99358-Apostila de Introdução a Estatística Ifce.2010

ESTATSTICA BSICA

Professor: Narcelio de Arajo Pereira [email protected]

2010

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SUMRIO

INTRODUO ............................................................................................ 03

UNIDADE 1: A NATUREZA DA ESTATSTICA ................................... 05

UNIDADE 2: GENERALIDADES E CONCEITOS BSICOS .............. 10

UNIDADE 3: SRIES ESTATSTICAS.................................................... 15

UNIDADE 4: GRFICOS ........................................................................... 24

UNIDADE 5: DISTRIBUIO DE FREQUENCIA ................................ 34

UNIDADE 6: MEDIDAS DE POSIO ................................................... 46

UNIDADE 7: MEDIDAS DE DISPERSO OU VARIABILIDADE....... 70

UNIDADE 8: PROBABILIDADE .............................................................. 80

UNIDADE 9: DISTRIBUIO BINOMIAL E NORMAL ..................... 87

REFERENCIAS ......................................................................................... 102

ANEXOS ..................................................................................................... 103

EXERCCIOS DE FIXAO .................................................................. 108

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INTRODUO

Na antiguidade os povos j registravam o nmero de habitantes, nascimentos,

bitos. Faziam "estatsticas". Na idade mdia as informaes eram tabuladas

com finalidades tributrias e blicas.

No sculo XVI surgem as primeiras anlises sistemticas, as primeiras tabelas

e os nmeros relativos.

No sculo XVIII a estatstica com feio cientfica batizada por

GODOFREDO ACHENWALL. As tabelas ficam mais completas, surgem as

primeiras representaes grficas e os clculos de probabilidades. A estatstica

deixa de ser uma simples tabulao de dados numricos para se tornar "O

estudo de como se chegar a concluso sobre uma populao, partindo da

observao de partes dessa populao (amostra)".

Ao longo do sculo XX, os mtodos estatsticos foram desenvolvidos como

uma mistura de cincia, tecnologia e lgica para a soluo e investigao de

problemas em vrias reas do conhecimento humano (Stigler, 1986). Ela foi

reconhecida como um campo da cincia neste perodo, mas sua histria tem

incio bem anterior a 1900.

A estatstica moderna uma tecnologia quantitativa para a cincia

experimental e observacional que permite avaliar e estudar as incertezas e os

seus efeitos no planejamento e interpretao de experincias e de observaes

de fenmenos da natureza e da sociedade.

A estatstica no uma caixa-preta, nem bola de cristal, nem mgica.

Tampouco um conjunto de tcnicas teis para algumas reas isoladas ou

restritas da cincia. Por exemplo, ao contrrio do que alguns imaginam, a

estatstica no um ramo da matemtica onde se investigam os processos de

obteno, organizao e anlise de dados sobre uma determinada populao.

A estatstica tambm no se limita a um conjunto de elementos numricos

relativos a um fato social, nem a nmeros, tabelas e grficos usados para o

resumo, organizao e apresentao dos dados de uma pesquisa, embora este

seja um aspecto da estatstica que pode ser facilmente percebido no cotidiano

(basta abrir os jornais e revistas para ver o "bombardeio" de estatsticas). Ela

uma cincia multidisciplinar: um mesmo programa de computador que

permite a anlise estatstica de dados de um fsico poderia tambm ser usado

por um economista, agrnomo, qumico, gelogo, matemtico, bilogo,

socilogo, psiclogo e cientista poltico. Mesmo que as interpretaes dessas

anlises sejam diferentes por causa das diferenas entre as reas do

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conhecimento, os conceitos empregados, as limitaes das tcnicas e as

conseqncias dessas interpretaes so essencialmente as mesmas.

Segundo Rao (1999), a estatstica uma cincia que estuda e pesquisa sobre: o

levantamento de dados com a mxima quantidade de informao possvel para

um dado custo; o processamento de dados para a quantificao da quantidade

de incerteza existente na resposta para um determinado problema; a tomada de

decises sob condies de incerteza, sob o menor risco possvel. Finalmente, a

estatstica tem sido utilizada na pesquisa cientfica, para a otimizao de

recursos econmicos, para o aumento da qualidade e produtividade, na

otimizao em anlise de decises, em questes judiciais, previses e em

muitas outras reas.

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I - A NATUREZA DA ESTATSTICA

MTODO ESTATSTICO

O Mtodo Cientfico

Muitos dos conhecimentos que temos foram obtidos na antiguidade por acaso

e, outros, por necessidades prticas, sem aplicao de um mtodo.

Atualmente, quase todo acrscimo de conhecimento resulta da observao e

do estudo. Se bem que muito desse conhecimento possa ter sido observado

inicialmente por acaso, a verdade que desenvolvemos processos cientficos

para seu estudo e para adquirirmos tais conhecimentos. Podemos ento dizer

que:

Mtodo: um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja, ou seja, um meio mais eficaz para atingir determinada meta.

Dos mtodos cientficos, vamos destacar o Mtodo experimental e Mtodo

estatstico.

O Mtodo Experimental - o mtodo preferido pela fsica, Qumica, etc.

Mtodo experimental: consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador

possa descobrir seus efeitos, caso existam.

O Mtodo Estatstico

Muitas vezes temos necessidade de descobrir fatos em um campo em que o

mtodo experimental no se aplica (nas cincias sociais), j que os vrios

fatores que afetam o fenmeno em estudo no podem permanecer constantes

enquanto fazemos variar a causa que, naquele momento, nos interessa.

Nesses casos, lanamos mo de outro mtodo, embora mais difcil e menos

preciso, denominado mtodo estatstico.

Mtodo estatstico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admitem todas essas causas presentes variando-as,

registrando essas variaes e procurando determinar, no resultado final,

que influncias cabem a cada uma delas.

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A ESTATSTICA

Exprimindo por meio de nmeros as observaes que se fazem de elementos

com, pelo menos, uma caracterstica comum (por exemplo: os alunos do sexo

masculino de uma comunidade), obtemos os chamados dados referentes a

esses elementos.

Podemos dizer, ento, que:

A Estatstica uma parte da matemtica aplicada que fornece mtodos para a

coleta, organizao, descrio, anlise e interpretao de dados e para a

utilizao dos mesmos na tomada de decises.

A Estatstica Descritiva se encarrega de fazer a coleta, organizao e descrio dos dados.

A Estatstica Indutiva ou Inferencial se encarrega de fazer a anlise e interpretao dos dados.

O aspecto essencial da Estatstica o de proporcionar mtodos

infernciais, que permitam concluses que transcendam os dados obtidos

inicialmente.

Fases do Mtodo estatstico:

Podemos distinguir no mtodo estatstico as seguintes fases:

1 Definio do Problema

Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar o mesmo que definir

corretamente o problema.

2 Planejamento

Como levantar informaes? Que dados devero ser obtidos? Qual

levantamento a ser utilizado? Censitrio? Por amostragem? E o cronograma

de atividades? Os custos envolvidos? etc.

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3 Coleta de Dados

Aps cuidadoso planejamento e a devida determinao das caractersticas

mensurveis do fenmeno coletivamente tpico que se quer pesquisar, damos

incio coleta dos dados numricos necessrios sua descrio. Fase

operacional. o registro sistemtico de dados, com um objetivo determinado.

A coleta de dados pode ser direta ou indireta.

3.1 Direta:

Quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatrio

(nascimentos, casamentos, bitos, importao, exportao, etc.), elementos

pertinentes aos pronturios dos alunos de uma escola ou, ainda, quando os

dados so coletados pelo prprio pesquisador atravs de inquritos e

questionrios, como o caso das notas de verificao e de exames, do censo

demogrfico, etc.

A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo

em:

Contnua (registro): quando feita continuamente, tal como a de

nascimento, bitos e a freqncia dos alunos s aulas;

Peridica: quando feita em intervalos constantes de tempo, como os

censos (de 10 em 10 anos) e as avaliaes peridicas; recenseamento demogrfico, censo industrial;

Ocasional: quando feita esporadicamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma emergncia, como no caso de epidemias.

3.2 Indireta:

Quando inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou conhecimento

de outros fenmenos relacionados com o fenmeno estudado.

Ex: pesquisa sobre mortalidade infantil, que feita atravs de dados colhidos

por uma coleta direta.

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4 Crtica dos Dados

Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, procura de

possveis falhas e imperfeies, a fim de no incorrermos em erros grosseiros

ou de certo vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados.

A crtica dos dados se divide em: externa e interna

Crtica externa quando visa s causas dos erros por parte do informante, por distrao ou m interpretao das perguntas que lhe

foram feitas.

Crtica interna quando visa observar os elementos originais dos dados da coleta.

5 Apurao dos Dados

Nada mais do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a

disposio mediante critrios de classificao. Resumo dos dados atravs de

sua contagem e agrupamento. a condensao e tabulao de dados.

Pode ser manual, eletromecnica ou eletrnica.

6 Exposio ou Apresentao dos Dados

Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem

ser apresentados sob forma de tabelas e grficos (unidade 4), pois tornam mais

fcil o exame daquilo que est sendo objeto de tratamento estatstico e ulterior

obteno de medidas de disperso (unidade 6).

7 Anlise dos Dados

Como j dissemos, o objetivo ltimo da estatstica tirar concluses sobre o

todo (populao) a partir de informaes fornecidas por parte representativa

do todo (amostra). Assim, realizadas as etapas anteriores (estatstica

descritiva), fazemos uma anlise dos resultados obtidos, atravs dos mtodos

da Estatstica Indutiva ou Inferencial, que tem por base a induo ou

inferncia, e tiramos desses resultados concluses e previses.

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A ESTATSTICA NAS EMPRESAS

No mundo atual, a empresa uma das vigas-mestras da economia dos povos.

A direo de uma empresa, de qualquer tipo, incluindo as estatais e

governamentais, exige de seu administrador a importante tarefa de tomar

decises, e o conhecimento e o uso da estatstica facilitaro seu trplice

trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa.

Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opinies,

podemos conhecer a realidade geogrfica e social, os recursos naturais,

humanos e financeiros disponveis, as expectativas da comunidade sobre a

empresa, e estabelecer suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de

serem alcanados a curto, mdio ou longo prazo.

A estatstica ajudar em tal trabalho, como tambm na seleo e organizao

da estratgia a ser adotada no empreendimento e, ainda, na escolha das

tcnicas de verificao e avaliao da quantidade e da qualidade do produto e

mesmo dos possveis lucros e/ou perdas.

Tudo isso que se pensou, se planejou, precisa ficar registrado, documentado

para evitar esquecimentos, a fim de garantir o bom uso do tempo, da energia e

do material e, ainda, para controle eficiente do trabalho.

O esquema do planejamento o plano, que pode ser resumido, com auxlio da

estatstica, em tabelas e grficos, que facilitaro a compreenso visual dos

clculos matemtico-estatsticos que lhes deram origens.

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II - GENERALIDADES E CONCEITOS BSICOS

1 VARIVEL

A cada fenmeno corresponde um nmero de resultados possveis. Assim, por

exemplo:

- para um fenmeno sexo so dois os resultados possveis: masculino e feminino;

- para o fenmeno nmero de filhos h um nmero de resultados possveis expressos atravs dos nmeros naturais: 0,1,2,3,....,n;

- para o fenmeno estatura temos uma situao diferente, pois os resultados podem tomar um nmero infinito de valores numricos dentro de

um determinado intervalo.

Varivel: , convencionalmente, o conjunto de resultados possveis de um fenmeno.

Uma varivel pode ser: qualitativa ou quantitativa

Qualitativa: quando seus valores so expressos por atributos; ex: sexo, cor da pele, etc;

Quantitativa: quando seus valores so expressos em nmeros; ex: salrios, idade, altura, etc. Divide-se em discreta e contnua

Discreta ou descontnua: seus valores so expressos geralmente atravs de nmeros inteiros no negativos. Resulta normalmente

de contagens.

Ex: nmeros de alunos presentes as aulas: ontem = 20, hoje = 23;

N de alunos presentes s aulas de introduo estatstica no 1

semestre de 1997: mar = 18, abr = 30, mai = 35, jun = 36.

Contnua: resulta normalmente de uma mensurao, e a escala numrica de seus possveis valores corresponde ao conjunto R

dos nmeros reais, ou seja, podem assumir, teoricamente,

qualquer valor entre dois limites.

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Exerccio resolvido:

Classifique as variveis em qualitativas e quantitativas (contnuas ou

discretas):

a) Cor dos olhos Qualitativa b) ndice de liquidez nas Indstrias Cearenses Quantitativa contnua c) Produo de caf no Brasil Quantitativa contnua d) Nmero de defeitos em aparelhos de TV Quantitativa discreta e) Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa Quantitativa contnua

f) O ponto obtido em cada jogada de um dado quantitativa discreta

2 POPULAO E AMOSTRA

Dois conceitos devem estar bem claros: o de populao e o de amostra, pois

delas que so extrados os dados que do origem s diversas relaes

estatsticas, como a mdia, desvio-padro, etc., e que, em ltima anlise,

possibilitam descreve-las sob os mais diversos aspectos.

Populao: coleo completa de todos os elementos que so objeto de um

estudo; conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma caracterstica

comum. A populao estatstica tambm conhecida como universo

estatstico.

Exemplo: pessoas que possuem automvel

Amostras: so subconjuntos finitos representativos de uma dada populao.

Exemplo: pessoas que possuem automvel da marca Fiat.

Censo: exame de todos os elementos da populao.

A amostra deve ser representativa da populao da qual foi extrada, ser

parecida com ela (quantitativa e quantitativamente), devendo obedecer a dois

princpios bsicos:

Deve ser suficientemente grande;

Seus constituintes devem ter sido selecionados ao acaso.

Nem sempre possvel estudar exaustivamente todos os elementos da

populao!

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- Pode a populao ter dimenso infinita

Exemplo: Populao constituda pelas presses atmosfricas, nos diferentes

pontos de uma cidade.

- Pode o estudo da populao levar destruio da populao

Exemplo: Populao dos fsforos de uma caixa.

- Pode o estudo da populao ser muito dispendioso

Exemplo: Sondagens exaustivas de todos os eleitores, sobre determinado

candidato.

Quando no possvel estudar, exaustivamente, todos os elementos da

populao, estudam-se s alguns elementos, a que damos o nome de Amostra.

importante a fase de escolha da amostra?

Sim, pois a amostra deve ser to representativa quanto possvel da Populao

que se pretende estudar, uma vez que vai ser a partir do estudo da amostra,

que vamos tirar concluses para a Populao.

Quando a amostra no representa corretamente a populao diz-se

destorcida e a sua utilizao pode dar origem a interpretaes erradas,

como nos seguintes exemplos:

- Utilizar uma amostra constituda por 10 flamenguistas, para prever o

vencedor do prximo Flamengo X Vasco.

- Utilizar uma amostra constituda pelos leitores habituais de determinada

revista especializada, para tirar concluses sobre a populao geral.

3 AMOSTRAGEM

Conceito: uma tcnica especial para recolher amostras que garante, tanto quanto possvel, o acaso na escolha.

Dessa forma, cada elemento da populao passa a ter a mesma chance de ser

escolhido, o que garante amostra o carter de representatividade, e isto

muito importante, pois, como vimos, nossas concluses relativas populao

vo estar baseadas nos resultados obtidos nas amostras dessa populao.

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Daremos, a seguir, trs das principais tcnicas de amostragem.

3.1 Amostragem casual ou aleatria simples

Esta tcnica de amostragem equivalente a um sorteio lotrico:

Na prtica esta amostragem pode ser realizada da seguinte maneira:

Enumera-se a populao de 1 a n;

Sorteia-se K nmeros dessa seqncia, que representaro a amostra.

Exemplo: Vamos obter uma amostra representativa para a pesquisa de peso de

80 (oitenta) alunos de uma escola:

Numeramos os alunos de 01 a 80 (populao);

Colocamos os oitenta nmeros, em pedaos iguais de um mesmo papel, dentro de uma caixa. Agitamos e realizamos o sorteio de 8 alunos, que

representa uma amostra de 10% desta populao.

Quando o nmero de elementos da amostra grande, esse tipo de sorteio

torna-se muito trabalhoso. A fim de facilit-lo, foi elaborada uma tabela Tabela de Nmeros Aleatrios -, construda de modo que os dez algarismos

(de 0 a 9) so distribudos ao acaso nas linhas e colunas (ver anexo).

3.2 Amostragem proporcional estratificada

Muitas vezes a populao se divide em subpopulaes estratos

Como provvel, que a varivel em estudo apresente, de estrato em estrato,

um comportamento heterogneo e, dentro de cada estrato, um comportamento

homogneo, convm que o sorteio dos elementos da amostra leve em

considerao tais estratos.

exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem

proporcional estratificada, que, alm de considerar a existncia de estratos,

obtm elementos da amostra proporcional ao nmero de elementos desses

estratos.

Exemplo: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10 % do

exemplo anterior, supondo que dos 80 alunos, temos 44 meninos e 36

meninas.

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So, portanto dois estratos, (sexo masculino e sexo feminino). Temos:

SEXO POPULAO 10 % AMOSTRA

MASCULINO 44 10 x 44 = 4,4

100

4

FEMININO 36 10 x 36 = 3,6

100

4

TOTAL 80 10 x 80 = 8

100

8

3.3 Amostragem sistemtica

Quando os elementos da populao j se acham ordenados, no h

necessidade de construir o sistema de referncia. So exemplos os pronturios

mdicos de um hospital, os nmeros de uma rua, uma linha de produo, etc.

Nestes casos, a seleo dos elementos que constituiro a amostra pode ser

feita por um sistema imposto pelo pesquisador. A esse tipo de amostragem

denominamos sistemtica.

Assim, no caso de uma linha de produo, podemos, a cada dez itens

produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produo diria. Neste

caso, estaramos fixando o tamanho da amostra em 10% da populao.

Exemplo: Supomos uma rua com 500 casas, das quais desejamos obter uma

amostra formada por 20 casas para uma pesquisa de opinio.

Neste caso, podemos usar o seguinte procedimento:

Como 500/20 = 25, escolhemos por sorteio casual um nmero de 01 a 25;

Este nmero indicar a primeira casa da amostra, vamos supor a casa de nmero 6;

Os demais elementos da amostra seriam considerados de 25 em 25;

Assim, as demais casas da amostra seriam as casas de nmeros 31 (6+25), 56 (31+25), 81 (56+25), etc.

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III - SRIES ESTATSTICAS

TABELAS

Um dos objetivos da estatstica sintetizar os valores que uma ou mais

variveis podem assumir, para que tenhamos uma viso global da variao

dessa ou dessas variveis. Depois dos dados organizados, faz-se necessrio

que essas informaes sejam apresentadas em formato de tabelas, pois iro

nos fornecer rpidas e seguras informaes a respeito das variveis em estudo,

permitindo-nos determinaes administrativas e pedaggicas mais coerentes e

cientficas.

TABELA: um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemtica.

Uma tabela compe-se de: corpo, cabealho, coluna indicadora, linhas, casa

ou clula e ttulo. Deste modo, uma tabela deve apresentar o seguinte esquema

de representao:

1. Corpo: conjunto de linhas e colunas que contm informaes sobre a varivel em estudo;

2. Cabealho: parte superior da tabela que especifica o contedo das colunas;

3. Coluna indicadora: parte da tabela que especifica o contedo das linhas;

4. Linhas: retas imaginrias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com

as colunas;

5. Casa ou clula: cruzamento de uma coluna com uma linha, destinado a um s nmero (nunca deve ficar em branco);

6. Ttulo: designao do fato observado, local e poca;

H ainda que se considerar os elementos complementares, que so a fonte, as

notas e as chamadas, colocadas, de preferncia, no seu rodap.

