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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO
DESLOCAMENTO DE FLUIDOS NEWTONIANOS EM CAPILARES
MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PETRÓLEO
HENRIQUE FIGUEIREDO DE MELLO
Niterói, 2010
HENRIQUE FIGUEIREDO DE MELLO
DESLOCAMENTO DE FLUIDOS NEWTONIANOS EM CAPILARES
Monografia apresentada ao curso de Engenharia de Petróleo da Universidade Federal Fluminense, como parte dos requisitos para obtenção do Grau de Engenheiro de Petróleo.
Orientador: Prof. Roney Leon Thompson
Niterói Dezembro/2010
iii
Epígrafe
“Não temos apenas grandes obrigações a cumprir, temos grandes oportunidades para aproveitar”
John Kennedy
iv
DEDICATÓRIA
Em memória de três pessoas que, de alguma forma, sempre estiveram presentes
durante minha graduação, meus avós maternos, Moacyr Tardin de Figueiredo e Hilda
Bastos Rezende de Figueiredo e meu avô paterno, Heraldo Machado de Mello.
Dedico este trabalho, ainda, aos meus pais, Heraldo Machado de Mello Júnior e
Alcira Maria de Figueiredo Mello, exemplos inquestionáveis para a minha vida.
v
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, agradeço a Deus pela virtude concedida e pela vitória há muito
almejada.
Agradeço à minha família, meus irmãos Geisa Figueiredo de Mello, Ricardo
Figueiredo de Mello, Ana Clara de Mello Resende e Maria Vitória de Mello Araújo, e a
minha avó paterna, Santina Prucolli de Mello - eles fazem parte dessa conquista.
Agradeço aos meus familiares pelo acolhimento, em especial ao meu tio João
Breno de Figueiredo e família.
Agradeço aos amigos Lucas Silveira Tavares e Pablo Henrique Pancieri
Guarabu. Serão sempre verdadeiros amigos, presentes em todos os momentos.
Agradeço ao meu orientador, Roney Thompson, pela paciência e dedicação
inesgotáveis, e ao colega Marcelo Coimbra por toda contribuição neste projeto.
Agradeço também a todo o departamento do curso de Engenharia de Petróleo,
incluindo professores e colaboradores que atuaram direta ou indiretamente na
consolidação deste curso.
Agradeço, por fim, à toda a equipe de Engenharia da Cosan Combustíveis e
Lubrificantes, pela confiança e pelo companheirismo nesta etapa decisiva da minha
graduação.
vi
RESUMO
Este trabalho estuda uma particularidade da recuperação secundária, essencial
para o desenvolvimento das atividades de exploração de petróleo no mundo, o
escoamento multifásico em meios porosos. O projeto avalia o deslocamento de fluidos
newtonianos em capilares, estabelecendo padrões de escoamento e perfis de velocidade
para os fluidos contidos no reservatório. Serão estabelecidas relações utilizando as
viscosidades, vazão e fator de recuperação. A principal aplicação deste estudo é
estimulação de poços por meio de métodos secundários de recuperação, a injeção de
fluidos.
Um tratamento de recuperação secundária é caracterizado pela substituição de
um fluido existente em um reservatório por um outro fluido, por meio de um
deslocamento no capilar. A partir disso, cria-se uma película de óleo depositada junto a
parede do capilar que não se pode mais recuperar. Este número é a principal variável
necessária para determinar a fração de recuperação do óleo.
Palavras-Chave: escoamento multifásico, deslocamento, reservatório, fator de
recuperação,
métodos secundários, injeção de fluidos.
vii
ABSTRACT
This paper studies a secondary oil recovering particularity, essential to the
developing of activities of petroleum exploration in the world, the multiphase flow in
pores. This project studies the displacement of Newtonian fluids in capillaries,
establishing flow pattern and fluids velocities in the reservoir. It will be determinate
relations using viscosities, flow and oil recovery rate. The main application of this study
is Well Stimulation by secondary recovery methods: fluid injection.
A secondary oil recovering treatment is characterized by the substitution of an
existence fluid in reservoir to other, by a capillary fluid displacement. Thus, an oil skin
deposited in the capillary wall cannot be recovered. This number is the main variable
necessary to calculate the oil recovering fraction.
Key-Words: multiphase flow, displacement, reservoir, recovery rate, secondary
recovering,
fluid injection.
viii
LISTA DE FIGURAS
1.1 Mecanismos de Produção de Petróleo - (a) Capa de Gás; (b) Aquifero Natural;
(c) Gás em solução e (d) Combinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Diferentes fenômenos de deslocamento de Fluidos - Direita: não há formação
de ângulo de contato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Regiões em que se divide o estudo - Regiões I e IV possuem escoamento
plenamente desenvolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1 Modelo a ser utilizado para discretização do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 Gráfico do perfil de velocidades do Fluido 2 na Região I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Perfis de Velocidades - Região IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1 Gráfico Razão de Viscosidades x Fração Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ix
LISTA DE TABELAS
4.1 Perfil de Velocidades Região I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Perfil de Velocidades Região IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Perfil de Velocidades Região IV - Reversão do Fluido 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Efeitos causados pela variação na Razão de Viscosidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
x
SUMÁRIO
1. Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Recuperação de Petróleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Descrição do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Estado da Arte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Organização do Trabalho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Formulação Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Hipóteses Simplificadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Conservação da massa e da quantidade de movimento linear. . . . . . . . . . . .10
2.2.1 Perfis de velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Vazões dos fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Adimensionalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Grupos Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Simplificação das Equações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Balanço de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Condição Crítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Solução Numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1 Discretização do Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Cálculo da Massa Residual e do Altura da Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Cálculo das Velocidades Pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1 Matriz Tri-Diagonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Cálculo das Vazões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Resultados e Discussões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1 Região I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
4.2 Região IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Variações nos Perfis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
xi
5. Conclusões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6. Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
A. Identidades Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
xii
NOMENCLATURA Legenda
0H altura das placas paralelas
bH altura da interface dos fluidos
dx
dp variação da pressão na direção longitudinal
ADdx
dp variação da pressão na direção longitudinal adimensional
I
dx
dp variação da pressão na região I
IV
dx
dp variação da pressão na região IV
I
ADdx
dp variação da pressão adimensional na região I
IV
ADdx
dp variação da pressão adimensional na região IV
m massa residual
mc massa residual na condição crítica
N quantidade total de pontos
N1 quantidade de pontos no fluido 1
N2 quantidade de pontos no fluido 2
v vetor velocidade do fluido
xv velocidade na direção axial x
yv velocidade na direção axial y
zv velocidade na direção axial z
a aceleração do fluido
T tensor das tensões
f forças de corpo
v(i ) velocidade pontual
^
i vetor unitário x
^
j vetor unitário y
xiii
^
k vetor unitário z
D tensor taxa de deformação
W tensor vorticidade
G matriz tri-diagonal
U velocidade do tubo
Iv2 velocidade do fluido 2 na região I
IVv2 velocidade do fluido 2 na região IV
IVv1 velocidade do fluido 1 na região IV
IQ2 vazão do fluido 2 na região I
IVQ2 vazão do fluido 2 na região IV
IVQ1 vazão do fluido 1 na região IV
ηN razão das viscosidades
IVy1δ distância entre os pontos do fluido 1, na região IV
IVy2δ distância entre os pontos do fluido 2, na região IV
Iy2δ distância entre os pontos do fluido 2, na região I
Simbolos (Letras) Gregos (as)
ρ massa específica
1µ viscosidade do fluido 1, Newtoniano
2µ viscosidade do fluido 2, Newtoniano
τ tensão de cisalhamento
γ.
