3.3 Exemplo

Vamos reescrever aqui o exemplo da seção 1.3.

"Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura

das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que:

A ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais;

O pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de ração Rex custa $ 30;

O kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1;

estão disponíveis por mês 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais.

Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro.

Nosso modelo deseja maximizar o lucro (Z) a partir da quantidade de ração Tobi (x1) e

de ração Rex (x2). A Tabela 1 apresenta o cálculo do lucro unitário de cada ração.

Tabela 1 - Cálculo do lucro unitário de cada ração

Ração Tobi Ração Rex

Custo de carne 1 kg x $ 4 = $ 4 4 kg x $ 4 = $ 16

Custo de cereais 5 kg x $ 1 = $ 5 2 kg x $ 1 = $ 2

Custo total $ 9 $ 18

Preço $ 20 $ 30

Lucro $ 11 $ 12

A função objetivo pode ser escrita como maximizar Z = 11 x1 + 12 x2

sujeito a: 1 x1 + 4 x2 10000 (restrição de carne)

5 x1 + 2 x2 30000 (restrição de cereais)

x1, x2 0 (positividade das variáveis)

3.4 Solução Gráfica

Este problema com apenas duas variáveis pode ser resolvido graficamente. Traça-se

um gráfico com os seus eixos sendo as duas variáveis x1 e x2. A partir daí, traçam-se as retas

referentes às restrições do problema e delimita-se a região viável (Figura 1).

Encontrada a região viável, deve-se traçar uma reta com a inclinação da função

objetivo. São então traçadas diversas paralelas a ela no sentido de Z crescente (maximização

da função), como na Figura 2. O ponto ótimo é o ponto onde a reta de maior valor possível

corta a região viável (normalmente num vértice).

Figura 1: Região viável para o problema das rações

Figura 2: Busca da

solução ótima para o problema das rações

1) F P (Silva) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de $ 5 e o do cinto é $ 2, pede-se o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.

2) F P (Silva) Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de $100 e o lucro unitário de P2 é de $ 150. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

3) F P (Silva) Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, quer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a mpresa poderia produzir 1000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de mbos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção e maximiza o lucro total diário da empresa?

Resposta:

x1 → quantidade a produzir de M1

x2 → quantidade a produzir de M2

Max. Lucro = 4x1 + 3x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 1.000

x1 + x2 ≤ 800

x1

≤ 400

x2

≤ 700

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

4) F P (Silva) Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120 por unidade e P2, 150 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

Produto Recurso R1 por unidade

Recurso R2 por unidade

Recurso R3 por unidade

P1 2 3 5

P2 4 2 3

Disponibilidade por mês

100 90 120

Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa?

