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CILINDRO

Professor: Elismar Morais

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I – CILINDRO Considere α e β planos paralelos distintos, C um círculo em α, e s uma reta secante aos planos α e β.

Chamamos de cilindro circular, ou apenas cilindro, o sólido (corpo redondo) formado pela reunião de

todos os segmentos de reta de medida g, paralelos à reta s, e que têm uma extremidade na região circular

C e a outra extremidade em um ponto de β.

Eixo: é a reta que contém os centros das bases;

Geratrizes: são os segmentos paralelos ao eixo e cujas extremidades são pontos das circunferências das

bases.

Cilindro de revolução é o sólido obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de um eixo que

contém um dos seus lados.

CILINDRO


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Elementos:

: eixo do cilindro;

Os circulos gerados pela rotação dos lados e são as bases do cilindro;

A superficie gerada pelo lado é chamada superfície lateral do cilindro;

r: é o raio;

h: altura

e

AB CD

BC

Planificação A superfície lateral do cilindro é um retângulo em que:

o comprimento do retângulo é igual ao perímetro do círculo da base do cilindro;

a largura do retângulo é igual à altura do cilindro. As bases do cilindro são círculos geometricamente iguais.

Secção meridiana

É a intersecção do cilindro com um plano que cotam o eixo

Quando a secção meridiana é um quadrado, isto é, quando g = h=2r temos um cilindro eqüilátero.

CILINDRO


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Secção transversal

É o circulo obtido quando seccionamos o cilindro com um plano paralelo as bases.

Área da base: 2Ab r

Área lateral: é a área do retângulo de base 2 r e altura h 2lA rh

Área total é a reunião da área da superfície lateral com a área dos círculos das

bases. 22A 2 2

2 ( )

t b l t

t

A A A r rh

A r h r

VOLUME

Considere a figura abaixo:

Observe que cada plano β, paralelo a α, que seciona o cilindro também seciona o prisma, determinando

as seções do cilindro e do prisma, ambas de mesma área, já que B1 = B2

Assim, pelo princípio de Cavalieri,o volume do cilindro é igual ao volume do prisma:

2

o V , então prisma b cilindro b

cilindro

Como A h V A h

V r h

CILINDRO


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Exemplos:

1 – Dado o cilindro da figura, calcular:

a) A área da base

b) A área lateral

c) A área total

d) O volume

2 2 2

2

2

2 2 3

Re

6 :

5 cm

a) A A 6 A 36 cm

b) A 2 A 2 6 5 A 60 cm

c) A 2 A 60 2 36 A 132 cm

) V= 6 5 36 5 180 cm

b b b

l l l

t l b t t

solução

r cmDados

h

r

rh

A A

d r h V V V

2 - quantos centímetros quadrados de material são usados, aproximadamente, para

fabricar a lata de óleo indicada ao lado?

2

2 2 2

2

8 cm; r=4 cm; h=19 cm.

, considerando =3,14, temos:

A 2 A 2 3,14 4 19 A 477,28 cm

A 2 A 2 3,14 4 A 100,48 cm

A 2 A 477,28 100,48 A 577,76 cm

l l l

b b b

t l b t t

Diâmetro

Logo

rh

r

A A

3 - A figura ao lado mostra um cilindro inscrito num cubo. O volume do cilindro é 64 cm3

. calcule o volume do

cubo.

2 2 3 3 3

3

a altura do cilindro é igual ao seu diâmetro, temos:

V= 64 2 2 64 32 2 4

a do cubo é igual ao diâmetro do cilindro, temos:

a=2r=4 4

então calcular o volume do cubo:

Como

r h r r r r r

Como aresta

Vamos

3

3 33V=a 4 4 256 cm

.

EXERCÍCIOS

1-(UNIFESP_2003_3dia) Um recipiente, contendo água, tem a forma de um cilindro circular reto de altura h = 50 cm e raio r = 15 cm. Este recipiente contém 1 litro de água a menos que sua capacidade total.

CILINDRO


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a) Calcule o volume de água contido no cilindro (use p = 3,14). b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que, introduzida no cilindro e totalmente submersa, faça transbordar exatamente 2 litros de água?

2 - Um restaurante costuma usar panelas enormes em dias de muito movimento. Para encher de água uma dessas

panelas o cozinheiro utiliza latas (ou galões) de 18 litros. Quantos desses galões são necessários para encher

completamente uma panela de 60 cm de diâmetro e 50 cm de altura?

3. (UFPA) O reservatório cilíndrico de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento.

Se você gasta 5 mm³ de tinta por dia, a tinta de sua esferográfica durará:

a) 20 dias b) 40 dias c) 50 dias d) 80 dias e) 100 dias

4. (UFBA) O tonel representado ao lado, está ocupado em 80% da sua capacidade.

A quantidade de água nele contida é de:

a) 20 l b) 30 l c) 40 l d) 50 l e) 60 l

5 - (UERJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm e raio está sobre uma superfície plana

horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura.

Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando =3, a medida,

em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a:

6 - Uma seringa tem a forma cilíndrica com 2 cm de diâmetro por 8 cm de comprimento. Quando o êmbolo se

afastar 5 cm da extremidade da seringa próxima à agulha, qual o volume, em mililitros, de remédio líquido que a

seringa pode conter?

CILINDRO


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7 - (Mackenzie-SP) Num cilindro reto, maciço, foi feito um orifício com a forma de um prisma quadrangular

regular, inscrito conforme a figura. Supondo = 3, se o cilindro tem altura 30 e raio da base 2, o volume da parte

do cilindro que permaneceu é:

a) 180 b) 150 c) 100 d) 120 e) 90

8 - A figura ao lado representa um tambor, desses que são usados no transporte de óleo. O raio da sua base mede 30

cm e a altura, 85 cm. Qual o custo do material utilizado na sua confecção(desprezando as perdas), sabendo-se que o

metro quadrado custa R$ 100,07

9 - Um galão de vinho de forma cilíndrica tem o raio da base igual a 2,5 m e sua altura é 2 m. Se apenas 40% do

seu volume está ocupado por vinho, qual é a quantidade de vinho existente na pipa, em litros?

10 - Duas caixas-d'água têm a mesma altura, sendo que a primeira tem a forma de um prisma reto de base

quadrada, cujo lado mede 5 unidades, e a segunda tem a forma cilíndrica, com o diâmetro da base medindo 5

unidades. Pode-se concluir que a razão entre a quantidade máxima de água que cabe na caixa prismática e a que

cabe na caixa cilíndrica é, aproximadamente:

a) 1,57 b) 1,27 c) 0,32 d) 3,14 e) 0,51

11 - Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas

faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfuração da peça é igual a

a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm.

CILINDRO


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12 - Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.

Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere π ≈ 3)

a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/3.

b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4/3.

c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4.

d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3.

e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/12.

13 - Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira

para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá

a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.

b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.

c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

BIBLIOGRAFIA

Dante, Luiz Roberto – Matemática contexto e aplicações livro 2

Iezzi, Gelson e outros – MATEMÁTICA CIÊNCIA E APLICAÇÕES

Giovani e Bonjorno – MATEMÁTICA livro 2;

Matemática - 09 Geometria Espacial – 5036548 – web, acesso em 15/07/2011

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