intensidade da taxa de deformação
Sobrescrito
I região I
IV região IV
Subscrito
AD adimensional
* condição crítica
1
1 - Introdução
1.1 Recuperação de Petróleo
O processo de recuperação do óleo contido no reservatório é dividido em três
grupos. O primeiro grupo é classificado como recuperação primária, que se caracteriza
pela utilização da própria energia do fluido para ascensão do petróleo.
São associados à recuperação primária quatro mecanismos de produção que
compreendem: capa de gás (a), aquífero natural (b) e gás em solução (c). O quarto
mecanismo caracteriza-se pela combinação de um ou mais mecanismos citados (d).
Estes, estão esquematicamente ilustrados na figura abaixo:
Fig. 1.1: Mecanismos de Produção de Petróleo - (a) Capa de Gás; (b) Aquifero Natural;
(c)Gás em solução e (d) Combinado.
O aqüífero natural consiste na manutenção da pressão original à medida que a
água toma o espaço contido pelo óleo produzido. O mecanismo de capa de gás consiste
2
na descompressão do gás, aumentando o tamanho da capa de gás contida no
reservatório. O mecanismo gás em solução consiste na existência de uma mistura
saturada de gás, que apresenta valores inferiores de densidade. A recuperação
secundária de petróleo é caracterizada pela suplementação da energia natural do
reservatório por meio da injeção de fluidos, líquido ou gás.
A utilização de poços injetores é largamente aplicada na indústria do petróleo,
uma vez que, além de representar um mecanismo de estimulação do poço, é uma boa
alternativa para o direcionamento de subprodutos da produção do óleo, como o gás
carbônico, gás natural excedente e água produzida.
A recuperação terciária é caracterizada pela manutenção da pressão valendo-se
de efeitos químicos, físicos e biológicos. Podem ser citados os seguintes grupos de
recuperação terciária: térmicos, miscíveis, biológicos e químicos.
Os tratamentos térmicos consistem na elevação da temperatura inicial do óleo,
melhorando suas propriedades químicas. São exemplos de tratamentos térmicos a
injeção de vapor aquecido e combustão in situ.
Métodos miscíveis caracterizam-se pela injeção de substâncias que adquirem
propriedade similar ao óleo, em condições de reservatório. Esse tratamento aumenta
consideravelmente a energia do fluido e reduz o peso da coluna hidrostática, o que
contribui para a produção. Nas condições de superfície, esses fluidos separam-se
facilmente para retomar para a injeção.
Tratamentos biológicos e químicos consistem na injeção de substâncias especiais
que promovem reações químicas no óleo contido no reservatório, refinando a
composição original do reservatório, tornando-o mais leve, o que facilita a produção.
Este trabalho tem como propósito avaliar as condições de um tratamento de
estimulação secundário, tendo em vista a injeção de outro líquido. O principal objetivo
da injeção de fluidos é o deslocamento do fluido existente, resultando na produção do
fluido deslocado.
Um importante aspecto do mecanismo de deslocamento de fluidos é a condição
de interface. Existem dois diferentes fenômenos que ocorrem quando um fluido desloca
outro numa geometria confinada. Um desses fenômenos caracteriza-se pelo completo
deslocamento do fluido pelo fluido deslocador, criando um ângulo de contato que se
move à medida que o deslocamento de segue. Outra condição é quando um filme
residual fica depositado junto à parede do tubo. A condição que determina qual dos
3
fenômenos acima acontecerá está relacionada à molhabilidade dos fluidos envolvidos
associado a parede do tubo. Devem ser
Figura 1.2 – Injeção de Fluidos no Reservatório / Deslocamento de Fluidos entre placas
paralelas
levados em consideração, ainda, parâmetros hidrodinâmicos do problema, como o
número de capilaridade. Segundo Tilton [1], baixos valores para o número de
capilaridade (Ca) favorecem a formação de uma linha de contato, não havendo
deposição de resíduo junto á parede, enquanto valores altos para Ca favorecem a criação
de um filme depositado junto à parede.
Fig. 1.3: Diferentes fenômenos de deslocamento de Fluidos - Direita: não há formação de
ângulo de contato
Tendo em vista o propósito deste trabalho, serão desconsiderados demais
estudos sobre a formação do filme depositado. São de interesse deste trabalho
problemas restritos à formação de filme depositado.
1.2 Descrição do Problema
A grande aplicabilidade do escoamento em superfícies livre na indústria traduz a
importância deste estudo. Superfície livre denomina-se qualquer escoamento onde um
4
determinado fluido escoa em contato com outro fluido, gás ou líquido. Muitos desses
escoamentos são estudados numa geometria fechada, que apresenta diversas
configurações.
Uma das aplicações deste estudo é a recuperação secundária do petróleo. Este
processo consiste na injeção de fluido por um poço injetor. O fluido de injeção desloca
o petróleo ocupando seu espaço nos poros da rocha reservatório. Este deslocamento
pode ser estudado como uma injeção de um fluido num capilar, principal razão para esta
pesquisa. Este processo, entretanto, não é em sua totalidade eficiente. Uma parcela de
óleo fica retida no capilar, denominada fração depositada. Outro interesse deste estudo é
determinar a relação desta fração com as propriedades do fluido injetor.