Rodap: espao reservado, em seguida ao fecho da tabela, para insero de

notas de natureza informativa;

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Fonte: entidade responsvel pelo levantamento dos dados ou pela elaborao

da tabela;

Notas: so informaes de natureza geral, destinada a conceituar ou esclarecer

o contedo das tabelas, ou indicar a metodologia adotada;

Chamadas: informaes de natureza especfica sobre determinada parte da

tabela, destinada a conceituar ou esclarecer dados.

De acordo com a Resoluo 886 do IBGE, nas casas ou clulas da tabela

devemos colocar:

Um trao horizontal (-) quando o valor nulo;

Trs pontos (...) quando no temos a informao;

Zero (0) quando o valor muito pequeno para ser expresso pela

unidade utilizada. Se os valores so expressos em numerais decimais,

precisamos acrescentar parte decimal um nmero correspondente de

zeros (0,0; 0,00; 0,000; .....);

Um ponto de interrogao (?) quando temos dvida quanto exatido

de determinado valor;

A letra x quando o dado for omitido, a fim de evitar individualizao das informaes.

Obs: Os lados direito e esquerdo de uma tabela oficial devem ser abertos.

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Ex: Levantamento Epidemiolgico no Estado do Rio de Janeiro - 1970

Especificao N de Casos N de bitos

Sarampo (1) 115 15

Varola ... 10

Clera - -

Meningite 35 5

Total 150 30

Fonte: Departamento Nacional de Endemias Rurais

Nota: As atividades da campanha de vacinao abrangeram as reas de maior

incidncia.

(1) inclusive a rea urbana.

SRIES ESTATSTICAS:

Denominamos sries estatsticas toda tabela que apresenta a distribuio de

um conjunto de dados estatsticos em funo da poca, do local ou da espcie.

Dividem-se em sries homgradas e conjugadas.

Sries Homgradas: so aquelas em que a varivel descrita apresenta variao discreta ou descontnua. Podem ser do tipo temporal,

geogrfica ou especfica.

a) Srie Temporal: Identifica-se pelo carter varivel do fator cronolgico. O

local e a espcie (fenmeno) so elementos fixos. Esta srie tambm

chamada de histrica, cronolgica, marcha ou evolutiva.

ABC VECULOS LTDA.

Vendas no 1 bimestre de 1996

PERODO UNIDADES

VENDIDAS (mil)

JAN/96 20

FEV/96 10

TOTAL 30

b) Srie Geogrfica: Apresenta como elemento varivel o fator geogrfico. A

poca e o fato (espcie) so elementos fixos. Tambm chamada de espacial,

territorial ou de localizao.

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ABC VECULOS LTDA.


FILIAIS UNIDADES

VENDIDAS (mil)

SO PAULO 13

RIO DE JANEIRO 17

TOTAL 30

c) Srie Especfica: O carter varivel apenas o fato ou espcie. Tambm

chamada de srie categrica.

ABC VECULOS LTDA.


MARCA UNIDADES

VENDIDAS (mil)

FIAT 18

GM 12

TOTAL 30

Sries conjugadas: Tambm chamadas de tabelas de dupla entrada. So apropriadas apresentao de duas ou mais sries de maneira

conjugada, havendo duas ordens de classificao: uma horizontal e

outra vertical. O exemplo abaixo de uma srie geogrfica-temporal.

ABC VECULOS LTDA.

Vendas no 1 bimestre de 1996 (em mil unidades)

FILIAIS JANEIRO FEVEREIRO

SO PAULO 10 3

RIO DE JANEIRO 12 5

TOTAL 22 8

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DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS

Dados absolutos: so dados resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulao seno a contagem ou medida.

A leitura dos dados absolutos sempre enfadonha e inexpressiva; embora

esses dados traduzam um resultado exato e fiel, no tm a virtude de ressaltar

de imediato as suas concluses numricas. Da o uso imprescindvel que faz a

Estatstica dos dados relativos.

Dados relativos: so os resultados de comparaes por quocientes (razes) que se estabelecem entre dados absolutos e tm por finalidade

realar ou facilitar as comparaes entre quantidades.

Traduzem-se os dados relativos, em geral, por meio de percentagens, ndices,

coeficientes e taxas.

1 Percentagens

Considere a srie:

MATRCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A 1995

CATEGORIAS N. DE ALUNOS

1 Grau 19286

2 Grau 1681

3 Grau 234

TOTAL 21201 Dados fictcios.

Calculemos as percentagens dos alunos da cada grau:

1 grau 19286 x 100 = 90,96 = 91,0 21201

2 grau 1681 x 100 = 7,92 = 7,9 21201

3 grau 234 x 100 = 1,10 = 1,1 21201

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Com esses dados, podemos formar uma nova coluna na srie em estudo:

MATRCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A 1995

CATEGORIAS N. DE ALUNOS %

1 Grau 19286 91,0

2 Grau 1681 7,9

3 Grau 234 1,1

TOTAL 21201 100 Dados fictcios.

Os valores dessa nova coluna nos dizem que, de cada 100 alunos da cidade A,

91 esto matriculados no 1 grau, 8 aproximadamente no 2 grau e 1 no 3

grau.

O emprego da porcentagem de grande valia quando nosso intuito destacar

a participao da parte no todo.

NOTAS:

Do mesmo modo que tomamos 100 para base de comparao, tambm podemos tomar outro nmero qualquer, entre os quais destacamos o

nmero 1. claro que, supondo o total igual a 1, os dados relativos das

parcelas sero todos menores que 1.

Em geral, quando usamos 100 para base, os dados so arredondados at a primeira casa decimal; e quando tomamos 1 por base, so

arredondados at a terceira casa decimal.

Exerccio: Complete a tabela abaixo

ESCOLAS N. DE ALUNOS DADOS RELATIVOS

POR 1 POR 100

A 175 0,098 9,8

B 222

C 202

D 362

E 280

F 540

TOTAL 1781 1,000 100,0

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2 ndices

Os ndices so razes entre duas grandezas tais que uma no inclui a outra.

So exemplos de ndices:

ndice ceflico = dimetro transversal do crnio x 100

dimetro longitudinal do crnio

Quociente intelectual = idade mental x 100

idade cronolgica

Densidade demogrfica = populao

superfcie

ndice econmicos:

Produo per capta = valor total da produo

populao

Consumo per capta = consumo do bem

populao

Renda per capta = renda____

populao

Receita per capta = receita__

populao

3 Coeficientes

Os coeficientes so razes entre o nmero de ocorrncias e o nmero total

(nmero de ocorrncias e nmero de no-ocorrncias).

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So exemplos de coeficientes:

Coeficiente de natalidade = nmero de nascimentos

populao total

Coeficiente de mortalidade = nmero de bitos__

populao total

Coeficiente educacionais:

Coeficiente de evaso escolar = n. de alunos evadidos__

n. inicial de matrculas

Coeficiente de aproveitamento escolar = n. de alunos aprovados

n. final de matrculas

Coeficiente de recuperao escolar = n. de alunos recuperados_

n. de alunos em recuperao

4 Taxas

As taxas so os coeficientes multiplicados por uma potncia de 10 (10, 100,

1000 etc.) para tornar o resultado mais inteligvel.

So exemplos de taxas:

Taxa de natalidade = Coeficiente de natalidade X 1000

Taxa de mortalidade = Coeficiente de mortalidade X 1000

Taxa de evaso escolar = Coeficiente de evaso escolar X 100

23

Exerccios:

1 Considere a srie estatstica:

SRIES ALUNOS MATRIC. %

1 546

2 328

3 280

4 120

TOTAL 1274

Complete-a, determinando as percentagens com uma casa decimal e fazendo a

compensao, se necessrio.

2 Uma escola apresentava, no final do ano, o seguinte quadro:

SRIES MATRICULAS

MARO NOVEMBRO

1 480 475

2 458 456

3 436 430

4 420 420

TOTAL 1794 1781

a. Calcule a taxa de evaso por srie

b. Calcule a taxa de evaso da escola

3 Considerando que Minas Gerais, em 1992, apresentou (dados fornecidos pelo IBGE):

Populao: 15.957,6 mil habitantes;

Superfcie: 586.624 Km2;

Nascimentos: 292036;

bitos: 99281.

Calcule:

a. o ndice da densidade demogrfica;

b. a taxa de natalidade;

c. a taxa de mortalidade;

24

IV - GRFICOS ESTATSTICOS

1- Conceito:

O grfico um mtodo de representao de dados estatsticos em forma

visual, por meio de figuras geomtricas. Devem corresponder, mas nunca

substituir as tabelas estatsticas.

uma forma de apresentao dos dados estatsticos, cujo objetivo o de

produzir, no investigador ou no pblico em geral, uma impresso mais rpida

e viva do fenmeno em estudo, j que os grficos falam mais compreenso

que as sries.

Para tornarmos possvel uma representao grfica, estabelecemos uma

correspondncia entre os termos da srie e determinada figura geomtrica, de

tal modo que cada elemento da srie seja representado por uma figura

proporcional.

A representao grfica deve obedecer a certos requisitos fundamentais como:

Simplicidade deve proporcionar que o observador analise

rapidamente o fenmeno apresentado;

Clareza deve proporcionar que o observador tenha uma correta leitura

dos valores representativos do fenmeno;

Veracidade deve expressar a verdade sobre o fenmeno estatstico

representado.

2 - Caractersticas:

Grficos de informao: So grficos destinados principalmente ao pblico

em geral, objetivando proporcionar uma visualizao rpida e clara. So

grficos tipicamente expositivos, dispensando comentrios explicativos

adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informaes

desejadas estejam presentes.

Grficos de anlise: So grficos que se prestam melhor ao trabalho

estatstico, fornecendo elementos teis fase de anlise dos dados, sem deixar

de ser tambm informativos. Os grficos de anlise freqentemente vm

25

acompanhados de uma tabela estatstica. Inclui-se, muitas vezes um texto

explicativo, chamando a ateno do leitor para os pontos principais revelados

pelo grfico.

Uso indevido de Grficos: Podem trazer uma idia falsa dos dados que esto

sendo analisados, chegando mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade,

de um problema de construo de escalas.

3 - Classificao dos grficos:

Os principais grficos so os Diagramas, Estereogramas, Pictogramas e

Cartogramas.

