1 Professora especialista em Psicopedagogia da rede Pública Estadual do Estado do Paraná, professora do PDE 2016/2017: rosana.sczancoski@escola.pr.gov.br 2 Mestra em Ciências, docente lotada no Departamento de Matemática e Estatística da Universidade Estadual de Ponta Grossa, orientadora do PDE 2016/2017: luizapg@gmail.com

A concretização das operações fundamentais através do Material

Dourado

Rosana Teresa Sczancoski1

Luiza Takako Matumoto2

Resumo: É de conhecimento do meio educacional que muitos alunos do 6o ano do Ensino

Fundamental ainda apresentam dificuldades na consolidação e uso correto dos conceitos vistos

anteriormente até o 5o ano sobre as operações fundamentais. Inspirado na literatura, com a finalidade

de tentar sanar tais problemas, este artigo propôs como estratégia de ação o uso do Material

Dourado, criado por Maria Montessori, na retomada do processo ensino-aprendizagem dessas

operações. As atividades propostas neste artigo tiveram como objetivo trabalhar a formação do

número, transformação das ordens, a lógica presente na resolução das seguintes operações: adição,

subtração, multiplicação e divisão no conjunto nos números naturais. A utilização do Material Dourado

permitiu a experiência de observar concretamente a estrutura das operações, fazer uma correlação

do concreto ao abstrato, mostrar um meio prazeroso de aprender matemática e uma forma

interessante de retomada de conhecimentos.

Palavras-chave: Operações Fundamentais. Material Dourado. Maria Montessori.

1 Introdução

As crianças, em geral, trazem de sua vivência a ideia de número e as

operações fundamentais. Cabe ao professor, utilizar esse conhecimento, aperfeiçoá-

lo a fim de desenvolver novas relações, fazer trabalho contínuo para que o aluno

possa ter a compreensão concreta do número que auxilia na aritmética das

operações numéricas.

“O desenvolvimento do sentido numérico é um dos objetivos mais importantes

do currículo de Matemática, pois é fundamental para o domínio dos números e

operações” (BIGODE; GIMENEZ, 2009, p.112).

Os professores, em geral, deparam-se com a falta de compreensão do

sentido numérico e com dificuldades na resolução das quatro operações

fundamentais por diversos alunos do 6ο ano do Ensino Fundamental. Na literatura há

muitos autores que sugerem o uso do Material Dourado para auxiliar a resolver

esses problemas.

O aluno ao iniciar o 6ο ano deve já ter assimilado o sistema de numeração

decimal-posicional e os métodos para efetuar as operações fundamentais, mas

percebe-se a dificuldade e a falta de compreensão em transformar centenas em

dezenas, ou unidades, por exemplo. Surgem também dificuldades na lógica de

dividir, multiplicar e a necessidade de transformar o minuendo na subtração, para

depois resolvê-la. Estas são algumas dificuldades enumeradas, mas outras surgem,

a partir do momento em que o professor avalia, interage com o aluno e verifica como

está a compreensão do aluno em determinados conteúdos.

Para que a criança compreenda o sentido de número, há a necessidade que a

mesma estabeleça relações, ideias, compreenda o processo de seriação numérica,

desenvolva habilidades referentes a cada tipo de operação. Pois, segundo Scriptori

(2005, p.139) “o conceito de número advém de uma síntese operatória da inclusão

hierárquica de classes e de ordem serial, a conservação, a seriação e a inclusão de

classes constituem as estruturas cognitivas básicas necessárias a essa construção”.

O presente artigo apresenta o trabalho realizado com o Material Dourado

como ferramenta alternativa para aprendizagem das operações fundamentais,

estimulando o aluno através de desafios e diversas possibilidades de seu uso.

2 Material Dourado como recurso metodológico

Segundo as Diretrizes Curriculares de Educação Básica (DCE) de Matemática

“espera-se que, no Ensino Fundamental, os alunos compreendam o sistema de

numeração decimal [...] e os conceitos da adição, subtração, multiplicação, divisão

[...] pertencentes aos conjuntos dos naturais” (PARANÁ, 2008, p.51).