A figura a seguir representa o modelo a ser utilizado na análise do escoamento
do deslocamento de fluidos. H0 é a altura das placas paralelas e Hb é a altura da bolha
semi infinita formada pelo fluído de injeção. A diferença das alturas será a espessura do
filme líquido retido na parede do capilar.
Fig. 1.3: Regiões em que se divide o estudo - Regiões I e IV possuem escoamento
plenamente
Desenvolvido
Uma medida adimensional da espessura deste filme retido nos poros usada na
literatura é a fração de massa m, definida como a fração da seção reta do tubo
preenchida pelo fluido original após o deslocamento feito pelo fluido injetor
5
1.3 Estado da Arte
Esta etapa deste projeto apresenta alguns trabalhos anteriores de fundamental
importância para a realização deste estudo. Estão descritos abaixo os principais autores
e principais trabalhos contidos na literatura que abordam o tema em questão.
Deslocamento de líquidos Newtonianos
Em 1935, Fairbrother e Stubbs [2] publicam o primeiro trabalho que estudaria
o deslocamento de fluidos Newtonianos num tubo. Fairbrother e Stubbs estudaram o
processo de deslocamento de fluidos Newtonianos por meio de injeção de gás. Esse
seria o primeiro estudo de uma longa bolha de gás deslocando um líquido em um tubo.
O propósito deste trabalho era estabelecer uma relação entre a velocidade da bolha de ar
e a velocidade do escoamento. Assim, tomaram U como a velocidade da bolha, σ como
a tensão superficial e µ como a viscosidade do líquido, e definiu-se a função µ U/ σ, esta
era a única combinação adimensional destes parâmetros. Determinaram, ainda, uma
relação empírica que associava a fração residual e o número de capilaridade:
No mesmo ano Taylor [3] publica seu trabalho que analisava a relação entre a
massa de fluido depositada na parede do tubo e o número de capilaridade, numa injeção
de gás. Os resultados obtidos foram condizentes com os resultados apresentados por
Fairbrother e Stubbs, entretanto somente para baixos valores de Ca, 0 < Ca < 0,09. Este
trabalho mostrou que a fração de líquido depositada na parede aumenta com a
velocidade da interface dos fluidos. Taylor ainda sugere três possíveis padrões de linha
de corrente em relação a uma bolha estacionária. Para baixos números de capilaridade o
6
escoamento deveria apresentar grandes recirculações com presença de anéis e pontos de
estagnação. À medida que se aumentasse Ca, as recirculações desapareciam, permitindo
a existência de um único ponto de estagnação.
Em 1961, F.B.Bretherton [4] apresenta uma análise teórica de deslocamento de
fluidos viscosos em tubos capilares. Encontrou-se uma relação para fração de massa m
depositada na parede válida para baixos números de capilaridade, convergindo com as
expectativas do trabalho de Fairbrother e Stubbs.
No ano seguinte, B. G. Cox [5] publica a continuação do estudo experimental
iniciado por Taylor e conclui que a fração de massa depositada na parede assintotiza
para aproximadamente 0,60 quando o número de capilaridade tende a 10. Cox ainda
desenvolve uma análise teórica simplificada para o cálculo de m. Sua análise mostra-se
adequada nos casos em que as forças devido à tensão são desprezíveis frente às forças
viscosas.
Em 1963, a fim de confirmar os padrões de linhas de corrente a frente de bolha
sugeridos por Taylor, Goldsmith e Mason [6] e, no ano seguinte, Cox, desenvolveram
experimentos de visualização. Os padrões são confirmados apenas para valores
extremos de capilaridade (Ca >> 1 e Ca << 1). No entanto, o padrão de transição do
escoamento não pôde ser observado. O padrão de recirculação intermediário sugerido
por Taylor foi observado apenas através de simulações numéricas, obtido primeiramente
por Giavedoni e Saita, estudando o caso axissimétrico de gás deslocando um líquido
Newtoniano. Eles sugerem que um padrão de recirculação com dois pontos de
estagnação localizados na linha de simetria ocorreria em um número de capilaridade na
faixa de 0,605 ≤ Ca ≤ 0,690.
O trabalho de Goldsmith e Mason foi um dos primeiros trabalhos no qual foi
estudado o deslocamento líquido-líquido num tubo capilar. Foram obtidos resultados
sobre a fração depositada na parede, uma vez feita a injeção de uma longa bolha de
líquido viscoso. Os resultados encontrados mostram valores inversamente proporcionais
à fração mássica depositada m e a relação N =µ2/µ1. Assim, à medida que a relação N
aumenta, a fração residual diminui.
7
1.4 Objetivos
O principal objetivo deste trabalho é a aplicabilidade do estudo de deslocamento
de fluido, no processo de recuperação secundário de petróleo. Serão discutidos neste
projeto fator de recuperação, fração de massa depositada, entre outros.
O processo de recuperação por injeção de fluidos compreende desde a escolha
cuidadosa para o fluido de injeção até os cálculos da eficiência deste fluido. É possível
estabelecer relações entre a viscosidade dos fluidos e o fator de recuperação.
É notório que um dos principais desafios da industria petrolífera mundial é o
aumento do fator de recuperação de poços maduros. Entende-se por poços maduros,
poços de petróleo cuja curva de vazão entra em declínio, necessitando tratamentos de
estimulação. Assim sendo, o que se propões neste trabalho, é um modelo que relacione
a eficiência do fluido ao tratamento desejado.
Portanto, este trabalho tem por objetivo relacionar as variáveis que compõe o
problema, deslocamento de fluidos em capilares, ao processo de recuperação de óleo,
propriamente dito.
1.5 Organização do Trabalho
Este trabalho está dividido em cinco partes que compõe o conteúdo desta
pesquisa. No primeiro capítulo serão discutidos aspectos introdutórios do problema,
além de conceitos fundamentais para melhor compreensão do trabalho.
O segundo capítulo é representado por uma série de deduções tendo em vista a
determinação dos perfis de velocidades dos fluidos confinados. A partir das equações de
balanço de massa e quantidade de movimento linear, será possível determinar os perfis
de velocidades, baseando-se nas condições de contorno que serão estabelecidas.