3.1 - Diagramas:

So grficos geomtricos dispostos, no mximo, em duas dimenses. So os

mais usados na representao de sries estatsticas. Eles podem ser em linhas,

em barras horizontais, em barras verticais (colunas), e em setores.

Grficos em linhas ou lineares

O grfico em linha constitui uma aplicao do processo de representao das

funes num sistema de coordenadas cartesianas.

Como sabemos, nesse sistema fazemos uso de duas retas perpendiculares; as

retas so os eixos coordenados e o ponto de interseco, a origem. O eixo

horizontal denominado eixo das abscissas (ou eixo dos x) e o vertical, eixo

das ordenadas (ou eixo dos y). Para exemplificar considere a srie:

26

Determinamos, graficamente, todos os pontos da srie, usando as

coordenadas, ligamos todos esses pontos, dois a dois, por segmentos de reta, o

que ir nos dar uma poligonal, que o grfico em linha ou em curva

correspondente a srie do exemplo.

So freqentemente usados para representao de sries cronolgicas com um

grande nmero de perodos de tempo. As linhas so mais eficientes do que as

colunas, quando existem intensas flutuaes nas sries ou quando h

necessidade de se representarem vrias sries em um mesmo grfico.

Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a variao de

dois fenmenos, a parte interna da figura formada pelos grficos desses

fenmenos denominada de rea de excesso.

27

Grficos em colunas ou barras

a representao de uma srie por meio de retngulos, dispostos

verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras).

Quando em colunas, os retngulos tm a mesma base e as alturas so

proporcionais aos respectivos dados.

Quando em barras, os retngulos tm a mesma altura e os comprimentos so

proporcionais aos respectivos dados.

Exemplo: Grfico em colunas

28

Exemplo: Grfico em barras

NOTAS:

Quando as legendas no so breves usa-se de preferncia os grficos em barras horizontais;

A ordem a ser observada a cronolgica, se a srie for histrica, e a decrescente, se for geogrfica ou categrica;

A distncia entre as colunas (ou barras), por questes estticas, no dever ser menor que a metade nem maior que os dois teros da largura

(ou da altura) dos retngulos.

Grficos em barras ou colunas mltiplas

29

Eles diferem dos grficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo

fato de apresentar cada barra ou coluna segmentada em partes componentes.

Servem para representar comparativamente dois ou mais atributos.

Grficos em setores

Este grfico construdo com base em um crculo, e empregado sempre que

desejamos ressaltar a participao do dado no total.

O total representado pelo crculo, que fica dividido em tantos setores quantas

so as partes.

Os setores so tais que suas reas so respectivamente proporcionais aos

dados da srie. Obtemos cada setor por meio de uma regra de trs simples e

direta, lembrando que o total da srie corresponde a 360.

30

O grfico em setores s deve ser empregado quando h, no mximo, sete

dados.

Obs: As sries temporais geralmente no so representadas por este tipo de

grfico.

31

3.2 - Estereogramas:

So grficos geomtricos dispostos em trs dimenses, pois representam

volume. So usados nas representaes grficas das tabelas de dupla entrada.

Em alguns casos este tipo de grfico fica difcil de ser interpretado dada a

pequena preciso que oferecem.

3.3 - Pictogramas:

So construdos a partir de figuras representativas da intensidade do

fenmeno. Este tipo de grfico tem a vantagem de despertar a ateno do

pblico leigo, pois sua forma atraente e sugestiva. Os smbolos devem ser

auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas que apenas mostram uma

viso geral do fenmeno, e no de detalhes minuciosos. Veja o exemplo

abaixo:

32

3.4 - Cartogramas: So ilustraes relativas a cartas geogrficas (mapas). O

objetivo desse grfico o de figurar os dados estatsticos diretamente

relacionados com reas geogrficas ou polticas.

Distinguimos duas aplicaes:

a. representar os dados absolutos (populao) neste caso, lanamos mo, em geral, dos pontos, em nmero

proporcional aos dados.

b. representar dados relativos (densidade) - neste caso, lanamos mo, em geral, de hachuras ou cores.

34

V - DISTRIBUIO DE FREQUENCIA

1 Tabela Primitiva e Rol

Considere a coleta de dados a seguir de uma varivel qualquer relativa a uma

pesquisa com vinte pessoas:

Ex: 45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51.

Esse tipo de tabela chamada de tabela primitiva, ou seja:

Tabela primitiva ou dados brutos: uma tabela ou relao de elementos que

no foram numericamente organizados.

Assim, conhecidos os valores de uma varivel, difcil formarmos uma idia

exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados no

ordenados. Em razo disso, pouca informao se consegue obter

inspecionando os dados anotados. Mesmo uma informao to simples como a

de saber o valor mximo e mnimo requer certo exame dos dados da tabela.

ROL: a tabela obtida aps a ordenao dos dados, em ordem crescente ou

decrescente.

Para o exemplo acima temos:

Rol: 41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60,

60.

Essa classificao dos dados proporciona algumas vantagens concretas com

relao sua forma original:

- possvel visualizar de forma ampla as variaes de consumo;

- os valores extremos so percebidos de imediato;

- possvel observar a tendncia de concentrao dos valores.

Apesar de o rol propiciar ao analista mais informaes e com menos esforo

de concentrao do que os dados brutos, ainda assim persiste o problema de a

anlise ter que se basear nas 20 observaes. O problema se agravar quando

o nmero de dados for muito grande.

35

2 Distribuio de Frequncia

um tipo de tabela que condensa uma coleo de dados conforme as

freqncias (repeties de seus valores). A forma pela qual podemos

descrever os dados estatsticos resultantes de variveis quantitativas, como o

caso de notas obtidas pelos alunos de uma classe, estaturas de um conjunto de

pessoas, salrios recebidos pelos operrios de uma fbrica etc.

Frequncia: a quantidade que fica relacionada a um determinado valor da

varivel.

Distribuio de frequncia sem intervalos de classe: a simples

condensao dos dados conforme as repeties de seus valores. Para um ROL

de tamanho razovel esta distribuio de frequncia inconveniente, j que

exige muito espao. Veja exemplo abaixo:

Dados Frequncia

41 3

42 2

43 1

44 1

45 1

46 2

50 2

51 1

52 1

54 1

57 1

58 2

60 2

TOTAL 20

36

Distribuio de frequncia com intervalos de classe: Quando o tamanho da

amostra elevado mais racional efetuar o agrupamento dos valores em

vrios intervalos de classe.

Classes Frequncias

41 |------- 45 7

45 |------- 49 3

49 |------- 53 4

53 |------- 57 1

57 |------- 61 5

Total 20

3 Elementos de uma Distribuio de Frequncia com Intervalos de Classe:

3.1 Classe

As classes so representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ..., k

(onde K o nmero total de classes da distribuio).

Na tabela do exemplo anterior, a distribuio formada por cinco classes,

ento temos k = 5 e o intervalo de classe 49 |------- 53 representa a 3 classe,

ou seja, i = 3.

3.2 Limites de classe

O menor nmero o limite inferior de classe (li) e o maior nmero, limite

superior de classe (Li).

Na classe 49 |------- 53, temos:,l3 = 49 e L3 = 53.

O smbolo |------- representa um intervalo fechado esquerda e aberto

direita. O dado 53 do ROL no pertence a classe 3 e sim a classe 4, que

representada por 53 |------- 57.

Classe de frequncia ou, simplesmente, classes so os intervalos de variao

da varivel.

Limites de classe so os extremos de cada classe.

37

3.3 Amplitude do intervalo de classe

Ela obtida atravs da diferena entre o limite superior e inferior da classe e

simbolizada por:

Na tabela do exemplo anterior hi = 53 - 49 = 4. Obs: Na distribuio de

frequncia com classes o hi ser igual em todas as classes, como mostrado a

seguir:

hi = 57 - 53 = 4

hi = 49 - 45 = 4

3.4 Amplitude total da distribuio

Na tabela anterior AT = 61 - 41= 20

Nota: evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, verificamos a

relao:

3.5 Amplitude amostral

Em nosso exemplo AA = 60 - 41 = 19.

Obs: AT sempre ser maior que AA.

Amplitude do intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo a medida do

intervalo que define a classe.

Amplitude total da distribuio (AT) a diferena entre o limite superior da

ltima classe e o limite inferior da primeira classe.

AT = Lmax - lmin.

hi = Li - li

AT = k

hi

Amplitude amostral (AA) a diferena entre o valor mximo e o valor mnimo

da amostra (obtidos atravs do ROL).

AA = Xmax - Xmin

38

3.6 Ponto mdio da classe

Para obtermos o ponto mdio de uma classe, calculamos a semi-soma dos

limites da classe (mdia aritmtica):

No intervalo da 3 classe 49 |------- 53 o ponto mdio x3 calculado:

x3 = (l3 + L3)/2 = (53 + 49)/2 = 51

Obs.: O ponto mdio da classe o valor que a representa para efeito de

clculos de medidas de posio e disperso ou variabilidade.

3.7 Frequncia simples ou absoluta

A frequncia simples simbolizada por fi (lemos f ndice i ou frequncia da

classe i).

Assim, considerando o exemplo abaixo, temos:

ESTATURAS DE 40 ALUNOS NA ESCOLA A

ESTATURA (cm) FREQUNCIA

150 |------- 154 4

154 |------- 158 9

158 |------- 162 11

162 |------- 166 8

166 |------- 170 5

170 |------- 174 3

TOTAL 40

f1 = 4; f2 = 9; f3 = 11; f4 = 8; f5 = 5 e f6 = 3.

A soma das freqncias sempre igual ao total da amostra.

Ponto mdio da classe (xi) , como o prprio nome indica, o ponto que divide

o intervalo de classe em duas partes iguais.

xi = li + Li

2

Frequncia simples ou frequncia absoluta ou simplesmente, frequncia de

uma classe ou de um valor individual o nmero de observaes

correspondentes a essa classe ou a esse valor.