A compreensão e resolução das operações fundamentais pelos alunos do

Ensino Fundamental no sexto ano e até em anos posteriores vêm demonstrando-se

precária, pois é comum professores encontrarem em seus alunos dificuldades para

dividir, mas, infelizmente, há ainda alunos que não compreendem a necessidade de

agrupar os números, colocando-os em ordem de unidades, dezenas, centenas para

calcular adições e subtrações. Assim como, verifica-se que há alunos que não

apresentam raciocínio em transformar dezenas em unidades, centenas em dezenas.

Para que a criança aprenda as operações fundamentais, há necessidade de

que a mesma compreenda o sistema de numeração decimal, que envolvem o valor

posicional do número, transformação das unidades e a lógica presente nas

operações de adição, subtração, multiplicação e da divisão.

“Nada deve ser dado à criança, no campo da matemática, sem primeiro

apresentar-se a ela uma situação concreta que a leve a agir, pensar, a experimentar,

a descobrir, e daí, a mergulhar na abstração” (AZEVEDO, 1979, p.27).

Essa falta de experimentação pode explicar a razão da grande dificuldade

apresentada pelas crianças ao resolver as operações, pois falta-lhes concretização.

Geralmente inicia-se o processo de abstração funcional das operações básicas sem

que o professor perceba se de fato o aluno compreendeu a lógica das operações,

assim como o processo de transformação das ordens e classes dos números.

Para ensinar as operações fundamentais, assim como cálculos envolvendo

área e volume, existem muitos materiais pedagógicos, mas sobressai o Material

Dourado criado por Maria Montessori, e aperfeiçoado por “Lubienska de Lenval,

seguidor de Montessori, que fez uma modificação no material inicial e construiu em

madeira na forma que encontramos atualmente” (DALTOÉ e STRELOW, s.d).

Maria Montessori cita em seus estudos que a aprendizagem passa pelas

mãos, “a criança aprende mexendo-se (aprendizagem-movimento) num ambiente

previamente preparado” (DALTOÉ e STRELOW, s.d); desta maneira, há a

necessidade da criança sentir concretamente o material, explorá-lo e compreender

as relações que este material apresenta com o seu mundo em processo de

aprendizagem.

O professor deve propiciar situações para que a criança possa manipular o

material dourado, por exemplo. Se o professor somente demonstrar o material e não

permitir que a criança “pegue” o material com suas mãos, certamente haverá falta de

interesse pelo aluno, dispersando a atenção e prejudicando a aprendizagem, isto

porque “a criança ama tocar os objetos para depois reconhecê-los” (DALTOÉ e

STRELOW,s.d).

Quando a criança utiliza materiais e situações problema, como o Material

Dourado, junto com a necessidade de somar, ou diminuir, por exemplo, tendo o

material à sua disposição para manipular, efetuar as transformações necessárias

das ordens (unidade, dezena e centena), interagir com colegas e esclarecer suas

dúvidas com o auxílio do professor, conseguirá compreender a necessidade de

emprestar da dezena para unidade e realizar os cálculos com a lógica necessária

para a aprendizagem.

Segundo Bigode e Gimenez (2009, p.127) “o sentido numérico confere ao

aluno um suporte para que ele conheça valores razoáveis para os números em

diversos contextos”.

Se, nas séries iniciais o aluno compreender o sentido numérico, encontrará no

seu cognitivo os alicerces para compreender cálculos mais complexos, assim como,

futuramente, o raciocínio abstrato, como por exemplo, a álgebra.

Sobre sentido numérico, Van de Walle (2009, p.148) elucida que “o senso

numérico se desenvolve quando os estudantes compreendem o tamanho de

números, desenvolvem múltiplos modos de pensar sobre e representar números”.