Ainda no segundo capítulo, serão calculadas as vazões dos fluidos a partir do
cálculo integral dos perfis de velocidades calculados no mesmo capítulo. A vazão é,
8
neste momento, um importante resultado já que fornece dados que devem convergir
com as hipóteses consideradas para resolução do problema. Assim, descobre-se que:
O terceiro capítulo deste projeto, trata a respeito do desenvolvimento de um
programa a ser utilizado para o calculo numérico das vazões dos fluidos. A variável
velocidade será discretizada e avaliada pontualmente, de acordo com pequenos
incrementos na posição vertical. Um algoritmo simples calcula a vazão dos fluidos a
partir da integral retangular da velocidade sobre um intervalo qualquer.
O quarto capítulo discute a respeito dos resultados alcançados e os resultados
esperados. Assim, é possível nesse capítulo, avaliar a efetividade do programa.
Finalmente, no quinto capítulo são avaliadas as relações entre um tratamento de
recuperação secundária e o fenômeno de deslocamento de fluidos em capilares. É nesta
etapa do projeto que se tem uma visão esclarecedora dos efeitos das propriedades dos
fluidos na fração de recuperação, ou na fração depositada na parede. Tal que:
9
2 – Formulação Matemática
Este capítulo define matematicamente o problema que caracteriza o
deslocamento de fluidos em capilares. Assim, serão utilizadas neste capitulo às
condições de contorno as quais o problema está sujeito, hipóteses que tornarão o
problema razoável e princípios físicos essenciais da mecânica dos fluidos.
A partir das equações de balanço de massa por unidade de volume e conservação
da quantidade de movimento linear, buscar-se-á a obtenção dos perfis de velocidades
dos fluidos confinados. Uma vez estabelecidos esses perfis, será destinada atenção
especial para a definição das vazões dos fluidos.
Posteriormente, serão definidos conceitos de adimensionalização e condições
críticas, variáveis relevantes neste estudo.
2.1 Hipóteses Simplificadoras
A partir dos trabalhos desenvolvidos por Edson J. Soares e Roney Leon
Thompson [7] e [8] e tendo em vista estabelecer os padrões de deslocamento de fluidos
Newtonianos entre as placas paralelas, inicia-se este trabalho estabelecendo as seguintes
premissas:
1. Região IV suficientemente afastada da ponta da gota;
2. Região I suficientemente afastada da ponta da gota;
3. Referencial situado na ponta da gota;
4. Regime permanente;
5. Escoamento laminar;
6. Escoamento bidimensional;
7. Influência das forças gravitacionais desprezível;
8. Os dois fluidos são incompressíveis;
9. Fluidos imiscíveis.
10. Condição de não escorregamento na parede
10
2.2 Conservação da quantidade de movimento linear
Um problema encontrado para o escoamento descrito acima é que a gota se
move com determinada velocidade, logo não é possível considerá-la como um
referencial inercial. Para a solução deste problema duas hipóteses serão adotadas. A
primeira é dada que o perfil da interface entre os dois fluido assume uma forma fixa a
uma distância suficiente da ponta da gota, logo podemos desconsiderar a inércia e
assumir que a gota não está acelerando. Pela segunda consideração assumi-se o
referencial situado na ponta da gota, assim a gota está parada e o tubo se move com
determinada velocidade.
Os perfis de velocidades são desenvolvidos a partir das equações de conservação
de massa e da quantidade de movimento linear para um fluido não inercial
incompressível, sujeitados a determinadas condições de contorno. Assim, pode-se
escrever as próximas equações da seguinte maneira:
Onde:
v = Vetor de velocidade do fluido;
a = Aceleração do fluido;
T = Componentes do tensor das tensões, e
f = Forças de corpo ao qual o fluido está sujeitado.
Considerando que ambos os fluidos são incompressíveis, tal que ρ = constante,
tem-se que:
Para um determinado campo de velocidades:
11
Assim temos em coordenadas cartesianas:
Simplifica-se a equação anterior assumindo que o escoamento é bidimensional,
ou seja:
Tendo em vista que o escoamento é desenvolvido na direção ^
i , ou seja, não há
variações no campo de velocidades nas direções x e z, tem-se que:
Assim, tendo em vista estas considerações na equação (2.4), chega-se a seguinte
conclusão:
A integral desta equação diferencial resulta em:
Consequentemente, C1 é uma constante que determina-se a partir das condições
das hipóteses consideradas no início deste capítulo.
12
A partir da condição física de que a velocidade assume um valor finito no centro
das placas, além da condição de simetria neste mesmo ponto, a constante C1 deve
assumir o seguinte valor:
O que resulta em:
Por fim, o perfil de velocidades assume a seguinte descrição:
Faz-se necessário ressaltar que, tendo em vista que o perfil de velocidade assume
única direção ^
j , não consideraremos o índice y para nos referir a esta direção axial.
Neste instante, inicia-se uma série de postulados tendo em vista a simplificação
da equação da quantidade de movimento linear (2.2), tal qual realizado para a equação
de conservação da massa (2.1).
Desprezando-se as forças de corpo (f = 0):
Considerando e escoamento desenvolvido e regime permanente (a = 0), isto implica em:
13
O tensor das tensões T pode ser escrito em tensões normais e cisalhantes, como se
segue:
Considerando variações no campo de velocidade apenas na direção ^
j , tem-se que:
Resolvendo esta integral, encontra-se:
A tensão de cisalhamento no centro é nula, ou seja:
Assim, concluí-se que C2 = 0. A equação da quantidade de movimento linear (2.2), será
escrita como:
Sabe-se que, para um fluido Newtoniano qualquer, existe a seguinte relação:
Onde:
)(.
γη = viscosidade dependente da taxa de deformação;
γ.
= intensidade taxa de deformação;
D = tensor taxa de deformação
14
O tensor taxa de deformação D é descrito por:
Para vL T∇= . Tem-se que:
Pode-se escrever L da seguinte maneira:
Onde W é o tensor vorticidade, esse não será levado em consideração neste trabalho.
Definindo-se γ.
, intensidade da taxa de deformação, como a seguinte expressão:
Sabe-se que tr (2D)2 é o traço da matriz (2D)2, o primeiro invariante de um tensor, e que
para o presente problema D será:
Tendo em vista que o traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal
principal, e resolvendo-se a equação (2.14) obtém-se:
15
Assim, a combinação das equações da tensão de cisalhamento (2.11), da
intensidade da taxa de deformação (2.14), obtém-se uma expressão para a tensão de
cisalhamento de um fluido newtoniano generalizado em função da velocidade,
viscosidade e da posição y.