39

Exerccio 1: As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 8; 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 8; 8; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8; 9;

2; 3; 4; 5; 5; 6; 6; 7; 8; 9; 2; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 7; 8; 9;

a) Complete a distribuio de frequncia abaixo:

i Notas xi fi

1 0 |--- 2

2 2 |--- 4

3 4 |--- 6

4 6 |--- 8

5 8 |--- 10

Total 50

b) Agora, responda:

1. Qual a amplitude amostral?

2. Qual a amplitude da distribuio?

3. Qual o nmero de classes da distribuio?

4. Qual o limite inferior da quarta classe?

5. Qual o limite superior da classe de ordem 2?

6. Qual a amplitude do segundo intervalo de classe?

7. Qual a frequncia da terceira classe?

c) Complete:

1. h3 = .......

2. n = ........

3. l1 = ........

4. L3 = ........

5. x2 = ........

6. f5 = ........

40

4 Tipos de Freqncias

A soma das freqncias simples igual ao nmero total de dados da

distribuio.

A soma das frequncias relativas igual a 1 ou 100 %.

Logo, para o exemplo da pgina 36 a frequncia da terceira classe :

fr3 = f3/n ; fr3 = 11/40 = 0,275

O propsito das frequncias relativas o de permitir a anlise ou facilitar as

comparaes.

Assim, no exemplo, a frequncia acumulada correspondente terceira classe

:

F3 = f1 + f2 + f3 = 4 + 9 + 11 = 24

O que significa existirem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm (limite

superior do intervalo da terceira classe).

Assim, no exemplo, para a terceira classe, temos:

Fr3 = F3 / fi = 24/40 = 0,600

Frequncia simples ou absolutas (fi) so os valores que realmente

representam o nmero de dados de cada classe.

Frequncias relativas: so os valores das razes entre as freqncias

absolutas de cada classe e a frequncia total da distribuio.

Frequncia acumulada de uma classe (Fi): o total das frequncias de todos

os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada

classe:

Fk = f1 + f2 + f3 + ...... + fK

Frequncia acumulada relativa (Fri) de uma classe: a frequncia

acumulada da classe, dividida pela frequncia total da distribuio.

Fri = Fi / fi

41

Exerccio 2: Complete o quadro com as frequncia que se pede.

CLASSE xi fi Fi fri (%) Fri (%)

50 |----- 54 52 4

54 |----- 58 56 9

58 |----- 62 60 11

62 |----- 66 64 8

66 |----- 70 68 5

70 |----- 74 72 3

Total -- 40 -- 100 --

Sendo xi = ponto mdio de classe; fi = frequncia simples; Fi = frequncia

Acumulada; fri (%) = frequncia percentual e Fri (%) = frequncia percentual

acumulada.

5 - Mtodo Prtico para Construo de uma Distribuio de Freqncias com

Classes:

1 - Organize os dados brutos em um ROL.

2 - Calcule a amplitude amostral AA. Para o exemplo da pgina 32, temos:

AA = 60 - 41 = 19

3 - Calcule o nmero de classes atravs da:

a) Regra de Sturges:

n i = n de classes

3 ---- 5 3

6 ---- 11 4

12 ---- 22 5

23 ---- 46 6

47 ---- 90 7

91 ---- 181 8

182---- 362 9

b) Raiz quadrada de n. (usa-se somente a parte inteira do nmero quando a

raiz no for exata).

Obs: Qualquer regra para determinao do n de classes da tabela no nos leva

a uma deciso final; esta vai depender na realidade de um julgamento pessoal,

que deve estar ligado natureza dos dados.

42

No nosso exemplo: n = 20 dados, ento, a regra sugere a adoo de 5 classes

pela regra de Sturges e de 4 classes pela regra da raiz quadrada, ficando a

critrio de quem vai fazer a distribuio de frequncia.

4 - Decidido o n de classes, calcule ento a amplitude do intervalo de classe

h > AA / i.

No nosso exemplo: AA / i = 19/4 = 4,75. Obs: Como h > AA / i um valor

ligeiramente superior para haver folga na ltima classe. Utilizaremos ento

h = 5.

5 - Temos ento o menor n da amostra, o n de classes e a amplitude do

intervalo. Podemos montar a tabela, com o cuidado para no aparecer classes

com frequncia = 0 (zero).

No nosso exemplo: o menor n da amostra = 41 + h = 46, logo a primeira

classe ser representada por 41 |------- 46. As classes seguintes respeitaro o

mesmo procedimento.

O primeiro elemento da classe seguinte sempre ser formado pelo ltimo

elemento da classe anterior.

6 - Representao Grfica de uma Distribuio

Uma distribuio de frequncia pode ser representada graficamente pelo

Histograma, pelo Polgono de frequncia e pelo Polgono de frequncia

acumulada (alguns autores denominam de ogiva de Galton).

Em todos os grficos acima utilizamos o primeiro quadrante do sistema de

eixos coordenados cartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo das

abscissas) colocamos os valores da varivel e na linha vertical (eixo das

ordenadas), as frequncias.

6.1 - Histograma

A rea de um histograma proporcional soma das frequncias simples ou

absolutas.

O Histograma formado por um conjunto de retngulos justapostos, cujas

bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos

mdios coincidam com os pontos mdios dos intervalos de classe.

43

Para o exemplo a seguir, temos o seguinte histograma:

ESTATURAS DE 40 ALUNOS NA ESCOLA A

ESTATURA

(cm)

FREQUNCIA

150 |------- 154 4

154 |------- 158 9

158 |------- 162 11

162 |------- 166 8

166 |------- 170 5

170 |------- 174 3

TOTAL 40

6.2 Polgono de Frequncia

Para realmente obtermos um polgono (linha fechada), devemos completar a

figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos mdios da classe

anterior primeira e da posterior ltima, da distribuio.

O Polgono de frequncia um grfico em linha, sendo as frequncias

marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos

mdios dos intervalos de classe.

44

Para o exemplo anterior temos o seguinte Polgono de frequncia:

6.3 Polgono de Frequncia Acumulada

Para o exemplo em estudo temos o seguinte Polgono de frequncia

acumulada:

O Polgono de frequncia acumulada traado marcando-se as frequncias

acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos

correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

45

Uma distribuio de frequncia sem intervalos de classe representada

graficamente por um diagrama onde cada valor da varivel representado por

um segmento de reta varivel e de comprimento proporcional respectiva

frequncia.

Exerccio 3: Complete o quadro com as frequncia que se pede e com base

nele construa o histograma, polgono de frequncia e polgono de frequncia

acumulada.

CLASSE xi fi Fi fi (%) Fi (%)

50 |----- 54 52 4

54 |----- 58 56 9

58 |----- 62 60 11

62 |----- 66 64 8

66 |----- 70 68 5

70 |----- 74 72 3

Total -- 40 -- 100 --

Sendo xi = ponto mdio de classe; fi = frequncia simples; Fi = frequncia

Acumulada; fi (%) = frequncia percentual; Fi(%) = frequncia percentual

acumulada.

46

VI - MEDIDAS DE POSIO

1 Introduo

O estudo que fizemos sobre distribuies de frequncia, at agora, permite-nos

descrever, de modo geral, os grupos dos valores que uma varivel pode

assumir. Dessa forma, podemos localizar a maior concentrao de valores de

uma dada distribuio, isto , se ela se localiza no incio, no meio ou no final,

ou ainda, se h uma distribuio por igual.

Porm, para ressaltar as tendncias caractersticas de cada distribuio,

isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos

que se expressam atravs de nmeros, que nos permitam traduzir essas

tendncias. Esses conceitos so denominados elementos tpicos da

distribuio e so as:

a. medidas de posio;

b. medidas de variabilidade ou disperso;

c. medidas de assimetria;

d. medidas de curtose.

Dentre os elementos tpicos, destacamos, neste captulo, as medidas de

posio - estatsticas que representam uma srie de dados orientando-nos

quanto posio da distribuio em relao ao eixo horizontal do grfico da

curva de freqncia.

As medidas de posies mais importantes so as medidas de tendncia

central ou promdias, que recebem tal denominao pelo fato de os dados

observados tenderem, em geral, a se agruparem em torno dos valores centrais.

Dentre as medidas de tendncia central, destacamos:

a. a mdia aritmtica;

b. a moda;

c. a mediana.

Outras promdias menos usados so as mdias: geomtrica, harmnica,

quadrtica, cbica e biquadrtica.

47

As outras medidas de posio so as separatrizes, que englobam: a prpria

mediana, os decis, os quartis e os percentis.

2 Mdia Aritmtica ( )

Em um conjunto de dados, podemos definir vrios tipos de mdias. Porm, em

nossos estudos iremos nos limitar mais importante: a mdia aritmtica.

onde xi so os valores da varivel e n o nmero de valores.

2.1 Dados no - agrupados

Quando desejamos conhecer a mdia dos dados no-agrupados em tabelas de

freqncias, determinamos a mdia aritmtica simples.

Exemplo: Sabendo-se que a venda diria de arroz tipo A, durante uma semana,

foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 kg, temos, para venda mdia diria na

semana de:

.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 kg

Logo: .= 14 Kg

s vezes, a mdia pode ser um nmero diferente de todos os da srie de dados

que ela representa. o que acontece quando temos os valores 2, 4, 6 e 8, para

os quais a mdia 5. Esse ser o nmero representativo dessa srie de valores,

embora no esteja representado nos dados originais. Neste caso, costumamos

dizer que a mdia no tem existncia concreta.

2.2 Desvio em relao mdia

Mdia Aritmtica quociente entre a soma dos valores da varivel pelo

nmero deles:

Denominamos Desvio em relao mdia a diferena entre cada elemento de

um conjunto de valores e a mdia aritmtica.

48

Designando o desvio por di, temos:.di = Xi -

No exemplo anterior temos sete desvios:...

d1 = 10 - 14 = - 4;

d2 = 14 - 14 = 0;

d3 = 13 - 14 = - 1;

d4 = 15 - 14 = 1;

d5 = 16 - 14 = 2;

d6 = 18 - 14 = 4;

d7 = 12 - 14 = - 2.

2.3 .Propriedades da mdia

1 propriedade: A soma algbrica dos desvios em relao mdia nula.

