Aplicao Didtica da Derivada em Vibraes Mecnicas
Csar R. Nunura - Augusto Geroldo Faculdade de Matemtica -
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Dalcidio Moraes Cludio (Orientador) Faculdade de Matemtica -
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RESUMO
Nos primeiros semestres de faculdade nos cursos de matemtica e
engenharia, alunos frequentemente se fazem a seguinte pergunta:
Onde usar o clculo? Qual ser sua futura utilidade ou aplicao? Anos
mais tarde, encontram a resposta em situaes reais. Para efeitos
didticos, colocamos uma aplicao da derivada na analise do
funcionamento de um canho. A mesma, faz parte de uma apostila de
aplicaes de Clculo Diferencial e Numrico ainda em desenvolvimento
por bolsistas de I.C. do GMC-PUCRS.
Considere um canho lanando um projtil conforme a Figura 1:
Figura 1 Canho lanando um projtil
O sistema dinmico massa-mola-amortecedor do canho apresenta os
seguintes dados:
Massa do canho (m): 500 kg. Rigidez da mola (k): 10.000 N/m
Coeficiente de amortecimento: 4.472,1 (Ns)/m Recuo: 0,4 m
Interessa achar o tempo para atingir o deslocamento mximo do
canho ao lanar o projtil, a velocidade inicial e o tempo para
retornar a 0,1 m da posio inicial. O sistema acima descrito pode
ser considerado que vibra livremente com amortecimento viscoso A
resposta pode ser modelada como: ( )[ ]txxxetx ntn ++= /000)(
)(::
:
:
/0
0
stempotinicialVelocidadex
inicialPosioxnaturalFrequncian
Calculamos a freqncia natural:
s
radm
kn 4721,4500
10000===
Derivando (1) achamos o tempo em que ocorre o mximo
deslocamento:
( ) ( )[ ] 000000 =+++= txxxexxedtdx Intnnntn Como x0 = 0
( )segundost
txe
n
n
Itn
===
=
2236,04721,411
010
Logo, para um deslocamento mx. de 0,4 m a velocidade inicial
ser:
s
mx
xexxxmx
8627,4082258,0
40,0082258,02236,0)2236,0(
/0
/0
2236,04721,4/0
==
===
E o tempo para retornar a 0,1 m da posio inicial:
segundostetetetx
t
tt
==
==
8276,002,08627,41,0
4721,4
4721,44721,4/0
A resposta livre da vibrao pode ser visualizada como:
Resposta Livre da Vibrao
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0 1 2 3 4
Tempo (segundos)
Desl
oca
men
to (m
etro
s)
t (segundos) x(t) (metros)0 0
0,1000 0,3109257150,2000 0,3976177850,2236 0,4000105890,2240
0,4000099780,2300 0,3998502680,2400 0,3989869710,3000
0,3813609550,4000 0,3251278160,5000 0,2598623160,6000
0,1993901570,7000 0,1487406480,8000 0,1086928010,8100
0,1052382770,8200 0,1018780160,8276 0,0993862550,9000
0,078186625
Figura 2 Resposta Livre da Vibrao Aproximadamente em 1 segundo o
canho estabiliza da vibrao produzida pelo disparo. Isto interessa
para efeitos de projeto, pois problemas de vibrao afetam seriamente
elementos mecnicos, provocando desgaste ou ruptura de materiais.
Tambm uma vibrao que demore em estabilizar, provoca perturbao e mal
funcionamento deste tipo de artefato.
Palavras chave: Vibraes, Freqncia natural, Resposta livre.
Referncias [1]CLAUDIO, D. Clculo Numrico. SP 1994. [2] RAO.
Mechanicals Vibrations. U.S.A. 2002.
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