Consequentemente, tem-se as equações que governam a tensão de cisalhamento
ao longo das placas paralelas. Este trabalho considera dois fluidos Newtonianos entre
placas paralelas, assim sendo a equação (2.17) rege este estudo, tanto para o fluido
deslocador, quanto para o fluido deslocado. Esta equação também será fundamental na
elaboração de um método numérico para solução dos perfis de velocidades.
2.2.1 Perfis de Velocidade
O problema proposto neste trabalho é caracterizado pelo deslocamento de um
fluido Newtoniano, por meio de outro fluido Newtoniano, injetado entre placas
paralelas.
O modelo é dividido em quatro regiões, porém serão levadas em conta apenas
duas regiões, em que o escoamento é plenamente desenvolvido. As regiões I e IV da
figura se referem à parte do problema em que o escoamento é desenvolvido e assume
regime permanente.
Para tornar o problema razoável, como citado anteriormente, foi atribuída às
placas velocidade U, sendo a ponta da bolha o referencial fixo. Esta velocidade é a
mesma velocidade média que a bolha avança, deslocando o fluido inicialmente contido
entre as placas.
Desta forma, serão determinados os perfis de velocidades dos fluidos
Newtonianos nas regiões em que se darão o estudo, uma vez que se tem as expressões
que definem as tensões cisalhantes dos fluidos em questão. A partir das condições de
contorno estabelecidas, pode-se determinar uma equação para as velocidades dos
16
respectivos fluidos ao longo das placas substituindo yxτ da equação (2.10) na equação
(2.17).
A iniciar-se pela região IV, temos que dividir a região em dois domínios, o
primeiro que caracteriza o fluido deslocador, onde a equação (2.17) é valida para a
altura variando de 0 ≤ y ≤ Hb e a segunda região que se vale da mesma equação,
entretanto compreende os limites Hb ≤ y ≤ H0. Será desenvolvido o perfil de velocidades
para o fluido 2, ou seja para Hb ≤ y ≤ H0.
A integral resulta na equação:
Tendo em vista a condição de contorno para as placas paralelas, y = H0, a
velocidade é conhecida e vale U, assim o valor da constante C3 é:
De forma que, fazendo as modificações necessárias, o perfil de velocidade do
fluido 2, na região IV, será dado pela seguinte equação:
Analogamente, pode-se desenvolver a equação do fluido 1, ou seja para 0 ≤ y ≤ Hb.
Visto que 0>∂
∂
y
v y então:
17
Integrando esta equação, teremos:
Sabendo-se que as velocidades na interface dos fluidos, para y = Hb, são iguais,
é simples calcular o valor da constante C4:
Assim, o perfil de velocidades do fluido 1 na região IV é dado pela seguinte
expressão:
Partiremos agora para a determinação dos perfis de velocidade do fluido 2 na
região I. Usaremos a mesma equação (2.17). Serão utilizadas as condições de contorno
aplicáveis para esta região. Logo, obtém-se:
Resolvendo a equação diferencial acima:
E, tendo em vista a condição de contorno que se estabeleceu quando atribuímos
velocidade U a parede, ou seja, UHyv I == )( 02 . Então:
18
Logo, tem-se o seguinte perfil de velocidades para o fluido 2 na região I:
Vale ressaltar que esta expressão acima é bem similar ao perfil de velocidades
encontrado para o fluido 2 na região IV. Estes se diferem apenas pelo gradiente de
pressão dx
dp. Esta equação é válida para todo o domínio de y, ou seja 0 ≤ y ≤ H0. A
seguir, a expressão analítica que relaciona os dois perfis e a massa residual.
Assim, foram obtidos as expressões analíticas para os perfis de velocidade de
ambos os fluidos. Sendo a equação (2.19) governante para o fluido newtoniano
deslocado (fluido 2) e a equação (2.21) governante para o fluido newtoniano deslocante
(fluido 1), na região IV, e a equação (2.22) para o fluido newtoniano deslocado na
região I.
2.2 Vazões dos fluidos
A partir de agora, o interesse deste projeto passa a ser a determinação das vazões
dos fluidos 1 e 2, em suas respectivas regiões. Fica fácil o cálculo destas vazões, já que
tem-se em mãos os perfis de velocidade. Assim, a seguinte expressão é válida para a
vazão de um fluido:
Esta integral representa a vazão do fluido i por unidade de comprimento das
placas paralelas.
19
Assim, substitui-se o termo vi por IVv1 , já que se deseja a expressão para a vazão
do fluido 2 na região I, logo:
A resolução desta integral mostra que:
Analogamente, a substituição de vi por IVv2 e IVv1 , bem como a resolução em seus
respectivos domínios, resulta nas equações para as vazões dos fluidos 1 e 2 na região
IV, como se segue.
Integrando-as:
Desenvolvendo-as:
20
Com as expressões acima conseguimos calcular um resultado analítico para a
vazão do fluido 1, na região IV, e para as vazões do fluido 2 tanto, na região IV, como
na região I.
2.3 Adimensionalização
Serão definidos termos adimensionais para auxiliar na apresentação de diversas
equações.
2.3.1 Grupos Adimensionais
Antes de introduzir os termos adimensionais nas equações, precisam estar claros
os parâmetros adimensionais envolvidos. Assim, seguem os parâmetros adimensionais a
serem introduzidos.
Razão das viscosidades
A razão das viscosidades ( ηN ) é definida como a razão entre a viscosidade
dinâmica do fluido 2 (µ2) e a viscosidade dinâmica do fluido 1(µ1). Assim, ηN é dado
por:
Queda de pressão adimensional
A variação de pressão adimensional é construída da tensão característica no fluido 2,
como a seguir:
2.3.2 Simplificação das Equações
21
Logo, substituindo as equações de massa residual definida no capítulo 1, (3.2) e
da variação de pressão adimensional (2.28) nas equações das vazões dos fluidos
deslocado e deslocador, chega-se às seguintes equações para as vazões dos fluidos:
2.4 Balanço de massa
Tendo em vista a conservação da massa para as regiões I e IV, tem-se que a
vazão do
fluido 2 na região I deve ser igual a vazão do mesmo fluido na região IV, por outro lado
a vazão do fluido 1 na região IV deve ser nula, assim:
Substituindo a equação da vazão simplificada do fluido 1 (2.31), na região IV,
na equação (2.33), uma vez que deve ser atendida a conservação da massa, pode-se
obter uma relação para a fração de massa depositada na parede, m, e a variação de
pressão adimensional, que é dada por:
22
Consequentemente:
Analogamente, valendo-se das relações de conservação da massa estabelecidas
anteriormente, pode-se igualar as vazões do fluido 2 nas regiões I e IV, (2.29) e (2.30),
assim, chega-se a uma expressão que relaciona a queda de pressão adimensional na
região I com a queda de pressão adimensional na região IV. Como se segue:
Logo:
2.5 Condição Crítica
Entende-se pelo caso crítico, o perfil de velocidades do fluido 2 na região 1 que
apresenta iminência de recirculação, ou seja, a velocidade mínima do perfil de
velocidades, no centro das placas, é zero. Isto corresponde ao caso em que o fluido está
prestes a criar um perfil de velocidades que inicia-se em valores negativos e aumenta até
chegar na velocidade U.