Para que a aprendizagem ocorra, professores conscientes sabem que pular

etapas no processo prejudica o raciocínio e compreensão do aluno. A criança deve

experimentar diversas situações, desde as mais simples, como as mais complexas.

Desta forma, Piaget explica que “as estruturas da inteligência não são inatas e

somente se impõem como necessárias por um processo de contínua interação com

o meio” (PIAGET apud SCRIPTORI, 2005, p.131).

A interação do professor com os alunos e estes com seus colegas no

ambiente escolar são uma grande estratégia de aprendizagem, pois com o diálogo

estimulado pelo professor, a criança sente-se à vontade para perguntar quando

apresenta dúvidas e necessita de esclarecimentos.

Além do diálogo presente em sala de aula, a utilização do Material Dourado

no processo de ensino da formação do número e das operações fundamentais

permitem compreender que:

[...] o indivíduo não poderia adquirir suas estruturas mentais mais essenciais sem uma contribuição exterior, a exigir um certo meio social de formação, e que em todos os níveis (desde os mais elementares até os mais altos) o fator social ou educativo constitui uma condição do desenvolvimento (PIAGET, 1976, p. 39).

A interação do professor com o aluno e a maneira de como o professor

concretiza a compreensão das transformações que ocorrem nos números nas

diversas operações, visualizadas, por exemplo, com o Material Dourado, permitem

que ocorra a ligação deste processo concreto na resolução aritmética das operações

quando feitas no quadro de giz ou no caderno.

3 Material Dourado, as quatro operações fundamentais e observação no

processo ensino-aprendizagem

Os alunos do 6o ano do Ensino Fundamental, na grande maioria já conheciam

o Material Dourado e até saibam como formar os números e transformar unidades

em dezenas, dezenas em centenas, centenas em unidades de milhar. Muitos desses

alunos não dominavam as transformações e o raciocínio necessário quando se trata

de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Alguns alunos nunca tiveram a oportunidade de mexer no Material Dourado,

somente viram o(a) professor(a) manipulando-o e ainda, uma pequena quantidade

de alunos desconheciam-no totalmente.

Tornou-se necessário saber se os alunos já conheciam esse recurso

pedagógico que é o Material Dourado e até que ponto conseguiam manipular e

realizar pequenos cálculos.

Para isso, nas primeiras semanas, os alunos responderam um questionário

que sondaria esses fatos antes que os mesmos fossem apresentados a ele.

Todo o trabalho foi realizado em oficinas no ambiente escolar,

individualmente, em pequenos grupos e também de forma expositiva pela professora

à toda classe, apresentando as transformações e os cálculos nas resoluções das

quatro operações fundamentais.

Após a análise dos questionários respondidos pelos alunos, foi possível traçar

o perfil de conhecimento e manuseio do material pelos alunos descritos abaixo:

Aproximadamente 95% dos alunos já conheciam o material dourado. Destes:

● 82% dos alunos sabiam explicar como transformar unidades em

dezenas, dezenas em centenas, centenas em unidades de milhar;

● 11% dos alunos nunca haviam tocado no material, somente viam a

professora demonstrar a utilização;

● 79% sabiam explicar como realizar adições com o material dourado;

● 44% sabiam explicar como realizar subtrações com o material dourado;

● 6 % sabiam explicar como realizar multiplicações com o material

dourado;

● 7% sabiam explicar como realizar divisões com o material dourado;

A implementação da produção didático-pedagógica objetivando a

compreensão dos alunos nas operações fundamentais utilizando o Material Dourado

foi dividida em número de aulas, conforme a tabela abaixo:

Número

de aulas

Atividade a ser desenvolvida

1 Responder o questionário sobre o conhecimento do Material

Dourado.

1 Aula expositiva apresentando o Material Dourado e como

formar os números.

1 Aula expositiva sobre como transformar unidades em

dezenas, dezenas em centenas e centenas em unidades de milhar.

