno do eixo .yydy z
dV2t =y y =~O volume do elemento :Seu centride esta localizadoem:(
)( )mydydy ydy zdy z ydVdV yyVV7 , 66100100~1000100021000210002= =
=
=}}}}}}ttttSOLUODeterminealocalizaodocentrodemassadocilindromostradonafigura,sabendo
que sua densidade varia diretamente com sua distncia a partir da
base,isto , .3/ 200 m zkg =
Determinealocalizaodocentrodemassadocilindromostradonafigura,sabendo
que sua densidade varia diretamente com sua distncia a partir da
base,isto , .3/ 200 m zkg = Por razes de simetria do material:0 = =
y
xSOLUODeterminealocalizaodocentrodemassadocilindromostradonafigura,sabendo
que sua densidade varia diretamente com sua distncia a partir da
base,isto , .dz dV2) 5 , 0 ( t =O volume do elemento :3/ 200 m zkg
= Por razes de simetria do material:0 = = y
xSOLUODeterminealocalizaodocentrodemassadocilindromostradonafigura,sabendo
que sua densidade varia diretamente com sua distncia a partir da
base,isto , .dz dV2) 5 , 0 ( t =z z =~O volume do elemento :Seu
centride esta localizadoem:3/ 200 m zkg = Por razes de simetria do
material:0 = = y
xSOLUODeterminealocalizaodocentrodemassadocilindromostradonafigura,sabendo
que sua densidade varia diretamente com sua distncia a partir da
base,isto , .dz dV2) 5 , 0 ( t =z z =~O volume do elemento :Seu
centride esta localizadoem:3/ 200 m zkg = Por razes de simetria do
material:0 = = y xSOLUO( ) ( )( ) ( )mzdzdz zdz zdz z zdVdV zzVV667
, 05 , 0 2005 , 0 200~10102102102= = =
=}}}}}}ttUmcorpocompostoconsisteemumconjuntodecorposdeformatosmaissimplesquepodem
ser retangulares, triangulares, semicirculares etc. esse corpo
freqentemente podeser
segmentadooudivididoemsuaspartesconstituintese, contantoqueopeso
ealocalizao do centro de gravidade de cada uma dessas partes sejam
conhecidos, podemoseliminar a necessidade de integrao para obter o
centro de gravidade do corpo como umtodo. Esse mtodo para obteno do
centro de gravidade requer que cada uma das partes
docorposejatratadacomoumapartculaequesejautilizadooprocedimentoapresentadoanteriormente
para clculo do mesmo . Uma vez que podemos considerar um nmero
finitode pesos, assim obtemos frmulas semelhantes s equaes
anteriores.Reescrevendo essas frmulas, temos:=WW xx~=WW yy~=WW zz~z
y x , ,Representamas coordenadas do centro de gravidade G do
corpocomposto.z y x~,~,~Representam ascoordenadas docentrode
gravidadede cadaparte queconstitui o pesoW a soma resultante dos
pesos de todas as partes que constituem o corpoou simplesmente o
peso total do corpo compostoLocalize o centride do fio mostrado na
figura.Localize o centride do fio mostrado na figura.O fio dividido
em 3 seguimentos:SOLUOmmLL xx 5 , 455 , 248310 . 11~= = =mmLL xx 5
, 455 , 248310 . 11~= = =mmLL yy 5 , 225 , 248600 . 5~ == =mmLL xx
5 , 455 , 248310 . 11~= = =mmLL yy 5 , 225 , 248600 . 5~ == =mmLL
zz 805 , 05 , 248200~ == =Localize o centride da rea da placa
mostrada na figura.A placa dividida em 3 seguimentos:SOLUOAssim,pAA
xx 348 , 05 , 114~ == =pAA yy 22 , 15 , 1114~= = =Determine as
coordenadas do centro de gravidade da rea da superfcie dadana
figura abaixo:( ) y x G ,Determine as coordenadas do centro de
gravidade da rea da superfcie dadana figura abaixo:( ) y x G
,AMxy=AMyx=234 5 . 2 1 . 2 2 . 6 5 . 2 u A = + + + =SOLUODetermine
as coordenadas do centro de gravidade da rea da superfcie dadana
figura abaixo:( ) y x G ,AMxy=AMyx=234 5 . 2 1 . 2 2 . 6 5 . 2 u A
= + + + =( ) ( ) ( ) 67 5 , 2 . 10 5 , 2 . 2 1 . 12 5 , 2 . 10 = +
+ + =xMSOLUODetermine as coordenadas do centro de gravidade da rea
da superfcie dadana figura abaixo:( ) y x G ,AMxy=AMyx=234 5 . 2 1
. 2 2 . 6 5 . 2 u A = + + + =( ) ( ) ( ) 67 5 , 2 . 10 5 , 2 . 2 1
. 12 5 , 2 . 10 = + + + =xM170 9 . 10 5 . 2 5 . 12 1 . 10 = + + +
=yMSOLUODetermine as coordenadas do centro de gravidade da rea da
superfcie dadana figura abaixo:( ) y x G ,AMxy=AMyx=234 5 . 2 1 . 2
2 . 6 5 . 2 u A = + + + =( ) ( ) ( ) 67 5 , 2 . 10 5 , 2 . 2 1 . 12
5 , 2 . 10 = + + + =xM170 9 . 10 5 . 2 5 . 12 1 . 10 = + + +
=yM534170= = x3467= ySOLUOLocalize o centro de massa do conjunto
composto mostrado na figura. O troncode cone tem densidade e o
hemisfrio tem densidade de . Nocentro existe um furo cilndrico de
raio igual a 25 mm .3/ 8 m tc = 3/ 4 m th = Devido a Simetria 0 = =
y xmmmm zz6 , 14141 , 3815 , 45~= ==SOLUODistribuio de Presso sobre
uma SuperfcieIntensidade da Fora ResultantePara determinar a
intensidade de FR , necessrio somar cada uma das foras diferenciais
dFque atuam sobre toda a superfcie da placa A. Esse somatrio pode
ser expressomatematicamente como uma integral:= F FR( )} }= =V ARdV
dA y x p F ,;Conseqentemente, podemos ver que a linha de ao da fora
resultantepassa pelo centro geomtricoou centride do volume sob o
diagrama de carregamentodistribudo.;Localizao da Fora
ResultanteA1oca1izao de FR podeser determinadaigualando-se os
momentos de FRaosmomentos de todas as foras dF em relao a seus
eixos x, y.) , ( y x( )} }= =V ARdV dA y x p F ,( )( )}}}}=
=VVAAdVxdVdA y x pdA y x xpx,, ( )( )}}}}= =VVAAdVydVdA y x pdA y x
ypy,,