O perfil de velocidade do fluido 2, na região I, é expresso pela equação (2.22),
assim, pode-se determinar o valor da variação de pressão que proporciona a condição
crítica. Logo:
23
Dividindo-se por U:
Associando o valor da pressão da condição crítica à queda de pressão
adimensional, equação (2.28), chega-se à seguinte expressão:
Logo, substituindo este resultado, na equação (2.35), consegue-se determinar
uma relação entre a variação de pressão adimensional na região IV (IV
ADdx
dp) e a massa
residual (m). Da seguinte forma:
Assim, completa-se o embasamento teórico necessário para o propósito deste
trabalho. O próximo capítulo abordará a criação de um programa no software Fortran
que auxiliará na determinação dos perfis de velocidades dos fluidos, bem como a
obtenção de um valor para a queda de pressão adimensional na região IV.
24
3 – Solução Numérica
Uma vez equacionado o problema, o objetivo deste trabalho torna-se a
elaboração de um programa que determine as principais variáveis mencionadas
anteriormente, a partir de dados de entrada, apresentados pelo executor do programa. O
programa a ser descrito buscará a solução para os perfis de velocidade e das vazões de
ambos os fluidos, assim, será possível obter as soluções numéricas para as incógnitas
citadas.
Neste capítulo, serão apresentados e discutidos os algoritmos utilizados para o
desenvolvimento dos programas.
3.1 Discretização do Problema
Primeiramente, será necessário dividir os espaço em questão, 0 ≤ y ≤ H0, em
intervalos discretos. Para tanto, se pega o valor H0 e dividi-se em determinado número
de pontos. Isto para a região I. Para a região IV será preciso estabelecer dois domínios
diferentes, afinal, não é possível predizer a altura da interface dos fluidos.
De modo que, para a região IV, a partir da linha de centro, até a interface dos
fluidos (y = Hb), serão estabelecidos N1 pontos, este será um domínio. Para a parte
compreendida entre y = Hb e y = H0, têm-se outros N2 pontos que dividem o domínio.
Tal que, representa o número de pontos da região IV, a soma:
Onde:
25
IVy1δ = a distância entre cada ponto do domínio para o fluido 1, válido para 0 ≤ y ≤ Hb
e
IVy2δ = a distância entre cada ponto do domínio para o fluido 2, ou seja pra Hb ≤ y ≤ H0.
Como na região I há somente um domínio, basta dividir o espaço H0 pelo
número de pontos do domínio:
Assim, a figura abaixo ilustra o mecanismo que será utilizado para discretização
do problema.
Fig. 3.1: Modelo a ser utilizado para discretização do problema
3.2 Cálculo da Massa Residual e do Altura da Interface
Tendo em vista que não se sabe ao certo a posição da interface, é necessário a
criação de uma rotina que calcule a altura da interface. Como observado nas equações
3.1 e 3.2, a variável yδ é função de Hb.
Assim, é fundamental que seja determinada esta altura. Para tanto, vale-se da
equação, tal que:
Precisa-se que seja determinada analiticamente a variável m, por isso,
desenvolvendo a equação (2.34), tem-se que:
26
Logo, substituindo o resultado acima na equação (3.4), é possível estabelecer
uma relação entre a altura da interface e as variáveis de entrada do programa, como se
segue:
Onde as variáveis H0, ηN e IV
ADdx
dp são dados de entrada do programa.
3.3 Cálculo das Velocidades Pontuais
Fórmulas de diferenças finitas podem ser obtidas através do desenvolvimento
em série de Taylor. As funções f (y+δy) e f (y-δy) podem ser escritas como um
somatório de parcelas, como se segue:
Admitindo-se que δy assume um valor muito pequeno, consequentemente, é
desprezível em relação a δy, a série será truncada no segundo coeficiente. Deste modo
aproximamos a série para:
27
Reescrevendo as equações, isolando a primeira derivada, temos que:
Foi estabelecido no capítulo anterior que a velocidade (v) varia somente na
direção (^
j ), assim se a função f (y) = v(y), então as equações acima podem ser rescritas
da seguinte forma:
Utilizando a equação (2.18), deduzida no capítulo anterior, temos que:
Logo:
Discretizando o perfil de velocidades do fluido 2 na região IV, é possível
estabelecer a seguinte relação para as velocidades pontuais:
28
Entretanto, esta expressão é válida para os dois domínios estabelecidos no início
deste capítulo, onde 2 ≤ i ≤ N1-1 e N2 ≤ i ≤ N -1, em que i é o ponto onde deseja-se saber
a velocidade.
A partir das condições de contorno estabelecidas, serão estabelecidas demais
equações que irão compor o sistema, completando todo o domínio estabelecido.
Para a parede do tubo, i = N, tem-se que:
Consequentemente:
Para i = 1, na linha de centro das placas paralelas, em (y = 0):
Sendo assim:
Por fim, para i = N1, ou seja, na interface dos dois fluidos (y = Hb), as tensões
cisalhantes dos fluidos são iguais ([ yxτ ]1 = [ yxτ ]2), tal que:
Portanto,
Consequentemente tem-se a seguinte relação:
29
Com isso foram determinadas as expressões para as velocidades pontuais em
todo o domínio das placas paralelas. Ainda sim, utilizaremos, para a solução desse
sistema de equações, uma matriz tri-diagonal e fatoração LU conforme será descrito
abaixo.
3.3.1 Matriz Tri-Diagonal
Tendo em vista o truncamento da série de Taylor na segunda derivada, o
mecanismo de diferenças finitas para determinação dos perfis assume a seguinte
configuração:
Para solução iterativa deste perfil, será usada a matriz tri-diagonal, onde os três
principais elementos representam os coeficientes que multiplicam as velocidades nos
pontos i-1, i e i+1.