Ou seja:

No exemplo anterior: d1 + d2 + d3 + d4 + d5 + d6 + d7 = 0

2 propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos

os valores de uma varivel, a mdia do conjunto fica aumentada (ou

diminuda) dessa constante.

Se no exemplo anterior, somarmos a constante 2 a cada um dos valores da

varivel temos:

Y = (12+16+15+17+18+20+14) / 7 = 16 kg

Ou seja, Y = .+ 2 = 14 +2 = 16 kg

49

3 propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de

uma varivel por uma constante (c), a mdia do conjunto fica

multiplicada (ou dividida) por essa constante.

Se no exemplo anterior multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da

varivel temos:

Y = (30+42+39+45+48+54+36) / 7 = 42 kg

Ou seja, Y = x 3 = 14 x 3 = 42 kg

2.4 Dados Agrupados

A mdia aritmtica sem intervalos de classe

Consideremos a distribuio relativa a 34 famlias de quatro filhos, tomando

para varivel o nmero de filhos do sexo masculino. Calcularemos a

quantidade mdia de meninos por famlia:

N de meninos Freqncia = fi

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

= 34

Neste caso, como as freqncias so nmeros indicadores da intensidade de

cada valor da varivel, elas funcionam como fatores de ponderao, o que nos

leva a calcular a mdia aritmtica ponderada, dada pela frmula:

50

O modo mais prtico de obteno da mdia ponderada abrir, na tabela, uma

coluna correspondente aos produtos xifi:

xi fi xi . fi

0 2 0

1 6 6

2 10 20

3 12 36

4 4 16

=34 =78

Temos, xifi = 78 e f i = 34

Logo xifi / f i = 78 / 34 = 2,3

Portanto a mdia de 2,3 meninos por famlia

Nota:

- Sendo x uma varivel discreta, como interpretar o resultado obtido, 2

meninos e 3 dcimos de menino?

O valor mdio de 2,3 meninos sugere, neste caso, que o maior nmero de

famlias tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, porm, a tendncia geral de uma

leve superioridade numrica em relao ao nmero de meninos.

A mdia aritmtica com intervalos de classe

Neste caso, convencionamos que todos os valores includos em um

determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto mdio, e

determinamos a mdia aritmtica ponderada por meio da frmula:

Onde xi o ponto mdio da classe.

51

Exemplo: Considere a distribuio de frequncia abaixo, relativo a estaturas

em cm de bebs. Calcular a estatura mdia de bebs conforme a tabela abaixo.

i Estaturas (cm) fi

1 50 |------- 54 4

2 54 |------- 58 9

3 58 |------- 62 11

4 62 |------- 66 8

5 66 |------- 70 5

6 70 |------- 74 3

= 40

Pela mesma razo do caso anterior, vamos, inicialmente, abrir uma coluna

para os pontos mdios (xi) e outra para os produtos xifi:

i Estaturas (cm) fi xi xi.fi

1 50 |------- 54 4 52 208

2 54 |------- 58 9 56 504

3 58 |------- 62 11 60 660

4 62 |------- 66 8 64 512

5 66 |------- 70 5 68 340

6 70 |------- 74 3 72 216

= 40 = 2.440

Temos, xifi = 2440 e f i = 40; Logo xifi / f i = 2440 / 40 = 61

Portanto, a estatura mdia dos bebs de 61 cm.

2.5 Emprego da mdia

A mdia utilizada quando:

a. desejamos obter a medida de posio que possui a maior estabilidade;

b. houver necessidade de um tratamento algbrico ulterior.

52

3 Moda

Mo o smbolo da moda.

Desse modo, o salrio modal dos empregados de uma fbrica o salrio mais

comum, isto , o salrio recebido pelo maior nmero de empregados dessa

fbrica.

3.1 Dados no - agrupados

Quando lidamos com dados no-agrupados, a moda facilmente reconhecida:

basta, de acordo com definio, procurar o valor que mais se repete.

Exemplo: Na srie de dados {7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12} a moda igual a 10.

H sries nas quais no exista valor modal, isto , nas quais nenhum valor

aparea mais vezes que outros.

Exemplo: {3 , 5 , 8 , 10 , 12 } no apresenta moda. A srie amodal.

.Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentrao. Dizemos,

ento, que a srie tem dois ou mais valores modais.

Exemplo: {2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7.

A srie bimodal.

3.2 Dados agrupados

Sem intervalos de classe

Uma vez agrupados os dados, possvel determinar imediatamente a moda:

basta fixar o valor da varivel de maior freqncia.

Exemplo: Qual a temperatura mais comum medida no ms abaixo:

Temperaturas ( C) Freqncia

0 3

1 9

2 12

3 6

Resp: 2 C a temperatura modal, pois a de maior freqncia (12 vezes).

Denominamos Moda o valor que ocorre com maior freqncia em uma srie

de valores.

53

Com intervalos de classe

A classe que apresenta a maior freqncia denominada classe modal. Pela

definio, podemos afirmar que a moda, neste caso, o valor dominante que

est compreendido entre os limites da classe modal.

O mtodo mais simples para o clculo da moda consiste em tomar o ponto

mdio da classe modal. Damos a esse valor a denominao de moda bruta.

Onde: l* = limite inferior da classe modal;

L*= limite superior da classe modal.

Exemplo: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.

Classes

(cm) Freqncia

54 |-------- 58 9

58 |-------- 62 11

62 |-------- 66 8

66 |-------- 70 5

Resposta: A classe modal 58 |------ 62, pois a de maior frequncia.

l* = 58 e L* = 62

Mo = (58+62) / 2 = 60 cm (este valor estimado, pois no conhecemos o

valor real da moda).

H, para o clculo da moda, outros mtodos mais elaborados, como, por

exemplo, o que faz uso da frmula de Czuber:

Na qual:

l* o limite inferior da classe modal;

54

h* a amplitude da classe modal;

D1 = f* - f (ant.);

D2 = f* - f (post.);

Sendo:

f* a frequencia simples da classe modal;

f (ant.) a frequencia simples da classe anterior classe modal;

f (post.) a frequencia simples da classe posterior classe modal.

Exemplo: Considere a distribuio a seguir

Classes fi

150 |------ 154 4

154 |------ 158 9

158 |------ 162 11

162 |------ 166 8

166 |------ 170 5

170 |------ 174 3

Total 40

Temos:

D1 = 11 9 = 2 e D2 = 11 8 = 3;

Mo = 158 + 2 x 4 = 159,6 cm

2 + 3

3.3 Emprego da moda

A moda utilizada quando:

a. desejamos obter uma medida rpida e aproximada de posio;

b. quando a medida de posio deva ser o valor mais tpico da

distribuio.

55

4 Mediana

Smbolo da mediana: Md

4.1 Dados no-agrupados

Dada uma srie de valores como, por exemplo:

{5, 2, 6, 13, 9, 15, 10}

De acordo com a definio de mediana, o primeiro passo a ser dado o da

ordenao (crescente ou decrescente) dos valores:

{2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}

Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo nmero de

elementos direita e esquerda. Neste caso o valor que divide a srie acima

em duas partes iguais o 9, logo a Md = 9.

Se, porm, a srie dada tiver um nmero par de termos, a mediana ser, por

definio, qualquer dos nmeros compreendidos entre os dois valores centrais

da srie. Convencionou-se utilizar o ponto mdio.

.Mtodo prtico para o clculo da Mediana

a) Se a srie dada tiver nmero mpar de termos:

O valor mediano ser o termo de ordem dado pela frmula:

( n + 1 ) / 2

Exemplo: Calcule a mediana da srie {1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5}

1 - ordenar a srie {0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5}

n = 9, logo (n + 1)/2 dado por (9 + 1) / 2 = 5, ou seja, o 5 elemento da srie

ordenada ser a mediana.

A mediana ser o 5 elemento = 2

A Mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem

(crescente ou decrescente), o valor situado de tal forma no conjunto que o

separa em dois subconjuntos de mesmo nmero de elementos.

56

b) Se a srie dada tiver nmero par de termos:

O valor mediano ser dado pela frmula:

. [( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2

Obs.: n/2 e (n/2 + 1) sero termos de ordem e devem ser substitudos pelo valor

correspondente.

Exemplo: Calcule a mediana da srie {1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6}

1 - ordenar a srie {0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }

n = 10, logo a frmula ficar: [(10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2

[(5 + 6)] / 2, ser na realidade (5 termo+ 6 termo) / 2

5 termo = 2 e 6 termo = 3

A mediana ser = (2 + 3) / 2, ou seja, Md = 2,5. A mediana no exemplo ser a

mdia aritmtica do 5 e 6 termos da srie.

Notas:

Quando o nmero de elementos da srie estatstica for mpar, haver

coincidncia da mediana com um dos elementos da srie.

Quando o nmero de elementos da srie estatstica for par, nunca haver

coincidncia da mediana com um dos elementos da srie. A mediana

ser sempre a mdia aritmtica dos 2 elementos centrais da srie.

Em uma srie a mediana, a mdia e a moda no tm, necessariamente, o

mesmo valor.

A mediana depende da posio e no dos valores dos elementos na srie

ordenada. Essa uma da diferenas marcantes entre mediana e mdia

(que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos:

Em {5, 7, 10, 13, 15}; a mdia = 10 e a mediana = 10

Em {5, 7, 10, 13, 65}; a mdia = 20 e a mediana = 10

Isto , a mdia do segundo conjunto de valores maior do que a do primeiro,

por influncia dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a

mesma.

57

4.2 Dados agrupados

Se os dados se agrupam em uma distribuio de frequncia, o clculo da

mediana se processa de modo muito semelhante quele dos dados no-

agrupados, implicando, porm, a determinao prvia das frequncias

acumuladas.

Ainda aqui, temos que determinar um valor tal que divida a distribuio em

dois grupos que contenham o mesmo nmero de elementos.

Sem intervalos de classe

Neste caso, o bastante identificar a frequncia acumulada imediatamente

superior metade da soma das frequncias. A mediana ser aquele valor da

varivel que corresponde a tal frequncia acumulada.