5) F P (Caixeta) Uma empresa produz álcool anidro e álcool hidratado, a partir de uma usina que está organizada em três setores de produção. O processo de produção pode ser resumido da seguinte forma: o álcool anidro passa pelos setores I e III, sendo que cada tonelada desse produto consome 0,5 hora do setor I e 1/3 h do setor III, diariamente. Por outro lado, a produção de uma tonelada do álcool hidratado demanda 1 hora do setor II e 2/3 h do setor III, também diariamente. Admitindo que cada setor esteja em operação 8 horas por dia, e que as receitas líquidas a serem obtidas para o álcool anidro e álcool hidratado sejam $ 40 e $ 30 por tonelada, respectivamente, qual deve ser a combinação ótima de níveis de produção a ser perseguida pela empresa? 6) F P (Lachtermacher) Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ela gasta 40g de queijo para preparar uma pizza e 60g de queijo para preparar um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo é de 5kg por dia, e que a pizza é vendida a $18,00 e o calzone a $22, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria deve vendar diariamente para maximizar a sua receita, considerando que ela tem três pizzaiolos? 7) F P (Lachtermacher) A empresa de logística Deixa Comigo SA tem uma frota de caminhões para realizar transportes de cargas para terceiros. A frota é composta por caminhões médios com condições especiais para transportar sementes e grãos prontos para o consumo, como arroz e feijão. A frota tem uma capacidade de peso de 70.000kg e um limite de volume de 30.000 m³. O próximo contrato de transporte refere-se a uma , entrega de 100.000 kg de sementes e 85.000 de grãos, sendo que a empresa pode aceitar levar tudo ou somente uma parte da carga, deixando o restante para outra transportadora. O volume ocupado pelas sementes é de 0,4 m³ por quilo e o volume de grãos é de 0,2m³ por quilo. Sabendo-se que o lucro para transportar as sementes é de $0,12 por quilo e o lucro para transportar grãos é de $0,35 por quilo, descubra quantos quilogramas de sementes e de grãos a empresa deve transportar para maximizar o seu lucro. 8) F P (Lachtermacher) As indústrias Sara Cura Produtos Farmacêuticos desejam produzir dois medicamentos, um analgésico e um antibiótico, que dependem de duas matérias-primas A e B, disponíveis em quantidades de 8 e 5 ton, respectivamente. Na fabricação de 1 ton de analgésico são empregadas 1 ton da matéria A e 1 ton da matéria B, e na fabricação de 1 ton de antibiótico são empregadas 4 ton de A e 1 ton de B. Sabendo que cada tonelada de antibiótico é vendida a $8,00 e de analgésico a $5,00, encontre a quantidade de ,toneladas a ser produzida pela empresa, de maneira a maximizar sua receita. 9) F P (Lachtermacher) Um jovem está saindo com duas namoradas: Sheila Peres e Ana Paula Ambrósio. Ele sabe, por experiência que: Ana Paula: elegante, gosta de frequentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma saída de três horas custará R$ 240,00. Sheila: mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que uma saída de três horas lhe custará R$ 160,00. Seu orçamento permite-lhe dispor de R$ 960,00 mensais para diversão. Seus afazeres escolares lhe dão liberdade de, no máximo, 18 horas e 40.000 calorias de sua energia para atividades sociais.

Cada saída com Ana Paula consome 5000 calorias, mas com Sheila, mais alegre e extrovertida, ele gasta o dobro. Ele gosta das duas com a mesma intensidade. Como o jovem deve planejar a sua vida social para obter o máximo número de saídas? 10) F N (Silva) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a $10 de lucro por caixa e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo?

11) F N (Silva) Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A, com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30000 telespectadores, enquanto que o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores?

12) F N (Lachtermacher) A indústria Alumilâminas SA iniciou suas operações há um mês e vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com contratos fechados de

fornecimento para todos os três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média e grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos, há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diário de $100.000 para uma capacidade produtiva de 8 lâminas finas, 1 de lâminas médias e 2 de lâminas grossas. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de $ 200.000 para uma produção de 2 lâminas finas, 1 de lâminas médias e 7 de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível? 13) F N (Lachtermacher) A empresa Have Fun SA produz uma bebida energética muito consumida pelo frequentadores de danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparação da bebida são soluções compradas de laboratórios terceirizados – solução Red e solução Blue – que proveem os principais ingredientes ativos do energético: extrato de guaraná e cafeína. A companhia quer saber quantas dose de 10ml de cada solução deve incluir em cada lata da bebida, para satisfazer as exigências mínimas padronizadas de 48g de extrato de guaraná e 12g de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar o custo de produção. Por acelerar o batimento cardíaco, a norma padrão também prescreve que a quantidade de cafeína seja de, no máximo, 20g por lata. Uma dose da solução Red contribui com 8g de extrato de guaraná e 1g de cafeína, enquanto que uma dose da solução Blue contribui com 6g de extrato de guaraná e 2g de cafeína. Uma dose de solução Red custa $0,06 e uma dose da solução Blue custa $0,08. 14) M P (Silva) Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento): Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por ano. P (Pecuária): Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100 kg/alq) e irrigação (100.000 l de água/alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire por ano. S (Plantio de soja): Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 l de água/alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $500,00 por alqueire por ano. Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 l de água, 14.000 kg de adubo e 100 alqueires de terra.Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?