Defini-se, então, uma matriz tri-diagonal. Essa matriz que possui elementos
diferentes não nulos na diagonal principal e nas diagonais imediatamente superior e
inferior à diagonal principal. Abaixo é possível visualizar a configuração de uma matriz
tri-diagonal.
30
Construção da Matriz Tri-Diagonal
Considerando-se o seguinte produto entre matrizes:
Tem-se que:
A partir das equações encontradas acima é possível encontrar os valores dos
elementos que compõem a matriz G e F. Primeiramente para os pontos dentro do fluido
1, ou seja 2 ≤ i ≤ N1-1, da equação (3.11) chega-se a:
31
Onde y(i ) é a altura do ponto em questão. E é dado por y(i ) = (i -1) IVy1δ .
Para os pontos dentro do fluido 2, ou seja N1+1 ≤ i ≤ N ¡1, da equação (3.10):
Onde y(i), agora, é calculado por y(i ) = Hb + (i-N1) IVy2δ
Definidos os termos dos pontos que estão dentro do fluido, serão determinados
determinar os termos dos pontos, na linha de centro, na interface entre os dois fluidos e
na parede do tubo. Na linha de centro, quando i = 1, da equação (3.12), tem-se que:
Em y máximo das paredes, para i = N, da equação (3.14) deduzimos que:
Finalmente para o ponto da interface, onde i = N1. Da equação (3.14):
Assim, foram definidas as expressões que irão compor a equação (3.15).
Consequentemente será formado um sistema em que as incógnitas são as velocidades
pontuais, para a região IV.
Tomam-se como dados de entrada: a velocidade da parede (U), a altura das
placas paralelas (H0), a viscosidade do fluido 1 (µ1) e 2 (µ2), o valor do gradiente de
pressão na região IV (IV
dx
dp ) e as quantidades de pontos do fluido 1 (N1) e do fluido 2
(N2), e com o auxílio de sub-rotinas de fatoração do LAPACK ("Linear Algebra
Package") é possível encontrar a solução para todo o perfil de velocidades no domínio
32
estabelecido. Já para a região I o dado de entrada será somente o gradiente de pressão
calculado na região IV para a região I.
3.4 Cálculo das Vazões
Uma vez calculadas as velocidades pontuais dos fluidos é possível calcular as
suas respectivas vazões. Se aproximarmos a integral ao somatório da vazão através de
pequenas áreas, então a expressão (2.23), pode ser escrita também como:
Onde j pode ser 1 ou 2 dependendo do fluido que deseja-se calcular
Valendo-se da equação anterior, bem como o perfil de velocidades encontrado é
possível determinar a vazão do fluido 1 como também do fluido 2, na região IV, como
demonstram as expressões abaixo:
Como a vazão do fluido 1 (QIV) é zero será usado esta condição para comprovar
a confiabilidade do programa. Logo, se esta condição for satisfeita, pode-se afirmar que
o programa alcança resultados esperados.
Para a região I:
33
4 – Resultados e Disucussões
Neste capítulo serão mostrados os resultados obtidos a partir da elaboração dos
programas criados no software Fortran. Como citado anteriormente, foram criados dois
programas que calculam, a partir de diferenças finitas, o valor da velocidade dos fluidos
pontuais.
4.1 Região I
No capítulo II foi obtida uma função de segundo grau que viabiliza a elaboração
do perfil de velocidades analítico para o fluido II na região I. Esse perfil é dado por:
Essa função estabelece o valor analítico da velocidade do fluido II, a partir de
uma relação entre os dados de entrada do programa e a posição y em questão.
Considerando que o domínio H0 foi dividido em N-1 espaços iguais, de acordo
com o algoritmo estabelecido para a região I, e que a função acima deve ser avaliada na
variável y pontualmente para cada incremento H0/(N-1) até que se alcance a posição
máxima H0, será estabelecido o valor analítico da velocidade para cada ponto em que se
espera que o programa determine uma velocidade discreta.
Assim, têm-se os valores analíticos para cada ponto que o programa determinará,
paralelamente, a velocidade do fluido.
O estudo realizado para demonstrar os resultados tiveram como base os
seguintes dados de entrada:
34
O desenvolvimento do programa fornece valores discretos para as velocidades
pontuais. A partir de uma simulação proposta, e posterior comparação dos resultados
alcançados, mostrados na tabela a seguir, é possível observar que os valores
experimentais convergem com os valores analíticos.
Tab. 4.1: Perfil de Velocidades Região I
A partir de uma observação do padrão da curva fornecida pelos pontos, pode-se
notar que esses formam uma parábola, como esperado pelo perfil analítico determinado
no capítulo II, conforme equação (2.22).
Buscando estabelecer uma ferramenta que estudasse a compatibilidade do perfil
de velocidades determinado, foi elaborado um gráfico a partir da tabela anterior que
mostrasse o perfil de velocidades numérico. Como se segue:
35
Fig. 4.1: Gráfico do perfil de velocidades do Fluido 2 na Região I
O perfil retrata o esperado. O perfil assume realmente um comportamento
parabólico.
4.2 Região IV
A região IV é composta por dois fluidos, o que torna esta região um pouco
complexa em relação a primeira. Assim, têm-se as duas equações abaixo que
determinam o perfil analítico de velocidades.
Análogo à região I, a partir das equações acima, poderá ser feito um comparativo
entre o valor da velocidade fornecido pelo programa e o valor analítico. Diferentemente
36
da região I, a região IV possui dois domínio distintos, que serão divididos em N1 e N2
pontos.
A partir da equação (3.9), é possível determinar a altura da interface, assim fica
fácil estabelecer as posições y em que serão avaliadas os valores das velocidades
associadas. Assim, toma-se a diferença H0-Hb e a divide por N2 pontos. Logo, tem-se os
incrementos de posição que devem ser adicionados a y = Hb até que se chegue a ymax =
H0.
Da mesma forma, dividi-se a altura da interface Hb por N1-1 partes. Assim, tem-
se os incrementos de posição que devem ser avaliados seus perfis de velocidades desde
a origem, y=0.
A partir disto foram avaliados os perfis de velocidades e se obteve os seguintes
resultados, para N1 = N2 = 100:
Tab. 4.2: Perfil de Velocidades Região IV
37
A interface ocorre no ponto N = 100, e é compatível com a condição de contorno
que estabelece que a velocidade na interface é comum para os dois fluidos.
Tendo em vista que se deve atender a condição estabelecida no capítulo II, tal
que:
Constatou-se que o perfil de velocidades apresenta reversão e ocorre na posição em que
v(y) = 0, como mostra a tabela abaixo, comparando os resultados analíticos e
experimentais.
Tab. 4.3: Perfil de Velocidades Região IV - Reversão do Fluido 1
O cálculo da integral feita por para o perfil de velocidades, admite erro na ordem
e grandeza 10-3, e se aproxima de zero.
Por fim, para ilustrar a apresentação dos resultados, o gráfico a seguir ilustra o
perfil de velocidades numérico.
38
Fig. 4.2: Perfis de Velocidades - Região IV
É possível perceber que o perfil descreve uma parábola. O fluido 1 apresenta
reversão, a medida que o fluido 1 assume valores negativos para a velocidade. Além
disso, fica clara a posição da interface.
4.3 Variações nos Perfis
Uma vez comprovada a efetividade do programa, passa-se a utilizá-lo como uma
ferramenta para a determinação dos resultados de um tratamento de deslocamento de
fluidos newtonianos em capilares.
Assim, a principal variável neste estudo, a razão de viscosidade ηN , será
submetida a variações e os resultados serão colocados lado a lado, de forma que será
possível visualizar a interferência desta variável no procedimento a ser realizado.
Para tanto, ampliou-se o estudo acima considerando a razão de viscosidade igual
a ηN = 6 e ηN = 8, e observaram-se os seguintes resultados:
39
Tab. 4.4: Efeitos causados pela variação na Razão de Viscosidades
Observando a tabela acima, é possível visualizar que a medida que se aumenta a
razão de viscosidades a altura da interface diminui, o que significa dizer que quanto
menor a viscosidade do fluido deslocante, em relação a viscosidade do fluido deslocado,
melhor será o
fator de recuperação.
Entretanto, tende-se a acreditar que a menor viscosidade possível, para um fluido
injetado, resultaria no melhor resultado para a estimulação, o que seria incorreto.
40
5 – Conclusões
O objetivo principal da recuperação secundária é a suplementação da energia
primária do reservatório, o que resulta no aumento da eficiência da recuperação e a
aceleração da produção.
A energia primária do reservatório é usualmente baixa, e é mensurada pelo
pacote de energia que o reservatório dispõe na época da sua descoberta. Esse pacote de
energia está fortemente ligado ao mecanismo de produção, ao tipo de fluido e as
propriedades desse fluido e das características do reservatório.
Assim, poços podem não ser surgentes, ou seja, a energia primária do
reservatório não é suficiente para vencer a coluna hidrostática de produção. Apesar
disso, esses poços não devem ser classificados como inviáveis economicamente.
É nesse contexto que a recuperação secundária deixa de ser apenas uma
ferramenta de estimulação de poços. Consequentemente, esse tratamento deve ser
avaliado como uma ferramenta de viabilidade econômica do poço, já que esse
tratamento não só aumenta as reservas recuperáveis, como também acelera a produção
do reservatório. Isso implica na antecipação do fluxo de caixa, o que agrega ao poço
valor presente e, consequentemente, melhora a viabilidade econômica do investimento.
Quanto a aplicabilidade do estudo realizado, pode-se dizer que apresentou
resultados esperados e a compatibilidade foi alcançada. O programa satisfaz as
expectativas, já que o erro obtido é bem reduzido, tendo em vista que o erro propagado
relaciona-se com o truncamento escolhido na segunda derivada do desenvolvimento da
série de Taylor, no capítulo III.
O erro de truncatura da série de Taylor, é expresso pela ordem de grandeza do
primeiro termo desprezado da série. Para a simulação apresentada no capítulo anterior,
os erros aparecem na ordem de grandeza de 10-3.
O programa desenvolvido permite que o executor veja o efeito causado pela
variação da razão de viscosidades, Nη, no fenômeno de deslocamento de fluidos
newtonianos. A razão de viscosidades é uma variável que influi na altura da interface
dos fluidos. Por sua vez, a altura da interface, determinada por meio da equação (3.9), é
uma variável essencial para determinação da fração de massa depositada na parede, o
que representa a efetividade do tratamento de estimulação.
41
A partir da rotina criada no software Fortran, é possível reparar, ainda, os efeitos
causados por demais variáveis de entrada nos resultados esperados. Assim, espera-se
que este programa represente uma ferramenta no auxílio para resultados esperados para
um determinado fluido a ser injetado, tendo em vista seu custo e aplicabilidade no local.
Como se pode observar no gráfico a seguir, a razão de viscosidades influi na
posição da interface dos fluidos, assim como exposto na tabela 4.4. Pode-se observar
que a curva que melhor se adequa aos pontos em destaque é um polinômio de ordem 3.
Fig. 5.1: Gráfico Razão de Viscosidades x Fração Residual
42
6 - Referências Bibliográficas
[1] J.N. Tilton. The stead motion of an interface between two viscous liquid in a
capillary tube. Chem. Eng. Sci, 43:1371–1384, 1987.
[2] F. Fairbrother and A.E. Stubbs. Studies in electro-endosmosis part vi the
“bubbletube" method of measurement. J. Chem. Society, 1:527–539, 1935.
[3] G.I. Taylor. Deposition of a viscous fluid on the wall of a tube. J. Fluid Mech.,
10:161– 165, 1961.
[4] F.P. Bretherton. The motion of long bubble in tubes. J. Fluid Mech., 10:166–188,
1961.
[5] B.G. Cox. On driving a viscous fluid out of a tube. J. Fluid Mech., 20:81–96, 1962.
[6] H.L. Goldsmith and S.G. Mason. The flow of suspensions through tubes. J. Colloid
Sci., 18:237–261, 1963.
[7] E.J. Soares e Roney L. Thompson. Flow regimes near a steady interface between
two immiscible viscous liquids moving through a capillary tube. J. Fluid Mech., 2008.
[8] D.A. Sousa, E.J. Soares, R.S. Queiroz, and Roney L. Thompson. Numerical
investigation on gas-displacement of a shear-thinning liquid and a visco-plastic material
in capillary tubes. J. Non-Newt. Fluid Mech., 144:149–159, 2007.
43
Apêndice A
Identidades Matemáticas
Teorema da Divergência (Gauss)
• Para um vetor g:
• Para um escalar φ:
• Para um tensor de segunda ordem:
Teorema do Transporte de Reynolds