- Quando o somatrio das frequncias for mpar o valor mediano ser o termo

de ordem dado pela frmula:

Exemplo considere a distribuio abaixo:

Varivel xi fi Fi

0 2 2

1 6 8

2 9 17

3 13 30

4 5 35

Total 35 --

Como o somatrio das frequncias fi = 35, a frmula para calcular a mediana ser:

(35+1) / 2 = 18 termo

Pela distribuio temos a mediana igual ao valor da varivel correspondente

ao 18 termo, ou seja, igual a 3.

58

- Quando o somatrio das frequncias for par o valor mediano ser o termo de

ordem dado pela frmula:

Exemplo - Calcule Mediana da tabela abaixo:

Varivel xi fi Fi

12 1 1

14 2 3

15 1 4

16 2 6

17 1 7

20 1 8

Total 8 --

Aplicando frmula acima teremos:

[(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4 termo + 5 termo) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5

Logo, o valor da mediana para esta distribuio ser igual a 15,5.

Com intervalos de classe

Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que

est compreendida a mediana.

Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a

mediana classe mediana.

Devemos seguir os seguintes passos:

59


Classes fi Fi

50 |------- 54 4 4

54 |------- 58 9 13

58 |------- 62 11 24

62 |------- 66 8 32

66 |------- 70 5 37

70 |------- 74 3 40

Total 40 --

Temos: = 40 / 2 =.20

Logo,.a classe mediana ser a terceira classe, ou seja, 58 |------ 62 e com base

nesta classe temos ainda:

l* = 58........... F(ant) = 13........... f* = 11........... h* = 4

Substituindo esses valores na frmula acima, obtemos:

Md = 58 + [(20 - 13) x 4] / 11 = 58 + (28/11) = 58 + 2,54 = 60,54

Obs.: Este valor (Md = 60,54) estimado, pois no temos os 40 valores da

distribuio.

NOTA: No caso de existir uma frequncia acumulada exatamente igual a fi/2, a mediana ser o limite superior da classe correspondente.

60


i Classes fi Fi

1 0 |------ 10 1 1

2 10 |------ 20 3 4

3 20 |------ 30 9 13

4 30 |------ 40 7 20

5 40 |------ 50 4 24

6 50 |------ 60 2 26

Total 26 --

Temos: = 26 / 2 =.13

Logo,.Md = L* = 30

4.3 - Emprego da Mediana

A mediana usada quando:

a. desejamos obter o ponto que divide a distribuio em duas partes iguais;

b. h valores extremos que afetam de maneira acentuada a mdia

aritmtica;

c. a varivel em estudo salrio.

5 Posio Relativa da Mdia, Moda e Mediana

Quando uma distribuio simtrica, as trs medidas coincidem. Porm, a

assimetria torna-as diferentes e essa diferena tanto maior quanto maior a

assimetria. Assim, em uma distribuio em forma de sino, temos:

Media = Mediana = Moda, no caso da curva simtrica;

Moda < Mediana < Media, no caso da curva assimtrica positiva;

Media < Mediana < Moda, no caso da curva assimtrica negativa;

61

6 As Separatrizes

Como vimos, a mediana caracteriza uma srie de valores devido sua posio

central. No entanto, ela apresenta uma caracterstica, to importante quanto a

primeira: ela separa a srie em dois grupos que apresentam o mesmo

nmero de valores.

Assim, alm das medidas de posio que estudamos, h outras que,

consideradas individualmente, no so medidas de tendncia central, mas

esto ligadas mediana relativamente sua segunda caracterstica, j que se

baseiam em posio na srie. Essas medidas os quartis, os percentis e os decis so, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genrico de separatrizes.

6.1 Os quartis

Denominamos quartis os valores de uma srie que a divide em quatro

partes iguais.

62

H, portanto, trs quartis:

a. O primeiro quartil (Q1) valor situado de tal modo na srie que uma quarta parte (25%) dos dados menor que ele e as trs quartas partes

restantes (75%) so maiores.

b. O segundo quartil (Q2) evidentemente, coincide com a mediana (Q2 = Md).

c. O terceiro quartil (Q3) valor situado de tal modo na srie que as trs quartas partes (75%) dos termos so menores que ele e uma quarta parte

restante (25%) maior.

Quando os dados so agrupados, para determinar os quartis usamos a

mesma tcnica do clculo da mediana, bastando substituir, na frmula da

mediana, por:

Sendo K o nmero de ordem do quartil. Assim temos:

63

Exemplo:

Classes fi Fi

150 |------- 154 4 4

154 |------- 158 9 13

158 |------- 162 11 24

162 |------- 166 8 32

166 |------- 170 5 37

170 |------- 174 3 40

Total 40 --

Exerccio:

1. Complete os esquemas para o clculo do primeiro e do terceiro quartis da distribuio de frequncia:

(Q1)

(Q3)

64

6.2 Os Decis

Indicamos:

D1, D2, D3, ............, D9

evidente que:

D5= Q2 = Md

Denominamos decis os nove valores que separam uma srie em 10 partes

iguais.

65

O clculo de um decil segue a mesma tcnica do clculo da mediana, porm, a

frmula ser substituda por:

Sendo K o nmero de ordem do decil. Assim temos:

Exemplo: Calcule o stimo decil

Classes fi Fi

150 |------- 154 4 4

154 |------- 158 9 13

158 |------- 162 11 24

162 |------- 166 8 32

166 |------- 170 5 37

170 |------- 174 3 40

Total 40 --

Stimo Decil:

7 x fi/10 = 7 x 40/10 = 28

D7 = 162 + (28 -24).4

8

D7 = 162 + 2 = 164

10

10

10 D3

D1

(D7)

66

6.3 Os Percentis

Indicamos:

P1, P2, P3, ............, P99

evidente que:

P50= D5= Q2 = Md, P25= Q1, P75= Q3

O clculo de um percentil segue a mesma tcnica do clculo da mediana,

porm, a frmula ser substituda por:

Sendo K o nmero de ordem do percentil. Assim para o 27 percentil, temos:

Exemplo:

Considerando a distribuio de frequncia, temos para o oitavo percentil:

Classes fi Fi

150 |------- 154 4 4

154 |------- 158 9 13

158 |------- 162 11 24

162 |------- 166 8 32

166 |------- 170 5 37

170 |------- 174 3 40

Total 40 --

Denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma srie

em 100 partes iguais.

(P8)

68

Exerccio:

1. Complete o esquema para o clculo do vigsimo percentil da distribuio:

69

2. Calcule a mdia aritmtica das distribuies de frequncia abaixo:

3. Calcule a mediana de cada uma das distribuies de frequncia do exerccio

anterior.

4. Calcule a moda de cada uma das distribuies de frequncia do exerccio

anterior.

5. Calcule o primeiro e o terceiro quartis de cada uma das distribuies de

frequncia do exerccio anterior.

5. Calcule o quarto e o nono decil de cada uma das distribuies de frequncia

do exerccio anterior.

6. Calcule o 1, o 10, o 15, o 23 e o 90 percentiis de cada uma da

distribuio b) do exerccio anterior.

70

VII MEDIDAS DE DISPERSO OU VARIABILIDADE

1 Disperso ou variabilidade

Vimos anteriormente que um conjunto de valores pode ser convenientemente

sintetizado, por meio de procedimentos matemticos, em poucos valores

representativos mdia aritmtica, moda e mediana. Tais valores podem servir de comparao para dar a posio de qualquer elemento do conjunto.

No entanto, quando se trata de interpretar dados estatsticos, mesmo aqueles j

convenientemente simplificados, necessrio ter-se uma idia retrospectiva de

como se apresentavam esses mesmos dados nas tabelas.

Assim, no o bastante dar uma das medidas de posio para caracterizar

perfeitamente um conjunto de valores. Vemos, ento, que a mdia ainda que considerada como um nmero que tem a faculdade de representar uma srie de

valores no pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade que existe entre os valores que compem o conjunto.

Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variveis x, y e z:

X: 70, 70, 70, 70, 70

Y: 68, 69, 70, 71, 72

Z: 5, 15, 50, 120, 160

Calculando a mdia aritmtica de cada um desses conjuntos, obtemos:

mdia da varivel x = 70;

mdia da varivel y = 70;

mdia da varivel z = 70;

Vemos, ento, que os trs conjuntos apresentam a mesma mdia aritmtica: 70

Entretanto, fcil notar que o conjunto X mais homogneo que os

conjuntos Y e Z, j que todos os valores so iguais mdia. O conjunto Y,

por sua vez, mais homogneo que o conjunto Z, pois h menor

diversificao entre cada um de seus valores e a mdia representativa.

Chamando de disperso ou variabilidade a maior ou menor diversificao

dos valores de uma varivel em torno de um valor de tendncia central tomado

como ponto de comparao, podemos dizer que o conjunto X apresenta

71

disperso ou variabilidade nula e que o conjunto Y apresenta uma disperso

ou variabilidade menor que o conjunto Z.

Portanto, para qualificar os valores de uma dada varivel, ressaltando a maior

ou menor disperso ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de

posio, a Estatstica recorre s medidas de disperso ou de variabilidade.

Dessas medidas, estudaremos a amplitude total, o Desvio-padro, a

Varincia e o Coeficiente de variao.

2 Amplitude Total


Exemplo: para os valores: 40, 45, 48, 52, 54, 62 e 70

Temos: AT = 70 40 = 30, logo AT = 30.

Quando dizemos que a amplitude total dos valores 30, estamos afirmando

alguma coisa do grau de sua concentrao. evidente que, quanto maior a

amplitude total, maior a disperso ou variabilidade dos valores da varivel.

Relativamente aos trs conjuntos de valores (X, Y e Z) mencionados no incio

deste captulo, temos:

ATX = 70 70 = 0, (disperso nula)

ATY = 72 68 = 4

ATZ = 160 5 = 155

2.2 Dados agrupados

2.2.1 Sem intervalos de classe

Neste caso, ainda temos:

A Amplitude total a diferena entre o maior e o menor valor observado:

AT = X (max) - X (min)

AT = X (max) - X (min)

72

Exemplo:

Considerando a tabela abaixo:

Xi fi

0 2

1 6

2 12

3 7

4 3

Total 30

Temos: AT = 4 0 = 4, logo AT = 4.

2.2.2 Com intervalos de classe

Neste caso, a amplitude total a diferena entre o limite superior da ltima

classe e o limite inferior da primeira classe:

Exemplo:

Considerando a distribuio de frequncia abaixo:

Classes fi

150 |------- 154 4

154 |------- 158 9

158 |------- 162 11

162 |------- 166 8

166 |------- 170 5

170 |------- 174 3

Total 40

Temos:

AT = 174 150 = 24, logo: AT = 24 cm.

A amplitude total tem o inconveniente de s levar em conta os dois valores

extremos da srie, descuidando do conjunto de valores intermedirios, o que

quase sempre invalida a idoneidade do resultado. Ela apenas uma indicao

aproximada da disperso ou variabilidade.

AT = L (max) - l (min)

73

3 Varincia e Desvio-padro

3.1 Introduo:

A varincia e o desvio-padro levam em considerao a totalidade dos valores

da varivel em estudo, o que faz delas ndices de variabilidade bastante

estveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados.

A varincia uma medida que tem pouca utilidade como estatstica descritiva,

porm extremamente importante na inferncia estatstica e em combinaes

de amostras.

Quando se tratar de uma amostra devemos usar no denominador n 1.

Sendo a varincia calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela um

nmero em unidade quadrada em relao varivel em questo, o que, sob o

ponto de vista prtico inconveniente.

Quando se tratar de uma amostra devemos usar no denominador n 1.

NOTA:

A varincia baseia-se nos desvios em torno da mdia aritmtica, porm

determinando mdia aritmtica dos quadrados dos desvios. Assim,

representando a varincia por s2, temos:

Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e

interpretaes prticas, denominada desvio-padro, definida como a raiz

quadrada da varincia e representada por S.

74

Tanto o desvio-padro como a varincia so usados como medidas de disperso ou variabilidade. O uso de uma ou de outra depender da

finalidade que se tenha em vista.

Outra frmula bastante utilizada para calcular o desvio-padro de uma

populao :

3.2 Propriedades do desvio-padro

O desvio padro uma medida que s pode assumir valores no negativos e

quanto maior for o seu valor, maior ser a disperso dos dados.

Algumas propriedades do desvio padro, que resultam imediatamente da

definio, so:

Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os valores de uma varivel, o desvio padro no se altera.

yi = xi c sy = sx

Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma varivel por uma constante (diferente de zero), o desvio padro fica multiplicado

(ou dividido) por essa constante.

yi = xi . c sy = c . sx

O desvio padro sempre no negativo e ser tanto maior, quanta mais

variabilidade houver entre os dados.

Se s = 0, ento no existe variabilidade, isto , os dados so todos iguais.

Essas propriedades nos permitem introduzir, no clculo do desvio padro

simplificaes teis.

Para o clculo do desvio-padro, consideremos os seguintes casos:

75


Devemos empregar uma das duas frmulas mostradas para clculo do desvio-

padro.

Exemplo: Calcular o desvio padro da populao representada por:

Populao = {10, 6, 1, 3, 5}

xi 10 5 5 25

6 5 1 1

1 5 - 4 16

3 5 - 2 4

5 5 0 0

-- -- = 46

Usando a frmula:

Sabemos que n = 5 e que / n = 46 / 5 = 9,2.

Logo, a raiz quadrada de 9,2 o desvio padro, S = 3,03

Obs.: Podemos tambm calcular utilizando a outra frmula possvel.

Quando nosso interesse no se restringe descrio dos dados, mas, partindo

da amostra, visamos tirar inferncias vlidas para a respectiva populao,

convm efetuar uma modificao, que consiste em usar o divisor (n 1) em lugar de n. A frmula ficar ento:

Exemplo: Se os dados 10, 6, 1, 3 e 5 representassem uma amostra o desvio

padro amostral seria a raiz quadrada de 46 / (5 -1) = 3,39

76

3.4 Dados agrupados

Quando os dados esto agrupados (temos a presena de frequncias) a frmula

do clculo do desvio padro para uma populao ficar:

Quando se trata de uma amostra devemos usar a seguinte frmula:

Podemos tambm calcular o desvio-padro populacional pela seguinte

frmula:

Exemplo:

Calcule o desvio padro populacional da tabela abaixo:

xi f i xi . f i . f i

0 2 0 2,1 -2,1 4,41 8,82

1 6 6 2,1 -1,1 1,21 7,26

2 12 24 2,1 -0,1 0,01 0,12

3 7 21 2,1 0,9 0,81 5,67

4 3 12 2,1 1,9 3,61 10,83

Total 30 63 -- Somatrio 32,70

Sabemos que fi = 30 e . f i / n = 32,7 / 30 = 1,09.

A raiz quadrada de 1,09 o desvio padro, ou seja, s = 1,044

77

Se considerarmos os dados como sendo de uma amostra o desvio padro seria:

A raiz quadrada de 32,7 / (30 -1) = 1,062

Obs: Nas tabelas de frequncias com intervalos de classe a frmula a ser

utilizada a mesma do exemplo anterior.

No exemplo anterior a varincia igual a:

a) Para a populao

S2 = (1,044)2 = 1,09

b) Para a amostra: S2 = (1,062)2 = 1,13

3.5 Entendendo o significado do desvio-padro:

Em termos simples, desvio-padro um modo de representar a disperso dos

dados ao redor da mdia. Se os dados obedecerem a uma distribuio normal,

todos estaro compreendidos por uma curva em forma de sino; eles se

distribuiro simetricamente ao redor da mdia.

O quadro a seguir mostra os dados contidos entre desvio-padro para ambos

os lados da mdia.

Mdia + ou ( ) desvio-padro

% da populao includa Grosseiramente

1 68,3 2/3 da populao

1,96 95,0

2 95,5 95 % da populao

2,58 99,0

3 99,7 100 % da populao

78

1 - Aproximadamente 68% dos dados esto no intervalo

2 - Aproximadamente 95% dos dados esto no intervalo

79

4 Coeficiente de Variao

O desvio padro por si s no nos diz muita coisa. Assim, um desvio padro

de duas unidades pode ser considerado pequeno para uma srie de valores cujo

valor mdio 200; no entanto, se a mdia for igual a 20, o mesmo no pode

ser dito. Alm disso, o fato de o desvio padro ser expresso na mesma unidade

dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais

sries de valores, relativamente sua disperso ou variabilidade, quando

expressas em unidades diferentes.

Para contornar essas dificuldades e limitaes, podemos caracterizar a

disperso ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor mdio,

medida essa denominada coeficiente de variao (CV):

Exemplo:

Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo

grupo de indivduos:

S

Estaturas 175 cm 5,0 cm

Pesos 68 Kg 2,0 Kg

Temos:

CVE = 5/175 x 100 = 2,85%

CVP = 2/68 x 100 = 2,94%

Logo, nesse grupo de indivduos, os pesos apresentam maior grau de disperso

que as estaturas.

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VIII - PROBABILIDADE

1 - Introduo:

O clculo das probabilidades pertence ao campo da Matemtica, entretanto a

maioria dos fenmenos de que trata a Estatstica so de natureza aleatria ou

probabilstica. O conhecimento dos aspectos fundamentais do clculo da

probabilidade uma necessidade essencial para o estudo da Estatstica

Indutiva ou Inferencial.

2 - Experimento Aleatrio

Exemplo:

Da afirmao " provvel que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar:

- que ele ganhe - que ele perca - que ele empate

Este resultado final pode ter trs possibilidades.

3 - Espao Amostral

No experimento aleatrio "lanamento de uma moeda" temos o espao

amostral: {cara, coroa}.

No experimento aleatrio "lanamento de um dado" temos o espao

amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

No experimento aleatrio "dois lanamentos sucessivos de uma moeda" temos

o espao amostral:

{(ca,ca) ; (co,co) ; (ca,co) ; (co,ca)}

So fenmenos que, mesmo repetidos vrias vezes sob condies semelhantes,

apresentam resultados imprevisveis. O resultado final depende do acaso.

Ao conjunto desses resultados possveis de um experimento aleatrio damos o

nome de espao amostral ou conjunto universo, representado por S.

.

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Obs.: cada elemento do espao amostral que corresponde a um resultado

recebe o nome de ponto amostral. No primeiro exemplo: cara pertence ao

espao amostral {cara, coroa}.

4 - Eventos

Se considerarmos S como espao amostral e E como evento: Assim, qualquer

que seja E, se E est contido em S, ento E um evento de S.

Se E = S, E chamado de evento certo.

Se E est contido em S e E um conjunto unitrio, E chamado de evento

elementar.

Se E = , E chamado de evento impossvel.

5 - Probabilidade

Dado um experimento aleatrio, sendo S o seu espao amostral, vamos

admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou

seja, que S um conjunto equiprovvel.

Exemplos:

1- No lanamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A?

S = {ca, co} = 2 A = {ca} = 1 P (A) = 1/2 = 0,5 = 50%

qualquer subconjunto do espao amostral S de um experimento aleatrio.

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2- No lanamento de um dado qual a probabilidade de obter um nmero par em um evento A?

S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = {2,4,6} = 3 P (A) = 3/6 = 0,5 = 50%

3- No lanamento de um dado qual a probabilidade de obter um nmero menor ou igual a 6 em um evento A?

S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = {1,2,3,4,5,6} = 6 P (A) = 6/6 = 1,0 = 100%

Obs: a probabilidade de todo evento certo igual a 1 ou 100%.

4- No lanamento de um dado qual a probabilidade de obter um nmero maior que 6 em um evento A?

S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = { } = 0 P (A) = 0/6 = 0 = 0%

Obs: a probabilidade de todo evento impossvel igual a 0 ou 0%

6 - Eventos Complementares

Sabemos que um evento pode ocorrer ou no. Sendo p a probabilidade de que

ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele no ocorra (insucesso),

para um mesmo evento existe sempre a

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99358-Apostila de Introdução a Estatística Ifce.2010