A ARTE COMO ALIADA NO ENSINO DA GEOMETRIA PLANA

Juliana Cruz da Silva Licencianda em Matemtica

Universidade Catlica de Braslia

Resumo: Este artigo tem a finalidade de mostrar quo intrnseca a relao entre as artes do espao (arquitetura, pintura e escultura) e a geometria, a partir da tcnica de leitura de imagem. Nesse contexto, destacvel o papel da geometria plana no que tange a permitir aos educandos do ensino fundamental a compreenso, descrio e representao de formas e medidas que lhe so apresentadas direta ou indiretamente no mundo em que vive. Na aprendizagem da Matemtica este suporte a possibilidade do fazer matemtica: experimentar, visualizar mltiplas facetas, generalizar e enfim conjecturar. Exemplos de alguns ambientes ilustram tal processo.

Palavra-chave: Geometria e Arte, Leitura de Imagem

1. INTRODUO

Uma vez que as questes geomtricas costumam despertar o interesse dos alunos de forma natural e espontnea alm de ser um campo vasto de situaes-problema que favorecem o desenvolvimento das capacidades para argumentar, construir conceitos, apropriando-se de um conhecimento que serviria para compreender e transportar para a realidade, j no se pode admitir atualmente que o ensino da disciplina seja norteado por prelees tediosas que no valorizam o carter utilitrio da geometria. Diante disso, este artigo tem a finalidade de apresentar aos docentes do ensino fundamental, sugestes para que o ensino da geometria plana se torne mais prazeroso e fascinante.

No desenvolvimento deste trabalho, pretende-se mostrar que, por intermdio das artes do espao, possvel trabalhar conceitos geomtricos diversos de forma simples sem que, no entanto, o rigor matemtico seja esquecido.

Na nova perspectiva de ensino-aprendizagem, onde o conhecimento construdo a partir de muita investigao e explorao e a formalizao simplesmente o coroamento deste trabalho, a tcnica de leitura de imagem perfeitamente aplicvel. Contudo, necessrio ser critico e cuidadoso no processo de uso desta tcnica, visto que esta, por si s, no garante o xito no processo de ensino da geometria.

Muitas das recomendaes aqui apresentadas baseiam-se na experincia adquirida pela autora atravs de observaes em sua vida acadmica e mais recentemente, enquanto educadora. Em virtude do pequeno espao disponvel este artigo s aborda as questes mais relevantes e de forma sucinta.

2. LEITURA DE IMAGEM (OBSERVAES IMPORTANTES)

Em linhas gerais, Leitura de Imagem so a observao e anlise visual, tctil, sensorial e/ou atravs de outros sentidos de uma obra de arte (quadros, fotos, criaes arquitetnicas, filmes e

livros) seguida de uma descrio a mais sucinta e clara possvel. Inicialmente percebe-se a obra finalizada, o resultado do trabalho produzido pelo artista. No momento seguinte inicia-se uma investigao sobre os meios utilizados pelo artista para produzi-la e por ltimo busca-se a vida do artista. Os passos acima diferem de pessoa para pessoa, mas nas aulas pode-se produzir um caminho para munir os professores do Ensino Fundamental e estes, conseqentemente, o alunado de informaes e detalhes para produzir uma leitura de imagem mais ampla e profunda, abordando novos detalhes e novas informaes.

A importncia das informaes e dos detalhes que um professor do Ensino Fundamental e/ou aluno consegue explorar em uma composio artstica atravs da observao e da leitura de imagem, que elas so individuais e diferentes para cada profissional e aluno, coincidindo s vezes e o papel do professor fazer respeitar a leitura de imagem produzida pelos alunos. O respeito pela opinio dos alunos e o fato de o mesmo poder expor para o grande grupo, cria um lao de respeito e considerao entre o professor e o aluno. A conseqncia desse respeito faz com que o aluno se sinta importante e capaz, assim a sua motivao e a auto-estima apresentam um considervel aumento.

Atravs do mtodo de leitura de imagem pretende-se trabalhar novas formas de proporcionar aos alunos uma melhor compreenso da Geometria Plana, partindo do cotidiano dos mesmos e conhecendo a sua forma de pensar por procurar saber o que lhe atrai a ateno quando no est na escola. importante frisar, no entanto, que a utilizao deste elemento na sala de aula deve ser feita de forma eficiente e envolvente, sob o risco de no desperdiar a potencialidade do mesmo.