2 Alunos em pequenos grupos para transformar unidades em

dezenas, dezenas em centenas e centenas em unidades de milhar.

1 Aula expositiva para explicar como fazer a adição.

3 Alunos realizaram, em pequenos grupos, cálculos de adição.

1 Aula expositiva para explicar como fazer a subtração.

3 Alunos realizaram, em pequenos grupos, cálculos de

subtração.

1 Aula expositiva para explicar como fazer a multiplicação.

3 Alunos realizaram, em pequenos grupos, cálculos de

multiplicação.

1 Aula expositiva para explicar como fazer a divisão.

3 Alunos realizaram, em pequenos grupos, cálculos de divisão.

2 Aula expositiva para aprender a representar o Material

Dourado planificado.

5 Avaliação individual e fixação das operações com o Material

Dourado planificado.

4 Ligação da forma concreta utilizando o Material Dourado e a

forma aritmética.

Fonte: dados adaptados da produção didática-pedagógica 2016 a 2017 da própria autora.

O Material Dourado foi apresentado e explicado detalhadamente: como são

representadas as unidades, dezenas, centenas e unidades de milhar, assim como a

devida transformação entre essas unidades. É de fundamental importância a

manipulação do material pelo aluno, sendo que isto aconteceu em pequenos grupos,

onde, com o auxílio dos colegas e da professora pode aprender a fazer as

transformações de unidades em dezenas, das dezenas em centenas e das centenas

em unidades de milhar.

representa a unidade representa a dezena

representa a centena representa a unidade

de milhar

Após o conhecimento de como se formam os números e como realizar as

transformações das ordens, foi introduzido o ensino das operações fundamentais.

As operações foram realizadas na seguinte ordem: adição, subtração,

multiplicação e divisão. Primeiramente, em todas as operações, sem a necessidade

de transformações nas ordens e posteriormente havendo necessidade de

transformações.

Na adição, por exemplo, a professora, com o auxílio de três alunos, de frente

para toda a turma, formou as duas parcelas a serem somadas, sendo que dois

alunos formaram as parcelas e o terceiro com a função de somar as parcelas e

relatar o resultado. Durante este momento, os demais alunos da classe

presenciaram o cálculo e a explicação da professora para os três alunos, assim

como para toda a classe, explicando as dúvidas que surgiram.

Para as demais operações, foi utilizado a mesma prática metodológica

utilizando aula expositiva, com auxílio de alguns alunos e através de pequenos

grupos.

Exemplos de algumas das quatro operações fundamentais realizadas:

236 + 298

1º) Colocação das parcelas no quadro valor lugar

UM C D U

2 3 6

UM C D U

2 9 8

2º) As duas parcelas são colocadas juntas em cada ordem no quadro valor lugar:

UM C D U

3º) Transformação de cada uma das ordens, pois em cada uma só pode ter no

máximo 9 elementos, no quadro valor lugar:

UM C D U

Resultado:

UM C D U

5 3 4

355 - 248

1º) Montamos primeiramente o minuendo:

UM C D U

3 5 5

E o subtraendo:

UM C D U

2 4 8

2º) O subtraendo retira as peças do minuendo, uma a uma, havendo necessidade de

transformação de 1 dezena em 10 unidades.

UM C D U

3 5 5

Resultado:

UM C D U

1 0 7

67 x 2

1º) Colocação de um dos fatores no quadro valor lugar, iniciando preferencialmente

pelo de maior valor.

UM C D U

6 7

2º) Como será multiplicado por 2, ou seja, dobrar, repete-se a quantidade 67.

UM C D U

3º) Os dois fatores são colocados juntos em cada ordem no quadro valor lugar:

UM C D U

4º) Neste exemplo, ficarão mais de 9 elementos na unidade e na dezena,

ocasionando a transformação dessas ordens.