15) M P (Caixeta) Uma certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de produto não lucrativo. Isso criou um considerável excedente na capacidade de produção. A gerência está considerando dedicar essa capacidade a um ou mais produtos, identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das máquinas que poderia limitar a produção é de 500 horas para a máquina A, 350 h para a B e 150 para a C. O número de hora de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos é conhecido como coeficiente de produtividade (em horas de máquina por unidade), conforme representado a seguir:

Tipo de máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3

A 9 3 5

B 5 4 0

C 3 0 2

O lucro unitário estimado é de $ 30, $ 12 e $ 15, respectivamente, para os produtos, 1, 2 e 3. Determine a quantidade de cada produto que a firma deve produzir para maximizar seu lucro. 16) M P (Lachtermacher) A Esportes Radicais SA produz paraquedas e asas-delta em duas linhas de montagem. A primeira linha tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o paraquedas requer 3 horas e a asa-delta, 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro unitário do paraquedas é de $60 e o da asa-delta é de $40, encontre a programação de produção que maximize o lucro da empresa. 17) M P (Lachtermacher) A Capitão Caverna SA, localizada em Pedra Lascada, aluga três tipos de barcos para passeios marítimos: jangadas, supercanoas e arcas com cabines. A companhia fornece com o barco um capitão para navegá-lo e uma tripulação, que varia de acordo com a embarcação: 1 funcionário para jangadas, 2 para supercanoas e 3 para arcas. A companhia tem

4 jangadas, 8 supercanoas e 3 arcas, e em seu corpo de funcionários, 10 capitães e 18 tripulantes. O aluguel é por diárias e a empresa lucra $50 por jangada, $70 por supercanoa e $100 por arca. Quantos barcos de cada tipo devem ser alugados para que a empresa tenha o maior lucro possível? 18) M P (Lachtermacher) A empresa de artigos de couro Pele Mimosa Ltda. fabrica dois tipos de produtos: malas e mochilas. As malas são vendidas com um lucro de $ 50 por unidade e o lucro unitário da mochila é igual a $ 40. A quantidade de horas necessária para confeccionar cada produto assim como o número total de horas disponíveis em cada departamento, são apresentados na tabela a seguir:

Departamento Capacidade (h/dia) Mala (h/un) Mochila (h/un)

Corte 300 2 0

Tingimento 450 0 3

Costura 440 2 2

Embalagem 300 6/5 3/2

Sabendo-se que há demanda excedente tanto de mala como de mochilas, determine quantas unidades de cada produto a empresa deve fabricar diariamente para maximizar o seu lucro. 19) M P (Lachtermacher) Uma pequena malharia produz dois tipos de camisas: de manga curta e de manga comprida. Toda a produção é feita e vendida para um distribuidor, que compra tudo que é produzido. A confecção de cada camisa passa por três seções de trabalho: corte, costura e acabamento. A tabela a seguir mostra os tempos necessários em cada seção.

Produto Corte (h) Costura (h) Acabamento (h)

Manga curta 3 1,5 5

Manga longa 3 3 3

Os limites de capacidade de produção são de 210 homens/hora por semana para a seção de corte, 180 para a de costura e 330 para a de acabamento. Determinar a quantidade de cada tipo de camisa que deve ser fabricada de maneira a maximizar o lucro da empresa, sabendo que o lucro unitário proporcionado pela camisa de manga curta é $2,00 e pela de manga longa é de $3,00. 20) M P (Lachtermacher) A Picolé Lelé é a marca local preferida pelos habitantes das ilhas Calorândicas, que consomem todos os picolés cremosos que a empresa consegue fabricar. No entanto, por se localizar no medo oceano, a empresa tem algumas restrições de fabricação, devido a escassez de matéria-prima fresca. Preocupados em maximizar o lucro da firma, seus dirigentes elaboraram a seguinte tabela, para que possamos ajudá-los, a descobrir quantos picolés de cada sabor devem produzir diariamente.

Sabor Lucro/un Quantidade de leite (l/un)

Quantidade de açúcar / 100g

Polpa de fruta (l/un)

Morango $ 1,00 0,45 0,50 0,10

Uva $ 0,90 0,50 0,50 0,15

Limão $0,95 0,40 0,40 0,20

Máximo disponível

- 200 150 60

21) M P (Lachtermacher) A empresa Serra Serra Serrador fabrica três tipos de madeiras compensadas (placas de aglomerados). Os dados a seguir resumem a produção em horas por unidade em cada uma das três operações de produção, o tempo máximo disponível em cada operação e o lucro unitário de cada placa.