3. UM POUCO DA HISTRIA DA GEOMETRIA

Muito antes da formalizao dos conhecimentos que os homens criavam, baseados em suas experincias, as bases que, posteriormente, fundamentariam a Geometria, foram construdas e permeadas essencialmente pelo conhecimento que os mesmos possuam, ainda que de forma intuitiva, visto que estes, em sua maioria, estavam associados ao cotidiano por eles presenciados sob os mais diversos aspectos.

Observamos tambm, diversos outros momentos em que a Geometria foi empregada pelos povos considerados primitivos: na construo de objetos de decorao, de utenslios, de enfeites e na criao de desenhos para a pintura corporal. Formas geomtricas, com grande riqueza e variedade, aparecem em cermicas, cestarias e pinturas de diversas culturas. Nestas manifestaes artsticas j apareciam formas como tringulos, quadrados e crculos, alm de outras mais complexas.

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras frteis s margens dos rios (os egpcios, por exemplo, h mais de 4500 anos, j usavam a Geometria nas situaes de medies das terras que ficavam as margens do rio Nilo que transbordava todo ano e que eram divididas para o cultivo.), construir casas, observar e prever os movimentos dos astros so algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operaes geomtricas e, de alguma forma, as impulsionaram. Registros sobre as antigas civilizaes, egpcia e babilnica, trazem bons conhecimentos do assunto, geralmente

ligados astronomia, uma vez que as descries de fenmenos ligados aos astros instigaram por sculos os povos antigos. Os gregos, por exemplo, se mostravam curiosos quanto s questes ligados ao infinitsimo. As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, p, passo, braa, cbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotmia e no Egito comearam a ser construdos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um nico homem (geralmente o rei) e com essas medidas construram rguas de madeira e metal ou cordas com ns que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.

Por volta de 500 a.C., as primeiras escolas eram fundadas na Grcia. Tales e seu discpulo Pitgoras aproveitaram todo o conhecimento do Egito, da Eutria, da Babilnia e mesmo da ndia, para desenvolv-los e aplic-los matemtica, navegao e religio. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria se multiplicavam, bem como o interesse pela mesma. O compasso logo substituiu a corda e a estaca para traar crculos e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos gemetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagrica chegou a afirmar que a Terra era esfrica e no plana. Surgiam novas construes geomtricas e suas reas e permetros eram agora fceis de calcular.

Uma dessas figuras foi chamada polgono, do grego polygon, que significa "muitos ngulos". Atualmente at rotas de navios e avies so traadas por intermdio de avanados mtodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que no de se estranhar desde os tempos da antiga Grcia, a Geometria sempre foi uma cincia aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas prticos.

4. FALANDO SOBRE ARTE

Segundo o dicionrio do Aurlio, Arte a capacidade que o homem tem de colocar em prtica uma idia e ela pode ser manifesta por meio de elementos visuais e tteis, reproduzindo formas da natureza ou realizando formas imaginarias. Compreendem, entre outras, o desenho, a pintura, a gravura e a escultura. Mas, a Arte vai alm disso, o homem a criou como meio de vida, para que o mundo saiba o que pensa, para divulgar as suas crenas e/ou as de outros, para estimular e distrair a si mesmo e aos outros, para explorar novas formas de olhar e interpretar objetos e cenas.

A arte se apresenta sob variadas formas como: a plstica, a msica, a escultura, o cinema, o teatro, a dana, a arquitetura etc. Pode ser vista ou percebida pelo homem de trs maneiras: visualizadas, ouvidas ou mistas (audiovisuais). Hoje alguns tipos de arte permitem que o apreciador participe da obra, o que vemos quando admiramos uma arte depende da nossa experincia e conhecimentos, da nossa disposio no momento, imaginao e daquilo que o artista pretendeu mostrar. O homem consegue sintetizar as suas emoes, sua histria, seus sentimentos e a sua cultura atravs de valores estticos como a beleza, equilbrio, harmonia e revolta.

5. GEOMETRIA NA ARTE

A Matemtica est presente em praticamente todas as reas do conhecimento, mas apesar disso, nem sempre fcil mostrar aos educandos aplicaes prticas e realistas acerca dos contedos propostos ou motiv-los com problemas contextualizados, mas permear as aulas usuais com aulas diferentes e motivadoras pode ser um diferencial no despertar dos alunos para a beleza da Matemtica e para sua utilizao prtica cada vez mais indispensvel no nosso mundo atual, esse tpico visa mostrar como isso possvel atravs do ensino da geometria associado arte e por meio do uso da tcnica de Leitura de Imagem.

Vivemos num mundo de formas e imagens. Elas esto presentes na natureza, na arquitetura e nas artes. O estudo das formas um dos mais importantes ramos da Matemtica, a Geometria. Explorando imagens, pode-se aprender a ler e explorar geometria. o que faremos daqui por diante.

Quando observamos as obras artsticas abaixo, podemos perceber que foram aplicados princpios geomtricos em suas construes, ou seja, idias matemticas esto por trs dessas belas pinturas, construes arquitetnicas, tapetes, mosaicos etc.

A cidade de Braslia foi projetada por Oscar Niemeyer e est repleta de formas geomtricas. O arquiteto mesclou com muita arte linhas sinuosas de formas variadas com retas e planas. Este artista fez desse projeto um dos mais avanados da arquitetura mundial nas dcadas de 50 e 60.

Figura 1 - Imagem do Congresso Nacional

Retas paralelas no tm ponto em comum, a impresso causada pela fotografia a de que se as duas retas indicadas, se prolongadas, no se encontraro. Esta uma das principais caractersticas do paralelismo entre retas que esto no mesmo plano. Ainda explorando essa imagem o professor, pode entrar no contedo de polgonos, por mostrar quais so suas principais caractersticas e dependendo da srie iniciar o estudo de permetro e rea dos quadrilteros.

Figura 2 - Catedral de Braslia

Figura 3 - Imagem aproximada da vidraa da Catedral

Alm de contedos matemticos como feixe de retas paralelas, estudo das propriedades do trapzio, decomposio de figuras planas e ladrilhamento1, a imagem da Catedral de Braslia abre um leque de opes para serem trabalhadas em sala, bem como em parceria com outras disciplinas. O aluno poder analisar imagens presentes no seu cotidiano, tornando a geometria mais prxima a sua realidade, fazendo com que ele possa ver que a Matemtica faz da sua vida diria e isso conseqentemente pode despertar o interesse do aluno para essa disciplina.

Figura 4 - Parthenon, em Atenas, Grcia, construda por volta de 440a.C.

Atravs dessa imagem, podemos fazer uma viagem pela histria. As dimenses externas formam um perfeito Retngulo de Ouro, que reconhecido como sendo a forma visivelmente mais equilibrada e harmoniosa.

O nmero de Ouro uma relao entre dois valores, geralmente representados pela altura e largura de um retngulo, que corresponde ao valor 1,618033989..., um nmero irracional misterioso e enigmtico que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razo, sendo considerada por muitos como uma oferta de Deus ao mundo. H muito tempo ele aplicado na arte, ele traduz a proporo geomtrica mais conhecida e usada na pintura, escultura e arquitetura.

1 Superfcie coberta por um ou mais tipos de polgonos sem deixar espaamento.

Figura 5 - Quadro de Mona Lisa pintado por Leonardo Da Vinci

Esse quadro conhecido mundialmente est repleto de razo urea, desenhando um retngulo volta da face, o retngulo resultante um retngulo de Ouro; dividindo este retngulo por uma linha que passe nos olhos, o novo retngulo obtido tambm de Ouro; as dimenses do quadro tambm representam a razo de Ouro por isso a imagem agradvel a nossa vista.

Figura 6 - Mosaico da parede de Al-Azhar Mosque, localizado no Cairo, Egito.

Mosaico um ornamento ilimitado no plano. A simetricidade fundamental a translao em duas direes. Para compor um mosaico necessria uma rede. Existem cinco tipos fundamentais de redes: quadrados, retngulos, paralelogramos, tringulos eqilteros e losangos. Combinando uma ou mais simetrias possvel obter outros tipos de mosaicos.

Ornamentos como os mosaicos so sinnimos de beleza e harmonia, e esto presentes em nossas vidas desde a antiguidade, isso pode ser observado em obras arquitetnicas, ornamentos indgenas, revestimentos (pisos e azulejos), vitrais de igreja, artesanato, dentre outros. A partir deles possvel desenvolver a geometria plana e a simetria, estimulando a criatividade dos educandos.

A simetria um movimento rgido no plano que aplica um ornamento sobre si mesmo, sem que sua forma ou tamanho variem, ela pode ser direta (translao e rotao) ou inversa (reflexo e translao invertida). Em termos gerais, translao o deslizamento da figura sobre uma reta r, rotao um giro da figura em torno de um ponto fixo. A reflexo o movimento que conserva a distncia de um ponto a um eixo r fixo e translao refletida o movimento que combina dois movimentos: reflexo e translao paralela ao eixo r. A simetria casa a Matemtica com a arte, o matemtico busca padres, principalmente em geometria. Os padres aparecem devido tcnica, polgonos regulares lado a lado formam mosaicos, repetio gera padres.

As figuras possuem vrias caractersticas e algumas delas so: a forma, a planicidade, a dimenso e a convexidade. Numa figura esses atributos nunca aparecem isoladamente, mas combinando entre si. Esse fato contribui no s para a grande diversidade das figuras, como tambm para beleza delas. Elas fazem parte do mundo e de tudo o que est a nossa volta, estando presentes no nosso dia a dia, se voc observa-las com curiosidade, vai descobrir coisas incrveis, na maioria das vezes, esses objetos no apresentam a mesma forma.

Ao que parece, a habilidade de percepo visual e os conceitos de geometria podem ser aprendidos simultaneamente, uma vez que a geometria exige que o aluno reconhea figuras, suas relaes e suas propriedades. Agora, cabe ao professor explorar as habilidades e potencialidades de seus alunos.

6. FAZENDO ARTE UTILIZANDO A GEOMETRIA

Visto que a geometria pode ser estimulante, motivadora, gratificante, instigadora do raciocnio e s vezes desafiante, o objetivo dessa sesso motivar o professor a no poupar esforos para estimular suas classes de geometria com atividade que levem os alunos para alm dos exerccios rotineiros. Apresento atividades criativas para serem utilizados em sala de aula.

Atividade 1 Todas as partes do corpo humano guardam entre si a relao urea. Assim, o comprimento do brao e do antebrao, esto nesta relao; a altura de uma pessoa e altura que se encontra o corao tambm guardam a relao urea. Visto que os jovens se preocupam bastante com a beleza fsica proponha que os alunos verifiquem se o seu corpo est em harmonia efetuando as respectivas medidas: altura(h) pela medida do umbigo at o cho (a), a medida da face (r) pela da linha dos olhos at o queixo (q), registrando em uma tabela. Depois de concludo esse processo pode-se fazer uma comparao dos dados obtidos pela turma e o professor pode mostrar diversos polgonos de ouro aos alunos e a partir da explorar suas propriedades.

Atividade 2 Utilizar artesanatos e visitar obras arquitetnicas uma maneira de valorizar nossa arte, nossa cultura e nossas obras. Propor que os alunos criem rosetas, facilita para que o professor possa trabalhar os contedos de ngulo, circunferncia, arcos, relao entre reta e circunferncia dentre outros, tudo de forma mais agradvel. Outra atividade que pode ser proposta a elaborao de faixas e o primeiro passo fazer um molde, enquanto eles elaboram os moldes voc pode desenvolver conceitos intuitivos de geometria plana, paralelismo, perpendicularismo entre retas e alguns axiomas da geometria. Para que a atividade seja bem sucedida vital que cada aluno tenha sua prpria figura e possa assim observar a validade dos conceitos geomtricos a partir do que ele mesmo vai elaborar.

Atividade 3 A partir de um mosaico feito por Escher, proponha que os alunos tambm criem um. Nessa atividade pode ser includa uma pesquisa sobre a vida de alguns artistas famosos.

Figura 7- Peixes Mosaico feito por Escher

Atravs desse mosaico explore o conceito de simetria e suas propriedades.

Atividade 4 Pea aos alunos que faam uma planta baixa de casa. Esta atividade deve ser livre. Alm de estimular a criatividade, pode servir para avaliar os conhecimentos dos alunos sobre conceitos geomtricos e de medida. Nessa atividade voc pode trabalhar os conceitos de perpendicularismo, paralelismo, ngulo reto, segmento de reta, rea, permetro. Depois de trabalhado esses conceitos, pode-se pedir que os alunos faam uma maquete, que um trabalho artesanal.

Muitas outras atividades podem ser desenvolvidas, as dobraduras permitem um trabalho ldico com bonitos resultados visuais e podem ser utilizados para comprovar resultados da Geometria Plana e para construes geomtricas. O tangram tem uma estrutura geomtrica que permite a explorao de muitos conceitos geomtricos e alguns destes so: rea, permetro, composio e decomposio, simetria, convexidade e polgonos. Ambas as atividades possibilitam que os alunos possam exercer sua criatividade. Atividades como estas possibilitam que os educandos se enriqueam matematicamente e possam se inspirar pra criar, por si prprios mais atividades em geometria.

7. CONSIDERAES FINAIS

Na antiguidade as cincias constituam um nico bloco que com o passar do tempo foi fragmentado. Geometria e Arte eram ensinadas juntas, percebe-se que hoje est havendo um esforo por parte de alguns educadores por meio da interdisciplinaridade para que tal processo volte a ocorrer, em prol de um estudo que favorea a aprendizagem. Para que ocorra uma aprendizagem significa interessante que os professores procurem realizar atividades semanais que envolvam contedos relacionados geometria, sempre que possvel permeando estas com as sugestes aqui apresentadas.

BIBLIOGRAFIA

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