UM C D U

Resultado:

UM C D U

1 3 4

318 : 3

1º) Coloca-se o dividendo no quadro valor lugar:

UM C D U

3 1 8

2º) Como divide-se por 3, separar-se os elementos igualmente em três partes:

Parte I Parte II Parte III

Observe que sobraram:

A dezena deve ser transformada em unidades e agrupada junto às duas

unidades restantes.

As unidades deverão ser distribuídas novamente para cada uma das três

partes em quantidades iguais, representadas no quadro valor lugar da seguinte

maneira:

Parte I Parte II Parte III

Não sobrou peças, portanto o resto será zero.

Em cada parte deve ficar o mesmo número de peças e do mesmo valor. A

resposta será obtida contando o valor que ficou para cada parte.

Resultado:

UM C D U

1 0 6

Durante o conhecimento do material e de como realizar as operações,

juntamente com o auxílio dos colegas e da professora, todos tiveram a oportunidade

de manipular o material em todas as atividades propostas. Na atividade em

pequenos grupos (quatro alunos), onde cada grupo pode realizar as operações

manipulando o material, observou-se a facilidade que a professora obteve em

esclarecer as dúvidas que surgiram, pois todos estavam empenhados em realizar as

tarefas sugeridas com o material didático. Podendo assim, acompanhar os grupos

para verificar se os alunos estavam realizando de maneira correta as

transformações e alcançando o resultado. Em caso de erro, a professora com os

colegas do grupo retomavam os números a serem formados, assim como o cálculo a

ser realizado para alcançar o resultado almejado.

A planificação do Material Dourado foi ensinado com o objetivo de registrar o

que se aprendeu com o material concreto e memorizar todo o processo de

transformações que ocorrem em todas as operações.

O processo avaliativo foi realizado individualmente. Enquanto os demais

alunos realizavam a planificação de operações postadas no quadro negro, um aluno

era sorteado para fazer a avaliação. Neste momento, foi bastante prazeroso

perceber que praticamente todos os alunos queriam ser sorteados para fazer a

avaliação, a qual para eles foi um momento de alegria em demonstrar

concretamente a aprendizagem que alcançaram. Bastante diferente de outras

formas de avaliações em que o aluno sente-se frustrado, nervoso e, se possível,

desejaria que não precisasse ser avaliado.

Todo o momento da avaliação foi acompanhado pela professora, desde a

formação do número (Exemplo: o aluno ia sorteando a unidade, dezena, centena de

uma parcela e depois a unidade, centena, dezena de outra parcela, colocando os

algarismos sorteados numa tabela para depois colocar as peças com o Material

Dourado, realizar as transformações necessárias e chegar ao cálculo final da soma,

finalizando com a leitura da resposta obtida). As demais operações também foram

avaliadas sorteando-se os algarismos para fazer os números.

Os alunos realizaram a avaliação das quatro operações, acompanhados pela

professora e em raros momentos precisando de um ajuste na transformação dos

cálculos envolvidos em cada operação.

Desta forma, a avaliação foi estimulante, curiosa e participativa.

Durante avaliação individual, os demais alunos construíram o Material

Dourado planificado, recortando uma folha quadriculada e colando o material de

acordo com as operações solicitadas pela professora. Esta atividade teve como

objetivo auxiliar o aluno a relembrar todos os processos envolvidos a fim de alcançar

a fixação do conteúdo apresentado.

As operações realizadas no caderno com o material planificado foram

corrigidas pela professora, sendo algumas diretamente no caderno e outras

realizadas no quadro para toda a classe.

4 Considerações finais

As dificuldades encontradas com alunos de 6os anos referentes à realização

das quatro operações trouxe a necessidade da pesquisa e a busca de possíveis

caminhos para diminuir esta problemática.

Toda a pesquisa bibliográfica, assim como os encontros de orientação com a

professora regente na Universidade Estadual de Ponta Grossa e orientadora no

Projeto de Intervenção Pedagógica, Produção Didático Pedagógico, Grupo de

Trabalho em Rede (GTR) e Artigo deste PDE 2016/2017, contribuíram imensamente

para a realização do trabalho que resultou neste artigo que visa procurar minimizar

as dificuldades que os alunos apresentam ao realizar as quatro operações.

Percebe-se que o professor sempre deve buscar metodologias, materiais

didáticos e bibliografias que aprofundem seu conhecimento a fim de auxiliar o

processo ensino aprendizagem aos alunos.

Maria Montessori, através do Material Dourado, torna o processo da

aprendizagem da adição, subtração, multiplicação e divisão uma atividade

participativa, prazerosa, envolvendo o aluno com seu professor, aluno com aluno,

facilitando o elo entre a abstração dos processos envolvidos nas operações com o

Material Dourado e as atividades realizadas no quadro e caderno, quando apenas

registra-se os algoritmos matemáticos.

A participação dos alunos de maneira prazerosa, onde todos tentavam

alcançar os resultados, a dedicação dos alunos que haviam compreendido de

imediato e tentavam auxiliar os alunos que estavam no processo de compreensão, a

alegria dos mesmos quando o professor chegava com as caixas de Material

Dourado e eles imediatamente já perguntavam se era para formar grupos, fizeram

com que a professora sentisse estímulo a ensinar, sentimento recíproco entre os

alunos em busca da aprendizagem.

Pode-se dizer que o mais interessante foi o aluno querer fazer avaliação e o

melhor de tudo, com prazer em fazer a mesma. Contente em poder fazer parte da

“escolha” dos números a serem calculados nas quatro operações; confiante em

demonstrar sua aprendizagem com o material concreto e em raros casos, quando o

aluno se confundia em algum cálculo, bastava uma pequena intervenção da

professora para que o mesmo revesse o processo de formação e transformação do

número para alcançar o resultado, mesmo quando havia resultado equívoco o aluno

continuava insistindo em tentar acertar.

Em último momento, após o processo de planificação do material e relação de

toda a aprendizagem com o material concreto e planificado com os algoritmos

escritos no quadro, ao se escrever as operações no quadro, resolvendo-as passo a

passo, observar o olhar dos alunos atentos e muitos falarem “agora entendi” o

porquê do emprestar e outros processos mecânicos que os alunos faziam nas

operações sem compreender, o que na verdade estava camuflado ou não

compreendido na construção e realização das quatro operações fundamentais.

Sem dúvida, o trabalho mencionado na utilização do Material Dourado como

ferramenta pedagógica apresentou resultados positivos, devendo ser estendido, se

possível para anos anteriores ao 6o ano e, colocado em prática no momento

adequado ao aprendizado deste conteúdo fundamental.

5 Referências

AZEVEDO, E. D. M. Apresentação do trabalho Montessoriano. In: Ver. de Educação &Matemática nº. 3 (pp. 26 - 27), 1979. BIGODE, Antônio José Lopes; GIMENEZ, Joaquin. Metodologia para o ensino da aritmética: competência numérica no cotidiano. São Paulo: FTD, 2009. BRASIL. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Paraná: MEC/SEF, 2008.

DALTOÉ, K.; STRELOW, S. Trabalhando com material dourado e blocos lógicos nas séries iniciais. Disponível em: http://www.somatematica.com.br/artigos/a14. Acesso em: 10julho. 2016. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Departamento da Educação Básica. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná: 2008. Disponível em: <http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/ File/diretrizes/dce_mat.pdf>. Acesso em: 17 ago. 2016. PIAGET, J. Para onde vai a educação? Rio de Janeiro: Livraria José Olympio, 1976. SCRIPTORI, Carmem Campoy. A matemática na educação infantil: uma visão piagetiana. In: GUIMARÃES, Celia Maria. (Org.). Perspectivas para educação infantil. Araraquara, SP: Junqueira & Marin, 2005.

VAN DE WALLE, John A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. 6 ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.