Aglomerado Operação I Operação II Operação III Lucro ($/un)

Placa A 2 2 4 40,00

Placa B 5 5 2 30,00

Placa C 10 3 2 20,00

Máximo disponível

900 400 600

Quantas unidades de cada placa de aglomerado devem ser produzidas, de maneira a otimizar o lucro da serraria? 22) M P (Passos) Uma padaria fabrica pães, bolos e pizzas. Na fabricação de um quilo de pães, são utilizados 500g de farinha, 4 ovos, 80g de fermento, 0,4 litro de leite e 0,3 homem-hora; na fabricação de um quilo de bolo, gastam-se 500g de farinha, 3 ovos, 60g de fermento, 0,4 litro de leite e 0,4 homem-hora; e na fabricação de pizzas são gastos 400g de farinha, 4 ovos, 50g de fermento, 0,5 litro de leite, 450g de queijo mussarela e 0,3 homem-hora. A empresa dispõe, diariamente, de 40 quilos de farinha, 23 dúzias de ovos, 6 quilos de fermento, 34 litros de leite, 4,5 quilos de queijo mussarela e 40 homens-horas. A contribuição para o lucro dos pães é de $3,40, dos bolos é de $3,00 e das pizzas é de $2,50. Deseja-se saber qual o modelo que deverá ser utilizado para que as quantidades produzidas de pães, bolos e pizzas, diariamente, maximizem o lucro da padaria. 23) M P (Passos) Uma empresa de informática tem em seu quadro de pessoal 25 engenheiros e 40 técnicos. Ela venceu uma concorrência para instalar todo o sistema de computação de um “edifício inteligente” e está preparando as equipes para trabalharem nessa obra. Dos estudos realizados para o emprego da mão de obra chegou-se à conclusão de que haveria viabilidade para a empresa trabalhar com três tipos de equipes com as seguintes composições: tipo I: 2 engenheiros e 6 técnicos; tipo II: 4 engenheiros e 8 técnicos; tipo III: 3 engenheiros e 9 técnicos. O emprego de cada equipe do tipo I, diariamente, dá uma receita de para a empresa no valor de $ 2000, da equipe do tipo II, $ 3000; e da equipe III, $ 2800. Qual deve ser a quantidade a ser empregada de cada tipo de equipe na obra para que a receita da empresa de informática seja máxima? 23) M P (Passos) Uma fábrica de móveis para escritórios produz estantes e mesas para computadores. Cada estante gasta 2,5 m² de madeira, 14 parafusos, 0,40 kg de cola, 8 puxadores e 6 dobradiças e cada mesa para computador gasta 2,0 m² de madeira, 18 parafusos, 0,22 kg de cola, 2 puxadores e 4 dobradiças. A empresa tem 18 empregados que trabalham oito hora por dia e sabe-se que uma estante gasta entre o corte da madeira e o seu término quatro horas e meia e a mesa para computador, três horas. A loja dispõe, diariamente, de 90 m² de madeira, 7 caixas de parafusos contendo, cada uma, 100 parafusos,

12 quilos de cola, 15 caixas de puxadores, cada uma contendo 12 peças, e 17 caixas de dobradiças, cada uma contendo 12 peças. No mercado a empresa obtém um lucro de $45,00 por cada estante vendida e $36,00 por cada mesa para computadores. O mercado impõe uma demanda máxima de 16 estantes e 25 mesas para computadores. Determinar o modelo matemático para esse problema que maximiza o lucro da empresa. 24) M N (Silva) Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros, além de 2 tipos de materiais recuperados: Material recuperado 1 (MR1): Composição: ferro 60%, carvão 20% e silício 20%; e custo $0,20 por kg. Material recuperado 2 (MR2): Composição: ferro 70%, carvão 20%, silício 5% e níquel 5%; e custo $0,25 por kg. A liga deve ter a seguinte composição final:

Matéria-prima % mínima % máxima

ferro 60 65

carvão 15 20

silício 15 208

níquel 5

Os custos dos materiais puros são (por kg): ferro: $0,30; carvão: $0,20; silício: $0,28; níquel: $0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por kg? 25) M N (Silva) Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50 m³ (loja 1), 80 m³ (loja 2), 40 m³ (loja 3) e 100 m³ (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distâncias às lojas estão na tabela (em km):

L1 L2 L3 L4

P1 30 20 24 18

P2 12 36 30 24

P3 8 15 25 20

O caminhão pode transportar 10 m³ por viagem. Os portos tem areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas.